Probability & Statistics

2301520 Fundamentals of AMCS

2

“ ”ความแน่�น่อน่คอความไม�แน่�น่อน่ ทฤษฎี�ความน่�าจะเป็�น่ เป็�น่การน่�าคณิ�ตศาสตร�มาใช้ ใน่การอธิ�บายความไม�แน่�น่อน่◦ Sample Space

the set of all outcomes of an experiment◦ Event

a subset of of the sample space ต$วอย�าง 1 ผลท�(ได้ จากการโยน่ล+กเต,าหน่.(งล+ก (discrete) ต$วอย�าง 2 ช้�วงเวลาท�(หลอด้ไฟจะใช้ งาน่ได้ จน่กว�าจะเส�ย

(continuous)

Probability Theory (ทฤษฎี�ความน่�าจะเป็�น่)

3

ให S เป็�น่ Sample space สมม0ต�ว�าเซต B เป็�น่เซตของส$บเซต( หรอ Event) ของ S ท�(ม�สมบ$ต�ต�อไป็น่�3

1. ∈B2. ถ้ า A∈B แล ว Ac∈B 3. ถ้ า แล ว( เร�ยก B ว�าเป็�น่ sigma algebra ของ S)

ฟ5งก�ช้$น่ความน่�าจะเป็�น่ P คอฟ5งก�ช้$น่ท�(ม�โด้เมน่เป็�น่ B และสอด้คล องก$บสมบ$ต�ต�อไป็น่�3

4. P:B→ [0,1]5. P(S)=16. ถ้ าเหต0การณิ� เป็�น่เหต0การณิ�ไม�เก�ด้ร�วม

จะได้ ว�า

Probability Function

1 2, ,A A B1

ii

A B

1 2, ,A A B

11

i iii

P A P A

4

หากม�การทด้ลองท�าซ�3าเพื่(อหาผลอะไรส$กอย�างเป็�น่ระยะเวลา น่าน่ๆ

P(A) บอกถ้.งส$ด้ส�วน่ของเหต0การณิ� A ท�(จะเก�ด้ข.3น่เท�ยบก$บผลท�(เก�ด้ข.3น่ท$3งหมด้

Probability Function

5

ต$วแป็รส0�ม (Random Variable) เป็�น่ต$วแป็รท�(ใช้ แทน่ค�า ของเหต0การณิ�ท�(เก�ด้ข.3น่ โด้ยต องม�ค�าเป็�น่ต$วเลข (ซ.(งอาจ

เป็�น่ต$วเลขท�(เป็�น่ผลของเหต0การณิ�โด้ยตรง หรอ ผลของเหต0การณิ�สามารถ้แทน่ความหมายด้ วยต$วเลขได้ )

ต$วอย�าง 1 X เป็�น่ต$วแป็รส0�มท�(ใช้ แทน่หน่ าท�(เก�ด้จากการโยน่ล+กเต,าหน่.(งล+ก

ต$วอย�าง 2 X เป็�น่ต$วแป็รส0�มท�(ใช้ แทน่หน่ าท�(เก�ด้จากการโยน่เหร�ยญหน่.(งเหร�ยญ

ต$วอย�าง 3 X เป็�น่ต$วแป็รส0�มท�(ใช้ แทน่ช้�วงเวลาท�(หลอด้ไฟ จะใช้ งาน่ได้ จน่กว�าจะเส�ย

Random Variables

6

ฟ5งก�ช้$น่ความหน่าแน่�น่ของความน่�าจะเป็�น่ ถ้ า X เป็�น่ต$วแป็รส0�ม discrete จะเร�ยกว�า probability

mass function (pmf) ซ.(งหมายถ้.ง p(x) = P(X = x)

ถ้ า X เป็�น่ต$วแป็รส0�ม continuous pdf คอฟ5งก�ช้$น่ f(x)≥0 ท�(ม�สมบ$ต�ว�า ต$วอย�างต$วแป็รส0�มจากหน่ าท�(แล ว

Probability Density Function (pdf)

( ) 1f x dx

7

ฟ5งก�ช้$น่การแจกแจงสะสม ถ้ า X เป็�น่ต$วแป็รส0�ม discrete และม� p(x) เป็�น่ pdf แล ว cdf คอ

ถ้ า X เป็�น่ต$วแป็รส0�ม continuous และม� f(x) เป็�น่ pdf แล ว

cdf คอ

ต$วอย�างต$วแป็รส0�มจากหน่ าท�(แล ว

Cumulative Distribution Function (cdf)

( ) ( )x

F x f u du

( ) ( )u x

F x p u

8

Bernoulli: ต$วแป็รส0�ม X ม�ค�าสองค�าคอ 0 (Failure) และ 1(Success)

parameter: p ( ความน่�าจะเป็�น่ P(X=1)) pmf:

ต$วอย�าง: ให X แทน่ผลล$พื่ธิ�ของการโยน่เหร�ยญ 1 เหร�ยญ โด้ย X=1 หมายถ้.งออกห$ว X=0 หมายถ้.งออกก อย ให

ความน่�าจะเป็�น่ของการออกห$วเป็�น่ 1/3 ด้$งน่$3น่ เราจะได้ p(1) = , p(0) = , E[X]= , Var(X)=

Pmf/pdf ท��ใช้�บ่�อย

9

Binomial Distribution ต$วแป็รส0�ม X คอจ�าน่วน่ของการทด้ลองท�(ส�าเร9จจากการท�าการ

ทด้ลองซ�3าท$3งหมด้ n คร$3ง parameters: n จ�าน่วน่ของการทด้ลองท�าซ�3าท$ 3งหมด้

p ความน่�าจะเป็�น่ท�(การทด้ลองหน่.(งคร$3งส�าเร9จ pmf : ต$วอย�าง: สมม0ต�ว�าเราโยน่เหร�ยญ 1 เหร�ยญท$3งหมด้ 10 คร$3ง

ให X แทน่จ�าน่วน่การโยน่ท�(ให ผลล$พื่ธิ�เป็�น่" “ ห$ว ให ความน่�าจะเป็�น่ ของการออกห$วของเหร�ยญด้$งกล�าวเป็�น่ 1/3 จงหาความน่�าจะ

เป็�น่ท�(จะออกห$ว 1) 5 คร$3งพื่อด้� 2) ไม�เก�น่ 2 คร$3ง

Pmf/pdf ท��ใช้�บ่�อย

10

Geometric Distribution ต$วแป็รส0�ม X คอจ�าน่วน่ของการทด้ลองท�(ท�าซ�3าจน่กว�าจะส�าเร9จ parameters:

p ความน่�าจะเป็�น่ท�(การทด้ลองหน่.(งคร$3งส�าเร9จ pmf : ต$วอย�าง: ให X แทน่จ�าน่วน่การโยน่การโยน่เหร�ยญ 1 เหร�ยญจน่กระท$(งได้ ผลล$พื่ธิ�เป็�น่" “ ห$ว ให ความน่�าจะเป็�น่ของการออก

ห$วของเหร�ยญด้$งกล�าวเป็�น่ 1/3 จงหาความน่�าจะเป็�น่ท�(จะต องโยน่ท$3งหมด้

1) 5 คร$3งพื่อด้� 2) ไม�เก�น่ 2 คร$3ง

Pmf/pdf ท��ใช้�บ่�อย

11

Hypergeometric Distribution สมม0ต�ว�าม�การทด้ลองท�าซ�3าท$3งหมด้ N คร$3ง ซ.(งเป็�น่การทด้ลองท�(ส�าเร9จ

m คร$3ง ส0�มเลอกการทด้ลอง n การทด้ลองมาพื่�จารณิา ต$วแป็รส0�ม X คอจ�าน่วน่ของการทด้ลองท�(ส�าเร9จจากต$วอย�างการทด้ลองท�(ส0�มเลอกมาน่$3น่

parameters:N จ�าน่วน่ของการทด้ลองท�าซ�3าท$3งหมด้

m คอการทด้ลองท�(ส�าเร9จn จ�าน่วน่ของการทด้ลองท�(ส0�มเลอกมา

pmf : ต$วอย�าง: ใน่การโยน่เหร�ยญหน่.(งเหร�ยญ 10 คร$3ง พื่บว�าออกห$ว 4 คร$3ง

ส0�มเลอกต$วอย�างการโยน่มา 5 คร$3ง จงหาความน่�าจะเป็�น่ท�(จ�าน่วน่การ โยน่ได้ ห$วจากต$วอย�างท�(ส0�มเลอกเป็�น่ 1) 5 คร$3งพื่อด้� 2) ไม�เก�น่ 2 คร$3ง

Pmf/pdf ท��ใช้�บ่�อย

12

Normal Distribution ต$วแป็รส0�ม X น่�ยมใช้ อธิ�บายป็รากฏการณิ�หลายอย�างใน่ช้�ว�ตป็ระจ�าว$น่

parameters:μ ค�าเฉล�(ย (mean)

σ คอค�าเบ�(ยงเบน่มาตรฐาน่ (standard deviation)

pdf :

Pmf/pdf ท��ใช้�บ่�อย