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Problema 4.28 do livro do SymonNesta postagem, dou prosseguimento à resolução de problemas de mecânicaclássica que iniciei com a postagem Problema 4-27 do livro do Symon. Destavez, o assunto refere-se ao problema de dois corpos, aplicado para um sistemaestelar binário. Introduzi algumas melhorias na videoaula, como um trechoem que desenho a figura explicativa do enunciado, além de uma apresentaçãoinicial do título do vídeo e, no final, uma apresentação dos créditos. Aindanão incorporei acompanhamento musical a esta videoaula, mas pode ser que euassim o faça nas próximas.
Segue o enunciado do problema:
Agora, a resolução, para acompanhar com o vídeo:
Figura 1: Sistema binário.A primeira parte do problema envolve modificar a Eq. (3.267) do livro do
Symon para o caso em que ambas as massas podem se mover. Então, temosum problema de dois corpos. Na postagem Massa reduzida vemos que a forçagravitacional entre duas partículas continua sendo a mesma quando ambas aspartículas são móveis. A única diferença ocorre quando usamos essa força nasegunda lei de Newton, igualando-a com a massa reduzida vezes a aceleraçãodo vetor posição relativa entre as duas partículas. Então, todas as fórmulas do
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problema decorrem da equação:
µd2 (r2 − r1)
dt2= − GMm
|r2 − r1|3(r2 − r1) . (1)
Quando a massa M está fixa, a massa reduzida fica igual à massa m, que écancelada na Eq. (1) e, no lugar do produto Mm, o que aparece é só M emtodas as fórmulas, inclusive na Eq. (3.267) do livro do Symon. Neste problema,no entanto,
µ =Mm
M +m, (2)
de forma que a Eq. (1) fica
Mm
M +m
d2 (r2 − r1)
dt2= − GMm
|r2 − r1|3(r2 − r1) ,
isto é,
d2 (r2 − r1)
dt2= −G (M +m)
|r2 − r1|3(r2 − r1) . (3)
Em todas as fórmulas, portanto, onde tínhamos apenas M para a situação emque só a massa m era móvel, agora devemos substituir M pela soma M +m.Com isso, a nova Eq. (3.267) fica
τ2 =4π2a3
G (M +m), (4)
onde a é a distância entre as duas partículas, ou o módulo do vetor posiçãorelativa entre as partículas.
Vamos agora resolver a segunda parte do problema 4.28. Neste problema,as massas são iguais e os dados do problema são a magnitude da velocidade dasestrelas, v, e o período τ. Assim, devemos calcular o valor de a e, usando a Eq.(4), encontrar o valor da massa estelar, M. Ora, da Fig. 1 vemos que
a = 2r (5)
e
v =2πr
τ. (6)
Substituindo a Eq. (6) na Eq. (5), obtemos
a =2vτ
2π=vτ
π. (7)
A Eq. (4), agora usando o valor de a da Eq. (7), fica
τ2 =4π2
G2M
v3τ3
π3. (8)
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