Problema Braquistócrona

7/23/2019 Problema Braquistócrona

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Problema deBraquistócronaHistoria de las matemáticas

Universidad Austral, Sede Puerto Montt.

2015

Daniela Ojeda GuerreroPedagogía en Matemáticas

11/01/2015



ÍNDICEIntroducción: ......................................................................................................................................... 3

Desarrollo: ............................................................................................................................................. 6

Problema de braquistócrona: ........................................................................................................... 6

El Principio de Fermat y el reto de Bernoulli. ................................................................................... 8

La ley de Snell y la trayectoria cicloidal: ......................................................................................... 10

Relación con otras áreas de conocimientos ................................................................................... 15

Conclusión: .......................................................................................................................................... 16

Bibliografía: ......................................................................................................................................... 17

Linkografía:.......................................................................................................................................... 17



Introducción:

El problema de braquistócrona o curva de descenso más rápido, proporcionó una nueva área de

las matemáticas, el Cálculo de Variaciones, es uno de los problemas más antiguo referido a este

tipo de cálculo que es una herramienta que permite resolver problemas que a simple vista no

parecen tan sencillos y lógicos. Un caso en particular fue propuesto por Johann Bernoulli en junio

de 1696 en el “Acta Eruditorum”, éste desafió y reto a sus colegas de su época a determinar cuál

era la trayectoria de mínimo tiempo que debía que debía seguir una partícula al deslizarse de un

punto a otro por efectos exclusivamente gravitatorios.

El texto del “Acta Eruditorum” propuesta por el suizo Johannes Bernoulli:

“descubrir la forma que deberá tener un alambre por el cual se desliza sin fricción y por acción de

la gravedad un objeto desde un punto A, a otro punto más bajo B, en el menor tiempo posible”.

Además, añadía que

“… para prevenir juicios apresurados, aunque si bien es cierto que la línea recta AB (línea

punteada) es efectivamente la más corta entre los puntos A y B, ella no es el camino recorrido en el

menor tiempo. Sin embargo la curva AMB cuyo nombre lo daré si nadie la ha descubierto antes que

finalice el año, es bien conocida por los geómetras.”

Las comunidades científicas de ambos lados del Canal de la Mancha estaban tomando partido en elpleito entre Leibniz y Newton por la paternidad del Cálculo.

El plazo fijado por Bernoulli, 1 de Enero de 1697, la solución estaba lista para publicarse, hasta ese

entonces sólo Leibniz tenía un planteamiento válido, sin embargo, solicitó que se ampliara el plazo

de entrega.



Y así fue que Bernoulli anunció la prórroga con un poco de presunción diciendo que no sólo estaba

de acuerdo con la “encomiable propuesta de Leibniz si no que yo mismo he decidido anunciar la

extensión del plazo y por lo tanto ver quien ataca esta excelente y difícil cuestión después de tanto

tiempo.”

Johann Bernoulli, para asegurar que el problema había sido bien entendido, lo repitió añadiendo

que “dentro de la infinita cantidad de curvas que unen ambos puntos, escoger aquella que si es

reemplazada por un tubo delgado o un camino ranurado, donde una pequeña esfera es colocada y

luego soltada, dicha esfera pasará de un punto a otro en el menor tiempo.”

El Problema de Braquistócrona plantea que hay infinitas cantidad de curvas que unen los puntos A

y B. ¿Cómo saber cuál es la adecuada para que se cumpla la condición propuesta, aquella deltiempo mínimo? ¿Cómo determinar la Braquistócrona?

La palabra Braquistócrona se forma con las raíces griegas “braquistos” = el más corto y “cronos” =

tiempo y es así como ahora se conoce a dicha curva.

Más tarde el problema ya tenía respuestas válidas en la redacción de Gaceta Eruditorum tres

respuestas correctas adicionales: la de Sir Isaac Newton de Inglaterra, Jakob Bernoulli (hermano de

Johannes, Suiza) y la del Marqués de l´Hôpital de Francia, además de Johan Bernoulli y Leibniz.



Sin embargo, Newton no se enteró del problema por medio de la Gaceta, sino más bien por una

carta de Johannes que con el enunciado del problema le había hecho llegar a Londres, un poco por

“la puerta falsa”.

Johann Bernoulli, fue directo a Newton, pues tenía como motivo explícito medir la fuerza

intelectual del contrincante inglés.

En ese entonces Sir Isaac Newton de 55 años trabajaba como administrador de la Casa de la

Moneda en Londres.

Relata su sobrina Catherine Barton que el día en que recibió la carta de Bernoulli, Newton había

llegado a su casa a eso de las cuatro de la tarde, muy cansado pues se encontraba en pleno ajetreo

de una acuñación importante.

Sin embargo trabajó hasta las cuatro de la mañana del día siguiente, hora en que encontró la

respuesta.

“No me gusta ser molestado por extranjeros con problemas matemáticos” manifestó con algo de

soberbia, al enviar, sin firmar, su respuesta a la redacción del Acta.

Cuando Bernoulli tuvo en sus manos esta solución anónima reconoció el genio de Newton

exclamando “¡ex ungue leonem!”: reconozco al león por las uñas.

Johann Bernoulli llego a la solución combinando los conocimientos de dos disciplinas: La óptica y

las matemáticas.

Su solución, como muchas de la época sólo se aplicaba a ese caso en particular. Hoy en día la

solución de los problemas de Maximización y/o Minimización de funcionales pertenece a la rama

de matemáticas llamada Cálculo de Variaciones, cuyos padres fueron Euler y Lagrange.

La disciplina de la óptica fue desarrollada por el principio de Fermat: La trayectoria seguida por un

haz de luz entre dos puntos es aquella que resulta en el menor tiempo de viaje. Por tanto la curva

braquistócrona sería simplemente la trayectoria de un haz de luz donde la velocidad luz se

incrementa con una aceleración vertical (la de la gravedad), la cual se detallará en las páginas

siguientes.

Como objetivo principal este informe desbribirá la solución al problema de Braquistócrona

propuesta por Johann Bernoulli, el principio de Fermat, La ley de Snell y la trayectoria cicloidal, yademás su relación con otras áreas



Desarrollo:

Problema de braquistócrona:

Considérese una partícula que se traslada, centro de una campo de fuerzas constantes, desde un

punto (x1, y1), donde inicialmente se halla en reposo, hasta otro punto (x2, y2) más bajo que el

primero. El problema consiste en determinar la trayectoria que permita a la partícula trasladarse de

uno a otro punto en el menor tiempo posible. Situaremos el sistema de referencia de tal forma que

el origen esté en el punto (x1, y1), y el eje x sea paralelo al campo, como se indica en la figura 1.1

Como la fuerza que se ejerce sobre la partícula es constante, si ni tomamos en cuenta fuerzas de

razonamiento el campo será conservativo, siendo la energía total de la partícula T + U = cte. Si

colocamos en el punto x = 0 el origen de potenciales o sea , Ux = 0, entonces, como la

partícula parte del reposo , será T + U = 0.

La energía cinética es T =1

2mv2 y la energía potencial es U =

−Fx =

−mgx, donde g es la

aceleración producida por la fuerza. Así pues,

∇= 2gx (1)

El tiempo necesario para que la partícula se traslade desde el origen hasta el punto (x2, y2) es

t = ds

∇ = dx2 + dy2t

(2gx)t

(x2 ,y2)

(x1 ,y1),

=

1 + y′2

2gx

t

dxx2

x1=0

(2)

(3) Resuelto por primera vez por Johann Bernoulli en 1696.

Que es la cantidad que deseamos sea mínimo. Como

2g

−t es una constante que no afecta a la

ecuación final, podemos admitir que el funcional f es



f = 1 + y′2x

t

(3)

Y así, dado que∂f

∂y= 0, la ecuación de Euler queda

d

dx∂f

∂y´= 0 o bien,

∂f

∂y´= cte. ∎(2a)−t (4)

Derivando f y elevando al cuadrado tendremos

y´2

x(1 + y´2)=

1

2a (5)

Que puede ponerse en la forma

y = xdx

(2ax − x2)t (6)

Hagamos ahora el cambio de variable

x = a(1 − cosθ)

dx = asenθdθ (7)

Con lo cual la integral se transformará en

y = a(1 − cosθ)dθ



Que es precisamente la solución encontrada y, por lo tanto, la constante de integración es nula. La

trayectoria será entonces como se presenta en la figura 2, debiendo determinarse el valor de la

constante para la cicloide pase por el punto (x1 , x2). La solución al problema de la braquistócrona

da verdaderamnete la trayectoria que la partícula recorre en el tiempo mínimo. No obstante, debe

observarse que los procedimientos basados en el cálculo varicional se han establecido únicamnete

para determinar extremales de máximo o de mínimo. En dinámica casi siempre suele buscarse una

condición de mínimo.

El Principio de Fermat y el reto de Bernoulli.

En un medio homogéneo (con el mismo índice de refracción), la luz se propaga en línea recta. En

esta condición es válido afirmar que la distancia más corta entre dos puntos, es la recta que los

une. Cuando durante la propagación de la luz, ésta pasa de un medio a otro medio con diferentes

índices de refracción, su trayectoria estará formada por dos rectas con una discontinuidad justo en

la interfase entre los dos medios y en el punto de incidencia. Esto se debe a que la luz requiere

recorrer una distancia mínima en su trayectoria al cambiar de medio. Pero si ahora el medio de

propagación presenta cambios continuos (heterogeneidades) en el índice de refracción, entonces la

trayectoria que seguirá será una curva. Estas diferentes trayectorias se pueden explicar por el

Principio propuesto por Pierre Fermat (1601-1665) que dice que la luz al propagarse recorre uncamino óptico cuya longitud es extrema (mínima, máxima o sin cambio).



El enunciado del reto de Bernoulli fue: “Dados dos puntos A y B en un plano vertical, ¿cuál es la

curva trazada por un punto que se mueve sólo por gravedad, el cual inicia en A y termina en B en el

menor tiempo posible?”. Para su solución, propuso que una partícula en el punto A viaja en un

medio 1 con una velocidad v1 y un ángulo α1 con la vertical, incide en el punto O y atraviesa al

medio 2 con una velocidad v2 formando un ángulo

α2 con la vertical hasta llegar al punto B (ver

Figura 1).

El tiempo total que le llevaría seria la suma de los tiempos de ambas trayectorias:

Figura 1.1 Diagrama esquemático del Principio de Fermat para hallar la trayectoria de mínimo

tiempo posible de una partícula que se propaga entre dos medios distintos.

Usando relaciones trigonométricas para sustituir los segmentos AO y OB se obtienen:



Para que el tiempo de viaje de la partícula sea mínimo, máximo o sin cambio, se requiere que su

diferencial sea cero, esto es, dt = 0

Diferenciando la expresión (2) e igualando a cero:

Ahora bien, de la Figura 1.1, la suma de los segmentos MO y OR debe ser una constante, esto es:

Diferenciando la expresión (4).

Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (3), se obtiene la expresión:

Si ahora hacemos que estos dos tiempos sean infinitesimales, podemos obtener que para cada

punto de la trayectoria, se cumple:

Esta ecuación puede compararse con la ley de Snell de la refracción de la luz cuando ésta viaja

en diferentes medios.

La ley de Snell y la trayectoria cicloidal:

Uno de los postulados sobre el que está basado gran parte del conocimiento de la física es que la

velocidad de la luz es una constante y viajando en el vacío alcanza el límite máximo de velocidad

que puede existir. Esta constante tiene un valor exacto e igual a c = 2.99792458 × 108 m/s

(Physics Today 2002), en cualquier otro medio diferente al vacío, la luz se propaga con una

velocidad menor. Esta afirmación fue demostrada y obtenida matemáticamente a través de las

ecuaciones de Maxwell (Jackson 1975). Además, otra característica importante es que la luz viaja

siempre en línea recta cuando está presente en un medio homogéneo. Sin embargo, su velocidad ytrayectoria es modificada cuando durante su viaje cambia de medio (fenómeno de la refracción). La

(7)



ley propuesta por Willebrord Snell (1591-1626) permite determinar ese cambio en la magnitud de

la velocidad y de la trayectoria de la luz cuando cambia de medio. Tomando la ecuación (6)

obtenida del principio de Fermat y asumiendo que la velocidad de la luz se modifica al cambiar de

medio, es posible determinar el ángulo de refracción de la luz usando la ley de Snell a través de la

relación (Hecht 2003):

n1senα1 = n2senα2 (8)

Donde n1, y n2, son los índices de refracción de los dos medios definidos como n=c/v, esto es, la

relación entre la velocidad de la luz en el vacío c y la velocidad v con la que viaja en el otro medio

distinto al vacío; y α1, α2, son los ángulos con la vertical con los que la luz incide y se refracta,

respectivamente. Dado que v es siempre menor a c, entonces, el índice de refracción n presenta

siempre un valor superior o igual a 1. Un ejemplo muy sencillo para entender este efecto de

refracción es el que se observa cuando se introduce un objeto en el fondo de un vaso inicialmente

vacío (en realidad hay aire con n1 =1.0002926). Supongamos que mirando con un ángulo de 30° conla vertical, desde el borde del vaso hacia el fondo no podemos ver el objeto del fondo. Ahora

llenemos poco a poco el vaso con agua (n2 =1.333). Si mantenemos el mismo ángulo de la visión

desde el borde, veremos que al ir subiendo el nivel del agua, el objeto del fondo del vaso irá

apareciendo paulatinamente en nuestro campo visual. Esto se debe a que la luz se refracta a

ángulos menores al ir de un medio de menor índice de refracción, a uno de mayor valor y ocasiona

que nuestro campo visual del fondo del vaso, se incremente. Si asumimos que los medios son

únicamente aire y agua, entonces, al incidir un haz de luz en el aire con un ángulo de α1 =30°

respecto de la vertical en la interfase, la luz, de acuerdo a la ecuación (8), se refractará en el agua

con un ángulo de

α2 =22°. La Figura 2 muestra un esquema representativo de la ley de Snell. De la

relación de Snell podemos afirmar que si n1<n2, entonces, α1 > α2. Si la luz se propaga del agua

hacia el aire, la ecuación (8) sigue siendo válida.



Figura 2. Esquema de la Ley de Snell mostrando la interfase entre dos medios diferentes (n1<n2).

Considerando la relación obtenida con el principio de Fermat, entonces las ecuaciones (7) y (8) son

similares y pueden re-escribirse en forma general como:

Donde v1 y v2 son las velocidades con las que viaja la partícula (la luz tiene la dualidad onda-

partícula) en los diferentes medios. La ecuación (9) puede ser generalizada para cualquier número

de medios y espesores de los mismos. La ley de Snell, de la refracción de la luz, es obtenida

considerando que cuando ésta se propaga de un punto a otro lo hace siguiendo un camino óptico

cuya longitud es un mínimo, un máximo o no cambia (Principio de Fermat) (Luetich 2002).

Ahora el reto es hallar la función f(x) de la trayectoria que tiene que seguir la partícula (como la luz)

para que realice el mínimo tiempo posible durante su viaje en un deslizamiento donde sólo

interviene el efecto de la gravedad. Para determinar esta función, utilicemos el Principio de Fermat,

la ley de Snell y los conceptos más simples de una función matemática. Consideremos la función

f(x) de la Figura 3. Sea P(x,y) un punto de la trayectoria con pendiente f´(x)= dx/dy= tg . Asumiendo

que la partícula parte del reposo (vi = 0) desde una posición (0, 0) y se desplaza por gravedad a lo

largo de dicha trayectoria f(x), la energía potencial inicial se va transformando en energía cinética,

adquiriendo una velocidad v en cualquier punto P(x,y) de la trayectoria dada por:



Siendo donde F = 2g es una constante con g = 9.81 m/s2, la aceleración de la gravedad e y la

coordenada vertical de la partícula en cualquier instante de tiempo t.

Figura 3. Función-trayectoria analizada en este trabajo

Sustituyendo la ecuación (10) en la ecuación (9):

Que puede escribirse como:

De acuerdo con la Figura 3, la función sen2 α puede re-escribirse usando las siguientes identidades

trigonométricas.

Sustituyendo la ecuación (13) en la ecuación (12) nos arroja la relación

donde el término K2/2g es otra constante.

La ecuación (14) es una ecuación diferencial cuya solución describe una curva llamada cicloide. La

constante asociada, no modifica la forma general de su solución. Esto significa que la solución

puede ser empleada tanto con partículas inerciales, como con partículas, como la luz, que viajan aalta velocidad. La cicloide es la curva generada por un punto de una circunferencia generatriz al



rodar sobre una línea recta directriz sin que haya deslizamiento. La constante K2/2g =2R, indica la

altura máxima que alcanza la cicloide, siendo R el radio de la circunferencia generatriz. La cicloide

tiene su eje de simetría en el punto (πR, 0) y una longitud de onda de∎ = 2πR. La figura 4 muestra

la forma de esta curva generada. Dado que la curva es obtenida a través del Principio de Fermat,

podemos afirmar que con la función-trayectoria y(x), se obtiene el mínimo tiempo de viaje. La

solución de la ecuación (14) depende exclusivamente del radio R generatriz.

Este tiempo mínimo de viaje se puede calcular si se considera la primera mitad de la cicloide

dibujada en la figura 4 como la trayectoria. Este segmento de cicloide que produce el tiempo

mínimo de viaje es conocido como la braquistócrona que significa “de tiempo más breve” (Ruiz-

Felipe 2004).

La solución de la ecuación diferencial (14) puede expresarse mediante las ecuaciones paramétricas

(Purcell 2007) dadas por:

Donde el valor de θ es válido entre 0 y 2π.

Para determinar el tiempo que le toma a la partícula en conseguir la trayectoria, se usará la

definición de velocidad.

(16)

Sustituyendo la longitud de arco ds determinado de la relación.

y la ecuación (10) para v, en la ecuación (16), se obtiene después de un tratamiento algebraico:

Integrando entre 0 y π (media cicloide), el tiempo en seguir la trayectoria de media cicloide es:

Figura 4. Curva cicloide y su circunferencia generatriz.

Luego, el tiempo mínimo de caída sólo depende del valor del radio generatriz R. Este tiempo

calculado en la ecuación (19) es considerado como un tiempo mínimo dado que proviene de laecuación obtenida con el Principio de Fermat.



Relación con otras áreas de conocimientos

La braquistócrona se puede apreciar muy bien con un aparato construido por el italiano Francesco

Spighi en 1775.

El braquistócrona de Spighi tiene un riel o surco de madera de forma cicloidal, apoyado en dos piescon tornillos para ajustarlos. Paralelo al cicloide hay otro canal recto que cruza la curva.

La inclinación del surco recto puede variarse, apoyándolo en los clavos que bordean la cicloide.Mediante una palanca se sueltan dos bolitas por los dos rieles simultáneamente. Sea cual sea lainclinación que le demos al surco recto, la bolita que se desplaza por la cicloide siempre llega antesal punto de encuentro.

Lamentablemente, no sabemos casi nada del constructor de este fascinante instrumento.

Nacido en Florencia, parece haber sido un constructor de muebles y armarios que terminótrabajando para el Imperiale e Regio Museum. Sus aparatos pueden verse hoy en el Gabinete deFísica del mismo.



Conclusión:

A través de esta investigación puedo concluir la importancia que generó la solución del problema

de braquistócrona propuesta por Johann Bernoulli en el año 1696, ya que dio a lugar una nueva

área en las matemáticas, el Cálculo de Variaciones que constituyen una generalización del cálculoelemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable, cuya herramienta se conoce

actualmente.

En la solución del problema de braquistócrona se desarrollo en un contexto de historia a través de

un reto propuesta por Johann Bernoulli declarado en el Acta Eruditorum hacia los colegas de éste,

de la cual intervinieron múltiples matemáticos, sin embargo, entre ellos destaco a Isaac Newton

quién a través de una carta se entero del problema propuesto, y tan sólo en menos de un día dio

respuesta al problema, considerándose un genio entre los matemáticos.

Además de que éste problema se apreció en el principió de Fermat, que nos da un claro ejemploasociado a la curva de braquistócrona, la cual la podemos encontrar en la trayectoria de un haz de

luz donde la velocidad se incrementa con una aceleración vertical de la gravedad, como se

mencionó y específico en las páginas anteriores.

Como conclusión final a través del estudio del problema de braquistócrona señala que la línea recta

no es la que permite el descenso más rápido, sino una curva la que llamamos braquistócrona,

también llamada como cicloide, para llegar esta solución se requirió de Cálculo de Variaciones, con

ellos el estudio de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

Y también, la importancia que genera el estudio de la Historias de las Matemáticas que nos permite

contextualizar el tema e indagar más a la solución del problema, el origen el por qué es necesario

resolver el problema, la naturaleza del problema, el recorrido a través del tiempo y la intervención

por partes de diversos matemáticos, y sus aplicaciones actuales.



Bibliografía:

Argáez-Mendoza, S., Oliva, A. L., (2011). El principio de Fermat, la braquistócrona y ¿la curvatura dela luz?Ingeniería, Revista Académica de la FI-UADY, 15-1, pp 47-55, ISSN: 1665-529-X.

Luetich J.J. (2002) Ley de Snell, formalización de Descartes y Principio de Fermat. LuventicusAdolescentes,Academia de Ciencias Luventicus, Rosario, Argentina.

Ruiz-Felipe, J. (2004). Un bello problema de Física: Perspectiva histórica. Sociedad de la

Información, 9 (5668).

Linkografía:

Gonzalo Aguilar Q.. (1996). El problema mecánico de Abel. de Departamento de Física y

Matemáticas, Universidad de las Américas Puebla. Sitio web:

http://miscelaneamatematica.org/Misc24/aguilar.pdf

Marcelo Dos Santos. (1). La garra del león. 1, de LAS REVISTAS AXXÓN Sitio web:

http://axxon.com.ar/rev/127/c-127Divulgacion.htm







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