Subtema 1.4.2. Problemas de equilibrio de la partícula en el plano.

1.- Calcular el ángulo, la tensión y el empuje de la siguiente armadura:

T

E

θ= ¿

900 N

E

T

Tx

T y

θ= ¿

3 m

5 m

Solución: Primero debemos hallar el ángulo que forma la tensión T con el eje x: Vemos que la componente Y, del triángulo rectángulo es de 3 metros y la componente X, es de 5 metros, por lo cual vienen siendo los catetos opuesto y adyacente del ángulo en cuestión por lo cual se puede utilizar la función trigonométrica tangente: (cateto opuesto entre adyacente):

tan θ= 3 m = 0.6 . θ = tan-1 0.6 = 31°. 5 m Una vez hallado el ángulo ya podemos hallar la

tensión y el empuje.

Cuadro de fuerzas.

F θ comp. X comp. Y T 31° -T cos 31° T sen 31° E 0° E 0 W 0° 0 -900 N

ΣFx = -T cos 31° + E = 0 ΣFy =T sen 31°- 900 N =0

De la ΣFx, pasamos -T cos 31° del otro lado de la igualdad con signo positivo.

ΣFx = E = T cos 31° , ahora sacamos el coseno de 31° . E = T (0.8571). Como desconocemos E y T, ésta última expresión queda como la ecuación 1.

Ahora de la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFy = T sen 31° = 900 N. Ahora se saca el seno de 31°. ΣFy = T (0.5150) = 900 N. De esta expresión despejamos la tensión T.

T = 900 N = 1747.57 Newtons. 0.5150 Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor

del empuje E: E = 1747.57 N x 0.8571 = 1498.02 Newtons. Entonces los resultados son: θ = 31°, T = 1747.57 N,

E = 1498.02 N.

2.- Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y T2 de la figura siguiente que soportan un peso de 300 N.

300 N

34° 56°

T1T2

Diagrama de cuerpo libre.

T1

56º

T2

34ºX

Y

Cuadro de fuerzas.

F θ comp. X comp. Y T1 56° T1cos 56° T1 sen 56° T2 34° -T2 cos 34° T2 sen 34° W 0° 0 -300 N ΣFx = T1cos 56°-T2 cos 34° = 0. ΣFy =T1 sen 56° + T2 sen 34°-300 N = 0. De la ΣFx, pasamos T2 cos 34°, del otro lado de la igualdad con

signo positivo: ΣFx = T1cos 56° = T2 cos 34°. Ahora sacamos los cosenos de

los ángulos: ΣFx = T1 x 0.5591 = T2 x 0.8290. Ahora despejamos T1, para

expresarlo en relación a T2 en una sola cantidad: T1 = 0.8290 T2 0.5591

T1 = 1.4827 T2. Ecuación 1. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente como la ecuación 1. Seguimos con la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo:

ΣFy =T1 sen 56° + T2 sen 34° = 300 N. Ahora sacamos los senos de los ángulos: ΣFy = T1 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N. Ahora, sustituimos el valor de T1, obtenida en la ecuación 1: ΣFy = 1.4827 T2 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N. Se realizan las multiplicaciones: ΣFy = T2 (1.2291) + T2 (0.5591) = 300 N.

Dado que las dos cantidades tienen como factor común a T2, entonces se pueden sumar:

ΣFy = T2 (1.7882) = 300 N. Ahora despejamos a T2: T2 = 300 N = 167.76 newtons. 1.7882

Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor de T1: T1 = 1.4827 x 167.76 N = 248.73 newtons.

Entonces los valores de T1 = 167.76 N y T2 = 248.73 N.

3.- Un tanque de acero debe colocarse en la fosa mostrada en la figura de abajo. Sabiendo que α = 20°, determínese la magnitud de la fuerza P requerida si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe de ser vertical.

Diagrama de cuerpo libre.

ά= 20º

P= ?

30º

425 lb

X

Y

R

Cuadro de fuerzas.

F θ comp X comp. Y P 20° P cos 20° P sen 20° 425 lb 30° - 425 cos 30° 425 sen 30° ΣFx = P cos 20° - 425 cos 30° = 0. ΣFy = P sen 20° + 425 sen 30° = 0. ΣFx = P cos 20° = 425 cos 30°. ΣFx = P (0.9396) = 425 (0.8660). ΣFx = P (0.9396) = 368 lb. Despejando P

tenemos: P = 368 lb = 391.7 lb. 0.9396

4.- Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se muestra en la figura. Determínese la tensión en el cable AC.

Diagrama de cuerpo libre.

TAC

50ºX

Y

30º

TCB

P = 500 N.

Cuadro de fuerzas.

F θ comp. X comp. Y TAC 50° TAC cos 50° TAC sen 50° TBC 30° - TBC cos 30° TBC sen 30° W 0° 0 - 500 N ΣFx = TAC cos 50° - TBC cos 30° = 0. ΣFx = TAC cos 50° = TBC cos 30°. ΣFx = TAC (0.6427) = TBC (0.8660). Despejando

TAC tenemos: TAC = TBC 0.8660. = TAC = TBC 1.3474 ec. 1. 0.6427

ΣFy = TAC sen 50° + TBC sen 30° - 500 N = 0. Pasando el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFy = TAC sen 50° + TBC sen 30°= 500 N. Sacando los senos de los ángulos: ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N Sustituyendo el valor de TAC de la ecuación 1, tenemos: ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N ΣFy = TBC (1.3474) (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N. Efectuando la multiplicación: ΣFy = TBC (1.0321) + TBC (0.5) = 500 N. Como TBC es un factor

común a ambas cantidades, estas se pueden sumar: ΣFy = TBC ( 1.5321) = 500 N. Despejando el valor de TBC

tenemos: TBC = 500 N = 326.34 Newtons. 1.5321 Para encontrar el valor de TAC regresamos a la ecuación 1: TAC = TBC 1.3474 TAC = 326.34 N x 1.3474 = 439.7 Newtons.

4.- La vista desde el helicóptero en la figura de abajo muestra a dos personas que jalan a una obstinada mula. Encuentre la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza resultante igual a cero. Las fuerzas se miden en Newtons.

Diagrama de cuerpo libre.

F1= 120 N

60º

F2= 80 N

75º

R

X

Y

Cuadro de fuerzas.

F θ comp X comp. Y F1 60° 120 N cos 60° 120 N sen 60° F2 75° - 80 N cos 75° 80 N sen 75° R 0° 0 0. ΣFx = 120 N cos 60°- 80 N cos 75°. ΣFx = 120 x 0.5 - 80 N x 0.2588 ΣFx = 60 N – 20.70 N = 39.3 N i componente en x. ΣFy = 120 N sen 60°+ 80 N sen 75°. ΣFy = 120 N (0.8660) + 80 N (0.9659) ΣFy = 103.92 N + 77.27 = 181.19 N j componente en y.

Este problema se resolvió en una forma diferente a los 3 primeros, lo que se hizo, fue hallar las componentes de la resultante de las dos fuerzas que ejercen las dos personas, en este caso 39.3 N y

181.19 N, pero como lo que se pide en el problema es la fuerza que ejercería una tercera persona para que la fuerza resultante sea cero, entonces la respuesta del ejercicio es:

R = - 39. 3 N i (componente en X) y – 181.19 N j (componente en Y). Expresado en las componentes rectangulares de la fuerza. Recordando que el vector equilibrante es de la misma magnitud, y dirección que la fuerza resultante, pero de sentido contrario.