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Problema de TransporteMÉTODOS QUANTITATIVOS DE GESTÃO
MQG
Aula 3
Problemas de Rede
2
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Problemas de Rede✓ Os problemas modelados como redes devem apresentar números
associados aos nós e aos arcos
✓ O significado de cada valor irá variar de acordo com o tipo de problema com o qual queremos encontrar uma solução
✓ No caso de problemas de transportes modelados como redes, os números associados aos nós podem representar a quantidade de produto ofertada ou demandada pelo nó
✓ No caso dos valores dos arcos podem refletir o custo do transporte, ou o tempo ou a distancia entre um nó e outro, por exemplo
Aula 03 - Problema de Transporte 3
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Problemas de Rede✓ Problemas de rede de distribuição são problemas que consideram
múltiplas fontes, centros consumidores e locais intermediários por onde os produtos passam
✓ Os problemas de transporte podem ser vistos como uma simplificação do problema de rede de distribuição de custo mínimo, onde as localizações intermediárias não existem
Aula 03 - Problema de Transporte 4
Problema de Transporte
5
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Problema de Transporte✓ Transportar itens de centros de origens a centros de destinos
✓ São dados conhecidos do problema:✓ O custo de transporte de cada item
✓ As quantidades dos itens disponíveis em cada centro
✓ Demandas de cada consumidor
✓ O transporte deve ser efetuado de modo que as limitações de oferta em cada centro seja respeitada e a demanda de cada mercado atendida e o custo total de transporte seja mínimo
✓ Ferramenta para tomada de decisão
Aula 03 - Problema de Transporte 6
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Modelo do Problema✓ Na elaboração do modelo, devemos considerar✓ n° de unidades transportadas da fonte i para o destino j como sendo
variável 𝒙𝒊𝒋✓ n° total de unidades transportadas, a partir da fonte i, deve ser igual à
capacidade ai da fonte
✓ n° total de unidades transportadas, para o destino j, deve ser igual à sua capacidade de absorção bj
Aula 03 - Problema de Transporte 7
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Grafo do Problema
Aula 03 - Problema de Transporte 8
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Equacionamento do Problema✓ Minimizar
✓ Sujeito a
Aula 03 - Problema de Transporte 9
𝑧 =
𝑖=1
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑐𝑖𝑗, 𝑥𝑖𝑗
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 (𝑖 = 1,2,……𝑚)
𝑥1, 𝑥2,.............,𝑥𝑛 ≥ 0
𝑗=1
𝑛
𝑥𝑖𝑗 = 𝑏𝑗 (𝑗 = 1,2,……𝑚)
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Equacionamento do Problema✓ Para que o problema tenha solução, deve-se verificar a seguinte
equação de balanço
OFERTA = DEMANDA
Aula 03 - Problema de Transporte 10
𝑖=1
𝑚
𝑎𝑖 =
𝑗=1
𝑛
𝑏𝑗
Problema de TransporteEXEMPLO
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Exemplo Enunciado✓ Uma indústria metalúrgica possui dois centros de produção e três
mercados consumidores✓ m = 2
✓ n = 3
✓ Considerando que:✓ xij é a quantidade do produtos a serem enviados dos centros de
produção i aos mercados consumidores j
✓ cij é o custo unitário do transporte de uma atividade de produto do centro de produção i ao mercado consumidor j
Aula 03 - Problema de Transporte 12
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Exemplo Grafo
Aula 03 - Problema de Transporte 13
F1-800+5004
+400
2
4+900
-1.000 5
117
F2
D1
D2
D3
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Exemplo Tabela
Aula 03 - Problema de Transporte 14
D1 D2 D3 Disponibilidade
F1 4 2 5 800
F2 11 7 4 1.000
Demanda de mercado (bj)
500 400 900 1.800
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Exemplo Função✓ Minimizar: 𝑧 = 𝑓(𝑥11, 𝑥12, 𝑥13, 𝑥21, 𝑥22, 𝑥12, 𝑥23 )
𝑧 = 4𝑥11 + 2𝑥12 + 5𝑥13 + 11𝑥21 + 7𝑥22 + 4𝑥23
Aula 03 - Problema de Transporte 15
F1-800+5004
+400
2
4+900
-1.000 5
117
F2
D1
D2
D3
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Exemplo Restrições✓ Capacidade das fontes:
✓ 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 = 800
✓ 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 = 1.000
✓ Capacidade das destinos: ✓ 𝑥11 + 𝑥21 = 500
✓ 𝑥12 + 𝑥22 = 400
✓ 𝑥13 + 𝑥23 = 900
✓ Não negatividade: ✓ 𝑥11, 𝑥12, 𝑥13, 𝑥21, 𝑥22, 𝑥23 ≥ 0
Aula 03 - Problema de Transporte 16
F1-800+5004
+400
2
4+900
-1.000 5
117
F2
D1
D2
D3
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Exemplo Modelo matemático✓ Minimizar: 𝑧 = 𝑓(𝑥11, 𝑥12, 𝑥13, 𝑥21, 𝑥22, 𝑥12, 𝑥23 )
𝑧 = 4𝑥11 + 2𝑥12 + 5𝑥13 + 11𝑥21 + 7𝑥22 + 4𝑥23
Restrições: capacidade das fontes: 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 = 800
𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 = 1.000
capacidade das destinos: 𝑥11 + 𝑥21 = 500
𝑥12 + 𝑥22 = 400
𝑥13 + 𝑥23 = 900
não negatividade: 𝑥11, 𝑥12, 𝑥13, 𝑥21, 𝑥22, 𝑥23 ≥ 0
Aula 03 - Problema de Transporte 17
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Exemplo Solução Ótima
Aula 03 - Problema de Transporte 18
D1 D2 D3 Fabricado Capacidade
F1 500 300 0 800 800
F2 0 100 900 1.000 1.000
Entregue 500 400 900 1.800
Demanda 500 400 900 1.800
Problema de TransporteAPLICAÇÃO DO MÉTODO SIMPLEX
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Obtenção de uma solução viávelMétodo do canto noroeste (N-W)
Método do mínimo da matriz de custos
Método de Vogel
Aula 03 - Problema de Transporte 20
Método SimplexCANTO NOROESTE (NW)
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Canto NW✓ À partir da tabela de transporte, a variável básica escolhida é, em
cada quadro, a variável situada no canto superior esquerdo (daqui o nome de canto NW (NorthWest)
✓ A primeira variável básica escolhida será sempre x11, depois que tenha sido traçada a coluna 1 ou a linha 1, será escolhida como variável básica x12 ou x21 respectivamente, e assim sucessivamente até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas
✓ Este método é de aplicação muito fácil, mas tem como grande inconveniente o fato de não considerar os custos envolvidos
Aula 03 - Problema de Transporte 22
Canto Noroeste EXEMPLO
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Exemplo Enunciado✓ O grupo CVB, um grande fabricante de autopeças, têm 3 Fábricas e
conta com 4 Centros de Distribuição, localizados em cidades estratégicas, para atender a demanda dos seus produtos manufaturados para diversas montadoras.
✓ Conhencendo os custos de transporte e a capacidade de produçao, tanto em termos de cada fábrica bem como dos centros de distribuição, desenvolva uma proposta de otimização (minimizar custos) de entregas diárias ao CD´s de modo a atender a solicitação das montadoras conforme grafo a seguir
Aula 03 - Problema de Transporte 24
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Exemplo Grafo
Aula 03 - Problema de Transporte 25
7
11
12
9
14
13
17
12
4
8
6
1
F1 = 1.200
F2 = 800
F3 =1.000
CD1 = 800
CD2 = 700
CD3 = 600
CD4 = 900
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𝑍 = 800 × 7 + 400 × 11 + 300 × 13 + 500 × 17 + 100 × 6 + 900 × 8 = 30.200
CD1 CD2 CD3 CD4 Oferta
F1 800 400 0 0 1.200
F2 0 300 500 0 800
F3 0 0 100 900 1.000
Demanda 800 700 600 900 3.000
Exemplo Tabela Canto NW
Aula 03 - Problema de Transporte 26
7
14
1 4
13
11
6
17
12 9
12
8
Método SimplexCUSTO MÍNIMO
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Custo Mínimo✓ A variável básica escolhida é a variável que corresponde ao menor
custo (em caso de empate a escolha é arbitrária)
✓ A primeira variável básica escolhida será sempre a de menor custo, depois será escolhida como variável básica a de menor custo no quadro resultante relativo ao que foi traçado, e assim sucessivamente, até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas
✓ Este método, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução ótima que o método anterior, já que são considerados os custos de transporte envolvidos
Aula 03 - Problema de Transporte 28
Custo MínimoEXEMPLO
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𝑍 = 800 × 1 + 300 × 11 + 200 × 13 + 200 × 4 + 600 × 17 + 900 × 9 = 25.800
CD1 CD2 CD3 CD4 Oferta
F1 0 300 0 900 1.200
F2 0 200 600 0 800
F3 800 200 0 0 1.000
Demanda 800 700 600 900 3.000
Exemplo Custo Mínimo
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7
14
1 4
13
11
6
17
12 9
12
8
ExercícioESTE É COM VOCÊS
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Exercício✓ A Empresa Beta SA é um fabricante de eletrodomésticos que possui fabricas
localizadas em São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte. A produção da empresa deve entregar produtos em CD´s localizados em Recife, Betim, Itatiaia, Novo Hamburgo e Salvador. A Empresa fez orçamento com duas transportadoras denominadas A e B. Considerando os custos de frete unitário oferecidos pelas duas transportadoras, a capacidade de produção das fábricas e a demanda dos centros consumidores, determine quanto deve ser entregue por fabrica em cada centro consumidor de forma a minimizar os custos de transporte. Utilize as tabelas a seguir como referencia.
✓ Avalie pelos métodos de Canto noroeste e do custo mínimo.
✓ Compare os resultados e defina qual transportadora deve ser escolhida.
Aula 03 - Problema de Transporte 32
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Exercício Transportadora A
A Recife Betim ItatiaiaNovo
HamburgoSalvador Oferta
SP 3.000
RJ 2.100
BH 2.800
Demanda 1.900 2.400 1.850 1.150 600
Aula 03 - Problema de Transporte 33
10
15
12
15
13
7
12
12
7
17
20
14
16
16
15
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Exercício Transportadora B
B Recife Betim ItatiaiaNovo
HamburgoSalvador Oferta
SP 3.000
RJ 2.100
BH 2.800
Demanda 1.900 2.400 1.850 1.150 600
Aula 03 - Problema de Transporte 34
12
16
11
14
12
8
11
12
9
18
18
12
15
16
12