Problema Prototipo Unidad 4

8/9/2019 Problema Prototipo Unidad 4

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Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales

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Dinmica poblacional, un fenmenoque incita al clculoLas caractersticas de la vida en las sociedades huma-nas del pasado y presente siglo no pueden preverse sin

tener en cuenta los constantes cambios que aconte-cen en el desarrollo general de la sociedad, los cuales,debido a la globalizacin, imprimen destacadas par-ticularidades a la dinmica de la poblacin en el en-torno social.

Diversas agrupaciones sociales, incluyendo el Fondo de Poblacin de las Na-ciones Unidas (FPNU; en ingls United Nations Population Fund:UNFPA), hanexpresado su preocupacin por la fuerte incidencia del crecimiento poblacional enlo que tiene que ver con las emisiones de gases de efecto invernadero y su alto im-

pacto en el cambio climtico (vase la primera unidad), puesto que diversas pro-yecciones resultantes del estudio y tratado de la dinmica de poblaciones a partirde modelos matemticos establecen un incremento de entre mil y cuatro mil millo-nes de habitantes en el mundo para el ao 2050. Sin duda la mayor incidencia esta-r en las grandes ciudades, a donde acuden corrientes migratorias en busca demayores oportunidades laborales, de educacin y de condiciones de vida. De estaforma el crecimiento de las ciudades y la urbanizacin del mundo constituyen unosde los hechos ms importantes de los tiempos modernos; el predominio de lasciudades puede considerarse consecuencia de la concentracin de actividades yservicios.

En el siglo pasado por ejemplo, Mxico cambi de ser un pas rural a uno don-de la mayor parte de la poblacin vive en localidades urbanas (mayores a 2 mil500 habitantes). Las entidades federales predominantemente urbanas son el Distri-to Federal, Nuevo Len, Baja California y Coahuila; en contraste, en Oaxaca, Chia-pas e Hidalgo menos de la mitad de su poblacin habita en localidades urbanas. Lamigracin del campo a las ciudades, y ms recientemente el intenso movimientode personas entre ciudades son dos de las fuerzas que definen el patrn de distri-

bucin actual de la poblacin en Mxico. Hablamos de una poblacin que ha sufri-do una profunda transformacin demogrfica. En 1900 haba poco ms de13 millones de habitantes en nuestro territorio nacional, para el 2000 casi se alcan-zaron los 100 millones y de acuerdo con los resultados del II Conteo de Poblacin

y Vivienda 2005, realizado por Instituto Nacional de Estadstica y Geograf a(INEGI), la poblacin mexicana en el 2005 era de 103.3 millones de habitantes. Apesar de la reduccin en la tasa de crecimiento, el incremento neto de la poblacinen el periodo 2000-2005 fue de casi 5.8 millones de personas, es decir, se tuvo un

DESARROLLO

Ests trabajando para predecir el comportamiento de unfenmeno natural y/o proceso social a partir de un modelo

matemtico que lo representa (funcin logartmica, exponencialo polinomial), empleando las propiedades y leyes de la derivada al

momento de aplicarla, tales como un cociente, producto, funcincompuesta de las funciones indicadas anteriormente, para explicar su

presencia en el entorno en un contexto y tiempo determinados.


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U4LA DERIVADA EN LA EXPLICACIN DE LOS FENMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES

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crecimiento del 1% anual. Segn las proyecciones que se muestran en el grfico 1 yelaboradas por el Consejo Nacional de Poblacin (CONAPO), la poblacin seguircreciendo hasta alcanzar cerca de 130 millones en el ao 2040, para posteriormen-te iniciar lentamente su descenso.

Grfico 1 Poblacin y tasa de crecimiento total en Mxico, periodo 1900-2050.

Cabe destacar del grfico anterior que la relacin de la poblacin y el crecimientode la misma en un instante dado matemticamente se modela a partir de una rela-cin funcional y la respectiva derivada en un tiempo dado (primera unidad delpresente libro). Dicho de otra forma, siP(t) representa el nmero de individuos decierto pas en el tiempo t (vase la grfica de barras anterior), entonces el creci-miento instantneo de la poblacin es precisamente la derivada de la funcinP(t).

El objetivo de estos modelos matemticos es explicar o predecir el nmero dela poblacin en determinado tiempo, la cual se expresa con la funcinP(t), quecuenta el nmero de individuos presentes en el instante t. Aunque la funcinP(t)necesariamente toma valores enteros, cuando el nmero de individuos es grandese toma como una funcin de valores reales, continua y varias veces derivable. Losmodelos que describen la dinmica poblacional se basan en leyes de crecimientode la poblacin, mismas que son funciones definidas por la razn de cambio dP/dtde la poblacin por unidad de tiempo.

El modelo exponencial introducido por Thomas Malthus (1776-1834) en 1798,

supone tasas de nacimientos y muertes (con relacin al total de la poblacin) cons-

tantes en el tiempo.Es decir,dP

dt r r P rP n m( )= = ,donde rnes la tasa (instantnea)

de nacimientos (por individuos y por unidad de tiempo) y rmla tasa de muertes. Laresta de ambas es la tasa de crecimiento neto rde la poblacin. Este modelo suponeque las tasas son determinadas de alguna manera por los mecanismos de repro-duccin, crecimiento y muerte de la poblacin, los cuales se mantienen fijos en eltiempo.


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El modelo exponencial no puede ser indefinidamente vlido, ya que tendraque llegar un momento en que los recursos llegan a su mxima capacidad, limitan-do la tasa de crecimiento, pero puede ser apropiado en los trminos de corto plazo.En el caso de las poblaciones humanas el crecimiento exponencial se puede soste-ner por periodos largos si los recursos aumentan a medida que crece la poblacin,mediante el desarrollo tecnolgico. La solucin del modelo exponencial es precisa-mente el tema central de esta unidad del libro, y para determinarla necesitamos

construir la herramienta matemtica y propia del clculo que responda a la si-guiente pregunta obligada, cmo determinar la poblacinP(t) a partir de la razn

instantnea de cambio,dP

dt? Es decir, hablamos del proceso inverso que estudia-

mos en la primera unidad del libro, determinar la funcin cuya derivada sea elcrecimiento instantneo de la poblacin. Ms adelante en esta unidad se describea partir del concepto de movimiento, eje rector del libro, la construccin y desarro-llo de tan importante herramienta matemtica denominada antiderivada oInte-

gral indefinida.

1 Con base en el texto anterior y una pertinente investigacin contesta las si-guientes preguntas.

1. Qu mide la tasa de crecimiento de la poblacin?

2. Si quisieras tener una idea exacta acerca de las tendencias del crecimiento de la pobla-

cin de un pas, tomaras en cuenta la tasa media de crecimiento anual de un slo ao,

o de un periodo de varios aos? Explica por qu.

3. Contesta brevemente cada una de las siguientes preguntas

a. Cules son posibles razones de la disminucin de las tasas de mortalidad y de na-

talidad en el mundo?

b. Cul es la causa del mpetu demogrfico? Cules son sus consecuencias?

Se recomienda visitar lossiguientes enlaces de

inters: CONAPO - http://www.conapo.gob.mx/,

INEGI - http://www.inegi.org.mx, y BANCO MUN-

DIAL (Programa educativo

sobre el desarrollo) - http://www.worldbank.org/

depweb/spanish/.v

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U4LA DERIVADA EN LA EXPLICACIN DE LOS FENMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES

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c. En qu forma podra el aumento de la urbanizacin influir en las condiciones am-

bientales de un pas?

d. Hasta qu punto resulta afectada la situacin econmica, ambiental o social de tu

nacin por los movimientos migratorios entre tu pas y otros pases o entre las zonasrurales y urbanas de tu pas?

e. Qu tipo de servicios y de apoyo puede proporcionar un gobierno a sus ciudada-

nos para ayudar a desacelerar la tasa de crecimiento de la poblacin? Explica por

qu crees que esas estrategias pueden ser tiles.

f. Cules podran ser algunas de las razones por las que las mujeres con educacin

bsica por lo general tienen un menor nmero de hijos que aquellas que no alcanzan

ese nivel educativo?

4. Calcula la tasa anual de crecimiento de la poblacin de los pases A, B y C utilizando los

datos del cuadro siguiente:

Poblacin alcomienzo del ao

Poblacin al finaldel ao

Aumento de la po-blacin durante el

ao

Tasa anualde crecimiento dela poblacin (%)

Pas A 22.000.000 22.400.000

Pas B 8.500.000 8.800.000

Pas C400.000.000 410.000.000

Las tasas medias de crecimiento anual de la poblacin a lo largo de varios aos dan una

idea ms exacta que las tasas anuales. Para calcular una tasa de crecimiento durante un

periodo ms largo que un ao es necesario utilizar frmulas matemticas ms compli-

cadas que la utilizada para calcular una tasa anual.


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5. Las tasas de crecimiento de la poblacin son cifras pequeas pero producen grandes

efectos en la poblacin. Para ver lo que esto significa, realiza los siguientes ejercicios

a) Supongamos que la poblacin mundial a comienzos de 2000 era de aproximada-

mente 6.000 millones. Si la tasa media anual proyectada de crecimiento de la pobla-

cin mundial en ese ao fue de 1.1%, cuntas personas ms se habrn agregado a

la poblacin mundial en 2001?

b) Si en 2000 la poblacin mundial hubiera crecido a una tasa del 0,2%, es decir a la

misma tasa proyectada del Reino Unido, cuntas personas ms se habran agrega-do a la poblacin mundial en 2001?

c) Si en 2000 la poblacin mundial hubiera crecido a una tasa de 1,7%, es decir a la

misma tasa proyectada de Kenya, cuntas personas ms se habran agregado a la

poblacin mundial en 2001?

d) Utiliza tus respuestas a las preguntas a, b y c para elaborar en tu cuaderno un escrito

simple donde expliques en trminos generales la relacin que existe entre las tasas

de crecimiento de la poblacin y el cambio de tamao de una poblacin.

Detrs de todas, o casi todas las actividades que los seres humanos realizamos demanera cotidiana, existe una gran infraestructura tecnolgica basada en modelosmatemticos. Podra decirse que gracias al esfuerzo de matemticos, ingenieros, f-sicos, qumicos, bilogos y otros especialistas nuestro quehacer cotidiano se ha sim-plificado y se ha hecho ms eficiente en muchos aspectos. Por esta razn resulta muyimportante que al estudiar y tratar diversas aplicaciones relacionadas con nuestracotidianeidad a partir de las matemticas nos interese predecir el comportamientofuturo de cierto fenmeno natural o proceso social (o quiz cmo fue en el pasado).En este sentido lo primero es formular un modelo matemtico que cambie con eltiempo y que permita tratar y estudiar la situacin problema en cierto tiempo deter-minado. Esto produce predicciones que deben validarse a partir de las respuestasobtenidas en el marco de la situacin de estudio y de las estimaciones del modeloempleado. Si bien es cierto que las respuestas son variables y dependen del fenme-no de estudio, se considera pertinente destacar que el papel de las matemticas comoherramienta generadora de conocimiento y desarrollo de habilidades ha contribuido

en la eficiencia de diversos procesos inmersos en nuestras vidas cotidianas.

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