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PROBLEMARIO DE
ESTADÍSTICA
INSTRUMENTAL
Prof. (Ing.) Andrés Scott Velásquez
2
Problemas de Estadística Instrumental
Lapso 01 de Estadística Instrumental
Problema sobre datos no agrupados o sueltos. 1) Se toma las edades de 25 estudiantes de un curso de Estadística Instrumental, las cuales
fueron las siguientes: 23 22 22 19 21 20 29 18 18 25 25 23 19 20 19 22 21 23 25 30 29 22 19 19 20 Con los datos de las edades se pide, elaborar una Distribución de Frecuencias para: a)
Responder; Dato de la Quinta Categoría, Frecuencia Absoluta de la Séptima Categoría,
Frecuencia Absoluta Acumulada de la Tercera Categoría, Frecuencia Relativa de la Octava
Categoría y Frecuencia Relativa Acumulada de la Cuarta Categoría, b) Obtener el
porcentaje de observaciones de los datos menores al dato de la Quinta Categoría y el
porcentaje de las observaciones igual o mayores al dato de Séptima Categoría, c) Obtener
el Modo y Calcular la Media Aritmética, y comprobar que es mayor que la Media
Geométrica, d) Calcular la Varianza y la Desviación Estándar y e) Elaborar las gráficas
respectivas-Trabajo Estudiantes-.
Solución
Datos sueltos o no agrupados
Datos fi Fi hi Hi Xi*fi X2i*fi
X1=18 2 2 0,080 0,080 36 648
X2=19 5 7 0,200 0,280 95 1.805
X3=20 3 10 0,120 0,400 60 1.200
X4=21 2 12 0,080 0,480 42 882
X5=22 4 16 0,160 0,640 88 1.936
X6=23 3 19 0,120 0,760 69 1.587
X7=25 3 22 0,120 0,880 75 1.875
X8=29 2 24 0,080 0,960 58 1.682
X9=30 1 25 0,040 1 30 900
Σ 25 1 553 12.515
a) 5 22X , 7 3f , 3 10F , 8 0,080h , 4 0,480H
b) % de datos menores a la Quinta categoría=48%, % de datos igual o mayor a la
séptima categoría: 6 100 24%25
c) 553
19; 22,12025
i i
o
X fM
N;
91 2
12 5 3 2 4 3 3 2 25
1 2 9... 18 19 20 21 22 23 25 29 30 21,883ff fG X X X
3
Como µ=22,120>21,883=G, queda demostrado que la Media Aritmética Poblacional
es mayor que la Media Geométrica
Mo=19
d) 2
2 2 212.515 22,120 11,306
25
i iX f
N σ 11,306 3,362
σ2=11,306; σ=3,362
e) Gráficas
Gráfica de Barras.
Xi fi x18 2 x19 5 x20 3
x21 2 x22 4 x23 3 x24 0
x25 3 x26 0 x27 0 x28 0 x29 2 x30 1
Gráfica de Torta o Pastel.
Xi% fi
x8% 2 x20% 5 x12% 3 x8% 2 x16% 4 x12% 3 x12% 3
x8% 2 x4% 1
4
2) De manera aleatoria se seleccionan las notas de 7 estudiantes de Estadística
Instrumental del I. U. G. T., las cuales resultaron ser: 12 10 09 10 15 11
08
Se pide obtener: la Media Aritmética, la Media Geométrica, el Modo o Moda, la
Mediana, el tercer Cuartil, sexto Decil, el Percentil 43, la Varianza y la Desviación
Estándar o Típica.
Solución Número de datos Impares
iX 8 9 10 11 12 15 ∑
if 1 1 2 1 1 1 7
i iX f 8 9 20 11 12 15 75
2
i iX f 64 81 200 121 144 225 835
1 2
112 7
1 2
8 9 2 10 11 12 15 75:
7 7
: ..... 8 9 10 11 12 15
10,714
10,520n
i i
ff f n
n
X f xMedia Aritmética X
n
Media Geométrica G X X X
X
G
Para obtener el resto de la Medidas Estadísticas que son de posición lo primero que hacemos es ordenar los datos generalmente en orden creciente salvo que se diga lo contrario y se le asigna el respectivo lugar en la serie.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 10 11 12 15
. . .int. . .
1: ; φ . .
100i i m Int M m Int
i nFórmulas L P D p dec D D
3
43
6
3
6 6
:
7 1: 4
2
3 7 13: 6
4
10
10 4
12 6
103 7 1
6: 4,8 10 0,8 11 1 ,805
4343:
o
DD
M El dato que más se repite
M Dato queocupa el lugar dela serie
Q Da
Modo
Mediana L M
Cuartil L to queocupa el lugaQ
Decil L D D
Percentil L P
r dela serie
D
43 43
7 13,44 10 0,44 10 10
10010PP
5
22 22 835 7 10,714
5,2451 6
5,245 2,290
i iX f nXVarianza S
n
Desviación Estándar o Típica S
Números de datos pares
iX 8 9 10 11 12 15 16 Total
if 1 1 2 1 1 1 1 8
i iX f 8 9 20 11 12 15 16 91
2
i iX f 64 81 200 121 144 225 256 1.091
Si agregamos un nuevo dato, supongamos 16, entonces el número de datos serán impares
1 2
112 8
1 2
8 9 2 10 11 12 15 1611,38:
8
: ..... 8 9 10 11
0
11,0812 15 16 6n
i i
ff f n
n
X f xMedia Aritmética X
n
Media Geométrica G X X X
X
G
Para obtener el resto de la Medidas Estadísticas que son de posición lo primero que hacemos es ordenar los datos generalmente en orden creciente salvo que se diga lo contrario y se le asigna el respectivo lugar en la serie.
01 02 03 04 05 06 07 08 08 09 10 10 11 12 15 16
3 3
6 6
43
6
43
3
:
8 1: 4,5 10 0,5 11 10
2
3 8 13: 6,75 1
10
10,5
13,5
11
2 0,75 14 124
3 8 16: 5,4 11 0,4 12 11
5
43 8 143: 3,87 10
1 0
,
0
4
D DD
oModo
Mediana L M M
Cuartil L Q Q
Decil L D D
Percen
M El dato que más se repite
M
Q
D
til L P P 430,87 10 10 10P
22 22 1.091 8 11,380
7,8521 7
7,852 2,802
i iX f nXVarianza S
n
Desviación Estándar o Típica S
Problema sobre datos agrupados por intervalos de clases.
1) Los siguientes datos corresponden a las ventas mensuales (En miles de bolívares) realizados por una comercial que vende materiales de oficinas.
6
Se pide calcular: a) La Varianza y la Desviación Estándar o Típica, b) El Rango Intercuartílico y el Rango Interdecílico, c) La Desviación o Amplitud Semi-intercuartílica, d) Analizar la curva originada por el Polígono de Frecuencias de esta distribución y e) Elaborar gráficas-Trabajo a estudiantes
Solución
NIC LI LS fi Fi Xmi Xmifi Xmi2fi
1 09,5 16,5 5 5 13 65 845
2 16,5 23,5 7 12 20 140 2800
3 23,5 30,5 6 18 27 162 4374
4 30,5 37,5 3 21 34 102 3468
5 37,5 44,5 3 24 41 123 5043
6 44,5 51,5 6 30 48 288 13824
30 880 30354
a) La Varianza.
880
3029,333
mi iX f
N
2
2 22 230.354 29,333 151,37
305
mi iX f
N
La Desviación Estándar.
151,375 12,304
b) Rango Intercuartílico.
1 1
71: 16,5 7,5 5
719,000Cuart Qil Q
3 3
73: 37,5 22,5 21
341,000Cuart Qil Q
41 19 22Q QR R
Rango Interdecílico.
1 1
71: 9,5 3 0
513,7D cil D De ;
9 6
79: 44,5 27 24
648,000DDecil D
48,000 13 34,3,7 DD RR
c) Desviación o Amplitud Semi-Intercuartílica
2211 0
2,Q QAA
d) Análisis de la Curva.
7
2 716,5
2 121,167ooM M
1 1
29,333 21,167
12,30,664
04A Pos ivaCA it
0,321 0,2611.0
34,33K K
“La curva originada por el Polígono de Frecuencias de esta distribución presenta
Asimetría Positiva ya que CA1 = 0,664 > 0, por lo tanto sesga ala derecha; y además
es Puntiaguda o Leptocúrtica por cuanto K = 0,321 > 0,263”. e) Elaborar Gráficas f) Histograma.
Xmi fi
x13 5 x20 7 x27 6
x34 3 x41 3 x48 6
Polígono de Frecuencias.
Xmi fi
x0 0 x13 5 x20 7
x27 6 x34 3 x41 3
x48 6 x55 0
Ojiva.
Xmi Fi
8
x0 0
x13 5 x20 12
x27 18
x34 21 x41 24 x48 30
2) El cuadro de datos que se presenta al final define a una Distribución de
Frecuencias por marcas de clase, donde se refleja los salarios diarios de los
obreros de una empresa de construcción. Se quiere conocer:
a) El porcentaje de obreros cuyos salarios son menores que la Media Aritmética
y la cantidad de obreros cuyos salarios sean mayor que el Modo.
b) Los límites del sector central entre los cuales se consigue el 50% de los
obreros de la empresa de construcción.
c) Si los dueños de la empresa resuelven dar un aumento del 12% a cada
obrero, ¿Cuánto debe invertir la empresa para satisfacer este aumento
diario?
d) Analizar la curva originada por el Polígono de Frecuencias de esta
distribución
Salarios
( Xmi )
50 60 70 80 90
Cantidad de
Obreros ( fi )
15 20 25 10 5
Solución
LI LS Xmi fi Fi Xmifi X2mifi
45 55 50 15 15 750 37500
55 65 60 20 35 1200 72000
65 75 70 25 60 1750 122500
75 85 80 10 70 800 64000
85 95 90 5 75 450 40500
75 4950 336500 Fórmulas:
2 2
2 2 2 1
1 2
3 11
9 1
100% . ; % . 100 % . ;
; ; ; ;
; ;2
iaa I
mi i mi mi
o I
oi i aa
i
fdeobs D F D L deobs D deobs D
IC N
X f X X q ICM L
N N N q q
M Q QIC iNL F CA K
f K D D
Desarrollo;
9
4.950 5 1066; 65 67,5
75 5 15
25 100% 35 66 % 50,65 00%
10 75
oM
de ob de observacionesservaciones
a)
25 100% 100 35 67,5 65
10 7
% 45,00%
5o
o
de observaciones M
de observaciones M
b) El 50% del Sector Central se ubica entre el Primer Cuartil y el Tercer Cuartil.
1
1
3
3
10 75 10 3 7555 15 56,875; 65 35 73,50
20 4 25
56,875; 73 5
4
, 00Q
Q
Q
Q
c) Inversión diaria ante del aumento Bs. 4.950,00.
Inversión diaria luego del aumento: (66+66x0,12)x75=5.544,00
d)
2
1
1 9
336.500 66 67,566 11,431 0,131 0;
75 11,431
10 75 10 9 7545 0 50,000; 75 60 82,500
15 10 10 10
73,500 56,8750,256 0,263
2 82,500 50,000
CA
D D
K
“La curva originada por el Polígono de Frecuencias de esta distribución
presenta Asimetría Negativa ya que CA1 = -0,131 < 0, por lo tanto sesga ala
izquierda; y además es Achatada o Platicúrtica por cuanto K = 0,256 <
0,263”.
e) Gráficas.-
Histograma
Xmi Fi
x50 15 x60 20
x70 25 x80 10 x90 5
Polígono de Frecuencias
Xmi fi
x40 0 x50 15
10
x60 20 x70 25 x80 10
x90 5
x100 0
Ojiva
Xmi Fi
x0 0 x50 15
x60 35 x70 60 x80 70
x90 75
Lapso 02 de Estadística Instrumental Problemas experimentos probabilísticos
1) Una moneda previamente calibrada se lanza 5 veces. ¿Cuál será la probabilidad de qué:
a) Caigan exactamente 2 caras.
b) Caigan 3 caras o 5 caras.
c) No menos de 4 caras.
d) No más de 3 caras Solución
5
5 2
5 3 5 5
50,3125
16
1
2 32
10) 10
32
) 111
0,343832
P
A
B
EPO Q EPO
a EFA P A P A
P Bb EFA
11
5 4 5 5
5 0 5 5 5 2 5 3
6) 6
32
30,1875
16
130
26) 26
32,8125
16
C
D
P Cc EFA P C
d EFA P DP D
2) Un dado previamente calibrado se lanza. ¿Cuál será la probabilidad de que: a) Caiga un 2 ó 5? b) Caiga un número menor o igual a 4? c) Caiga un número par ó mayor o igual a 4?
Solución
6
2) 1 1 2
6
4) 1 1 1 1 4
6
4) 1 1 1 1 1 1 1
10,3333
3
20,6667
3
20,6667
31 4
6
P
A
B
C
EPO Q EPO
a EFA P A
b EFA P B
c EF
P A
B
CA C
P
PP
3) Se lanzan 2 dados previamente calibrados. ¿Cuál será la probabilidad de que al sumar sus
dos caras, luego de la caída: a) Éstas sumen exactamente 7? b) Que sumen igual o mayor a 9?
c) Que sumen valores menores o 5? d) Que sumen valores entre 4 y 6 inclusive o que sumen entre 5 y 9 inclusive?
Solución 26 36
10,
6) 6
31667
66
P
A
EPO Q EPO
a EF P AA P A
Dado 1 1 2 3 4 5 6
Dado 2 6 5 4 3 2 1
EFAA= 6
10) 10
3
50,2778
6 18B PB Bb EFA P
Dado 1 3 4 5 6 4 5 6 5 6 6
Dado 2 6 5 4 3 6 5 4 6 5 6
EFAB= 10
6) 6
36
10,1667
6A Pc C CEFA P
12
Dado 1 1 1 2 1 2 3
Dado 2 1 2 1 3 2 1
EFAA= 6
30,75
27) 12 15 27
6 4300Dd EFA P P DD
Dado 1 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
Dado 2 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1
EFAA= 12
Dado 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5 6
Dado 2 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 6 5 4 3
EFAA= 15
4) En un recipiente se meten 8 bolitas azules, 14 bolitas blancas y 10 bolitas coloradas. Experimento A.- Se extrae una sola bolita. ¿Cuál será la probabilidad de que:
a) Sea azul.
b) Sea una blanca o una colorada. Solución
32 1
8 1
32
8)
3
10,2500
42Azul
N r
A n r A
EPO EPO
a EFA EFA AP A P
14 1 10 1
30
) 14 10
24
32,7500
4
Blancas ColoradasB n r n r Ab EFA EF
P
A
B AP
Experimento B.- Se extraen 3 bolitas con reposición o con reemplazamiento. ¿Cuál será la probabilidad de que:
a) Sean una azul, azul y colorada. b) Sean blanca, colorada y colorada c) Sean blanca, azul y blanca
Solución
32 1
1 2
32
Re : .....
8 8 10)
32 32
50,0195
25632
N r
n
EPO EPO
Fórmula de la gla Especial la Multiplicación P A P A P A P A
a PP A A
14 10 10
)32 32 3
1750,0427
4.092 6b P B P B
14 8 14
)32 32 3
490,0479
1.022 4c C P CP
Experimento C.- Se extraen 3 bolitas sin reposición o sin reemplazamiento. ¿Cuál será la probabilidad de que:
13
a) Sean una azul, azul y colorada. b) Sean blanca, colorada y colorada c) Sean blanca, azul y blanca
Solución
32 1
321
1 2
1
32
Re :
N rEPO EPO
AAFórmula de la gla General la Multiplicación P A P A P P
A AA
8 7 10
)32 31 30
70,0188
372a PP A A
14 10 9
)32 31 30
210,0423
496Pb P B B
14 8 13
)32 31 3
910,0489
1.860 0c C P CP
Experimento D.- Se extraen de una sola vez 3 bolitas. ¿Cuál será la probabilidad de que : a) Todas sean del mismo color? b) 2 sean azules y una colorada o 2 blancas y una azul? c) Que no todas sean del mismo color? d) Que todas sean de color diferente?
Solución
32 3
8 3 14 3 10 3
8 2 10 1 14 2 8 1
270,1089
2
4960
) :
54056 364 120 540
4960
) 2 1 2 1 :
48
Azul Blanca Colorada
N r
A n r n r n r A
A
B
EPO EPO
a Todas del mismo color EFA EFA
EFA P A
b azules y colorada o blancas y azul EFA
EF
P A
8 1 14 1 10 1
630,2032
310
2210,89
1.008280 728 1.008
4.960
27) : 1
248
) : 8
11248
70,2258
3
14 10 1.120
1.120
9 14. 60
B
D
A P B
c No todas del mismo color Por Complemento P C
d Todas de colores diferentes EFA
P
P B
P C
P DD
5) Se tiene un juego de barajas españolas, después de barajadas de manera uniforme se extrae una carta para garantizar la pureza del experimento. Cuál será la probabilidad de que sea:
a) Un As de espadas?
b) Un As? c) Un caballo o una copa?
14
d) Una espada o un oro? e) Una figura o un 5 de oro? f) Una figura o un basto?
Solución
1 10,0250 0,1000
40 10
13 10,3250 0,5000
40 2
13 190,3250 0,4750
40
4) 1 ; ) 4 ;
40
20) 4 10 1 13 ; ) 10 10
40
) 12 1 13 ; ) 14
2 100
3 19
A B
c D
E F
P A P B
P C P D
P E P F
a EFA b EFA P B
c EFA d EFA P D
e EFA f EFA
Problema de Probabilidades de la regla General de la Suma
1) De 200 turistas llegados a Venezuela, 120 viajaron a la Isla de Margarita y 100 a la Sierra Nevada de Mérida, se sabe además que 60 de ellos fueron ambas regiones. Si de manera aleatoria se selecciona a una de esas personas, ¿Cuál será la probabilidad de que haya ido a la Isla de Margarita o la Sierra Nevada de Mérida?
Solución
Evento A = Turistas que visita a la Isla de Margarita Evento B = Turistas que visitan a La Sierra Nevada de Mérida. Evento A∩B = Visita a ambos regiones.
120 3 100 1 60 3; ;
200 5 200 2 200 10
3 1 3
5 2 10
4
5
P A P B P A B
P A ó B P A ó B
Problemas de Probabilidades con tabla de Contingencia
1) La tabla de contingencia incompleta que se presenta al final refleja la condición de eficiencia de bueno, regular y malo de 200 estudiantes de Recursos Humanos, Mercadeo y Publicidad y Contabilidad y Finanzas. Se pide responder las siguientes preguntas:
PARTE A a) Completar la Tabla de Contingencia
PARTE B Si de manera aleatoria se selecciona uno de los 200 estudiantes. ¿Cuál será la probabilidad de que:
a) Sea un estudiante de Mercadeo y Publicidad? b) Que su rendimiento sea malo? c) Que sea de Mercadeo y Publicidad y su rendimiento sea bueno? d) Que sea de Recursos Humanos o sea de Contabilidad y Finanzas? e) Que sea de Recursos Humanos o tenga un rendimiento regular?
PARTE C a) Si de manera aleatoria selecciona a un estudiante de Mercadeo y Publicidad.
¿Cuál será la probabilidad de que su rendimiento sea bueno? b) Si se selecciona un estudiante cuyo rendimiento es malo. ¿Cuál será la
probabilidad de que sea de Recursos Humanos?
15
Rendimiento Carrera
BUENO (B1)
REGULAR (B2)
MALO (B3)
∑Ai
Recursos Humanos (A1)
25 80
Mercadeo y Publicidad (A2)
15 75
Contabilidad y Finanzas (A3)
10 5
∑Bi 65 85 U=
Solución PARTE A.-
Rendimiento Carrera
BUENO (B1)
REGULAR (B2)
MALO (B3)
∑Ai
Recursos Humanos (A1)
20 25 35 80
Mercadeo y Publicidad (A2)
15 50 10 75
Contabilidad y Finanzas (A3)
30 10 5 45
∑Bi 65 85 50 U=200
PARTE B.-
a) Mercadeo y Publicidad: 75
7520
30,3
0750
8A PEFA A AP
b) Rendimiento Malo: 50
5020
10,2
0500
4B PEFA B BP
c) Merc. y Pub. y Rend. Bueno: 15
15200
30,0750
40C P CEFA P C
d) R. H. o de C. y F.: 125
80 45 125
0,62508
5200
DEF C P CA P
e) R. H. o Rend. Reg,: 140
80 85 25 17
0,700010
40200
EEFA P P ED
PARTE C.-
a) Si M. P./Rend. Bueno: 22
2
1
2
11
0,215
057
0 05
A BP
BA
AP
A
16
b) Si Rend. Malo/R. H.: 11
3
3
3
373
0,70001
5
50 0
A BP
BA B
PB
2) Los profesores de Estadística Instrumental: Andrés Scott, Maritza García, Carlos
Casañas y Lenelba Alemán para sus clases recomienda estudiarlas en tres textos
los cuales identificaremos con los nombres de Texto 01, Texto 02 y Texto 05. Del
profesor Scott, 28 estudiantes estudian por el Texto 01, 35 por el Texto 02 y 22
por el Texto 03. De la profesora García, 22 estudiantes estudian por el Texto 01,
30 por el Texto 02 y 13 por el Texto 03. Del profesor Casañas, 13 estudiantes
estudian por el Texto 01, 20 por el Texto 02 y 12 por el Texto 03 y de la profesora
Alemán, 10 estudiantes estudian por el Texto 01, 14 por el Texto 02 y 11 por el
Texto 03.
Se pide:
PARTE “A”.- Con estos datos elaborar la Tabla de Contingencia.
PARTE “B”.- Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante de Estadística
Instrumental que estudie con esos profesores, ¿Cuál será la probabilidad de que:
a) Haya estudiado por el texto 01, b) Haya estudiado por el Texto 02 y sea alumno
del Profesor Casañas, c) Haya estudiado por el Texto 02 ó el Texto 03 y d) Haya
estudiado por el Texto 03 o sea alumno de la Profesora Alemán.
PARTE “C”.- a) Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante que estudie
por el Texto 02; ¿Cuál será la probabilidad que sea alumno del Profesor Scott y b)
Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante de la Profesora García; ¿Cuál
será la probabilidad de que haya estudiado por el Texto 03?
Solución
PARTE “A”.- Tabla de Contingencia:
Profesores
Textos
Scott
(B1)
García
(B2)
Casañas
(B3)
Alemán
(B4)
∑Ai
Texto 01 (A1) 28 22 13 10 73
Texto 02 (A2) 35 30 20 14 99
Texto 03 (A3) 22 13 12 11 58
∑Bi 85 65 45 35 230
PARTE “B”.-
17
1
2 3
1
2 3
2 3
43 4 3
2 3
73)
230
20)
230
99 58 157)
230 2
730,3174
230
20,0870
23
1570,6826
30 230
410,3565
1
230
58 35 11 82)
230 230 230 230 15
a P A P A
b P B P A B
c P C P A A
d P
P A
P A B
P A A
P AD BP A B
PARTE “C”.-
2 1
2
3 2
2
350,3535
35)
99
13)
65
99
10,2000
5
A Ba P A P
A
A Bb P B
P A
PPB
B
Lapso 03 de Estadística Instrumental
Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Generales
1) Un dado previamente calibrado se lanza 140 veces y el resultado de la caída se presenta al final. Se pide:
a. Desarrollar la distribución de probabilidades respectiva. b. Calcular la Esperanza Matemática. c. Calcular la Varianza y la Desviación Estándar
18
Solución
Distribución de Frecuencias
Dist. de Prob.
a)
Esperanza Matemática
i iX P X
b)
Varianza
22
i iX P X
Desviación
Estándar
c) 2
Xi fi hi Xi P(Xi) 0,164 1,048
2,803
1 23 0,164 1 0,164 0,258 0,301
2 18 0,129 2 0,129 0,621 0.058
3 29 0,207 3 0,207 0,744 0,041
4 26 0,186 4 0,186 0,715 0,310
5 20 0,143 5 0,143 1,026 1,045
6 24 0,171 6 0,171 2
∑ 140 1,000 ∑ 1,000 3,528 2,803 1,674
2) De manera aleatoria se seleccionan las notas de ocho estudiantes de Estadística
Instrumental las cuales fueron: 11 09 12 12 15 09 11 12. Con estos datos se
pide desarrollar una Distribución de Probabilidades y de allí obtener: a) La
Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar o
Desviación Típica; b) Si seleccionamos de manera aleatoria una de esas ocho
notas; ¿Cuál es la probabilidad de que sea: i.- Exactamente 12? y ii.- No más de
11?
Solución
EFAP E
EPO
)a
ix
if
iEFA
ix
iP x
ESPERANZA MATEMÁT.
VARIANZA DESVIAC. ESTÁND.
i ix P x
2
2
i ix P x
2
09 2 09
EFA
3,234 11 2
11EFA 09 0,250 2,250 1,410
12 3 12
EFA 11 0,250 2,750 0,035
15 1 15
EFA 12 0,375 4,500 0,146
EPO 8 15 0,125 1,875 1,643
CARA 1 2 3 4 5 6
EVENTOS 23 18 29 26 20 24
19
∑ 1,00 11,375
2 3,234 1,798
) 12 11
; ) 0,20,3 5 0,2575 0,50
b Evento B Exactamente igual a y Evento C no más de
y c P P CCP B
3) Una moneda previamente calibrada se lanza 5 veces. Se pide: a) Desarrollar una
Distribución de Probabilidades, y Calcular la Esperanza Matemática o Valor
Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar o Desviación Típica, b) ¿Cuál será
la probabilidad que caigan exactamente 2 caras? y c) ¿ Cuál es la probabilidad de
que caiga no menos de 4 caras?
Solución
5; 2 32EFA
P E EPO EPOEPO
a)
ix
if
iEFA
ix
iP x
ESPERANZA MATEMÁT.
VARIANZA DESVIAC. ESTÁND.
i ix P x
2
2
i ix P x
2
0 1 0
EFA
1,25
1 5 1
EFA 0 0,03125 0,000 0,195
2 10 2
EFA 1 0,15625 0,1563 0,352
3 10 3
EFA 2 0,31250 0,6250 0,078
4 5 4
EFA 3 0,31250 0,9375 0,078
5 1 5
EFA 4 0,15625 0,6250 0,352
EPO 32
5 0,03125 0,1562 0,195
∑ 1,00 2,500 2 1,250 1,118
) 2 4
; ) 0,15620,3125 0,15 0,03125 875P B
b Evento B Exactamente y Evento no menos de
y c P P CC
4) Al final se presentan tres distribuciones diferentes. Diga: ¿Cuál de las tres es una
Distribución de Probabilidades? Si alguna de ella resultarse ser de probabilidades
calcular la Esperanza Matemática, la Varianza y la Desviación Típica.
xi P(xi) xi P(xi) xi P(xi)
1 0,20 2 0,18 1 0,42
3 0,25 4 0,28 4 -0,20
5 0,18 6 0,20 6 0,38
7 0,36 8 0,34 9 0,40
20
Solución
Las probabilidades de la primera suma 0,99; la segunda 1 (Uno) con todos valores positivos y
la tercera 1 (Uno) pero con un valor negativo, como los valores probables de un espacio
muestral deben sumar 1 (Uno) con todos los valores positivos, se concluye que: la Distribución
de Probabilidades es la segunda.
ix
iP x
ESPERANZA
MATEMÁT.
VARIANZA DESVIAC.
ESTÁND.
i ix P x
2
2
i ix P x
2
5
2 0,18 0,36 2,081
4 0,28 1,12 0,549
6 0,20 1,20 0,072
8 0,34 2,72 2,298
∑ 1,00 5,400 2 5,000 2,236
Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Binomiales 1) El 75% de los estudiantes del IUGT a duras penas logran aprobar las materias. Si se
selecciona una muestra de 7 estudiantes; ¿Cuál será la probabilidad de que: a) Exactamente 5 aprueben la materia?
b) No menos de 6 aprueben la materia?
c) No más de 4 aprueben la materia? d) Calcular la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar.
Solución
2
5 7 5
7 5
6 7 6 7 7 7
7 6 7 7
5 0,
: 0,75 0,25; 7
: ; ; ;
) 5 5 0,75 0,25
) 6 7 6 7 0,75 0,25 0,75 0,25
) 0,...., 4 0,.... , 4 1 (0,3115 0,4449
3115
6 7 0,4449
x n x
n x
Datos p q n
F
P x
P x o
órmulas p q np npq npq
a x P x
b x o P x o
c x o P x o
2 2
)
) 7 0,75 ; 5,25 0,25 ; 1,
0,.... , 4 0,2436
5,25 1,313 1,1413 63
P x o
d
2) Realizado un estudio de las calificaciones obtenidas en las evaluaciones por los
estudiantes de Estadística Instrumental del Profesor Scott en el período de clases
2013-1N, se concluyó que aprobaron la materia el 62%. Si de manera aleatoria se
seleccionan 6 de esos estudiantes; ¿Cuál será la probabilidad de qué: a)
Exactamente 2 hayan aprobado la materia? b) Exactamente 3 ó 4 hayan aprobado
la materia? c) No menos o al menos 2 hayan aproado la materia? y d) Calcular la
Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Típica o
Desviación Estándar
21
Solución
3)
2
2 6 2
6 2
3 6 3
6 3
4 6 4
6 4
: 0,62; 0,38; 6;
: ; ; ;
:
) 2 2 0,62 0,38
) 3 4, 3 4 3 4 0,62 0,38
0,62 0,38 0,2616 0,32
2 0,1202
3 4 001
X n X
n X
Datos p q n
Fórmulas P X p q np npq npq
Desarrollo
a Para X P X
b Para X
P
ó P X ó
P
P
X
P X X
X
ó
2 6 2 3 6 3 4 6 4
6 2 6 3 6 4
5 6 5 6 6 6
6 5 6 6
) 2 2,...,5 6 2,...,5 6 2 3 4
5 6 0,62 0,38 0,62 0,38 0,62 0,38
0,62 0,38 0,62 0,38 0,1202 0,2616 0,3201 0,2089 0,0
,5817
2,...
5
,5 6 0,
68
c Para al menos X ó P X ó P X P X P X
P X P
ó
X
P X
0 6 0 6 1
6 0 6
2 2
1
: 2,...,5 6 1 0 1 1 0 1
1 0,62 0,38 0,62 0,38 1 0,0030 0,0294
) 0,62 6 ; 0,38 3,72 ; 1,41
9676
2,...,5 6 0,9676
3,72 1,4136 1,3 1886 9
Por complemento sería P X ó P X ó P x P X
P
d
X ó
Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Hipergeométrica
1) El curso de Estadística Instrumental de Recursos Humanos del nocturno del Profesor Andrés Scott, tiene una matrícula de 43 estudiantes, de los cuales 27 son mujeres. Si se toma una muestra de 9 de esos estudiantes. ¿Cuál será la probabilidad de que en esa muestra:
a) 6 sean mujeres? b) 4 sean hombres
Solución
1
1 2 1 2
27 6 16 3 16 4 27 5
1 2
43 9 43 9
26 0,2
: 43; 9; 6; 4; 27; 1
940 4 0,2605
6
:
) 6 ; ) 4
i i i iS x N S n x
i
N n
P x
Datos N n Mujeres x Hombres x S S
Fórmula P x
a P x b P xx P
2) Se va a seleccionar una comisión de 25 estudiantes en una institución educativa
que tiene una matrícula de 417 estudiantes para hacer una evaluación avanzada
del sistema educativo del país y presentar una ponencia a objeto de mejorarla. Si
en esa matricula están incorporadas 263 mujeres; ¿Cuál será la probabilidad de
qué en la referida comisión sean seleccionadas: a) Exactamente 12 mujeres? b)
Entre17 ó 20 mujeres inclusive? y c) Calcular la Esperanza Matemática o Valor
Esperado, la Varianza y la Desviación Típica o Desviación Estándar.
22
Solución
2
263 12 417 263 25 12
417 25
1
: 417; 263; 25; : ;
; ;1 1
:
) 12 12 12
) 1
2
7 2
0,0470
0
S X N S n X
N n
Datos N S n Fórmulas P X
nS N S N n nS N S N nnS
N N N N N
Desarrollo
P Xa Para X P X P X
b Entre ó mujeres inclusive X
263 17 263 18417 263 25 17 417 263 25 18
417 25 417 25
263 19 263 20417 263 25 19 417 263 25 20
417 25 417 25
17,18,19 20 17,..., 20 17 18
19 20 17,..., 20
0,1510 0,1
ó P X P X P X
P X P X P X
2 2
1
17,..., 20 0,3655
15,76
23 0,0685 0,0337
25 263 417 263 417 2525 263) ;
417 47 2.288,090
47,
17 417 1
2.288,09 834
P
c
X
Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas de Poisson
1) El número de accidentes que se producen en una empresa manufacturera sigue una distribución de Poisson con una media de 2,6 accidentes por mes. ¿Cuál será la probabilidad de qué: a) No más de 2 accidentes en un mes dado? y b) No menos de 3 accidentes en un mes dado?
Solución
0 22,6 2,6 2,6
: 2,6 ; :!
) 2 0,1 2 0,1 2
2,6 2,6 2,60 1 2 0,0743 0,1931 0,2510
0! 1! 2!
X
Datos accidentes por mes Fórmulas P X eX
a No más de accidentes mensuales X ó P X ó
P X P X P
P X
X e e e
0,1 2 0,5184ó
23
0 22,6 2,6 2,6
4,5... 0,
) 3 4,5,..; : 4,5...
2,6 2,6 2,61 0,1,2 3 1
0! 1! 2!
1 0,0743 0,1931 0,2510 1 0,5184 481
b No menos de accidentes mensuales X por complemento sería P X
P X ó e
P X
e e
6
2) Un promedio 5 automóviles cada ocho segundos ingresan a la parroquia Coche
desde la autopista viniendo del centro de la ciudad. La distribución de ingreso
responde a una Distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que: a)
Ningún automóvil ingrese en ocho segundos? y b) Por lo menos 2 ingresen en ocho
segundos?
Solución
05
: 5 8 ; :!
5) 0 0
0!
) 2 2,3,....., 2,3,....., :
0,0067
X
Datos cada segundos Fórmulas P X eX
a Ninguno automovil ingrese a Coche X P A P X e
b Por lo menos automòviles ingresen a Coche X n P B P X n Por
Comp
P
em
A
l0
5 5 55 51 0,95961 6
0! 1!P Bento P P B e e e
Problemas de Distribución de Probabilidades Continuas
1) Se sabe que los estudiantes del IUGT presenta un promedio global de notas de 11,25 puntos, con una Desviación Estándar de 3,17 puntos. Se supone que la población responde a una distribución es normal. Si de manera aleatoria seleccionamos a un estudiante; ¿Cuál será la probabilidad de que su nota definitiva:
a) Sea menor de 10 puntos? b) Esté entre 10 y 11,25 puntos? c) Esté entre 09 y 12 puntos? d) Sea mayor que 09 puntos? e) Esté entre 12 y 16 puntos?
Solución
: 11,25; 3,17
:
Datos
xFormula Z
24
f) E
S
2) Realizada una investigación sobre las edades los estudiantes del IUGT de
Estadística Instrumental de Recursos Humanos del diurno se concluyó que el
promedio de sus edades fue de 21,813; con una Desviación Estándar de 3,483
años. Se supone que la población responde a una distribución normal. Si de
manera aleatoria seleccionamos a un estudiante; ¿Cuál será la probabilidad de
que su nota definitiva:
a) Sea mayor de 23 años?, b) Esté entre 21,813 y 23 años?, c) Esté entre 19 y
24 años?, d) Sea mayor que 19 puntos? y e) Esté entre 17 y 19 puntos?
Solución
a)
10
10 11,250,39
3,17Z
0,5 aA A
10 0,5000 0,1517
10 0,3483
Menos de
P
A
x
b) 11,25 0Z
10 0,39Z
aA A
10 11,25
10 11,25 0,151
0,1517 0
7P x
A
c)
9
12
9 11,250,71
3,17
12 11,250,24
3,17
Z
Z
a bA A A
9 12 0,2612 0,0948 0
9
,3560
12 0,3560
A
P x
d)
9 0,71Z
0,5aA A
9 0,2612 0,5000 0,761
9 0,76
2
12
Más de
P x
A
e)
12
16
0,24
16 11,251,50
3,17
Z
Z
b aA A A
12 16 0,4332 0,0948 0
12 16 0,338
,338
4
4
P x
A
25
: 21,813; 3,483
:
Datos
xFormula Z
a)
23
23 21,8130,34
3,483Z
0,5 aA A
23 0,5000 0,133
( 23) 0,
1
3669
x
P x
A
b)
21,813
23
0
0,34
Z
Z
aA A
21,813 23 0,1
(21,813 23) 0,133
331
1
x
P
A
x
c)
19
24
19 21,8130,81
3,483
24 21,8130,63
3,483
Z
Z
b aA A A
19 24 0,2910 0,2387 0
99 24 0,529
,529
7
7
P x
A
d)
19 0,81Z
0,5aA A
19 0,2910 0,5000 0,791
19 0,79
0
10
X
P x
A
e)
19
16
0,81
17 21,8131,38
3,483
Z
Z
b aA A A
17 19 0,4162 0,2910 0,125
17 19 0,12 2
2
5
X
P x
A
26
Problemas de Distribución de Probabilidad Normal aproximando a la Binomial 1) El70% de los empleados entre obreros, administrativos y académicos que laboran en el I. U.
G.T. poseen títulos académicos. Se seleccionan de manera aleatoria 30 empleados: a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 17 tengan títulos académicos?, b) Más de 26? y c) Menos de 23?
Solución
: 0,70 0,30; 30
: ; ;
Datos p q n
xFórmulas np npq Z
30 0,70 21; 21 0,30 2,51
a)
1 2
1
2
16,5 17,5
16,5 211,79
2,51
17,5 211,39
2,51
c c
c
c
x x x
Z
Z
a bA A A
17 0,4633 0,4177 0,0456
17 0,0456P x
A
b)
25,5 ;
25,5 211,79
2,51
c
c
x x
Z
0,5 bA A
26 0,5 0,4633 0,03
26 0,036
67
7
x
P X
A
c)
23,5;
23,5 211,00
2,51
c
c
x x
Z
0,5 bA A
23 0,5 0,3413 0,841
23 0,841
3;
3
x
P x
x
2) El 81% de los estudiantes del profeso Scott aprueban sus materias, si de manera
aleatoria seleccionamos 48 de esos estudiantes, ¿Cuál será la probabilidad que: a)
Exactamente 34 aprueben la materia?, b) No menos de 37 aprueben la materia? Y
c) A lo sumo 35 aprueben la materia?
Solución
27
: 0,81 0,19; 48
: ; ;
Datos p q n
xFórmulas np npq Z
48 0,81 38,88; 38,88 0,19 2,718
a)
1
1
2
33,5 34,5
33,5 38,881,98
2,718
34,5 38,81,61
2,718
c
c
c
x x
Z
Z
a bA A A
34 0,4762 0,4463 0,0299
34 0,0299P x
A
b)
36,5;
36,5 38,880,88
2,718
c
c
x x
Z
0,5aA A
37 0,5 0,3106 0,81
37 0,810
06
6
x
P X
A
c)
34,5;
34,5 38,881,61
2,718
c
c
x x
Z
0,5 aA A
23 0,5 0,4463 0,053
35 0,053
7;
7
x
P x
x
28
Lapso 04 de Estadística Instrumental
Problemas de Distribución Muestral
1) Los 314 0breros que trabajan en una empresa automotriz se observa que tienen un promedio
de 32 años, con una desviación estándar de 10 años. Si la distribución de estos datos sigue una Distribución Normal; se pide: a) Probabilidad de que la media muestral de 25 de ellos resulte menor de 28 años y b) Probabilidad de que sobrepase los 31 años.
Datos: 314; 32; 10; 25N n
Fórmulas: ;1x
x
N nXZ
Nn
314 25101,922
314 125x x
a)
28
28 322,08
1,922xZ
0,5 aA A
280,5 0,4812 0,01
28 0,0188
88X
P
A
X
b)
31
31 320,52
1,922Z
0,5aA A
310,1985 0,5 0,69
31 0,6985
85X
P
A
X
2) Los 0breros que trabajan en una empresa automotriz se observa que tienen un promedio de 32 años, con una desviación estándar de 10 años. Si la distribución de estos datos sigue una Distribución Normal; se pide: a) Probabilidad de que la media muestral de 25 de ellos resulte menor de 28 años y b) Probabilidad de que sobrepase los 31 años.
Datos:
Fórmulas: ;x
x
XZ
n
102,00
25x x
29
a)
28
28 322,00
2xZ
0,5 aA A
280,5 0,4772 0,02
28 0,0288
88X
P
A
X
b)
31
31 320,50
2Z
0,5aA A
310,1915 0,5 0,69
31 0,6915
15X
P
A
X
Problemas de estimación de Intervalos de Confianza
1) Una agencia de turismo tomó muestras de las personas que en vacaciones participaban en cruceros por El Caribe y que visitaban a Puerto Rico. Dentro de un nivel de confianza de 96%, ¿Cuál será el intervalo de confianza para la proporción de vacacionistas venezolanos si de las 1822 personas encuestadas 531 eran venezolanos?
Datos: 531; 1.822; . . 96%n N N C
Fórmulas: 1
; ;p p
p pnp E Z
N n
0,2914 1 0,29145310,2914; 0,0197; 96% 2,05
1.822 531
2,05 0,0197 0,0403
0,2914 0,0403 0,251
: 0,2511 0,33
1; 0.2914 0.0403 0,3317
17
pp para NC Z
E x
LIC p E LSC p E
IC de p
2) Una empresa de investigación realizó una encuesta para determinar la cantidad media que
los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. Una muestra de 49 fumadores reveló que la media muestral es de Bs. 20 y una desviación estándar muestral de Bs. 5. a) ¿Cuál es el estimador puntual de la media de la población? Explicar que indica y b) Utilizando el nivel de confianza de 95%, determinar el intervalo de confianza para la media poblacional. Explicar que indica.
Datos: 49; 20; 5; 95%n X S NC
Fórmulas: ;x x
SE Z S S
n
a) “El mejor estimador es la Media Muestral=20, ya que partiendo de ella se puede estimar
el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional” b)
50,7143; 95% 1,96 1,96 0,7143 1,4
7
20 1,4 18,6; 20 1,4 21,
: 18,6 21,4
" , 18,6 21,4"
4
x
IC de
Explica que la Media Poblacional con estos datos debe oscilar entre
S para NC Z E x
LIC X E LSC X E
a
30
3) Para realizar un estudio de manera aleatoria se selecciona una muestra de 81 trabajadores cuyo ingreso mensual promedio fue de Bs. 3.890,00 conociéndose que para condiciones similares la desviación estándar poblacional es de Bs. 998,00. Se toma un nivel de confianza del 96%, para realizar un estudio de estimación. Se pide: a) ¿Cuál será la media poblacional? b) ¿Cuál sería el mejor estimador puntual?, c) ¿Qué distribución de variable continua se utilizaría para obtener el error estándar de la muestra, el error de muestro y un intervalo de confianza? ¿Por qué?, d) Calcular el error estándar de la muestra y el error de muestreo, e) Desarrollar el intervalo de confianza para este estudio e interpretar resultados y f) ¿ Se podría afirmar que un ingreso de Bs. 3.800,00 es una media poblacional? ¿Qué tal un ingreso de Bs. 3.650?
Datos: 81; 3.890,00; 998,00; 96%n X NC
Fórmulas: ;x x
SE Z S
n a) “No se puede considerar una media poblacional como tal en virtud que en el Intervalo de
Confianza que se podría desarrollar con esta información existirían infinitos valores que podrían asumir la función de Media Aritmética Poblacional”.
b) “El mejor estimador es la Media Muestral (Bs. 3.890,00) , ya que partiendo de ella se puede estimar el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional”
c) “Se utilizará la Distribución Normal o Z, ya que n=81>30, Población Grande.
d)
998; 96% 2,05
81
2
110,889
227,,05 110,889 322
x xpara NC Z
EE x
e)
: 3.662,678 4.117,322
3.890 227,322 3.662,678; 3.890 227,322 4.1
" ,
3.662,678 4.117,
17,3
322
2
"
2
IC de
Explica que la Media Poblacional con estos datos debe
LIC X E LSC
oscilar desde a inclusive
X E
f) Como Bs. 3.800,00 está dentro del Intervalo de Confianza se puede considerar como uno de los valores de la Media Aritmética Poblacional; no así Bs. 3.650,00 que está fuera de ese intervalo”
4) Suponga que en el problema anterior la muestra seleccionada es de 25 trabajadores y no
responde a una Distribución Normal, y que el Nivel de Confianza es de 95%. a) “No se puede considerar una media poblacional como tal en virtud que en el Intervalo de
Confianza que se podría desarrollar con esta información existirían infinitos valores que podrían asumir la función de Media Aritmética Poblacional”.
b) “El mejor estimador es la Media Muestral (Bs. 3.890,00) , ya que partiendo de ella se puede estimar el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional”
c) “Se utilizará la Distribución de Student o t, ya que n=25<30, Población Pequeña No Normal.
d)
31
998; 95% . . 1 25 1 2199,6
41
4 2,06425
2,064 199, 96 1, 74
xxpara NC y g l n t
x EE
e)
: 3.478,026 4.301,974
3.890 411,974 3.478,026; 3.890 411,974 4.3
" ,
3.478,026 4.301,
01,9
974
4
"
7
IC de
Explica que la Media Poblacional con estos datos debe
LIC X E LSC
oscilar desde a inclusive
X E
f) Tanto Bs. 3.800,00 como Bs 3.650 están dentro del Intervalo de Confianza ambos valores se pueden considerar como Medias Aritmética Poblacionales.”
Problemas para la obtención del tamaño adecuado de una muestra
1) ¿Qué tan grande se requiere que sea el tamaño de una muestra para que proporcione una estimación del 90% del número promedio de graduados de las universidades nacionales con un error de muestreo de 2.000 estudiantes si una muestra piloto reporta una desviación estándar de 8.659?
Datos: 2000; 8.659; 90%E NC
Fórmulas:
2Z
nE
2
1,65 8.65990% 1,65; : 51,0321
2.
2
000
5n
xPara NC Z luego n
2) Para realizar un estudio se requiere un nivel de confianza del 95% para la tasa de rendimiento promedio de una empresa que gana sobre sus proyectos para presupuestar capital. ¿Cuántos proyectos debe tener la muestra, si su supervisor especifica un error máximo de sólo del 5% y una desviación estándar de 0,23?
Datos: 5%; 95%; 0,23E NC
Fórmulas: Z
nE
2
1,96 0,2395% 1,96 81,2
8
8830,05
2
xPara NC n
n
Z
3) El comisionado para supervisar el funcionamiento de los institutos de educación
universitaria requiere hacer un estudio sobre los graduandos de dichos institutos en esta parte del año. Solo sabe que el año pasado por esta época solo se graduó el 82% de los que tenían opción al grado. Se toma un nivel de confianza del 96%, y se estima un error de muestreo del 3%, para realizar una encuesta sobre la posibilidad que tiene cada estudiante de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatoria de los 25.683 graduandos. ¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra para realizar esta investigación?
Datos: 0,82; 0,03; 96%; 25.683E NC N Población Finita
32
Fórmula:
2
2 2
1
1
o
o
NZn
NE Z
2
2 2
0,82 0,18 25.683 2,05671,198
25.683 0,03 0,82 0,18 2,05672n graduandn os
4) El comisionado para supervisar el funcionamiento de los institutos de educación universitaria requiere hacer un estudio sobre los graduandos de dichos institutos en esta parte del año. No teniendo una información referencial para un basamento en el muestreo de los graduandos actuales; se toma un nivel de confianza del 96%, y se estima un error de muestreo del 3%, para realizar una encuesta sobre la posibilidad que tiene cada estudiante de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatoria de los 25.683 graduandos. ¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra para realizar esta investigación?
Datos: 0,03; 96%; 25.683; ( )E NC N Población Finita
Fórmulas:
2
2 2
0,25
0,25
o
o
NZn
NE Z
2
2 2
0,25 25.683 2,051.116,608
25.683 0,03 0,251
2,05.117n graduandosn
Problemas de Pruebas de Hipótesis de una o dos poblaciones.
Problema de Prueba de Hipótesis de dos colas
1) Una embotelladora de salsa de tomates quiere comprobar que el producto contenido en cada botella tiene un peso promedio de 450 gramos. Para realizar la comprobación se tomó una muestra de 250 botellas, y se le calculó al producto, un peso promedio de 452,75 gramos, con una desviación estándar de 24,55 gramos. Para la comprobación se toma un nivel de significancia del 5%. ¿Será cierto lo que quiere comprobar la embotelladora de salsa de tomates?
Datos: µ =450 grs., n=250 botellas; =452,75 grs.; S=24,55 grs.; α=5%
01. Planteamiento de la Hipótesis:
Hipótesis Nula; H0: µ =450 grs. HA: µ 450 grs.
02. Seleccionar un nivel de significancia:
Como µ=450 grs., eso implica que la prueba es de dos colas, por lo que
0,050,025
2 2o
03. Determinar el estadístico de prueba:
Siendo n=250 > 30, población grande, se usa la Distribución Z; por lo que
x
xz
S y
x
SS
n, por lo que:
24,551,553
250x
S y 452,75 450
1,771,553
z
33
04 Formular la regla de decisión:
Rechazo Zo =-1,96 Z=1,77 Zo=1,96 Aceptación
Por ser una prueba de dos colas para aceptar la Hipótesis Nula debe cumplirse que –Z0<Z<Z0, de lo contrario se rechaza. Se sabe que A0= 0,5 - α0, por lo tanto A0=0,5-
0,025=0,4750, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z0 =1,96.
05 Toma de Decisión:
Cumpliéndose lo establecido en la regla de decisión, por cuanto –Z0=-1,96<1,77=Z<1,96=Z0, se acepta la hipótesis nula, es decir: “la embotelladora comprobó con esta prueba de
hipótesis, que realmente el contenido de cada botella de salsa de tomate pesa un
promedio de 450 gramos”
Problema de Prueba de Hipótesis de una cola
2) Una embotelladora de salsa de tomates quiere comprobar que el producto contenido en cada botella tiene un peso promedio mayor o igual a 450 gramos. Para realizar la comprobación se tomó una muestra de 250 botellas, y se le calculó al producto, un peso promedio de 452,75 gramos, con una desviación estándar de 24,55 gramos. Para la comprobación se toma un nivel de significancia del 5%. ¿Será cierto lo que quiere comprobar la embotelladora de salsa de tomates?
Datos: 450 grs., n=250 botellas; =452,75; S=24,55 grs.; α=5%
01. Planteamiento de la Hipótesis:
Hipótesis Nula; H0: 450 .grs HA: µ<450 grs.
02. Seleccionar un nivel de significancia:
Como, 450 , eso implica que la prueba es de una cola, como =452,75 > 450 = µ, y la
cola es a la derecha por lo que αo=α= 0,05
03. Determinar el estadístico de prueba:
Siendo n=250 > 30, muestra grande, se usa la Distribución Z; por lo que
y x
xz
S y
x
SS
n, por lo que:
24,551,5527
250x
S452,75 450
1,771,5527
z
04. Formular la regla de decisión:
Cola a la Derecha
34
Aceptación Z0 =1,65 Z=1,77 Rechazo
Por ser una prueba de una cola y es a la derecha, para aceptar la Hipótesis Nula debe cumplirse que Z<Z0, de lo contrario se rechaza. Se sabe que A0= 0,5 - α0, por lo tanto A0=0,5-
0,05=0,4500, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z0 =1,65.
05 Toma de Decisión:
No cumpliéndose lo establecido en la regla de decisión, por cuanto Z=1,77> 1,65=Z0, se rechaza la hipótesis nula, es decir: “la embotelladora comprobó con esta prueba de hipótesis, que
realmente el contenido de cada botella de salsa de tomate pesa menos del promedio
de 450 gramos”
Problema de Prueba de Hipótesis de Proporción Poblacional y una cola
3) El encargado para colocar en el mercado de trabajo a los graduados del I. U. G. T. sostuvo que al menos el 50% de los nuevos graduados habían cerrado un trato de empleo para el 1ro de Agosto. Supongamos que reúne una muestra aleatoria de 30 estudiantes próxima a graduarse y que solo 10 de ellos señalan haber cerrado un trato de empleo para el 1ro de Agosto. Dentro de un nivel de significancia del 5%; ¿Se podrá rechazar que sostiene el encargado del I. U. G T para la colocación en el mercado de nuevos graduado?
Datos: 100,5; 30; 10; % 5%; 0,333330
Xn X pn
35
; : ; ,
0,5
0,5 0
P
,
r
0 0
.
, 5
.
A
imer Paso Plantear la Hipótesis
Segundo Paso Seleccionar el Nivel de Significanc
La Hipótesis Nula H quela Hipótesis Alternativa
Como prueba deuna cola luego y además es la
izquierda po
i
r ser
H
a
0,5 0,3333
30, sec
0,333 0,5
0,086
1 0,333 0,6670
. min P
,08630
1,94
r
. Re
p
p
p
Al ser n seconsiderauna población grandeencon uenc
Tercer Paso Deter ar el Es
ia seusa Z
pZ
p p x
tadístico de ueba
Cuarto Paso Formular la
Z
n
gla
,
0,5 0,5 0,05 0,45. 0 1,65
Para aceptar la Hipótesis Nula debecumplirse que Z Z por ser
A
de
una prueba
decola a la i
cisió
zqu
n
ierda Z
Cola a la Izquierda
Rechazo Z=-1,94 Z0=-1,65 Aceptaciòn
Re ,
1,94 1,65 ,
i
"
arg . . . . "
nt .
, :
Al nocumplirseloestablecidoenla gla decisión ya que
Z Z se re lo que
afirma el enc
Qu o Paso T
ado d
chaza la H
ecolocac
ipótesis Nula es d
ión de graduados del I U G T noes cier
ecir
t
omar la Decisi
o
ón
Problema de Prueba de Hipótesis de dos poblaciones y dos colas
4) Se estudia la ubicación de un centro comercial y se consideran las alternativas de dos localidades tomando en cuenta el ingreso económico mensual de los miembros de la
36
comunidad. Se desea probar la hipótesis de que no existe diferencia entre el ingreso económico medio de ambas comunidades y se supone que la desviaciones estándar de ese ingreso medio también son iguales. En una muestra de 30 hogares de la primera comunidad el ingreso mensual promedio es de Bs. 7.990,00 con una desviación estándar de Bs. 332. En una muestra de 40 hogares en la segunda comunidad, el ingreso mensual promedio es de Bs. 7.790,00 con una desviación estándar de Bs. 430. Para un nivel de significancia del 5%, ¿Se cumplirá la hipótesis planteada?
Datos: 1 1 1 2 2 230; 7.990; 332; 40; 7.790; 430; % 5%n X S n X S
1 2 1 2
1 2
Pr .
.
; : ,
.
0,0
m
,2
i
2
n
;
5
imer Paso Plantear la Hipótesis
Segundo Paso Seleccionar el Nivel de Sign
La Hipótesis Nula H quela Hipótesis Alternativa
Como prueba de dos cola
ificancia
Tercer Paso D
s l
eter ar e
uego
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
30 40; sec
7.990 7.790
91,086
332 43091
P
,08630 40
2,196
r
. Re
X X
X X
Al ser n y n seconsideran poblaciónes grandes en con uencia seusa Z
X
l Estadístico de ueba
Cuarto Paso Formular la gla de
X
n n
ZZ
0,5 0,5 0,025 0,4750 1 6
,
. ,9
Para aceptar la Hipótesis Nula debecumplirse que Z Z Z por ser una
de dos cola
ci
As
si
Z
ón
Rechazo Z0=-1,96 Z0=1,96 Z=2,196 Aceptación
37
Re ,
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resos eco
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i delo
Decisió
s reside
sis Nula es dec
ntes de ambas c
n
omunida
ir
"des
38
APÇENDICES
APÉNDICE “A”
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL O “Z” (Media Campana)
Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z A
0,00 0,0000 0,45 0,1736 0,90 0,3159 1,35 0,4115 1,80 0,4641 2,25 0,4878 2,70 0,4965 3,15 0,4992
0,01 0,0040 0,46 0,1772 0,91 0,3186 1,36 0,4131 1,81 0,4649 2,26 0,4881 2,71 0,4966 3,16 0,4992
0,02 0,0080 0,47 0,1803 0,92 0,3212 1,37 0,4147 1,82 0,4656 2,27 0,4884 2,72 0,4967 3,17 0,4992
0,03 0,0120 0,48 0,1844 0,93 0,3238 1,38 0,4162 1,83 0,4664 2,28 0,4887 2,73 0,4968 3,18 0,4993
0,04 0,0160 0,49 0,1879 0,94 0,3264 1,39 0,4177 1,84 0,4671 2,29 0,4890 2,74 0,4969 3,19 0,4993
0,05 0,0199 0,50 0,1915 0,95 0,3289 1,40 0,4192 1,85 0,4678 2,30 0,4893 2,75 0,4970 3,20 0,4993
0,06 0,0239 0,51 0,1950 0,96 0,3315 1,41 0,4207 1,86 0,4686 2,31 0,4896 2,76 0,4971 3,21 0,4993
0,07 0,0279 0,52 0,1985 0,97 0,3340 1,42 0,4222 1,87 0,4693 2,32 0,4898 2,77 0,4972 3,22 0,4994
0,08 0,0319 0,53 0,2019 0,98 0,3365 1,43 0,4236 1,88 0,4700 2,33 0,4901 2,78 0,4973 3,23 0,4994
0,09 0,0359 0,54 0,2054 0,99 0,3389 1,44 0,4251 1,89 0,4706 2,34 0,4904 2,79 0,4974 3,24 0,4994
0,10 0,0398 0,55 0,2088 1,00 0,3413 1,45 0,4265 1,90 0,4713 2,35 0,4906 2,80 0,4974 3,25 0,4994
0,11 0,0438 0,56 0,2123 1,01 0,3438 1,46 0,4279 1,91 0,4719 2,36 0,4909 2,81 0,4975 3,26 0,4994
0,12 0,0478 0,57 0,2157 1,02 0,3461 1,47 0,4292 1,92 0,4726 2,37 0,4911 2,82 0,4976 3,27 0,4995
0,13 0,0517 0,58 0,2190 1,03 0,3485 1,48 0,4306 1,93 0,4732 2,38 0,4913 2,83 0,4977 3,28 0,4995
0,14 0,0557 0,59 0,2224 1,04 0,3508 1,49 0,4319 1,94 0,4738 2,39 0,4916 2,84 0,4977 3,29 0,4995
0,15 0,0596 0,60 0,2258 1,05 0,3531 1,50 0,4332 1,95 0,4744 2,40 0,4918 2,85 0,4978 3,30 0,4995
0,16 0,0636 0,61 0,2291 1,06 0,3554 1,51 0,4345 1,96 0,4750 2,41 0,4920 2,86 0,4979 3,31 0,4995
0,17 0,0675 0,62 0,2324 1,07 0,3577 1,52 0,4357 1,97 0,4756 2,42 0,4922 2,87 0,4980 3,32 0,4996
0,18 0,0714 0,63 0,2357 1,08 0,3599 1,53 0,4370 1,98 0,4762 2,43 0,4925 2,88 0,4980 3,33 0,4996
0,19 0,0754 0,64 0,2389 1,09 0,3621 1,54 0,4382 1,99 0,4767 2,44 0,4927 2,89 0,4981 3,34 0,4996
0,20 0,0793 0,65 0,2422 1,10 0,3643 1,55 0,4394 2,00 0,4773 2,45 0,4929 2,90 0,4981 3,35 0,4996
0,21 0,0832 0,66 0,2454 1,11 0,3665 1,56 0,4406 2,01 0,4778 2,46 0,4931 2,91 0,4982 3,36 0,4996
0,22 0,0871 0,67 0,2486 1,12 0,3686 1,57 0,4418 2,02 0,4783 2,47 0,4932 2,92 0,4983 3,37 0,4996
0,23 0,0910 0,68 0,2518 1,13 0,3708 1,58 0,4430 2,03 0,4788 2,48 0,4934 2,93 0,4983 3,38 0,4996
0,24 0,0948 0,69 0,2549 1,14 0,3729 1,59 0,4441 2,04 0,4793 2,49 0,4936 2,94 0,4984 3,39 0,4997
0,25 0,0987 0,70 0,2580 1,15 0,3749 1,60 0,4452 2,05 0,4798 2,50 0,4938 2,95 0,4984 3,40 0,4997
0,26 0,1026 0,71 0,2612 1,16 0,3770 1,61 0,4463 2,06 0,4803 2,51 0,4940 2,96 0,4985 3,41 0,4997
0,27 0,1064 0,72 0,2642 1,17 0,3790 1,62 0,4474 2,07 0,4808 2,52 0,4941 2,97 0,4985 3,42 0,4997
0,28 0,0110 0,73 0,2673 1,18 0,3810 1,63 0,4485 2,08 0,4812 2,53 0,4943 2,98 0,4986 3,43 0,4997
0,29 0,1141 0,74 0,2704 1,19 0,3830 1,64 0,4495 2,09 0,4817 2,54 0,4945 2,99 0,4986 3,44 0,4997
0,30 0,1179 0,75 0,2734 1,20 0,3849 1,65 0,4505 2,10 0,4821 2,55 0,4946 3,00 0,4987 3,45 0,4997
0,31 0,1217 0,76 0,2764 1,21 0,3869 1,66 0,4515 2,11 0,4826 2,56 0,4948 3,01 0,4987 3,46 0,4997
0,32 0,1255 0,77 0,2794 1,22 0,3888 1,67 0,4525 2,12 0,4830 2,57 0,4949 3,02 0,4987 3,47 0,4997
0,33 0,1293 0,78 0,2823 1,23 0,3907 1,68 0,4535 2,13 0,4834 2,58 0,4951 3,03 0,4988 3,48 0,4998
0,34 0,1331 0,79 0,2852 1,24 0,3925 1,69 0,4545 2,14 0,4838 2,59 0,4952 3,04 0,4989 3,49 0,4998
0,35 0,1368 0,80 0,2881 1,25 0,3944 1,70 0,4554 2,15 0,4842 2,60 0,4953 3,05 0,4989 3,50 0,4998
0,36 0,1406 0,81 0,2910 1,26 0,3962 1,71 0,4564 2,16 0,4846 2,61 0,4955 3,06 0,4989 3,51 0,4998
0,37 0,1443 0,82 0,2939 1,27 0,3980 1,72 0,4573 2,17 0,4850 2,62 0,4956 3,07 0,4989 3,52 0,4998
0,38 0,1480 0,83 0,2967 1,28 0,3997 1,73 0,4582 2,18 0,4854 2,63 0,4957 3,08 0,4990 3,53 0,4998
0,39 0,1517 0,84 0,2996 1,29 0,4015 1,74 0,4591 2,19 0,4857 2,64 0,4959 3,09 0,4990 3,54 0,4998
0,40 0,1554 0,85 0,3023 1,30 0,4032 1,75 0,4599 2,20 0,4861 2,65 0,4960 3,10 0,4990 3,55 0,4998
0,41 0,1591 0,86 0,3081 1,31 0,4049 1,76 0,4608 2,21 0,4865 2,66 0,4961 3,11 0,4991 3,56 0,4998
0,42 0,1628 0,87 0,3079 1,32 0,4066 1,77 0,4616 2,22 0,4868 2,67 0,4962 3,12 0,4991 3,57 0,4998
0,43 0,1664 0,88 0,3106 1,33 0,4082 1,78 0,4625 2,23 0,4871 2,68 0,4963 3,13 0,4991 3,58 0,4998
0,44 0,1700 0,89 0,3133 1,34 0,4099 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,69 0,4964 3,14 0,4992 3,59 0,4998
39
Tabla Orientadora para obtener las probabilidades de la
DistribucAplicando la Media Campana de Gauss APÉNDICE “B”
Valores notable de Z
N.C.
% A0 Z0 N.C.
% A0 Z0 N.C.
% A0 Z0 N.C.
% A0 Z0
80 0,400 1,28 85 0,425 1,44 90 0.450 1,65 95 0.475 1,96
81 0,405 1,31 86 0,430 1,48 91 0,455 1,72 96 0,480 2,05
82 0,410 1,34 87 0,435 1,51 92 0,460 1,75 97 0,485 2,17
83 0,415 1,37 88 0,440 1,56 93 0,465 1,81 98 0,490 2,33
84 0,420 1,41 89 0,445 1,60 94 0,470 1,88 99 0,495 2,58
GRÁFICA EN LA
CAMPANA DE GAUSS
PROBABILIDAD
SOLICITADA
PARÁMETRO
RESPECTO A LA MEDIA
POBLACIONAL
SIGNO DE Z
OBTENCIÓN DEL
ÁREA EN LA TABLA DE Z
Un solo acotamiento (X<a; X>a)
P X a a Z 0,5 aA A
P X a a Z 0,5 aA A
P X a a Z 0,5 aA A
P X a a Z 0,5 aA A
Doble acotamiento (a<X<b; X<a ó X>b)
P a X b a b ;a bZ y Z b aA A A
P a X b a b ;a bZ y Z b aA A A
P a X a b Z aA A
P X b a b Z bA A
P a X b a b ;a bZ y Z a bA A A
40
DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
APÉNDICE "C"
Intervalo de Confianza, IC
Intervalo de Confianza, IC
80% 90% 95% 98% 99% 99,9%
80% 90% 95% 98% 99% 99,9%
Nivel de significancia para prueba de una cola,
Nivel de significancia para prueba de una cola,
g.l. 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,0005
g.l. 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,0005
Nivel de significancia para prueba de dos colas,
Nivel de significancia para prueba de dos colas,
0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,001
0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,001
1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619
34 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,601
2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599
35 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 3,591
3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924
36 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 3,582
4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610
37 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 3,574
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869
38 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 3,566
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959
39 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 3,558
7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408
40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041
41 1,303 1,683 2,020 2,421 2,701 3,544
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781
42 1,302 1,682 2,018 2,418 2,698 3,538
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587
43 1,302 1,681 2,017 2,416 2,695 3,352
11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437
44 1,301 1,680 2,015 2,414 2,692 3,526
12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318
45 1,301 1,676 2,014 2,412 2,690 3,520
13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221
46 1,300 1,679 2,013 2,410 2,687 3,515
14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140
47 1,300 1,678 2,012 2,408 2,685 3,510
15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073
48 1,299 1,677 2,011 2,407 2,682 3,505
16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015
49 1,299 1,677 2,010 2,405 2,680 3,500
17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965
50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,496
18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922
51 1,298 1,675 2,008 2,402 2,676 3,492
19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883
52 1,298 1,675 2,007 2,400 2,674 3,488
20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
53 1,298 1,674 2,006 2,399 2,672 3,484
21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819
54 1,297 1,674 2,005 2,397 2,670 3,480
22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792
55 1,297 1,673 2,004 2,396 2,668 3,476
23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768
56 1,297 1,673 2,003 2,395 2,667 3,473
24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745
57 1,297 1,672 2,002 2,394 2,665 3,470
25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725
58 1,296 1,672 2,002 2,392 2,663 3,466
26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707
59 1,296 1,671 2,001 2,391 2,662 3,463
27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690
60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460
28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674
61 1,296 1,670 2,000 2,389 2,659 3,457
29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659
62 1,295 1,670 1,999 2,388 2,657 3,454
30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646
63 1,295 1,669 1,998 2,387 2,656 3,452
31 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 3,633
64 1,295 1,669 1,998 2,386 2,655 3,449
32 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,622
65 1,295 1,669 1,997 2,385 2,654 3,447
33 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,611
66 1,295 1,668 1,997 2,384 2,652 3,444
41
APÉNDICE “D”
FÓRMULAS PARA LA DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO
ADECUADO DE LA MUESTRA
Tipo de
Población
Parámetro Fórmula Ordinaria Fórmula
Óptima
Comentario
No finita
Media
Poblacional
2Z
nE
Seleccionado el N.C., en el
tamaño muestral 2 factores
importantes influyen: a) la
varianza de la pobl. (2
),
expresa el grado de
variabilidad que presentan
las unidades de la pobl.,
siendo para prop. Poblacs.:
2= π (1- π) y en el mejor
de los casos 2
x= 0,25; b) el
tamaño del error tolerable (E)
fijado por el investigador de
acuerdo al estudio a realizar
y c) el nivel de confianza
(NC), tiene relación directa
con el tamaño de la muestra
a mayor nivel de confianza el
tamaño de la muestra será
mayor.
Proporción Poblacional
2
1Z
nE
2
0,25Z
nE
Finita
Media
Poblacional
2 2
2 2 2
NZn
NE Z
Proporción Poblacional
2
2 2
1
1
NZn
NE Z 2
2 2
0,25
0,25
NZn
NE Z