EJERCICIOS DE CÁLCULO CCSS2 (P.A.U)

1.- Dada la función ( )

( )

2

2

5 2

2 1 2 3

31

ax si x

f x x x si x

x bsi x

x

+ ≤ −= − + − < ≤ + <

−

a) Determina los valores de a y b para los que se obtiene una función continua en todo su dominio. b) Considerando los valores de a y b del apartado anterior, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, todos los extremos relativos y curvatura de la función.

c) Para b=13 calcular la integral definida 6

4( )f x dx∫

(J-2011)

2.- Dada la función ( )2

2

2 3

4

x xf x

x

− −=−

a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes. b) Sus asíntotas. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. d) Finalmente con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuja la gráfica.

e) Dada la función ( )( )2

2 3

3

af x

x

+=−

, determina el valor de a teniendo en cuenta que una

función primitiva de f(x) , F(x) , pasa por los puntos (2,0) y (1,2). Calcula F(x). (J-2011)

3.- Dada la función ( )( )2

4

3f x

x

−=−

hallar:

a) El dominio de definición y los puntos de corte con los ejes. b) Sus asíntotas. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. d) Finalmente con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuja la gráfica. e) Calcula el área de la región delimitada por la curva, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2. (S-2011) 4.-

a) Dada la función ( )( )

2

2

3 5 3

13 0

2

0

ax x si x

xf x si x

x

x b si x

− + ≤ −

−= − < <+

+ ≤

a. Determina los valores de a y b para los que se obtiene una función continua en x=-3 y en x=0.

b. Para a=-2 calcula la integral definida 4

5( )f x dx

−

−∫

b) Una bombonería elabora diariamente x kg de bombones. El coste diario de producción depende de dicha cantidad según la siguiente relación:

( ) 5 22,5 ( )C x x euros= +

Se estima que si elaboran x kg diarios, un kg debe venderse a 260 0,5x− euros.

Si cada día se vende toda la producción, ¿Cuántos kg diarios deben elaborar para obtener unos beneficios máximos? ¿a qué precio debe venderse el kg de bombones para obtener dichos beneficios? (S-2011)

5.-Un vendedor de electrodomésticos tiene un sueldo fijo de 900 euros y una comisión dada por la función -0,007x2 + 0,35x + 20, siendo x el número de unidades vendidas. El vendedor tiene un gasto mensual de 350 euros. ¿Cuántos electrodomésticos debe vender al mes para obtener una ganancia máxima? ¿Cuánto supone dicha ganancia? (S-2010)

6.- Calcula la integral 2

2

3 12 15

xdx

x x

++ −∫ (S-2010)

7.- Dada la función ( )2

2

3 1 2

5 2 4

2 9 4 5

ax x si x

f x bx si x

x x si x

+ − − < <= + ≤ < + + ≤ <

Determina los valores de a y b para los que se obtiene una función continua en todo su dominio. (S-2010)

8.- Dada la función ( )2 2

1

ax bxf x

x

+ +=−

, determina los valores de a y b tales que f(x) tiene

un extremo relativo en x=0 y un punto de inflexión en x=2. (S-2010)

9.- Dada la función ( ) 2

75 3 1

3

4 1 3

153 6

1

xsi x

f x x ax si x

bxsi x

x

− + − < ≤= − + + < ≤ − < <

−

a) Determina los valores de a y b para los que se obtiene una función continua en todo su dominio. b) ¿En qué puntos de su dominio la función obtenida en el apartado anterior es derivable?

c) Para b=11 calcular la integral definida 5

4( )f x dx∫

(J-2010)

10.- Dada la función ( )2

2

3 2

1

x xf x

x

− +=−

halla

a) El dominio de definición y los puntos de corte con los ejes. b) Sus asíntotas. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. d) Los intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. e) Finalmente con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuja la gráfica. (J-2010)

11.- Dada la función ( )2

5

xf x

x=

−, calcular:

a) El dominio de definición y los puntos de corte con los ejes. b) Sus asíntotas. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. d) Los intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión, si existen. e) Finalmente con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuja la gráfica. f) Calcula el área de la región delimitada por la curva, el eje OX y las rectas x = 6 y x = 9. (S-2009)

12.- Dada la función ( ) 2

3 5 0

20

4 2

x si x

f x x ax bsi x

x

+ <= + + ≤ +

Determina los valores de a y b para los que se obtiene una función continua y derivable en x=0. (S-2009)

13.- Dada la función ( )2

2 4

xf x

x=

−, calcular:

a) El dominio de definición y los puntos de corte con los ejes. b) Sus asíntotas. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. d) Finalmente con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuja la gráfica. e) Calcula el área de la región delimitada por la curva, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1. (J-2009) 14.- Una agencia organiza un viaje para el que se han inscrito 25 personas. Ha contratado un avión por 3000 euros y además debe asumir unos gastos por persona de 450 euros. Cada viajero debe pagar 1500 euros. La agencia propone la siguiente oferta: por cada nuevo pasajero inscrito rebajará en 6 euros el precio del viaje. ¿Cuál será el número óptimo de pasajeros que maximice los beneficios? ¿A cuánto ascenderán esos máximos beneficios? (J-2009)

15.- Dada la función ( ) 3 22 3f x x x x= − − + , calcular:

a) El dominio de definición y los puntos de corte con los ejes. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. c) Los intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión, si existen. d) Finalmente con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuja la gráfica. e) Calcula el área de la región delimitada por la curva y el eje OX. (S-2008) 16.- Un comerciante ha estado vendiendo plumas estilográficas a 20 euros la unidad y las ventas mensuales han sido de 35 unidades. Quiere subir el precio y calcula que, por cada aumento de un euro en el precio, venderá dos unidades menos. Por otro lado, cada pluma le cuesta a la tienda 10 euros. ¿A qué precio debe vender las plumas para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio? (S-2008)

17.- Estudiar la continuidad de la función ( )3

2

5 2

5 6

x xf x

x x

− +=− +

clasificando las

discontinuidades que encuentres ¿es posible definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? (J-2008)

18.- Dada la función ( ) 3 23 2f x x x x= − − , calcular:

a) El dominio de definición y los puntos de corte con los ejes. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. c) Los intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión, si existen. d) Finalmente con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuja la gráfica. e) Calcula el área de la región delimitada por la curva y el eje OX. (J-2008)

19.- Sea ( ) 2 3 2f x x x= − + . Hallar el dominio, las asíntotas, el crecimiento y el área

encerrada por la función f(x), la recta x=0 y la recta y=0. (S-2007) 20.- Hallar dos números cuya suma es 20, sabiendo que su producto es máximo. (S-2007)

21.- Sea la función ( ) k

f x xx

= − . Hallar k para que f tenga un máximo en x=-1. Para

ese valor de k hallar: Dominio, asíntotas y crecimiento. (J-2007) 22.- Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado del otro ha de ser máximo. (J-2007)

23.- Dada la función ( ) 2

1 1

1 1

1

si x

f x x si x

x si x

− −∞ < ≤ −= − < < ≤ < +∞

determinar:

a) Si f(x) es continua en x = -1 y x = 1. b) Si es derivable en dichos puntos. c) La recta tangente en el punto x=1. d) El área encerrada por la función f(x), la recta x = 0 y la recta x = 3. (S-2006) 24.- Se desea construir un marco para una ventana rectangular de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 euros y el vertical un 50% más. Calcule las dimensiones del marco para que el coste sea mínimo y dicho coste. (S-2006)

25.- Sea la función ( )3

2

27

9

xf x

x

−=−

. Hallar su dominio, asíntotas, crecimiento y área

encerrada por f(x), la recta x = 4, la recta x = 6 y la función ( ) 9

3g x

x=

+.

(J-2006) 26.- Se tiene un segmento recto de 2 metros de longitud. Se divide en dos partes cada una de las cuales es la base de un triángulo isósceles cuya altura es el doble que la base. ¿Cómo ha de ser cada parte para que la suma de las áreas de los dos triángulos así construidos sea mínima? (J-2006) 27.- Si tenemos un cable de longitud a determinar el rectángulo de área máxima que podemos construir con él. (S-2005)

28.- Representar la gráfica de la función ( ) ( )2 2 4y x x= + − indicando máximos y

mínimos y su crecimiento. (S-2005)

29.- Sea la función ( )2 6 5

3

x xf x

x

− +=−

. Hallar su dominio, asíntotas, crecimiento y área

encerrada por f(x), la recta x = 5, la recta x = 9 y la función ( ) 4

3g x

x= −

−.

(J-2005) 30.- Una piedra preciosa pesa 10 gramos. Se sabe que el valor de una piedra preciosa es proporcional al cuadrado de su peso y que el valor de la que tenemos es 1200 euros. Si accidentalmente la piedra se cae y se parte en dos trozos, ¿cuál es el peso de cada trozo que nos produce la máxima pérdida económica? (J-2005)

31.- Sabiendo que la función f(x)=x2+ax+b tiene un mínimo en 1 3

,2 4

−

, calcular el

área encerrada por la función y la recta y=1. (S-2004) 32.- La producción Q(x) de cierta hortaliza en el invernadero en kg depende de la

temperatura, en grados centígrados, según la expresión ( ) ( ) ( )21 · 32Q x x x= + − . Calcular:

i) ¿Cuál es la temperatura óptima a mantener para maximizar la producción? ii) ¿Qué producción de hortaliza se obtendrá? (S-2004)

33.-Sea la función ( )2 1

x

f xx

+= .Hallar su dominio, asíntotas, crecimiento y área

encerrada por f(x), la recta x = 1, la recta x = 5 y la función ( ) 1g x

x= .

(J-2004) 34.- La suma de 3 números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 120. Hallarles para que su producto sea máximo. (J-2004)

35.- Sea ( ) 3 2 6 9f x x x x= − + .Hallar el dominio, puntos en los que f(x) se anula, el

crecimiento y extremos relativos y el área encerrada por la función f(x) y las rectas x=0, x=3 y la recta y=0. (S-2003) 36.- Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, margen superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie de papel. (S-2003)

37.- Dada la función ( ) 2

3 2 0

0

x si xf x

ax bx c si x

+ <= + + ≤

sabemos que es

continua y derivable en x=0, y que el área encerrada por la función y las rectas x=0, y=0 y x=3 es igual a 9 unidades de superficie. Se pide hallar la función y su máximo o mínimo si es que los tiene. (J-2003)

38.- A un intermediario un producto le cuesta la unidad 300 euros. Sabe que, al precio de 420 euros la unidad vende 50 unidades al mes y que, por cada 3 euros de descuento en el precio, puede vender 5 unidades más al mes. Hállese el precio a que debe vender el producto para obtener el máximo beneficio posible. (J-2003)

39.- Sea la función ( )2

2

1

x xf x

x

+=+

.Hallar su dominio, asíntotas, crecimiento y corte con

los ejes de coordenadas. (S-2002) 40.- En una ventana rectangular se ha sustituido el lado superior por un semicírculo. Su perímetro total es de 4 metros. Calcular las dimensiones de la ventana si la cantidad de luz ha de ser máxima. (S-2002)

41.- Dada la función y(x)=x3-x2-2x. Hallar dominio, cortes con los ejes, crecimiento, área encerrada por la gráfica de la función y las rectas y=0; x=0; x=2. (J-2002)

42.- De entre todos los triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia (hipotenusa=diámetro) de radio 10 cm. Se pide hallar el que tiene área máxima. (J-2002)

43.- Dada la función ( )

2

2

71

61 1 6

76

6

x xsi x

f x si x

x xsi x

− ≤= − < < − ≤

analizar la

continuidad, la derivabilidad y calcula el área encerrada por la función y el eje X. (S-2001) 44.-Determinar dos números cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno por el

cubo del otro sea máximo. (J-2001)

45.- Sea la función ( ) 2

1

xf x

x=

+.Hallar su dominio, asíntotas, crecimiento y corte con

los ejes de coordenadas. (J-2001)