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Problemas de inventarios. Un inventario es un recurso inempleado pero útil que posee valor
económico. El problema se plantea cuando una empresa expendedora o
productora de bienes y servicios no produce en un momento determinado
la cantidad suficiente para satisfacer la demanda, por lo que debe realizar
un almacenamiento protector contra posibles inexistencias.
El objetivo estriba en definir el nivel de inventario. Estas decisiones
consisten en dar normas que nos precisen en que instante se deben efectuar
los pedidos del producto considerado y la cantidad que se debe pedir.
En términos generales un inventario es un conjunto de recursos útiles que
se encuentran ociosos en algún momento. El objetivo de los problemas de
inventario es minimizar los costes (totales o esperados) del sistema sujetos
a la restricción de satisfacer la demanda (conocida o aleatoria). Entre los
diferentes costes que puede haber en un problema de inventario están:
1.- Costes de fabricación.
2.- Costes de mantenimiento o almacenamiento.
3.- Costes de penalización o rotura por no satisfacer la demanda.
4.- Rendimientos o ingresos. (puede o no incluirse en el modelo).
5.- Costes de recuperación o salvamento. (El valor de recuperación
representa el valor de desecho del articulo para la empresa, quizá a través
de una venta con descuento).
6.- Tasa de descuento. La tasa de descuento toma en cuenta el valor del
dinero en el tiempo. Cuando una empresa compromete capital en
inventarios, no puede usar este dinero para otros fines.
El problema básico es determinar cuánto y cuándo hay que producir.
Los problemas de inventarios suelen clasificarse en:
- Determinísticos: demanda fija.
- Aleatorios: demanda es una variable aleatoria con distribución conocida.
Otra clasificación tiene en cuenta la forma de revisión del inventario:
- Modelos de revisión continua: se hacen pedidos cuando el inventario
baja de cierto límite.
- Modelos de revisión periódica: si los pedidos se hacen a intervalos de
tiempo discretos.
EJEMPLO 1 Revisión continua, demanda uniforme.
Un problema de inventario bastante frecuente es aquel en el que el
inventario se reduce con el tiempo y después se reabastece con la llegada
de nuevos productos. El modelo de lote económico representa esta
situación. Los elementos del modelo son:
- Se requieren a unidades del articulo por unidad de tiempo.
- Se piden o producen Q unidades a la vez en el momento que sea
necesario.
Los costes que se consideran son:
- El coste fijo de preparación de un pedido es k.
- El coste de producir ó comprar una unidad del articulo es c.
- El coste del inventario de una unidad del articulo durante una unidad de
tiempo es h.
El problema consiste en determinar la frecuencia con la que hay que hacer
los pedidos y el número de unidades a pedir para que el coste por unidad de
tiempo sea mínimo.
Se supone revisión continua, por lo que el inventario se puede reabastecer
cuando el inventario baje lo suficiente.
VARIANTE 1. No se permiten faltantes.
Q - at
Q
Q/a 2Q/a 3Q/a
- Llamamos ciclo al tiempo t entre dos instantes consecutivos de pedido. Es
t = Q/a.
- El coste de producción por ciclo es k + cQ (si Q > 0), 0 (si Q =0).
- El nivel medio de inventario durante un ciclo es Q/2 y el coste
correspondiente es h Q/2 por unidad de tiempo, luego el coste de
mantenimiento por ciclo es h Q/2 Q/a = h Q2/2a.
- El coste total por ciclo es k + cQ + hQ2/2a.
- El coste total por unidad de tiempo es:
aQahQcQkz
/2/2++
=
El mínimo de z se alcanza en
hakQ /2* =
valor que se obtiene derivando e igualando a cero la primera derivada y
observando que la segunda derivada es positiva.
De igual manera el tiempo óptimo será:
ahkaQt /2/** ==
Ejemplo 1:
Una compañía que fabrica televisores produce sus propias bocinas para usarlas en la fabricación de los aparatos. Los televisores se ensamblan en una línea de producción continua a una tasa de 8000 al mes, en donde se necesita una bocina por televisor. Las bocinas se producen por lotes, pues no justifican toda una línea de producción y se pueden producir cantidades relativamente grandes en un tiempo corto. Por lo tanto, las bocinas se colocan en inventario hasta que se necesitan para ensamblarlas en los televisores en la línea de producción. La compañía está interesada en determinar cuándo producir un lote de bocinas y cuántas bocinas producir en cada lote. Es necesario tener en cuenta varios costos: - Cada vez que se produce un lote, se incurre en un costo de preparación
de 30.000 ptas. Esta cantidad incluye el costo de preparar las máquinas y herramientas, los costos administrativos, los de registros, etc. Observemos que la existencia de estos costos es un argumento para producir lotes grandes de bocinas.
- El costo unitario de producción de una sola bocina es de 2500 ptas. independiente del tamaño del lote fabricado.
- La producción de bocinas en grandes lotes lleva a un inventario grande. La estimación del costo de mantener una bocina en almacén es de 6 ptas. por mes. La existencia de un costo de mantener el inventario es un motivo para producir lotes pequeños.
- La política de la compañía prohibe la planeación deliberada de faltantes de cualquiera de sus componentes. Sin embargo existe un faltante de bocinas y se ha estimado que cada bocina que falta cuando se necesita cuesta 180 ptas. por mes. Este costo por faltantes incluye el costo de instalar las bocinas cuando el televisor está totalmente ensamblado, el espacio de almacén, el ingreso retrasado, etc.
Aplicando las fórmulas obtenidas en la variante 1 (vista anteriormente) se obtiene: k = 30.000ptas. h = 6 ptas. por mes a = 8000 de manera que :
89456/3000080002* == xxQ y
mesesaQt 1.28000/8945/** ===
VARIANTE 2. Se permiten faltantes.
Puede ser rentable quedarse sin existencias, así se alarga la longitud del
ciclo con lo que disminuye el coste total debido al coste fijo de pedido; sin
embargo, se incurre en el coste de rotura por no poder satisfacer la
demanda. Aparecen nuevos elementos:
- El coste p de una unidad de demanda no satisfecha (por unidad de
tiempo).
- La cantidad disponible S al principio de un ciclo.
El diagrama de nivel de inventario como una función del tiempo en este
caso sería:
S/a
S
Tiempo t Q/a
Q
- El coste de producción por ciclo es k + cQ (si Q > 0).
- Durante el ciclo el nivel de inventario es positivo durante un tiempo S/a.
- El nivel medio de inventario durante ese tiempo es S/2 artículos por
unidad de tiempo y el coste correspondiente h S/2.
- El coste de mantener el inventario por ciclo es:
ahS
aShS
22
2
=
- De manera similar los faltantes ocurren durante un tiempo (Q-S)/a.
- La cantidad promedio de faltas durante ese tiempo es (Q-S)/2 artículos
por unidad de tiempo y el coste correspondiente p (Q-S)/2.
- El coste total de faltas es:
aSQp
aSQSQp
2)()(
2)( 2−
=−−
Así es coste total por ciclo es
aSQp
ahScQk
2)(
2
22 −+++
y el coste total por unidad de tiempo es
QSQp
QhSac
Qak
aQ
aSQp
ahScQk
2)(
22
)(2 22
22
−+++=
−+++
Este modelo tiene dos variables (S y Q) y los valores óptimos S* y Q* se
encuentran estableciendo las derivadas parciales igual a cero. Al resolver
estas ecuaciones simultáneas se obtiene
php
hakQ
hpp
hakS
+=
+=
2
y
2
*
*
Así la longitud óptima del ciclo es:
php
ahk
aQt +
==2**
la falta máxima de existencias es
hph
pakSQ
+=−
2**
y la fracción de tiempo con existencia es
hpp
aQaS
+=
/*/*
que es independiente de k.
Ejemplo 2.
En el ejemplo anterior de los televisores, si se permiten faltantes, el costo
por faltantes se estimo en p = 180 ptas.
De nuevo k = 30.000ptas., h = 6 ptas. por mes y a = 8000, por lo que ahora
88009837.089456180
1806
3000080002* ==+
= xxxS
9243033.18945180
61806
3000080002* ==+
= xxxQ
y
mesest 16.180009243* ==
Así la línea de producción debe prepararse cada 1.6 meses para producir
9243 bocinas. El faltante máximo que se permite es de 443 bocinas.
