Problemas diversos sobre derivadas de productos de ... · UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Departamento de Métodos Cuantitativos DET-385,

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Departamento de Métodos Cuantitativos DET-385, Métodos Cuantitativos III

Problemas diversos sobre: derivadas de productos de funciones, cocientes de

funciones, regla de la potencia, funciones exponenciales y logarítmicas, trazado de curvas, maximización y minimización de funciones aplicadas a la administración y economía y

elasticidad ingreso de la demanda.

ABRIL DEL AÑO 2003

1) Dada la función 3 2( ) 4 3 3:f x x x x

a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)

21

3

4

3

3

'( ) 3 8 3 (3 1) ( 3) 0

''( ) 6 8 0

x

f x x x x xx

f x x x

b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es

decreciente, así como los puntos máximo y mínimos de la gráfica de f. (5%)

Intervalo ] – , – 3 [ ] – 3, 1 / 3 [ ] 1 / 3, + [

Signo de f ’(x) + – + Conclusión f es creciente f es decreciente f es creciente

Cálculos Numéricos: f ’(– 4) = 13, f ’(0) = – 3, f ’(1) = 8,

f (– 3) = 15, f (1 / 3) = – 95 / 27 – 3.5

c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los

intervalos dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de

inflexión de la gráfica de f. (5%)

Intervalo ] – , – 4 / 3 [ ] – 4 / 3, + [

Signo de f ’’(x) – + Conclusión f es cóncava hacia abajo f es cóncava hacia arriba

Cálculos Numéricos: f ’’(– 2) = – 4, f ’’(0) = 8,

f (– 4 / 3) = 155 / 27 5.7

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de

coordenadas dado a continuación). (5%)

Previamente diseñaremos un cuadro resumen.

Intervalo Conclusión

] – , – 3 [ f es creciente y cóncava hacia abajo

x = – 3 Punto máximo relativo: (– 3, 15)

] – 3, – 4 / 3 [ f es decreciente y cóncava hacia abajo

x = – 4 / 3 Punto de inflexión: (– 4 / 3, 155 / 27) (– 4 / 3, 5.7)

] – 4 / 3, 1 / 3 [ f es decreciente y cóncava hacia arriba

x = 1 / 3 Punto mínimo relativo: (2 / 3, – 95 / 27 ) (2 / 3, – 3.5)

] 1 / 3, + [ f es creciente y cóncava hacia arriba

2) Una compañía advierte que puede venderse toda la existencia del producto que elabora a un precio unitario de L. 2. Además estima que la función de

costo total del producto es

21

( ) 1,0002 50

xC x

lempiras por x

unidades producidas.

a) Encuentre una expresión para la utilidad total si se producen y venden x

unidades. (6%)

2

( ) 2 1,0005,000

xU x x

b) Determine el número de unidades producidas que maximizan la utilidad y compruebe que en efecto para ese nivel hay un máximo. (7%)

'( ) 2 0 5,0002,500

1 1''( ) ''(5,000) 0

2,500 2,500

, 5,000.

xU x x

U x U

Por tanto U tiene un máximo en x

c) ¿Cuál es la utilidad máxima en lempiras? (6%)

2(5,000)(5,000) 2(5,000) 1,000 5,000 1,000 4,000

5,000U lempiras

d) ¿Cuál será la utilidad si se produjeran 6000 unidades y compare estos dos últimos resultados? (6%)

2(6,000)(5,000) 2(6,000) 1,000 3,800 .

5,000

,

( ) ( ), , .

U lempiras

Dado que la función de utilidad es una parábola el máximo

en c es mayor que en d es decir es máximo absoluto

3) Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy

dx en el caso de las

funciones siguientes:

a) 2 2 3

3 2

( 1) ( 2)

( 4)

x xy

x

(13%)

2 3 3

2 2

2 3 3

2 2

2 3 3

2 2

2 3 3

2 2 3 2 2

3 2 2 3 3

1ln( ) 2 ln( 1) ln( 2) 2ln( 4)

2

' 1 4 3 6

2 1 2 4

' 2 3 3

1 2( 2) 4

2 3 3'

1 2( 2) 4

( 1) ( 2) 2 3 3'

( 4) 1 2( 2) 4

y x x x

y x x x

y x x x

y x x x

y x x x

x x xy y

x x x

x x x x xy

x x x x

b) 2xy x (12%)

2 2

2

' 1ln( ) ln( ) 2 ln( ) 2 ln( )

' 2 ln( ) ' 2 ln( )

yy x x x x x x x x

y x

xy y x x x y x x xx

4) Encontrar dy

dx por diferenciación implícita:

a) 3 3 8x y xy (13%)

3 3 3 3

2 2 2 2

22 2

2

8 8 8

3 3 8 8 3 8 8 3

8 3(3 8 ) 8 3

3 8

d d d d dx dyx y xy x y y x

dx dx dx dx dx dx

dy dy dy dyx y y x y x y x

dx dx dx dx

dy dy y xy x y x

dx dx y x

b) 2 3 1y x x y x (12%)

1 / 2 1 / 2

1 / 2 1 / 2

1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

1 / 2

3

2 2

3

2 2

3

2

2 3 1 (2 3 ) (1 )

(2 3 ) (1 ) ( )

(2 3 ) (2 3 ) (1 ) (1 ) 1

(2 3 ) (1 ) 1 (2 3 ) (1 )

1 (2 3 )

x

x y

y

y x x y x y x x y x

d dy x x y x

dx dx

dy dyx x y y y

dx dx

dyx y x y

dx

xdy

dx

1 / 21 / 2 1 / 2

1 / 2 1 / 21 / 2 1 / 2

1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

1 / 2 1 / 2 1 / 2

2

(1 )2(2 3 ) (1 )

2(1 ) (2 3 )(2 3 ) (1 )

(1 ) 2(2 3 ) 3 2(2 3 ) (1 )

(2 3 ) 2(2 3 ) (1 )

x

yx y

y xx y

y x y x ydy

dx x x y x

5) BONO. Si la relación de demanda es x = 200 – 50p, clasifique la demanda

como elástica, inelástica o unitaria a los siguientes niveles de precios. (5%) (5%)

a) p = 1 b) p = 2 c) p = 3

50 50 50η ( 50)

200 50 50( 4 ) 4

1 1) 1 η . .

1 4 3

2) 2 η 1. .

2 4

2) 3 η 2. .

3 4

p dx p p p p p

x dp x x p p p

a p Demanda inelástica

b p Elasticidad unitaria

c p Demanda elástica

UNAH/FCE/27–abril–2003

SEPTIEMBRE DEL AÑO 2003

1) Dada la función 4 2( ) 2 1:f x x x


3 2

3 3 32 2

9 3 3

'( ) 4 4 4 ( 1) 4 ( 1)( 1)

''( ) 12 4 12 12

f x x x x x x x x

f x x x x x

Puntos críticos: x = – 1, x = 0, x = 1.

Posibles puntos de inflexión: 3 3

3 3,x x


decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f.

Intervalo ] , 1[ ] 1, 0[ ]0, 1[ ] 1, [

Signo de f’(x) – + – +

Conclusión f es decre-

ciente

f es creciente f es decre-

ciente

f es cre-

ciente

Puntos mínimos: (– 1, 0) y (1, 0). Punto máximo: (0, 1).

c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos

dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la

gráfica de f.

Intervalo 3

3,

3 3

3 3,

3

3,

Signo de f’’(x) + – +

Conclusión f es cóncava

hacia arriba

f es cóncava

hacia abajo

f es cóncava

hacia arriba

Puntos de inflexión: 3 4

3 9,

, 3 4

3 9, .


coordenadas dado a continuación).

2) Una compañía de juguetes advierte que puede vender toda la existencia de juguetes que elabora a un precio unitario de L. 3. Si la función de costo total

es 2( ) 2,000 0.0003C x x lempiras por x juguetes producidos.

a) Encuentre una expresión para la utilidad total si se producen y venden x

juguetes. (6%)

2 2( ) 3 (2,000 0.0003 ) 3 2,000 0.0003R x x x x x

b) Determine el número de juguetes producidos que maximiza la utilidad. (6%)

'( ) 3 0.0006 0 5,000R x x x

(5%)

(5%)

(5%)

2

2

2

2

2

22

ln( ) ln

ln( ) ln(2 1)

' 22 ln(2 1)

2 1

' 22 ln(2 1)

2 1

2' 2 ln(2 1)

2 1

2' 2 ln(2 1)

2 1

(2 1)

(2 1)

xy

y x x

yx x x

y x

y xx x

y x

xy y x x

x

xxy x xx

x

x

c) Compruebe que, en efecto, para este nivel de producción hay un máximo. (6%)

Intervalo ]0, 5000[ ]5000, [

Signo de R’(x) + – Conclusión f es creciente f es decreciente

Por tanto, R(x) alcanza su valor máximo en x = 5,000 juguetes.

d) ¿Cuál es la utilidad máxima en lempiras? (2%)

2(5,000) 3(5,000) 2,000 0.0003(5,000) .5,500.R L


dx en el caso de la

función: 2

(2 1)xy x

4) Encuentre la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena y las reglas de derivación para productos, para cocientes y para funciones exponenciales y logarítmicas.

a) 4

2 1( )

3 1

xf x

x

2

2 2

3 3

2 2

2 1 (3 1)(2) (2 1)(3)( ) '( )

3 1 (3 1)

6 2 6 3 5'( )

(3 1) (3 1)

2 1 5 20 2 1'( ) 4

3 1 3 1(3 1) (3 1)

x x xu x u x

x x

x xu x

x x

x xf x

x xx x

(10%)

(9%)

b) 2 4

5 3

( ) 5 2 3 2f x x x

(9%)

2 4 3 4 2( (

3 2 4 4 2

2 4 2 2 4

5 2 3 4

5 2 3 4

4 2

'( ) 5 2 3 3 2 12 ) 3 2 5 5 2 10 )

'( ) 36 5 2 3 2 50 3 2 5 2

'( ) 2 5 2 3 2 18 5 2 25 3

f x x x x x x x

f x x x x x x x

f x x x x x x x

2 4 4 2

4 2

2

'( ) 2 5 2 3 2 165 36 50f x x x x x x

c) 1

( )1

x

xf xee

(9%)

2

2

(1 )( ) (1 )( )'( )

(1 )

x x x x x x

xf x

e e e e e ee

2x xe e 2

2

(1 )

2'( )

(1 )

x

x

xf x

eee

d)

5 43

2 3

3 1( ) ln

(3 6)

x xf x

x

(9%)

4

4

4

1 2

3

3

2

3

2

( ) 5ln( ) ln(3 1) 3ln(3 6)

5 12 3(6 )'( )

3(3 1) 3 6

5 4 6'( )

3 1 2

f x x x x

x xf x

x x x

x xf x

x x x

5) La función de costo de una empresa es 2( ) 1,000 0.01C x x y la

ecuación de demanda es 3 / 2

40 800.p x Calcule e interprete la

utilidad marginal cuando x = 100 unidades.

(14%)

– 8 –

3 / 2 3 / 2

3 / 2 5 / 2

5 / 2 2

5 / 2 2

3 / 2 3 / 2

40 800 20 0.025

( ) ( 20 0.025 ) 20 0.025

( ) ( ) ( ) (20 0.025 ) (1,000 0.01 )

( ) 20 0.025 1,000 0.01 )

'( ) 20 0.025(5 / 2) 0.02 20 0.0625 0.02

'(100) 2

p x p x

R x p x x x x x

U x R x C x x x x

U x x x x

U x x x x x

U

3 / 2

0 0.0625(100) 0.02(100) 20 62.5 2 . 80.5L

Por cada unidad adicional producida y vendida se obtiene una utilidad o ganancia de L. 80.50.

El temor de JEHOVÁ es el principio de la sabiduría; El conocimiento del SANTÍSIMO es la

inteligencia. Proverbios 9:10

UNAH/FCE/28–septiembre –2003

ENERO DEL AÑO 2004

1) Dada la función

534

35( )

xf x x


4 2 2 2 2

3 22 2

4 4 2 2

4 4 2 4

'( ) ( ) ( )( )

''( ) 8

f x x x x x x x x

f x x x x x x x x

Puntos críticos: x = – 2, x = 0, x = 2.

Posibles puntos de inflexión: 2 , 20,x x x


decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f.

Intervalo ] , 2[ ] 2, 0[ ]0, 2[ ] 2, [

Signo de f’(x) + – – + Conclusión f es creciente f es decreciente f es decreciente f es creciente

Punto máximo: 6415

2, (– 2, 4.3).

Punto mínimo: 6415

2, (2, – 4.3).



gráfica de f.

Intervalo 2, 2 0, 20, 2,

Signo de f’’(x) – + – +

Conclusión f es cóncava

hacia abajo

f es cóncava

hacia arriba

f es cóncava

hacia abajo

f es cóncava

hacia arriba

(5%)

(5%)

– 9 –

Puntos de inflexión: 28 2

215

1 4 2 6, . , .

, (0, 0),

28 2

215

1 4 2 6, . , .


coordenadas dado a continuación).

2) (Maximización de la utilidad) Suponga que la ecuación de demanda para el

producto es p = 500 – 2x y la función de costo total está definida por 2

0 03 5 500( ) .C x x x , determine:

a) El nivel de producción x en que se maximiza la utilidad. (16%)

2 2 2

2

495 24 750

4.06 203

500 2 0 03 5 500 500 2 0 03 5 500

2 03 495 500

4 06 495 121 92

( ) ( ) . .

( ) .

,'( ) . 0 .

U x x x x x x x x x

U x x x

U x x x

Intervalo ]0, 121.92[ ] 121.92, + ∞[

Signo de U’(x) + – Conclusión U es creciente U es decreciente

Por tanto, el nivel de producción x en que se maximiza la utilidad es x = 121.92.

b) El precio en que ocurre la utilidad máxima. (2%)

p = 500 – 2(121.92) = L. 256.16.

c) La utilidad máxima en lempiras. (2%)

2121 92 0 03 121 92 5 121 92 500 29 675 49( . ) . ( . ) ( . ) . , . .U L

(5%)

– 10 –

3) Aplique la regla de la cadena para encontrar la derivada de las funciones siguientes:

a) 4

32

2 1

16

( )( )

( )

xf x

x

(10%)

3 3 4 22 2

232

3 3 4 22 2

62

22

16 4 2 1 2 2 1 3 16 2

16

8 16 2 1 6 2 1 16

16

2 16

( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]'( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )'( )

( )

( )'( )

x x x x xf x

x

x x x x xf x

x

xf x

3 2

62

2 1 4 16 3 2 1

16

( ) [ ( ) ( )]

( )

x x x x

x

4

3 2

42

2 2 1 2 3 64

16

( ) ( )'( )

( )

x x xf x

x

b)

43

1( )x

f x

(10%)

2

2

33 3

312 3

4 1 0

1

'( )

'( )

x x

xx

f x

f x

4) Calcule dy

dx para cada uno de los siguientes problemas.

a) 3

21

2( )ln

xxy

x

e

(10%)

2

2

2

1

22 3 1

1 23

2 2 1

13

2 1

ln( ) ln( )

'( )

'

y x x x

xy

x x

xy

x x

b) 2lnx

y x (10%)

1

2

2

2

2

2

ln

' ln

' ln

x

x

x

y x x

y x x

y x

– 11 –

c) 1

1

x

xyee

(10%)

2

2

1 1

1

( )( ) ( )( )'

( )

x x x x x x

xy

e e e e e ee

2x xe e 2

2

1

2

1

( )

'( )

x

x

xy

eee

5) (Costo aproximado) La función de costo de cierto fabricante es

3/ 2400 2 0 1( ) . .C x x x Usando diferenciales estime el cambio en el costo

si el nivel de producción se incrementa de 100 a 110 unidades. (Encuentre dC

y C)

1/ 2

1/ 2

100 110 100 10

2 + 0 15

2 + 0 15(100) 10 0 15(10)] 10 35.

110 100

400

,

( . )

[ . ]( ) [2 . ( ) .

( ) ( )

[

x x dx

dC x dx

dC L

C C C

C

3/ 2

2(110) 0 1(110) 400. ] [ 3/ 2

3/ 2 3/ 2

3/ 2 3/ 2

2(100) 0 1(100)

2(110) 2(100) 0 1(110) 0 1(100)

2(110 100) 0 1[(110) (100)

2(10) 0 1[1153 7 1000 20 0 1(153 7) 35 37.

. ]

. .

. ]

. . ] . . . .

C

C

C L

UNAH/FCE/11–enero–2004

OCTUBRE DEL AÑO 2004

1) Dada la función 1 3 2

33 8( ) :f x x x x


1 3 2

3

2

3 8

6 8 2 4

2 6 2 3

2 4

3.

( ) :

'( ) ( )( )

''( )

: , .

:

f x x x x

f x x x x x

f x x x

Números críticos x x

Posibles puntos de inflexión x


decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)



gráfica de f. (5%)

(10%)

– 12 –

INTERVALO F(X) SIGNO

F’(X) SIGNO

F’’(X) CONCLUSIÓN

] , 2[ + – f es creciente y cóncava hacia abajo

2x 20

3

Punto máximo:

202,

3

2 3, – – f es decreciente y cóncava hacia abajo

3x 6 Punto de inflexión: (3, 6)

3 4, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba

4x 16

3

Punto mínimo:

164,

3

4] , [ + + f es creciente y cóncava hacia arriba



2) Una empresa tiene la función de demanda: 4 – 0.002x – p = 0 y la función de

costo total: C(x) = x + 800. Determine el nivel de producción x que

a) Maximiza el ingreso. (10%) 4 – 0.002x – p = 0

p = 4 – 0.002x

R(x) = p x = (4 – 0.002x) x = 4x – 0.002x2

R’(x) = 4 – 0.004x = 0 x = 4 / 0.004 = 1,000.

INTERVALO R(X) SIGNO

R’(X) CONCLUSIÓN

0 1,000] , [ + C es creciente

1,000x 2,000 Punto máximo: 1,000, 2,000

1,000 +, – C es decreciente

– 13 –

b) Maximiza la utilidad (10%)

U(x) = R(x) – C(x) = 4x – 0.002x2 – x – 800 = – 0.002x

2 + 3x – 800.

U’(x) = – 0.004x + 3 = 0 x = 3 / 0.004 = 750.

INTERVALO U(X) SIGNO

U’(X) CONCLUSIÓN

0 750] , [ + U es creciente

750x 325 Punto máximo: 750, 325

750 +, – U es decreciente

c) Determine el ingreso y la utilidad máxima en cada uno de los niveles de

producción obtenidos anteriormente. (4%)

R(1,000) = = 4(1,000) – 0.002 (1,000)2

= L. 2,000.00 Ingreso Máximo.

U(750) = – 0.002(750)2 + 3(750) – 800 = L. 325 Utilidad Máxima.

3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación:

3 2 3 3 20xx y y x xy x y en el punto (1 / 3, 2).

3 2 3 3 2

2 2 3 3 2 2

3 2 2 2 3 2

2 2 3 29

3 2 4

9 1 9 3

1 14 3 4 4

9 3

4 4

9 11

4 4

0

3 2 3 3 2 0

(2 3 1 3 3 2

3 3 2

2 3 1

2

2

' ' ' '

) '

'

( )

xx y y x xy x y

x y x y y y x y y x y x y x y

x y x y x y x y y x y x

x y y x y xy

x y x y x

xy y m x x y x

xy

xy


dx en el caso de las funciones:

a)

24

23 5

2

5 3 2 8

x xy

x x x

1 2 3 5

4

2 4

2 3 5

2 5 3 2 8

2 2 2 15 10 8

4 2 5 3 2 8

ln( ) ln( ) 2ln( ) ln( )

( )'

( )

y x x x x x

x x xy

y x x x x x

(16%)

(12%)

– 14 –

2

2 3

2(1 30 2

4 2 5 3

)'

( )

x xy

y x x x

4(5 4

2

)x 5

2 4

2 3 5

2 4

2 3 5

2 2 44

3 2 5 2 3 5

( 4

1 30 5 4

2 2 5 3 4

1 30 5 4

2 2 5 3 4

2 1 30 5 4

5 3 2 8 2 2 5 3 4

)

'

( )

'( )

'( ) ( ) ( )

x x

x x xy

y x x x x x

x x xy y

x x x x x

x x x x xy

x x x x x x x x

b)

32

2[ln( ) ]

x xy x x e

32

13 3

2 2

2

23 32 2

3

232 2

3

23

3

2

22 2

6 1

1 22 26 1

1 226 1

1 22

ln( ) ln[ln( ) ]

'( ) ln[ln( ) ]

ln( )

'( ) ln[ln( ) ]

ln( )

'( ) ln[ln( ) ]

ln( )

'ln( )

x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

y x x

xy

x x xy x x

xyx x x

y x x x

xyx x x

y x x x

xy y

x x x

e

e e

e e

e

e

2 2

3 232 2 2

3

6 1

2 1 226 1

( ) ln[ln( ) ]

' [ln( ) ] ( ) ln[ln( ) ]ln( )

x x x x

x x x

xy x x x x x

x x x

e e

5) La ecuación de demanda de cierto producto es 10 0 2.p x donde x

unidades son vendidas a un precio de p lempiras cada una. Utilice la

elasticidad de la demanda para determinar si un aumento en el precio o disminución en el mismo aumentará o disminuirá el ingreso total para las cantidades dadas

a) x = 500 b) x = 1,800

1 / 2 1 / 2 1 / 2110 0 2 1 0 1

1 / 20.1

10 0 2 100 1002 2

1002 2.47

500

: .

. . 10 10

.η ( 10 )

) η

x

Demanda elástica Un incremento en el precio provoca que disminuya el ingreso

dx dxp x x x x

dp dp

p dx x xx

x dp x x x

a

Una disminción en el p

.provocarecio que aumente el ingreso

(16%)

(12%)

– 15 –

1002 0.36

1,800

: .

) η

.

Demanda inelástica Un incremento en el precio provoca que aumente el ingreso

provoca

b

Una disminción en el precio que disminuya el ingreso

UNAH/FCE/10–octubre –2004

ENERO DEL AÑO 2005

1) Dada la función

5 32

10 3( ) :

x xf x


4 2 2

2 2

3 2

2 2 22 4 2 2 2 0 2, 0 2

2 4 2 2 2 2 2 0 2, 0 2

2, 0 2 2, 0 y 2

'( ) ( ) ( ) , .

''( ) ( ) ( ) ( ) , .

: . : .

x x xf x x x x x x x x x

f x x x x x x x x x x x

Números críticos y Posibles puntos de inflexión





gráfica de f. (5%)

Intervalo f(x) f ‘ (x) f “ (x) Conclusión

2] , [ + – f es creciente y cóncava hacia abajo

2x 2.13 0 – Punto máximo: 2, 2 13( . )

2 2] , [ – – f es decreciente y cóncava hacia abajo

2x 1. 32 – 0 Punto de inflexión: 2,1 32( . )

2 0] , [ – + f es decreciente y cóncava hacia arriba

0x 0 0 0 Punto de inflexión: 0, 0( )

0 2] , [ – – f es decreciente y cóncava hacia abajo

2x – 1. 32 – 0 Punto de inflexión: 2, 1 32( . )

2 2] , [ – + f es decreciente y cóncava hacia arriba

2x – 2.13 0 + Punto mínimo: 2, 2 13( . )

2] , [ + + f es creciente y cóncava hacia abajo



– 16 –

2) Los costos totales fijos de una empresa son de L. 1,200, los costos

combinados de material y mano de obra son de 2 lempiras por unidad y la

ecuación de demanda es 100

px

a) ¿Qué nivel de producción maximiza la utilidad? (12%)

1 / 2

1 / 2

1 / 2

3 / 2

2 1 200.

100100 100

100 2 1 200

5050 2 2 0 25 625

2525 625

: ( ) ,

: ( )

( ) ( ) ( ) ,

'( )

''( ) . ''( )

función de costo total C x x

función de ingreso R x x p x x xx

función de utilidad U x R x C x x x

U x x x xx

U x x Ux x

25 25 1

0.625(25) 625625 625

625

, ,Por tanto por el criterio de la segunda derivada

la utilidad es máxima cuando x

b) Verifique que la utilidad máxima ocurre cuando el ingreso

marginal es igual al costo marginal. (8%)

– 17 –

1 / 2 1 / 2 50100 50

2 1 200 2

50 50625 2

25625

625 2

: ( ) '( )

( ) , '( )

: '( ) .

'( ) .

Ingreso R x x R x xx

C x x C x

Ingreso marginal R LIngreso marginal costo marginal

costo marginal C L

c) ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es máxima? (4%)

100 1004

25625.p lempiras

3) Compruebe que la curva con ecuación ( ) ( )x y ln x ln y no tiene

tangentes verticales, pero sí una tangente horizontal en 1.x

1 ' 1 '1 1

1 1 1 11 1

1

1

1 y 0,

( ) ( ) ' '

' '

( )'

( )

:

y yx y ln x ln y y y

x y x y

x yy y

x y x y

y xy

x y

Los únicos valores que hacen cero el denominador son y x pero ambos

valores están exluidos del dominio de la relación x y

0,

( ) ( ). ,

. 1, ' ,

1. :

ln x ln y Por tanto

no existen tangentes verticales Cuando x y Por tanto existe una tangente

horizontal en x LA COMPUTADORA presenta la gráfica siguiente

(No se pide la gráfica)

(16%)

– 18 –



a) 4 2

352

8

3

( 1)

( )x

xy

x e

3 3

4 2 4 2

3

4 2

4 2 5

32

4 2 5

32

8 1 4 2(8) 2 ( 1) 5 ( 3)33

' 1 1'

3 3

81'

3 3

( 1)( )

( )

8 2 8 25 5

1 3 1 3

( 1) 8 25

1 3( )

x

x

ln ln x ln x

yy y

y

y

xy ln y x

x

x x x x

x x x x

x x x

x xx

e

e

b) ( )ln x

y x

( )

2 ' 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )( ) [ ( )] ' '

ln xy ln x y ln x ln x

ln y ln x y yy x x x

x

5) La ecuación de demanda de cierto producto es 2 2

1( ) , 1x p p p

donde x unidades son vendidas a un precio de p lempiras cada una. Utilice la

elasticidad de la demanda para determinar si un aumento en el precio o disminución en el mismo aumentará o disminuirá el ingreso total para cada uno de los precios siguientes.

a) p = 2 Lempiras b) p = 6 Lempiras

2 2

2 2 2

2

11 1)

1

11)

2 1) 2 1

1) 2 1) 2 1)

1 1 11)

2 1) 2 1 )2 1)

2 1 5.

1( ) (

((

( ( (

(( ((

) . :

p p px p p x p p p p

p x x p

p ppdx p p p

dp p p p p p

p dx p p pp p

x dp p pp p

a p La demanda es elástica Un aumen

7 0 7.

,

.

) . :

,

to en el precio provoca

que el ingreso disminuya mientras que una disminución

del mismo causa un incremento en el ingreso

b p La demanda es inelástica Un aumento en el precio causa

un incremento en el ingreso mientra

.

s que una disminución

del mismo provoca una disminución en el ingreso UNAH/FCE/9–enero –2005

(16%)

(12%)

(12%)

– 19 –

SEPTIEMBRE DEL AÑO 2005

1) Dada la función 3 2

3( ) 4 :f x x x


2

3 2

3 2

3 2

3 6 3 2 0 0 2

6 6 0 1

0 1 1

2 2 3 2 4 8 12 4 0

1 1 3 1 4 1 3 4 2

0 0 3 0 4 4

'( ) ( ) .

''( ) .

: , : .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x x x x x x ó x

f x x x

Puntos críticos x ó x Posible punto de inflexión x

f

f

f





gráfica de f. (5%)

Tabla Resumen:

Intervalo f(x) f’(x) f’’(x) Conclusión Grafo

] – ∞, – 2 [ + – f es creciente y cóncava hacia abajo

x = – 2 0 0 – Punto máximo: (– 2, 0)

] – 2, – 1 [ – – f es decreciente y cóncava hacia abajo

x = – 1 – 2 – 0 Punto de inflexión: (– 1, – 2)

] – 2, 0 [ – + f es decreciente y cóncava hacia arriba x = 0 – 4 0 + Punto mínimo: (0, – 4)

] 0, + ∞ [ + + f es creciente y cóncava hacia arriba

Algunos Cálculos:

2

2

2

3 3 3 6 3 27 18 9

1 3 1 6 1 3 6 3

1 3 1 6 1 3 6 9

3 6 3 6 18 6 12

1 6 1 6 6 6 12

'( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( )

''( ) ( )

''( ) ( )

f

f

f

f

f



– 20 –

2) (Utilidad) Para un monopolista, la demanda de un producto es: p = 60 – 4x

y la función de costo promedio es:

020

4( )C x

x


2

2 2

60 4 60 4

4020 20 40

60 4 20 40 4 40 40

8 40 0 5.

8 5 8 0

5.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

'( )

''( ) ''( ) .

R x x p x x x x

C x x C x x xx

U x x x x x x

U x x x

U x U

U tiene su valor máximo cuando x

b) Verifique que la utilidad máxima ocurre cuando el ingreso

marginal es igual al costo marginal. (5%)

2

60 4 60 820 60 8

20 40 20

8 60 20

8 40

5

( ) '( )

( ) '( )

R x x x R x xx

C x x C x

x

x

x


p = 60 – 4x = 60 – 4(5) = 60 – 20 = 40 Lempiras.

– 21 –

d) ¿Cuál es la utilidad máxima? (2%)

2 2

4 40 40 5 4 5 40 5 40

5 200 40

5 60 Lempiras.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 100

( )

U x x x U

U

U

3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva 2 2 3 2

132x x y y en el punto (– 1, 2).

2 2 3 2

2 2 3

2 2 3

3 2 2

33 2 2

2 2

3 3

2 2 2 2

1 2 1 2 17 17

10 102 3 1 2

17 17

10 10

17

1

132

2 6 ' 4 2 '

3 ' 2 '

2 ' 3 '

22 ( 3 ) ' '

3

2 ( ) ( ) ( )

3 ( ) ( )

2 ( 1) ( 1) 2

x x x xD x D x y D D y

x x y y x y y y

x x y y x y y y

x x y y y x y y

x x yx x y y x y y y

y x y

x x ym

y x y

y x y x

y

17 20

0 10 10

17 37

10 10

x

y x



a)

23 1 2 3

4 2 2

2

1 1

( 3)

(5 ) ( )

x xx

yx x

e

2

2 1 / 23 1 2 3 4 2 2

2 13 1 2 3 4 2 2

2

2 1 13 1 2 3 4 2 2

2 2

1 3 23

2 2

2 5 1 1

2 5 1 1

2 5 1 1

3 1 2

ln( ) ln( ) ln ( 3) ln( ) ln( )

ln( ) ln( ) ln ( 3) ln( ) ln( )

ln( ) ln( ) ln( ) ln( 3) ln( ) ln( )

ln( ) ln( ) ln(

x x

x x

x x

y x x x

y x x x

y x x x

y x x x

e

e

e

4 22 5 1 1) ln( ) ln( )x x

(12%)

(16%)

– 22 –

3

2 4

3

2 4

3

2 4

33 2 20

22 42 3 5 1

2

2

23 1 2 3

4 2 2 2

6 1 21

3 40 26 1

5 1

3 40 26 1

5 1

2 3 40 26 1

51 1 1

' 2

'

3 1

'3 1

( 3)'

3 1(5 ) ( )

x x

x x

x x

y xx

y x

y x x xx

y x x x

x x xy y x

x x x

x x x xy x

x xx x x

e

b) 32 xxy x e

32

2

2

3 3

3 32 2

3 32 2

12 2 2

2 2 2 1

2 1

2 1

3

3 2 1

3 2 1

,

'ln( ) ln( ) ln( )

'ln( ) [ ln( )]

' [ ln( )]

' [ ln( )]

'

' ' ' [ ln( )]

' [ ln( )

xx

x

x

x x

x xx x

x xx x

Sean w x z e

ww x w x x x x

w x

wx x

w

w w x

w x x

z e z e

y w z w z x e x x e

y e x e x x

3 2

3 2

3 2 1

[2 1]

]

' ( [ ln( )])

' ln( )

x x

x x

y e x x

y e x x

5) (Costo promedio) El costo total de producir y comercializar x unidades de

cierta mercancía está dada por:

2 380,000 400

40,000( )

x x xC x

¿Para que valor de x es mínimo el costo promedio?

2 3 2 3 280,000 400

2 240,000 100 40,000 100 40,000

1 2 1 10

100 40,000 100 20,000 20,000 100

20,000

100

200

( )( ) ( )

'( )

x x x x x x x

x x x

C xC x x C x

x

C x

x

x

(12%)

– 23 –

2

2 1 1200 0

40,000 20,000 20,000

200.

200 200200 2 2 2 1 1

100 40,000

''( ) ''( )

( ) / .

C x C

El costo promedio es mínimo cuando x

C Lempira unidad

UNAH/FCE/18–septiembre –2005

DICIEMBRE DEL AÑO 2005

1) Dada la función 4 2( ) 2 4f x x x


3 2

3 32 2.

3 3: .

1 3

3 9 3 3

3 3

'( ) 8 8 8 ( 1) 8 ( 1) ( 1) 0 1 0 1.

''( ) 24 8 0

1, 0, 1. : ,


f x x x x x

Puntos críticos x x x Posibles puntos de inflexión x x





gráfica de f.

(5%)

Intervalo f(x) f ‘ (x) f “ (x) Conclusión Trazo

, 1 – + f es decreciente y cóncava hacia arriba

1x – 2 0 + Punto mínimo: ,( 1 2)

1, 3 / 3

+ + f es creciente y cóncava hacia arriba

3 / 3x – 1.1 + 0 Punto de inflexión: ,( 0.6 1.1)

3 / 3, 0

+ – f es creciente y cóncava hacia abajo

0x 0 0 – Punto máximo: ,(0 0)

0, 3 / 3

– – f es decreciente y cóncava hacia abajo

3 / 3x – 1.1 – 0 Punto de inflexión: ,(0.6 1.1)

3 / 3,1

– + f es decreciente y cóncava hacia arriba

1x – 2 0 + Punto mínimo: ,(1 2)

1, + + f es creciente y cóncava hacia arriba



– 24 –

2) El Costo fijo de una empresa es 2,500 lempiras, los costos variables son de 50 lempiras por cada unidad producida y la ecuación de demanda se estima

por 500,p x determine:


2

2

( ) (500 ) (50 2,500) 500 50 2,500

450 2,500

'( ) 2 450 0 225

U x x x x x x x

x x

U x x x

b) Utilice criterios de derivación para verificar que dicho nivel de producción realmente maximiza la utilidad. (6%)

Intervalo U (x) U ‘ (x) Conclusión

0, 225 + U es creciente

225x 48,125 0 Punto máximo:

225, – U es decreciente

: ''( ) 2 ''(225) 2 0 225.Además U x U U tiene un máximo en x


500 500 225 . 275.00.p x L

3) Encuentre todas las tangentes verticales y todas las tangentes

horizontales de la ecuación: 2 2 12 140x y x y .

2 2 12 140 2 2 ' 12 12 ' ' 6 6 '

' 6 ' 6 '( 6 ) 6

6'

6

x y x y x y y y x y x y y y x y

y y x y y x y y x y x

y xy

y x

(20%)

– 25 –

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

: 6 0 6 :

(6 ) 12(6 ) 140 140 72 36

140 35 4 2 2.

: ( 12, 2), (12, 2)

: 6 0 6 :

(6 ) 12 (6 ) 140 140 72 36

140 35 4

Tangentes horizontales y x x y

y y y y y y y

y y y y

Puntos

Tangentes verticales y x y x

x x x x x x x

x x x

2 2.

: ( 2, 12), (2,12)

x

Puntos


dx en el caso de la función:

6 4

63

2 1( 1) ( 1)

3

xe x x

yx

6 4 6 4

663

6 4 6

6 4 6

6 4

2 21/ 2 1/ 2

1/ 3

21/ 2 1/ 2 1/ 3

21/ 2 1/ 2 1/ 3

2 1 1 1

2 2 3

1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 3)3

1( ) ( 1) ( 1) ( 3)

1( ) ( 1) ( 1) ( 3)

( ) 1 ( 1) ( 1) (

x xe x x e x x

yxx

xln y ln e x x ln x

xln y ln e ln x ln x ln x

ln y x ln x ln x ln x

6

5 3 5

6 4 6

5 3 5

6 4 6

6 4 5 3 5

6 4 663

5 3 56 4 6

6 4 61 1 3

2

1 1 1

2 2 3

3)

'2

' 3 2 22

1 1 3

3 2 2' 2

1 1 3

1( 1) ( 1) 3 2 2

' 21 1 33

x x x

x x x

yx

y

y x x xx

y x x x

x x xy y x

x x x

xe x x x x x

y xx x xx

5) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva ln( ) 32( 1)

xy x

en el

punto 1

81, .

ln( ) 32 2

22

2 2

( 1) ( ) [ ( ) 3] ( 1)

' 2 1 2 [ ( ) 3] ( 1)[ ( ) 3] ( 1)

1 1

xy x ln y ln x ln x

y x x ln x ln xln x ln x

y x xx x

(20%)

(20%)

– 26 –

2 2ln( ) 32

2 2

2

2

0 0

2 [ ( ) 3] ( 1) 2 [ ( ) 3] ( 1)' ( 1)

1 1

1 2(1) [ (1) 3] ((1) 1) 1 6 (2)'

8 1 8 2 1(1) 1

3 (2) (2) 3'

8 8 8 8

( )

xx ln x ln x x ln x ln xy y x

x xx x

ln ln lny

ln lny m

y y m x x y m

0 0

( )

(2) 3 1( 1)

8 8 8

(2) 3 (2) 3 1

8 8 8 8 8

(2) 3 (2) 1

8 8 2

0.2883566024 0.4133566024

0.2884 0.4134

x x y

lny x

ln lny x

ln lny x

y x

y x

UNAH/FCE/4–diciembre –2005

ABRIL DEL AÑO 2006

1) Dada la función 4

2

8( )

xf x x


32

42 2 2

23 2 22

(3) 3 3.2

:

2 23 3.

2 2 2 2 0 2

4 42

3 9 3 3

2 0 2

3 3

'( ) ( ) ( ) ( ) 0 .

''( ) 0

, , .

: ,

x x xf x x x x x x x x

xf x x x x

Puntos críticos x x x

Posibles puntos de inflexión x x





gráfica de f. (5%)

– 27 –


2, + – f es creciente y cóncava hacia abajo

2x 2 0 – Punto máximo: ,( 2 2)

2

32, 3 / 3


2

33x 10/9 – 0 Punto de inflexión: ( 2 3 / 3, 10 / 9)

2

33, 0


0x 0 0 + Punto mínimo: ,(0 0)

0, 2 3 / 3


2

33x 10/9 + 0 Punto de inflexión: (2 3 / 3, 10 / 9)

2 3 / 3, 2



2, – – f es decreciente y cóncava hacia abajo



– 28 –

2) La función de costo promedio de una empresa se estima por:

400010( ) .C x

x Si la ecuación de demanda es: 200,p x

determine:

a) ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? (8%)

2 2

4000200 10

200 10 4000 190 4000

2 190 190 2 95.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

'( ) 0 /

U x R x C x x p x xC x x x xx

U x x x x x x

U x x x

b) Utilice criterios de derivación para verificar que dicho nivel de producción

realmente maximiza la utilidad. (3%)

2 95 2.''( ) ''( )

95

U x U

U tiene un máximo cuando se producen unidades

c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio se obtiene? (3%)

295 95 190 95 4000 9025 18050 4000 5, 025.00

200 200 95 105.00

( ) ( ) ( ) .

.

U L

p x L

3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuacion es:

3 3 2 28 5 4x y x y en el punto

12

2, .

2 2 2 2

2 21 1 1 12 2

2 2 2 2

1

2

1 1 1 1

1 12 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

3 24 10 10

2 3 2 24 10 2 10 2

2 6 5 20

20 6 5 12

714 7

14

2 2

1

' '

( ) ' ( ) ( ) '

1 ' '

' '

' ' '

( ) ( ) ( )

x y y x y x y y

x y y y

y y

y y

y y y

y y m x x y x y x

y x y x

(14%)

– 29 –


dx en el caso de la función:

( ).

ln xy x

( ) 2

( )2 22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]

' 1( ) ' ( ) ' ( )

ln x

ln x

ln y x ln y ln x ln x ln y ln x

yln x y y ln x y x ln x

y x x x

ln

5) Utilice propiedades de logaritmos y las reglas de derivación para encontrar la

derivada de la función: 63

2

2.

1

xy

xx

lne

6

6 6

5 51 1 1 1 1 12

3 2 3 2 2

6 22) 2 2

2 2( ( ) ( 1) ' '

x x

x xy ln x ln x x y x y x

x x

6) Utilice reglas de derivación y la regla de la cadena para hallar la derivada de

la función: 234

1( ) .xf x x e DEJE SU RESPUESTA EN FORMA

SIMPLIFICADA Y SIN EXPONENTES NEGATIVOS.

41/ 3 1/ 3 2 / 32 2 2 24 3

51/ 3 2 / 32 2 23

2 23 23 2/ 3

2 2 22

1 4 1 1 23

24 1 1

3

2 6 12

1 6 13

( ) '( ) ( )

'( )

'( ) '( )

xx x x xf x x f x x x

xx x xf x x

x xx xx x x xf x x f x

e e e e

e e e

e ee e e

2/ 32

3 1xe

7) Encuentre la derivada de la función: 4 2

4 2

2 1( ) .

3 1

x xf x

x x

4 2 3 4 2 3

4 2 2

7 5 5 3 3 7 5 5 3 3

4 2 2

7

3 4 4 2 4 6

3

4 4 12 12 4 4 4 6 8 12 4 6

3

4

( 1) ( ) ( 1) ( )'( )

( 1)

'( )( 1)

'( )

x x x x x x x xf x

x x

x x x x x x x x x x x xf x

x x

xf x

5 5 34 12 12x x x 3 7

4 4 4x x x 5 5 36 8 12x x x 3

4 2 2

5 3 5 3 5 3

4 2 2 4 2 2

4 6

3

8 4 4 2 4 6 10 8 2

3 3

( 1)

'( ) '( )( 1) ( 1)

x x

x x

x x x x x x x x xf x f x

x x x x

UNAH/FCE/Depto de Métodos Cuantitativos/23–abril –2006

(14%)

(14%)

(14%)

(10%)

– 30 –

JULIO DEL AÑO 2006

1) Dada la función:

423

3212

( )x

f x x


3 3 2

2

9 9 3 33

3 3 3 3

3 3 3

3 0 3

3 3

( ) ( )( )'( )

''( ) ( )( )

cos : , , .

: , .

x x x x x x x xf x x

f x x x x

Números críti x x x

Posibles puntos de inflexión x x





gráfica de f. (5%)


3, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba 3x – 3.75 0 + Punto mínimo: ,( 3 3.75)

3, 3


3x – 0.75 + 0 Punto de inflexión: ( 3, 0.75)

3, 0



0, 3


– 31 –


3x – 0.75 – 0 Punto de inflexión: ( 3, 0.75)

3, 3


3x – 3.75 0 + Punto mínimo: ,(3 3.75)




2) (Utilidad) Para un monopolista, la demanda de un producto es:

p = 600 – 2x

y la función de costo promedio es:

200

0.2 28( ) xC xx

a) Encuentre la producción y el precio que maximizan la utilidad. (15%)

2

2 2

2

600 2 600 2

600 2 200

200

600 2

2000.2 28

0.2 28

2.2 572

5724.4 572 0 130, 130 340.00

4.4

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

'( ) ( ) .

x

x

x

x

R x x p x x x x

C x x C x xx

U x R x C x x x x

U x x

U x x p L

– 32 –

b) Utilice criterios de derivación para verificar que la utilidad es máxima

y encuentre dicha utilidad máxima.

''( ) 4.4 ''(130) 4.4 130

130 . 33,600.00( ) L

U x U U tiene un máximo en x

U

3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva 2 2 3 2

8( )x y y en el punto ( – 1, 1).

2 2 3 2

2 2 2

2 2 21) 1 1 1 1

32

32 3

1 3 1)) 3 4

8

3 2 2 16

3 2 2 32

3 4 2 2

24 24

( )

( ) ( ') '

(( ) [ ( ) ( ) '] ( ) '

( )( ') '

' ' '

( (

x y y

x y x yy yy

y y

y y

y y y

y x y x

(NO SE PIDE GRAFICAR LA CURVA)



a)

3

2

2 4 6

3 1 4

3 5

2

( )

x x

x xy

xe

3

2

3

2

2 4 6

3 1 4

1 12 6 2 4

3 2

5 3

2 6 4

5 3

2 6 4

2 4 6 5

2 63 1 4

3 5

2

3 5 3 1 2

8 2 42 3

3 5 2

8 2 42 3

3 5 2

3 5 8 22

3 52

4

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

'

'

( )'

x x

x x

x xln y

x

ln y ln x ln x x x ln x

y x x xx

y x x x

x x xy y x

x x x

x x x xy x

x xx

e

e

ln

3

4

43

2

x

x

(15%)

(5%)

(15%)

b) 2( 1) 3 5 2

( 1)x x x

y x e

2

2

2

( 1) 3 5 2

( 1) 3 5 2

1 1 3 5 2

1 1 6 5 1 6 6

1 6 6

1 6 6

( 1)

( ) ( ) ( )

'( ) ( )

' ( )

' ( 1) ( )

x x x

x x x

y x e

ln y x ln x x x

yln x x ln x x

y

y y ln x x

y x e ln x x

5) (Costo promedio) La función de costo total de un fabricante está dada por:

2

3 4004

( )x

C x x

donde C es el costo total de producir x unidades. ¿Para qué nivel de

producción será el costo promedio por unidad un mínimo? Verifíquelo y determine cuál es este mínimo.

2

1

22

2 2

2

3

3 3

3 4004004 3 3 400

4 4

400 1, 600400

4 4

1, 600 0 40 40 40

800 800800 40 0.0125 0

40

40

40 440 3

4

1 1

( )

'( )

''( ) ''( )

, ( ) , :

( )

x

x x

x

x x

x

x

x

C x xx x

C x x

x ó x x

C x x C

Por ta nto C x tiene un mínimo en x cuyo valor es

C

00

10 3 10 2340

. / .L unidad

UNAH/FCEAYC/23–julio –2006

(15%)

(15%)

– 34 –



6 9( )f x x x x


2 23 12 9 3 4 3 3 3 1

6 12 6 2

1 3. : 2

'( ) ( ) ( )( )

''( ) ( )

: , .Posible punto de inflexión x

f x x x x x x x

f x x x






gráfica de f. (5%)

Tabla Resumen:


1, + – f es creciente y cóncava hacia abajo

1x 4 0 – Punto máximo: 1, 4( )


2x 2 – 0 Punto de inflexión: 2, 2( )


3x 0 0 + Punto mínimo: 3, 0( )




– 35 –

2) Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es:

42 4p x

y la función de costo promedio es

802( ) .C x

x

Determine:


2

2

802

5.

42 4

42 4 2 80

4 40 80

40'( ) 8 40 0 8 40

8

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

5 .

U x

U x R x C x p x x C x x x xx

U x x x x

U x x x

x x x x

La utilidad se maximiza al producir unidades

b) Utilice criterios de derivación para verificar que dicho nivel de

producción realmente maximiza la utilidad. (4%)

'( ) 8 '(5) 8 50 .U x U La utilidad es realmente máxima en x

c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio se obtiene? (3%)

25 4 5 40 5 80 100 200 80 100 80 20.

42 4 5 42 20 22.

20.00 22.00.

( ) ( ) ( )

( )

. .

U

p

La utilidad máxima es L y ocurre al precio de L

– 36 –

2 2 2

2 22 2

2 2 2 2

2 2 22 2 2

4 6 2 6 2 4 4 2 6 2 2

4 4

2 8 12 4 2 12 8 2( 6 4)

4 4 4

( )( ) ' ( )( ) ' ( )( ) ( )( )'( )

'( ) '( )

z z z z z z zh z

z z

z z z z z z zh z h z

z z z

d) Verifique que cuando la utilidad es máxima, el ingreso marginal es

igual al costo marginal. (5%)

2

5 5

802

5

5 5

42 4 42 4 42 8

42 8 2 /

2 80 2

2 /

,

( ) ( ) '( )

'( ) ( )

( ) ( ) '( )

'( )

'( ) '( ).

lemp unid

lemp unid

Por lo tanto

R x p x x x x x R x x

R

C x x C x x x C xx

C

R C

3) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva

2 2 3 216( )x y y en el punto 0 2, .

2 2 2

22 2

16

16

3 2 2 2

2 3 2 2

( ) ' '

' '

x y x y y y y

x y x y y y y

2 2 23 2( ) ( ')x y x y y

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

16

16

16

16

16

3

3( 3

3 ( 3 (

3 ( 3 (

'

( ) ( ') '

) ( ) ' '

' ) ' )

' ) )

y y

x y x y y y y

x y x x y y y y y

y y x y y y x x y

y y x y y x x y

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2

16 16

16

16

3 ( 3 0 0 2

3 ( 3 2 0 2 2

0 00

96 32

0 2 0

) ( )( ( ) ( ) )'

) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )

' ' :

( ) ( , ) .

x x yy

y x y y

y y La pendiente de la recta tangente a la curva

x y y en el punto es m

4) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso simplifique al máximo su respuesta.

a) 2

6

4

2( )

zh z

z

(12%)

(12%)

– 37 –

b) 7 3

6 1 2 3( ) ( )y x x

7 3 7 3' (6 1) (2 3) ' (6 1) '(2 3)

7 2 6 3' (6 1) 2 3(2 3) 7 6(6 1) (2 3)

6 2' 6(6 1) (2 3) (6 1) 7(2 3)

6 2' 6(6 1) (2 3) (20 20)

6 2' 120(6 1) (2 3) ( 1)

y x x x x

y x x x x

y x x x x

y x x x

y x x x

c)

2

24

1

1.

xy

xln

2 22 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

1 / 41 1

4 4

1 1

4 4

2

4 2

2

1 11 1

1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

2

1 1

1 1

) )

'

') )

') )

')

( (

( (

( (

( (

x xy x x

x x

x x x xy

x x x x

x x xxy

x x x x

xy

x x

xy

x

ln ln ln ln

2 )x

d) 23 4 4

( )r r

f r e

2

2

3 4 46 4

3 4 46 4

'( ) ( )

'( ) ( )

r r

r r

f r r

f r r

e

e

UNAH/FCE/Depto de Métodos Cuantitativos/12–octubre–2006

(12%)

(12%)

(12%)

ABRIL DEL AÑO 2007


3( ) 4f x x x


2 3 23 4

23

'( ) 12 12 12 1( ) 4

''( ) 24 36 12 2 3

: 0, 1.

2: 0, .

3

f x x x x xf x x x

f x x x x x


Posibles puntos de inflexión en x x



f es creciente en el intervalo ] – , 1[ y f es decreciente en el intervalo ]1, + [. Punto máximo: (1, 1).



gráfica de f.

f es cóncava hacia arriba en el intervalo 2

30,

y f es cóncava

hacia abajo en el intervalo 2

3, 0 , + .

Puntos de

inflexión: (0, 0), 2 16,

3 27.

(5%)

– 39 –

Tabla Resumen:

Intervalo f(x) f ‘ (x) f ‘’ (x) Conclusión

, 0 + – f es creciente y cóncava hacia abajo

x = 0 0 0 0 Punto de inflexión: (0, 0)

2

30,


x = 2

3

16

27 + 0 Punto de inflexión: 2 16

,3 27

.

2

3, 1


x = 1 1 0 – Punto máximo: (1, 1)

1 , + – – f es decreciente y cóncava hacia abajo



2) Para el producto de un monopolista, la función de costo es

3( ) 0.004 20 5,000C x x x

y la función de demanda es:

450 4p x

Determine:

– 40 –


2

2 3

3 2

2

2 2 2,150

3

450 4 450 4

450 4

4 430

( )

( ) ( ) ( ) 0.004 20 5,000

( ) 0.004 5,000

'( ) 0.012 8 430 0

4 8 ( 8) 4( 0.012) (430)

2 2( 0.012)50

x

x

R x p x x x x

U x R x C x x x x

U x x x x

U x x x

xb b a cx

ax

La utilidad se maximiz

50 .a cuando se producen unidades

b) Utilice criterios de derivación para verificar que dicho nivel de producción realmente maximiza la utilidad. (5%)

8 8 8.20 0.

( ) 0.

( ) 0.024 (50) 0.024(50)

''(50)La función U x tiene un máximo porque

U x x U

U

c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio se obtiene? (5%) 3 2

4 430(50) 0.004(50) (50) (50) 5,000 6,000 .

450 4(50) 450 200 250 .

U Lempiras

p Lempiras

3) Encuentre la Ecuación de la recta tangente a la curva

2 2 5y xy x en el punto 4 3, .

1 1

1 1

2 2

22 ' ' 2 0 '(2 ) 2 '

2

2(4) 3 5 1

2(3) 4 10 2

( ) 3 ( 4) 1

x yy y x y y x y y x x y y

y x

m

y y m x x y x y x

4) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta.

a) 3 3( ) (4 2 5)( 7 4)g x x x x x (Regla del producto)

3 2 2 3

5 3 3 2 5 3 2 3

5 3 2

'( ) (4 2 5)(3 7) (12 2)( 7 4)

'( ) 12 28 6 14 15 35 12 84 48 2 14 8

'( ) 24 120 33 28 27

g x x x x x x x

g x x x x x x x x x x x

g x x x x x

(10%)

(12%)

– 41 –

b)

2

32

3

2

8xy

x

(Reglas de la cadena y del cociente)

1 22 2

2 23 3

2 2 22

22 3 33

2 22

22 3

2 22

2 33 3

2 2 2

2

3 2

2

3 2

(16 ) 8 (2 )8 1 8'

3

1 16 32 16 6'

3 8

1 38'

3 8

x x x xx xy y

x x x

x x x x xy

x x

x xy

x x

c) 2 3 9y x xln (Propiedades de logaritmos y derivadas de

funciones logarítmicas)

1

22 1

23 9 2 3 9

2 3 2 3 2 1 4( 3)'

2(3 9) 6( 3) 2( 3) 2 ( 3)

5 12'

2 ( 3)

y x x x x

x xy

x x x x x x x x

xy

x x

ln ln ln

d) 2

2( )x

f x x e (Reglas del producto y derivadas

de funciones exponenciales)

e)

22

2

1

2

x xy

x

(Diferenciación logarítmica)

2 2

2 2

22

2 2 2 22

1

2

' 1 4( ) ( ) 2 (1 ) (2 )

1 2

11 4 1 4

' '1 2 1 22

y x xln y ln x ln x ln x

y x x x

x xx x x x

y y yx xx x x xx

UNAH/FCE/Depto de Métodos Cuantitativos/15–abril–2007

(10%)

(10%)

(10%)

(10%)

2 2 2 2 2

2 3 2'( ) ( 2 ) 2 2 2 '( ) 2 1x x x x x

f x x x x x x f x x xe e e e e

DICIEMBRE DEL AÑO 2007


3

12 2( )

x xf x


2

2

3

3 3 3

3 3 3 3

3 3

3 9 3 3 0 3 0 3

3

3 0 3.

'( ) ( ) ( )( ) , ,

' '( ) ( )( ) ,

: , ,

: ,

x x xf x x x x x x x x

f x x x x x x

Puntos críticos x x x




27 27

4 4

] 3, 0 [ ] 3, [. ] , 3[ ] 0, 3[.

: 3, , 3, . : (0, 0).

f es creciente en f es decreciente en

Puntos mínimos Punto máximo



gráfica de f.

15 15

4 4

] , 3[ ] 3, [.

] 3, 3 [. : 3, , 3, .

f es cóncava hacia arriba en f es cóncava hacia

abajo en Puntos de inflexión

(5%)

– 43 –



2) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva

3 3

3 3x y xy en el punto 1 2, .

23 3

2

2 21 1

2 2

2 2

2 2

2

2

2 1 2 1 13 3

4 1 32 1

3 3 3 0

10 2 1

3

10 2

3 3

1

3 3

3 3

( )

( )

' ' ( )

' ' ( )

' '

'( ) 2

5'

y y

y

y

d d d dx y xy m

dx dx dx dx

x y y xy y m x x

x y y xy y x

xx y y xy y

xy y x y x y

y x xy y

y x

(20%)

– 44 –

3) Si

22

2

(24 3),

( 1)

xx e

yx x

utilice diferenciación logarítmica para encontrar

'y .

1 12 2 22 2 24 4

2 2 2

2 22 2 2 2

2

1

4

1 1 1

4 4 4

1

4

(2 (2 (2

(2 (2

(2

3) 3) 3)( ) ( )

( 1) ( 1) ( 1)

( ) 3) ( 1) ( ) 3) ( 1)

( ) 3)

x x x

x x

x e x e x ey ln y ln y

x x x x x x

ln y x e x x ln y x e x x

ln y x

ln ln

ln ln ln ln

ln ln

2 2

2

2

2

2 2

1

4

1 1

4 4

1 1 1 1 1 1

4 2 2 4 4 2 2 4

1 1

2 2 4 2 2

(2 2 2

4 1 1(2

12

1 1 1 1

12 2

( ) ( ) ( 1)

( ) 3) ( ) ( 1)

'( ) 3) ( ) ( 1)

3

''

( )3 3

xe x x

ln y x x x x

x y xln y x x x

y x xx

y x xy y

y x x xx x

ln ln

ln ln ln

ln ln ln

22

2 2

4

1

2 2 4

1

(2 1 14

12

( )

3)'

( )( 1) 3

x

x

x e xy

x xx x x

4) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.

a) 2 2

7 3( ) ( )( 1)g x x x x x Regla del producto (8%)

2 2 2 2

2 2

3 2 2 3 2 2

3 2

7 3 7 3

7 2 3 2 7 3

2 3 14 21 2 6 2 7 21

4 12 40

'( ) ( ) ( 1) ' ( ) '( 1)

'( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)

'( ) 7

'( ) 7

g x x x x x x x x x

g x x x x x x x

g x x x x x x x x x x

g x x x x

b) 33

3

1y t

t (Reglas de la potencia y de la cadena) (8%)

11 2

3 3 3 43 3 3 23 33

2 26

3 34 43 6 3 6

3 3 2

34 3

3

1 1

3

1 1 1

31

3 3

13 1 1

'

' ' '

y t t t y t t t tt

ty t t t y t t t y

t t

t tt

(20%)

– 45 –

c) 2

1

4

xy

xln

(Propiedades logarítmicas y derivadas de funciones logarítmicas) (8%)

1

12

22 2

2

2 2

1

2

1

2

11 4 1 4

4

1 2 1 2

1 2 1)4 4' '

(

xy x x x x

x

x xy y

x xx x

ln ln ln ln ln

d) 2( )

xf x x e

(Regla del producto y derivadas de funciones exponenciales) (8%)

2 2

2

2

1 2

2

2

'( ) ' '

'( ) ( ) ( )

'( )

'( ) ( )

x x

x x

x x

x

f x x x

f x x x

f x x x

f x x x

e e

e e

e e

e

e)

2

2

1( )

1

x xf x

x x

(Regla del cociente) (8%)

2 2 2 2

2

2 2

2

3 2 2 3 2 2

2

3 2 2 3 2 2

2

2

2

2

2

2 1 2 1

2

2 2 2 1 2 2 2 1

2

2 2 2 1 2 2 2 1

2

2 2

2

2(

1 1 ' 1 1 ''( )

1

1 1'( )

1

'( )

1

'( )

1

'( )( 1)

'( )

x x x x x x x xf x

x x

x x x x x xf x

x x

x x x x x x x x x xf x

x x


x x

xf x

x x

xf x

2

1)

2( 1)x x

– 46 –

JULIO DEL AÑO 2008

1) Dada la ecuación: 3 2 2 4

,4 27x x y y encuentre 'y . (20%)

2 2 2 3

2 2 3 2

2 2 3 2 2 2 2)

2 2) )

2 2 2 2

3 8 8 4

3 8 4 8

3 8 4 8 (3 8 4 2

(3 8 (3 8

4 2 4 2

' '

' '

( ) ' ( ) '

' '( ) ( )

x

x x

x x y y xy y y

x xy y y x y y

x xy y x y y x y y y x y

x y x yy y

y y x y y x

2) Si

2

27

4 1

4xx

yx

e

a. Utilice diferenciación logarítmica para encontrar 'y . (16%)

1 / 2

1 / 2 1 / 2

1 / 2

2 22

2

12

2

12

2

27 2727 4 1

4 1 4 1

27 4 1

27 4 4 1

27 4 4 1

1

4 44

( ) ( ) ( )( ) ( )

4( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

'

x xx x x

y ln y ln y x xx x

xln y x x

ln y x x x

ln y x x x

y

y x

e ee

e

e

ln ln ln

ln ln ln ln

ln ln ln ln

ln ln ln

1

2

2

4 1 22 2

4 1 4 1

1 2 27 1 22 2

4 1 4 14 1

4

' '

x xx x x

xx

y y x y xx x x xx

e

b. Determine la Ecuación de la Recta Tangente a la curva

2

27

4 1

4xx

yx

e

en el punto donde x = 2. (6%)

2

1 1

2

1 1

2 2

2 027 2 27 2

2 18 2 1834 2 1

227 2 2 2

2 2 18 4 9 72 4 774 2 1 94 2 1

( ) 4( ) ( )

( )

( ) 4( )

( )( )( )

x y x y

m m

e e

e

1 118 77 2 18 77 154

77 154 18 77 136

( ) ( )y y m x x y x y x

y x y x

– 47 –


2 4 1( )f x x x


3 2

8 82 2

3 3

3 3

3 3

8 8 8 1 8 1 1 0

24 8 9 3 3 3 3 3

1, 0 1.

'( ) ( ) ( )( )

''( )

: ,

: ,

f x x x x x x x x

f x x x x x

Números críticos x x x


b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es decreciente,

así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)

Intervalo Valor de prueba Signo de f’ Conclusión

] – , –1 [ x = – 2 – f es decreciente

] – 1, 0 [ x = – 0.5 + f es creciente

] 0, 1 [ x = 0.5 – f es decreciente

] 1, + [ x = 2 + f es creciente

4 2

4 2

4 2

1 2 1 4 1 1 2 4 1 3.

0 2 0 4 0 1 0 0 1 1.

1 2 1 4 1 1 2 4 1 3.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f

f

f

1 0 1

1 0 1

1

1 3 1 3

: ] , [ ] , [.

: ] , [ ] , [

: (0, ).

: ( , ), ( , ).

f es creciente en

f es decreciente en

Punto máximo relativo

Puntos mínimos relativos

c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos dónde f es

cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)

Intervalo Valor de prueba Signo de f’’ Conclusión

3

3,

x = – 1 + f es cóncava hacia arriba

3 3

3 3,

x = 0 – f es cóncava hacia abajo

3

3,

x = 1 + f es cóncava hacia arriba

4 2

4 2

3 3 3 19

3 3 3 9 3 9

3 3 3 19

3 3 3 9 3 9

2 42 4 1 1 2.11.

2 42 4 1 1 2.11

f

f

– 48 –

3 3 3 3

3 3 3 3

3 19 3 19

3 9 3 9

: , , . : ,

: , , ,

f es cóncava hacia arriba en f es cóncava hacia abajo en

Puntos de inflexión

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a

continuación). (5%)

4) Encuentre el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto de la función:

1 33 4

3 22( )f x x x

en el intervalo cerrado [ –1, 1 ]. (16%)

12 3 2

.6

6 1 6 0 0,'( ) :f x x x x x Números críticos x x

x 1 33 4

3 22( )f x x x

– 1 1 3 1 3 13 4

3 2 3 2 61 2 1 1 2 0.17( ) ( ) ( )f

0 1 33 4

3 20 2 0 0 2 0 0 2( ) ( ) ( )f

1

6

3 41 1 1 3 1 5185

6 3 6 2 6 25922 2.0004f

1 1 3 1 3 53 4

3 2 3 2 61 2 1 1 2 0.83( ) ( ) ( )f

Valor mínimo absoluto: 1

60.17 Valor máximo absoluto:

5185

25922.0004

– 49 –

5) Dadas la función de costo promedio: 3010

( )C xx

y la ecuación de demanda:

2,030 100p x de una empresa.

a. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (12%)

2

2

2,030 100 30 2,030 100 30 10

100 2,000 10 200 2,000 200 10 0 10.

10 .

10( ) ( )

( ) '( ) ( )

x unidades

U x x x x x x xx

U x x x U x x x x

El nivel de producción que máximiza la utilidad es

b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción realmente

maximiza la utilidad de la empresa. (6%)

200 10 200 0 10

0 10 10 10

''( ) ''( ) ( ) .

, ] , [ ] , [ ( ) .

U x U U es un máximo

Además U crece en el intervalo y decrece en U es un máximo

Por lo tanto, ya sea por el criterio de la segunda derivada como por el criterio de la

primera derivada, el nivel de producción que maximiza la utilidad es x = 10 unidades.

c. ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (4%)

210 100 10 2,000 10 10 10,000 20,000 10 9,990.00.

2,030 100 10 2,030 1,000 1,030.00

( ) ( ) ( ) .

( ) .

U L

p L

La utilidad máxima es de L. 9,990.00 y ocurre al precio de L. 1,030.00 UNAH/FCEAC/DMC/20 de julio de 2008.

NOVIEMBRE DEL AÑO 2008


a) 243( )f x x x

(Regla de la potencia y regla de la cadena) (6%)

2 2 34 4 3

33

24

3

3

4

2

1 / 3 2 / 31

3

2 / 33

2 / 3

3

4 2

4 2

24

1

( ) '( )

'( )

'( )

f x x x f x x x x x

x xf x

x x

xxf x

xx

– 50 –

b)

2 2

( )x

xf x e

(Regla de exponencial y regla de la cadena) (6%)

2

2 22

2'( )x

xf x xx

e

c) 24

2 3( )

3 1

xf x

xln

(Propiedades logarítmicas y derivada de función logarítmica) (6%)

2

24

1 / 42

2

2

1

4

1

2 3

2 3

2 3

2 6

42 3 3 1

2

2 3 2

( ) 3 1

( ) 3 1)

( ) 3 1)

'( )

3'( )

(3 1)

(

(

f x x x

f x x x

f x x x

xf x

x x

xf x

x x

ln ln

ln ln

ln ln

2) Dada la ecuación en dos variables: 3 3 2 2

2 3 18x y x y .

a. Utilice diferenciación implícita para encontrar '.y (16%)

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

3 6 6 6

6 6 6 3

6 3 2

3 2 2

6 2

' '

' '

'( ) ( )

( ) ( )' '

( ) ( )

x y y x y y xy

y y x y y xy x

y y y x x y x

x y x x y xy y

y y x y y x

b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación 3 3 2 2

2 3 18x y x y en el punto (- 2, 1). (6%)

2

2

1 1

2 2 1 2 8 4

6 32 1 2

4 4 82

3 3 3

4 8 4 11

3 3 3 3

[ ( ) ( )]

( ) [1 ( ) ]

( ) 1 [ ( )] 1

1

m

y y m x x y x y x

y x y x

– 51 –

3) Si

12 23

2 6(3

( 1),

2)

xe x

yx

encuentre 'y por diferenciación logarítmica. (20%)

12 12 122 2 2

2 6 2 6 2 6

12 2 2 6

12 2 2 6

1

3

1 1

3 3

1 1 1

3 3 3

1 / 3 1 / 3

(3 (3 (3

(3

(3

( 1) ( 1) ( 1)( ) ( )

2) 2) 2)

( ) ( 1) 2)

( ) ( 1) 2)

(

x x x

x

x

e x e x e xy ln y ln y

x x x

ln y e x x

ln y e x x

ln

ln ln

ln ln

ln ln ln

2

2

12 23

2 2 6 2

1 2 6

3 3 3

2

3

2 2

3 3

12 (3

4 2 (3

12 124 4

1 13 (3 3

) ( ) ( 1) 2)

( ) ( 1) 2)

' ( 1)'

( ) ( )2 2) 2

x

y x x x

ln y x x x

y x e x xy

y x xx x x

ln ln

ln ln

4) Dada la función: 4 /3 1 /3

4( )f x x x

a) Verifique que

2 /3 5 /3

4 1 4 2

3 9'( ) ''( ) .

x xf x y f x

x x

Luego, halle los números críticos y

posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)

1 / 3 2 / 3 2 / 3

2 / 3

2 / 3 5 / 3 5 / 3

5 / 3

44 4 4

3 3 3 3

44 8 4

9 9 9 9

11

22

0 1

2 0

( )'( ) ( )

( )''( ) ( )

: , .

: , .

xf x x x x x

x

xf x x x x x

x



b) Complete la siguiente tabla: (5%)

Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o

decrecimiento de f

] – , 0 [ x = – 1 – f es decreciente

] 0, 1 [ x = 1 / 8 – f es decreciente


¿Cuáles son los intervalos donde f crece? ¿Cuáles son los intervalos donde f decrece? ¿Cuáles son

los puntos extremos relativos de la gráfica de f?

f es decreciente en ] – , 1 [, f es creciente en ] 1, + [.

Punto mínimo: (1, – 3)

– 52 –

c) Complete la siguiente tabla: (5%)

Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f

] – , – 2 [ x = – 8 + f es cóncava hacia arriba

] – 2, 0 [ x = – 1 – f es cóncava hacia abajo

] 0, + [ x = 1 + f es cóncava hacia arriba

¿Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia arriba? ¿Cuáles son los intervalos donde f es

cóncava hacia abajo? ¿Cuáles son los puntos de inflexión de la gráfica de f?

f es cóncava hacia abajo en: ] – 2 , 0 [, f es cóncava hacia arriba en: ] – , – 2 [ ] 0, + [

Puntos de inflexión: (– 2, 7.6), (0, 0).

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a



0.2 4C xx


400 2p x de una empresa.


2 2

2

400400

400

90

90

400 2 0.2 4 2 400 0.2 4

2.2 396

3964.4 396 4.4 396 0

4.4

( ) ( )

( )

'( )

U x x x x x x x x xx

U x x x

U x x x x x

La función de utilidad se maximiza cuando se producen unidades

b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción realmente

maximiza la utilidad de la empresa. (6%)

4.4 90 4.4 0

90 0, 90

''( ) ''( )

''( ) .

U x U

ComoU la utilidad es máxima en x unidades

– 53 –


240090 2.2 90 396 90

400 2 400 2 90 400 180

( ) ( ) ( ) .

.

U L

p x L

17,420.00

220.00

ABRIL DEL AÑO 2009


a)

3

1( )

xf x

x

(Regla de la potencia y regla del cociente) (12%)

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

4

1) ( 1) 1) (1 1) 1 1

1 1) 1) 1) 1)

1 1

1 1 1 1) 1) 1)

3

1)

( ) ' ( ' ( ) (( ) '( )

( ( ( (

'

'( ) 3 3 3( ( (

'( )(

x x x x x x x x xu x u x

x x x x x

x x x xf x

x x x x x x

xf x

x

b) 2 2

3

3

2 3

( )( )

( )

xf x

x xln


c)

2 23

2( )

x xxf x e


2 2 3

2 2 3

2 2 3

2

2 2

3 2 3

3 2 3

3 2 3

2 3 3 2 3

2 1 2 4 3 22 3

2 3 2 33 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

'( ) '( )

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

x xf x f x

x x x xx x

ln ln

ln ln ln

ln ln ln

ln ln ln

2 22 2

2 2

3 32 23 3

4 1 4 1'( ) '( )x x x x

x xf x x f x xx x

e e

– 54 –

2) Si 2 3

62

2 3

3

( )

2

x xy

x


1 12 3 2 3 2 36 6

2 2 2

2 3 2 2 3 2

2

1

6

1 1

6 6

1

6

2 3 2 3 2 3

3 3 3

2 3 3 2 3 3

2 3 2 3 3

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

( ) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2)

( ) ( ) ( 2)

'

x x x x x xy ln y ln y

x x x

ln y x x x ln y x x x

ln y x x x

y

ln ln ln ln ln

ln ln ln

ln ln

2

2 2

2 36

2 2

1

6

2 2 63

2 3 3

1 1 1 1

3 2 3 3 2 33 3

2 3 1 1

3 2 33 3

2

''

2 2

( )'

2 2

x

y x x x

y x xy y

y x x x xx x

x x xy

x xx x


.2 2x x y y .


3 2 2 2 2 2 3

3 2 2

3 2

3 2

2 2

3 3

2 2 6 4 2 2

4 2 2 6

2 ( 2 1 2 1 3

( 2 1 1 3

1 3 1 3

( 2 1 (1 2

' '

' '

' ) ( )

' ) ( )

( ) ( )' '

) )

x y y x x y x y y y y x

x y y y y x x y

y y x x xy

y y x x xy

x xy x xyy y

y x y x


.2 2x x y y en el punto (1, 1). (6%)

2 2

3 3

1 1 1 1

1 1 1

1 3 1 3 44

1(1 2 (1 2

1 4 1 4 1 1 4 4 1

4 5

( ) ( )

) )

( ) ( )y x y x y x

y x

xx xym m m

yy x

– 55 –

4) Dada la función: 1 14 3

8 2( )f x x x

a) Verifique que 1 2

23'( ) ( )f x x x

3

22''( ) ( )f x x x . Luego, halle los números críticos y posibles

puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)

1 3 13 2 2

2 2 2

3 32

2 2

1 14 3

8 2

3

3 2 0 3.

0 0 2 2 2 2 4 2. 0 0 2 2

'( ) ( )

''( ) ( ). : ,

( ) , ( ) ( ) ( ) : ( , ), ( , ).

f x x x x x

f x x x x x Números Críticos x x

f f Posibles puntos de inflexión

b) Complete las tablas siguientes: (10%)

Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de f


] 0, 3 [ x = 1 – f es decreciente



] – , 0 [ x = – 1 + f es cóncava hacia arriba

] 0, 2 [ x = 1 – f es cóncava hacia abajo


TABLA RESUMEN:

Intervalos f(x) Signo de

f ‘ (x)

Signo de

f “ (x) Conclusión Trazo

0, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba

0x 0 0 0 Punto de inflexión: (0, 0)


2x – 2 – 0 Punto de inflexión: (2, – 2 )


3x – 3.4 0 + Punto mínimo relativo: (3, – 3.4)


– 56 –

c) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a



10C xx




2 2

2

10010

10

500 4

500 4 100

5 490 100

10 490 0 49

49

( ) ( )

( )

( )

'( )

El nivel de producción que máximiza la utilidad es unidades

U x p x C x x x x xx

U x x x x x

U x x x

U x x x

x

b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción

realmente maximiza la utilidad de la empresa. (6%)

10

49 10 0.

49 0, ,

49

''( )

''( )

''( )Como por el criterio de la segunda derivada la utili

dad se maximiza cuando se producen y venden unidades

U x

U

U

– 57 –


2 2 2 249 5 49 490 49 100 5 49 10 49 100 5 49 100 11,905.

500 49 500 196 304

11,905.00 304.00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4( )

. .

U

p

La utilidad máxima es de L y ocurre cuando el precio es de L

Agosto del año 2009


a) 4 2 3 2

5 4 2 4 6 3( ) ( )( )f x x x x x x (Regla del producto) (8%)

4 2 3 2 4 2 3 2

4 2 2 3 3 2

6 5 4 4 3 2

6 5 4 3 4 3 2

6

5 4 2 4 6 3 5 4 2 4 6 3

5 4 6 8 6 20 8 2 4 6 3

30 40 30 24 32 24

40 80 120 60 16 32 48 24

30 40

'( )

'( )

'( )

'( )

( )( ) ' ( ) '( )

( )( ) ( )( )


f x x x x x x x x x x

f x x x x x x x

x x x x x x x x

f x x

5 4 3 2 6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

54 32 24 40 80 136 92 48 24

70 120 190 124 72 24'( )

x x x x x x x x x x

f x x x x x x x

b)

2

2

3 2

2 1( )

xxf x

x


2 2 2 2

2 2

2 2 3 2 3 2

2 2 2 2

3 2 3 2 2

2 2 2 2

2 1 3 2 3 2 2 1

2 1

2 1 2 3 3 2 4 4 6 2 4 12 8

2 1 2 1

4 6 2 4 12 8 6 10

2 1 2 1

' ''( )

3'( )

3 3'( ) '( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

x x

x

x x x xf x

x


x x

x x x x x x x xf x f x

x x

c)

2

24

2

2( )

xf x

x ( ) (8%)Regla de la potencia

2 2

2 2 3

1 / 4 3 / 41

4

2 2 42 2

( ) '( )x x

f x x f x x x x

– 58 –

2 2 32

2 3 2

2

1 / 4 3 / 41

3 / 44

4

2 42

2 2 24

2

( ) '( ) '( )

xx x x

f x x f x x f xx x x

x

d)

22

( )x

xf x e

( ) (8%)Regla exponencial y de la cadena

2 22 2

2 2

2 12 2 1'( ) '( )

x xx x

x x

f x f xe e

e)

3 2

2 42

1( )

( 2)

x xf x

x xln

( ) (8%)Propiedades de logaritmos y derivada de logaritmo

3

1/ 23 2

1 / 22 2 4

2 4

2 2

2 2 2 2

1

2

3 1 2 3

2

22

3 4 2

2 2 8 84

2 2

1( ) 1 2

( 2)

( ) ( ) ( 1) ( 2)

'( ) '( )1 2 1 2

( ) ( ) ( )x x

f x x x x xx x

f x x x x x

x x x xf x f x

x x x x x x x x

ln ln ln

ln ln ln ln

2) Dada la ecuación en dos variables: 2

21( ) .x y xy


2 2 2 2 221 2 21 21

2 22 2 0 2 2

2 2

( )

' ' ( ) ' ' '

x y xy x xy y xy x xy y

x y x yx xy y y y x y y x y y y

x y x y

b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación

221( )x y xy en el punto (5, - 4). (6%)

2 5 4 62

5 2 4 3

4 2 5 4 2 10 2 10 4 2 14

( ) ( )

( )

( ) ( )

m

y x y x y x y x

– 59 –

3) Si 12

36 3

4,

1( )x

xy

e x


3

1/ 3 1/ 312 12 12

6 6 63 3 3

12 6 3

3

1

3

1

3

1 1

3 3

' 1

3

4 1 4 1 4

4 1

12 6 4 1 4 3 4 1

4 123

( ) ( )1

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )x x x

x

x x xy ln y lln y

e x e x e x

ln y x x

ln y x x x ln y ln x x ln x

y x

y x

ln ln e ln

ln ln

ln ln

2 2

3 3

2 2

3 3

123

6 3

' 4 43

4 1 4 1

4 4 4 43 3

4 1 4 14' '

1( )x

y x

x y x x

xx xy y y

x x x xe x

4) 4 2 3 2

1

2

2 4 8 8 24 8.: ( ) : '( ) , ''( )Dada la función f x x x y sus derivadas f x x x f x x

a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)

3 2

2 2.

, ,

1

3 3 3 3 3

11 11

3 18 3 18

8 8 0 8 1 0 8 1 1 0 1 0 1

3 3 3 324 8 0 24 0 24 0

1 0 1

3 3

.

: , , .

: , ,

ó ó

ó

x x x x x x x x x x

x x x x x x

números críticos x x x

Posibles puntos de inflexión aproximadam

, ,0.58 0.61 0.58 0.61: ,ente



] – , - 1 [ x = – 2 – f es decreciente

] - 1, 0 [ x = – 0.5 + f es creciente

] 0, 1 [ x = 0.5 – f es decreciente



3,

3

x = – 1 + f es cóncava hacia arriba

3 3,

3 3

x = 0 – f es cóncava hacia abajo

3,

3

x = 1 + f es cóncava hacia arriba

– 60 –

TABLA RESUMEN:

Intervalos f(x) Signo de

f ‘ (x)

Signo de

f “ (x) Conclusión Trazo


1x – 1.5 0 + Punto mínimo: ,( 1 1.5)

13

,3


3

3x – 0.61 + 0 Punto de inflexión: , 0.61

3

3

3, 0

3


0x 0.5 0 – Punto máximo: ,( 0 0.5 )

30,

3


3

3x

– 0.61 – 0 Punto de inflexión:

, 0.613

3

13

,3


1x

– 1.5 0 + Punto mínimo: ,(1 1.5)




– 61 –

Noviembre del año 2009


a) 3 2 2

2 3 1 5 7( ) ( )( )f x x x x x (Regla del producto) (10%)

3 2 2 3 2 2

3 2 2 2

4 3 3 2 4 3 2 3 2

4 3 2

2 3 1 5 7 2 3 1 5 7

2 3 1 2 5 6 6 5 7

4 10 6 15 2 5 6 30 42 6 30 42

10 52 3 44 5

'( )

'( )

'( )

'( )

( )( ) ' ( ) '( )

( )( ) ( )( )

f x x x x x x x x x

f x x x x x x x x

f x x x x x x x x x x x x

f x x x x x

b)

2

2

3

2 1( )

x

xf x

x


2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2 2

2 2 2 2

2 1 3 3 2 1

2 1

2 1 2 3 2 2

2 1

2 4 2 2 2 6 6

2 1

2 4 2 2 2 6 6 2 8 6

2 1 2 1

' ''( )

'( )

'( )

'( ) '( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

x x

x

x

x

x

x x

x x x xf x

x

x x x xf x

x

x x x x x xf x

x

x x x x x x x xf x f x

x x

f

2

2 2

2( 4 3)

2 1'( )

( )x

x xx

x

c)

102

2( )

xf x

x

(Regla de la potencia) (10%)

1 1 2

2

1

2

1 2

2

10 9

2 10 2 22 2

92

102

( ) '( )

'( )

x x

x

x

f x x f x x x

f xx

– 62 –

d) 4 2 52 4

( )x xx

f x e

(Regla exponencial y de la cadena) (10%)

4 2 5 3

4 2 53

2 44 4 4

2 44 1

'( )

'( )

( )

( )

x x

x x

x

x

f x x x

f x x x

e

e

e)

2

3

21( )

( 1)

x xf x

xln

(Propiedades de logaritmos y derivada de logaritmo) (10%)

2

1/ 221/ 22 3

3

1/ 22 3

2

2

1

2

1 1

2

1

1 21 2 1

1

1 2 1

1 2 3 1

4 13

11 2

2 3

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

'( )

'( )11 2

( )[ ( ) ]

( )

x

x xf x x x x

x

f x ln x x x

f x ln x ln x x

xf x

xx

xf x

x xx

ln ln ln

ln ln

ln

2) Dada la ecuación en dos variables: 2 2

1 .x y x y


2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

1 1

1 0

1 2 2 0

1 2 2 0

1 2 1 2

1 2

1 2

'

' ( ') ( )

' '

'( )

'

( )' ( )'

x y x y x y x y

y x y x y

y x y y x y

y x y y x y

y x y x y

x yy

x y

– 63 –

b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación 2 2

1x y x y en el punto (– 1, 1). (5%)

2 2

2 2

1 1

1 2 1 2 1 1 1 2 1

1 2 31 2 1 2 1 1

11 1

3

11

3 3

11

3 3

4

3 3

( ) ( )'

( ) ( )

( ) [ ( )]

x yy m

x y

y y m x x y x

xy

xy

xy

3) Si

2

3 105 1

xe

yx x


2 2

1/ 5 1/ 53 10 3 10

1/ 52 3 10

1/ 52 3 10

1/ 52 3 10

101

52 3

2

( )

1 1

( ) 1

( ) 1

( ) 1

( ) ( ) ( ) 1

( )

( ) ( )

( ) [ ( ) ]

( ) [ ( ) ( ) ]

( ) ( ) ( )

( )

x x

x

x

x

e ey ln y

x x x x

ln y e x x

ln y e x x

ln y e x x

ln y x ln e ln x x

ln y x

ln ln

ln ln ln

ln ln ln

ln

ln

9

10

9

10

9

10

10

9101

10 1

2

3 105

1

5

1

5

3 2

3 2

3 2

3

2 3

2

2

2

( ) 1

'

'

1

'1

'11

( )

x

ln x x

y xxy x

y x

y x x

xy y

x x

e xy

x xx x

ln

– 64 –

4) 3 2

6 9 .: ( ) 2Dada la función f x x x


2

1

2

1

2

18 18 18 1

18 1 0

18 0 1 0

0 1.

0 1

36 18 18(2 1

18(2 1 0

2 1 0

2 1

'( )

: ,

''( ) )

)

.

:

( )

( )

ó

ó

f x x x x x

x x

x x

x x


f x x x

x

x

x x

Posible punto de inflexión x

b) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

función :f (5%)

Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de

f

0] , [ 1x +

0 1] , [ 0.5x –

1] , [ 2x +

Escriba, en la casilla que está a

la derecha, todos los puntos

extremos relativos de la gráfica

de la función.

Punto máximo relativo: (0, 2)

Punto mínimo relativo: (1, – 1)

– 65 –

c) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f es cóncava hacia arriba

y dónde la función f es cóncava hacia abajo. (5%)

Intervalos Valor de

prueba Signo de ''f Concavidad de f

1

2,

0x –

1

2,

1x +

Escriba, en la casilla que está a

la derecha, todos los puntos de

inflexión de la gráfica de la

función.

Punto de inflexión: ,1 1

2 2

d) Haga un bosquejo de la gráfica de f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). (5%)

– 66 –

Abril del año 2010

1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas

indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.

a)

3

1( )

xf x

x

(Regla de la potencia y regla del cociente) (12%)

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

4

1) ( 1) 1) (1 1) 1 1

1 1) 1) 1) 1)

1 1

1 1 1 1) 1) 1)

3

1)

( ) ' ( ' ( ) (( ) '( )

( ( ( (

'

'( ) 3 3 3( ( (

'( )(

x x x x x x x x xu x u x

x x x x x

x x x xf x

x x x x x x

xf x

x

b) 2 2

3

3

2 3

( )( )

( )

xf x

x xln


c)

2 23

2( )

x xxf x e


2 2 3

2 2 3

2 2 3

2

2

2

3 2 3

3 2 3

3 2 3

2 3 3 2 3

2 1 22 3

2 33

4 3 2

2 33

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

'( )

'( )

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

xf x

x xx

xf x

x xx

ln ln

ln ln ln

ln ln ln

ln ln ln

2 22 2

2 2

3 32 23 3

4 1 4 1'( ) '( )x x x x

x xf x x f x xx x

e e

– 67 –

2) Si 2 3

62

2 3

3

( )

2

x xy

x


1 12 3 2 3 2 36 6

2 2 2

2 3 2 2 3 2

2

1

6

1 1

6 6

1

6

2 3 2 3 2 3

3 3 3

2 3 3 2 3 3

2 3 2 3 3

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

( ) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2)

( ) ( ) ( 2)

'

x x x x x xy ln y ln y

x x x

ln y x x x ln y x x x

ln y x x x

y

ln ln ln ln ln

ln ln ln

ln ln

2 2

2 36

2 2 2

1

6

2 2 6 1 13

2 3 3 2 33 3

1 1 2 3 1 1

3 2 3 3 2 33 3 3

'

2 2

( )' '

2 2 2

x y x

y x x y x xx x

x x x xy y y

x x x xx x x


.2 2x x y y .


3 2 2 2 2 2 3 3 2 2

3 2 3 2

2 2

3 3

2 2 6 4 2 2 4 2 2 6

2 ( 2 1 2 1 3 ( 2 1 1 3

1 3 1 3

( 2 1 (1 2

' ' ' '

' ) ( ) ' ) ( )

( ) ( )' '

) )

x y y x x y x y y y y x x y y y y x x y

y y x x xy y y x x xy

x xy x xyy y

y x y x


.2 2x x y y en el punto (1, 1). (6%)

2 2

3 3

1 1 1 1

1 1 1

1 3 1 3 44

1(1 2 (1 2

1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 5

( ) ( )

) )

( ) ( )y x y x y x y x

xx xym m m

yy x

4) Dada la función: 1 14 3

8 2( )f x x x

a) Verifique que 1 2

23'( ) ( )f x x x

3

22''( ) ( )f x x x . Luego, halle los números críticos y posibles

puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)

1 14 31 3 13 2 2

8 22 2 2

3 32

2 2

0 0 2 2 2 2 4 23

0 3.

3 2

0 0 2 2

( ) , ( ) ( ) ( )'( ) ( )

cos : ,

''( ) ( )

: ( , ), ( , ).

f ff x x x x x

Números Críti x x

f x x x x x

Posibles puntos de inflexión

– 68 –


Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de

f


] 0, 3 [ x = 1 – f es decreciente



] – , 0 [ x = – 1 + f es cóncava hacia arriba

] 0, 2 [ x = 1 – f es cóncava hacia abajo


TABLA RESUMEN:

Intervalos f(x)

Signo de

f ‘ (x)

Signo

de f “

(x)

Conclusión Trazo


0x 0 0 0 Punto de inflexión: (0, 0)


2x – 2 – 0 Punto de inflexión: (2, – 2 )


3x – 3.4 0 + Punto mínimo relativo: (3, – 3.4)


– 69 –




10C xx




2 2 2

10010

10

500 4

500 4 100 5 490 100

10 490 0 49

49

( ) ( )

( ) ( )

'( )



U x x x x x U x x x

U x x x

x

b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción realmente maximiza la utilidad de la empresa. (6%)

10 49 10 0.

49 0, ,

49

''( ) ''( )

''( )Como por el criterio de la segunda derivada la utili

dad se maximiza cuando se producen y venden unidades

U x U

U


2 2 2 249 5 49 490 49 100 5 49 10 49 100 5 49 100 11,905.

500 49 500 196 304

11,905.00 304.00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4( )

. .

U

p


`

– 70 –

Agosto del año 2010

1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas

que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.

a) 4 2 3

2 1 3( ) ( )( )f x x x x x (Regla del producto) (8%)

4 2 3 4 2 3

3 3 4 2 2

6 4 4 2 6 4 4 2 2

6 4 2

2 1 3 2 1 3

4 4 3 2 1 3 3

4 12 4 12 3 3 6 6 3 3

7 25 21 3

( )

( )

( )

( )

' ( )'( ) ( )( )'

' ( )( ) ( )( )

'

'

f x x x x x x x x x

f x x x x x x x x

f x x x x x x x x x x

f x x x x

b)

2

23 1

( )x

f xx


2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

3 3

2 2

2 2

3 1 3 1

3 1

3 1 2 6

3 1

6 2 6

3 1

2

3 1

' ''( )

'( )

'( )

'( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

x x x xf x

x

x x x xf x

x

x x xf x

x

xf x

x

c) 23 3 3 5( )f x x x (Regla de la potencia y regla de la cadena) (8%)

1 / 32

2 / 32

2 / 32

2 / 32

2 / 32

1

3

1

3

3 3 5

3 3 5 6 3

3 3 5 2 1

2 1 3 3 5

2 1

3 3 5

( )

'( )

'( ) 3

'( )

'( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

f x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

xf x

x x

– 71 –

d)

14

( ) xx

f x e

(Regla de la exponencial y regla de la cadena) (8%)

14

14 23

143

2

4

14

( )

'( )

'( )

( )

x

x

x

x

x

x

f x

f x x x

f x xx

e

e

e

e)

2

2

1( ) 2

1

xf x

xln

(Propiedades de logaritmos y derivada de función logarítmica) (8%)

1

2 22

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

3 3

2 2 2 2

1 1( ) 2 ( )

1 1

( ) 1 1

2 2 2 1 2 1'( ) '( )

1 1 1 1

2 2 2 2 4'( ) '( )

1 1 1 1

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

x xf x f x

x x

f x ln x ln x

x x x x x xf x f x

x x x x

x x x x xf x f x

x x x x

ln ln

2) Dada la ecuación en dos variables: 3 2 2

.2 7x x y


2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2

2

2 2

2

3 2 2 0 3 4 4 0

3 44 3 4

4

3 4 3 4

44

'

' '

' '

( )' ( )

( )

x x y x y x x y x y y

x x yx y y x x y y

x y

x x y x yy y

x yx y


3 2 2.2 7x x y en el punto (– 1, 2). (2%)

2

1 1

1 1

13

8

13 13 13

8 8 8

13 13 13 29

8 8 8 8

3 1 4 2 16 131 2

4 1 2 8 8

2 1 2

2

( ) ( ) 3, ,

( ) ( )

( ) ( )( )

x y m

y y m x x y x y x

y x y x

– 72 –

3) Sea4

5

2 4.

( 3) 1

xy

x x

Encuentre y’ por diferenciación logarítmica. (12%)

5

1 / 42 4

5 1 / 45 2 4

1 / 42 4

1 / 45 2 4 2 4

2 4

1

4

11

4

5

25 5

( 3) 1

( ) ( ) 3 1

( 3) 1

( ) 3 1 ( ) ( ) 3 1

'( ) ( ) 3 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ]

[ ] [ ]

xy

x x

xln y ln y x x x

x x

ln y x x x ln y ln x x x

y xln y ln x x x

y x x

ln ln ln

ln ln

ln ln ln

ln ln

4

3

2 4

3 3

2 4 2 4

5 3

2 42 4

41

4

5 5

5

2 2

2

3 1

''

3 1 3 1

'3 1( 3) 1

x

x

y x x x xy y

y x xx x x x

x x xy

x x xx x

4) Dada la función: 4 3

2 4( )f x x x


3 2 2

2

8 12 4 2 3

24 24 24 1

0 1.5

: 0 0 1 2

'( )

''( )

: ,

( , ), ( , )

( )

( )

f x x x x x

f x x x x x




función :f (5%)


0] , [ 1x –

0 1.5] , [ 1x –

1.5] , [ 2x +

Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los

puntos extremos relativos de la gráfica de la función. Punto mínimo relativo: (1, – 3.4)

– 73 –

c) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f es cóncava hacia arriba



0] , [ 1x +

0 1] , [ 0.5x –

1] , [ 2x +


puntos de inflexión de la gráfica de la función. Punto de inflexión: (0, 0), (1, – 2)


5) Dadas la función de costo promedio: 1603,000

C xx




Función de ingreso: 2400 4002 ) 2 .(R x p x x x x x

Función de costo: 2160

3,000160 3,000.C x C x x x x x

x

Función de utilidad: 2 2400 160 3,000( ) ( ) ( ) 2U x R x C x x x x x

– 74 –

2240 3,000

240 240 0 40

40

3

' 6 6

U x x x

U x x x x

El nivel de producción que maximiza la utilidad es de x unidades

b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción

realmente maximiza la utilidad de la empresa. (2%)

6

40 6

6

''

''

, ,

.

U x

U

Por lo tanto por el criterio de la segunda derivada la utilidad

es máxima cuando se producen y venden x unidades


6) La ecuación de la demanda para un cierto producto es: 2

108 0 10.,x p p Establezca

una ecuación para la elasticidad puntual de la demanda en términos del precio:

2

2

2 2

108 2

22

108 108( )

dxx p p

dp

p dx p pp

x dp p p

Complete la siguiente tabla: (2% cada línea = 6%)

p Clasificación

de la demanda

Variaciones pequeñas

en el precio Efecto en el ingreso

3 – 0.18 0.18 Inelástica El precio disminuye Disminuye el ingreso

9 – 6 6 Elástica El precio disminuye Aumenta el ingreso

6 – 1 1 Unitaria El precio disminuye No se afecta el ingreso

(2%)

240 40 240 40 3,000 4,800 9,600 3,000 40 1,800.00

400 2 40 400 80 320.00

1,800.00 320.00

3 .

.

. .La utilidad es máxima es de y ocurre al pecio de

U U L

p p L

L L

– 75 –

Noviembre del año 2010


a) 25 5 10 2( )f x x x (Regla de la potencia y regla de la cadena) (11%)

1 / 52

4 / 51 2

5

10 0

4 / 52 10 2

( 1)

4 / 52 10 2

( 1)

4 / 52 10 2

5 10 2

5 10 2 10 10

5 5

10

5 5

2

5

( )

'( )

1'( )

'( )

'( )

x x

x

x x

x

x x

f x x x

f x x x x

xf x

f x

f x

b)

23 23 4( ) x

x x xf x e

(Regla de la exponencial y regla de la cadena) (11%)

13 2

13 2 22

23 22

2

3 4 2

3 4 23 6

3 43 6

( )

'( ) 4 2

2'( ) 4

( )

x

x x x x

x x x x

x x x

f x

f x x x x

f x x xx

e

e

e

c)

4 2

2 2

2 1

3 1

( )

( )

x xf x

x

ln

4 2 2 2

4 2 2 2

1 / 24 2 2 2

12 2

2

1

2 22 1 1

2 21 1

2 1 3 1

2 1 3 1

2 1 3 1

4 2 1 2 3 1

4 4 62

2 3

4 2 12

2 3

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

'( )

'( )

( )

( )

x x

x x

x

x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x ln x x x

x xf x

x xf x

ln ln

ln ln ln

ln ln ln

ln ln

(Propiedades de logaritmos y derivada de función logarítmica) (11%)

– 76 –


3 2 3 2.2 8 9x y x y


23 2 3 2 6 3 2 4 3 2 6 4 3 2

5 3 3 2 2 3 3 2 2 5

2 3 2 2 3

2 2 36 2

2 8 9 4 4 8 9 4 4 9

6 16 8 12 16 8 12 6

8 2 6 2

' ' ' '

'

'x y x

x y x y x x y y x y x y x y

x y y x y y x y y y x y y x y x

y y y x x y x

y

2 38 2y y x

2 26 3

8 4

' 'x x

y y

y y


2

3 2 3 22 8 9x y x y en el punto (– 1, – 1 ). (4%)

2(

(

1 1

3 1 31 1

4 1 4

3 3

4 4

3 3 3 3 3 7

4 4 4 4 4 4

)'( , )

)

( ) ( 1) ( ( 1) ) 1 ( 1)

1 1

m y

y y m x x y x y x

y x y x y x

3) Sea

6 3 43

34 22

1

2

( ).

( )

x xy

xxe


4 / 3 4 / 36 3 6 3 34 / 36 3 4 2

3 34 2 4 2

34 / 36 3 4 2

34 / 36 3 4 2

2

2 2

2

2

1 11 2

2 2

1 2

1 2

6

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x x x x xy ln y ln y x x x

x xx x

xln y x x x

xln y x x x

ln y

ee e

e

e

ln ln

ln ln ln ln

ln ln ln ln

ln

4 3 3 4

3

2 34 2

3 43

2 3 2 32 2

3 4 3 4

6 3 4 2 332

3 3 44 22

1 2 2 2

1 3 46 6 2

1 2

6 4 6 46 6

1 2 1 2

1 6 46

1 22

( ) ( )

'

' 8 8'

( ) 8'

( )

x x x x

y x xx

y x x x

y x x x xx y y x

y x x x x x x

x x x xy x

x x x xxe

ln ln ln

– 77 –

4) Dada la función: 3

3 2( )f x x x


x ( )f x

1 0 0 2 1 4


función :f (5%)


1, 2x +

11, 0x –

1, 2x +


puntos extremos relativos de la gráfica de la función.

Punto máximo relativo: 0( 1, )

Punto mínimo relativo: 4(1, )

d) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f es cóncava hacia arriba


Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidades de f

0, 1x –

0, 1x + Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los

puntos de inflexión de la gráfica de la función. Punto de inflexión: (0 2),


2 23 3 3 1 3( 1)( 1). 0 1 1

''( ) 6 . 0 0.

: 1, 1.

: (0 2)

'( ) '( )

''( )

,

( )

f x

Números críticos

Posible punto de inflexión

f x x x x x f x x x

x f x x

x x

– 78 –

5) Dadas la función de costo total: 2160 2,000( )C x x x y la ecuación de demanda: 4002x p

de una empresa.

a. Determine la función de utilidad en términos de .x (6%)

2

2 2

2

400 400

400

400 160 2,000

240 2,000, 0 200

2 ( ) ( ) ( 2 )

( ) 2

( ) 2

( ) 3 ,

p x R x p x R x x x

R x x x

U x x x x x

U x x x x

b. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad y verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel realmente maximiza la utilidad. (8%)

2

2

2

240

240

240

6 240 6 40

0 40

0 3 0 0 2,000 2,000

40 3 40 40 2,000 4,800 9,600 2,000

4,800 2,000 2,800

200 3 200 200 2,000 120,000 2,000

120,000 7

'( ) ( )

'( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 48,000

46,000

U x x x

U x x

U

U

U

4,000

Por el teorema del valor extremo, el máximo ocurre al nivel de producción de 40x unidades.


224040 3 40 40 2,000 4,800 9,600 2,000

4,800 2,000 2,800 .

400 400 40 400 0 320 .

2,800 320 .

( ) ( ) ( )

2 2( ) 8

Lempiras

Lempiras

La utilidad máxima es de Lempiras y ocurre al precio de Lempiras

U

p x

x ( )U x

0 2,000

40 2,800

200 4,0007

– 79 –

ABRIL DEL AÑO 2011

1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta.

a) 4 2( ) 2f x x xln (Propiedades de la función logarítmica y deri-vada de una función logarítmica) (15%)

1/ 24 2

1/ 24 2

1 2

2

1

22

2

4

214

4

( ) 2

( ) 2

( ) 2

'( )2

'( )2

f x x x

f x x x

f x ln x ln x

xf x

x x

xf x

x x

ln

ln ln

b)

2

2 11( )

xf x x e

(Derivada del producto y derivada de una fun-ción exponencial) (15%)

2 22

22

22

23

1 11 2 2

12 1

12

12

'( ) ( )

'( ) 1

'( )

'( )

x x

x

x

x

f x x x x

f x x x

f x x x

f x x

e e

e

e

e


2 3 4.3 32y x y


22 3 4 4 2 3 6 4

2 3 6 4 4 2 3 6 4

2 2 3 5 3

2 2 3 5

3 3 2 2 5

3 2 2 2 3

3 32 2 3 32

2 3 32 2 2 32

2 3 4 6 8

6 4 6 8

4 8 6 6

4 6

' '

' '

' '

' 2y

y x y y y x x y

y x x y y y x x y

y x y y x x y y

y x y y x x y y

y y x y y y x x

y x y x y x

– 80 –

22 3 4 3 2 2 2 3

2 3 2 2 3 2

3 2 3 2

3 32 4 6

6 3

4

' 2

' '2 2 2

y

y

y x y y x y x y x

x x y x x yy y

x y y x y


2

2 3 43 32y x y en el punto (2, – 2 ). (5%)

2 3 2

3

3 2 4

3 3 3

1 1 4 4 2

3 3 3 1

4 2 4 2

3 2 2 2 12 4 3 162 2

2 2 2 2 4 16 4 16

2 2 2

2

( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )'( , )

( )[[ ( ) 2( ) ] ( ) (

( ) ( ) ( )

m y

y y m x x y x y x

y x y x

3) Sea

32

46 43

2 2

4 1 1

.x

y

x x


3 32 2

4 1 / 3 46 4 6 43

32

1 / 3 46 4

3 1 / 3 42 6 4

3 1 / 3 42 6 4

2 6 4

2

2 2 2 2

4 1 1 4 1 1

2 2

4 1 1

2 2 4 1 1

2 2 4 1 1

3 2 2 4 1 4 1

43

2

( )

( )

( )

1( ) ( ) ( ) ( )

3

'

x xy y

x x x x

xln y

x x

ln y x x x

ln y x x x

ln y ln x ln x ln x

y x

y x

ln

ln ln

ln ln ln

5 3

6 4 2 2

5 3 5 3

2 6 4 2 6 4

32 5 3

4 2 6 46 43

24 4 4 44 3 3

2 4 1 1 2 2 2( 1)

6 8 16 6 8 16

1 4 1 1 1 4 1 1

2 2 6 8 16

1 4 1 14 1 1

1,

3

''

'

x x x x

x x x x

y x x x x x xy y

y x x x x x x

x x x xy

x x xx x

– 81 –

3 3 3 3

3 3 3 3

2 2 0 2 2

2 2 0 2 0 2

2, 2.

2, 2), (2, 2)

: 2 (0, 0), 2

( ) ( )

:

: (

, , , .

( )( )


x x x x

x x x x x x


Posibles valores extremos

4) Dada la función y sus derivadas:

23 3

2 2 3 32 2 2

16 2 2 16 128 2 2

4 4 4 4

8( ) ( )( ) , '( ) , ''( ) .

( )( ) ( )x x x x xx x xf x f x f x

x x x x

a) Halle los números críticos, los posibles puntos extremos relativos y los posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)

x ( )f x

32 3

2 2

0 0

2 2

32 3


función ,f así como los máximos y mínimos relativos. (5%)


2, 3x +

2 2, 0x –

2, 3x +

Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.

Punto máximo relativo: 2 2( , )

Punto mínimo relativo: 2 2( , )

e) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f es cóncava hacia arriba y dónde la función f es cóncava hacia abajo, así como los puntos de inflexión. (5%)

Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidades de f

32,

4x +

32 0,

3x –

30 2,

3x +

32 ,

4x –

Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función.

Puntos de inflexión: 3 32( , ),

3 30, 0 2( ), ( , )

– 82 –

d) Verifique que y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f y haga un bosquejo de

la gráfica de f (Utilice el sistema de coordenadas dado en la página siguiente). (5%)

2

2

8 80

40

8 80

4

( )

( )

:x x x

x x x

es una asíntota horizontal

xf x

xx

xf x

xx

Conclusión y

Lím Lím Lím

Lím Lím Lím


( )C x xx

y la ecuación de demanda: 3002x p de

una empresa.

a. Determine la función de utilidad en términos de x y encuentre el nivel de producción que maxi-miza la utilidad. (12%)

Ingreso: 2300 300( ) ( 2 ) ( ) 2R x x x R x x x

Costo: 2100100( ) ( )C x x x C x x

x

Utilidad: 2 2 2 2300 100 300 100( ) 2 2U x x x x x x x

2300 100 0 150

300

300 0 50

max 50

( ) 3 ,

'( ) 6

6

.El nivel de producción que imiza la utilidad es x

U x x x x

U x x

x x

unidades

b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción realmente maximiza la utili-dad. (4%)

– 83 –

Intervalos Valor de prueba Signo de 'U Crecimiento o decrecimiento de U

0 50, 10x +

50 150, 60x –

Por lo tanto, U tiene un máximo en x = 50 unidades.


250 50 300 50 100 7,500 15 000 100 7, 400

300 300 50 300 100 200 200

3 , .

2 2 .

U

p p

U Lempiras

x Lempiras

JULIO DEL AÑO 2011

Selección Múltiple (MARQUE SU RESPUESTA CON LÁPIZ TINTA) (Valor 5% c/u) Total 35%:

1. La función 2

4( )f x x x tiene:

a) Un máximo en 2x

b) Un mínimo en 2x

c) Un máximo en 0x

d) Un máximo en 4x

2. Cuando la segunda derivada de una función es positiva ''( ) 0 :f x

a) '( )f x es creciente

a) '( )f x es decreciente

b) '( )f x es positiva

c) Ninguna de las anteriores es correcta

3. Si 3( ) ,f x x entonces

a) f tiene un valor extremo

(máximo o mínimo) en 0x

b) 0x es un número crítico de f

c) f tiene un punto de inflexión en 0x

d) b) y c) son correctas

4 2 0 2.

2 0

2 0

2.

, .

'( )

'( )

'( )

f es creciente

f es decreciente

Como es el único máximo resulta que es máximo absoluto

f x x x

x f x

x f x

f tiene un máximo relativo en x

2

2

3 6

0 0 .

0 0

0 0

0.

3 0 0

'( ) ' '( )

'(0)

' '( ) .

' '( ) .

'( )

,

f x x f x x

f x es un número crítico de f

x f x f es cóncava hacia abajo

x f x f es cóncava hacia arriba

f tiene un punto de inflexión en x

f x x para todo x f es creciente

y por lo tanto no t

.iene valores extremos

0

0

( ) '( ), '( ) ' '( ) .

'( ) '( )

( ) '( ).

Sea g x f x entonces g x f x

g x g es creciente f x es creciente

esto ultimo es cierto porque g x f x

– 84 –

4. Si 2

23 1( ) ,f x x entonces

a) 3

28

2 3'( )

( )f x

x

b)

23

4

3

'( )1

x

xf x

c) 2

2

4'( )f

xx

x

d) Ninguna de las anteriores es correcta

5. La derivada de 23 2 5 4 ,y x x x aplicando la regla del producto es:

a) 2

24 3 17'y x x

b) 34 8 3'y x x

c)

224 4 15'y x x


6. La aceleración ( )a t de un objeto es la segunda derivada de la posición respecto al tiempo.

Si la función de posición de un objeto es 2

0.81 2( ) ,s t t entonces la función

aceleración es

a) 20.81( )a t t

b) 1.62( )a t t

c 1.62( )a t


7. La elasticidad puntual de la demanda en la ecuación: 100x p cuando 50p es:

a) Elástica b) Inelástica c) Unitaria d) Ninguna de las anteriores es correcta

II. Tipo Práctico. Total 65%:

1) Dada la ecuación en dos variables2

28( ) :x yx y (Valor Total 15%)

a) Utilice diferenciación implícita para encontrar y’. (10%)

2 2 2 2 228 2 28 28

2 22 2 0 2 2

2 2

( )

' ' ( ) ' ' '

x y xy x xy y xy x xy y

x y x yx xy y y y x y y x y y y

x y x y

2 32

1 32

1 / 31

3

2

2

1

21 2

3

4 1

3

3

4

/( )

/'( ) ( )

'( )

' )1

(

x

f x x

f x x x

xf x

f xx

x

2 2

2

2 2

2

3 2 5 3 2 5

3 2 3 4 5

12 8 15 12 20 16

24 4 15

' 4 ' ' 4

' 4 4

'

'

y x x x x x x

y x x x x

y x x x x x

y x x

20.81 2

'( ) 2 0.81 1.62

1.62

( )

' '( )

s t

s t t

t t

s t

1100 100

50 5050 1 1.

50 100 50

.dx p dx p p p

dp x dp x p p

p

– 85 –

b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 2

28( ) x yx y en el punto

(6, -4). (5%)

2 6 4 84

6 2 4 2

4 4 6 4 4 24 4 24 4 4 28

( ) ( )

( )

( ) ( )

m

y x y x y x y x

2) Si 3

6

312

5 10,

( )x

x

xy

e

encuentre y’ por diferenciación logarítmica. (15%)

3 3

3

3

3

1/ 3 1/ 36 6

12 12

6

3

12

6 12

1

3

1

3

1

3

1

3

'

6 12

5 10 5 10

5 10

5 10

5 10

5 14

24

0

( ) (( )

( )

( )

( )

( ) 2

)

( )

x x

x

xx e x

x

x xy ln y

e e

xlln y

e

ln

x x

x

y

ln y x x

ln y ln x x ln

y

y

x

x

ln ln ln

ln ln

ln

ln

2 2

2

3 3

3

2

2

3

33

6

312

1 '

3 5 10 5 10

25

15 2

2

25 10

5

2 5 2

2

(

'

' 4)

4

4 ' 4

x

x y x

y x

x xy y y y

x

x x

xx x

x

e

xy

x xx

3) Dadas la función de costo promedio100

10x

C x y la ecuación de demanda

500 4p x de una empresa. (Valor Total 15%)

a) Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (5%)

2 2 2

10010

10

500 4

500 4 100 5 490 100

10 490 0 49

49

( ) ( )

( ) ( )

'( )



U x x x x x U x x x

U x x x

x

– 86 –

b) Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción maximiza la

utilidad de la empresa. (5%)

10 49 10 0.

49 0, ,

49 . 49 0,

''( ) ''( )

''( )Como por el criterio de la segunda derivada la utilidad se maximiza cuando

se producen y venden unidades Como x es el único número crítico para x

entonces el máximo de la función es absolut

U x U

U

.o

c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (5%)

2 2 2 249 5 49 490 49 100 5 49 10 49 100 5 49 100 11,905.

500 49 500 196 304

11,905.00 304.00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4( )

. .

U

p


4) Dada la función

4 1

3 3( ) 4 ,f x x x donde2 5

3 3

1 24( ) 4( )'( ) , ''( )

3 9

x xf x f x

x x

(Valor Total 20%)

a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. (5%)

1 / 3 2 / 3 2 / 3

2 / 3

2 / 3 5 / 3 5 / 3

5 / 3

44 4 4

3 3 3 3

44 8 4

9 9 9 9

11

22

0 1

2 0

0 0 1 3

( )'( ) ( )

( )''( ) ( )

: , .

: , .

: ( , ) ( , )

xf x x x x x

x

xf x x x x x

x



Posibles puntos extremos y

Posibles punt

32 6 2 7.6 0 0: , 2 ( , ) ( , )os de inflexión y

b) Complete la siguiente tabla:

Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o

decrecimiento de f


] 0, 1 [ x = 1 / 8 – f es decreciente


¿Cuáles son los intervalos donde f crece? ¿Cuáles son los intervalos donde f decrece? ¿Cuáles son los puntos extremos relativos de la gráfica de f? (5%)

f es decreciente en ] – , 1 [, f es creciente en ] 1, + [. Punto mínimo: (1, – 3)

– 87 –

c) Complete la siguiente tabla:


] – , – 2 [ x = – 8 + f es cóncava hacia arriba

] – 2, 0 [ x = – 1 – f es cóncava hacia abajo


¿Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia arriba? ¿Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia abajo? ¿Cuáles son los puntos de inflexión de la gráfica de f? (5%)

f es cóncava hacia abajo en: ] – 2 , 0 [,

f es cóncava hacia arriba en: ] – , – 2 [ ] 0, + [

Puntos de inflexión: (– 2, 7.6), (0, 0).

d) Grafique. (5%)

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo. Galileo Galilei

– 88 –


I. Selección Múltiple (MARQUE SU RESPUESTA CON LÁPIZ TINTA) (Valor 5% c/u. Total 30%)

1. La derivada con respecto a x de la función 2

4

1 5( )

xf x

x x

es:

a) 4

5 2( )'f x

x

b)

2

2 2

4( 1)

1 5( )'

( )

xf x

x x

c)

2

2 2

4( 1)

1 5( )'

( )

xf x

x x


2. La derivada con respecto a x de la función 1 2

2 1)/

( ) (f x x x es:

a) 3 2

1'( )

xf x

x

b) 1 2 1 2

2 1 1/ /

'( ) ( ) ( )f x x x x

c) 2 11

'( )x

f x xx

d) Todas las anteriores son correctas.

3. La ecuación de la recta tangente a la curva 3 ( )y x ln x en el punto donde 1x es:

a) 1y x

b) 1y x

c) y x

d) 1y x

4. Si 2( 1)z ln u y 1 ,u x entonces

a)

2

11( )

dz u

dx u x

b)

1

2

dz

dx x

c)

2

1

1

dz

dx u


b)

d)

a)

a)

d) d)

2

22

2 2 2

2 22 2

2

2 2

1 5 4 4 5 2

1 5

4 20 4 20 8 4 4

1 5 1 5

4( 1)

1 5

'( )

'( )

( )'( )

x x x xf x

x x

x x x x xf x

x x x x

xf x

x x

1 2 1 21

2

1 2 1 2

1 22

2 1) 1 2 1)

1) 2 1)

3 21) 1

1

/ /'( ) ( ( ) (

/ /'( ) ( (

/'( ) ( ( )x

f x x x x

f x x x x

xf x x x

x

3 2 2 2

3 2 2

1

1 1

13 3

1 1 0, 1 3 1 1 1.

0 1 1

1

' ( ) ( )

( ) ( )y y

y x x ln x x x ln xx

y ln m ln

y m x x x

y x

1 2 1 21

2

1

1 / 22 2( 1)

2

2 2

1 1

2

2

2

/ /1 ( ) ( )

.1 1 1

1 11

1 1 1

1 11

1 1 1

x

duu x x x

dx

dz dz du u u

dx du dx u u x

xpara u x

xx x

xpara u x

u x u

– 89 –

5. La pendiente de la recta tangente a la curva

52

y xx

en 4x es:

a) 5m

b)

5

8m

c)

15

8m


6. La derivada con respecto a x de la función 2

2 1( ) 1( ) x

f x x e es:

a)

23 1

2( )'x

f x x e

b)

23 1

2( )'x

f x x e

c)

24 1

2'( ) 1( ) xf x x x e



1. Dada la ecuación en dos variables3 2 3 2

5,x yx y utilice diferenciación implícita para

encontrar y’. (15%)

3 2 3 2 2 2 3 2 3

2 2 2 3

2 2 2 3

2 2 2 3

2 3

2 2

5 3 2 0

3 3 2 2 0

3 3 2 2 0

3 2 3 2

3 2

3 2

( )' ( )' '

( ') ( ) '

' '

'( )

'

x y x y x y

x y y

x y y

y y

y

y

x y x y y

x y x y y

x y x y y

y x y x x

x xy

x y

2. Si 2

284 12

1

4( )

,x

xx

e x

y


c)

a)

4 411 2 1 2 1 2 3 2

2

41 1 1 3 151 2 3 2

2 4 8 8 8

2 25 2 5

25 4 4 4 5 5

4

/ / / /' '

/ /( ) ( )

y x x x x x xx x

m

2 22 2

2 22

22

23

1 1

1 12 2

12

12

( ) 1 ' 1

'( ) 1 ( )

'( ) 1 1

'( )

( ) ( )'

( ) ( )

( )

x x

x x

x

x

f x x x

f x x x x

f x x x

f x x

e e

e e

e

e

– 90 –

22

1 4 1 42 28 812 12

28 12

28 12

12

12

4

12

4

12 2

4

1 3

4 4

1 4

1 4

81

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

ln )/

(

(/

( )

( )

( )

x x

x

x

xxy

e x e

x xy

ln y x x

ln y x x

ln

x

e

y

x

e

x x xx

x

ln ln

ln ln ln

ln ln

ln

11

12

12 12

11 11

12 12

1

2

4

11

2

2

284 12

1

2 24

2 2

4

2

12

1 4

2 1 2 1

1 14

2 1 1 2 1

1 1

4

4

4

4 4

)

( ) ( )

4

4)

3

(

3

3

4' '

( )

'

x

x

x

xx

xy

ln y x x x

y x x xxx x

y x x x x

x x x xy x y

xx x xe

x xx

x

ln ln

3. La función de costo total de un fabricante está dada por2

5 100( )C x x x donde C es

el costo total de producir x unidades. (Valor Total 20%)

a) Halle el nivel de producción que minimiza el costo promedio por unidad. (10%)

22

1

2

2

2 22 2 2

5 100 1005 100 5

5 100

100100

100 0 100 0 100 0 10 10

10

( )( )

1 1

1 1 ( )

. ,

' '

( ) ó

C x x xC x x x C x

x x x

C x x

C x Cx

x x x x x x x

Se descarta x Luego el nivel de producción que posiblemente minimiza el

co

10 .sto promedio por unidad es x unidades

b) Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción encontrado

minimiza el costo promedio por unidad. (6%)

– 91 –

Intervalos Valor de prueba Signo de 'C Crecimiento o decrecimiento de C

0 10] , [ 5x C es decreciente

10] , [ 20x C es creciente

10 .

, ,

unidades

Por lo tanto por el criterio de la primera derivada el costo promedio por

unidad es mínimo cuando el nivel de producción es de x

3

3 3

200 200 200200 10 0.2 0.

1,00010

10 .

( )

, ,

'' ''

unidades

C x Cx

Por lo tanto por el criterio de la segunda derivada el costo promedio por

unidad es mínimo cuando el nivel de producción es de x

c) ¿Cuál es costo promedio por unidad mínimo y cuál es el costo total correspondiente?

(4%)

2

:

10010 10 5 10 5 10 25 /

10

: 25 10 250 , :

10 10 5 10 100 250 .

( )

( )

( ) ( ) ( )

Costo promedio por unidad mínimo

Lempiras unidad

Costo total correspondiente Lempiras que también se puede calcular por

Lempiras

C

C

4. Dada la función2 2

1 2/

( ) .x

f x e

Donde 1y es una asíntota horizontal y

además2 2

2/

( )' xf x xe

y 2 2

2 1 1/

( ) .'' ( )( )xf x x xe

(Valor Total 20%)


2 0 0 0 3

1 1 0 1 1 1 2.2 1 2.2

. ( , ) .

: ( , ), ( , )( )( ) ó

x x es un punto crítico y un Posible punto extremo

x x x x Posibles puntos de inflexión



1, 0x +

1, 2x –


Punto máximo relativo: 0 3( , )


– 92 –


3, 2x +

1 1, 0x –

1, 2x +


Puntos de inflexión:

1 2.2( , ) y 1 2.2( , )

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función. (5%)

El máximo relativo, en este caso, también es máximo absoluto porque resulta ser el único máximo y supera cualquier otro valor de la función. Esta curva es una versión de la curva NORMAL, ampliamente utilizada en ESTADÍSTICA.

UNAH/FCEAC/Métodos Cuantitativos/30-octubre-2011

– 93 –

3 21

2

2

2 2 5 2 3 2 10 0

6 10 3

6 2 10 2 3 24 23 1

0 1 2 2

( ) ( ) ( )

'( )

( ) ( )m

y

f x x x

y x y x

MARZO DEL AÑO 2012


1. La recta tangente a la gráfica de la función 3 2

2 5 3 10,( )f x x x x en el punto donde

2,x tiene por ecuación:

a) 2y x

b) y x

c) 2y x

d) Ninguna de las anteriores es correcta.

2. Si 3

37( ) ,f x x x entonces el valor de 2'( )f es:

a) 500

b) 400

c) 600


3. Si 2

5 ,x

y xe

entonces

a) 22

5 1 2'x

xy e

b) 2

2

5 10'

x

xy

e

c) Las respuestas a) y b) son correctas.


4. Si

2

2

3,

u uz

u u

entonces la derivada de z con respecta a u está dada por:

a) 2

4

1( )

dz

du u

b) 2

4

1( )

dz

du u

c) 6

2

1

1

dz u

du u


c)

23 2

23 2

2

3 7 3 7

2 3 2 7 2 3 2 7

2 3 6 5 3 6 6 5

2 18 30 540

'( )

'( ) ( ) ( ) ( )

'( )

'( )

f x x x x

f

f

f

d)

2 2

22

2 2

2 2

5 5 2

5 2

5 2 5 10

'

' 1

1'

x x

x

x x

y x x

y x

x xy

e e

e

e e

c)

2

2

2

2 2

3 3 1 3 1

1 1

1 3 3 1 1

3 3 3 1 4

( )

( )

( )( ) ( )( )

1

1 1

( )

( ) ( )

u u u u uz

u u uu u

dz u u

du u

dz u u

du u u

a)

– 94 –

5. Si 2ln 3 1z u y u x , entonces

a) 3

3 1

dz

dx x

b) 3

3 1

dz x

dx x

c) 3

3 1

dz

dx x


6. La pendiente de la recta tangente a la curva 8( )y x ln x

en 9x es:

a) 5m

b) 3m

c) 1

3m .



1. Dada la ecuación en dos variables: 2 2

2 3 2 35 2 ,

x yx y y e

utilice diferenciación

implícita para encontrar y’. (25%)

2 22 3 2 3

2 2 2 22 3

2 2 2 22 2 3

2 2 2 22 2 3

2 23

2 22 2

3

3 3

3 3

3 3

3

3

2 0 2 6 2

3 2 2 12 4

3 2 4 2 12

3 2 4 12 2

12 2

3 2 4

' ' ' '

' ' '

' ' '

'

'

x yx y x y x

x y x yy y x

x y x yx y y x

x y x yx y x y

x yx y

x yx y

y y y y

y x y y y y

y y y y y x

y y y x

xy

y y

e

e e

e e

e e

e

e

1

2

1

2

2

11

22 2

11

22 2

6

6

3

ln 3 1 ,

3 1

3 1

3 1

x

x

z u u x x

dz dz du u

dx du dx u

dz x

dx x

dz

du x

a)

1

2

1

12

2

8

88

88

99 9 8 3

9 8 9

( )

1' ( )

2

1' ( )

2

1'( ) ( )

2

y x ln x

xy x ln x

x

xy ln x

x x

y ln

b)

– 95 –

2. Si 22 4

24 84

4

1

,

( )

xx e

x

y

x


2 22 4 2 4

1 424 8 24 84

22 41 422 4 24 8

1 424 8

2 22 4 24 8 2 4 24 8

22 4

4 4

1 1

44 1

1

4 1 4 1 4 1 4 1

4 1

(/

/( )

/

( )

(

) ( )

( )

( )

/ ( ) (

)

/ )

/

x x

x

x

x x

x

x e x e

x x x x

x eln y x e x x

x x

ln y x e x x x e x x

ln y x e

y

ln ln

ln ln ln ln ln ln

ln ln

ln

2

2

24 8

2 8

2 8

7 7

2 8 2 8

7

2 8

22 4

24

4 1 4 1

4 1 4( ) 1 4 1

4 1

4 24

4 6 4 1

2 8 2 21 4

4 1 4 1

2 2

4

6 68

6

1

4

8

8

/ ( )

/ / ( )

/ ( )

' '/

'

'

(

( )

(

)

x

y x y x

y

x x

ln y x x e x x

ln y x x x x

x xx x

x x x x x x

xx

y

xy y

x x x

xy

e

x

ln ln

ln ln ln ln

ln ln ln

7

8 2 84

2 2

1

68

4 1)

xx

x x x x

x

3. Dada la función 2 43

21 3( ) .f x x x (Valor Total 20%)


2 4 3 2

3 2

2 2

3

2

2 20

6

1 3 6 6 6 18

6 6 0 6 1 0 6 0 1 0 1

0 1 0 1 1

1 0 1

1 2.5 0 1 1 2.5

6 18 0 18

( ) '( ) ''( )

( )

: , , .

: , , ( , ), ,

ó ó

ó ó ó

f x x x f x x x f x x

x x x x x x x x

x x x x x

números críticos x x x

Posibles puntos extremos relativos

x x

6 1 1 1 12

18 3 3 3 3

1 1, , , ,

3 3

11 11

6 6

6

0.6 1.8 0.6 1.8: ,

óx x x x


– 96 –



] – , - 1 [ x = – 2 +

] - 1, 0 [ x = – 0.5 –

] 0, 1 [ x = 0.5 +

] 1, + [ x = 2 –


Puntos máximos relativos:

1 2.5 1 2.5, , , Punto mínimo relativo: 0 1( , )



1

3,

x = – 1 –

1 1

3 3,

x = 0 +

1

3,

x = 1 –



1 1

, , , ,3 3

11 11

6 60.6 1.8 0.6 1.8,


UNAH/FCEAC/Métodos Cuantitativos/30-marzo-2012

– 97 –

JULIO DEL AÑO 2012


1. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 2

2

7

1

( )x x

f xx

en el punto (2, -2) es:

a) 4 2y x

b) 4y x

c) 5 2y x

d) 2y x

2. Si 2 32( ) 1 ,f x x x x entonces

a) 4 25 3 2'( )f x x x

b) 3 2 22 1 22 3( )'( () )f x x xx x x

c) 2 2 31 3 2 22( )( ) ( )' x x xf x x x


3. La pendiente m de la recta tangente a la curva de la función 2 x

y x e

en 1x

es:

a) 3m e

b) 3m e

c) 1

m e


4. Si 2

2

1( ) ,

1

xf x ln

x

entonces

a) 8

'( 2)15

f

b) 8

'( 2)15

f

c) 8'(2)

15f


b)

2 2 2

2 22 2

225

2252

1 2 7 7 2 7 2 7

1 1

7 2 2 2 71 2) 1

2 1

2

( ) ( )'( )

( ) ( )( 2

( )

2 2 2 4

x x x x x x xf x

x x

m y x

y x y x y x

d)

2 2 3

4 2 2 4 2

4 2

1 3 2 2

3 2 3 2 2 4

5 3 2

2'( )

'( )

'(

( ) ( )

)

x x x x x

x

f x

f x

f x

x x x x

x x

2 2

1 2

1

2 2

1 1 2 1

2 3 3

'

( )'( ) ( ) ( )

1 ( )

x x xy x x x x

m y

m e e m e

e e e

e

2 2

2 2 2 2

1 1 2 8

5 3 15 15

1 1 2 8

5 3 15 15

1 1

2 2 1 12

1 1 1 1

2 4 4

2 4 4

( )

'( )

'( )

'( )

f x ln x ln x

x xf x x

x x x x

f

f

a)

a)

– 98 –

II. Tipo Práctico y completación. Total 70%:

1) Dada la función 62

2( ) ,f x x

x utilice la regla de la potencia para hallar '( ).f x

Deje su

respuesta simplificada y sin exponentes negativos. (20%)

31 2 1 26 12 2 32 2 2

1 22 2 22

33 3

1 2 6 62 2622 22

2 126 6 2 12

2 6

612 622

22

/ /( ) '( )

/

'( ) '( ) '( )/

x xf x x x x f x x x x x

x x x

xx xxx xf x f x f x

x xxx xx

2) Dada la ecuación en dos variables: 2 2 23 4 ,x ln y y x utilice diferenciación implícita

para encontrar y’. Deje su respuesta simplificada y sin exponentes negativos. (20%)

22 2 2

22

2

2

2 2

3 4 2 8 2

2 2 0 8 2 8 2

8 22 2 8

2

8 2

2

'' ' ' ' '

'' '

'' '

'

x yx ln y y x y y x x ln y

y

y xx x ln y y y x y y x x ln y

y y

x x ln yx yx ln y y y x y

y xy

y

x y x y ln yy

x y

3) Si

12 66

234

4 3,

( )( )

xy

x x

x e


212 6 1 6 1 63 12 66

2 434

2 1 6 1 63 12 62 1 6 1 63 12 6 4

4

2 1 6 1 63 12 6 4

1 12 12 6

6 6

4 3 4 3

4 34 3

3

43

4

/ /

/ // /

( )

/ /( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) (

x

x

xx

x

x x e x x

xx e

e x xln y e x x x

x

ln y e x x x

n y x ln e ln x ln x

y

ln ln ln

ln ln ln ln

43 ( )) ln x

– 99 –

11 5

12 6

11 5

12 6

11 5

12 6

1 12 12 6

6 6

11 51 1 1

12 66 6

12 66

234

4 3

4

3 4

412 66 4 6

46

46

3

4 3

( ) ( )

' 2

2'

2'

4 3

4 3

4 3

( ) ( )

( )( )

x

x

x

x

x

ln y x ln x ln x ln x

y x xxx x

x xy x xx

x xy y x

x x

x x x xy x

x xx e

4) Dada la función1 6 4

63( ) .f x x x (Valor Total 20%)

a) Encuentre los números críticos y los posibles puntos de inflexión. (5%)

5 31 6 4

6 4 2

43

5 12

'( )( )

'( )

f x x xf x x x

f x x x

5 3 3 2 34 0 4 0 2 2 0.

: 2 0 2., ,Números críticos

x x x x x x x

x x x

12 12 124 2 2 2 2

5 5 5

12 124 2

5 5

5 12 0 5 0 5 0

5 12 0 1.55 0 1.55, ,

x x x x x x x

x x x x x

x ( )f x

2 7

32.33

12

5

57

1250.456

0 3

12

5

57

1250.456

2 7

32.33

Posibles puntos de inflexión:

(-1.55, -0.456)

(0, 3)

(1.55, -0.456)

– 100 –



] – , - 2 [ x = – 3 –

] - 2, 0 [ x = – 1 +

] 0, 2 [ x = 1 –

] 2, + [ x = 3 +


Punto máximo relativo (0, 3) Puntos mínimos relativos;

(-2, -2,33), (2, -2.33)



] – , 12

5 [ x = – 2 +

] 12

5 , 0 [ x = – 1 –

] 0, 12

5 [ x = 1 –

] 12

5, + [ x =2 +



(-1.55, -0.456), (1.55, -0.456)


UNAH/FCEAC/Métodos Cuantitativos/15-julio-2012

– 101 –

NOVIEMBRE DE 2012

1) Encuentre la derivada de la función: 2

1( ) .

xf x

xln

(20%)

2

2 2 2 2

2 2 2 2

1

1 2 1 1) 2 1 2 1

1 1 1 1

( ) ( )

( ( )'( ) '( )

f x ln x ln x

x x x x x x xf x f x

x x x x x x x x

2) Encuentre la derivada de la función: 2

( ) .x x

f x e

(20%)

1 22

1 2 1 2 22 21 1 11 2

1 / 22 222 2 2

/( )

/ //

'( ) ( )xx

x xf x

x xx x x xf x x x x f x x

e

e e e

3) Dada la ecuación: 2 3

,2 5x xy y encuentre 'y . (20%)

2 3 2

2 2

2

2 2

2 5 2 2 2 3 0

2 2 2 3 0 2 3 2 2

2 2 22 3 2 2

2 3 2 3

' ' ' ' ( ) ' ( ) ' '

' ' ' '

( )' ' '

x xy y x x y x y y y

x x y y y y x y y y x y

x y x yy x y x y y y

x y x y

4) Si

2

4

3 1,

xxy

x

e

Utilice diferenciación logarítmica para encontrar 'y .(20%)

2

2 1 2

1 2

2 1 2

1 12 2

2 2

1

2

4

4 3 1

3 1

4 3 1

4 3 1 4 3 1

1 3 10 2

3 1

/( ) ( ) ( )

/( )

/( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' '

xx

xln y ln y x x

x

xln y ln ln x x

ln y ln ln x x ln ln x ln y ln ln x x ln x

y yx

y x x y x

ee

e

e

ln ln ln

ln ln

2

1 2

3 1 32 2

2 3 1 2 3 1

4 1 32

2 3 13 1

'( ) ( )

'/ ( )( )

x y y xx x x

xxy x

x xx

e


4 6 1( )f x x x


– 102 –

2

1 1

2 2

3 21 1 1 1 33 2

2 2 2 2 2

3 2

12 12 12 1 0 0 1

24 12 24 0

0 4 0 6 0 1 0 0 1 1. 4 6 1 1 0.

1 4 1 6 1 1 4 6 1 1.

0 1.

'( ) ( ). '( ) .

''( ) . ''( ) .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

: ,

ó

Posible punto de inflex

f x x x x x f x x x

f x x x f x x

f f

f


1

2: 0, .( )ión

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función :f (5%)

Números críticos

0

1

Intervalos ], 0[ ]0, 1[ ]1, +[

Valor de prueba x = 1 x = 0.5 x = 2

Signo de f’ + +

Crecimiento o decrecimiento de la función


Punto máximo relativo: (0, 1)

Punto mínimo relativo: (1, 1)

c) Determine los intervalos donde la función f es cóncava hacia arriba y los intervalos donde la

función f es cóncava hacia abajo. (5%)

Valores donde f’’ es cero o no existe

1

2

Intervalos ], [ ] , +[

Valor de prueba x = 1 x = 1

Signo de f’’ +

Concavidad de la función


Punto de inflexión: ( , 0)

– 103 –

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (use el sistema de coordenadas dado a continuación). (5%)

ABRIL DE 2013


1. La recta tangente a la gráfica de la función 4 2

5 3 6 1,( )g x x x x en el punto donde

1,x tiene por ecuación:

a) 11 20y x

b) 11 20y x

c) 20 11y x

d) 11 20y x

2. Si 4 22 3( ) ,f x x x x x entonces

a) 4 3 22 2 3 4 2 3( )( ) ( )' ) (( )x x x xx x xf

b) 4 33 2 5 2 4( )'( )f x x xx x

c) 5 4 26 15 6 12'( ) x x xf xx


3. Si 23 2 5

( ) ,x x

h x e entonces el valor de '(2)h es

a) 13

10e

b) 13

10e

c) 1310e


3

3

4 21

1 1

'( ) 20 6 6

'( 1) 20 1 6 1) 6 20

5 1 3 1 6 1 1 9

9 20 1

9 20 20 20 20 9

20 11 11 20

( ) (

( ) ( ) ( )

( ) [ ( )]

g x

m g

y

y x

x x

y m x y x

y x y x

y x y x

4 3 2

5 4 2

5 4 2

5 4 2

4 3

4 2 4 2

2 2 3 4 2 3

2 3 4 6

4 12 2 6

2 3 2

6 15 6 12

3 2 5 2 4

3

( )( ) ( )(

( ) ' '

'( )

'( )

'( )

)

'( )

x x x x x x

x x x x

x

f x x x x x x x x x

f x

f x

f x

x x x

x x x x

x xf x xx

a)

d)

2

2

13 13

3 2 56 2

3 2 2 2 52 6 2

2 10) 2 10

'( ) ( )

( ) ( )'( ) [ (2) )

'( ) ( '( )

x xh x x

h

h h

e

e

e e

b)

– 104 –

4. La pendiente m de la recta tangente a la curva de la función 1

1

xy

xln

en

1

2x

es:

a) 8

3m

b) 3

8m

c) 8

3m


5. La derivada de la función 1

( ) ,x

f x x es

a) 2

3 2 2

1

2 1/

'( )f xx

x x

b) 2

3 2 2

1

2 1/

'( )f xx

x x

c) 2

2 1

'( )x

fx

x


II. Tipo Práctico y completación. Total 75%:

1. Dada la ecuación: 2 2 3 2,6 2 10x x y y utilice diferenciación implícita para encontrar

y’. Deje su respuesta simplificada y sin exponentes negativos. (17%)

2 2 3 2 2 2 3

2 3 2 3 2 2 3

2 2 3 2 3

3

2 2 3

2

6 2 10 12 6 4 2 0

12 2 2 2 0 6 2 4 12

12 2 3 4 2 0 2 3 1 4 3

4 3 412 6 4 2 0 '

2 3 1

' ' ' ' ' '

' ' ' ' '

' ' '

' ' y

x x y y x x y y x y y y

x x y x y y y x y y y y x y x

x x y y x y y y y y x y x y

x yx x y y x y y y

y x y

2

33

2

x y

12

3

2

3 1

2 3'

3 1y

y x y

x y

y x y

1 1

2 2

2 8

1 3 3 3

2 2

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 12

( ) ( )

'

y ln x ln x

yx x x x

m

m m

c)

b)

1 2

1 21 1

2

1 22

1 2

2

1 2

1

222

1 2 21

1 2 22 2

2

3 2 2

1

1

1

1

2 1

/( )

/'( ) '

/1

'( ) 1

/

'( ) 1

1

/1

'( )/

1

'/

( )

x

x

x

f x x

f x x x x

xf x x

x

xf x

x

x

x

x xf x

x

x

x

f x

– 105 –

2. Si 2

4

53

2

,

xx

yx

e

Utilice diferenciación logarítmica para encontrar 'y . (18%)

5

3 3

4 4

2 21 22 5 4

1 2 1 24 4

1 2 12 4 4

2

21

42

5 53 3

3 2

2 2

3 2 3 2 5 2

2 2 4 2 245 5 5

2

/( ) ( )

/ /

/( ) ( ) ( ) ( )

''

2 2

x

xx x

x xy ln y ln y x x

x x

ln y ln ln x ln e ln x ln y ln ln x x ln x

y x xxy y

xy x x x x x

e eln ln e ln

3

4

2

1 24

53 2 2

5

2

'/ 2

xx x

yx xx

e

3. Dada la función 3 22 3 2( )f x x x (Valor Total 20%)


2

1

2

1 1

2 2

'( ) 6 6 6

''( ) 12 6 12

'( ) 0 6 0 0 1

''( ) 0 12 0

( 1).

( 1)

f x

f x

f x ó

f x

x x x x

x x

x x x x

x x

x f (x)

1 1 Números críticos: 1, 0x x

1

2

3

2

Posible punto de inflexión: 1 3,

2 2

0 2

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función :f (5%)

Números críticos

1

0

Intervalos 1, 1 0, 0,

Valor de prueba 2x 1

2x 1x

Signo de f’

Crecimiento o decrecimiento de la función


Punto mínimo relativo: ( 1, 1) Punto máximo relativo: (0, 2)

– 106 –

c) Determine los intervalos donde la función f es cóncava hacia arriba y los

intervalos donde la función f es cóncava hacia abajo. (5%)

Valores donde f’’ es cero o no existe

1

2

Intervalos 1

2,

1

2,

Valor de prueba 1x 0x

Signo de f’’

Concavidad de la función


Punto de inflexión: 1 3,

2 2

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). (5%)

4. Dadas la función de costo total2

28 50C x x y la ecuación de demanda


a) Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (10%)

2

2 2

2

100 5 28 50

100 5 28 50

6 72 50

'( ) 12 72

'( ) 0 12 72 0 12 6 0 6 0 6

, , 6

Función de ut (ilidad :

)

( )

( )

)

(

U x

U x

La utilidad máxima ocurre posiblemente cuando se producen

x x x

x x x

x x

x

x x x x

x unid

U x x

U x x

e

U

d

x

a s

– 107 –

b) Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción maximiza realmente la utilidad de la empresa. (6%)

De acuerdo a la función de demanda, el intervalo donde está definida dicha función es [0, 20] tal como puede verse gráficamente.

Método 1: Teorema del valor extremo.

x ( )U x

0 50

6 166

20 1,010

Por tanto, la utilidad máxima absoluta ocurre cuando se producen 6x unidades y

además, dicha utilidad máxima es de L. 166.

Método 2: criterio de la primera derivada.

Números críticos

6

Intervalos 60, 6 20,

Valor de prueba 1x 7x

Signo de U’ Crecimiento o decrecimiento de la función

'(1) 12(1) 72 12 72 60'( ) 12 72

'(7) 12(7) 72 84 72 12

UU x

Ux

Por tanto, la utilidad máxima relativa ocurre cuando se producen 6x unidades y

además, debido a que es el único máximo relativo en el intervalo [0, 20], la utilidad máxima es también absoluta y ocurre cuando se producen 6x unidades.

Interceptos de la recta: 100 5p x

con los ejes coordenados:

0 100 5 0 100

0 100 5 5 100

100 5

20

/

0

( )

x x

x

x p p

p

x

2

2

2

0 6 0 72 0 50 50

6 6 6 72 6 50 216 432 50 166

20 6 20 72 20 50 2, 400 1, 440 50 1,010

( ) ( ) ( ) L.

L.

L.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

U

U

U

– 108 –

Método 3: criterio de la segunda derivada.

'( ) 12 72 12 6 12 0.''( ) ''( )U x x U x U

Por tanto, la utilidad máxima relativa ocurre cuando se producen 6x unidades y además,

debido a que es el único máximo relativo en el intervalo [0, 20], la utilidad máxima es también absoluta y ocurre cuando se producen 6x unidades.

c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (4%)

26 6 6 72 6 50 216 432 50 166

100 5 6 100 30 70

( ) ( ) ( )

( )

L.

L.

U

p

Por tanto, la utilidad máxima absoluta es de L. 166 y ocurre al precio de L. 70.

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Problemas diversos sobre derivadas de productos de ... · UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Departamento de Métodos Cuantitativos DET-385,