PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDROSTATICA.

1.- Una estrella de neutrones tiene un radio de 10 Km y una masa de 2 X 1030Kg. Cunto pesara un volumen de 1 cm3 de esa estrella, bajo la influencia de la atraccin gravitacional en la superficie dela tierra?Solucin: El peso debe calcularse multiplicando la masa por la aceleracin de gravedad. En consecuencia debemos calcular la masa primero. Eso puede hacerse a travs del concepto de densidad, puesto que:

= masa estrella /volumen estrella

Es decir, cada cm3 de la estrella tendr unamasa de 0,5x1012 Kg, por lo tanto en la superficie de la tierra pesar:

W = (0,5x1012 Kg)(9,8 m/s2) = 0,5x1012 N.

2.- Cul es la presin a 1 m y a 10 m de profundidad desde la superficie del mar?Suponga que r = 1,03 X 103 Kg/m3 como densidad del agua de mar y que la presin atmosfrica en la superficie del mar es de 1,01 X 105 Pa. Suponga adems que a este nivel de precisin la densidad no vara con la profundidad. Solucin: En funcin de la profundidad la presin es:

P = P0 + r g h. por tanto:

P = 1,01x105 Pa + (1,03x103 kg/m 3)(9,8 2ms)( h)

si h = 1 m : P = 1,11 x 105 Pa.si h = 10 m : P = 2,02 x 105 Pa

3.- Calcular el empuje que ejerce (a) el agua y (b) el alcohol sobre un cuerpo enteramente sumergido en estos lquidos cuyo volumen es de 350 cm3. El peso especfico del alcohol es de 0,8 gf/cm3.

Solucin:a) El empuje del agua es igual al peso de los 350 cm3 de este lquido que el cuerpo desaloja y vale por lo tanto 350 gf.(b) En alcohol corresponde al peso de 350 cm3 de este lquido. Conocido su peso especfico, que es el cociente entre el peso del lquido y su volumen:

Peso = Pe V = (0,8 gf/cm3)(350 cm3) = 280 gf

Principio de pascal.

4.- Se desea elevar un cuerpo de 1000 kg utilizando una elevadora hidrulica de plato grande circular de 50 cm de radio y plato pequeo circular de 8 cm de radio, calcula cunta fuerza hay que hacer en el mbolo pequeo.En este ejercicio nos dan datos para calcular las dos superficies y para el peso a levantar, es decir calculamos previamente S1, S2, F2y calculamos F1despejando.

S2= R2= 0,52= 0,785 m2 S1= R2= 0,082= 0,0201m2 F2= m g = 1000 9,8 = 9800 NSi multiplicamos en cruz y despejamos F1 = F2 S1 / S2 introduciendo los datos anteriores: F1 = 251 N

Principio de Arqumedes.

5.- Una bola de acero de 5 cm de radio se sumerge en agua, calcula el empuje que sufre y la fuerza resultante. Solucin:El empuje viene dado por E = agua Vsumergido g, la masa especfica del agua es un valor conocido (1000 kg/m3), lo nico que se debe calcular es el volumen sumergido, en este caso es el de la bola de acero. Se utiliza la frmula del volumen de una esfera.

Volumen: 5,236 10-4 m3

E = aguaVsumergidog = 1000 5,236 10-4 9,8 = 5,131 NEl empuje es una fuerza dirigida hacia arriba, y el peso de la bola hacia abajo. La fuerza resultante ser la resta de las dos anteriores. W= mg = vg

acero = 7,9 g/cm3 = 7900 kg/m3

m = acero V = 7900 5,234 10-4 = 4,135 kg

P = m g = 4,135 9,8 = 40,52 N

Fuerza Resultante: P - E = 35,39 N, hacia abajo, por lo que la bola tiende a bajar y sumergirse.

6.- Se desea calcular la nasa especfica de una pieza metlica, para esto se pesa en el aire dando como resultado 19 N y a continuacin se pesa sumergida en agua dando un valor de 17 N.Solucin:Se sabe por enunciado que la fuerza de empuje corresponde a 2 N. De acuerdo a esto, se calcula el volumen sumergido:

E = aguaVsumergidog 2 = 1000 V 9,8 V = 2,041 10-4 m3Luego se calcula la masa:

m = P/g = 19/9,8 = 1,939 kg.

Finalmente, se calcula la masa especfica ya que tenemos m y V:

= m/V = 1,939/2,041 10-4 = 9499 kg/ m3

7.- Un recipiente contiene una capa de agua (2 = 1,003g/cm3), sobre la que flota una capa de aceite, de masa especfica 1 = 0,803 g/cm3 . Un objeto cilndrico de masa especfica desconocida 3 cuya rea en la base es A y cuya altura es h, se deja caer al recipiente, quedando a flote finalmente cortando la superficie de separacin entre el aceite y el agua, sumergido en esta ltima hasta la profundidad de 2h/3. Determinar la masa especfica del objeto.

Solucin:

El cuerpo est sumergido parcialmente tanto en agua como en aceite. Est siendo afectado por 3 fuerzas: el peso y dos empujes (del volumen de aceite desplazado y el volumen de agua desplazado). El cuerpo est en equilibro, y ocurre que:E1 + E2 - P = 0

E1= 1*g*h*AE2= 2*g*h*A

Reemplazando: 1g A h + 2 g A h - g A h = 0

1 + 2 =

= 0.933 gr/cm3

PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRODINMICA

8.- Considrese una manguera de seccin circular de dimetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. Cul es la velocidad del agua en la manguera? El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de dimetro interior.Cul es la velocidad de salida del agua? Solucin: Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25 Lt/s:G = A v

Vm =G/A=(O,25X103 cm3/s)/(3,14x1012cm2)= 79,7cm/sAm vm = Ab vb

de donde se tiene: Vb=AmVm/Ab = G/Ab

Vb= (0,25X103 cm3/s)/(3,14x0,52cm2) = 316cm/s

9.- Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 X 103 Kg/m3 es horizontal en h0 = 0 m. Para evitar un obstculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m. El tubo tiene rea transversal constante. Si la presin en la seccin inferior es P0 = 1,50 atm, calcule la presin P1 en la parte superior.

Segn lo que predice la ecuacin de continuidad, al tener rea transversal constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto: v0 = v1 = vEn consecuencia, aplicando la ecuacin de Bernouilli a puntos en la parte superior y la parte inferior, se tiene:

P0 + g h0 + v2 = P1 + g h1 + v2P0 + g h0 = P1 + g h1

de donde :P1 = P0 + g [h0 - h1]

P1 = 1,5 [1,01 X 105 Pa] + [1,30X103 Kg/m3] [9,8m/s2][0 m - 1.0 m]P1 = 151 500 Pa - 12 740 Pa

P1 = 138 760 Pa = 1,38 atmLa presin baj desde 1,5 atm hasta 1,38 atm!.

10.- Un tanque cilndrico de 1,2 m de dimetro se llena hasta 0,3 m de profundidad con agua.El espacio encima del agua est ocupado con aire, comprimido a la presin de 2,026 X 105N/m2. De un orificio en el fondo se quita un tapn que cierra un rea de 2,5 cm3. Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a travs de este orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque cuando se quita el tapn.

dp = v2 dm = v2 [ dv] = v2 [A2 dy]dp = v2 A2 [v2 dt] = v2 2 A2 dtF dt = v2 2 A2 dt

de donde :

F = v2 2 A2P1 + g h1 + v1 2 = P2 + g h2 + v2 2

Pero podemos suponer v1 = 0 por continuidad y h2 = 0, usndola como referencia: de aqu:

v2 2= (2(P1- P2)/p) + 2gh

Por lo que: F= p A2[(2(P1- P2)/p) + 2gh]

Reemplazando:

F= (1)(2,5) [(2(2.026x106-1,013x106)/1) + (2)(980)(30)

F = 5 212 000 D = 52,12 NewtonCuando la presin P1 es suficientemente grande, este es bsicamente el mecanismo de propulsin de un cohete

Ecuacin de continuidad.

11.- Una manguera de agua de 2.00 cm. de dimetro es utilizada para llenar una cubeta de 20.0 litros. Si la cubeta se llena en 1.00 min., cul es la velocidad con la que el agua sale de la manguera? (1 L = 103cm3)

De acuerdo con los datos proporcionados, la tasa de flujo es igual a 20.0 litros/min. Si se iguala esto con el producto Av se obtiene:

12.- El tubo horizontal estrecho ilustrado en la figura, conocido como tubo de Venturi, puede utilizarse para medir la velocidad de flujo en un fluido incompresible. Determinaremos la velocidad de flujo en el punto 2 si se conoce la diferencia de presin P1 -P2.

Puesto que el tubo es horizontal, y1 = y2, la ecuacin de Bernoulli aplicada a los puntos 1 y 2 produce:

Tambin se puede obtener una expresin para v1 utilizando este resultado y la ecuacin de continuidad. Es decir,

13.- Un tanque que contiene un lquido de densidad tiene un agujero en uno de sus lados a una distancia y1 desde el fondo. El dimetro del agujero es pequeo comparado con el dimetro del tanque. El aire sobre el lquido se mantiene a una presin P. Determine la velocidad a la cual el fluido sale por el agujero cuando el nivel del lquido est a una distancia h arriba del agujero.

Debido a que A2 >> A1, el fluido est aproximadamente en reposo en la parte superior, punto 2. Al aplicar la ecuacin de Bernoulli a los puntos 1 y 2 y considerando que en el agujero P1 = P0, se obtiene Pero y2 y1 = h, de manera que:

14.- Calcular la potencia de salida de un aerogenerador que tiene un dimetro de aspa de 80 m, suponiendo una velocidad del viento de 10 m/s y una eficiencia total de 15%.

Si pudiera extraerse 100% de la energa del viento disponible, la mxima potencia disponible sera Potencia mxima = Como la eficiencia total es de 15%, la potencia de salida es Potencia = 0.15 (potencia mxima) = 0.45 X 106 W.

15.- Medida del coeficiente de viscosidad. Una placa metlica cuya rea es igual a 0.15 m2 se conecta a una masa de 8.0 g por medio de una cuerda que pasa sobre una polea ideal (cero masa y sin friccin), como en la figura. Un lubricante que tiene un espesor de pelcula de 0.30 mm es colocado entre la placa y la superficie. Cuando se suelta, la placa se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 0.085 m/s. Encuentre el coeficiente de viscosidad del lubricante.

f = T = mg = (8.0 X 10-3 kg) (9.80m/s2 ) = 7.8 X 10-2N

16.- La figura muestra cmo la corriente de agua que sale de un grifo se estrecha conforme va cayendo. La superficie transversal A1 es 1.2 cm2 y la de A2 es 0.35 cm2. Los dos niveles estn separados por una distancia vertical h (45 mm). Con qu rapidez fluye el agua del grifo?

Considerando que el flujo de volumen es constante, A1v1 = A2v2. Por otro lado, aplicando la conservacin de la energa a un elemento del fluido de masa m, entre los 2 puntos,Se tiene que K2 + U2 = K1 + U1. Es decir, mv22 + 0 =1/2 mv12 + mgh . Al eliminar v2 entre las dos ecuaciones y al resolver para v1 se obtiene que:

Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene que v1 = 28.6 cm/s.

El flujo = A1v1 = r12 v1 = (3.1416)(1.2 cm2)(28.6 cm/s) = 34 cm3/s. Con este flujo, el chorro tardara unos 3 s para llenar un recipiente de 100 mI.

Concepto de Viscosidad

17.- Un campo bidimensional de velocidades dado en coordenadas cartesianas y unidadesarbitrarias por v = (x 2 y 2 + x) i (2xy + y ) j Identificar el tipo de flujo y calcular en el punto de coordenadas r = 2i + j las componentes cartesianas de la aceleracin, la componente de la velocidad en la direccin que forma 30 con el eje X y las direcciones de la velocidad y la aceleracin.Bidimensional y bidireccional

Solucin:~ a(2,1)= 35i+15 j~ vn =30 = 5 2( 3 1)~=-45 y =23.2 siendo el ngulo conla direccin positiva del eje X

18.- Cierto campo de velocidades viene dado por u=2y, v=x y w=0. Obtener una expresin general del vector aceleracin. Calcular la aceleracin local y la convectiva en el punto r = 3 i + j . En el mismo punto calcular tambin la componente de la aceleracin paralela al vector velocidad y la componente normal a dicho vector. La componente normal tiene un valor no nulo, qu representa esto fsicamente?. Hallar una expresin general para las lneas de corriente en el plano XY. Dibujar las correspondientes al primer cuadrante. Cual es la ecuacin de la lnea de corriente que pasa por el punto r = 2i + j?.

Solucin: a(x)= 2x i+ 2y j~ =18~aN = /13 aN

Ecuacin de las lneas de corriente: (X2/2K)-(Y2/K) = 1 y para k = 1 x = -y

19.- Se tiene un flujo definido por: v = (2x 2 + 2xy )i (y 2 + 4xy ) j+ (x 2 4xy + 3x)k

Comprobar que el campo de velocidades corresponde a un flujo incompresible y estacionario. Hallar la vorticidad y las velocidades de deformacin de las partculas.

= 4x i (2x 4y + 3) j (4y + 2x)k ~

Sea el campo de velocidades de un flujo dado por:

Demostrar que es un campo de velocidades de un flujo incompresible y que su vorticidad es nula.Solucin: = 0 ~div (v) = 0

20.- Dado el campo de velocidades en unidades del Sistema Internacionalv = x 2 i z2 j 2xz k . Comprobar que representa un flujo incompresible. Si la viscosidad dinmica del fluido es 0.05 kg/ms, evaluar la parte desviadora del tensor de tensiones suponiendo que el fluido es newtoniano. Particularizar el resultado para el punto r = i + 2 j+ 3k .

Solucin 1.5: div (v)=

21.- Un eje de dimetro di se aloja en el interior de una carcasa de dimetro interior de y longitud L. Dicha carcasa est llena de aceite cuya viscosidad . Despreciando los efectos de borde y suponiendo un campo de velocidades unidireccional y unidimensional en el aceite (desde una velocidad nula en la superficie fija a la velocidad de la superficie mvil), y adems el espacio entre el eje y la carcasa muy pequeo, esto es re/ri1 y re-ri