84

Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

  • Upload
    vankiet

  • View
    220

  • Download
    4

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�������� � �� ��� �� ������ � �� � �� ������

�����

� ������ � �������

����� �

�� ��� ��� ����

�������

�� ����������

�� ��������� �� �� �������� �

� �� ������� ������� ��

�� ��������� ��� ������� ������� ��

�� ���������� ��

�� ����� � ���������� �������� ��� �� �� ������������� �!

�� "����������� ��� ���� �

#� $����� �������� �� �� ������������� #

!� %����� �������� �� �� ������������� ��

�&�$�������� ���������� �� ������������� ��

����������� �� '���� ��

���"������� ����(��� �

Page 2: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

� �)������� �� '���� ��

���)��������� �� �������� � ������ �� ������ ������� ��

���*�������� �#

������������ �������� ��

+� ������ �� ������� #�

,� +-��� �� ����� #

Page 3: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

� ����� ������

�� �� ������� �� �� � � �� �� ���� �� �� ���� � ��� ���� ���������� �� ���� � ��

����� %�� ����� ��� ����� ����� ��� �����

�� ��� ������� �� ���� � ����!��� �� �� "# �� �� ��$%� � �� & �� �����%������%��

� �� �� ���%��� !� �� �� ���� � �� ��!�� ��%�'���� �� ������� ��%�� �� ��$%� � ��

���� � ��%�� �� & �� � �� ��!�� %�� � ()��� ������ � *)��� ��!���

+� �� ����� �� ������� �� �� "# �� �� ����� ,� ����� �� � ( �� ��%� �����-�

�� ��� ����� �� �� ���%��� !� �� ������� �� ������� �� ����� �� ��%����%�

������ ���%��� �� ������� ��%�� ��� ������� �� ������� �� ��'� ���%���� ��

�������� %�� � .�)�� ���������

/� 0���%��� 1 � �� ��! ���%�� ���������� �� ��!������2

���� ) ���

� ) ��� ��

) ��

���� � �� ����� � �������� � �� ��������� �� �� !�������� � ��% ��� � ������

� ���������� %���� � �����

3� 0�%������� �� � ���� ���������� �� �� ��%��%� �� !����%���� �������� � 1 �

��%������� �� �� ��� �� (�$%�2

) �����

��

%�� 4�5 ) 4 5��4�5�4� 5���

6� "�'���� 1 � �� ������ �� ������� �� � ����� � ������� �� �� ���� ��� �����

�� � ��!�% � � �� �� ��������� �� �� !�������� ��� �� �� ������� 1 � ����%� ��%��

��%�� ��!��% ��� �������� �� ��������� ����������� %�� � ) ������

+

Page 4: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

7� �� ���� �� �������% ���� �� �� ��� 1 � �� � ��� �� �� ��� �� � 8 ��

���� ������� ��� ���� �� �� �� ���� �� � ������� � �� �� �������� ��� 8 ��

,��� ������� �� �������� �� �� "# �� (����-� 0�%������� �� ������� ����%��%�

��%�� ��%�� ��!��% ��� �������� �� ��������� ����������� %�� ) �����

�� �� �� ��� �� 9������ ���� � 8 �� 1 � �� �� �� �� % '����� �� �� ��%����

����������� 1 � ������� �� �� �������� � �������� ��� 8 ��� �� �� ������� �

�� 1 � �� �� � ��� ������%� �� �� % '������ ���%��� � ��������� �������� ��

��������� ����������� %�� �� ) � ���

��

�� �� �� ������ �� ������� ��%�� �� ��%���� � �� ��%���� �� �� !%� ���1 ��� ������� ���

���� �� ���%� � �� �� %������ � ���:��� ��� ���1 �� , ���� �� ����� �� ��!�% �-�

���%��� �� ��������� �� �� �� ������ �� ������� �������� �� ��������� �����������

%�� ;� ) � ��

/

Page 5: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

� �� ������� �� �� ������ ��

�� <� ��=� %��� �� �� ���� � &�%� � � %���� � �� ���� �� 6� (� �� ����

%���� � ���! � �� /�Æ � �� �����%��� �� ��� �- �� ���� �� �� ���� 1 � %����� �

���� �� %���� � � ���! ��� � �� � '- �� ���� 1 � %����� � �����%�� ���%������%�

�� %����� %�� � ) /3��6��> +��37�� (�

�� "'�� �� ���%�� �� �%� �� �� ����� � �� � ��%�� �� �� :! ��� 0�%���������

�� ��%� ���� ��� �%��%�� � ��� � � �� ���! � 1 � ��� � �� �&� �����%���

%�� �� ) ���/�� > +��3�� (� � ) �7��6 (� � ) ���+�

+� ? �%� ����� ��������� �%� �� �'�� �� ���%�� �� �� �� � �% @ �� �� :! ���

?��� ���� �� ���� ��� �%��%�� %�� �� ) ��3��> 7��� (�

/� <� ���� �� ��� ( ��� � ���! � � � �� �&� � � � �����%� � �� �� +� (�

?��� ���� �� ���! � �� %�� � ) �7�3�

3

Page 6: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

3� �� ���%���� �� ��� �%��%� �� ��� ��! ���%�� ����� ��������� 1 � �%� �� �'�� ��

���%�� �� �� �� :! ��� %�� �� ) 3�7��� +�����

6� A�������� ��� �����%�� � � � �� �� ���� �� /�� ( 1 � ��� � ���! � �� ��3Æ

� �� �&� �����%��� %�� � ) �����/��> +�7�7���

7� <� ��=� ��%���� � � ��!�� ���� ���%�� 1 � �� ������ ���� �'�& �� � ����

������� � ��������� �� ��Æ � �����% � �� �����%��� "� �� ��!�� ���� �3�

(� B� 1 �� ���� �������� � �� ��������� %������ �� ��=�C� %�� 3��+ (�

�� �� �� ��% ���� �� �1 ���'��� ��� ���� �� ��� ��� '&�% �� �� :! ��� %�� � ) �3��

(�

6

Page 7: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� "� 1 ���� 1 � � � %����� �� ��� ( �� � ��� � ������� ��%��%� �'�� �

���� ������� �� +�Æ BD �� ��!��% � ��'� %���� �� ���� �������� �� ���� ����E

��� �� � ��� �������% � �� ����C %�� ��� (�

��� <� �&� �� ������� �'�� �� ��� � ������� ��%��%� �� ���� �� �� ����

,��� :! ��� � � '- B? ��� ��'� ��� �� ���� �� �� ���� �� �������% ���� 1 � ��

�&� ��������� �� ����C B� �� ���� �� �� ���� �����C %�� �- � ) ����3 (�

� ) ++�� (� '- � ) �7+ (� � ) �3� (�

7

Page 8: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� 0� ��������� �����%��� �� '������ "� �� ��� �%��%� �� �� ���� �&����� �� ��

��������� �� �� ���� �� �3 �( ����!��� ��!� � �� �&� �� �� '������ ��%�������

�- �� %������ �� ��� � �� �� �'� ��'���� 1 � � �� �! �� � /3Æ � '- �� ���� ��

� ���� �� 1 � �� ������� �� %������ �� �� �' �� %�� �- �� ) ���+ ( � �� ) ���� (�

'- � ) 6��

Page 9: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� �� �� ������� �� �����!� �� � '��� � � %����� �� �3�� �! �� ���%�� ��

� �'��� "� �%� �� ���� �� �'�� �� F � �� %��� ���� ��%��� �� � %����� �'��

�� ������ �������� �� ���! � ��%�� �� �'�� � �� ���%��� �� �� �Æ ����%��� 1 � ��

���! � ��%�� �� ���� � �� �����%�� �� �� +�� B? ��� �� �� %������ �� �� ����C

%�� � ) 6/� (�

�+� 0� �'��� �� ������� & �%� �� �� � �% ? � �� ��!�� � �� � ��%�� �� �� :! ���

0�%������� ��� %������� F? � G?� %�� �� ) 3���� ( � � ) +3��� (�

Page 10: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�/� <� ������ �� ��� �! �� ��%���� �� ���� �� �� �'��� FG � F? 1 � �� �������

�� �� ���%� ���� ��%� �� �� ����� ���%���� <�� ���� �����%�� . �������� ��� �

�� ����� � ��%���� �� �� ������ ��%���� �� �� :! �� ,� ��� ��%�� �� �� �����

���%���-� 0�%������� �� ��!��% � �� � � �� %������ �� ��� �'��� %�� � ) �+3�/

(� �� ) ��+6�/ ( � �� ) �/���/ (�

��

Page 11: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

� �� ������� �������

�� "� ����� �� ���� �� +�� ( �� ��%��� �� �� ������ �� �� :! ��� �� ��3 � ��

��!�% �� ?�� ���2 �- �� ����% �� �� ���� �����% � @� '- �� ���� �� �� ����

�����%�� �� F 1 � ��� � �� ���� ����%� - �� ���� ���� 1 � �������

�� F ��� � �� ���� ����%� �- BF 1 �� ���%���� ��'� �������� �� ����

���%��� �� 73� ( ���� %���� �� ���� ����%C �- 0��� �� ��! �� �� ��� �����

��%������ �� ����������%� �1 ������%� � �� ������� %�� 73 (�� �7+�� (� �3� (�

��� �� ���! ���

F

A

O 60º

�� A����� �� ����% �� �� ���� �� ��� ( �����% �� � �% G� %�� E����6 (��

60º

B

F

A

X

Y

0.2 m

0.1

6m

+� F �� ������ ��� ��'� �� ������ �� �� :! �� �� �� ����� �� ���� �� /� (�

A����� � ����% �����% � G �� � ) �3� ?�� ��� �� ���� ���� ��1 �=�� 1 �

��

Page 12: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

������� �� F ��� � � ����% �� �6��3 (� �����% � G� %�� E�+�+ (�� //��

(�

25ºF

A

B X

Y

55

cm

20 cm

/� "'�� � ' �� ����%� � �%� � �� ���� � 0�%������� � ����% �����% � ��

����%� FG � �� ���!��� FH� %�� ��

���� ����

6�

X

Y

Z

A B

GF

3� "�'���� 1 � �� %������ ��� �'�� 1 � � &�%� �� '��%��� �� �� /3� (� ������ ��

����% �����% � �� ���!��� F0 �� �� ���� 1 � �� �'�� �&��� �'�� �� '��%����

%�� ���� (��

��

Page 13: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

A

DT

X

Y

Z

H

0.75 m

0.875 m

0.5 m 0.5 m

0.7

5m

6� "� �� %������ ��� �'�� �� �� ��3� (� �� ��� �� ����% �����% �� F �� �� ����

1 � �� �'�� �&��� �� G� %�� 3��,�+�3�� > ��3��- (��

X

Y

Z

4.5 m

1.8

m

3m

A B

C

7� <�� ��!� ��%�� ���%��� � ��� ����� 1 � �� ������� 9�� �� �� ���%��� �� ����� �

�� � ��� ��� �%��%�� %�� �6���� ( � +��+ � �� F�

150 N

600 N

100 N

250 N

1.6 m

1.2 m

2 m

�+

Page 14: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� B0���� ��'� ���%���� � %���� ��=� ���� 1 � �� ��� �%��%� �� �� ���� �� �� %���

���� �� ? �� �� %���� %���� �� ���� �� +� �!C �� ��!�% � %%�� ��� � ��� ��

�� +�6 �� %�� � ��6� � ��� ��%��� ������

� �42 kg 32 kgC

�� <� ���%��� �� %��� ���%�� ��� �� ������ � ����� �� :! �� �� �� ����%��� ��

� %�����! � ��%���! �� ?�� ��� �� ������ ��� ��%� �� ����� ��� ���%���� %��

,3�7� /�7-��

X

Y

m

4m

2m

b

b

��� A����� �� ������ ��� ��%� �� ����� �� �� ���%��� I�����E� ��� J��� �� �� I�����2

3���� ���� �!� ���� �� �� � ��2 7�+/� ���� �!� 0��%���� I�����E� ��2 +��/� ���

�� %�� � /66� �� ��� ��%� �� �� I������

��� 0���%��� 1 � �� ��%� �� ����� �� �� '���� ��!����� �� ���� � ��!�% � �

� �������� ������ � ��%�� ��% �� �� �� ��%�� �� �� '�����

��� " ��!��� �� '���� � ��!����� �� �������� ������ �,�- ) ��� � � ������

����� �� ��%��� ��1 ����� � ��!�% � �� ?�� ��� �� ������ ��� ��%� �� ������

%�� ���+�

�/

Page 15: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�+� I��� ����� ��% ���� �� �� ���� ! %����� ��� ��! ���%�� ���%�����%���2 �� ��

���� �� ) � �� � �������� ,+� � � -� K %�� �� ���� �� ) + �� � ���E

����� ,� �� / -� � �� %����� �� ���� �� ) � �� � �������� ,�� � -� � A����

��� �������� ��� ��%� �� ����� ��� ���%���� %�� ,��++� ��67- ��

�/� <� '&�% �� ���� %���� �� ��� �� � %�����! � ��%���! �� � ��� ����������

1 � ������%� �� :! ��� ����� ��� �������� ��� ��%� �� ����� � ������ 1 �

�� '&�% %���� ���� �� ��� �� ����� �� ������ %�� ��+,�� �-�

a

b

X

Y

�3� <�� ���� 1 � %���� �� ��� �� �� ��%�� � �� �%� � ��� ���������� ��%�����

�� �� :! ��� ����� �� ��%� �� ������ %�� ,�� �3�+- ��

4 cm

16 cm

20

cm

4 cm

�6� <�� �� ���� �� �����%�� %���� �� ��� �� �� � � � �� �� �� �� :! ��� �����

�� ��%� �� ������ %�� ,+��3� 6��3- ��

�3

Page 16: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

4 cm

12 cm

18

cm

�6

Page 17: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

� �� ������� ��� ������� �������

�� <�� ��!� �� ��� � �����%�� �� ��!�% � �� �� � � � ���� ��� (� %���� �

��� �� �� ����� � � %� ��%��� ���%�� �� � �'�� 1 � ��� � ���! �

�� 3+Æ � �� ������ "� �� ������ �� 6�� ( �� ���� � � � �� �� ������ �� ��� ��

%������ �� �� �'�� � �� ���� �� ������ �� �� ���� %�� � ) /�3�� (� �� ) ++�

( � �� ) /3� (�

�� �� 1 �� � �% �� �� '���� �� ��� �� � � �� ��!�% � � + ( �� ��� ��'� �����

� '�1 � �� �� ( �� ��� �� � ��%��� �� �� '���� ��%�� ����� �'�� � ���%�

� �� �� %� ��%��� %���� ��� ������%� �� ���� � ��� �� � (� ?��� ���� ��

���� �&����� �'�� �� ���%�� %�� " ) ��+ � ����� �� ���%�� � ) 3 (�

+� <�� ��!� �� ��� �� ���� ��� �! � + ��%�� �� ��!�% � ������� �'�� � � ��

��%����� F ��3 � ��� ��%��� ��1 ���� �� �� '���� ��!� �� ���� �� 3� �! � �

��3 � ��� ��%��� ����� %�� �� �3� �!� ?��� ����� ��� ������� �� �� �����

%�� � �� ) ��//�3 ( � ���� ) �7���3 (�

/� <�� ��!� �� ��� %���� / � �� ��!�% �� ���� 3�� ( � ������� �'�� � �� � �

��%����� ����%� � � �% ?� ��% �� � ��3 � ��� ���� �������� ��� �� �� ��!�

� ��� !����� <�� ������ �� 73� ( ����� � � ���! �� �� ��!�� ������� �� ��

���� ?�� �� �� ���%���� 1 � �� ��'�� � ��� ������ ����� �� ��� ���� 1 �

�� ��!� ��������� �� �1 ���'��� %�� " ) ��� ��

3� <� � ��%� �� ��� � �� ���! � ��3 ( �� ��� ��%�� ��%���� �� � � ��%���� �� ��

� ����� B? ��� �� �� ������ �� ��� � ���� ��� ��� %��� ��� �� �3����

�7

Page 18: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

����� � ����� ( �� ��� �'�� �� � ��%� � ���%����� �� +�� 6� � �� � �� � ��

�� ��%����C %�� �� ) 66��� (� � ) 7���� (�

6� <�� ������� �� ��� /� �! ������� �'�� �� ����� ���%���� �� � ��%��� %����

� ����� ,F-� ����� � ���! � �� 6�Æ � �� � �� ,G-� ���%��� ��� �����

�� ������ �'�� ��� � �� �� ��%����� %�� �� ) ��+�+ (� �� ) ��+�+ ( �

�� ) +���/ (�

7� �� '���� �� �� :! �� ����� �� �1 ���'�� �'�� �� � �%� F ,� � � ��� ��%���

��1 ����- � G ,� ��3 � ��� ��%��� �����-� '�& �� ���� �� ��� ����� 1 � ��

������� ���%��� ��� ����� �&������ �'�� �� '���� �� F � G� �� '���� ���� /�

�! � � ��!�% � �� �� � �� %�� �� ) 67/ (� � ) ����/ (�

�� "� ������ %��� ��!�� �� �� ��!� �� �� ��� ������� �� �� :! ��� �� ��!�

��%�� ������ �� � �������% �� F ,� ��/3 � ��� ��%���- � �� '���!�� �� G�

0��������� �� ��� �� �� ��!�� ��%������� �� ������ �� F � G ��� � ) 667��

(� %�� #� ) +��/��6 (� $� ) ���3/�/ (�

�� <�� ���� ��%��! ��� ��%�� ��%����� �� ���%�� �� F � G � �� �� ����'��

?0� "�'���� 1 � �� %������ �� �� ����'�� �� �� ��� (� ��%������� �� ����%

� �����% � F �� �� ���� �&����� �� �� ����'�� �� �� � �% ?� %�� � � )

����76��> //�//�� > 7�/��� (��

��

Page 19: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� <� ' �� ��� �� ��%�� ���%�� � �� ���� � �� �� ������� �� �� ���!��� L?�

0�%�������2 �- �� ����% �� � � �����% � F� '- �� ����% �� � � �����%

� �� ����%� FG � - �� ����% �� . � �����% � �� ���!��� FH ��� '� %��

�- � � ) ,����-,��>�� > ��-� '- � ) ���� - �� ) ���6�

��� �� ������� �� �� :! �� ��%���� ���%� ��� %�� �� � ��1 �=� ���:�� "�'����

1 � �� %������ ��� �'�� �� �� �3����� (� ��%������� �� ������ �� �� ��%��� :&

�� %�� � ) ����� �(��

��

Page 20: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� <� ��% � �� 3� � � � �� �������� �� ���� ���� �7� ( � � ��%���� � ��� ��

'�� � ��� �� F � �� �'���� 0�%������� �� %������ �� ��� �'�� � �� ������

�� F� %�� �� ) +���� (� �� ) ����/ (� �# ) ++��+��> ������� � ���6�� (�

�+� <�� ��!� �� /3� ( ����� �� �� ��1 ��� ? �� � ����� �� % ' ���!�� FG?0

1 � �� �� �'��� �� �� ��� �������� �� % ' ��%�� ��%���� �� ��� �� '��

��

Page 21: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

� ��� �� F � 0 :&� �� ��� � � �� ����� ���%��� �����%������%� � �� �

�'�� �%�� �� �� � �% ���� � �� �� ����� G? ��� % ' � :& �� � � �% H

�� �� ������ 0�%�������2 �- �� � �% ���� ��'� ��������� H ���� 1 � �� %������

�� �� �'�� ��� �������� '- �� ���� ����������%� �� �� ������� %������� %��

����� ) ������> ����� � ����� (� H ) ,�� �3� �-�

�/� <�� !�� � :&� %���� �� ���� �� ���� �! � �� %����� ���� ������ � �&�� �� �/�� �!�

��%�� � &�%� ������%� �� ��%� ����� �� F � � ����� �� G� �� ��%� �� !�������

�� �� !�� � ��%�� ��% �� �� �� � �% H �� �� :! ��� 0�%������� ��� �����%�� ��

��� ������� �� F � G� %�� $� ) ��7�36� � #� ) ���7�36 (� #� ) +++3/ (�

��

Page 22: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�3� I��� ��!�� ��%��� �������� � �� ��!� � �� � ��%�� �� �� :! ��� �� ��!� ��%�� �E

��%��� �� � ��� �� ����� �� F � �� ��%� ����� �� G� 0��������� �� ���

�� �� ��!�� ������ ��� ������� �� F � G� %�� #� ) +� �(� $� ) ��3 �(�

�6� <�� ��!��%� �� �� ��%�� �� ���� �'�� �� ���� 1 � ��� � ���! � �� �3Æ �

�� ���%���� �� ���� %%�� �� �� ��!��%� � � ��!� �� �� �3�� �! � � ��%�

�� !������� ��%�� ��% �� ��%�� �� ���� ���� ��%�� �� �&�� � � 73� �� ��� ������

�� ��!��%� ��%�� � &�%� �� � �'�� ������� � �� ���� � � 6�� �� �� �� ������

0�%������� �� %������ �� �� �'�� � �� ������ �� ��� � ���� %�� � ) ����7 (�

�� ) �3�3�� (� �� ) 7�/��6 (�

�7� <� ��%��� �� �� ��!� �� ��� �� � � �� ���! � �3 �! �� :&� � �� �����

������%� �� '���!��� �� %� ��%��� �� � &�%� ������%� � ����'��� A�����2 �- ��

%������ �� �� ����'�� � '- �� ���� �� �� '���!��� %�� � ) ����/ (� �� ) ��6�� (

� �� ) 6��+ (�

��

Page 23: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� <� ��'���&� �� 3� �! ��%�� � &�% �� ���%��� �� ��! �%� � ����% ����� �� �� :! ���

"�'���� 1 � � �� ��3 �� ������ �- �� %������ ��� �'�� ?0 � '- �� ������ �� G�

%�� � ) /���3 (� $� ) �/���+ (� $� ) ��/�6 (�

��� <�� %��� �� ��� �� �� % '����� �� ���� �/� �� � +� �! �� ����� ��%�� ��%�����

�� ������ �����%�� �� � �'�� ?0� " ������ 1 � �� &���%� �� G � �&���

���!� � ��� &� ������ ��%������� �� %������ �� �� �'�� � ��� �����%�� �� ���

������� �� F � G� %�� � ) +/��� (� $� ) �/3 (� $� ) 7+�6 (� #� ) /��� (�

#� ) 7+�6 (� #� ) ���� (�

�+

Page 24: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� �� % ' F?0� ��%�� ���%�� �� ��� ��% ��� F � � � �� ����'�� 0L� A����� ��

%������ �� ���%� ��� �� ����� � �� ����� �� �� :! �� � ��!� �� 6/� (� %��

� ) +/+�� (�

��� �� ���� FG?0 �� �6 � +� � �� ��%���� �� ���� �� '���!��� � � ���! �� ��

����%� FG � �� �� ����'�� ?�� "� �� ��'� 1 � �� ���� �� �� ��� � 1 � ���� ��

�!� ��%��������� �� %������ �� �� �'��� %�� � ) 6��3 (�

�/

Page 25: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� �� % ' F?0 �� ��%���� �� ���� �� ���%�� �� '�� � ��� �� F � 0 � �� �

�'�� 1 � ���� � %������ �� � ����� �� G � �%�� �� �� � �%� H � A� "� �� ��'�

1 � �� % ' ��%���� �� ? �� ��!� �� ++3 (� �� ��� �� %������ �� �� �'���� %��

� ) /+3�� (�

�3

Page 26: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

� ����������

�� B? ��� ��'� ��� �� ������%� ������ �� � �'�� �� ��� 1 � �� 1 ���� ������� �� ��

!�� � ����=���� ���� �����%�� � ��� ������ �� ������ �!� �� �� ��� �� � �% ��

�� %����� ��� ��� �� �� +� � ��� .�� #! �� ��� �� �� 1 ���� � �:���%� ��

��! ����� �� ��6� %�� %��� ) � �� %��� ) ��6 �

�� <� �'�� �� ��� �� � � �� ���! %���� �� ����� %���������� �� ��+ ��� "�

��!� � %�� �� 33� �! ��� �'��� 0�%��������� �� �� ���� �� �� ������ � ��

����!�����% ��� �'��� " ���!��� 1 � �� �'�� �� ���%� � �� ������� �

�� ����� ����� %����������� �� ��� � �� M �! ��� ��� �� ��� � ��� .�� %��

& ) ���� ��� .�� ' ) ������� ;� ) ������ ��

+� <�� ������� ��%����� �� / � �� ���! � ����� ��3 �� �� ��%��� ���� � �� ���%����

� �� %������ �� 3��� (� BD �� ��� � �� M �! %���� �� ��%��C %�� ( ) �� ����

.��

/� <�� ���� �� (��� �� ����!� ��� � ���%��� �� ��� �� �� �! �� � �������%�� "�

�� ���� %���� 3� � �� ���! � 7 �� �� ������%�� B1 �� ��� � �� M �! %���� ��

(���C %�� ��3� ��� .��

3� .��� ��%� �� � ������ � ��%��%� ��!� �� �� ��� �� �� ���� �� 3 �! �� �

����'�� ���%��� ,�- �� ��� �� ��/ � �� ���! � ����� +� ���� ��� �� �� ���%�

�� ���� �� �� �� ��� � &�%� � ����'�� ������� ,�- ��� �� ��!� � ' �� ��%��

�� �� �!� .��� ��� ����'�� �� ��� �� �� ������ �� %������ � �� ����!�����%�

%�� F���'�� � ' ) �����/6� ;� ) ���� ��� F���'�� � ' ) �����6/� ;� ) ��63

���

6� <�� ������ ������ ��� �%���� ���3 �� �� ���%�� ?��� ���� �� ������ ��� �� �E

� ��� ��� ���%� ��� �� �� ���%� � � � ���% �� ������� �� ��6� ��� .�� ��

��� � �� �� ��� ��� ���%� �� $ ) 3�� � ��� .� � � ������'������ �� ��$�

%�� ;) ) ������� ���

7� "� ���%� � �� � ��%�� �� '�� �� ��� � '�� � �� � �� ����%� � ��

�6

Page 27: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�������� �� ���� ������� �� %������ �1 ������%� � �� %������ ��������E

������%� � ��� �� �� � � ����� �� �������� ����%��� �� �� ��� 1 � �� '�����

�� �� 7��3� ��� ,;)�)�-� 0�%������� �� ��� � �� ������'������ ��� ? �� ��

���%��� ��%��������� ��'���� 1 � �� ��� � �� M �! ��� '�� �� ���� ��� .��

@'%���� ������� �� ��� � �� .����� %�� $ ) ��+3+� ���� .�� � ) ��+3��

�� B? ���% �� ��%��� � ����'�� �� ��� �� ��!�% � �� ) ��3 � � � �� �� ������%�

��� �� �� ����� �� %������ �� /3� (C �� ��� � �� M �! ��� ��� �� �������

.�� %�� ;� ) ��+6 ���

�� 0���%��� 1 � �� ��!��% � � ) &���� ,&� ) �� ��� �� � �% �� �� %�����- ��

�! �� � �� ��!�% � ������� �� ��%����� 1 � � ��� ���%������ ���� '�& � ����

���� " ���!��� �� � ��� �� ��%����� �!��� �� � ���%� :&�

��� <�� � &�� ���%��' �� � ��� �� 3�� ( �! �����%� �'�� �� %���� ��%� �� � �

����%�� ?��� %��� %���� ���3 �� �� ������ BD �� ������� �&��� ��� %��� �'��

�� � ��C ?� �� ����� �������� B ���% ��� ������� ���%�� � ��������� ������

��� �� � � ����� �� ��� ��C� %�� ��� (��� ��� %���� � ) /� �(�

��� "� %���� �� ������� �� '�� �� ���������� ��� � 6� � ��� �� B? ��� ����� �

�� ������ ��%���� ��� �� ���%� � �� %����� �� ��� �� ��� � ��� ( ��

�� ������� �� �� ����%� ����C B? ��� ����� � �� ������ ��%���� ��� �'��

�� ������� ������� � ��� �� �� %������� �� ������%� ���%��' �� �'�� ����C

0�� �� ��%� �� �� �������� ����%��� �� �� � ���:�� ���� � �� ��� �� ���� ��

��� � �� M �! ���� �� '�� �� ��� � ��� .� � �� ��� � �� .���� �� ��+3��

%�� 'N ) �/���� ����� ;#�#� ) ����7� ����� ;)�)� ) �+�+6� �����

��� "� ���%� � �� ��� �� '�� �� ��� � '�� � �� � �� �� ����%� � �� ���� �� �

%������� ������� %��!��������%� � �� � ���:�� �� �� �� � � ����� 0�%������� ��

���! � �� �����������%� �� ��� � �� �����������% ��� ? �� �� ��6���� �������

%�� � ) +�3�� ��� �

�+� <�� ������� �� ���3 � �� ���! � ��� ��������'�� ��%�� ��%����� �� � � ��%����

�� ����'��� F � G �� �! �� ��!�% �� �� ����� %���������� �� F �� �� � ��� � ��

�7

Page 28: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� G / ���� �� ��� � �� M �! �� F �� ��/� ���� .� � �� G ���� ���� .�� B��

1 �� � �% �� �� ������� ��'� �!���� � ��� � � :� �� ��� �� �- �� ���� �! ����

�� F � GC � '- B�� ������� �! ���� �� F � GC %�� �- ���/ � ����� F� '- ��7�

� ����� F�

�/� ?�� ��� �� ��� �� 1 � ��'���� 1 � ��� � �� ���� ��� :� �� ������ � � � �����%�

�� � �% �� ��� (��� �� �� ���� � � �%� 1 � ���� � �� �%���� �� 3� �

� �� � ��� �� ������� �� + ��� �� �� ��1 ���� � �:���%� �� ��! ����� ��

���7� %�� ��7� ��

�3� "'�� � % ' ���%��� �� ��� �� �� � �� ���! � �6 � �� ������%� ��%���� �

� � �� ������ �� ��� � '�1 � �� !����% �� �/ I� "� �� ��� � �� � �! ���

��� �� ���3� ���� (���� ��%������� �� ��%�����% ���������%�� �� �� % '�

%�� ���/ ���

�6� <� '�1 � �� !���%��� %���� 6� � 6� � �� �� ��� � ��%�� ���%�� � �� ���

��! �� "� ����� �� ���� �� ���/3 ( %��!��������%� � �� � ���:�� � �����

,6�� ��-� ��������� � ������������% �� 3 �� ����%�� � �� � ���:�� �� �����

���%��� �� �� ��� �%��%�� �� �� ������ �%��%� � �� ��� � �� �� ���

�%��%�� %�� * ) ��/�� (���� + ) ����++� � ) �/3� (����

��

Page 29: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

� ����� � ������ ��� ��������� ���� �� �� ������

�������

�� @'%���� �� ������� ��%�� ��� ������ �� %������% �� ?���� � � L��������%� BF 1 �� %��E

����% �� ������ ��� ��������� �� ��'� %������%��C %�� � , - ) +� >

���� ,,-� � , - ) � ,,- ) �/�Æ?�

�� <� %������%� ��%��!��� ��� ���'��� ���� �Æ? �� �� � �% �� ���� ��� ����

� ��Æ? �� �� �� �' ������ ��� �! �� �� � � !�� �� �� 1 � �� ������� �%�� �����

�� �� 76� �� A!� BD �� ��� �� �� ��� ��� ��'��� ������� ���� �� ��� ��

%������% �� ����C "� �� %������%� ���� 3�Æ?� B? ��� �� �� ��������� %������% ��C

BF 1 �� %������% �� �� ���%� �� ��% �� ��� %������%�C %�� ����� ) ,������� ��-������ �����,3�Æ,- ) /6��3Æ?� ����� ) ������� ) �����Æ?�

+� <�� ��%� ���%��� �� ��� ���� 3 � � �� %������% �� �� ��Æ?� B? ��� �� �

��!�% � � ���� �� 1 � �� %������% �� �� �� +3Æ?C ?�:���%� �� ����%���� ������

��� ��� ��� ��� O��� %�� 3������3 ��

/� <� ��� �� ����� �� ��� �� ����� ����%����%� �� A! � ��Æ?� B? ���% A!

�� ������� �� � '�� �� %������% �� ��� ���%��� ���%� ���Æ?C �� �:���%�� ��

����%���� �� ���%��� ��� ����� � ��� A! �� �����%������%� �������� � �������

Æ?��� %�� )��������� ) ��6�� ���

3� <� ������ �� �� ��� �� ����%� �� ��� �� ����� �� � � �� ������%� � �� � ���

�� ������ �� �! �� ������%�� ?� '&�% �� ���� �& �%����� �����%� �� ����%� ���%�

���! �� 1 � � ���� ����� �� �� �� � ��� �� � ��� "� �� %������% �� ��'���%�

�� �� ��Æ? � �� �:���%� �� ����%���� ������ �� �� ����%� �� �� ���� � ��� Æ?���

�� ��� �� %������% �� � 1 � ��'� ����%���� �� ����%�� %�� � ) +/7��Æ?�

6� �� �������� ��� A! � �Æ? �� �� �+�6 !��� � � �:���%� �� ����%���� �� ���%���

�� ����� ��� Æ?��� ?�� ��� �� �������� ��� A! � ���Æ?� %�� �+�+37 !����

7� <�� ����&� �� P� ��%�� ����� �� A! � �Æ?� %������ �� ������� �� 3 �� ?�� ��� ��

�� ��� �� A! 1 � �� ������� � ���Æ? �� � �% �� �� ����%����� ?�:���%� ��

����%���� �� ���%��� ��� P� �7� ��� � ��� A! ���� ��� Æ?��� %�� /7�� ���

��

Page 30: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� <� �������%� �� 3 � �� ������� �%����� �� ! �� ��%��!�� ,��� ��� ���

�� !��� � �� %������% �� �� �7Æ? ����� �� ������� �%�� ����� �� 7/� �� A!�

0�%������� �� ������� ���%� ��� �������%�� "� �'�� �� �������%� �� %���� � :���%�

���� 1 � ��� �������� ��%���� � ��%���� �� �! ����� �� ��� %����� B���� ��%��!��

��� �������%� ��%�� ���� �� �� ����C ?�� ��� �� ��1 ��� �� �� ���� �� !����

�� !�� 1 � ���� ��%��� ?�������� 1 � �� %������% �� �������� ��%��%� �� ��

����� %�� - ) ���� ��� .�� ����� 6�/6 ! �� (��

�� �� � �������%� ����� �� � � �� ������� ��� +�3 ! �� ��!�� � ��Æ?� ��

������� �%�� ����� �� �� 7/� �� A! � �� %������% �� ��%���� �� ��Æ?� "� �'�� ��

�������%�� B��%�� ���� !�� ��� �������%�C BD �� ��%���� �� ���� ��%�� ���� ���%�

������� �� �1 ���'��C BF 1 �� %������% �� ��'����� ��%�� �� ���!�� ��� �������%�

���� 1 � �� �'��� � ��%�� �� ���!� !��C .�� ��� ��� ��� ���!�� +� !���� %��

"���� ���� ! �� @�� � ) ��6��6 O�

��� <� �������%� ����� �� 3� � �%���� �����!�� � �� %������% �� �� �3Æ? � � ��

������� �� ��3 �%�� 0�%������� �� ���� �� �����!�� �%����� �� �� �������%�� "� ��

��� �� � ������ � �� ��%����� ���� �� ������� �� �� 76� �� A!� ��%�������

�� ���� � �� ��� �� �����!��� �� ������� �������� 1 � ���� ��� �������%� ��

�� %������% �� ��%���� �� �� �3Æ?� %��2 �������� ) 6�+6 !� ����� ���� !� /7�7 ��

��� �� � �������%� �� �1 ������%� �� �! � ��������'�� ��� � �! �� ���� � ���Æ?�

B? ���%� !���� �� �! � � ��Æ? ��� 1 � ��%�� �� �� �� �������%� ���� 1 � ��

%������% �� :��� ��� �� ��Æ?C "� �� � !�� �� �! � � ��Æ? �� ��%�� � ���� ��

�! � � ���Æ?� B ���%� !���� ��� ���� ��� 1 � ��%�� �� ���� 1 � �� %������% ��

:��� ��� �� /�Æ?C �� ��� �����: ��� ���� �� ��3 ���!Æ?� �� ��� ��%��%� ��

���������� ��� �! � �� 3/� ���!� � �� ��� ��%��%� �� ���� �� �� ���!� %��

� ) ��+6 �!� �� ) ���� �!�

��� ?�� ��� �� %������% �� :��� �� �� ����� �� �� � �� � �� �! � ��� %������% ���

�� �����%������%� 7� � ��Æ?� %��2 �� ) �3�36Æ?�

�+� �� � �������%� 1 � �%���� //� ! �� �! � � �Æ? �� ��%�� � � %�� �� �����

+�

Page 31: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� 3� ! �� ���� � %������% �� �� ��Æ?� ��� �%��� �� %������% �� �� �1 ���'��

��Æ?� ?�� ��� �� ��� �����: ��� ������ %�� ���� ���!O�

�/� J������ � �! �� �! � � �3Æ? � � �! �� ���� � �3Æ?� B0������� �� � :���%�

��� ���� ���� %� �� ����C "� �� ����� B� 1 �� %������% �� 1 ��� �� �����C ?���

�����: �� ���� ��3 ���!Æ?� ?��� �� ���� ��� ���� �� ���!� %�� 6��3Æ?�

�3� �� � �������%� �� ? �� ���� /� ! �� ��%�� �� +�� ! �� ����� ��%���

�� �& �% � �Æ?� "� ��%�� � �� �� ���� � %�� �� ? �� ��� ! � 3�Æ?�

�������� �� %������% �� �� �1 ���'�� �� ��Æ?� ?�� ��� �� ��� ������: ���

����� �� ��� ������: ��� ? �� ����3 ���!Æ?� %�� ��6 ���!O�

�6� <� ��� �� ? � '��� ������ ��� ��%����� ���� ��3 �!� �� ��� �%���� � '�1 �

�� ���� �� �� �! �� �1 ���'�� %����� � ���� � %������% �� �� ���Æ?� "� ����%��

3 �! �� ���� �� �! � � ���Æ?� ?��� ���� �� ��%�� :��� �� �� ������ �� ���

������: ��� ? �� +�� *��!Æ?� %�� 1 ���� ��3/ �! �� ���� � ���Æ?�

�7� "� ������ �� � �������%� �� ���� ��7 !� 1 � ���������%� �� �� ��%�� �����Æ?�

��� ! �� ���� � ����Æ? � ��� ! �� �! � � ��Æ?� 0�%��������� �� ��%���� �� ����

�� �! � � ���Æ? 1 � ��'���� 1 � ��%�� �� ���� 1 � �� %������% �� :��� �� �� �����

��� �� ��Æ?� ?��� ������: ��� �������%� +�� *��!Æ?� %�� +7��6 !�

+�

Page 32: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

! "����������� ��� �����

�� <� ��� ��!� � � ����� � ���:��� �� ��� �� ���%� �������� ���%���!���%��

�� ��%��� ?�� ��� �� �%���� ���%��� �� � %������% �� �� �� �- �7Æ?� '-���7Æ?�

%�� /3��+ Q� �6��/ Q�

�� <� ��� �� ����� � �� � ���������� ��3 �� ���%���� � 7��Æ? �� �� !��� ��'�%����

��!�� �� %������% �� �� ���Æ?� 0�%������� �� ��� ��% ��%����'��� ��

����� �� %���� ��%�� �� ��� � �� ��'�%���� �� �� ������� �� ���������

%�� �/��� ��� Q�

+� �� � ���:�� �� ��� ��%������ ���%� �������� ����!��� ���%���!���%�� � � ��E

� ��!� �� ' ��� ����������� ?�� ��� �� ���� �� G�%��!� �� ,��%����� �&� �� ��

��%������ �� @����- ��'���� 1 � ���%� +���� ��� Q � %���� �� %������% ��

� ���:��� �� +��� O� %�� ��6�� ���� ��

/� .���� �������� 1 � �� �� ���%� ����!��� � � ��� ��!� � �� %������% E

�� �� 376� O� "� � ������%� �� �� ��+�� ��� �� �� ��� �� �%���� %%�� ���%����

?�� ��� �� ��!�% � �� ��� � �� 1 � �� ������� �� �������� "� �� ���%���� I�����E

"� �� �� ��3 � ���� �� �� ��� �� �%���� ������%� �� ����� �� ����� ��% ���

�������� ������%� � � ��� ���� � ��� �� �� �%��� ��� %�����%�� ,���������

��%��%� ����-� %�� +�7�� ��� Q� �+/� Q����

3� �� %������% �� �� ��������% �� � :�����% �� �� ���� �� �� '�'���� ��

�� �/6� O� � � �:���%� �� �'����� ��+3� ?�� ��� �� ����� � ���:��� ��� :�����E

% �� �� '�'���� �� ��� Q� � ������ 1 � %�� �� ����!��� ����%��� �� ����

�� �� �������� �� ���%��� �� ��� �� �������� ���%���!���%��� %�� ��+� ���

6� "� �� ����� � ���:��� %%�� ��� ��� � ��� �� �� ��� �� � � %������% �� � E

���:��� �� +�Æ?� �� ��� �� �%���� %%�� ���%��� ,�� ���������� ��� ��� ��

����%�����%� �� �����������%����%� �� �� ��!���%���� �� �� ����-� "� �� ��'���%�

��%�� � ��Æ?� �� ��� �� �������� ��%� �� ��������� %�� 37+�3 Q� 7��� Q�

7� F! � � +�� O 8 �� �� � ��� �� �� ���� �� � �� �� ����� ���%����� � /�� O� "�

+�

Page 33: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� �:���%� �� ������ �� �� ��� Q���O� �� ��� �� ����!��� %������%��� ��

����� �� %���� ����� �� ���� �� �! �� %�� /�� ��� Q�

�� �� � ���� �� ���� �� �:���%� �� ������ ���� �� %�&�� �� � ���:� �� 6

Q���O� 0�%������� �� ��� %������%�� �� �� ����� �� %���� �� ������

�� �� %������% �� ��%���� ��� %�&�� �� �3Æ? � �� ��� ���� E3Æ?� �� � ���:�� ���

%�&�� �� /�� ��� 9���%�� �� ��� � �� �� �:���%� �� ������ ��� � �3 Q���O

��'�� � �� '����� %�� /�� ��� Q� 6��� ��� Q�

�� 0�%������� �� �%���� %������%��� �� ������ ����� �� �� ��� �� � � ��

������%� � ���Æ? � ���!��� �� ���%�� �� %������% �� �� ���Æ?� " ���� �

�:���%� �� ������ �� ���� Q���O� %�� +��/ Q�

��� <� ��� ����%�� %���� �� ����� �� ����� %%�� �� ��3 �� � ��%�� ������ � ��

��� �� :'�� �� ����� �� /�� � �� ������� �� � ���:�� ��%���� �� �� :'�� ��

�� ��%�� � �/�Æ? � �� ��%���� � +3Æ?� �� :'�� %���� �� �� %������ %������

�� ���/� Q��O� ?�� ��� �� �����%� �� ��� �� �� ������%�� BD �� � �����%� ��

�%���� ����%��� �� ������� ���� ���%���� �� %������% �� �� �� ���C %�� +�7�3

Q�

��� <� �����%�� ��%� �� �� ����� ��%���� � �� ��� �� ������ ,. ) �����

Q��O- �� ��� � �� ������ �� �� ��%���� � �� ��� �� ��� �� ������%� ,. )

����� Q��O- �� +�3 � �� ������ �� �� ��%����� �� %������% �� �� �� � ���:��

��%���� �� ��Æ?� � �� ��%���� E��Æ?� ?�� ��� �� %������% �� �� �� ���� �� ��

������ � �� ��� �� � �� 8 & �� ��� �� ��%� ����� � %������ �� �� ������

%�� E��� Æ?� 7�7 Q����

��� <�� ����� �� � ��� ��%�� ����� �� �� ��� ��%���� �� ��� ,�� %������

3��� Q��O- �� ��� � �� ������ '���%� �� %�� ��� ��%���� ������%� �� ��'��%

,�� %������ ��7 Q��O- �� 3 � �� ������� �� %������% �� �� �� � ���:��

��%���� ��� ��� �� ��� O � �� �� �� � ���:�� ��%���� ��� ��'��% �� �� +3� O�

0�%������� �� ��� %������%�� �� ����� �� %���� � %������ �� �� ����� ��� ����

�� ����� �� ������ � �� %������% �� �� �� ��%�� ��� ��%�� �� ��� � �� ��'��%� %��

6�3� Q���� 7���3 O�

++

Page 34: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�+� �� ����� �� �� ��� ��%�� ����� �� �� ��� �� ������� ,������ �� � � �E

� %������ %������ ��7� Q��O- � �� ��� �� ��� ,������ +�� � � �� %������

%������ ��/� Q��O-� ?������ �� ��� %������%�� �� ����� �� %���� � %������

�� ��%� ����� � �� �� %�� 1 � %���� ��%�� �� ������� � �� ��� �� �����%����

%������ �� ��%�� ��� �� ��� O�Q� %�� ����� ��6� ���� ���� �� �� ��! �� ���

�/� <� ��%��� �� �� ������� ��%����� ������� �� ���%���� � ���Æ?� � �� %� ��%���

�� ���%���� � �Æ? � �� ����� �� ���� � �! �� �� ������� %���� /� � �� ���!

� � ����� %���������� �� ��73� ��� �� ��� �� �� �� �� ������� ��� + ! ��

���� �� 3 ��� %�� ?�� ��� �� �� %������ %������ ��� ��%�� � �� %������% ��

�� �� ������� � 3 � �� � ��%��� �����%�� �� ��� ��%��%� �� ���� ��� ���� �� ��

���!� %�� �7��� Q��O� �7�3 Æ?�

�3� <�� ������� ���!�� ������� ���� ���%�� ��������� �� ��� �� � � �%���� ��%�� ��

�%�% %����� ��� �% � �! � �������� � ���Æ? �� � ��%��� � �� �����

�! �E���� �� �� %�� �� ������� ����%� �� � %��� �� '�� �� � � �� ��!�% �

�� �%�% � �� �! � �������� �� � ��%��� � ���� � � %��� �� ��� ��

�� %� ��%���� �� %��� �� ��� %���� � %� ��%��� �� �� ����� �! �E�����

F�'� %���� %����� �� ����� %���������� �� 6 ��� �� %������% �� �� �� ����

'��E��� �� �� 63Æ? �� ��� ������� �� ��%�� ��%������� ?�� ��� �� 8 &

�� ��� � %������ �� �� ������� � �� ��!�% � ��� %��� �� ���� �� �� %������

%������ ��� '�� �� +�3 Q��O � �� ��� ��� 3��� Q��O� %�� ��� Q� ���/ ��

�6� <�� ����� �� ������� �� ��� � �� ������ � �� %������ %������ ��7 Q��O

��%�� ��� ��%� � � ����% ��� � �� %������% �� �� �7� O � � �:���%� ��

������ �� /� Q���O� �� ��� � ��% �� �� ����� ��%�� �� �%�% � ���� ��

���� � ++� O � �:���%� �� ������ �� Q���O� ?�� ��� �� ��� %������%��

� %������ �� �� ����� �� ����� �� %���� � ������ %�� ����� Q����

�7� <� �����%�� ��%� �� �� � ��%� �� ������ �� ����� ���3 � � ������ /�� ��

" �� %������ %������ �� ����� Q��O� ��� ����� ��� �� ���� �� ��� � ���:���

��%���� � ��%���� �� �� � ��%� %����� �� ����� �����%���� %������ �'����� 1 �

� ������ ������� �� ������ �� ��� �� �� %������% �� ��%���� �� �� ��Æ? �

+/

Page 35: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� ��%���� �� E�Æ?� ?�� ��� �� ��� %������%�� �� �� � ��%�� B�� 1 �� �%�

� ���%� ��%� 8 & �� �� �����%� � ���%��� �� ����� �� ��3 � �� ��� �� �� � ��%�C

�� ����� %���� � ������ �� ��/� � � �� �� %������ %������ �� ���� Q��O�

��� ����� ��� �� ���� � ��'� ���� ��� ���%�� %����� �� �����%���� %������ �! ��

� �� �� %�� �� � �� ������ %�� �� ��/�

��� ?�� ��� �� ������� ��%�� �� �������� �� ��� � %������ �� �� ���%��� �� � ��

���%�� � � ����� �� ���3 �� � �� 1 � �� ��� � � %������ �� �� ���%��� �� �'��

���%�� � �� ����� ������ ?��� ���%�� %���� � ������ �� +�3 �� � �� ����� ��%��

�� �� ���%���� �� �� ���%��� �'�� �� �� 3�� ��� �� ����� %���� �� �� %������

%������ �� ���� Q��O � �� ��� ���� �� ����/ Q��O� ��� ����� ��� �� ���� ��

��� � ���:��� ��%���� � ��%���� �� ��'�� ���%���� %����� �� �����%���� %������

�'����� �� ���3 ��O�Q� %�� ��/

��� " ������ �� %���������� �� ��� ������������ � %������ �� �� ����� �� ��%�

�� �� :! ��� ��%������� �� �� 8 & �� ��� �� ����� �� %���� � �� %������% ��

�� �� ��� ��1 ����� ��� ��%����� 0 �� ��� %������% ��� �� �� ���� �� �� ����� �� ���

�������� �� �� :! ��� 0�%�2 .� ) 73 Q��O� . ) 6� Q��O� . ) 3� Q��O�

.� ) �� Q��O� �� ) �� �� � ) � ) �3 �� �� ) /� �� #� ) #� ) � ���

# ) # � %�� ���7� ��� Q� +�7�/ Æ?�

A

B

C

D

LA LD

AD

L =LB C

T=100ºCT=500ºC

��� ?�������� �� ����� �� ��%� ������� �� �� :! ��� �� � ���:�� ��1 ����� �� ��

+3

Page 36: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

����� ��%�� � ���!��� �� �! � � 7�Æ?� ����� �� %������% �� �� �� ����� �� 3�Æ?

� �� �:���%� �� ������ 6� Q���O� ?�� ��� �� �� %������ ��� ��%�����

��%��� �� ��� �� %�������� �� �� ��%������� �� �� ��1 ����� � ������ ��� ��E

���%������%�� ��� � +� Q��O� �� � ���:�� ������ ��� ��%����� �� �� ������ ��

�� ��%�� � �Æ?� %�� 7��/ Q��O�

30 cm 25 cm 15 cm

��� �� ����� �� ��%� ������� �� �� :! �� ��%�� ����� �� �� ��%������� ���%��%�K

�� � ����� %���� �� �� %������ %������ �� 36 Q��O � �� �� ���� �� 3� Q��O�

�� ��� ��1 ���� �� �� ����� �� ���%���� � ��Æ? � �� ��� ����� �� �� ��%��

��� ��% �� ����� 1 � ��%�� � �� %������% �� �� �Æ?� �� �:���%� �� ������

��%�� �� ����� � �� ���� �� 3 Q���O� ?�� ��� �� 8 & �� ��� %���� ���� � %������

�� �� ����� �� �� ����� �� %���� � �� %������% �� �� �� � ���:�� �� �� �����

��� ��%� �� ����� %�� �7��� Q� ���� Æ?�

60 cm

1 m2

1 m2

��� ?������� �� ������ 1 � ����� �� �� ������% �� '�=����� �� %������% �� ��

�� ���� �� �� ������ � ���%� �� / ��������2 �- �� !����� ����!��� �� �������

��%�'����� �� �� ��� � ����� �� ��� Q� � ��� %�� ��%� ����!��� 8 �� �� ���

+6

Page 37: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� ��� ���� �� � ���:�� �- �� � �����%�� ��� � �� ���� �� ������� �����

�� �:���%� �� ������ 3/ *��Æ?��� �� ����� ��� ��%� �� �� ���� ��3 ��� ��

%������% �� �� �� ���� +6Æ? � �� ��� ��'���%� /7Æ? +- �� ���� �'��'� ����!��� ��� ��

� ����� �� ���� Q��� /- �� ���� �'��'� ����!��� ������%� ��� ��%��� ?�� ��� ��

����� ��%� �� !������ �� ����!��� �� ��%� ��������� " ���� 1 � �� ����������

�� �� ���� �� �� B?� 1 �� ����� ,��%�� �� ���- ��'� ��������� �� � �� �� ��

���� ���� ���%���� �� %������% �� ��%��%�C ,�� ��� �� ���������� ��� �! �

� +6Æ? �� �� ��/� � �� *��!-� " ���� ���� 1 � �� ������ �� ��%�!� � ���

,���������� �-� 1 ����� �� � ���:�� ��� ��%� �� ��/3 ��� ?�� ��� �� � ��� �����

�� ��������� �� � �� � ��� %�� �� %������ �� �� ���%����%� %�������� �� ���

!��%�� ��� ������%� %�� ��� Q� ���3 Q� �63� Q� ��6�/ Q� +��/ ���� ?� ���2 ���

����

+7

Page 38: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

# $����� ��������� �� �� �������������

�� �� ���� �� �� ��'�%���� �� ���������� 3� 3� / � �� ����%� � ������� ��%��%�

�� 76� �� A!� ������� �� ��� ���%���� �� ����� � %������% �� �� �3 � ��Æ?�

?�� ��� �� �� ��� �� ���� 1 � �� ����� � �� %��'�& 1 � �� ���� ��%���� ������� ��

�� ��������� �� ��� &�� �� ���� ��%���� BD �� �� ��� ����� %� �� ���� �� ��

��'�%���� �� ������� ������� �� ������� � %������% ��C ?�� ��� %��'���� ��

��%���� �� ��� �'��'�� �� �� ���� �� ����%���� �� ��� ������� ��%������ �

�� �������� �� ����!��� ��%����� �� ��� ���� � ������� ��%��%� �� �� 7 �����

O� %�� ;) ) ��7/ ��� )�� ) �/�7� ��� / ) ��76 � ��� *� 0 ) 6��� � ��� *�

;1 ) /�/+� ��� *�

�� "� %���� � !��� �� ��%��!�� ,�� !���- � �Æ? � � ������� ����� B? �� �� ��

�� ��� ��� �� �� !��C "� �����%� �� !�� � ������� ��%��%� ���%� ���Æ?

,��� ���� � ������� ��%��%� 7 �����Æ?-� B1 �� ��%���� �� ��� �� �����%�

� �� �� �� �� ��� :���C F ���%�� ��� ���� ��%�� ������ �� �����%� � ���Æ? �

�� ��� ��%��%�� B1 �� ��%���� �� ��� �� �����%� � �� �� �� ������� :���C %��

)� ) ������ ��� 0� ) �3 ��� )� ) ��������� ��� 0� ) �7��6 ��� -� ) ��+�����

.��

+� "� ������� �� %���� ������ ��%���� �� � !�� ��� �%� ����� � �� ��� ��

�� �� ������� 3 �%� � %������% �� +�� O ���%� 1 � �� �� ��� �� ��� � � ��

��%��� ?�� ��� �� �� ��� �� ���� �� !�� 1 � %������ �� ������� :��� � �� ���

� %��'�& ��%����'���� � �� ���� ��%���� �� �� %���� ������� %�� 2 ) ���+

�� -� ) ����+� �� .�� 0 ) / ) �+3�� *�

/� "� ��������� ����'��%�����%� � !�� ��� �% ���%��� ����� � �� ��� �� � ��

������� � �%� � %������% �� +�� O ���%� 1 � � %������% �� ��� �� ��%� ���%�

�� �� ������� ?�� ��� �� �� ��� � ������� :����� ���� � �� %��'�& � ��������

�� ����!��� ��%���� �� �� %���� ������� %�� )� ) 6�/ � ���� ��� -� ) ��3� � ���

.�� ;1 ) �/ ) ���66�7 *�

3� BD �� ��%���� �� ��� ��� ��%� ���� � ����� �� �� ��� �� �� %���� ������

+�

Page 39: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��'��� �� 3� � �� ���!�� 1 � �� �� ��%�� � �7Æ? � � �%� �� �������C ?�� ��� ��

%������% �� :��� � �� �������� �� ����!��� ��%���� �� �� ����� %��2 0 ) +3/�6 *�

�� ) 6�� O� ;1 ) �3+�/ *�

6� BD �� ��%���� �� ��� ��� ��%� ���� � ����� �� %������% �� �� �� %���� ���E

��� ����� �� ��� � �� �����!�� � + �%� �� ������� � +�� O �� %������% ��C %��

0 ) 76�+6�3 *�

7� <� ������ �%���� ���!�� !���� � � �%� �� ������� � �� � �� ��� �� + �

� +�� O �� %������% ��� "� ���%� � �� ��! ���%�� �����2

�- �� �����%� � ������� ��%��%� ���%� 3�� O

�- �� �� ���� � �� ��� ��%��%� ���%� �3� O

�- �� �� ���� � ������� ��%��%� ���%� �3� O

�- �� �����%� � �� ��� ��%��%� ���%� �� +�� O�

9�������%�� ��%� ����� �� � ���!���� -) ���� �� ������ �� ������� � ��E

��� �� ��� ����%��� ?�� ��� �� 8 & �����: ��% �� ���!�� � �� %��'�& ��%

�������� �� ���%�� %�� 0���� )/���� ) ����6 *�

�� <� !�� ����� ���%��� ����� �� �� �� �� :! ��� 0�%������� �� ������ �� ��������

�� ��� � %������% �� �� ��� ����%��� ���� � �� ���� �� %��'�& � �� ��������

�� ����!��� ��%���� �� ��� ������ ��� ��� " ���� ����'��%�� �� %���� ������ �E��

%�� 1�� ) �/�� ) 3��+ ��� 1�� ) +�6�6 ��� 0�� ) /���� ��� /�� ) ����6 ���

1�� ) 0�� ) �+63�� ���

+�

Page 40: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� <� �� �� � !�� ����� ���%��� ������� ��� %���� ������� �� �� :! ���

0�%������� �� ������ �� �������� �� ��� � %������% �� �� ��� ����%��� ���� �

�� ���� %��'�& � �������� �� ����!��� ��%���� �� ��� ���� � �� �� �� ����%�

%�� 1�� ) +6�6 ��� /�� ) �/�/ ��� 0�� ) 6��� ��� 1�� ) � ��� /�� ) 0�� ) ++��

��� 1�� ) �3/�� ��� /�� ) �+6�6 ��� 0�� ) ����3 ��� 1�� ) 0�� ) ���6 ���

/�� ) ��

��� 0� ���� �� � !�� ����� ���%��� ������ �� �� �� �� :! ��� 0�%�������

�� ������ �� �������� �� ��� � %������% �� �� ��� ����%��� ���� � �� ����

%��'�& � �������� �� ����!��� ��%���� �� ��� ���� � �� �� �� ����%� %��

1�� ) 7+�7 ��� /�� ) /�7� ��� 0�� ) ����3 ��� 1�� ) 0�� ) �7+�7 ��� /�� ) ��

1�� ) �+63� ��� /�� ) ��/+� ��� 0�� ) �6��7 ��� 1�� ) 0�� ) +63� ���

/�� ) ��

/�

Page 41: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

% &�� ��� ��������� �� �� �������������

�� 0� ���� �� � !�� ����� ���%��� ������ � �� �� ?���% ��������� ��

�� ��������� ����'��%�� ��+� * �� %��'�& � ����� ���� O �� %������% �� ���

�����%�� ?�� ��� �� ���������% ��� ��� %�� � ) ��+���

�� �� %������% �� ��� �����%� �� � �%� �� ?���% 1 � ���� �� ���� ��E

�����'�� �� +�� O � �� ��� ��� �7+ O� "� �� �� ��� �� ������� 1 � ���'� ��

�%� ��� �����%� �� �� ����� �� ��� �� ���������% ��� �� � ��� �������

������ �� ���� "� �� �%� ������ � ��!���: � ���'� ���� ������� ���

���� �� ��� �� �:��� �� �� ���1 ��� � ��� ������� 1 � ��� �� �����%��

%�� � ) ����� 0��� ) ���� ��� ' ) �����

+� �� �� ������ �� �������� �� ?���% �� %��%� �� �'���� 3 �! �� ���� ��� ���

���%���� �� �! � � �Æ? � ��%��� �� ��'���%� ��%���� � �7Æ?� ?�� ��� �� �:���

�� �� ������ � �� �%���� %����� ��� �%�� ?�� ��� �� �%���� ���� ��� �%�

�� � ���������% �� ��� 73 R� ���� � �� �% �� ����!��� ����%��� �������� ����

�'���� ��� �! �� ���� � �3 ����%�� �� �$�� %�� ����� ) 6� Q� ���+ �%���

/� <�� ���1 ��� %������ %��'�&� ��%�� �� � � %������% ��� �� /�� � +�� O� ��E

%������ ��� * ��� �����%� �� ��� ��� ?�� ��� �� ���������% �� �� ���1 ���

� �� %��'�& 1 � � ��� �������� ��� ��� 1 � ����� �� ��� %�� � ) ���3�/���� ) �3

*�

3� <�� ���1 ��� %������ �'��'� ��� * ��� �����%� � ��� 6� * �� ��� ��

��� ��� ?�� ��� �� ���������% �� �� ���1 ���� "� ����� � �� �� ��3 �� B ���

����� � �%����C %�� � ) ��/� � ) �� Q�

6� <� �� �� � !�� ������ � ��� ���� � �� ��� ��%��%� �� 3 ����� O�

�����'� � �� �� ?���% � ���������% �� ��3� "�'���� 1 � �� �� ���������

����'��%�� ������� � %��'�& �� �3+3 *� �� ��� �� %������% �� �� �� �� %��

�� ) ����6 O� �� ) /���� O�

7� ?�� ��� �� �������� �� ��%����� ������:� ��� �! � ��� � ������� ��%��%� ��

�����%� ����� ���Æ? ���%� ���Æ?� ���� �� �� ��%�� �� ��%�� �� ����� �� ���

/�

Page 42: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��%��%� �� ���� � ���������� ��� �! � �� �����%������%� �� � 3/� ���!� ��

��� ������: � ������� ��%��%� ��� �! � � ��� ���� ��� �����%������%� � � ��3

���!Æ?� %�� ���� ���!Æ?�

�� 0��� !���� �� �! � � ��Æ? �� �����%�� �� ���� � ���Æ? � ������� �%�� �����

��%��%�� " ������ 1 � �� ������� �����:� ��� �! � �� ��%��%� �� �! �� �

/�� *�!O� 1 � �� ��� ���� �� �� ��%�� �� ��%� ���� � 1 � �� ��� �� ���� ��� ����

� �Æ? �� ++3 *�!� �� ��� �� ��'� �� ��%����� ��� �! �� %�� ��6��� *�O�

�� <� !�� ����� ���%��� ����� �������'�����%� �� �� �� �� :! ��� 0�%������� ��

��'� �� ��%����� �� ��� ������ ��� �� � �� �� �� ����%� ?�� ��� %��'���� ��

���������% ��� ��� ?�������� ����'��%�� �� %���� ������ �E�� %�� � ) ���/��

;3�� ) �� ;3�� ) ��36 ���O� ;3�� ) ���36 ���O�

��� <� !�� ����� ���%��� ����� �� �� �� �� :! ��� 0�%������� �� ���������% ���

�� � �� �������� �� ��%����� �� ��� � �� �� ����� 1 � � ������

?���������� ��%���� �� %���� ������ �E�� %�� � ) ���3/ ;3�� ) ���+ ���O�

;3�� ) ��7� ���O� ;3�� ) ���36 ���O�

/�

Page 43: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� <� �� �� � !�� ����� ���%��� ������� ��� %���� ������� �� �� :! ��� 0�E

%������� �� ���������% ��� �� � �� �������� �� ��%����� �� ��� %���� �������

%�� � ) ������ ;3�� ) +�/6 ���O� ;3�� ) ��+� ���O� ;3�� ) �6��+ ���O�

;3�� ) ���� ���O�

��� 0� ���� �� � !�� ����� ���%��� ������ �� �� �� �� :! ��� 0�%�������

�� ���������% ��� �� � �� �������� �� ��%����� �� ��� ����� %�� � ) ���3/�

;3�� ) 6��+ ���O� ;3�� ) �/��6 ���O� ;3�� ) �6��+ ���O� ;3�� ) /��6 ���O�

/+

Page 44: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�' $�������� ����������� �� �������������

�� <� ������ �����%�� ������ �%���� � ���%�� �� ����� ����'��%�� ��� �������%�

F ��� ��� ��� ���%�� ��� 3/ � �� � !�� ����� ���%���� � � �%� �� �������

� �7+ O� "� � �����%�� ��� ���%����%� �� !�� �� �� ��1 ����� ���%� 1 � �� ���%��

������ �� !�� �� �� ������ � 7�3� �%�� ?�� ��� �� %��'�& �������� �'�� �� !��

�� �� ������� ��� %������% ��� :����� �� ��'� !���� � �� ��� � �����%��� �� !��

�� �� ��1 ������ %�� E�/6� ��� 6�/�3 O� +3++�/ O� �6�/� ���

�� <� !�� ����� ���%��� ����� �� �� �� �� :! ��� ���� �� ���� �E� �� ��%���

� �� /E3 ����'��%�� ?�� ��� ���� %��'�& � �������� �� ����!��� ��%���� � ��%�����

�� ��� ���� � �� �� �� ����%� ?�� ��� %��'���� �� ���������% ��� ���

0�%�2 �� ) ���� O� -� ) 6 �%�� -� ) / �%�� )� ) � �� )� ) ��3 �� )� ) / �� %��

�� �� �� 0 )/ ) �/�// ��� � ) ������

p

V

1

2

3 4

5

+� �� �� �� �� :! �� �� �� �������� �� @%% ����� �� ����� �� �� 1 � �� '���

�� �%� �� �' �%��� ��%���� �� !������� �� ����� �E� � +E/ �� ����'��%��

� � �� ������� �� ��� ����� )��)� �� �� ����� ������� �� �� ������ �� �� ��

�� �� :! �� �� ������� �� �������� �� �� � ������� �� ��� �� ��! ���%��

��%�2 )� ) ����+ �� -� ) ���/ �%�� -� ) +/�6 �%�� �� ) 3�Æ? � �� ������%�

�� �� ����'��%�� ��� !�� 1 � ������� �� �� �� + ) ��/� ?�� ��� %��'�&� ���

� �������� �� ����!��� ��%���� � ��%����� �� ��� ���� � �� �� �� ����%�

?�� ��� %��'���� �� ���������% ��� ��� %�� �� �� �� 0 ) / ) 3��// ���

� ) ��366�

//

Page 45: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

p

V

1

2

3

4

/� �� �� �� �� :! �� �� ������� �� 0����� ����� �� ����� �� �� 1 � �� '��� ��

��������% ��� �%� 0������ �� ����� �E� � +E/ �� ����'��%��� �� �������

�� �������� �� ��%� �� �� )��)� ) �6 � �� ��� �'��'�� �� �� ���� �E+ ��

�� /� ��� F������ �� �� 1 � )� ) ���� �� �� ) �����/ O � -� ) � �%�� �� !��

1 � � ����� �� ���%���� ?�� ��� %��'�&� ��� � �������� �� ����!��� ��%���� �

��%����� �� ��� ���� � �� �� �� ����%� ?�� ��� �� ���������% ��� ���

%�� �� �� �� 0 )/ ) �� ��� � ) ��6��

p

V

1

2 3

4

/3

Page 46: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� ������� �� ( ����

�� .��� �� ���%��� ��%��� �� �� :! ��� �� ������ �� �� ��1 ������ �� F� %���� �� ����

�� 6�� �! � � ����� �� � ����� %���������� �� ��� ��� �� ���%�� �� �� �������

�� G� %���� � ����� �� � ����� %���������� �� �3 �� � � ��� ��������'��� "�

�� ���%��� �� ����� �� ���%� �� �������� ��7� !���� ���%��� �� ���� ��1 �����

���� ���%���� �� ���%��� �� �1 ���'��� %�� ) +��� (�

�� ? ��� � � '����� �� � ���!� � �� �� ������ �� ��� �� B ��� ����� �� �������

%%�� � �� 1 � ��%���� ���%��� � � ���:�� ��%����C� 0������� ��� �! � �� ��� ���+

!���� %�� � ) �+�+��6 .��

+� ���%��� �� ������� ��'��� � � 8 �� �� ���� � �� �� ������ �� 76 �� �-

�� �� �! � � '- �� �� ��� �� ,� ) �+�6 !���-� %�� �- 7/36 .�� '- ���+�6 .��

/� F��%� �� �������� ����%��� ��73� ��%�� 8 ���� � %������ �� �� '1 ���� �� �� :! ��

� ����1 ���'�� �� � ��� �� ��� �� ��� ������%� �� <� 0�%������� �� ���� ��

� �� �� ������� �� F �� �� ��/� �!���� %�� � ) ��++/ ��

/6

Page 47: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

3� �� �������%�� F � G �%����� �! � � ��� �������� �����%���� �� ���� � ��/�

�!���� B? ��� ����� �� ��% �� �� �� ������%� �� ������� �� ��� �� ��%��� ��

�� :! ��C %�� � ) ���7 �

6� <�� ������ ���� 3/ �! �� ���� � �/ �! ��� ��%�� � ���!��� �� �! �� ?�� ��� ��

�� ��� � �� �������� ����%��� �� �� ������� %�� ) ) ���+ ��� � ) ����

7� <� ��������%�� %��'���� ������ ��!����%�� �� � 8%��� ���%��� �� ��� Q 1 �

�� � ���!� �� �� ��'�%� ����� ��� ���1 �� �� �������� �� ����� ��%�������� ��

��������%� ���� ���� ! � � ��%��� � ����� �� � ����%�! �������� �� ���� �

�� ������%�� B? ��� �� �� �� ������ ��%�� ��� ��!�% ��� �� ����!���� ��� ����%�!

/7

Page 48: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� 8%� �� ���%� �� �������� ����%��� ��7�� � �� ���� �� �������� ����%���

�����C %�� � ) ���� ��

�� <�� '�� � �� %���� � ���� �� 3 � � � ���� �� �� ��� !� �� '�� %���� � ��:�

����� % �� � ���%� � ����� � %������ ��� �� � ��� ��%�� ���� � �����!�� ��

���� B? ���%� !���� �� ��� � ���� ��%�� ���� �� �� '�� ��%�� �� 1 � ��

� ��� �� �� �! �C %�� � ) /�+�6 !�

�� �� ���� �� � '�1 � �� ��%�� �� �� ��3 �! � � �������� �� ��� �!��� � ��%�� � �E

������ �� �� ����� 0�%��������� �� %������ �� �� ���� ��� �� '�1 � �� ��E

��%�� �� �� ���� � ��� ��%�� ����%����%� � ���!�� �� �! �� %�� �� ) /���

(� �� ) /�+� (�

��� ? ��� � ��'��! 8%� �� �� ���� B1 �� ����� �� � �� ��� ��%���� � ���!���C�

�� ���� �� ��!�� !����� �� �� �! � � �� � � �������� ��� !��� � �� ��������

��� �! � �� ��� �� ���+ !���� %�� �7�/ R � ���!���

��� <�� ����� �� � � � ,���+ !���- �� ������ 1 � %���� � � � �� � ��%��

�� ����� ���� +���3 ! �� ���� � +6��� ! �� �! �� B? ��� �� �� �� ��� ��� � �

1 � %���� �� �����C BD �� ����� ��� �� ��� �� �� ����� �� ��� ,��63 !���-

�� � ���!���� ��� �� ��� 8%�� �� � �������%� 1 � �%���� ��� �� ,�+�6

!���-C ' "�2 ���3 ��� ���3 R � ���!���

��� <�� ���� �� ���� ,���� !���- 8%� �� � ��! �� �! � � �� BD �� �� ��� ������

�� �� %���� �� ���� ���� ��� ���� �� ���%�� � � ��'�� �� �� �! ��� 1 � ��

�&� �� ����C� %�� � ���

�+� �� �� ���%��� �� ������%� �� <� �� ������� �� F �� �� ��� '��� 0�%������� ��

������� �� G� %�� ��7/ '���

/�

Page 49: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�/� �� �� ���%��� �� �� :! ��� ��� ���������� ����%���� �� ��� ���1 �� �� �� ) �+�6�

�� ) ��6 � �� ) �� ��%��� �� % ' �� < �'���% � �� �%��� ��� � ��%�� � �

% ' �������%�� 1 � �%���� �� ���1 �� �� �������� ��� 0�%�������2 �- �� ��% ��

� � �� 1 � ��������� �� ���1 �� �� �� % '� '- �� �'�� �� ��%��� ����� ��� % '

�������%�� �� �� � ���%�� �� ��� � �� ���� � 1 � �&��� �� ���� �� ����

( �'�� �� ���1 ��� ��%��������� �� � ��� ��% �� � �� 1 � ��������� �� ���1 ��� %��

�- � ) ��766 �� '- � ) ����� ��

�3� <�� ��%�% � �� � ����� �� �3 �! �� ��%�� �����%��� �� � '�� � ���� BD �� %��E

���� ���%���� �� �'�� �- ��� �� ��%�% � ��%�� ����%����%� � ���!��� � '-

��� ���� ��� �! �C %�� �- � ) �+��3 (� '- � ) �/7��3 (

�6� �� � ���� ���� ��� ���������� ��� ���� � ��� ���� �� �����%������%� ���� �!��� �

���� �!��� BD �� �� ��� �� ���� �� ������� ���� ������ ��� � �� � � ��=� ��

/�

Page 50: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

+� �!C B"� !��� � � �� ����������� �� ���� �� �����!��� �� �������� ��

������������%� �� ��%�� 1 � �� ��� ����C %�� �7 ��� �3 ���

�7� "� ������ �� �� � %��%����� �� � ���!%� �� � ,���+ !���-� %�� ��� ����� �

���%� ,���3 !���-� 1 � ���� �7�� ( ��!� � ���� �� ��������%� ��� 1 � ��!��

? ��� �� ���!%� �� � ���!� �� ����% �� � '�=� �� �! � ���%������ �� ��E

������%� ���� �6�� (� A������� �� �������� ��� ���!%� � �� ����� �� � 1 �

%����� %�� �3�6/ !���� 7��� R �� ��� �� ��

��� B? ���%�� ���%�� �� ���!E��! ��� 1 � ��%�� �� �� ��%���� �� � '�� 1 � ����

���� �! ���� ��8%���� �� ��� �� %���� � ������%� �� / � � ���� + !C %��

6333� ���%���

��� <� ������% �� �! � �� ����� ������%� �� �� ��%� ��%��! ��� ���%���� ��

��� �� � ) + �� �� ������% �� ����� �� �! � ���%� �� ��% �� �� � ) � �� A�������

�� ���� 1 � � �� ��� ����� � ����� �� ��%� � �� ��%� �� ��������� L�������%�� ��

�� �� ��%� ��%�� ������ �� ������% ������%� �� ������� �� ����� ��� �� ����'� �

%�� �� �� ��� ��%���������� ��� �����%���� ����� 1 � � ��� ��'�� ����� ����

%�� ) 3���� (� �� ) ��67 �� ����� � ) ��6�� (� �� �!� ) +���� (�

��� B?� 1 �� ���� � �� 1 �� � !�� ��� 1 � ��%���� �� ����� ��%��! ��� �� � ������%

�� ���� ��3 � �� ���� ��7 � �� ���!� ��%�� �������� 6�Æ �����% � �� ���%��� � �

����%� ���� ��%� ��%�� � �� �� ������ �� ��3 � '�& �� ����� �� �� � ���:��C %��

) +�/�� (� �� ) ��7� ��

��� BD �� ���� �����%�� ��'��� 1 � ������ �� F ,'��� �� �� �� ��%�- � �� 1 �� ���E

%�� ���� 1 � �� �� ��%� ��%��! ��� @F� �� � � �� ���� ��������� ��

�1 ���'��C %�� ��" ) ��736� (� ��� ) ���/ �� ��� ) 7�/�� (� ��� ) 3��7 ��

� ) �/+//�/ ( ���� �� ��1 ������

3�

Page 51: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� �� ����� �� �� ��� �� �� :! �� �� + � �� ������%� ,4 ) ���/-� !��� �������� ���

�&� �����%�� 1 � ���� �� � ��%�� 0�%��������� �� ������ ���� �� �� ���� �

���� ���%������ ������� %�� ) �/�7/��3 (� �� ) +�66 �� � ) �3�� �( ����

�� ��1 ������

�+� 0�%���������� ��� ����� �'�� ��� �� '���!��� ,� ��+3 � �����%������%� �� ��

���%� � ����� � �� ���� �� �� � ��%�- � �� ����'� �� �� � ��%� ���%��� �� �� :! ���

� ����� �� �� ��� &� ��� �! � �'�� �� �� ��� ����� %�� ) ��7/�6�/ (�

�� ) /�/+ �� � ) +3��3 �(� ) 6���6 �(� � ) ���7� �(�

3�

Page 52: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�/� <�� �� ��� ������� �� � ������% ���� �� �� �� ��%� ��%��! ���� �������� +�Æ

�����% � �� ���%���� ������� � � �� ��� �� � � �� ���!� ?�� ��� �� ����

�'�� �� ����� � �� ������ ��� ��%� �� ��������� %�� ) �/�3�3 (� ��� ) ��67

��

3�

Page 53: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� "������� � ���)����

�� ?�� ��� �� ���� �������� ���� ���� ��� �! � ,& ) 7� �������- � ����'�� ��

3 � �� ��!�% � � ��� ! �� ����� %�� ���6� ���� (�

�� �� ���%� �� ���� %���� �� %������ � ���:��� �� +� �������� <�� !%� �� ���%�

%���� � ������%� �� / ��� ?�� ��� �� �� ������ �� ������� ��%�� �� ��%���� � ��

��%���� �� �� !%� �� �� �� ��%�� ���%��� � �� ������� �%�� ����� ������ ?�� ���

�� ���� %%�� �'�� �� � ���:�� �� �� !%� ��'��� � �� %������ � ���:���� %�� +�

.�� ��6�� ���� (�

+� �� % ' �� ����� �� '�����%� �� ��� �� ,& ) 3/7 ������� � ���! � �� �%�%

��� ��E����� �� ��3Æ- %���� � ������%� �� + ��� BD �� ���� ��%�� � �� ���

������� �� %������ � ���:���C %�� E/��� �'���

/� �� �� !%� �� ����� �� �! � ,& ) 73 �������- �� � �� �� ������%�� ��%�������

�� �� ������ �� ������� ��%�� �� ��%���� � �� ��%���� �� �� !%� �� �� �� ��%��

���%��� � �� ������� �%�� ����� ������ ?�� ��� �� ���� %%�� �'�� �� � ���:��

�� �� !%� ��'��� � �� %������ � ���:���� %�� �3� .�� ����� ���� (�

3� ?�� ��� �� ������� �� �� ��%���� �� �� !%� �� �� ��� ,& ) 7+�� �������- �� ��3

�� �� ������%�� #! �� ��� �� �� ���� �� �� !%� �� �� ���� �� ,%���� �� ��� !%��

�� �! � �� �� ���'��-� %�� �'���������� �� ��7 � �/76� .��

6� B�� 1 �� ������� ��� �� ��%�� �� ����� �� �� % '� �������� ���� 1 � ��%�� ���

����� ���1 ��� �� %������ � ���:��� +�+ � ��63 ������� � ���������� ��6 � ���

!��� ������ �� ���� �� ����� ��% ��C %�� +�

7� �� �� '������ �1 ���'���� ����� �� � �� �� ���%���� � ����� �����%�� �� �

� �� ������%�� "� �� ��'�& ��� ����� � ��� � � ���1 �� �� %�� ��� 1 �

�� ����� 1 ��� %��� �� � ���:��� .��� �����%��� ��� 1 � �'����!�� �� %�

���%��� � ����7 !� ?�� ��� �� %������ � ���:��� ��� ���1 ��� %�� 7��+ �������

�� <� ������ �� �� ���� � �� ������%� �� � &�%� ���%������%� ���%� �� � ��� ��

�! � ,& ) 7+�� �������-� �� �! � �&� �� ������ �� ��� 1 � �� ���! � �� �%�%

3+

Page 54: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� ��� ?�� ��� �� ��!��% � � �� ���%�� �� �� ���� ��%� 1 � ��'�� � �� %������

� ���:��� �%� � �'�� �� ������� %�� ���/� ���� (�

�� �� '��� �� �� ��%� �� � ����% %���� �� ��� ������������%� �� ����� � �

���� �� �� ��� � ���� �� �� ���� �� ����+� ! ��� ����% �� ��%���� �� �! ��

�'�� ��� 6 ��%�� ��� ����� ?�� ��� �� ���! � 1 � ��� �� ���� ��'��� � ��

%������ � ���:��� � �� ���%��� ,�� �� ��� �� ��� ���! � ��� ���� 1 � ��

�� ����% � ������ ��%������-� & ) 7� �������� %�� 37�� !�����

F F

��� G�������� �� �� ��'���� ��%����� B� �� �� �� ���� ������� �� � ����% ,6

��%��- ���� 1 � � ��� ��%������ �� �! � �� �� ���� �� ��� ��%� �� �� ���� ����

�C %�� 3�3 �!�

��� �� ����� �� �� &�'�� �� �� :! �� %���� �� %������ � ���:��� �� �3 ������� �

%���� �� ��� �� �� +� �� "� �� ���� ��� ����'�� ��������%� �� �� ��3 !� �� ���

�� ���� 1 � ��'��� �&���� ���� �'�& ���� ���%���� �� ����'�� �� �1 ���'���

%�� ��+� ���� (�

F

3/

Page 55: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� *�������� �� ( ����

�� 0�� � ���� �'���% �� ����� %���������� ������ ��� �� ���� 3 �� ��%����E

���2 ����� ������ ���� ��� � ���:���� �������%� �&��� ���� ������ �� � %����%�

������ ��� %�� � ) �� �� # ) +��+ ��� � ) �3�7 �� � ) ��3 �� % ) +�� ��

�� #! �� 1 � �� ��'���� � ���� �� �� �� � ���� �'���% �� ����� %����������

��%��! ��� �� ��% �� + � � ��� �� 3 �� %�� � ) 3 �� # ) �3 ��� � ) �� ��

� ) ��+6 �� % ) + ��

+� #! �� 1 � �� ��'���� � ���� �� �� �� � ���� �'���% �� ����� %����������

%����! ��� �� �� ������ + ��%�� � ������� � ���! � �� 6�Æ �����% � ��

�����%��� %�� � ) +�/6 �� # ) 3��� ��� � ) 6��� �� � ) ��73 �� % ) ��3 ��

/� #! �� 1 � �� ��'����� ��%������ ���� �� �� �� � ���� �'���% �� �����

%���������� %��������� �� '��� 6 �� ��% �� + � � � � ���! � �� ���������

�����% �� �� �����%�� �� 6�� %�� � ) ��/6 �� # ) �+��� ��� � ) ����� ��

� ) ��7� �� % ) ��/3 ��

3� F %������ �� �� % '����� �� �3 � �� ������%� 8 �� ���%� �� �������� ����%��� ��73�

� �� ������� �� ���3 �!���� "� �� ����!��� %%�� �����% �� � ���� �� �� ������

��% �� � ��/� ��%�� �� ��'�& ��� �&� �� �� % '����� �� �� 3�7���� .�� ��%�������

�� � ��� �� ���%� 1 � �� �� �� �� % '������ %�� 6���7 ����

6� <�� % �'��� ��%��� � �� % '����� �� +� � �� ������%� ��� � 6�� � ���

�� ������� ��� �! � 1 � �� �� � %������ �� �� ����� �� �� ��+ ���� " ������ 1 �

�� ���������% �� �� % �'��� ��� ��� �7 R� ��%������� �� ��% �� �� ����!��� ��%������

�� �� % �'���� %�� +�7�� ��

7� F %������ �� �� % '����� �� �3 � �� ������%� 8 �� �! � � �� ������� �� /���

�!���� " ������ 1 � � ����%�� ��������� �� ����!���� B1 �� � ��� �� ����� ��

�� % '����� �� �� �� ��� ��� �� ������%� � 7�3 � �� ������� �� �� ��/� �!����

%�� ��6�� ����

33

Page 56: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� F %������ �� �� % '����� ���%��� �� +� � �� ������%� 8 ��� ���� ����'� ��� ���

�� �! �� �� � � �% F �� ������� �� �� ���� �!���� �� � � �% G � /�6� � ����

����'� �� F� �� ������%� �� �� % '����� �� �� 6� �� "� �� �������� �� ��!� ��%�� F �

G �� �� ���� �� ��%������� �� ������� �� �� � �% G� %�� �6��6 ��

�� <�� % '����� �� +� � �� ������%� %������%� ���%� �� �������� ����%��� ����� � ��

������� �� �/ ���� �� �� � �%� �� �� ����� ,F � G-� ��� ������� �� ������� �

�������� ��� �����%������%� +�7� � ���6 �!���� � +� � ++ ��%��� 0�%�������

�� �������� �� ��!� ��%�� F � G� %�� /�/ ��

��� <� �������%� � �����%�� �! � � %������ �� �� % '����� �����%�� �� �3 � ��

������%�� +�� � �� ��!�% � � 1 � ����! � � �� �%��� ��� � � ��� �� 6�3 ���

B? ��� ����� �� ������� �� �� ��%�� �� �� % '����� �� � ����� 1 � �� � ��� ��������

�� ��!� �� �� 6��� � ��� ��� ��%�� �� % '�����C %�� ��+ ��

��� <� ������% ����� �� !������ ���������� ��%�� ���������%� ���� �� �! � � ��

����� � ����� � ���� � �������� <�� ���! ��� �� 3 � �� ������%�� ��%���

�� ������%� ����! � �'�� �� ��%�� �� � ���:�� �3 � �� ����� �� �� � ���:��

��'�� ��� �! � �� �� ������%� ��� ��������� �� ��!� �� �� 3�3 � BD �� ������� ��

���� ��'� ���%������ �� �� ������% ���� ����! �� �'�� �� ��%�� � � ��� �� ��

���C %�� ���/ ��

��� <�� '�'� ������ �! � �� � �� ������%� �� % '����� ���%��� �� �3 � ��

������%�� �� '�'� ����! � � %������ �� �� % '����� �����%�� �� �� � ��

������%�� ��% ��� � +��� � �'�� �� ����� �� �! � �� �� ��� ? ��� �� '�'��� +3

���� ��� ��% ��� �� �� ������%�� ��% ��� � �� ��%���� � � �� ������ �� �� '�'�

�� �����%������%� ���+� � ���� �!���� �� ������%� �� �����!� ��%�� ��% ��

� � �� ����� ��� ������%� �� � ���� ?�� ��� �� �%���� � %�� �� �� '�'� �

�� �������� �� ��!� �� �� % '����� �� � ��� �� �3 �� %�� ���7 �� ��� ��

�+� <� ���%� �� �������� ����%��� ��73� �� '�'�� ����� � ������% �� ����� �� ��

���� � %������ �� �� % '����� �� 6� � �� ������%�� ���%������ �� ������� ��

�� � �% ���� ������ �� �� % '����� �� ���� �!���� �� ���%� � ����� �� �� % '�����

36

Page 57: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��%�� � 73 � �'�� �� � ���:�� �� �! � �� �� ������% � �� � ��� �� ���%� '�'���

�� �� 6�� ���� "� �� �������� �� ��!� ����� �� ������% ���%� �� ��� �� �� /�7 ��

B1 �� �%���� ��'� � �����%��� �� '�'� �� ���%�C %�� 6�7�6 ��

�/� "� '�'�� �! � ����� � �������%� F� ��% �� � ��3 �� ���%� %� ������% � �

�� �������� �� �/� �� � %������ �� �� % '����� �� +� � �� ������%�� "� �� �

� �% 0 �� �� % '����� ,��%���� � �� '�'�-� � ��3 � �� ��% �� �� ������� �� �� 3�6

�!���� ��%������� �� � ��� 1 � �� �� � �� �%���� � �����%���� �� �� '�'��

?��������2 �������� �� ��!� ����� F ���%� �� ��%���� �� �� '�'� �� ��6� ��

�������� �� ��!� ����� �� ������ �� �� '�'� ���%� �� � �% 0 +������ � ����� 0

���%� �� ������% � /������� %�� �66�� ���� �+�/ ��

�3� 0���� � ������% ��� 1 � %�������� � � ��� �� �! � �� �� ��� ������%� �

�� ��� �� ��%��� �� ���� ����! � �� �� �� �� �� ��%�� � /�� � �� ��'�& �� ��

� ���:�� �� �! � �� �� ������%� "� �� ���%� ���� ������� ��� �� �� ��%�� � ��3 ��%��

�� �� � ���:�� ��� �! � �� �� ������% � ��� ��������� �� ��!� ��2 ��3����� ����� ��

������% ���%� �� ���%� ���� ������� ��� �� �� � �������� ����� ���%� ���%� �� ����! ��

��%������� �� ������%� ������� �� �� % '����� � �� ������� �� �� ���%� ���� �������

��� �� ��� %�� % ) ��6 �� 5 ) �/�3 ��

�6� �� �� ���%��� �� �� :! ��� �� '�'� G? ��'� ��� �� � � ��� �� �6� ��� ��

���%� �� �������� ����%��� ��76� ���� �� �������%� 0� " ������ 1 � �� ��������

�� ��!� ��%�� F � G �� �� ��3� � � ����� ? � 0 �� 6�3� �� ��%������� �� �%����

1 � �� '�'� ��'� � �����%��� � �� �����%�� %�� �6 ��

A

B C

D

50

m

Bomba

�7� <� ���%� �� �������� ����%��� ��76� ��%�� 8 ���� ����� �� ������% F �� � ��% ���

� �� �� ������ �� %� �� �� �� � �� � ��%�� �� �� :! ��� ��� ���%��%�� ���������

37

Page 58: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� ��!� ������ ����� � ��! �2

����� F � G2 ��6�������

����� ? � 02 ��/��������

����� G � ?2 ���������

����� 0 � �2 ����������

?�� ���2 �- �� � ��� 1 � �� ��� '- �� ������� �'�� %� � ������%��� �� ? �� ��

�� ��%�� � �� %� �� 3 � �� ����� ��� ������% �� %�� 0 ) �����7 �����

������� ������%��� �+�67 �� ������� �'�� %� ����3���3 .��

A B

C

20

m

D

E

D =30 cm1D =15 cm2

��� <� ��E�� ���� �� �������� ����%��� ���67 �� '�'�� �� ������% ?� � �� %�

�� 6� �� �� �� :! �� � %������ �� ���� � �� �� % '����� �� /� � �� ������%�� "� ��

�������� �� ��!� �������� �� �� �6�� � � �� ������� �� F �� �� ���/ �!��� ���

�� � ��� �� �� ��7 ���� �- B1 �� �%���� ��'� � �����%��� �� '�'� � �� �����%�

�� ��E��C� '- B1 �� ������� ��'� ���%������ �� GC %�� � ) �7��� �� 5 ) 76��

��

A B

C

60

m

Bomba

��� ��� ��������� �� ��� ������� �� ��% �� %%�� � �������%��� �� �� � �% H �� ��

:! ��� � ������%�� �� �� � +� �� �� �����%������%�� �+�� � ���/ �� ?�� ���2

3�

Page 59: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�- �� �%���� ��%������ �� �� % �'��� HA� �� �� ��% �� %%�� �� A �� �� ��� �� '- ���

��% ��� �� ������� �� � � L �� �� �������� �� �� 6�� ��

.������� �������� LEH2 ��� �

.������� �����������% �EL2 3�/ �

.������� �������� 0E�2 /�� �

.������� ����� �� ?E02 +�� �

.������� �������� GE?2 /�� �

.������� ������ ������% ,FEG-2 /�� �

%�� 0 ) ���/+ ����� �� ) +��� �� 5� ) ���� �� 5� ) ��� ��

A BC

DE

F G

H

turbina

��� <�� '�'� ��% ��� � �� %� !������� �� + � � ��� ��� ��� �� �! � � %������ ��

� ���%��� �� % '������ ���%� � ������% ������ �� � ���:�� ��%�� � �� %�

�� 6�� �� �� ��% �� �� ������� �� �� % '����� �� � ��� �� �� '�'�� �� +� � ��

������%�� �� �� ���� � � �� �� �� �����!� ,��� �����-� �� �3 � �� ������%�� ��

3� �� �� % '����� �� �3 � %���� +� � �� ��!�% � � � �� � �����������% '� �

���%� +� � �� ������%� � ���%��������� ���%� � ���%� �� ��!�% � �� ��� � ���%�

�� ������%� 0�%������� �� ������� �'�� �� � ���:�� ��� �! � �� �� ������%�

.������� �������� ," ) �3 �-2 /+�� �

.������� �����������%2 ��6 �

.������� �������� ," ) +� �-2 3�/ �

%�� 5� ) �� ��

3�

Page 60: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

A B

C

D

Bomba3 m

6 m

��� "� 1 ���� ��� ���� � � ��� �� �! � �� ��� ��� � � ������% ��% �� � �� ��% ��

�� �73 � ������%� �� '�'� ������ ��� ��%��� � �� % '����� �� �3 � ��

������%�� 0�%������� �� ������� ������� 1 � ��'� �� � �����%��� �� '�'� �� ��

�������� �� ��!� �� �� �� "� �� ����� �� ������� �� �� ������% �� ��/ �!����

B1 �� ������� ��'� � �����%��� �� '�'�C %�� ��3 �� ��� ��

6�

Page 61: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� *���������� �� �������� � ����� ��� �� ���� ���

��������

�� "� ����� ��%� �� � ������% 1 � � �����%�� � � ��� �� �! � �� +� ��� � ��

��'���� �� % '����� %���� �� ��!�% � �� +3� �� � ������%� �� �� � � � � E

!����� �� ����3 �� B� 1 �� ��% �� �'�� �� ��'��� ��'� ��% ���� �� ������%C %��

����3 ��

�� <�� '�'� ��� ��� �! � � � ������% ��% �� � �� � �� ��% �� �� ����� �� ��

����� � %������ �� �� % '����� �� � !����� ����3 �� ������%� 3 � � ��!�% �

��� �� �� � ������%� ��% �� � �� ������ �� �� '�'� �� ��% �� �� �� �3 ��

B? ��� �� �� � ��� ��� ����C %�� ��7+ ����

+� <�� '�'� �� �%���� �� � � ���������% ��� 3� R� ��� ��� � � ��� �� �! �

�� / ��� � � ���! �� �� % '����� �����%�� �� � !����� ����3 � � ��!�% �

�3�� �� "� �� :��� �� �� % '����� ��'��� %���� �� ������� �� ������ �� �� ���

B1 �� ������%� �� % '����� ��'��� %������C %�� 6�� ��

/� "� ����� %�������� � � ��� �� �! � �� �� ��� ��%�� �� ������%� ��% ��� � �

�������� �� �3 �� �� % '����� %���� �� ��!�% � �� +�� � � �� �� ����� !���������

,' ) ����3 �- BD �� ������%� ��'��� ���� �� �� �� ���C %�� ��+ ��

3� 9���%�� �� ��'���� ��%���� �� �� �������� ��%�� �� ������%� �� �� /� �� %�� ���

��

6� "� %������� �! � ����� � ������% � �� ��'���� ��%��� �� ������ ��% �� �

�� ��% �� �� �� � �'�� �� ��! ���� �� % '����� %������� �� �� ����� !���������

,' ) ����3 �-� %���� �� ��!�% � �� �3� � � � ������%� �� 3 � B? ��� ����� ��

� ��� %��������C %�� ��+� ����

7� 9���%�� �� ��'���� ��%���� �� �� �� ������ �� ��% ��� �� �� /3 �� %�� +��+ ����

�� ���%��� �� ��% �� ��� ������% F �� �� :! �� ���� 1 � �� ��% �� %%�� �� �� � �%

J ��� �� ��� �� � �� � ��� %�������� �� ��� ����� 0�%�2 ?�#�O �� �� �� ��Æ

� � �� � � �� /3� � � � ��%��%�� �� �������� �� ������ ������ ����� �� ��

6�

Page 62: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��! ���%� ��������� . ) 67�6� �����#��� ���� � �� �� ���! � ��� � �� !�����

.%���� �� �� '�'� 6� �� %�� �� ) 7��+6 ��

A

BC

D

Bomba

E

F

G

H

I

J

K LM

k=3

k=3.5

Desde F:

diam. 45 cm

rug. 0.024 cm

long. 200 m

Diam. 40 cm

rug. 0.015 cm

long. 30 m

Diam. 60 cm

rug. 0.18 cm

long. 15 m

�� �� �� ���%� ��%� �� � %����� � �������%� �� ��� %����� � ������%� �� ��

���%� ���� '�&�� � �� ���%���� � ) /3�� � ��� ������%� �� '�'� ��� ��� �

� ��� �� �! � �� �� ���� �� % '����� 1 � �� �� �� �� :'�����% ,' ) ����3 �-�

�� +� � �� ������%� � %���� �� �������%� ��� ��67 R� ?��� ���� �� �������� �� ��!�

�������� � �� ��% �� �� ������� � �����%���� �� �� '�'�� %�� 5�,�- ) ����� � �

5 ) �3��+ ��

��� �� �� :! �� �� � ��%�� �� �� ��� �� �! � � % '������ �� :'�����%

,' ) ����3 �- �� ���%��%� ������%��� ?�� ���2 �- �� � ��� %�������� ��%�� ��

������%�� '- �� ������%� �� �� � ��� % '����� ��� ���� ��%����� 1 � ����� ��E

'� ������%� ��� &��� �� ����� �������� �� ��!� %��������� �� ���� � ����

%�� 0 ) ���6/ ����� % ) �+�+ ��

59 m

90 m

L=800 m

D=250 mm

L=1000 m

D=200 mm

L=1200 m

D=300 mm

6�

Page 63: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� <�� '�'� ������ ��� �� 73 R �� ���������% ��� ��� � � ��� �� �! � �� �7�3

��� ������%� �� % '����� �� ����� !��������� �� 3�� � �� ��!�% � � ���3 �

�� ������%� � � ������% ,������ �'�����- ��% �� � �� ��% �� �� 6��/ �

0�%������� �� ��% �� �� ������� 1 � �� '�'� ��'� � �����%��� �� �! �� �� �%����

� %�� ,� �����%����- �� �� '�'� � �� �%���� �� ���� �� �� ��� ����%���� %��

5 ) 7��3 �� �$��� ) �6�7 �� ����% ) ����7 ��

��� 0� % '������ �� ��� ������ %�������� �� !������� � � ��� �� �! � ��%��

�� ������%� ,������ � ��� �� �����- ��% ��� � �� �� ������ �� ��% �� �� 6�7

�� "� �� ������� % '����� %���� �� ��!�% � �� /3� � � +� � �� ������%� � ��

��! ��� �� ��!�% � �� +/� � � +3 � �� ������%�� ��%��������� �� � ��� �� �! �

%��������� %�� 0 ) �/��3 ����

�+� <�� '�'� �� �3 � � 73 R �� ���������% ��'� �'��%��� � � ��� �� 6 ������ ��

�! � � � �������%� � ����� �� �� ��%�� �5 ��%�� �� ����� �� �� ������ ��

�� '�'�� �� % '����� �� �� ��� �� �� ����� ���� � ��� �%����� ,' ) ��76

��- �� ��� � �� ��!�% � � ���3/ � �� ������%�� #����%��� �� �� % '����� ��� �

�� �� /3Æ� � � �� ��Æ � �� ����� �� ,. ) �-� 0�%��������� �� ��% �� ��� �! �

�� �� ������%� %�� 5 ) ����7 ��

�/� "� �� '�'� � �� �� :! �� %����:��� �� 8 �� �3 � ��� �� � ��� �� �! � 1 �

�� �� �� �� �3 ���� B� 1 �� ����� ���!���� �� �! � �� �� ������% HC� %�� �� ) /3��

��

35 m

L=24 m

D=40 cm

rug. 0.015 cm

L=75 m

D=25 cm

rug. 0.18 cm

A

E

G

Bomba

k=3

Codo de 90º

Codo de 45º

6+

Page 64: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�3� 0�� � ���� ������ ��� �� ���� 3 �� �� ��� �� � ��� 1 � �� �� � �� ��������

�� ��!� �������� 1 � �� ��� � �� 3�� � �� ����� �� �� ���� �� �� ����%

,2 ) ����/- � ��%�� ��% �� �� � %����� � �������%� �� ������� %�� 0 ) �����

����� 5�,�- ) ����� ��

�6� "��� �! � �� �� % '����� �'���%� � �� �%��� ��� �� ��!�% � +�� �� � !�����

����3 � � +� � �� ������%�� ��%��� � � ������% ��% �� � �3 � �� ��% ���

�� �� % '����� ��� �� ����� �� � �:���%� �� �������� �� ��!� �� . ) ��� "�

�� ������ ������%E% '����� �� � ��� �� ����� ,. ) ��3-� ��%������� �� � ��� ��

�! � 1 � �� �� �� �� % '������ %�� 0 ) ���3� �����

�7� 0� % '������ �� ������� %�������� � ��%������� � ��� �� �! � ��%�� �� ������%��

"� �� � ��� 1 � �� �� �� �� % '����� � �� �� �/� ���� ��%�������2 �- �� � ��� %%��

%�������� � �� �� ������ �� ��% �� ��%�� �� ������%�� '- "� �� � �%�% �� �� ��E

����� �� �� � ��� % '������ B1 �� ������%� ��'� %���� ���� %�������� �� ����

� ���C 0�%�2 �� ) �� ) �3� �� %� ) �� �� %� ) +� �� ' ) ������3 �� %��

0& ) ��3/7 ����� � ) ���� �� % ) ++�6 ��

��� �� '�'� � ���!��� �� �� :! �� �� +�3 � �� �%���� %����� � ��� 73 R ��

���������% ��� ��� � � ��� �� �! � �� � ��� � � ��� � �� ���!� �� '�E

'� �� �� ��%�� � � � �� ��'�& ��� �'���� �� ���! � ��%�� ��%��� �� ����

������%� �� % '����� �� ��� �� �� ������%�� F �� � ��� � �� ��Æ �� ��%�

�� % '����� �� 7� �� �� ������%� � �3 � �� ��!�% �� "� %��� ��� % '������ ��

�� ����� !��������� ,' ) ����3 �- � �� �� �'���� �� ���! ��� � :�%� �� �����

,. ) +�-� � :�%� �� ����� ,. ) �3-� � ����%� �� ��%������%�� ,. ) �3- � ��

����� �� �� '�� ������ � /3Æ ,. ) +���-� ��%������� �� ������� � �� ��%���� ���

��� � �� ���!� %�� 5 ) ���/ ���

6/

Page 65: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

20 m

25 m2m

Cabezal

Bomba

D= 100 mm D=70 mm

��� 0� ������%� ��%��� ��%��� ��!� � �� :! �� � ��%�� ���� �� %������� � � ���

�� ��� ���� ��%�������2 �- �� �� ������ �� ��% �� ��%�� �� ������%� � '- �� ������%�

�� �� % '����� ��� ���� ��%����� ,' ) ����� �- �1 ������%� � �� ������� ��

�������� 0�%�2 �� ) �3�� �� %� ) +3 �� �� ) �� ) ���� �� %� ) �3 � �

%� ) �� �� %�� � ) 3��3 �� % ) +� ��

L1, D1L2, D2

L3, D3

��� "� %����:���� ��� ��� �� �! � ��� ������% F �� 0 �� �� :! �� ������%� �� '�'� ��

6� � � 7� R �� ���������%� I��� �� % '������ �� �� ������ ���� �� ,' ) ����/

�-� �� ��%�� �������� B� 1 �� �������� ,��- � ��� ��% ���� �� ������% 0C "�

���%������ �� ���� � ��� � �� ����� '�'� 1 ����� ������ �� �! � ���%� ��

��% �� ,�� > ��3- �� ��'��� ��� �� % '����� �� �! �� ��!�% � � �! �� ��%�����

�� ������� � �� �� +� � �� ������%�� 0�%������� �� ������%� �� ���� % '������

%�� �� ) ���+3 �� % ) +��� ��

63

Page 66: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

A

B C

D

Bomba

L=6 m

D=45 cm

L=120 m

D=30 cm

��� <�� ���%������ �� ���! �� !%� �� ���� �� �� ��! ���%�� ������%�2 ��

'�'� � ���!��� ,%�� ���%���- 1 � ��� ��� �! � ����� � �� �� ������ �� ��

��� �� �� ���� �� �� ��%�� � �7 � �� ��'�& �� �� %� ��� �'����� <� :�%�

�� ����� � �� �� ������ �� ���� �� �������� ������ �� �� �� ������ �� �������

��%�� � � ��%���� ,���!�� �� '% �����- � ��'��� �� � ��� �� ����� �� ��

��%����� �� '�� ���������� ,. ) 7�-� %�� ������%��� � ���%���� ���

����� ��� ��! ������ �� �������� �% ,S.� ) ��-� I�� ��% ��� �� �� % '�����

�� ���������E��� ����� �� ����� !��������� ,' ) ����3 �-� /3 � �� ��!�% � �

�+� �� �� ������%� ��%����� �� ��� ������� ���� ��� ����'���� �� � ��� 1 �

�� �� �� �� % '����� �� �� �� ��� � �� ������� � �� ������ ��� �'���� �� �� �/�+

��� ?�� ��� �� �������� �� ��!� %%�� ���� � �� ������� 1 � ��'� � �����%��� ��

'�'�� %�� 5�,� - ) �/�7 �� 5 ) 66�� ��

��� <� ������% ��%�� ��% �� � �3 � �� ��% �� �'�� � ��'����� 0� % '������ ��%����

�� ������� �� �3�� � �� ��!�% � � �� � �� ������%� ��� �� %�������� �! �

����� �� ������% �� ��'����� ?�� ���2 �- �� � ��� %%�� %��������� '- �� ������%�

�1 ������%� � �� ������� �� �� % '����� �� �! �� ��!�% � � � !����� ,' ) ����3

�-� D ����� ���������� �� ���%��� �� % '������ �� ������� �� �� % '������ ��

����� ��������� �� �� ��! ���%�� ������%�� ��������2 ��� �+� ��� ++ � +� ��

���!�� �� �� ������%�� � %������ � �� ��� ��� ��!�% ��� �� ��� %���� %��

0& ) ����� ����� %�" ) �3�� �� %� ) �+ �� �� ) ��/ �� %� ) �� �� �� ) �+�6

��

�+� ��%�� �� ������%� 1 � ���%����� � �������� �� /� � �� �� �! � �� %��� % '������

�� ����� �� ���� �3� � ��� �� �� ������%�� �����%������%� � ��� �� �� /�� �

�� ��!�% �� I�� �� ��'�� �� ����� �� '� �� � ��� % '������ �� ������

66

Page 67: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

���� �� ,' ) ����/ �-� ?�� ���2 �- �� � ��� 1 � �� �� �� �� ���%��� � '- ��

��!�% � �1 ������%� �� �� % '����� �� ������%� �! �� � �� ������� �� ��� %���� %��

0 ) ������ ����� ��" ) �6�76 ��

�/� "� ����� %�������� �3� ��� �� �! � ��%�� �� ������%�� ����%���� � �������� ��

+� � ��%�� ��'�� "� ������ �� �� % '����� �� �3 � �� ������%�� /3� � ��

��!�% � � � !����� �����3 �� ����� �� � ��� �������� �� ��%� � ���

% '����� ��� :���%�� .��� � ���%�� �� � ��� �� ������� ��� %�� �� �������

� �� ��%���� BD �� ������%� ��'� %���� ��%� ��! ��� % '����� �� �� ��� ����

��%����� 1 � �� �� ������'��C� %�� % ) 6�3 ��

67

Page 68: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� +����� ����

�� <�� '�'� ������ ��� �� ���������% 73 R ��� ��� � � ��� �� �! � �� �7�3 ���

������%� �� % '����� �� ����� !��������� ,' ) ����3 �- �� 3�� � �� ��!�% �

� ���3 � �� ������%� � � ������% ��% �� � �� ��% �� �� 6��/ �� 0�%�������2

�- �� ��% �� �� ������� 1 � �� '�'� ��'� � ���� �� �! � '- �� �%���� � %�� ��

�� '�'� � - �� �%���� �� ���� �� �� ��� ����%���� %�� 7��3+ ��� �6�6� ��

����3 ��

�� "��� �! � �� �� % '����� �'���%� � �� �%��� ���� �� ��!�% � +�� �� � !�����

' ) ����3 � � ������%� +� � ��%��� � � ������% ��% �� � �3 � �� ��% ���

�� �� % '����� ��� �� ����� �� � �:���%� �� �������� �� ��!� �� � ) ��� "� ��

������ ������%E% '����� �� � ��� �� ����� ,� ) ��3-� ��%������� �� � ��� �� �! �

1 � ���� �� �� % '������ %�� �3�� ����

+� 0���� � �� �� ����� ������ � � ��� �� �! � �� �� ��� ���%� � ������% ��% ��

� �� ��% �� �� �� � ������%� �� % '����� �� ����� !��������� ,� !����� ����3

�- �� ��!�% � +3� � � ������%� �� �� �� �� % '����� ��� �� ����� �� �� '��

,� ) +���-� � :�%� �� ����� ,� ) +�- � � :�%� �� ����� ,� ) �3-� ?�� ��� ��

�%���� 1 � ��'� %���� �� '�'� �� � ���������% �� ��� /3 R� %�� ����� ��

/� ?�� ��� �� � ��� �� �! � 1 � �� �� �� �� ���% �����%� �� �� :! ��� ���� � ��

��% �� 5 ��� ������%� �� �� ��% �� ��� ������%� �� � ) �3 �� �� �������� ���

��� �� �� �+�6� %�� 36 ���� ���+ ��

6�

Page 69: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

3� "� ����� %�������� � � ��� �� �� ��� �� �! � ����� � �� � � ������% ��% ��

� ��� � �� ����� ��� ����� �� �! � ��� ������ ������%� �� � �� �� '�'�

������ ���� "� �� % '����� �� ��������� �� �3 � �� ������%�� ���� ��%��� ����

�� ������ 4��&���� �� ��������� ,� ) ��- � ����� �� �� ��! ����� ,� ) �-5� %����

�� ��!�% � �� �� � � �� �� ��� ������ �� �3 � �� ������%�� �� ��!�% � �� �+�

� B1 �� �%���� ��'� %���� �� '�'� �� � � ��������� �� ��� �3 RC �� � !����� ��

��� % '������ �� ����3 �� �,� F- ) ���7� �,� G- ) �,� ?- ) ���� %�� +6��

��

6� <� �'���� �� ���! �� !%� �� ��%�� �'�� �� % '����� �� ����� !���������

,� !����� ����3 �- �� �6 � �� ������%� � ��!�% � %%�� 3� �� �� % '����� ���%�

�� ��! ���%�� ������2 :�%� �� ����� ,. ) �3-� �� :�%�� �� ����� ,. ) �3-� ��

����� �� �� ��%����� ,. ) 7�- � �� ����� �� �� ��! ����� ,. ) /�-� "� �� � ���

������� �� �� �� ��� � �� ������� � �� ��%���� ��� ��� � ,�� :��� �� �� % '�����-

��'� ��� �� �� ��� �� ��� �� �%���� �� �� '�'� 1 � ��'��� ������� ����

������%�� �� ��� � �� ���! �� � ���������% �� ��� 63 R� %�� ��3 ��

7� <� �� �� ����� ���� ������ �� �! � ����� � ���� ���%� �� � �� �� ���!� ��

�� ������ �� %�� ��%�� �� ����� ��� �! � �� �� ���� � �� ������ ��� �� �� �� �� ��6

�� �� �� �� %���� � ������%� �� 3�� �� ��%��� � � �% ���� ��% ���3 � ��

����� ��� ����� ��� �! � �� �� ����� ?��������� �� �! � � � 8 �� ������

��%������� �� � ��� 1 � ����%� �� �� �� � �� ������� �� � � �% ���� ��%� %�� 7��

���� �����+ '���

6�

Page 70: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� <�� '�'� ��% ��� � �� %� !������� �� + � � ��� ��� ��� �� �! � � %������

�� � ���%��� �� % '������ ���%� � ������% ����� �� � ���:�� ��%�� � �� %�

�� 6 �� �� ��% �� �� ������� �� �� % '����� �� � ��� �� �� '�'�� �� +� � ��

������%�� �� �� ���� � � �� �� �� �����!� ,��� �����-� �� �3 � �� ������%�� ��

3� ��%��� �� % '����� �� �3 � %���� +� � �� ��!�% � � � �� � �����������%

'� � ���%� +� � �� ������%�� ��%� %���� �� ��!�% � �� ��� �� ���!��� ���%�

�� ������%� �� � !����� �� ��'�� % '������ �� �� ����3 �� 0�%������� �� �������

�'�� �� � ���:�� ��� �! � �� �� ������%� 0�' &�� � ����� ��� ������� �� ��% �� %%��

� �������%���� %�� �/�+� ���

�� <�� '�'� �� 73 R �� ���������% � 1 � � �����%�� 6� �� �� ��% �� �� �������

��%��� �! � �� � �� ,��% �� � �3 � �� �� ������ �����% � �� %� �� ��

'�'�- � �� %���:��� � � ���%��� �� ���! �� !%� ��% �� � �� ����� %� 1 �

�� '�'� ������%� �� % '����� �� ����� !��������� �� �3 � �� ������%�� ���

���������� �� ������� � �� ��%���� �� �� �3 ��� �� �� �'���� �� ���!� & �% �

�� '�'�� �� ������� �� ����� �� �� '�� ,� ) �3-� � :�%� �� ����� ,� ) +�-

� �� :�%�� �� ����� ,� ) ��3-� "� �� � �� ��Æ 1 � ��%� �� % '����� ���%���

� �� �����%�� %���� �� ��%��%� �� ��������� �� ������� �� ���7 � �� ��!�% �

%%�� �� �� % '����� �� �3 � �� ������%� �� �� ��� ��%��� �� ��� �� � ��� %%��

%��� ���� �� ���%��� �� ���! �� !%�� ���� � �� �%���� �� ���� �� ��

'�'�� ?�������� � ) ������ %�� +��� ���� /��6� ��

��� <� ���� �������%� ��%��! ���� �� ��� � ���:��� � � � %����%� �� �� �����

� �� %���� �� �������%� ��� ��� R� "� �� �:���%� �� ?���� ���� 3� B ��� ����� ��

������� ��� �! � � �� � ��� 1 � �� �� �� �� ����C %�� ��6/ ���� +�+ �����

��� 0�� � ���� ������ ��� �� ���� 3 �� �� ���2 ����� ������ ���� ��� � ���:����

�������%� �&��� ���� ������ �� � %����%� ������ ��� "� �� ���� �� �� ����%

,2 ) ����/- � �� �������%� �� �� ������� ��%������� �� � ��� 1 � �� �� � �� ��������

�� ��!� �������� 1 � �� ��� � �� 3�� � �� ����� %�� ����� ����� ��� ���

��� ?�� �� �! � �� � ���� �� ����% ,2 ) ����/- �� ����� %����! ��� ,%�����! E

� �1 ����%��- �� �� ������ + �� ?�� ���2 ����� ������ ���� ��� � ���:����

7�

Page 71: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�������%� �&��� ���� ������ �� � %����%� ������ ��� 0� � �%� ��% ��� � ��

���%���� �� � �� ��%��� � �� �� ������ �� %� �� � �K �� ��� �� � ��� 1 �

�� �� � �� �������� �� ��!� �������� ��%�� ��'� � �%�� %�� �+�3 ����� � ���

�+� ?�� ��� �� � ��� �� �! � 1 � �� �� �� � ���� ��%��! ��� �� ����% ���

� ��� ,2 ) ����/- �� ��� � ���:��� 3� � � �� ������ ��3 � �� �� �������%� ��

����3� ?�� ��� %��'���� �� �������� �� ��!� �� 3�� � �� ���� � ������ �� �����

������ ��� ��%��%�� %�� ���7�3 ����� 7�3 ���

�/� "� ����� ������� �� �! � ���� �� !����� ������������ �� �� ��'��� �� 3 � ��

�� ������� 3� ��%�� �� ���! � �� �� ���� .��� ��� �� %������� �! � ������%�

� ���� ��%�:��� �� ����% � ��� ,2 ) �����- �� ����� %����! ��� ,�1 ����%�� ��

��3 � �� ���- ����� �� ������ �� ���������� � � ������� ��% ��� � 6 �� ��% ��

����� �� ����� �� �� ��'��� � � ��� �� ���%����� �- ?�� ��� �� %���� �������

���� ������ ����%����%� �� ��'��� �� '- ��� ��������� �� ����!��� ��� ���� � �

���! ��� ����� %�� ��/ ������ 6 ���

�3� 0� % '������ �� ��� ������ ,' ) ����6 �- ��%���� �� ����� %�������� ��

!������� � � ��� �� �! � ��%�� �� ������%� ��% ��� � �� �� ������ �� ��% ��

�� 6�7 �� "� �� ������� % '����� %���� �� ��!�% � �� /3� � � � ������%� �� +�

� � �� ��! ��� �� ��!�% � �� +/� � � � ������%� �� +3 � ��%�������� ���

�������� ��� ��������� �� �������� �� � ��� �� �! � %��������� %�� �/7 ����

�6� 0� % '������ �� ������� %�������� � ���% � ��� �� �! � ��%�� �� ������%�� "�

�� � ��� 1 � �� �� �� �� % '����� � �� �� �/� ���� ��%�������2 �- �� � ��� %%��

%�������� � �� �� ������ �� ��% �� ��%�� �� �� ������%�� '- �� �� � �%�% �� ��

������� �� �� � ��� % '����� B1 �� ������%� ��'� %���� ���� 1 � �� %������� ��

���� � ���C 0�%�2 �� ) �� ) �3� �� %� ) �� �� %� ) +� �� ' ) ����3 �

���� %��� ��� % '������� %�� 3/6 ���� �/�/ ��� ++ ��

�7� <� ������% ��%�� ��% �� � �3 � �� ��% �� �'�� � ��'����� 0� % '������ �� ���E

���� �� �3�� � �� ��!�% � � ������%� �� � %�������� �! � ����� �� ������% ��

��'����� ?�� ��� �� � ��� %%�� %��������� ?�� ��� �� ������%� �� �� % '�����

7�

Page 72: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�1 ������%� �� �! �� ��!�% � � � !������ D ����� ���������� �� ���%��� �� % E

'������ �� ������� �� �� % '������ �� ������ ��������� ���� ��� �� �� ��! ���%��

������%�� ��������2 �� �� �+ �� �� �� ++ � � +� �� ���!�� �� �� ������%��

� %������ � �� ��� �� ��!�% � �� ��� %���� ?�������� 1 � �� ������� �������

%����'�� �� �� ��3 ���� 0�' &�� ��� ������� �� ��% �� %%��� �������%��� � ��%��%��

���� �� �� ��� �� ������ ?�������� 1 � �� � !����� �� %��� ��� % '������ ��

�! �� � ����3 �� %�� �� ���� �6 �� /�3�7 � �� �+ � � ���/�+ �� �� ��

��� 0� % '������ �� ����� %�������� �! � ����� � ������% �� %� �� �� � � %� ��

%� 3� �� ��� % '������ �� �� ������ � ��� ,� !����� ���3 ��-� �� �������

%���� ��!�% � ���� � � ������%� +�� ��K �� ��! ��� %���� �� ��!�% � �� ����

� � � ������%� �� �+� ��� "�� �������� ��� ��������� �� �������� �� ��� ��

� ��� %��������� %�� 7/ ����

��� <� ���%��� �� %��� % '������ �� ������� �� �� :'�����% ,' ) ����3 ��-� * �%

�! �� ����'� ��� ���%��� �� � ��� �� �! � �� �� ���� ��� %�� � �� ��%���� � ������

��� ���%��� �� +� � � �6 � �����%������%�� � �� ��% �� �� ������� �� �� ��%���� ��

�� 3 '��� ?�� ��� �- �� � ��� �� ��� % '����� '- �� �������� �� ��!� �� �� ���%���

- �� ������� ������%��� �� :��� ��� ���%���� 0�%�2 �� ) �3� �� %� ) 3� ���

�� ) �� �� %� ) �� ��� �� ) ��� �� %� ) ��� ��� %�� ���� ���� /��3 ���� 3��3

���� ���7 ��� 3+��+ ���

��� "� ������ %�������� +�� ��� �� �! � ��%�� �� ������%�� ����%���� � �������� ��

+� � ��%�� ��'�� "� ������ �� �� % '����� �� �3 � �� ������%�� ��!�% � /3�

� � � !����� �����3 �� ����� �� � ��� �������� �� ��%� � ��� % '�����

��� :���%�� .��� � ���%�� �� � ��� ���%� �� ���� ������ �� ������� ���

%�� % '����� �� ������� � �� ��%����� B? ��� ��'� ��� � ������%� �� �� ��� ����

��%����� 1 � �� �� ������'��C %�� �/ ��

��� <� ������% !����� �'���% � �� �%��� ���� � �� %� �� ��� � ������%� ��

!������� � ������%� �� % '����� �� ������ �� ��� �� �� ������%� ��%��� �

+��� � �� ��!�% �� � � � �% �� �� � � �� %� �� �/ �� � � � ��� �� 3�

��� � �� ������� �� +�3 �!���� "� ����� ������� �� ���%������ ���� 1 � �� � ���

7�

Page 73: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� �� 6� ��� � �� ������� �� �� ���� /�� �!���� .��� ��� �� ���%������ � %��� :���

�� �3�� � �� �������� %��'���� �� % '����� �� ������� 0�%������� �� ������%� ��

��� %��� ���� ��%�� ��� ��� ������� �� ������� � � ���� ,� !����� ������

���� ��2 ����/ �-� . ���� ����������� ��� ��������� �� ������� � �� %������� ��

����!��� ����%��� %�� �� ��

��� "� %������� � � ��� �� �� ��� ��%�� �� ������%� � %������ �� �� % '����� ��

������%� �3 � � ��!�% � ���� ��%��� "� ���� � %��� �� ��!�% � ���

��%�� � ������%� �� � �� ������� � �� ��%����� B? ��� �� �� � �� � ���

%��������C (@IF2 %��� � ) ����6 ���� %��� ��� % '������� %�� �/ ����

�+� "� ����� %�������� � � ��� �� �! � �� �3 ��� ��%�� �� ������%� ��% ��� � ��

���%���� �� 3�� � � ��%�� �� 1 � ����%� �� �� ������ �� %� �� 3 �� <%���������

�� % '����� �� ������ ,' ) ����/ �-� "� �� ������%�� �������� �� 3� ��� �3�

�� � �3 �� �������� �� �� 1 � ��'��� ��� � �� ��!�% � 1 � ��'��� ���

�� ��� � �� ���� ���� ���! �� �� � ��� ������� 0�������� ��� ��������� ��

��!� �� �������� %�� +�/�� � �� �3 � � ��3�� � �� �� ��

7+

Page 74: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�� �������� ���������

�� <� �'�� �� ���� ,������� �� (� � ?�- %���� ���� ��� �� ����� � �� ��%�

� �� '�%����� �� ��3 T� ?�� ��� �� ��!�% � 1 � ��'� %���� �� �'�� ���� 1 � ��

��%������� �� �����%� ��� �� +�� F� �� �����%������ ��� ���� �� �� ��� � ����

U�� %�� ��� ��%���

�� .� � �'�� �� ? ,�����%������ ��7� ���� U�- �� ����� ��+� ��� � ��!�% � �

� �� �� �� ��%������� �� �����%� �� ��3 F� 0�%������� �� ����!��� �������� ��

� �% * �� �� + ��� %�� %�� ��� *�

+� <�� '�%����� �� ��� T � �����%���� ��%���� ��3 U �� ��%� � � �� %� �� ��� U�

0�%������� �� ��%������� �� �����%� 1 � �%������� �� '�%����� � �� ����� �� %������

��%�� � � '����� %�� ���� F� � T�

/� "� ������ �� 3 '�'����� �� �3 Q � ��� T� 0�%������� �� �%���� �������� ���

�� ��%�� � �� ��%� �� ��� T �� ����� � �� �������� %�� 3�� Q� ��3 Q�

3� <�� '�'���� �� 3�� Q ��%�� ����=���� ���� ����� � �� %������ �� ��� T� ��

'�'���� �� ��%� �� ������� � �� �����%���� � � �� �& �% �� ����� � ��

�����%���� �� � U� 0�%������� �� ���� �� � ���� 1 � �� '�'���� ���� �� ���

������� �� ����=� ��� �� %����� �� '�%����� �� 6 T ���� ������%�� �� �� �%�

%�� ��+ U�

6� I����� �� ���%������� �� �� 1 � �� �� �� �����%� �� 6 F� ����� �� ��

�� %��� F � G �� ����� � � �%�� ���� %��� �� %��� ?� 0 � � �� ��������

I�� �� �� �����%���� / U� ?�� ��� �� �����%���� �1 ������%� �� �� ���%������

���� � �� ����� �� �%����� �� �� �� %� F � �� �� �� %� ?� %�� ��++ U�

�/ T� � T�

7� <�� '�'���� ����� ��� ��! ���%�� ���������2 ��� T � ��� Q� BD �� ��%�������

�%������� �� :�����% ��� ��%�� ��%��� � � ��� � �� ��� TC B? ��� ��

��%��� �� �����%���� ��� :�����%C "� ��%��� �� '�'���� � � ��� � �� ���

T� B1 �� �����%���� �� ����� ��%������ �� ����� ���� 1 � ���� �� ��� ������

7/

Page 75: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

������� 1 � �� �� �� ��%����C� �� �����%���� 1 � �� ��%����� ��%�� �����

�� � ��� �� � �� �� ������%� � �����%������ /6 � ���� U�� B ��� ��'� ��� ��

��!�% � �� ��%� ���C "� �� �Q� ���� ���� � ��� B ��� ����� �� !��% �� �� '�'����

��%��� � ��� T �� �� ���� �� ��������%C %�� ���+ F� �// U� ��� U� ��3

�� ���� � ���

�� <�� ����� �� ��� �+� T � �����%���� ��%���� ��63 U ��%��� �� � �� �% �

�� �����%���� � ��� � �� ��%������� �� �����%� �� �� F� ?�� ��� �� �� ������

�� �%����� ��%�� �� '���� �� �� ������ �� �%���� � %��� �� ���� �� �� �����%����

� � �� ���������% ����%�� �� �� ������ %�� ��7 T� �+/� Q� 3��3 U� �� R�

�� <� � � ���� � ��� � �����%��� �� F�� B0 ���%� ���% %���� � ��� �����

�� �������� 1 � �� �� ���3 F �� �� � � ���� ��� � ��� � �����%��� �� /�3

�� � �������C %�� +� �����

��� <� �� ����%�� �� ��%� � ��� T � �� �/ ��� ����� �� %������% �� �� ��� ! ��

���� �� E��Æ? � ��Æ?� �� �� � � ��% �� 1 � �� ���������% %����� ��� �� ��� ���

6� R� �� ��� �� �%���� �� ����� ��%������� �� �����%�� �����%���� ����%���

��� �� � �� �%� �� �� ����!��� ����%��� ��'���� 1 � �� �Q� ��%� ���� � ���

?��� �� ���� ��� ���� �� ���!� ��� ������: ��� ���� ��3 ���!Æ?� %�� �7/ Q�

��/3 F� ���� U� ����6 � ���

��� J�����%� �� �����%���� �� �� U ��%��� � ��� T �� ����� ����%�� ���� ! �� �

���1 �� �� ��� ������: ���3 ���!Æ?� "� �� �� ���%�� �� �� %������% �� �� ��Æ?�

�� ��� � 1 �� %������% �� �� ���%����� �� ���1 �� � �� 3 ��� %� �� ������ �

����� �� �����%�� B? ���% �� %���� �� ������� �� %������% �� �� �' ������ ��

���Æ?C B?�� �� ���:� ��%� ��� �%�� �� �� ����%��� %���� ��� ��������� ���

�3 RC %�� ���Æ?� +6+ �� /�/ ��

��� �� ��� �� � !������� �� ��� �� ���� �� �� ������� �� �������� �� �������

�%���� � �� %� �� �����%���� �3 U � �� ��! ��� � �������� �� / 6L

�� �������� �� !������� ��%� �� %��� ������%�� ��� � �� ��� �� T �

�����%���� ��%���� � U� ?�� ��� �� ��!� ��� �������� � �� ����!��� ����%��� ��

��� � � ����� %�� ��� 6?� 3�� �*�

73

Page 76: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�+� �� �� �� �% �� �� :! ��� �� ��� ��� ��!�� �� �� ���������� � �� ��%�������

�� �����%� 1 � �� �� �� ��� �����%������ %�� �6� 6?� �+� 6?� ���6 F�

�/� �� �� �� �% �� �� :! �� �� ) �� ) �� ) � �U� �� ) ��3 �U� '� ) + T� '� ) /

T � '� ) 6 T� 0�%������� �� ��%������� 1 � �� �� �� ��� '�%����� � �� �%����

%%�� �������� �� ��� �����%������ %�� ���77 �F� ���3 �F� ��77 �F� ��6� �Q�

�3� �� �� �� �% �� �� :! �� �� ��� �� �� ������ �� �%����� ��%�� �� � �%� L � G�

%�� 6�/ T�

76

Page 77: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�6� �� �� �� �% �� �� :! �� ��%������� �� ��%������� 1 � �� �� �� �� ���� �� �� T�

�� �� ������ �� �%����� ��%�� �� � �%� F � G� � �� ��!� ��� ��������� %��

��� �F� ��� T� �6 6?�

�7� ?�������� �� �� �% �� �� :! �� � ' ) �� T� �� ) � �U� �� ) � �U� �� ) � �U�

,� ) ��� 6L � ,� ) ���67 6L� ?�� ��� �� ��%������� �� �����%� 1 � ���� �� ��

'�%����� � �� ��!� �� �� ����������� %�� 3 �F� ��� 6?� ��67 6?�

77

Page 78: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� �� �� �� �% �� �� :! �� �� ��� �� ��%������� 1 � �� �� �� ��� �����%����� �� �

�� �� �%���� �������� �� �� �����%���� �� � �� ��!� ��������� �� �� ��������

,�� %�� ���++ F� ����6 F� ����� Q� ��� 6?�

��� �� �� �� �% �� �� :! ��� �� ��� �� ��%������� 1 � ���� �� �� �����%���� �� ��

�%���� �������� �� �� � �� ��!� ��������� �� �� ��������� %�� ����+ F�

����� Q� �7� 6?�

7�

Page 79: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� �� �� �� �% �� �� :! �� �� ���2 ��%������� 1 � �� �� �� ��� �����%����� ���

�� � ��� �� ������ �� �%����� ��%�� �� � �%� � � � � �%���� %%�� �������� ��

��� �����%������ %�� ��77 F� ���3� F� ��7� F� /�� T� ���� Q�

��� ?�� ��� ��� ����� ���%��%���� '� � '�� ���� � �� �� ������ �� �%����� ��%��

�� � �%� � � �� %�� �� T� 7 T� �+ T�

7�

Page 80: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

��� �� �� �� �% �� �� :! �� �� ��� �� ��%������� 1 � ���� �� ��� �����%����� �� � ��

�� �%���� �������� �� �� �����%���� �� � �� ��!� ��������� �� �� ���������

%�� ����� F� ���3� F� ����6 Q� �+��� 6?�

��

Page 81: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

, ����� �� �� �������

�� " ��!��� 1 � ������ �� %���� �� ����� �� �� ������ ����� �6��/ � �� ��% ���

�� �� ������� �����������%�� � � �����%� '%����� �� ������ �3����

�3��7� �3���� �3���� �3��3 ��! ���� ?�� ��� �� ���� ���� �� � � ����� �� �#�

��� �����%� �� �� ���� � � �� ��� �����% ������� ���� ����� �� ���%���� ���

��

�� ?�� ��� �� ������� �� � �� 1 � ����� � ����� �� ,�3� � � - �� �� �

%���� �� � � � /3��2 � � ���� �� 3��2 �

+� ?�� ��� �� �������%� �� � %�����! � � � ���� ����������%� ��'���� 1 � � �

���� �����2 � ) ,+�� � ��� - �K � ) ,3�7 � ��� - � � 7 ) ,���� � ���3 - ��

/� "�� � ��%���! � �� ���� � ) ,���� � ��3 - � � � ) ,���� � ��3 - �� ?�� ���

�� ����� ��� ���� � � ���� ����%�� � �'�� %�

3� ?�� ��� �� ��%������� 1 � �� �� �� �� '�'���� �� ,6�� � ��3 -/ �� �%�����

�� ���� �� �����%���� � ) ,63� � + - U � ?�� ��� �� ���� �'�� % � ����%�� �

1 � �� � �%��� �� ��%�������� (%� � ) 4�� �

6� " ��!��� 1 � ������ �� %���� �� ����� �� �� ������ ����� �6��/� � �

���& �� �% �� �� ���� ������� �����������%�� '%����� �� ������ �3��� �3���

�/��� �3��� �3�� � �/��� ?�� ���2

�- �� ���� ���� �� � � �����

�- <%������� ��� � ����� �� �� ������%�� �� ��� �� %���� �� ����� ,� )

�������� -

�- ?������ �� ��� �%��� � ��� %�� 1 �� %�� �� ���� �� ��%�� ��%�����

�� �#� ��� �����%� �� �� ��� � � �� ��� �����% ������� ���� ����� �� ���%����

��� ��

7� " ��!��� 1 � 1 ����� ��'�� �� �� �����%���� �� � ��%������� ��%����� ��E

����� �� �� %������% �� � ���%�� �� ��%�� �� �������2

��

Page 82: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�,U- I, , -����� ������6 ��

B? ��� ����� �� �� ���� ���%� �� �� ���� �� �� ������ �� �� �����%���� �� ��

���� U C B� �� �� �� ��� U C

�� " ��!��� � ��%���! � �� ��% �� � ) ,����3 � ���3 -7� � '��� � ) ,+�+3 ����3 -7� � ������ 8 ) ,��/3 � ���� -7� � 0�%������2

�- �� ����� ��� ��%���! � � � ���� ����������%��

�- �� �� ��� ��� ��%���! � � � ���� ����������%��

�- "� �� ���� ��� ��%���! � �� ,�7�3�� ���� -� ��%������ �� �������� ��� ��%���! E

� � � ���� ����������%��

�� "� 1 ���� ����� �� ��������� ���������%��� �� � ��� �� ��� �� � ����

������� � ������� ������ ��� ������%� �� � �� �� ���������2

8 )�

�� �

���� 8 �� �� ����� ������ �'�� �� ����� � �� �� ��������� ��� ��� �

�� %���� 1 � %���� �� ������ �� ���%���� 8 � �� ����� 8 ������ �� �� ���

�� :&�� ������� � �� ��!�� �� �949(9 ) ���� 7� � ��� �%��� 8 ) �+�37 7� � ��

%���� 1 � %���� �� ������ ��%� ����� �� ���� � � �����%� �� �949(9 )

���� � � "� ����%� �� ���������% 6 ����� � �� %����� '%����� �� �� ��! ���%��2

� ) /�+3 � � � ) /�+� � � � ) /��7 � � � ) /�+� � � � ) /�/� � � ) /��� � �

�- 0�%��������� �� ���� �� �� ��������� 1 � ���������%� �� ��� �� � �������E

% � � ���� ����������%��

�- "� �� ������� ��1 ����� �� �� ��� � ���%� �� �������% ����� ���� �� ��

��������� �� ) � � 8 � ��%��������� ��%� ������� ��� �� ��� �� ������

�� �+�37 7� � � � ���� ����������%��

��� F������ �� ��� �� �� ����!���� �� ������� ���%��� &� �� �� ��! ���%�� ���2

�- ) �� ��9

��

Page 83: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

�- ) �2 �

�- ) 8�

�- ) 7:� �

�- ) � > � � ;

� - ) � �

�- ) ��

- ,. �� �� �����

��� "� ����� �������� �� ���������� ��� ������ �� � ����� � � � ��!�% �� ��

���������% �� �� ������ � �' ���� ���� ��!�% ��� �� ����%�� ��� ����� �� ��%��

��3 � ��� �� ������� �� %���� 1 � %���� �� ��� +� �������� ���� ��� ��!�% ��

�� ��� �%��� �� ��� �� �� %�'�� ��& �%�� ����� � �� ��!�% � ��� ����� � � ��

%���� 1 � %���� �� ��� ��� +� ��������� ���%��� �� ��� ������%�� �� ��

���������� ��%�� ������ � ��!�% ��

� ,�- ,�-��3 /��3���63 /��3���73 3�������3 33�3����+ 3���3���� 6��+�

��� �� � ���������% �������� �'�� � ���� ������� �� ���! � � �� ����� ��

������� � ��1 ����� �� � ��� 1 � ������� �'�� �� ���� �� ���%��%�� ��

%���� ���%��%� ����� 1 � �� ��� ������ � �������% � ������� ������

�� �� ��� �%��� �� ��� ������� �� � ��%��� �� �� %�'��� "� �� ���������� �� ��

������� � �� %���� �� �� �� ���2

� ) � > � ���� �

��%������� �� ������ �� �� ������� ������ � �� ���! ��

�+

Page 84: Problemas - personal.us.es - universidad de …personal.us.es/rperianez/docencia/problemas.pdf2m b b A % % I E J I 2 3 ! 2 7 +/ ! 0 % I E 2 + / % /66 % I 0 % 1 % ' ! ! % % % % ' "

� ,���- ,�-3�+ ������/ ����3�� +������ /�����6 /�3

�+� <� ������% ���� �� �! � ���%� �� ��% �� � %���� � ��:� �� �� �� � � �������

���%������ .� ��� ��:� �� �! � ���� � �� ������� � 1 � �� ������� �

������ 1 � �������� �� ����� �� �! � �� �� ������%� 0�%������� �� ��� ��%����%��

1 � ��!� �� ���������� �� �� ������� �� ������ ��� �! � � �� ��% �� �� �� �����

�� �� ������%�

� ,�- � ,���-�� �/����6 �77���� ������3 ����3+� �/��6/+ ����3

�/