Problemes PAU sistemes d'equacions · a) Discutiu el sistema d’equacions lineals ( )( ) ( ) 1 1 02 4 1 7 1 0 k y k z k x y z x y z − + − = + − − = + + = en funció dels

Generalitat de Catalunya Departament d’Educació Institut de Gelida Departament de Matemàtiques

C/ Pasqual i Batlle, 1-15 08790 Gelida Telèfon: 93 779 04 50 e-mail: [email protected] https://agora.xtec.cat/iesgelida

PROBLEMES PAU SOBRE SISTEMES D’EQUACIONS (AMB SOLUCIÓ) 1) PAU 1999 Sèrie 1 Qüestió 1: Resoleu el sistema següent per als valors de k que el facin compatible.

2 3

2 1

4 3

x y

x y

x y k

+ = − = + =

2) PAU 2000 Sèrie 5 Qüestió 4: Discutiu el sistema d’equacions segons els valors del paràmetre a.

( )2 2

2 3 3

2 2

ax y z a

x y z a

x y z a

− + = − + − = − + − = −

3) PAU 2000 Sèrie 1 Qüestió 3: Donat el sistema d'equacions 3 2 5

2 3 4

x y z

x y z

− + = − + =

a) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible. b) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui compatible indeterminat. Resoleu el sistema que s'obtingui. 4) PAU 2000 Sèrie 3 Qüestió 3: Se sap que el sistema d'equacions

2

2 8 1

2 10 5

x y az

x y z

x y z

+ − = − + − = −− − + =

té més d'una solució.

Calculeu a i digueu quina és la interpretació geomètrica que té el conjunt de totes les solucions d'aquest sistema. 5) PAU 2003 Sèrie 2 Qüestió 4: Per a quin o quins valors del paràmetre real λ el sistema d’equacions

( )( )2 2 0

2 3 9

2 4

x y z

x y z

x z

λλ

+ + + =

+ + = − =

és compatible i indeterminat? 6) PAU 2003 Sèrie 5 Qüestió 4: Considereu el sistema d'equacions

1

2 2

4

ax y z a

x y az a

x y z

+ + = + − + = + − + =

on a és un paràmetre. Si x = 1, y = –1, z = 2 és una solució, quin és el valor del paràmetre a?



7) PAU 2004 Sèrie 1 Qüestió 1: La matriu ampliada d’un sistema d’equacions lineals, un cop reduïda pel mètode de Gauss, és

1 2 1 0

0 1 2 1

0 0 0 0

−

a) El sistema, és compatible o incompatible? Raoneu la resposta. b) En cas que sigui compatible resoleu-lo. 8) PAU 2004 Sèrie 3 Problema 1: Donat el sistema

( ) ( )

2

2 1

2 2 2 2 1

y z

x y z

m x m z m

+ =− + + = − − + − = −

on m és un paràmetre, es demana: a) discutiu el sistema segons els valors de m; b) resoleu els casos compatibles; c) en cada un dels casos de la discussió de l’apartat a), feu una interpretació geomètrica del sistema. 9) PAU 2005 Sèrie 4 Problema 1: De tres nombres, x , y i z , sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen 1; que la suma de tots tres val 0 i, per últim, ens diuen que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i del tercer dóna 1. Es demana: a) què podem dir del valor de k ? b) quan valen els tres nombres? 10) PAU 2005 Sèrie 1 Qüestió 1: Considereu el sistema següent en funció del paràmetre real a:

1

3

x ay

ax y

− = + =

a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu els casos compatibles. 11) PAU 2005 Sèrie 3 Qüestió 1: En un sistema hi ha, entre d’altres, aquestes dues equacions: 2 3 5x y z+ − = i 2 4 6 2x y z+ − = − . Què podem dir de les solucions

del sistema? 12) PAU 2006 Sèrie 1 Qüestió 2: Esbrineu si el sistema següent pot ser compatible indeterminat per a algun valor del paràmetre m.

3 2 0

2 4 3 0

0

x y z

x y z

x y mz

+ + = + + = + + =

És incompatible per a algun valor de m?



13) PAU 2006 Sèrie 3 Qüestió 4: Sigui la matriu

1 0 1

4 1

0 3

A m

m

− = −

Determineu els valors de m per als quals ( ) 3Rang A < .

Pot ser ( ) 1Rang A = per a algun valor de m?

14) PAU 2006 Sèrie 4 Problema 2: Considereu el sistema d’equacions

7 8 1370

200

7 8 1395

px y z

x y z

x py z

+ + = + + = + + =

a) Discutiu-lo en funció del paràmetre p. b) Doneu la interpretació geomètrica en els casos en què el sistema és incompatible. c) Resoleu el sistema per a p = 6. 15) PAU 2007 Sèrie 1 Problema 2: Discutiu el sistema següent

2 5

2 2 10

6 3 12

x y z

x py z

px y z

+ + = + + = + + =

en funció del paràmetre p. Doneu la interpretació geomètrica del

sistema en cada cas i resoleu-lo quan sigui compatible. 16) PAU 2007 Sèrie 3 Qüestió 2: Donada la matriu següent dependent d’un paràmetre m:

1 1 2

2 2

2 2

A m m

m m

= +

a) Estudieu-ne el rang segons els valors de m.

b) Digueu quina és la posició relativa dels plans 1 : 2 2x y zπ + + = ,

2 : 2 2 2x my mz mπ + + = + i ( )3 : 2 2 0mx y m zπ + + + = , segons els valors de

m. 17) PAU 2008 Sèrie 4 Qüestió 3: Considereu un sistema de dues equacions amb tres incògnites. Pot ser incompatible? Pot ser compatible determinat? Raoneu les respostes. 18) PAU 2008 Sèrie 2 Qüestió 3: Discutiu el sistema d’equacions lineals següent en funció dels valors del paràmetre m.



( )( )

( )

1 1

1 1

1 2

x y m z

x m y z m

m x y z m

+ + − =

+ − + = − − + + = +

19) PAU 2008 Sèrie 5 Problema 1: Considereu el sistema d’equacions següent:

( )

( )

2 1 4

2 4

4 1 2

x y a z

x y z

x a y z a

+ − − = − + = − − + + = −

a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan sigui compatible indeterminat. c) En el cas de l’apartat anterior, trobeu una solució del sistema en què x, y i z

tinguin valors enters. 20) PAU 2009 Sèrie 4 Qüestió 4: En la resolució pel mètode de Gauss d’un sistema de tres equacions amb tres incògnites ens hem trobat amb la matriu següent:

3 5 2 5

0 0 0 0

0 3 6 6

− − −

a) Expliqueu, raonadament, quin és el caràcter del sistema inicial. b) Si és compatible, trobeu-ne la solució.

21) PAU 2009 Sèrie 3 Qüestió 1: Considereu la matriu 2

1 2

A a b

b a

=

. Trobeu

els valors dels paràmetres a i b perquè la matriu tingui rang 1.

22) PAU 2009 Sèrie 3 Qüestió 3: Donat el sistema x py p

px y p

+ = + =

:

a) Discutiu-ne el caràcter en funció del paràmetre p. b) Resoleu-lo quan 2p = .

23) PAU 2010 Sèrie 1 Qüestió 2:

Donat el sistema d’equacions lineals

( )

2 1

2 4

3 5

x y z

x y z

x y p z

+ − = −+ + = − + − =

:

a) Estudieu-ne el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) en funció del paràmetre p. b) Comproveu que si p ≠ 5 la solució del sistema no depèn del valor d’aquest paràmetre.



24) PAU 2010 Sèrie 4 Qüestió 4: Hem escalonat la matriu ampliada d’un sistema d’equacions lineals,

A · X = b, i hem obtingut: ( )1 2 3 2

0 2 1 1

0 0 1 3

A b a

a

− + − −

∼

a) Discutiu aquest sistema en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan a = 2. 25) PAU 2010 Sèrie 5 Qüestió 1: Considereu un sistema qualsevol de dues equacions amb tres incògnites. Responeu raonadament a les qüestions següents: a) És possible que el sistema considerat sigui compatible determinat? b) Pot ser incompatible? 26) PAU 2011 Sèrie 1 Qüestió 4: Considereu el sistema d’equacions següent:

( )( )

2 3

2 5 4 2

4 1 3 4

x y az

x a y z a

x a y z

+ − = −

+ − + = + + − − =

a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè el sistema no sigui compatible determinat. b) Hi ha algun valor de a per al qual x=1, y=–3, z=–1 sigui l’única solució del sistema? 27) PAU 2011 Sèrie 2 Qüestió 1:

Donada la matriu

1 1 1

0 2 1

0 2

k

M k

k k

+ = − − −

:

a) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu M no és invertible. b) Per a k=0, calculeu 1M − . 28) PAU 2011 Sèrie 4 Qüestió 4: Analitzeu, segons els valors del paràmetre k, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d’equacions següent:

( )( )

2 4

6 3 0

1 2 3

x y z k

k y z

k x y

+ − = −

− + = + + =




Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

( )

3 2

2 5 2 3

2 3 2 9

x y z

x ay z a

x y a z

+ − =+ − = + − + − =

a) Calculeu el valor o els valors del paràmetre a per al qual o per als quals el sistema és compatible indeterminat. b) Quantes solucions té aquest sistema quan 3a = − ? 30) PAU 2013 Sèrie 4 Qüestió 1:

Sabem que el vector ( )2,1, 1− és una solució del sistema

2

ax by cz a c

bx y bz a b c

cx by z b

+ + = + − + = − − − + =

Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. 31) PAU 2013 Sèrie 5 Qüestió 2: La matriu de coeficients d’un sistema d’equacions lineals homogeni és:

1 2 3

2 1 0

4 1 2 2

A a

a

− = − +

a) Per a quins valors del paràmetre a el sistema té una solució? Quina és aquesta solució única? b) Resoleu el sistema si 2a = . 32) PAU 2014 Sèrie 4 Qüestió 2: Responeu a les qüestions següents:

a) Discutiu el sistema d’equacions lineals

( ) ( )( )

21 1 0

4 1 7 1

0

k y k z

k x y z

x y z

− + − = + − − = + + =

en funció dels

valors de k. b) Resoleu el sistema per a 1k = . 33) PAU 2014 Sèrie 5 Qüestió 3:

Considereu el sistema d’equacions lineals ( )3 4 2

mx y m

x m y m

− = + − = +

per a m∈ℝ .

a) Discutiu el sistema d’equacions per als diferents valors del paràmetre m . b) Resoleu el sistema en aquells casos en què el sistema sigui compatible.



34) PAU 2015 Sèrie 2 Qüestió 1: Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

( )( )

3 2 3 0

2 3 0

3 0

x y z

a y z

x y a z

− + + =

− − = − − + − − =

a) Calculeu per a quins valors del paràmetre a el sistema té més d’una solució. b) Resoleu el sistema per al cas 3a = − . 35) PAU 2015 Sèrie 4 Qüestió 1:

Considereu el sistema d’equacions

2 0

3 0

4

x y z

mx y z

x y

− − =− + + = + =

, en què m és un paràmetre

real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. b) Resoleu el sistema per a 1m = . 36) PAU 2016 Sèrie 1 Qüestió 3: Tres nombres, x, y i z, compleixen dues condicions: que el primer és la suma dels altres dos, i que el segon és la suma de la meitat del primer i el doble del tercer. a) Comproveu que el càlcul dels tres nombres, x, y i z, té una infinitat de solucions. b) Trobeu una expressió general de les solucions. 37) PAU 2016 Sèrie 3 Qüestió 1: Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

2 4 4 4 7

2 1

2 1

x y z k

x ky

x k

+ + = − − = − − = +

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k . b) Resoleu el sistema per al cas 0k = . 38) PAU 2016 Sèrie 5 Qüestió 1:

Considereu el sistema d’equacions lineals 1

2

3

1 1 2

4 1 5

3 1 4

x b

y b

z b

− − − =

. Expliqueu

raonadament si les afirmacions següents són vertaderes o falses:



a) Si 1

2

3

0

0

0

b

b

b

=

, el sistema és compatible determinat i la solució és

0

0

0

x

y

z

=

.

b) Si 1

2

3

1

1

1

b

b

b

=

, el sistema és compatible indeterminat.

39) PAU 2017 Sèrie 1 Qüestió 1: Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre λ :

0

10

2 5 30

x y z

y z

x y z

λ

λ λ

+ − = + = − + =

a) Estudieu per a quins valors del paràmetre λ el sistema és incompatible. b) Resoleu el sistema per al cas 1λ = . 40) PAU 2017 Sèrie 1 Qüestió 4: Sabem que el sistema d’equacions lineals següent té una única solució:

1

1

x ay

x az

y z a

+ = + = + =

a) Comproveu que 0a ≠ . b) Trobeu la solució del sistema en funció del paràmetre a. 41) PAU 2017 Sèrie 2 Qüestió 3: Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

3

1

2 2

x y z

x y z

x ay a

+ + = + − = + =

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre real a. b) Resoleu el sistema per al cas 2a = . 42) PAU 2018 Sèrie 1 Qüestió 6: Uns estudiants de batxillerat han programat un full de càlcul com el de la figura següent que dona la solució d’un sistema d’equacions compatible determinat d’una manera automàtica:



a) Escriviu el sistema i comproveu que els valors proposats com a solució són correctes. b) Quin valor s’hauria de posar enlloc del 2 que està emmarcat en la imatge, corresponent a la cel·la E8 ( 33a de la matriu de coeficients), perquè el sistema fos

incompatible? 43) PAU 2018 Sèrie 3 Qüestió 2: Considereu el sistema d’equacions lineal següent, que depèn del paràmetre real a:

3

1

2 2

x y z

x y z

x ay a

+ + = + − = + =

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a . b) Resoleu el sistema per al cas 1a = . 44) PAU 2018 Sèrie 5 Qüestió 1:

Considereu el sistema d’equacions lineals

6 3 2 5

3 4 6 3, per a

3 2

x y z

x y z m

x y z m

+ + = + + = ∈ + + =

ℝ .

a) Expliqueu raonadament que per a qualsevol valor del paràmetre m el sistema té una única solució. b) Resoleu el sistema i trobeu l’expressió general del punt solució. 45) PAU 2019 Sèrie 1 Qüestió 2: Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k:

2

3 2 1

3 2

3 7 7 3

x y z

x k y z k

x y z k

+ + = − + + = + + = −

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. b) Resoleu el sistema per al cas 1k = − . 46) PAU 2019 Sèrie 4 Qüestió 3: Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a:



7 5 0

3

2

ax y z

x ay z

y z

+ + = + + = + = −

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. b) Resoleu el sistema per al cas 2a = .



SOLUCIONARI: 1) PAU 1999 Sèrie 1 Qüestió 1: Resoleu el sistema següent per als valors de k que el facin compatible.

2 3

2 1

4 3

x y

x y

x y k

+ = − = + =

Pel mètode de GAUSS: Primer esgraonem la matriu:

1 2 3 1 2 3 1 2 3

' 2 1 1 0 5 5 0 5 5

4 3 0 5 12 0 0 7

A

k k k

= − ≅ − − ≅ − − − − −

Una vegada esgraonada discutim el sistema en funció del paràmetre:

( ) ( )( ) ( )

7 ' 2 º . . .

7 2 3 '

k Rang A Rang A n incògnites S C D Solució única

k Rang A Rang A Sistema Incompatible No té solució

= → = = = → →

≠ → = ≠ = → →

Ara resolem el sistema en el cas 7 :k = En aquest cas el sistema, un cop esgraonat queda:

1 2 3 2 3... 1

0 5 5 5 5

x yx y

y

+ = → → → = = − − − = −

També podríem discutir el sistema utilitzant determinants:

( ) ( )'Sistema Compatible Rang A Rang A→ =

Però ( ) ( ) ( )min º , º min 3,2 2Rang A n files n columnes≤ = =

Així, per a que el sistema sigui compatible el rang de la matriu ampliada ha de

ser 2 o menor que 2, és a dir, ( )' 3Rang A < , o sigui ' 0A =

1 2 3

' 2 1 1 18 8 12 3 4 5 35

4 3

A k k k

k

= − = − + + + − − = − +

' 0 5 35 0 5 35 7A k k k= → − + = → = → =

A partir d’aquí es discutirien els casos 7k = i 7k ≠ com hem fet abans.

2) PAU 2000 Sèrie 5 Qüestió 4: Discutiu el sistema d’equacions segons els valors del paràmetre a.

( )2 2

2 3 3

2 2

ax y z a

x y z a

x y z a

− + = − + − = − + − = −

Donat que la matriu de coeficients del sistema és quadrada podem utilitzar determinants per discutir el sistema.



1 2

2 3 1 3 8 1 6 2 2 1

1 2 1

a

A a a a

−= − = − + + − + − = − +

−

0 1 0 1A a a= → − + = → =

Per tant, hem de discutir els casos 1a = i 1a ≠ . Cas 1a = :

1 1 2 1 1 1 2 11 1 2 1

' 2 3 1 3 0 5 5 50 1 1 1

1 2 1 2 0 3 3 3

A

− − − = − − ≅ − − ≅ − − − − − −

( ) ( )' 2 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I Infinites Solucions= = < = → →

Cas 1a ≠ :

( ) ( )1 0 3 ' 3 º . . . .a A Rang A Rang A n incòg S C D Solució única≠ → ≠ → = → = = → → NOTA: Fixat que l’enunciat diu DISCUTEIX però no diu RESOLDRE, per tant, donem el problema per acabat. Anem a discutir el mateix sistema utilitzant el mètode de GAUSS:

2

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

' 2 3 1 3 2 3 1 3 0 1 1

1 2 1 2 1 2 2 0 1 2 2 2 2

a a a a

A a a a

a a a a a a a

− − − − − − = − − ≅ − − ≅ − − − − − − − + − +

Arribat aquest punt, podem continuar amb el mètode de GAUSS o fer el següent:

Per a que ( ) 3Rang A < s’ha de complir que les files 2 i 3 d’aquesta matriu

siguin proporcionals. És a dir 1 1 1 1

1 2 2 2 2 1 11 2 2 1 2 2

a a a a aa a a a

− = → = → + = + → − = − → =− − + + +

A partir d’aquí es discutiria el sistema com abans, és a dir, distingint els dos casos 1a = i 1a ≠ . En el cas 1a = , aprofitant els càlculs anteriors, tenim que

1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2

' 0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 1

0 3 3 3 0 0 0 0

A

− − − − − − = − ≅ − ≅ − −

...

També haguéssim pogut utilitzar el mètode de GAUSS fins el final i acabar d’esgraonar la matriu 'A . En aquest cas tindríem:

( )3 3 21 2

2

1 2 1 2 1 2 1 2

' 0 1 1 0 1 1

0 1 2 2 2 2 0 0 1 2 2

F F a Fa a

A a a

a a a a a a

→ + − −− − − −

= − ≅ − − − + − + − + −



1 2 1 2

1 0 1 ' 0 1 1 1 ...

0 0 0 0

a a A

− − − + = → = → = − →

(Igual que abans)

3) PAU 2000 Sèrie 1 Qüestió 3: Donat el sistema d'equacions 3 2 5

2 3 4

x y z

x y z

− + = − + =

a) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui

incompatible.

Per exemple 2 3 0x y z− + = . Es pot comprovar que en aquest cas

( ) 2Rang A = i ( )' 3Rang A = .

b) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui

compatible indeterminat. Resoleu el sistema que s'obtingui.

En aquest cas podem afegir una equació que sigui combinació lineal de les altres dues, pot ser una de les equacions multiplicada per un nombre real diferent de zero o qualsevol combinació que afecti a les dues equacions. Per exemple, afegim una equació que sigui la suma de les dues que ja ens dóna el problema, és a dir, afegim l’equació 5 5 2 9x y z− + = . En aquest cas es pot

comprovar que ( ) ( )2 'Rang A Rang A= = .

4) PAU 2000 Sèrie 3 Qüestió 3: Se sap que el sistema d'equacions

2

2 8 1

2 10 5

x y az

x y z

x y z

+ − = − + − = −− − + =

té més d'una solució.

Calculeu a i digueu quina és la interpretació geomètrica que té el conjunt de totes les solucions d'aquest sistema.

1 1 2 1 1 2 1 1 2

' 2 1 8 1 0 1 8 2 3 0 1 8 2 3

1 2 10 5 0 1 10 3 0 0 18 3 0

a a a

A a a

a a

− − − − − − = − − ≅ − − + ≅ − − + − − − − −

El sistema té més d’una solució vol dir que és compatible indeterminat, per tant:

( ) ( )' 2 3 ºRang A Rang A n incògnites= = < =

Així, 18 3 0 3 18 6a a a− = → = → =

En aquest cas, si resolem el sistema tindrà infinites solucions que formaran una recta. Anem a resoldre’l:

61 1 2 1 1 6 2

1 1 6 20 1 8 2 3 0 1 4 3

0 1 4 30 0 18 3 0 0 0 0 0

aa

a

a

=− − − −

− − − − + → − ≅ → − −



6 2

4 3

x y z

y z

+ − = −→ − + =

:z λ= 4 3 4 3 4 3y z y z y λ− + = → = − → = −

( )6 2 4 3 6 2 2 3 2 1 2x y z x x xλ λ λ λ+ − = − → + − − = − → − − = − → = +

Així la solució al sistema en el cas 6a = és:

( ) ( ) ( ) ( ), , 1 2 , 4 3, 1, 3, 0 2, 4, 1x y z λ λ λ λ= + − = − + que és la recta que passa

pel punt ( )1, 3, 0P = − i té com a vector director ( )2, 4, 1v =�

5) PAU 2003 Sèrie 2 Qüestió 4: Per a quin o quins valors del paràmetre real λ el sistema d’equacions

( )( )2 2 0

2 3 9

2 4

x y z

x y z

x z

λλ

+ + + =

+ + = − =

és compatible i indeterminat?

1 2 2 0 1 2 2 0

' 1 2 3 9 0 2 2 1 9

2 0 1 4 0 4 5 2 4

A

λ λλ λ λ

λ

+ + = ≅ − − − − − −

Per a que el sistema sigui compatible indeterminat el rang de la matriu de coeficients A ha de ser 2 i per tant les files 2 i 3 d’aquesta matriu han de ser proporcionals, és a dir:

( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 5 2 1 4 10 4 10 4 4 4λ λ λ λ λ λ λ− ⋅ − − = − ⋅ − → − − + + = − + →

2 2

72

14 10 14 0 2 5 7 0

λλ λ λ λ

λ −

=→ − − + = → + − = → =

Ara, cal estudiar per a cadascun d’aquests valors com és el sistema: Cas 1λ = :

1 2 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 0

' 1 2 1 3 9 1 2 3 9 0 0 0 9

2 0 1 4 2 0 1 4 0 4 7 4

A

+ = ⋅ ≅ ≅ → − − − −

( ) ( )2 3 ' . .Rang A Rang A S I→ = ≠ = →

Cas 72

λ −= :

( )7 32 2

72

1 2 2 0 1 2 0 2 4 3 0

' 1 2 3 9 1 7 3 9 1 7 3 9

2 0 1 4 2 0 1 4 2 0 1 4

A

− −

−

+ − = ⋅ ≅ − ≅ − ≅

− − −

1 7 3 9 1 7 3 9 1 7 3 9

2 4 3 0 0 18 9 18 0 2 1 2

2 0 1 4 0 14 7 14 0 2 1 2

− − − ≅ − ≅ − − ≅ − − ≅ − − − − −



1 7 3 91 7 3 9

0 2 1 20 2 1 2

0 0 0 0

− − ≅ − − ≅ → − −

( ) ( )2 ' 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I solucions→ = = < = → → ∞

6) PAU 2003 Sèrie 5 Qüestió 4: Considereu el sistema d'equacions 1

2 2

4

ax y z a

x y az a

x y z

+ + = + − + = + − + =

on a és un paràmetre. Si x = 1, y = –1, z = 2 és una solució, quin és el valor del paràmetre a?

Com d’entrada ens donen la solució, provarem de substituir en el sistema a veure si amb aquest mètode ja som capaços de calcular a.

Substituint ( ), ,x y z per ( )1, 1,2− en el sistema tenim:

( )( )

{1 2 1 1 1 0 0

2 1 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 3

1 1 2 4 0 01 1 2 4

a a a a

a a a a a a a a

− + = + + = + = − − + ⋅ = + ≅ + + = + ≅ + = + ≅ − = − → + + = =− − + =

1a→ = −

Es pot comprovar que en aquest cas ( )1a = − el sistema és compatible

determinant i la única solució és la proposada en el problema. Anem a fer-ho:

( ) ( )1 1 1 0 1 1 1 0 0

2 1 1 1 0 1 1 1 1 , , 1, 1,2

1 1 1 4 0 0 2 4 2 4

x y z

y z x y z

z

− − − + + = − − ≅ → + = → = − − =

7) PAU 2004 Sèrie 1 Qüestió 1: La matriu ampliada d’un sistema d’equacions lineals, un cop reduïda pel mètode de Gauss, és

1 2 1 0

0 1 2 1

0 0 0 0

−

a) El sistema, és compatible o incompatible? Raoneu la resposta.

( ) ( )' 2 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I= = < = →

Per tant sistema compatible indeterminat.

b) En cas que sigui compatible resoleu-lo.

Com el rang de la matriu de coeficients i de la ampliada coincideixen el sistema és compatible. A més, com aquests rangs donen 2 però el sistema té 3 incògnites (3-2=1) serà compatible amb un grau de llibertat, és a dir, la solució dependrà d’un paràmetre.



Així, anomenem :z λ= , 2a equació: 2 1 2 1 1 2y z y yλ λ+ = → + = → = −

1a equació:

( )2 0 2 1 2 0 2 4 0 2 5x y z x x xλ λ λ λ λ+ − = → + ⋅ − − = → + − − = → = − +

Per tant, la solució del sistema és:

( ) ( ) ( ) ( ), , 2 5 , 1 2 , 2,1,0 5, 2,1x y z λ λ λ λ= − + − = − + −

És a dir, la solució del sistema és la recta que passa pel punt ( )2,1,0− i té

com a vector director ( )5, 2,1− .

8) PAU 2004 Sèrie 3 Problema 1: Donat el sistema

( ) ( )

2

2 1

2 2 2 2 1

y z

x y z

m x m z m

+ =− + + = − − + − = −

on m és un paràmetre, es demana: a) discutiu el sistema segons els valors de m;

Com la matriu de coeficients del sistema A és quadrada, treballarem amb A

en detriment del mètode de Gauss.

Així: ( ) ( ) ( )0 1 1

2 1 1 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2

2 2 0 2 2

A m m m

m m

= − = + + − − − − + ⋅ − =− −

( ) ( )2 2 2 4 1m m= − = −

( )0 4 1 0 1 0 1A m m m= → − = → − = → =

Per tant, tenim els següents casos: • Cas 1m≠ :

( ) ( )1 0 3 ' 3 º . . .m A Rang A Rang A n incògnites S C D≠ → ≠ → = → = = →

• Cas 1m= , en aquest cas el sistema és el següent:

22 2 1

2 12 1 2

0 0 0

y zy z x y z

x y zx y z y z

x y

+ =+ = − + + = − − + + = − ≅ ≅ → − + + = − + = + =

( ) ( )' 2 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I→ = = < = →

Per altra banda, podríem arribar al mateix resultat utilitzant el mètode de Gauss:

( )3 3 110 1 1 2 2 1 1 1

' 2 1 1 1 0 1 1 2

2 2 0 2 2 1 2 2 0 2 2 1

F F m F

A

m m m m m m

→ − −− −

= − − ≅ ≅ − − − − − −



33 1

2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1

0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2

0 1 1 2 2 0 1 1 2 0 0 2 4

FF

m

m m m

→−

− − − − − − ≅ ≅ ≅ − + − − −

(Notar que en la transformació que apareix en color vermell ens hem d’assegurar que no dividim per zero, per tant hem de distingir el cas 1m= .

• Mirant la matriu última podem dir que en aquest cas, ( )1m≠ , tenim que

( ) ( )' 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C D= = = →

Hem estudiat el cas 1m≠ . • Ara queda estudiar el cas 1m= .

En aquest cas la matriu ampliada del sistema queda

2 1 1 1

' 0 1 1 2

0 0 0 0

A

− − =

per

tant, ( ) ( )' 2 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I= = < = →

Encara haguéssim pogut utilitzar un “3r mètode”, la idea seria la següent: Donat un sistema d’equacions lineals si multipliquem o dividim una de les seves equacions per un nombre diferent de zero les solucions no varien. Aleshores podem veure que la tercera equació es pot dividir per 1m− . Per tant, tenim dos casos: Cas 1: Si 1 0m− ≠ (és a dir, 1m= ) la 3a equació es pot dividir per 1m− quedant el sistema:

( ) ( )( )1

2 2

2 1 2 1

2 2 12 2 2 2 1

m

y z y z

x y z x y z

x zm x m z m

÷ −

+ = + = − + + = − → − + + = − − + =− + − = −

amb matriu

associada 0 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1

2 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2

2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 1 2 0 0 2 4

− − − − − − − − ≅ ≅ ≅ − − −

i per

tant S.C.D. Cas 2: 1 0m− = , és a dir 1m= : En aquest cas la 3a equació directament s’anul·la.

( ) ( ) ( ) ( )1

2 2

2 1 2 1

2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1

m

y z y z

x y z x y z

m x m z m x z

=

+ = + = − + + = − → − + + = − ≅ − + − = − − ⋅ + ⋅ − = −

2

2 0 1 1 22 1 ' . .

2 1 2 1 1 10 0 0

y zy z

x y z A S C Ix y z

x z

+ =+ = ≅ − + + = − ≅ → = → − + + = − − − + =

b) resoleu els casos compatibles;

En l’apartat anterior hem vist que tots dos casos són compatibles:



• Cas 1m≠ , en aquest cas, la matriu ampliada associada al sistema, una vegada aplicat el mètode de reducció de Gauss és:

32

2 1 1 1 2 1

0 1 1 2 2 2 0

0 0 2 4 2 4

x y z

y z z y x

z

− − − + + = − → + = → = → = → = =

I per tant, en aquest cas la solució al sistema és ( ) ( )32, , ,0,2x y z =

• Cas 1m= , en aquest cas la matriu associada al sistema és:

2 1 1 12 1 1 1 2 1

0 1 1 20 1 1 2 2

0 0 0 0

x y z

y z

− − − − − + + = − ≅ ≅ + =

:z λ= 2 2 2y z y yλ λ+ = → + = → = −

( )2 1 2 2 1 2 2 1x y z x xλ λ λ λ− + + = − → − + − + = − → − + − + = − →

( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 2 22 3 , , ,2 , ,2,0 0, 1,1x x x y z λ λ λ→ − = − → = → = − = + −

c) en cada un dels casos de la discussió de l’apartat a), feu una interpretació geomètrica del sistema.

• Cas 1m≠ ( ) ( )' 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C D= = = →

Cada equació representa un pla en 3ℝ , els tres plans es tallen en un mateix

punt que és ( ) ( )32, , ,0,2x y z =

Cas 1m= ( ) ( )' 2 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I= = < = → En aquest cas

els tres plans representats per cadascuna de les equacions es tallen en una recta que és la solució del sistema. L’equació vectorial d’aquesta recta és

( ) ( ) ( )32, , ,2,0 0, 1,1x y z λ= + −

9) PAU 2005 Sèrie 4 Problema 1: De tres nombres, x , y i z , sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen 1; que la suma de tots tres val 0 i, per últim, ens diuen que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i del tercer dóna 1. Es demana: a) què podem dir del valor de k ? b) quan valen els tres nombres? Tenim el sistema següent:

( )

0

1

0

2 1

x y

x z

x y z

kx y z

+ = + = + + = + + =

Podem observar que el sistema format per les tres primeres equacions és compatible determinat. És a dir:



( )

3 1 2 1

00

11 0 1 1

00

2 1

E E E E

x yx y

x zx z z x y

x y zx y z

kx y z

−

+ =+ = + = → + = → = → = → = − + + = + + = + + =

Per tant, la solució del sistema format per les tres primeres equacions és

( ) ( ), , 1, 1,0x y z = −

Substituint en la 4a equació tenim

( ) ( )2 1 1 2 1 0 1 2 1 3kx y z k k k+ + = → ⋅ + − + = → − = → =

També podríem resoldre el sistema per Rangs:

( )

2 2 1

3 3 1

4 4 1

(1) )( 2

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

2 1 2 2 1 0 2 2 1 0 0 4 3

F F F

F F FF F kF

x y

x z

x y z

kx y z k k k k

→ −

→ −→ −

+ = + = − − → ≅ ≅ ≅ + + =

+ + = − − −

( )1 121 1 1 2 2 2 1 1 1

2 2 1 2 2 1 0 4 3

F k F k k k

k k k k

→ −− − + − − − ≅ ≅ − − − −

( )2 2 141 0 1 0

4 3 0 3

F F k F

k k k

→ − − ≅ − − −

(2)

1 1 0 0

0 1 1 1

0 0 1 0

0 0 0 3 k

− ≅ → −

Per a que el sistema sigui compatible determinat s’ha de

complir que ( ) ( )| º 3Rang A Rang A B n incògnites= = = →

( )| 3Rang A B→ = → 3 0 3k k− = → =

Finalment resoldrem el sistema per al valor 3k = : Aprofitant la triangulació del sistema que acabem de fer, tenim la següent matriu:

( )3

1 1 0 0 1 1 0 01 1 0 0

0 1 1 1 0 1 1 1| 0 1 1 1 0

0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0

0 0 0 3 0 0 0 0

k

A B z

k

=

− − ≅ ≅ ≅ − → = →

−

01 1 1 0 1 0 1zy z y y x y x x=→ − + = →− = → = − → + = → − = → =

Per tant, la solució del sistema és: ( ) ( ), , 1, 1,0x y z = −



10) PAU 2005 Sèrie 1 Qüestió 1: Considereu el sistema següent en funció del paràmetre real a:

1

3

x ay

ax y

− = + =

a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu els casos compatibles. Quan la matriu de coeficients és quadrada el mètode més segur per discutir un sistema possiblement sigui calcular el determinant.

2 211 0 1 1

1

aA A a a a

a

− = → = + = → = − → = − →

No té solució real.

Per tant, sigui quin sigui el valor del paràmetre a,

( ) ( )2 | º . . .Rang A Rang A B n incògnites S C D= = = →

Anem ara a resoldre’l per triangulació:

2 2 1

2

1 1 1 1 1

3 1 3 0 1 3

F F aFx ay a a

ax y a a a

→ −− = − − → ≅ + = + −

( )22

31 3

1a

a y a ya

−+ = − → =+

´

2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 1 31 1 1 1

1 1 1 1 1

a a a a a a a ax ay x a x x

a a a a a

− − − + −− = → − ⋅ = → − = → = + = + =+ + + + +

( )2 2 2

3 1 3 1 3, ,

1 1 1

a a ax y

a a a

+ + − = → = + + +

NOTA: També es podia solucionar mitjançant la fórmula de Cramer. 11) PAU 2005 Sèrie 3 Qüestió 1: En un sistema hi ha, entre d’altres, aquestes dues equacions: 2 3 5x y z+ − = i 2 4 6 2x y z+ − = − . Què podem dir de les solucions

del sistema?

2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5

2 4 6 2 2 4 6 2 0 0 0 12

x y z

x y z

+ − = − − → ≅ → + − = − − − −

( ) ( )1 2 | . .Rang A Rang A B S I→ = ≠ = →

Si el sistema ja és incompatible qualsevol altre sistema que contingui aquestes dues equacions també serà incompatible, per tant, podem dir que el sistema no té solucions.



12) PAU 2006 Sèrie 1 Qüestió 2: Esbrineu si el sistema següent pot ser compatible indeterminat per a algun valor del paràmetre m.

3 2 0

2 4 3 0

0

x y z

x y z

x y mz

+ + = + + = + + =

És incompatible per a algun valor de m? Per a ser compatible indeterminat hauríem d’estar en el cas en que

( ) ( )| 3 ºRang A Rang A B n incògnites= < = .

1 3 2

2 4 3 4 4 9 8 3 6 2 2 0 2 2 1

1 1

A A m m m m m

m

= → = + + − − − = − + = → = → =

Per a 1m = tenim que ( ) ( )2 | 3 º . . .Rang A Rang A B n incògnites S C I= = < = →

A la pregunta si és incompatible per a algun valor de m la resposta és que no, perquè un sistema homogeni mai pot ser incompatible donat que sempre tindrà com a mínim la solució trivial.

13) PAU 2006 Sèrie 3 Qüestió 4: Sigui la matriu

1 0 1

4 1

0 3

A m

m

− = −

Determineu

els valors de m per als quals ( ) 3Rang A < .

Pot ser ( ) 1Rang A = per a algun valor de m?

( ) 2 2

1 0 1

3 0 4 1 0 3 4 0 4 3 0

0 3

Rang A A m m m m m

m

−< ↔ = ↔ − = ↔ − + = → − + = →

1

3

m

m

=→ =

El rang de A no pot ser 1 mai donat que el menor 1 0

4 1

és d’ordre 2 i sempre és

no nul. 14) PAU 2006 Sèrie 4 Problema 2: Considereu el sistema d’equacions

7 8 1370

200

7 8 1395

px y z

x y z

x py z

+ + = + + = + + =



a) Discutiu-lo en funció del paràmetre p. b) Doneu la interpretació geomètrica en els casos en què el sistema és incompatible. c) Resoleu el sistema per a p = 6. Donat que la matriu de coeficients és quadrada, potser, el mètode més segur sigui fer el determinant.

2 2

7 87

1 1 1 8 8 49 56 56 16 63 09

7 8

pp

A p p p p pp

p

== = + + − − − = − + − = → =

● Si 7p = :

( )7 7 8 1370

| 1 1 1 200

7 7 8 1395

A B

= →

Podem observar que la primera i la 3a fila són

incompatibles entre sí, per tant, en aquest cas el sistema és incompatible. ● Si 9p = :

( )9 7 8 1370 1 1 1 200 1 1 1 200

| 1 1 1 200 9 7 8 1370 0 2 1 430

7 9 8 1395 7 9 8 1395 0 2 1 5

A B

= ≅ ≅ − − − → −

En aquest

cas, també podem observar que la 2a i la 3a files són incompatibles entre si, per tant, el sistema també és incompatible. ● Si 7p ≠ i 9p ≠ :

En aquest cas ( ) ( ) ( )0 3 |A Rang A Rang A Rang A B≠ → = → = =

3 º . . .n incògnites S C D= = →

La interpretació geomètrica és la següent: ● En el cas 7p = tenim que la 1a i la 3a equació corresponen a dos plans paral·lels

secants amb el pla de la 2a equació però que evidentment, tots 3, no tenen cap punt en comú i per tant el sistema és incompatible. ● En el cas 9p = també tenim que el sistema és incompatible però mirant la part

vectorial de l’equació podem veure que en aquest cas no hi ha cap parell de plans paral·lels, per tant, en aquest cas, els 3 plans es tallen dos a dos però sense tenir cap punt en comú tots 3. Finalment resoldrem el sistema quan 6p = :

1 2 2 2 1

3 3 1

66

7

7 8 1370 6 7 8 1370 1 1 1 200

200 1 1 1 200 6 7 8 1370

7 8 1395 7 6 8 1395 7 6 8 1395

F F F F Fp

F F F

px y z

x y z

x py z

↔ → −=

→ −

+ + = + + = → ≅ ≅

+ + =



3 3 2

1 1 1 200 1 1 1 200

0 1 2 170 0 1 2 170 3 165 55

0 1 1 5 0 0 3 165

F F F

z z→ +

≅ ≅ → = → = − −

2 170 2 55 170 110 170 60y z y y y+ = → + ⋅ = → + = → =

200 60 55 200 85x y z x x+ + = → + + = → =

Per tant, la solució del sistema en el cas 6p = és ( ) ( ), , 85,60,55x y z =

15) PAU 2007 Sèrie 1 Problema 2: Discutiu el sistema següent

2 5

2 2 10

6 3 12

x y z

x py z

px y z

+ + = + + = + + =

en funció del paràmetre p. Doneu la interpretació geomètrica del

sistema en cada cas i resoleu-lo quan sigui compatible. Donat que la matriu de coeficients és quadrada el més fàcil serà calcular el seu determinant:

2 2

1 2 13

2 2 3 12 4 12 12 7 12 04

6 3

pA p p p p p p

pp

== = + + − − − = − + − = → =

● Si 3p = :

( )2 2 1

3 3 1

2

3

1 2 1 5 1 2 1 5

| 2 3 2 10 0 1 0 0

3 6 3 12 0 0 0 3

F F F

F F FA B

→ −

→ −

= ≅ − → −

La fila 3 ens diu que el sistema

és incompatible. Podem observar que la 1a i la 3a equació corresponen a plans paral·lels, per tant, la situació geomètrica seria que la 1a i la 3a equació són dos plans paral·lels, secants al pla que representa l’equació 2a però que evidentment, tots tres, no tenen cap punt en comú. ● Si 4p = :

( )2 2 1

3 3 1

2

4

1 2 1 5 1 2 1 5

| 2 4 2 10 0 0 0 0

4 6 3 12 0 2 1 8

F F F

F F FA B

→ −

→ −

= ≅ → − − −

( ) ( )2 | 3 º . . .Rang A Rang A B n incògnites S C I→ = = < = →

En aquest cas podem observar que la 1a i la 2a equació són proporcionals, per tant corresponen al mateix pla que intersecarà amb el pla representat en la 3a equació en una recta comuna. ● Si 3p ≠ i 4p ≠ :

En aquest cas ( ) ( )| 3 º . . .Rang A Rang A B n incògnites S C D→ = = = → En aquest

cas, els tres plans representats per les equacions es tallen en un únic punt.



Finalment anem a resoldre el sistema en els casos en que és compatible:

2 2 1

3 3 1

21 2 1 5 1 2 1 5

2 2 10 0 4 0 0

6 3 12 0 6 2 3 12 5

F F F

F F pFp p

p p p p

→ −

→ −

≅ − − − −

Podem observar que aquesta ja és una matriu triangular: ● Si 4p = la 2a equació és nul·la i el sistema queda:

1 2 1 52 8 2 8

0 2 1 8y z z y

→ − − = − → = − + − − −

2 5 2 2 8 5 3x y z x y y x+ + = → + − + = → = −

Així, en aquest cas, la solució del sistema és: ( ) ( ), , 3, , 2 8x y z y y= − − + que

correspon a una recta. ● Si 3p ≠ i 4p ≠ :

1 2 1 5

0 4 0 0

0 6 2 3 12 5

p

p p p

− − − −

Donat que 4p ≠ tenim de la 2a equació que: ( )4 0 0p y y− = → =

Substituint en la 3a equació tenim que:

( ) ( ) ( )0 3 12 56 2 3 12 5 3 12 5

3y p p

p y p z p p z p zp

= ≠ −− + − = − → − = − → =−

Finalment, substituint en la 1a equació: 12 5 12 5 15 5 12 5 3

2 5 2 0 5 53 3 3 3

p p p px y z x x

p p p p

− − − − ++ + = → + ⋅ + = → = − = =− − − −

Així, en aquest cas, la solució és el punt: ( ) 3 12 5, , ,0,

3 3

px y z

p p

−= − −

NOTA: Per resoldre sistemes d’equacions on la matriu de coeficients és quadrada, depèn d’un paràmetre i el sistema és compatible indeterminat resulta molt útil la Regla de Cramer.



16) PAU 2007 Sèrie 3 Qüestió 2: Donada la matriu següent dependent d’un paràmetre m:

1 1 2

2 2

2 2

A m m

m m

= +

a) Estudieu-ne el rang segons els valors de m.

b) Digueu quina és la posició relativa dels plans 1 : 2 2x y zπ + + = ,

2 : 2 2 2x my mz mπ + + = + i ( )3 : 2 2 0mx y m zπ + + + = , segons els valors de m.

( ) ( )2 2

1 1 2

2 2 2 8 2 2 4 2 2

2 2

A m m m m m m m m

m m

= = ⋅ + + + − − − + =+

( )22 22 8 4 4 2 4 4 2m m m m m m m= + + − − − = − + = −

( )20 2 0 2 0 2A m m m= → − = → − = → =

● Si 2m≠ , aleshores ( )0 3A Rang A≠ → =

● Si 2m= , aleshores, ( )1 1 2 1 1 2

2 2 4 0 0 0 1

2 2 4 0 0 0

A Rang A

= ≅ → =

Per estudiar la posició relativa dels plans caldria estudiar els rangs de les matrius que formen i després comparar-los dos a dos.

( )1 1 2 2

| 2 2 2

2 2 0

A B m m m

m m

= + +

Donat que la matriu A ja l’hem estudiat podem afirmar que:

● Si 2m≠ , aleshores ( ) ( )3 | 3 . . .Rang A Rang A B S C D= → = → → Els tres plans es

tallen en un únic punt.

● Si 2m= , ( )1 1 2 2 1 1 2 2

| 2 2 4 4 0 0 0 0

2 2 4 0 0 0 0 4

A B

= ≅ → −

( ) ( )1 2 | .Rang A Rang A B S I→ = ≠ = → i observant la matriu i mirant les

equacions de dos en dos podem dir que els dos primer plans són coincidents i paral·lels al tercer.



17) PAU 2008 Sèrie 4 Qüestió 3: Considereu un sistema de dues equacions amb tres incògnites. Pot ser incompatible? Pot ser compatible determinat? Raoneu les respostes.

Un sistema així pot ser incompatible. Per exemple, el sistema 1

2

x y z

x y z

+ + = + + =

ho és,

però un sistema de dues equacions amb tres incògnites no pot ser mai compatible determinat. Donat que per ser compatible determinant s’ha de donar que

( ) ( )| º 3Rang A Rang A B n incògnites= = = .

Però per altra banda, el rang d’una matriu és menor o igual que el mínim entre el seu nombre de files i de columnes, és a dir,

( ) ( ) ( ) ( )min º , º min 2,3 2 3Rang A n files n columnes Rang A≤ = = → ≠ .

18) PAU 2008 Sèrie 2 Qüestió 3: Discutiu el sistema d’equacions lineals següent en funció dels valors del paràmetre m.

( )( )

( )

1 1

1 1

1 2

x y m z

x m y z m

m x y z m

+ + − =

+ − + = − − + + = +

Donat que la matriu de coeficients és quadrada podem procedir per determinants:

( ) ( ) ( ) ( )3

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

m

A m m m m m

m

−= − = − + − + − − − − − =

−

( ) ( ) ( )3 3 2 3 23 1 1 2 3 3 3 3 1 2 3 5 3 3 1m m m m m m m m m m= − − − − = − − − + − − = − − + − + =

( ) ( )23 23 4 1 2m m m m= − + − = − + ⋅ −

( ) ( )( )

2

2

1 0 10 1 2 0

2 0 2 0 2

m mA m m

m m m

+ = → = −= → − + ⋅ − = → − = → − = → =

● Per tant, si 1m≠ − i 2m≠ , aleshores:

( ) ( ) ( )0 3 | º . . .A Rang A Rang A Rang A B n incògnites S C D≠ → = → = = →

● Si 1m= − , aleshores:

( )3 3 22 2 1

3 3 12

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1

| 1 2 1 2 0 3 3 3 0 3 3 3

2 1 1 1 0 3 3 3 0 0 0 0

F F FF F F

F F FA B

→ +→ −

→ +

− − − = − − ≅ − − ≅ − − → − −




● Si 2m= , aleshores:

( )1 1 1 1

| 1 1 1 1

1 1 1 4

A B

= →

Ja es pot observar que les dues primeres files són iguals i

incompatibles amb la 3a, per tant, en aquest cas . .S I NOTA: També haguéssim pogut discutir el sistema esgraonant la matriu amb el mètode de Gauss. El resultat hagués estat:

( )( )

2 2 1

3 3 112

1 1 1 1 1 1 1 1

| 1 1 1 1 0 2 2 2

1 1 1 2 0 2 2 3

F F F

F F m F

m m

A B m m m m m

m m m m m

→ −

→ − −

− − = − − ≅ − − + − ≅ − + − − +

3 3 2

2

1 1 1 1

0 2 2 2

0 0 2 1

F F Fm

m m m

m m m

→ +−

≅ − − + − − + + +

2 2 0 2 1 ....m m m i m− + + = → = = − → obtenint els mateixos resultats que abans.

19) PAU 2008 Sèrie 5 Problema 1: Considereu el sistema d’equacions següent:

( )

( )

2 1 4

2 4

4 1 2

x y a z

x y z

x a y z a

+ − − = − + = − − + + = −

a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan sigui compatible indeterminat. c) En el cas de l’apartat anterior, trobeu una solució del sistema en què x, y i z tinguin valors enters. Mirant els dos primers aparts, donat que la matriu de coeficients és quadrada i que en l’apartat b) ens demanen resoldre el sistema precisament quan és compatible indeterminat que per Cramer surt automàtic pot ser la millor opció sigui treballar amb determinants.

( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

1 2 1 4 1 1 4 8 1 2 1 1

4 1 1

a

A a a a a

a

− += − = − + − − ⋅ − + + + ⋅ − + − ⋅ − − − =

− −

2 24 1 4 8 8 2 2 1 6 8a a a a a a a= − + − + − + − + + + − = − +

2 40 6 8 0

2

aA a a

a

== → − + = → =



Així: ● Si 2a ≠ i 4a ≠ aleshores:

( ) ( ) ( )0 3 | 3 º . . .A Rang A Rang A Rang A B n incògnites S C D≠ → = → = = = →

● Si 2a = :

( )1 2 2 2 1

3 3 1

2

4

2 1 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4

| 1 2 1 4 2 1 1 4 0 5 3 12

4 3 1 4 4 3 1 4 0 5 3 12

F F F F F

F F FA B

↔ → −

→ −

− − − − − = − − ≅ − ≅ − → − − − − −


● Si 4a = :

( )

( )

2 1 4

2 4

4 1 2

x y a z

x y z

x a y z a

+ − − = − + = − − + + = −

( )2 1 2 2 1

3 3 1

2

4

2 1 3 4 1 2 1 4 1 2 1 4

| 1 2 1 4 2 1 3 4 0 5 5 12

4 5 1 8 4 5 1 8 0 3 3 8

F F F F F

F F FA B

↔ → −

→ −

− − − − − = − − ≅ − ≅ − → − − − − −

( ) ( )2 3 | . .Rang A Rang A B S I→ = ≠ = →

Anem ara a resoldre el sistema quan és compatible indeterminat, és a dir, quan

2a = . En aquest cas, hem obtingut que:

( )2 1 1 4 1 2 1 4

1 2 1 4| 1 2 1 4 0 5 3 12

0 5 3 124 3 1 4 0 5 3 12

A B

− − − − − = − − − → − − − −

∼ ∼

12 3

5 3 12 5 12 35

zy z y z y

+→ − = → = + → =

12 3 24 62 4 2 4 4

5 5z z

x y z x z x z+ − −− + = − → − ⋅ + = − → + + = − →

24 6 20 5 24 6 44

5 5 5z z z z

x z x x+ − − + + +→ = − − + → = → =

Així, la solució és: ( ) 4 12 3, , , ,

5 5

z zx y z z

+ + =

on una solució entera s’obtindria

quan 1z= que tindríem: ( ) ( )1 4 12 3 1, , , ,1 1,3,1

5 5x y z

+ + ⋅ = =



20) PAU 2009 Sèrie 4 Qüestió 4: En la resolució pel mètode de Gauss d’un sistema de tres equacions amb tres incògnites ens hem trobat amb la matriu següent:

3 5 2 5

0 0 0 0

0 3 6 6

− − −

a) Expliqueu, raonadament, quin és el caràcter del sistema inicial. b) Si és compatible, trobeu-ne la solució.

En aquest cas ( ) ( )| 2 3 º . . .Rang A Rang A B n incògnites S C I= = < = →

3 5 2 5

3 5 2 5 3 5 2 50 0 0 0

0 3 6 6 0 1 2 20 3 6 6

− − − − − −

− − −

∼ ∼

2 2 2 2y z y z− = → = +

( )3 5 2 5 3 5 2 2 2 5 3 10 10 2 5x y z x z z x z z− + = − → − ⋅ + + = − → − − + = − →

8 53 5 8

3z

x z x+→ = + → =

Així, la solució del sistema és: ( ) 8 5, , , 2 2,

3

zx y z z z

+ = +

21) PAU 2009 Sèrie 3 Qüestió 1: Considereu la matriu 2

1 2

A a b

b a

=

. Trobeu els

valors dels paràmetres a i b perquè la matriu tingui rang 1.

La matriu A tindrà rang 1 si les tres seves files són proporcionals. És a dir, si ( )1, 2

és proporcional a ( ),a b i ( )1, 2 també és proporcional a ( )2,b a .

( ) ( )

( ) ( )2

22 2

2

1 21, 2 , 2 2

2 2 2 41 2 2

1, 2 , 2

a b b a b aa b a b a aa b

b a a bb a

→ = → = = → → = = ⋅ = → = → = → =

∼

∼

( )2

2 2

2

0 04 4 0 4 0

4 8

b a

b a

a ba a a a a a

a b

=

=

= → =→ = → − = → ⋅ − = → = → =

Per tant el problema té dues possibles solucions: ( ) ( ), 0,0a b = i ( ) ( ), 4,8a b =



22) PAU 2009 Sèrie 3 Qüestió 3: Donat el sistema x py p

px y p

+ = + =

:

a) Discutiu-ne el caràcter en funció del paràmetre p. b) Resoleu-lo quan 2p = .

( )2 2 1

2 2

1 1|

1 0 1

F F pFp p p pA B

p p p p p

→ − = ≅ − −

2 21 0 1 1 1p p p p− = → = → = → = ∓

● Si 1p ≠ ± , aleshores:

( ) ( ) ( )2 | 2 º . . .Rang A Rang A Rang A B n incògnites S C D= → = = = →

● Si 1p = , aleshores el sistema queda:

( ) 12 2

1 1 1 1 1|

1 0 1 0 0 0pp p p p

A Bp p p p p

= = → → − − ∼

( ) ( )| 1 2 º . . .Rang A Rang A B n incògnites S C I→ = = < = →

● Si 1p = − , aleshores el sistema queda:

( ) 12 2

1 1 1 1 1|

1 0 1 0 0 2pp p p p

A Bp p p p p

=− − − = → → − − − ∼

( ) ( )1 2 | . .Rang A Rang A B S I→ = ≠ →


Donat el sistema d’equacions lineals

( )

2 1

2 4

3 5

x y z

x y z

x y p z

+ − = −+ + = − + − =

:

a) Estudieu-ne el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) en funció del paràmetre p. b) Comproveu que si p ≠ 5 la solució del sistema no depèn del valor d’aquest paràmetre.

( )3 3 22 2 1

3 3 1

21 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

| 2 1 1 4 0 3 3 6 0 3 3 6

1 1 3 5 0 3 2 6 0 0 5 0

F F FF F F

F F FA B

p p p

→ −→ −

→ −

− − − − − − = ≅ − ≅ − − − − − −

● Si 5p = , ( ) ( )| 2 3 º . . .Rang A Rang A B n incògnites S C I= = < = →

● Si 5p ≠ , ( ) ( ) ( )3 3 | 3 º . . .Rang A Rang A Rang A B n incògnites S C D= → = = = = →



Si 5p ≠ , la matriu del sistema equival a la matriu esgraonada

1 2 1 1

0 3 3 6

0 0 5 0p

− − − −

on la 3a equació queda de la forma ( )5 0p z− = que té com a solució 0z =

independentment del valor del paràmetre p .

Continuant resolvent el problema tenim que: 03 3 6 3 6 2zy z y y=− + = →− = → = −

202 1 4 0 1 3y

zx y z x x=−

=+ − = − → − − = − → =

Per tant, la solució del sistema és ( ) ( ), , 3, 2,0x y z = − que evidentment no depèn

del valor del paràmetre p .

24) PAU 2010 Sèrie 4 Qüestió 4: Hem escalonat la matriu ampliada d’un sistema d’equacions lineals,

A · X = b, i hem obtingut: ( )1 2 3 2

0 2 1 1

0 0 1 3

A b a

a

− + − −

∼

a) Discutiu aquest sistema en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan a = 2. ● Si 1a ≠ i 2a ≠ − tenim que:

( ) ( ) ( )3 | º . . .Rang A Rang A Rang A B n incògnites S C D= → = = →

● Si 1a = tenim que ( ) ( )2 3 | . .Rang A Rang A B S I= ≠ = →

● Si 2a = − la matriu quedarà:

( )3 3 23

1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2

0 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 2 1 3 0 0 3 3 0 0 0 0

F F F

A b→ +

− − − − + − = − ≅ − → − − −

∼

( ) ( )| 2 3 º . . .Rang A Rang A B n incògnites S C I→ = = < = →

Finalment, anem a resoldre el sistema quan 2a = :

( ) ( )2

1 2 3 2 1 2 3 2

0 2 1 1 0 4 1 1

0 0 1 3 0 0 1 3

aA b a A b

a

=

− − + − → − → −

∼ ∼

3z→ = 34 1 4 3 1 4 4 1zy z y y y=+ = − → + = − → = − → = −

2 3 2 2 9 2 9x y z x x− + = → + + = → = −

Així la solució del sistema quan 2a = és: ( ) ( ), , 9, 1,3x y z = − −



25) PAU 2010 Sèrie 5 Qüestió 1: Considereu un sistema qualsevol de dues equacions amb tres incògnites. Responeu raonadament a les qüestions següents: a) És possible que el sistema considerat sigui compatible determinat? b) Pot ser incompatible? AQUEST PROBLEMA ÉS EL MATEIX QUE EL Nº 17, PER TANT, ES POT MIRAR ALLÍ LA SOLUCIÓ!! 26) PAU 2011 Sèrie 1 Qüestió 4: Considereu el sistema d’equacions següent:

( )( )

2 3

2 5 4 2

4 1 3 4

x y az

x a y z a

x a y z

+ − = −

+ − + = + + − − =

a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè el sistema no sigui compatible determinat. b) Hi ha algun valor de a per al qual x=1, y=–3, z=–1 sigui l’única solució del sistema? Si aquesta és la única solució del sistema aquest ha de ser compatible determinat.

És a dir ( ) ( )| 3 ºRang A Rang A B n incògnites= = = . Per tant, hem de buscar els

valors del paràmetre a que fan que la matriu A no tingui ( )3Rang , és a dir, els

valors de a que anul·len el seu determinant. Així:

( )( )

2 3 1 2

2 5 4 2 2 5 1

4 1 34 1 3 4

x y az a

x a y z a A a

ax a y z

+ − = − −

+ − + = + → = − = − −+ − − =

( ) ( ) ( ) ( )3 5 2 1 8 4 5 1 12a a a a a a= − − − − + + − − − + =

2 2 2 93 15 2 2 8 4 20 1 12 2 22 36 0

2

aa a a a a a a a

a

== − + − + + + − − + + = − + = → =

Si x=1, y=–3, z=–1 és l’única solució del sistema, vol dir que aquest és compatible

determinat, per tant, ( ) ( )| 3 ºRang A Rang A B n incògnites= = = i per tant 2a ≠ i

9a ≠ . Comprovem en aquest cas ( )2, 9a a≠ ≠ , si x=1, y=–3, z=–1 és solució del

sistema i en cas que ho sigui, pel raonament anterior, aquesta serà la única:

( )( )

( ) ( ) ( )( )

, , 1, 3, 1

2 3 1 6 3

2 5 4 2 2 3 5 1 4 2

4 1 3 4 4 3 1 3 4

x y z

x y az a

x a y z a a a

x a y z a

= − −

+ − = − − + = −

+ − + = + → − − − = + → + − − = − − + =



2 2 2

2 3 15 1 4 2 14 7 2

4 3 3 3 4 6 3 2

a a a

a a a a

a a a

= = = → − + − = + → = → = → − + + = = =

Per tant, per a que la terna x=1, y=–3, z=–1 sigui solució del sistema s’ha de complir que 2a = però en aquest cas, per l’apartat anterior, el sistema no és compatible determinat, i per tant aquesta solució no seria la única. Així, no existeix cap valor de a per al qual la terna x=1, y=–3, z=–1 sigui la única solució del problema. el problema. 27) PAU 2011 Sèrie 2 Qüestió 1:

Donada la matriu

1 1 1

0 2 1

0 2

k

M k

k k

+ = − − −

:

a) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu M no és invertible.

b) Per a k=0, calculeu 1M − . Evidentment això ocorrerà quan el determinant sigui 0.

( ) ( ) ( )1 1 1

2 1 1 10 2 1 1 1 2

2 10 2

kk

M k k k kk k k

k k

+−

= − = + ⋅ = + ⋅ − ⋅ =− − −

− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 2 1k k k k k= + ⋅ − ⋅ − − = − − ⋅ +

( ) ( )( )

2

2

2 0 20 2 1 0

1 0 1 0 1

k kM k k

k k k

− = → == → − − ⋅ + = → + = → + = → = −

Per tant, M no serà invertible si 2k = o 1k = − .

Finalment anem a calcular la inversa de M quan 0k = .

( ) ( ) ( ) ( )2 2 202 1 0 2 0 1 2 1 2M k k M= − − ⋅ + → = − − ⋅ + = ⋅ =

( )0 0 0

1 1 1 1 0 0 2 2 3

0 2 1 1 2 2 0 0 1

0 2 0 1 1 0 0 2 2

t tM M Adj M

− = − → = − − → = − − −

( ) ( )3

21

120 0

0

2 2 3 1 11 1

0 0 1 0 02

0 2 2 0 1 1

tM Adj MM

− −

− − = ⋅ = ⋅ − = − −



28) PAU 2011 Sèrie 4 Qüestió 4: Analitzeu, segons els valors del paràmetre k, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d’equacions següent:

( )( )

2 4

6 3 0

1 2 3

x y z k

k y z

k x y

+ − = −

− + = + + =

Donat que la matriu de coeficients és una matriu quadrada, el mètode millor és calcular el seu determinant i mirar quins valors de k l’anul·len però en aquest cas he resolt el problema discutint el sistema esgraonant la matriu mitjançant el mètode de Gauss tot i que és un mètode una mica suïcida perquè és més fàcil equivocar-se.

( )3 3 1

3 3

2

122

3 1 3 102 2 2

2 1 1 4 2 1 1 4

| 0 6 3 0 0 6 3 0

1 2 0 3 0

kF F F F F

k k k k

k k

A b k k

k

+→ − →

− + − + +

− − − − = − ≅ − ≅

+

13 3 23

22 22 153

(*)

2 1 1 4 2 1 1 4

0 6 3 0 0 6 3 0

0 3 1 3 10 0 0 3 10

kF F F

k k

k k

k k

k k k k k k

+→ −

− + +

− − − − ≅ − ≅ −

− + − + + − + +

( )* Arribat aquest punt l’esgraonament es complica i resultaria molt més fàcil no

seguir esgraonant sinó mirar els valors de k per als quals les files 2a i 3a són

proporcionals, és a dir, 6 3

/3 1k

kk k

− =− +

.

22 52 15

0 2 15 032

kk kk k

k

=− + + = → − + + = → = −

● Si 5k ≠ i 3k ≠ aleshores ( ) ( )| 3 º . . .Rang A Rang A b n incògnites S C D= = = →

● Si 5k = aleshores:

( )2

5

22 153

2 1 1 4 2 1 1 1

| 0 6 3 0 0 1 3 0

0 0 3 10 0 0 0 0

k

k k

k

A b k

k k

=

− + +

− − − ≅ − = − →

− + +

( ) ( )| 2 3 º . . .Rang A Rang A b n incògnites S C I→ = = < = →

● Si 3k = − aleshores:

( )2

3

22 153

2 1 1 4 2 1 1 7

| 0 6 3 0 0 9 3 0

0 0 3 10 0 0 0 8

k

k k

k

A b k

k k

=−

− + +

− − − − ≅ − = − →

− + + −

( ) ( )2 3 | . .Rang A Rang A b S I→ = ≠ →




( )

3 2

2 5 2 3

2 3 2 9

x y z

x ay z a

x y a z

+ − =+ − = + − + − =

a) Calculeu el valor o els valors del paràmetre a per al qual o per als quals el sistema és compatible indeterminat. • Donat que la matriu de coeficients és quadrada podem treballar per determinants. Així:

( ) ( )1 1 3

2 5 2 18 10 6 15 2 2

2 3 2

A a a a a a

a

−= − = − + − + − − − =

− −

2 2 12 8 6 15 2 4 2 3 0

3

aa a a a a a

a

== − + + − − + = + − = → = −

• Estudiem ara quin dels dos casos fa que el sistema sigui compatible indeterminat: • Cas 1a = :

3 22 2 1

3 3 1

52

2

1 1 3 2 1 1 3 21 1 3 2

' 2 1 5 5 0 1 1 10 1 1 1

2 3 1 9 0 5 5 5

F FF F F

F F FA

=→ −

→ −

− − − = − ≅ − ≅ → − − − −

( ) ( )' 2 3 nº incògnites . . .Rang A Rang A S C I→ = = < = →

• Cas 3a = − :

1 1 3 2

' 2 3 5 3

2 3 5 9

A

− = − − − − −

En aquest cas es veu clar que el sistema és incompatible

perquè les dues últimes equacions són incompatibles entre si.

Per tant, la resposta a la pregunta és 1a = .

NOTA: Evidentment també haguéssim pogut esgraonar la matriu, seria així:

2 2 1

3 3 1

2

2

1 1 3 2 1 1 3 2

' 2 5 2 3 0 2 1 2 1

2 3 2 9 0 5 4 5

F F F

F F FA a a a a

a a

→ −

→ −

− − = − + ≅ − − − − − +

Arribat aquest punt seguir esgraonant la matriu pot resultar feixuc i és més fàcil obligar a que les dues últimes files de la matriu de coeficients A siguin proporcionals, així:

( )( ) 2 2 12 12 4 5 4 2 8 5 2 3 0

35 4

aaa a a a a a a

aa

=− = → − + = − → + − − = − → + − = → = −− +

b) Quantes solucions té aquest sistema quan 3a = − ?



Hem vist en l’apartat anterior que 3a = − és precisament el valor de a que fa que el sistema sigui incompatible, per tant, en aquest cas el sistema no té solució. 30) PAU 2013 Sèrie 4 Qüestió 1:

Sabem que el vector ( )2,1, 1− és una solució del sistema

2

ax by cz a c

bx y bz a b c

cx by z b

+ + = + − + = − − − + =

Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c.

Si el vector és solució del sistema, substituint-lo en les variables ( ), ,x y z s’han de

complir les tres equacions:

( ) ( ), , 2,1, 1

2 2 0

2 1 2 1

2 2 2 2 2 2

x y z

ax by cz a c a b c a c a b c

bx y bz a b c b b a b c a b c

cx by z b c b b b c

= −

+ + = + + − = + + − = − + = − − → − − = − − ≅ − + + = − + = − − = − + =

2 3 3 3 22 2 1

13 32

31 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0

' 1 2 1 1 0 3 1 1 0 1 1 1

0 2 2 2 0 1 1 1 0 3 1 1

F F F F FF F F

F FA

↔ → +→ +

→

− − − = − ≅ − ≅ − ≅ − − −

1 1 2 0

0 1 1 1

0 0 2 4

− ≅ −

2 4 2c c= → =

1 2 1 1 1b c b b b− + = → − + = → − = − → = 2 0 1 4 0 3 0 3a b c a a a+ − = → + − = → − = → =

Per tant la solució del problema és: 3, 1 i 2a b c= = =

31) PAU 2013 Sèrie 5 Qüestió 2: La matriu de coeficients d’un sistema d’equacions lineals homogeni és:

1 2 3

2 1 0

4 1 2 2

A a

a

− = − +

a) Per a quins valors del paràmetre a el sistema té una solució? Quina és aquesta solució única? b) Resoleu el sistema si 2a = .



Un sistema homogeni sempre és compatible, és a dir, sempre té solució perquè

com a mínim té la solució trivial ( ) ( ), , 0,0,0x y z = . Aleshores solament podrà ser

compatible determinat si ( ) º 3Rang A n incògnites= = o compatible indeterminat si

( ) º 3Rang A n incògnites< = .

En el nostre cas: 1 2 3

2 1 0

4 1 2 2

A a

a

− = − +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

2 1 0 1 1 2 2 6 0 12 1 0 4 2 2

4 1 2 2

A a a a a a

a

−= − = − − ⋅ + + + − − − − + =

+

( )2 21 2 2 2 2 6 12 12 8 8 2 2 6 12 12 8 8a a a a a a a a= − + − − + − + − − = − + + − + − − =

( )2 2 2 42 4 16 0 2 2 8 0 2 8 0

2

aa a a a a a

a

= −= + − = → + − = → + − = → =

Per tant: • Si 4a = − o 2a = tindrem:

( ) ( )' 2 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I solucions= = < = → → ∞ i

•Si 4a ≠ − i 2a ≠ tenim

( ) ( )' 3 º . . . 1Rang A Rang A n incògnites S C D solució= = = → →

Així la resposta al problema és 4a ≠ − i 2a ≠ .

Anem a resoldre el sistema quan 2a = , cas en que sabem que sortirà compatible indeterminat:

2

1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 0

2 1 0 ' 2 1 0 0 ' 2 1 0 0

4 1 2 2 4 1 2 2 0 4 1 6 0

aA a A a A

a a

=

− − − = − → = − → = − ≅ + +

12 232 2 1

13 3 1 3 39

2

4

1 2 3 0 1 2 3 01 2 3 0

0 3 6 0 0 1 2 00 1 2 0

0 9 18 0 0 1 2 0

F FF F F

F F F F F

→→ +

→ + →

− − − ≅ ≅ ≅

Sigui :z λ= .

2 0 2 0 2y z y yλ λ+ = → + = → = −

( )2 3 0 2 3 2 2 3 4 3x y z x y z x λ λ λ λ λ− + + = → = + → = − + = − + = − →

( ) ( ), , , 2 ,x y z λ λ λ→ = − −



32) PAU 2014 Sèrie 4 Qüestió 2: Responeu a les qüestions següents:

a) Discutiu el sistema d’equacions lineals

( ) ( )( )

21 1 0

4 1 7 1

0

k y k z

k x y z

x y z

− + − = + − − = + + =

en funció dels

valors de k. Considerem la matriu ampliada del sistema:

( )2 2 11 3

2

4 1

2

0 1 1 0 1 1 1 0

' 4 1 1 7 1 4 1 1 7 1

1 1 1 0 0 1 1 0

F F k FF Fk k

A k k

k k

→ − +↔ − − = + − − ≅ + − − ≅

− −

2

1 1 1 0

0 4 2 4 8 1

0 1 1 0

k k

k k

≅ − − − − − −

Finalment, per a que les files dos i tres siguin proporcionals s’ha de complir que:

( ) ( )( ) ( )( )2

1 22

4 2 4 8 4 2 4 84 2 1 4 8 1

1 1 1 1xk k k k

k k k kk k k k

−− − − − + += → = → + − = + − →− − − −

( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )1 1 0

4 2 1 1 4 8 14 2 1 4 8

k kk k k k k

k k k÷ − − =→ + + − = + − → → + + = +

2

1

4 4

k

k k

=→

+ 2 2 4k k+ + = 223

2

21

11

2 3 04 2 6 08

kk

kk kk k

k

÷

−

== =→ → + − = →+ − =+ =

Per tant, els valors que hem d’estudiar són 1k = i 3

2k

−= .

Cas 1: Si 1k ≠ i 3

2k

−≠ aleshores:

( ) ( )' 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C D= = = → → Solució única

Cas 2: 1k = , en aquest cas:

1 3

2

10 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0

' 4 1 1 7 1 5 1 7 1 5 1 7 1

1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0

F Fkk k

A k↔=

− − = + − − ≅ − − ≅ − − ≅

2 2 151 1 1 0 1 1 1 0

5 1 7 1 0 6 12 1

F F F→ − ≅ ≅ → − − − −

( ) ( )' 2 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I→ = = < = → → ∞ solucions

Cas 3: 32

k −= , en aquest cas:



31 32 1 1

2 5 52 4 4

0 1 1 0 0 0 0 10 5 0

' 4 1 1 7 1 5 1 7 1 5 1 7 1

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

k F FF Fk k

A k−= ↔→

− − − − = + − − ≅ − − − ≅ − − − ≅

12 2 3 3 22 2 1 2

13 35

12

51 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

5 1 7 1 0 4 2 1 0 2 1

0 10 5 0 0 2 1 0 0 2 1 0

F F F F FF F F

F F

−→ →−

−→ +

→

≅ − − − ≅ − ≅ − ≅ − − −

1212

1 1 1 0

0 2 1

0 0 0

−

≅ − −

En aquest cas ( ) ( )2 3 ' . .Rang A Rang A S I= ≠ = → → No té solució.

NOTA: En la solució que proposen a les PAU resolen l’exercici per determinants. Podeu mirar si us sentiu més còmodes raonant per determinants o amb el mètode de Gauss.

b) Resoleu el sistema per a 1k = .

Abans hem raonat que quan 1k = la matriu ampliada del sistema era:

1 1 1 0'

0 6 12 1A

= − −

Sigui z λ= , aleshores: 12 1 12 1

6 12 1 6 12 1 6 12 16 6

y z y y y yλ λλ λ + − −− − = → − − = → − = + → = → =−

12 1 12 1 6 6 10 0 0

6 6 6x y z x x x

λ λ λ λλ− − − − + ++ + = → + + = → + = → =

Per tant, en aquest cas, la solució del sistema és la recta:

( ) 6 1 12 1 1 1, , , , , 2 ,

6 6 6 6x y z

λ λ λ λ λ λ+ − − = = + − −


Considereu el sistema d’equacions lineals ( )3 4 2

mx y m

x m y m

− = + − = +

per a m∈ℝ .

a) Discutiu el sistema d’equacions per als diferents valors del paràmetre m .

En la solució que proposen a les PAU resolen aquest apartat per determinants que és el mètode menys arriscat aprofitant que la matriu de coeficients és quadrada. Per a que tingueu un altre mètode, aquí resoldrem el problema amb el mètode de Gauss. Si volem esgraonar el sistema pel mètode de Gauss tindrem:



2 2 132 1

2 24 33 3

3 4 21 3 4 2'

3 4 2 1 0

m

m m

F FF F

m

F

m

m mm m m mA

m m m m − + −

−↔

− +

→ − + − − + = ≅ ≅ − + −

( )2

12 2 14 30 4 3 0 4 3 0

33x mm m

m m m mm

− =− + − = → − + − = → − + = → =

• Cas 1: 1m≠ i 3m≠ . En aquest cas,

( ) ( )' 2 nº incògnites S.C.D.Rang A Rang A= = = → → El sistema té una única

solució. • Cas 2: 1m=

2 2

11 13

2 2

1

4 3 1 4 3 1 13 3 3 3

3 4 2 3 1 4 1 2 3 3 3 1 1 1'

0 0 0 0 0 00 0

F Fm

m m m m

m mA

=

− + − − + − + − − +

→− + − + − − ≅ = = ≅

En aquest cas, ( ) ( )' 1 2 nº incògnites . . . solucionsRang A Rang A S C I= = < = → → ∞

• Cas 3: 3m=

11 13

2 2 2 2

3

4 3 3 4 3 3 3 33 3 3 3

3 4 2 3 1 4 1 2 3 3 3 1 1 1'

0 0 2 0 0 20 0

m

m m m

F

m

Fm mA

=

− + − − + − + ⋅ − − +

→− + − + − − ≅ = = ≅ − −

En aquest cas, ( ) ( )1 2 ' .I.Rang A Rang A S= ≠ = → → No té solució

b) Resoleu el sistema en aquells casos en què el sistema sigui compatible. Hem de resoldre el sistema en el cas en que 1m≠ i 3m≠ i en el cas en que 1m= . • Cas 1m≠ i 3m≠ . En aquest cas on no ens podem lliurar del paràmetre m un mètode de treball molt aconsellable és el mètode de Cramer.

( )1

'3 4 2 3 4 2

mx y m m mA

x m y m m m

− = − → = + − = + − +

( ) ( )( )

2 2

2 2

1

4 22 4 4 2 3 21 4 3 4 3 4 3

3 4

m

m m mm m m m m m mx

m m m m m m m

m

−− + ++ − − + + − += = = = =

− − + − + − +−

( )1m−=

( )( )

2

1

m

m

−

− ( )2

33

m

mm

−=−−



( )( )

2 2

2 2

2 33 2 2 31 4 3 4 3 4 3

3 4

m m

m m mm m m m m my

m m m m m m m

m

+ −+ + − −= = = = =− − + − + − +−

( )1m−=

( )1

m

m− ( ) 33

m

mm=

−−

Per tant, en aquest cas la solució del sistema és ( ) 2, ,

3 3

m mx y

m m

− = − − .

• Cas 1m= .

( )2 2 1

131 1 1 1

' '3 4 2 3 4 2 3 3 3

Fm

F Fmx y m m mA A

x m y m m m=

→ −− = − − → = → = ≅ + − = + − + −

( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 1 1 , 1 ,

0 0 0yx y x x yλ λ λ λ=− ≅ ≅ − → − = → = + → = +

Per tant, en aquest cas la solució del sistema és la recta ( ) ( ), 1 ,x y λ λ= +


( )( )

3 2 3 0

2 3 0

3 0

x y z

a y z

x y a z

− + + =

− − = − − + − − =

a) Calculeu per a quins valors del paràmetre a el sistema té més d’una solució.

El sistema és homogeni, per tant, sempre tindrà solució. Aquesta solució no serà única si el rang de la matriu de coeficients és menor que 3 o el que és el mateix, aquesta matriu té determinant nul.

3 3

3 2 3 3 2 3

0 2 3 0 2 3

1 1 3 1 1 3

F F

A a a

a a

→−− −

= − − = − − − =− − − − +

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 2 3 0 6 3 2 9 0 3 2 3 6 3 2 9a a a a a a= − − − + + − − − − − = − + + + − + =

( )23 3 2 6 6a a a= + − − + 3 6a+ − ( ) ( )2 29 3 6 3 9 3 6 3a a a a a a+ = + − + + = + − + + =

( )23 2 3a a= + −



( )2 2 10 3 2 3 0 2 3 0

3

aA a a a a

a

== → + − = → + − = → = −

Per tant el sistema serà compatible indeterminat, és a dir, tindrà més d’una solució

per als valors 1a = i 3a = −

b) Resoleu el sistema per al cas 3a = − .

( )( )

33 2 3 0 3 2 3 0 3 2 3 0

2 3 0 ' 0 2 3 0 0 3 2 3 0

1 1 3 0 1 1 3 3 03 0

ax y z

a y z A a

ax y a z

=−− + + = − − − − = → = − − ≅ − − − ≅ − − − − − − −− − + − − =

1 3 3 3 12 2

3 3

33 2 3 0 3 2 3 0 1 1 0 0

0 5 3 0 0 5 3 0 0 5 3 0

1 1 0 0 1 1 0 0 3 2 3 0

F F F F FF F

F F

↔ → +→−

→−

− − ≅ − − ≅ ≅ ≅ − − −

35

:1 1 0 0

01 1 0 0 0 0 00 5 3 0

0 5 3 0 5 3 0 5 3 5 30 5 3 0

z x yx y x y x y

yy z y z y

λ

λλ=

+ =+ = + = + = ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ = −+ = = − = −

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 35 5 5 5

55 50 0 , , , , , , , ,1 xx y x x x y z x y zλ λ λ λ λ λ+ = → − = → = → = − → = − →

( ) ( ), , 3, 3,5x y z λ→ = − Per tant la solució és la recta que passa per l’origen amb

vector director ( )3, 3,5v = −�.


Considereu el sistema d’equacions

2 0

3 0

4

x y z

mx y z

x y

− − =− + + = + =

, en què m és un paràmetre

real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m.

Aprofitant que la matriu de coeficients és quadrada el mètode més segur es actuar per determinants. Així:

1 2 1

3 1 0 2 3 1

1 1 0

A m A m m

− − = − → = + − + − =

0 0A m= → =

Per tant, tenim dos casos a estudiar, 0m = i 0m ≠ : • Cas 0m = :



3 3 1 3 3 2

1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0

' 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3 1 0

1 1 0 4 0 3 1 4 0 0 0 4

F F F F F F

A→ − → −

− − − − − − = ≅ ≅ →

( ) ( )2 3 ' . .Rang A Rang A S I= ≠ = →

• Cas 0m ≠ : En aquest tenim:

( ) ( )0 ( ) 3 ' 3 º . . .A Rang A Rang A Rang A n incògnites S C D≠ → = → = = = →

NOTA: Si enlloc de raonar per determinants o féssim amb el mètode de Gauss un possible desenvolupament seria el següent:

2 2 1

3 3 1

2 0 1 2 1 0 1 2 1 0

3 0 ' 3 1 0 0 3 2 1 0

4 1 1 0 4 0 3 1 4

F F mF

F F F

x y z

mx y z A m m m

x y

→ +

→ −

− − = − − − − − + + = → = − ≅ + + + =

Per a que les files 2 i 3 siguin proporcionals s’ha de donar que 3 2 1

3 1

m m+ += →

3 2 3 3 3 3 3 2 0m m m m m→ + = + → − = − → = i per tant evidentment obtenim els mateixos casos que abans, és a dir, el cas 0m = i el cas 0m ≠ .

b) Resoleu el sistema per a 1m = .

2 2 1

3 3 1

1

2 0 2 0 1 2 1 0

3 0 3 0 ' 1 3 1 0

4 4 1 1 0 4

F F Fm

F F F

x y z x y z

mx y z x y z A

x y x y

→ +=

→ −

− − = − − = − − − + + = → − + + = → = − ≅ + = + =

1 2 1 0

0 1 0 0

0 3 1 4

− − ≅

De la fila 2 tenim: 0y = , que substituint en la fila 3 ens porta a que 4z = .

Finalment substituint en la fila 1 tenim: 2 0 1 4 0 0 4 0 4x x x− ⋅ − ⋅ = → − − = → =

Per tant la solució del sistema és ( ) ( ), , 4,0,4x y z =

36) PAU 2016 Sèrie 1 Qüestió 3: Tres nombres, x, y i z, compleixen dues condicions: que el primer és la suma dels altres dos, i que el segon és la suma de la meitat del primer i el doble del tercer. a) Comproveu que el càlcul dels tres nombres, x, y i z, té una infinitat de solucions. Les condicions que compleixen els nombres ens porten a les següents equacions:



2 22 0

2 4 2 4 022

E Ex y z

x y z x y zx

y x z x y zy z

→= + = + − − = ≅ ≅ = + − + == +

El càlcul dels tres nombres tindrà una infinitat de solucions sii el sistema és compatible indeterminat.

2 2 11 1 1 0 1 1 1 0'

1 2 4 0 0 1 5 0

F F F

A→ −− − − − = ≅ → − −

( ) ( )' 2 3 º . .Rang A Rang A n incògnites S C I→ = = < = →

NOTA: En realitat no calia calcular el rang perquè com el sistema és homogeni aleshores sempre té la solució trivial i per tant no pot ser incompatible. I com que el nombre d’equacions és menor que el nombre d’incògnites tampoc pot ser compatible determinat per tant ha de ser compatible indeterminat. b) Trobeu una expressió general de les solucions. Per trobar l’expressió general de les solucions resolem el sistema o bé per Gauss o bé per Cramer. Jo el resoldré per Gauss aprofitant els càlculs de l’apartat anterior;

2 2 11 1 1 0 1 1 1 0'

1 2 4 0 0 1 5 0

F F F

A→ −− − − − = ≅ − −

:z λ=

5 0 5 0 5y z y yλ λ− + = → − + = → =

0 5 6x y z x y z xλ λ λ− − = → = + = + → =

Per tant, la solució del sistema és: ( ) ( ), , 6 , 5 ,x y z λ λ λ=


2 4 4 4 7

2 1

2 1

x y z k

x ky

x k

+ + = − − = − − = +

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k .

Considerem la matriu de coeficients i la matriu ampliada del sistema:



2 4 4

2 0

2 0 0

A k

= − −

i

2 4 4 4 7

' 2 0 1

2 0 0 1

k

A k

k

− = − − − +

2 4 4

2 0 8

2 0 0

A k k= − = −−

0 8 0 0A k k= → − = → =

Per tant, hem de distingir els casos 0k = i 0k ≠ . Cas 1: 0k ≠

( ) ( ) ( )0 0 3 ' nº incògnites . . .k A Rang A Rang A Rang A S C D≠ → ≠ → = → = = →

Cas 2: 0k =

3 202 4 4 4 7 2 4 4 7

2 4 4 7' 2 0 1 2 0 0 1

2 0 0 12 0 0 1 2 0 0 1

E Ekk

A k

k

=−=− −

− = − − ≅ − ≅ − − + −

Podem observar que la matriu 2 4 4

2 0 0

té un menor d’ordre 2 no nul. Per tant,

( ) ( ) ( ) ( )2 ' min nº files, nº columnes min 2,4 2Rang A Rang A= ≤ ≤ = = →

( ) ( )' 2 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I solucions→ = = < = → → ∞

b) Resoleu el sistema per al cas 0k = .

Per els càlculs de l’apartat anterior sabem que la matriu ampliada del sistema és equivalent a la matriu:

2 4 4 7

2 0 0 1

− −

Aleshores tenim que: 1

2 12

x x−= − → = i anomenant : yλ = aleshores la primera

equació seria: 1

21

2 4 4 7 2 4 4 7 1 4 4 72

xx y z z zλ λ−= − + + = − → ⋅ + + = − → − + + = − →

2 34 4 6 2 2 3 2 3 2

2z z z zλ λ λ λ÷ −→ + = − → + = − → = − − → = − →



( ) 1 3, , , ,

2 2x y z λ λ− − → = −


Considereu el sistema d’equacions lineals 1

2

3

1 1 2

4 1 5

3 1 4

x b

y b

z b

− − − =

. Expliqueu

raonadament si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

a) Si 1

2

3

0

0

0

b

b

b

=

, el sistema és compatible determinat i la solució és

0

0

0

x

y

z

=

.

La matriu ampliada del sistema és:

22 3 3 3 22 2 1

33 3 1 3 2

4

3

1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0

' 4 1 5 0 0 3 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0

3 1 4 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0

F

F

F F F FF F F

F F F FA

→ → +→ +

→ − →

= − − − ≅ ≅ ≅

− − − −

Aleshores ( ) ( )' 2 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C I= = < = →

Per tant, el sistema no és compatible determinat sinó compatible indeterminat, per

tant té infinites solucions entre les que es troba la solució trivial ( ) ( ), , 0,0,0x y z =

però evidentment no és la única.

b) Si 1

2

3

1

1

1

b

b

b

=

, el sistema és compatible indeterminat.

En aquest cas, la matriu ampliada del sistema és:

22 3 3 3 22 2 1

33 3 1 3 2

53

4

23

3

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1

' 4 1 5 1 0 3 3 5 0 1 1 0 1 1 0

3 1 4 1 0 2 2 2 0 1 1 1 0 0 0

F

F

F F F FF F F

F F F FA

→ → +→ +

→ − →

= − − − ≅ ≅ ≅

− − − − − −

En aquest cas tenim que ( ) ( )2 3 ' . .Rang A Rang A S I= ≠ = →

Per tant, l’enunciat també és fals. NOTA: La solució que proposen a les PAU és per determinants i no per Gauss.



39) PAU 2017 Sèrie 1 Qüestió 1: Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre λ :

0

10

2 5 30

x y z

y z

x y z

λ

λ λ

+ − = + = − + =

a) Estudieu per a quins valors del paràmetre λ el sistema és incompatible.

Aprofitant que la matriu de coeficients és quadrada el mètode més segur és per determinants.

2 2

1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 5 0 2 2 0 5 5

2 1 5 2 1 5

A A

λ λλ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

− − = → = = + + + + − = + − −

( )2 5 0 00 5 5 0 5 1 0

1 0 1A

λ λλ λ λ λ

λ λ= =

= → + = → ⋅ + = → → + = = −

Per tant, si λ és diferent de 0 i de 1− aleshores 0A ≠ i

( ) ( )3 ' º . . .Rang A Rang A n incògnites S C D= = = →

Estudiem per tant, els casos 0λ = i 1λ = − . ● Cas 0λ = : En aquest cas el sistema queda:

2 2 1

3 3 1

0 1 1 0 0 1 1 0

' 0 1 1 10 0 0 2 10

0 1 0 30 0 0 1 30

F F F

F F FA

→ −

→ +

− − = ≅ − −

.

Podem observar que les dues últimes files són incompatibles perquè mentre que en

3F obtenim que 30z = − , en 2F obtenim que 5z = . Per tant, en aquest cas el

sistema és incompatible. ● Cas 1λ = − :

En aquest cas el sistema queda 3 3 12

1 1 1 0

' 0 1 1 10

2 1 5 30

F F F

A→ −

− − = ≅ − − −

13 33 3 3 2

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

0 1 1 10 0 1 1 10 0 1 1 10

0 3 3 30 0 1 1 10 0 0 0 20

F F F F F−→ → −− − − − − − ≅ ≅ ≅ − − − −

Per tant,

( ) ( )2 3 ' . .Rang A Rang A S I= ≠ = → Per tant, en aquest cas el sistema també és

incompatible. Per tant la resposta al problema és que el sistema és incompatible pels valors

0λ = i 1λ = − .



b) Resoleu el sistema per al cas 1λ = .

En aquest cas tenim: 3 3 1 3 3 22 3

1 1 1 0 1 1 1 0

' 0 1 1 10 0 1 1 10

2 1 5 30 0 3 7 30

F F F F F F

A→ − → +

− − = ≅ ≅ − −

13 310

1 1 1 0 1 1 1 0

0 1 1 10 0 1 1 10

0 0 10 60 0 0 1 6

F F→− −

≅ ≅

Per tant, 6z = , 4y = i 4 6 0 2 0 2x x x+ − = → − = → =

I la solució és: ( ) ( ), , 2,4,6x y z =

40) PAU 2017 Sèrie 1 Qüestió 4: Sabem que el sistema d’equacions lineals següent té una única solució:

1

1

x ay

x az

y z a

+ = + = + =

a) Comproveu que 0a ≠ .

Si el sistema té una única solució aleshores és compatible determinat i per tant

( ) ( )' nº incògnites 3 0Rang A Rang A A= = = → ≠

1 0

1 0 0 0 0 0 2

0 1 1

a

A a A a a a

= → = + + − − − = −

0 2 0 0A a a≠ → − ≠ → ≠

b) Trobeu la solució del sistema en funció del paràmetre a. Podem trobar la solució del sistema pel mètode de Gauss o per la regla de Cramer. ● Per Gauss:

3 3 22 2 1

2 2

0

1

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

' 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 2

F F FF F F a

F Fa

a a a a

A a a a

a a a a

→ +→ − ≠

→

= ≅ − ≅ − ≅ −

Per tant:

22

az a z= → =



02

ay z z y y− + = → = → =

2 2

1 1 1 12 2 2

a a ax ay x a x x+ = → + ⋅ = → + = → = −

Per tant la solució del sistema és: ( )2

, , 1 , ,2 2 2

a a ax y z

= −

● Per Cramer:

( )3 3 2 2 21

1 0

1 0

1 1 0 0 0 2 2 2 11 0 0 0 0 0 2 2 2 2

1 0

0 1 1

ax

a

a

A a a a a a a a a ax

aA a a a

a

× −÷+ + − − − − − − −= = = = = = =+ + − − − − −

2 2 2

1 1 0

1 1

0 1 1 0 0 0 11 0 0 0 0 0 2 2 2

1 0

0 1 1

y

a

A a a a a ay

aA a a a a

a

+ + − − − −= = = = = =+ + − − − −

2 2 2

1 1

1 0 1

0 1 0 1 0 0 11 0 0 0 0 0 2 2 2

1 0

0 1 1

z

a

A a a a a az

aA a a a a

a

+ + − − − −= = = = = =+ + − − − −

Obtenint la mateixa solució que abans. 41) PAU 2017 Sèrie 2 Qüestió 3: Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

3

1

2 2

x y z

x y z

x ay a

+ + = + − = + =

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre real a. Aprofitem que la matriu de coeficients és quadrada per treballar per determinants.



1 1 1

0 1 1 1 0 0 2 2 0 0 2 4 0 2 4 2

2 0

A a a a a a

a

= → − = → + − − + + = → − = → = → =

● Cas 2a = :

2 32 2 1

3 3 12

1 1 1 3 1 1 1 31 1 1 3

' 1 1 1 1 0 0 2 20 0 2 2

2 2 0 4 0 0 2 2

F FF F F

F F FA

=→ −

→ −

= − ≅ − − ≅ → − − − −

( ) ( )2 ' 3 nº incògnites . . .Rang A Rang A S C I→ = = < = →

● Cas 2a ≠ :

( ) ( ) ( )2 0 3 ' 3 º . . .a A Rang A Rang A Rang A n incògnites S C D≠ → ≠ → = → = = = →

b) Resoleu el sistema per al cas 2a = .

Ens estan demanant resoldre el sistema en el cas en que és compatible indeterminat. Aprofitant els càlculs de l’apartat anterior tenim que:

12 22

1 1 1 31 1 1 3 1 1 1 3

' 1 1 1 10 0 2 2 0 0 1 1

2 2 0 4

F F

A−→

= − ≅ ≅ − −

De la segona equació tenim que 1z = . Anomenant :y λ= i substituint en la primera equació tenim que:

( ) ( )13 1 3 3 1 2 , , 2 , , 1y

zx y z x x x x y zλ λ λ λ λ λ=

=+ + = → + + = → = − − → = − → = −

42) PAU 2018 Sèrie 1 Qüestió 6: Uns estudiants de batxillerat han programat un full de càlcul com el de la figura següent que dona la solució d’un sistema d’equacions compatible determinat d’una manera automàtica:

a) Escriviu el sistema i comproveu que els valors proposats com a solució són correctes.



Evidentment el sistema és:

2 6

2 3

2 2 6

x y z

x y z

x y z

+ − = − − − = − + + =

Comprovem que la solució és: ( )1, 2, 3− .

( )( )

( )

1 2 2 3 1 4 3 6

1 2 2 3 1 2 6 3

2 1 2 2 3 2 2 6 6

+ ⋅ − − = − − = −

− − − ⋅ = + − = − ⋅ + − + ⋅ = − + =

Per tant, ( )1, 2, 3− és solució donat que compleix

les 3 equacions. b) Quin valor s’hauria de posar enlloc del 2 que està emmarcat en la imatge,

corresponent a la cel·la E8 ( 33a de la matriu de coeficients), perquè el sistema fos

incompatible? Podem observar en les cel·les que els coeficients de la 3a equació són la suma de les dues anteriors, mentre que no passa així amb els termes independents perquè 6 no és la suma de -6 i -3. Aleshores, per a que sigui incompatible ha de passar que

la casella demanada sigui la suma de les dues superiors, és a dir, ( )1 2 3− + − = −

Una manera més científica de resoldre el problema és anomenar la cel·la buscada amb un paràmetre. Per exemple t , aleshores quedaria el sistema:

1 2 1 6

' 1 1 2 3

2 1 6

A

t

− − = − − −

que té com a matriu de coeficients

1 2 1

1 1 2

2 1

A

t

− = − −

Per a que el sistema sigui incompatible, la matriu A no pot tenir rang 3, és a dir, el seu determinant ha de ser nul. Per tant:

1 2 1

0 1 1 2 0 1 8 2 2

2 1

A t

t

−= → − − = → − − − − + 2 0 3 9 0 3 9 3t t t t− = → − − = → = − → = −

Comprovem que en aquest cas ( )3t = − el sistema és incompatible:

3 3 22 2 1

3 3 12

1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6

' 1 1 2 3 0 3 1 3 0 3 1 3

2 1 3 6 0 3 1 18 0 0 0 15

F F FF F F

F F FA

→ −→ −

→ −

− − − − − − = − − − ≅ − − ≅ − − → − − −

( ) ( )2 3 'Rang A Rang A→ = ≠ = → Sistema Incompatible

43) PAU 2018 Sèrie 3 Qüestió 2: Considereu el sistema d’equacions lineal següent, que depèn del paràmetre real a:



3

1

2 2

x y z

x y z

x ay a

+ + = + − = + =

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a .

La matriu ampliada del sistema és:

1 1 1 3

' 1 1 1 1

2 0 2

A

a a

= −

Podem treballar pel mètode de Gauss triangulant la matriu A o bé per determinants. Aprofitant que la matriu de coeficients A és una matriu quadrada ho farem per determinants.

1 1 1

1 1 1

2 0

A

a

= −

0 0 2 2 0 0 2 4 0 2 4 2A a a a a a= → + − − + − = → − = → = → =

● Cas 2a = :

2 32 2 1

3 3 12

1 1 1 3 1 1 1 31 1 1 3

' 1 1 1 1 0 0 2 20 0 2 2

2 0 02 0 24 2

F FF F F

F F FA

=→ −

→ −

= − ≅ − − ≅ → − − − −

( ) ( )2 ' 3 nº incògnites . . .Rang A Rang A S C I→ = = < = →

● Cas 2a ≠ :

( ) ( ) ( )2 0 3 ' 3 nº incògnites . . .a A Rang A Rang A Rang A S C D≠ → ≠ → = → = = = →


Noteu que segons l’apartat anterior, com que estem en el cas 2a ≠ el sistema és compatible determinat.

2 2 1

3 3 1

1

2

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

' 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 0 0 2 2

2 0 2 2 1 0 2 0 1 2 4

F F Fa

F F FA A

a a

→ −=

→ −

= − → = − ≅ − − − − −

De la segona equació obtenim que 2 2 1z z− = − → = . Substituint en la 3a obtenim que:

12 4 2 4 2 2zy z y y y=− − = − →− − = − ← − = − → =

Finalment, substituint en la primera equació tenim: 21

3 2 1 3 0yz

x y z x x==+ + = → + + = → =

Per tant, la solució del sistema és: 0x = , 2y = i 1z = .




Considereu el sistema d’equacions lineals

6 3 2 5

3 4 6 3, pera

3 2

x y z

x y z m

x y z m

+ + = + + = ∈ + + =

ℝ .

a) Expliqueu raonadament que per a qualsevol valor del paràmetre m el sistema té una única solució. El sistema tindrà una única solució, és a dir, serà compatible determinat si

( ) ( )' º 3Rang A Rang A n incògnites= = = .

Per a que es doni aquesta condició és suficient que ( ) 3Rang A = i per demostrar-ho

solament cal que el determinant de la matriu A sigui no nul. Per tant calculem aquest determinant.

( )6 3 2

3 4 6 48 18 18 8 108 18 50 0 3

1 3 2

A Rang A= = + + − − − = − ≠ → = →

( ) ( )' 3 º . . .Rang A Rang A n incògnites S C D→ = = = → → Solució única que no depèn

del valor de m perquè el determinant sempre dóna 50− . b) Resoleu el sistema i trobeu l’expressió general del punt solució. Resoldrem el sistema pel mètode de Gauss.

1 3 2 2 1

3 3 1

3

6

6 3 2 5 1 3 2 1 3 2

' 3 4 6 3 3 4 6 3 0 5 0 3 3

1 3 2 6 3 2 5 0 15 10 5 6

F F F F F

F F F

m m

A m

m m

↔ → −

→ −

= ≅ ≅ − − − − −

La segona equació és: 3 3 3 3

5 3 35 5

m my m y y

− −− = − → = → =−

Substituint en la 3a equació tenim:

( )115 10 5 6 15 10 6 5 10 6 5 15xy z m y z m z m y−− − = − → + = − → = − − →

( )3 310 6 5 15 10 6 5 3 3 3 10 6 5 9 9

5

mz m z m m z m m

−→ = − − ⋅ → = − − ⋅ − → = − − + →

3 410 3 4

10

mz m z

− +→ = − + → =

Finalment, substituint en la 1a equació obtenim:

3 3 3 43 2 3 2 3 2

5 10

m mx y z m x m y z x m

− − ++ + = → = − − → = − ⋅ − ⋅ →

9 9 6 8 10 18 18 6 8 2 10 5

5 10 10 10 5

m m m m m m mx m x x x

− + − − + + − − + −→ = + + → = → = → =



Per tant la solució del sistema és: ( ) 5 3 3 3 4, , , ,

5 5 10

m m mx y z

− − − + =

Noteu que en sistemes on la solució és una mica complicada és quan resulta més còmode el mètode de Cramer. 45) PAU 2019 Sèrie 1 Qüestió 2: Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k:

2

3 2 1

3 2

3 7 7 3

x y z

x k y z k

x y z k

+ + = − + + = + + = −

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. Si el sistema té el mateix número d’equacions que de incògnites la matriu de coeficients serà quadrada. Aprofitarem aquest fet per treballar per determinants. Altrament ho podríem fer per Gauss.

2 2 2

3 2 1 1 3 2 1 3 2 1

3 2 1 3 i ' 1 3 2

3 7 7 3 3 7 7 3 7 7 3

x y z

x k y z k A k A k k

x y z k k

+ + = − − + + = → = = + + = − −

2 2 2 2

1 3 2

0 1 3 0 7 14 27 6 21 21 0 1 0

3 7 7

A k k k k= → = → + + − − − = → − = →

2 1 1 1k k k→ = → = → = ±

� Cas 1k = :

2 2 1

3 3 1

2 1

3

1 3 2 1 1 3 2 1

' 1 3 2 ' 1 1 3 2

3 7 7 3 3 7 7 2

F F Fk

F F FA k k A

k

→ −=

→ −

− − = → = ≅ − −

( ) ( )3 3 2

1 3 2 1 1 3 2 1

0 2 1 3 0 2 1 3 2 3 ' . .

0 2 1 1 0 0 0 2

F F F

Rang A Rang A S I→ −

− − ≅ − ≅ − → = ≠ = → − −

� Cas 1k = − :



2 2 1

3 3 1

2 1

3

1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1

' 1 3 2 ' 1 1 3 2 0 2 1 1

3 7 7 3 3 7 7 4 0 2 1 1

F F Fk

F F FA k k A

k

→ −=−

→ −

− − − = → = − ≅ − − ≅ − − − −

( ) ( )3 3 2

1 3 2 1

0 2 1 1 2 ' 3 º . . .

0 0 0 0

F F F

Rang A Rang A n incògnites S C I→ −

− ≅ − − → = = < = →

� Cas 1k ≠ ± :

( ) ( ) ( )1 0 3 ' nº incògnites . . .k A Rang A Rang A Rang A S C D≠ ± → ≠ → = → = = →

NOTA: Si l’haguéssim volgut resoldre pel mètode de Gauss evidentment hauríem d’obtenir el mateix resultat. Els càlculs quedarien així:

Per a que el determinant de la matriu de coeficients doni zero les dues últimes files han de ser proporcionals, és a dir:

22 2 23 1

3 2 2 3 1 1 12 1

kk k k k k

− = → − = − → = − + → = → = → = ±−

b) Resoleu el sistema per al cas 1k = − .

Ens estan demanant resoldre el sistema en el cas en que és compatible indeterminat, és a dir, quan té infinites solucions. Podem aprofitar els càlculs de l’apartat a). Són aquests:

2 2 1

3 3 1

2 1

3

1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1

' 1 3 2 ' 1 1 3 2 0 2 1 1

3 7 7 3 3 7 7 4 0 2 1 1

F F Fk

F F FA k k A

k

→ −=−

→ −

− − − = → = − ≅ − − ≅ − − − −

3 3 2

1 3 2 1

0 2 1 1

0 0 0 0

F F F→ −−

≅ − −

Per tant, per l’apartat a) sabem que quan 1k = − el sistema és equivalent a

1 3 2 1

0 2 1 1

− − −

que serà compatible indeterminat.

2 2 1

3 3 1

2

3

2

1 3 2 1 1 3 2 1

' 1 3 2 0 3 1 2 1

3 7 7 3 0 2 1

F F F

F F FA k k k k

k k

→ −

→ −

− − = ≅ − + − −



Podem resoldre’l anomenant a una incògnita λ i per Gauss o pel mètode de Cramer. � Pel mètode de Gauss anomenant y λ= .

La segona equació és: 2 1 2 1 1 2yy z z zλ λ λ=− + = − →− + = − → = − +

La primera equació és: ( )3 23 2 1 3 2 1 2 1yz

x y z xλλ λ λ=

= ++ + = − → + + ⋅ − + = − →

3 2 4 1 1 7x xλ λ λ→ + − + = − → = −

Per tant, la solució del sistema és: ( ) ( ), , 1 7 , , 1 2x y z λ λ λ= − − +

NOTA: També l’haguéssim pogut resoldre pel mètode de Cramer. En aquest cas anomenem λ a una incògnita i la passem al costat dret de l’equació com si es tractés d’un nombre més i desprès apliquem la regla de Cramer. Els càlculs serien els següents:

1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3

0 2 1 1 2 1 2 1 1 2yx y z x z x z

y z z zλ λ λ

λ λ=− + + = − + + = − + = − −

→ → → − − − + = − − + = − = − +

1 3 2

1 2 1 1 3 2 41 7

1 2 1

0 1

xAx

A

λλ λ λ λ

− −− + − − + −= = = = −

1 1 3

0 1 2 1 21 2

1 2 1

0 1

zAz

A

λλ λ λ

− −− + − += = = = − +

Per tant, tenim la solució ( ) ( ), , 1 7 , , 1 2x y z λ λ λ= − − +

46) PAU 2019 Sèrie 4 Qüestió 3: Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a:

7 5 0

3

2

ax y z

x ay z

y z

+ + = + + = + = −

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. Aprofitant que la matriu de coeficients és quadrada treballarem per determinants.

2 2

7 5

1 1 5 0 0 7 2

0 1 1

a

A a A a a a a

= → = + + − − − = − −

2 20 2 0

1

aA a a

a

== → − − = → = −



� Cas 2a = :

12 232 1 2 2 12

2 7 5 0 1 2 1 3 1 2 1 3

' 1 2 1 3 2 7 5 0 0 3 3 6

0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2

F FF F F F F

A→↔ → −

= ≅ ≅ − ≅ − − −

( ) ( )2 3

1 2 1 31 2 1 3

0 1 1 2 2 ' 3 nº incògnites0 1 1 2

0 1 1 2

F F

Rang A Rang A=

≅ − ≅ → = = < = → − −

S.C.I solucions→ → ∞

� Cas 1a = − :

12 232 1 2 2 1

3 32

1 7 5 0 1 1 1 3 1 1 1 3

' 1 1 1 3 1 7 5 0 0 6 6 3

0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2

F FF F F F F

F FA

→↔ → +

→

− − − = − ≅ − ≅ ≅ − − −

( ) ( )3 3 2

1 1 1 3 1 1 1 3

0 2 2 1 0 2 2 1 2 3 ' . .

0 2 2 4 0 0 0 5

F F F

Rang A Rang A S I→ −

− − ≅ ≅ → = ≠ = → − −

� Cas 2a ≠ i 1a ≠ − :

2a ≠ i

( ) ( ) ( )1 0 3 ' nº incògnites . . .a A Rang A Rang A Rang A S C D≠ − → ≠ → = → = = →


Ens demanen resoldre el sistema en el cas en que és compatible indeterminat, és a dir, amb infinites solucions. Per els càlculs de l’apartat anterior sabem que en aquest cas el sistema és

equivalent a 1 2 1 3

'0 1 1 2

A

≅ − .

Fem :z λ= i aleshores de la segona equació obtenim:

:2 2 2zy z y yλ λ λ=+ = − → + = − → = − −

De la primera equació:

( )22 3 2 2 3 2 4 3 7 7yz

x y z x x x xλλ λ λ λ λ λ λ=− −

=+ + = → + ⋅ − − + = → − − + = → − = → = +



Per tant la solució és: ( ) ( ), , 7 , 2 ,x y z λ λ λ= + − −

NOTA: Si haguéssim volgut raonar el primer apartat amb el mètode de Gauss els càlculs serien els següents:

3 22 1 2 2 12

7 5 0 1 1 3 1 1 3

' 1 1 3 7 5 0 0 7 5 3

0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2

F FF F F F aFa a a

A a a a a a↔↔ → −

= ≅ ≅ − − − ≅ − − −

( )22 2 3 3 2

2 2 2

2 2

71 1 3 1 1 3

0 1 1 2 0 7 7 14 2

0 7 5 3 0 7 5 3

F a F F F Fa a

a a a

a a a a a a

→ − → − ≅ − ≅ − − − + ≅ − − − − − −

2 2 2

2 2

1 1 3

0 7 7 14 2

0 0 2 2 3 14

a

a a a

a a a a

≅ − − − + − − − − +

Finalment igualem 2 2 0a a− − = i obtindrem els mateixos valors que abans.

Documents

Problemes PAU sistemes d'equacions · a) Discutiu el sistema d’equacions lineals ( )( ) ( ) 1 1 02 4 1 7 1 0 k y k z k x y z x y z − + − = + − − = + + = en funció dels