Upload
duongnhan
View
246
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Problemi, algoritmi, calcolatore
Informatica e ProgrammazioneIngegneria Meccanica e dei Materiali
Università degli Studi di Brescia
Prof. Massimiliano Giacomin
Problemi, algoritmi, calcolatori
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 2Docente: M. Giacomin
Introduzione al corso “in a nutshell”
L’informatica studia in modo sistematico i calcolatori che eseguono algoritmi che risolvono problemi.
Inquadramento più formale dei concetti di:1. Problema2. Algoritmo3. Calcolatore
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 3Docente: M. Giacomin
Il concetto di Problema
ProblemaClasse di domande omogeneealle quali è possibile dare risposta mediante una procedura uniforme
Esempio di problema: �Quanto vale la radice quadrata intera di un numero intero positivo X?�
Istanza di un problemaUna specifica domanda del problema
Esempio: �Quanto vale la radice quadrata intera di 49?�
Soluzione di una istanza(detta anche �soluzione attesa�):la risposta alla specifica domanda che l’istanza rappresenta
Esempio (nel caso precedente): 7
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 4Docente: M. Giacomin
Variabili di ingresso e uscita
Un problema è formulato mediante una o più variabili:
• Variabili di ingresso- termini variabili che, assumendo un valore del dominio, permettono di
generare le istanze del problema- i valori che esse assumono (elementi del loro dominio) vengono chiamati
dati (o, più esplicitamente, dati di ingresso)
• Variabili di uscita- termini variabili che caratterizzano le soluzioni attese (delle istanze)di un problema
- i valori che esse assumono vengono chiamati risultati
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 5Docente: M. Giacomin
Esempio
Quanto vale la radice quadrata intera Y di un numero naturale X ?
Problema Variabile di ingresso
Variabile di uscita
Istanza
Quanto vale la radice quadrata Y del numero 49?
Dati = N (numeri naturali)
Risultati = N (numeri naturali)Soluzione istanza= 7
Classe di domande omogenee
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 6Docente: M. Giacomin
Esempio 2
Quanto vale la radice quadrata Y di un numero naturale X ?
ProblemaVariabile di ingresso
Variabile di uscita
Istanza
Quanto vale la radice quadrata Y del numero 49?
Dati = N (numeri naturali)
Risultati = R (numeri reali)Soluzione istanza= 7
Classe di domande omogenee
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 7Docente: M. Giacomin
Esempio 3
Quanto vale la potenza
Y di un numero naturale b elevato
a un altro numero naturale n ?
ProblemaVariabili di ingresso
Variabile di uscita
Istanza
Quanto vale la potenza
Y di 2 elevato a 3?
Dati = N x N (coppie di naturali)
Risultati = N
Soluzione istanza= 8
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 8Docente: M. Giacomin
PROBLEMI E FUNZIONI
Problema
P[X, Y](X1, X2, …, Xn): variabili di ingresso, con domini
D1, D2, …, Dn (insiemi di dati)
(Y1, Y2, …, Ym): variabili di uscita, con domini
R1, R2, …, Rm (insiemi di risultati)
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 9Docente: M. Giacomin
Ogni problema è una funzione
D1 x D2 x … x Dn → R1 x R2 x … x Rm
Istanza del problema
P[X, Y] con X Î D = D1 x D2 x … x Dn
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 10Docente: M. Giacomin
Soluzione attesa dell’istanza
Y Î R = R1 x R2 x … x Rm
assegnato a X Î D dalla funzione problema
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 11Docente: M. Giacomin
Il concetto di Algoritmo
Algoritmo risolvente di un problema: metodo che specifica come produrre in modo uniforme la soluzione attesa per ogni possibile istanza mediante una sequenza di istruzioni
ALGORITMODATI RISULTATI
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 12Docente: M. Giacomin
Idea di base
Proprietà di un algoritmo
• Finitezza: un algoritmo deve essere costituito da un numero finito di istruzioni
• Definitezza: le istruzioni di cui un algoritmo è costituito devono appartenere a un insieme finito e prefissato di tipi elementari
• Univocità: ogni istruzione deve essere univocamente interpretabile ed eseguibile
• Effettività: deve esistere un esecutore in grado di eseguire ogni istruzione dell’algoritmo in un tempo finito
La definizione di algoritmo presuppone che esso possa essere espressoin termini linguistici ben definiti, interpretato ed eseguito da un soggettoesecutore (il calcolatore). Da ciò conseguono le seguenti proprietà:
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 13Docente: M. Giacomin
Per esprimere l’algoritmo per il calcolo della radice intera (ed altri)
in una forma evidente dal punto di vista visivo,
si può usare il formalismo degli schemi a blocchi(detti anche �diagrammi di flusso� o �flowchart�)
Linguaggio grafico i cui elementi sono:
• nodi (o blocchi) per indicare le istruzioni:
inizio e fine, elaborazioni, decisioni sulla base di condizioni
• archi orientati che collegano coppie di nodi, per indicare
l’ordine tra i nodi
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 14Docente: M. Giacomin
Schemi a blocchi
La simbologia comunemente utilizzata
inizio fine
blocco funzionale
Blocco decisionale(selezione a 2 vie)
condV F
NB: nel libro inizioe fine sono indicati semprecon un rettangolo
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 15Docente: M. Giacomin
Variabili, espressioni e assegnamenti
• Variabile: �contenitore� di dati caratterizzata da un nome es. x
• Ad una variabile può essere assegnato un valore: p.es. x ¬ 10
• Le variabili possono comparire in espressioni aritmetiche (es. x-y) o logiche, che restituiscono un valore
• Le espressioni possono essere assegnate ad altre variabili: p.es.d ¬ x-y
d assume il valore dell’espressione x-y: il precedente valore di dviene sovrascritto
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 16Docente: M. Giacomin
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 17Docente: M. Giacomin
Esempio
Y ¬ 10
D ¬ Y-5
…
Y ¬ D-Y+5
D ¬ D+1
A questo punto:
- Y vale 0
- D vale 6
Esempio: il problema della radice quadrata intera
• Da dove partire per sviluppare un algoritmo?
Alcune istanze (e soluzioni)
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 18Docente: M. Giacomin
4: soluzione attesa 2
5: soluzione attesa 2
9: soluzione attesa 3
10: soluzione attesa 3
Formalizzazione (identificazione del problema)
Dato un numero naturale X, trovare il massimo numero
naturale Y tale che Y2 ≤ X (radice quadrata intera)
• Quale potrebbe essere un algoritmo risolvente?
5: 2*2 = 4, 3*3 = 9 Y = 29: 2*2 = 4, 3*3 = 9 Y = 31: 1*1 = 1 Y = 110: 2*2 = 4, 3*3 = 9, 4*4 = 16
Y = 3
Alcune istanze (e soluzioni)
Un’idea:
Parto da Y=1, controllo se Y2 < X… se sì allora Y=Y+1 e continuo,altrimenti significa che Y2 ≥ X:
se Y2 = X ok, altrimenti la soluzione deve essere Y-1: Y = Y-1
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 19Docente: M. Giacomin
Y ¬ 1
fine
inizio
Y ¬ Y+1
Y2 < X
V
F
Y2 = XV
FY ¬ Y-1
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 20Docente: M. Giacomin
Esecuzione passo passo
1 Y ¬ 1
2 Controllo se 1 < 8 (Y2 < X) è è vero
3 Calcolo di Y+1 e risultato in Y è Y = 2
4 Controllo se 4 < 8 (Y2 < X) è è vero
5 Calcolo di Y+1 e risultato in Y è Y = 3
6 Controllo se 9 < 8 (Y2 < X) è è falso
7 Controllo se 9 = 8 (Y2 = X) è è falso
8 Calcolo di Y-1 e risultato in Y è Y = 2
9 Fine
Considerando ad esempio l’istanza X = 8
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 21Docente: M. Giacomin
ALGORITMO RISOLVENTE UN PROBLEMA (formalmente)
Dato il problema P[X, Y]
(X1, X2, …, Xn): variabili di ingresso, con dominiD1, D2, …, Dn (insiemi di dati)
(Y1, Y2, …, Ym): variabili di uscita, con dominiR1, R2, …, Rm (insiemi di risultati)
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 22Docente: M. Giacomin
A[X, Y] tale che eseguito con il dato X produce Y soluzione dell’istanza P[X, Y]
(Y Î R = R1 x R2 x … x Rm)
problema P[X, Y]
istanza P[X, Y]
algoritmo A[X, Y]
risultato Y: soluzione di P[X, Y]
sostituzione di X con X esecuzione di A con il dato X
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 23Docente: M. Giacomin
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 24Docente: M. Giacomin
Il concetto di Calcolatore(e di computazione)
CALCOLATOREdato: X
A[X, Y]
risultato: Y
P[X, Y]
P[X, Y]
algoritmo problema
istanza
soluzione
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 25Docente: M. Giacomin
Il calcolatore come esecutore di algoritmi
CALCOLATORE
Programma: sequenza di istruzioni di un linguaggio di programmazione (descrive un algoritmo)
Dati iniziali Risultati dell’esecuzione in corrispondenza dei dati iniziali
Assegnati a variabili di ingresso (input)
Assegnati a variabili di uscita (output)
Il calcolatore come esecutore di programmi
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 26Docente: M. Giacomin
• Un calcolatore è un sistema che, ricevendo in ingresso la
descrizione, in un opportuno linguaggio, di un algoritmo risolvente
A[X,Y] per un certo problema P[X,Y] e un dato X, produce come
risultato la soluzione Y dell’istanza P[X,Y]
• Per essere comprensibili al calcolatore, gli algoritmi devono essere
espressi in un linguaggio di programmazione:
Programma = algoritmo descritto formalmente attraverso un
linguaggio di programmazione
• Un calcolatore è quindi un esecutore universale di programmi- elabora puri simboli (per esso �privi di significato�)
- non risolve problemi (il problema non è un suo ingresso)
ma esegue programmi!
Informatica e Programmazione – Università di Brescia27Docente: M. Giacomin
NOTE AI DUE LUCIDI PRECEDENTI
Computazione• Computazione: esecuzione di un algoritmo da parte del calcolatore in
corrispondenza di determinati dati in ingresso• Passo di computazione: insieme delle azioni che l’esecutore compie
(durante l’esecuzione di un algoritmo) per eseguire una singola istruzione• Sequenza di computazione: sequenza di passi di computazione che
l’esecutore compie in corrispondenza di determinati dati in ingresso durante l’esecuzione di un algoritmo
Algoritmo = concetto statico Computazione = concetto dinamico
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 28Docente: M. Giacomin
Sequenza di computazione finita
risultato: Y dato: X
A[X, Y] algoritmo
ESECUTORE
passo 1 è passo 2 è passo 3 … … è passo n
In questo caso, la computazione produce un risultato
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 29Docente: M. Giacomin
Sequenza di computazione infinita
In questo caso, il risultato rimane indefinito
dato: X ESECUTORE
passo 1 è passo 2 è passo 3 … … è … …
A[X, Y] algoritmo NB: l’algoritmo
è comunque finito!
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 30Docente: M. Giacomin
Funzione calcolata da un algoritmo
fA
D
R
A[X, Y]
• Un algoritmo A[X, Y] calcola una funzione da D (dominio dellevariabili di ingresso) a R (dominio delle variabili di uscita):
- fA: D®R tale che fA(X) = Y
con Y prodotto dalla computazione di A[X, Y] con il dato X• La funzione è in generale parziale!
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 31Docente: M. Giacomin
• Un algoritmo risolve un problema se la funzione calcolata dall’algoritmo coincide con quella del problema
• Un algoritmo risolve un problema (calcola una funzione) e ne risolve uno solo (ne calcola solo una)
• Viceversa, per un problema risolubile (ovvero, tale che esiste un algoritmo che lo risolve) esistono infiniti algoritmi che lo risolvono!
- infatti, un algoritmo è descritto da una sequenza di istruzioni- è sufficiente pensare che possiamo aggiungere una sequenza diistruzioni che non hanno effetto sul risultato, ottenendo undiverso algoritmo che risolve lo stesso problema
- e possiamo farlo in infiniti modi (es. sommare e sottrarre 1 a/dauna variabile, sommare e sottrarre 2, ecc. ecc.)
Note importanti
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 32Docente: M. Giacomin
L’informatica teorica• Utilizzando strumenti matematici, studia macchine astrattedescritte formalmente, anziché macchine concrete.
• Permette di ottenere risultati su �cosa una macchina è in grado dicalcolare� e quindi �quali problemi possono essere risolti�a prescindere dalla tecnologia impiegata per realizzare i calcolatori
• La tecnologia cambia, i risultati generali no:- La �macchina analitica� di Charles Babbage (mai realizzata)
è stata progettata nel 1830- La �macchina di Turing� (di Alan Turing)
è stata pubblicata nel 1936- Il primo calcolatore elettronico solo nel 1943
Alcuni risultati (cenni):se qualcuno è interessato, può consultare i capitoli 15, 16, 17
Informatica e Programmazione – Università di Brescia 33Docente: M. Giacomin
APPROFONDIMENTO
(NON RICHIESTO ALL�ESAME)
5 A5Z1 G G 2
Q1
Q2
Q0
S1
S2
S1
S2S1
S2
£ £
SIMBOLO LETTO
SIMBOLO SCRITTO
DIREZIONE DI SPOSTAMENTO
S = {s0, … sm} £ Î SQ = {q0, … qm} q0 Î S
d: Q x S ® Q x S x {L, R}
£
La macchina di Turing
La tesi di Church-TuringTutte le funzioni che si possono calcolare sono calcolabili medianteuna Macchina di Turing
Il più potente calcolatore esistente al mondo e tutti i calcolatori che saranno costruiti in futuro sono equivalentiad una Macchina di Turing
Alcuni risultati formali• Le macchine di Turing sono numerabili
Þ tutti i possibili programmi (infiniti) si possono contare!• Esistono problemi (funzioni) non computabili, ovvero per i
quali non esistono algoritmi risolventi- i problemi (le funzioni) esistenti sono non numerabili
(non si possono contare) e quindi… sono di più!- un esempio: non esiste un algoritmo (programma) che, dato un qualunque algoritmo (programma) e un dato, può decidere se esso termina oppure no
- un altro esempio: non possiamo sapere in generale se un fatto è �conseguenza logica� di un insieme di fatti