Procesos estocasticos_1

8/10/2019 Procesos estocasticos_1

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Procesosestocasticos


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Ejemplo

Registro de la temperatura

mxima diaria en una ciudad

durante un mes.

Serie temporal o

cronolgica

- sucesin de valores

de una variable

observada durante un

periodo de tiempo.

Ideas preliminaresSeries temporales


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comportamiento

Importancia

Conocer la evolucin de

los valores de la variable

tratada en el tiempo.

Predecir el

de los fenmenos.

Ideas preliminaresSeries temporales


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Proceso estocsticoVariable aleatoria a lo

largo del tiempo

Objetivo

Ajustar un modelo con el fin

de hacer predicciones sobreel comportamiento futuro.

Ideas preliminaresProcesos estocsticos


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continuo

de tipo discreto o de tipo continuo

Adems la variable tiempo puede ser

espacio de estados

espacio de estados

discreto

Estados:

Posibles

valores quepuede tomar

la variable

aleatoria

Procesos estocsticos (aleatorios)Definicin formal


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Para cada t

es una variable aleatoria.

Para cada

es una trayectoria del

proceso.

Un proceso estocstico

puede considerarse

tambin como un funcin

de dos variables.

De manera que a la pareja

se le asocia el estado

o

Procesos estocsticos (aleatorios)Definicin formal


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Si para instante t el proceso estocstico es..

Xtes continua de estado continuo

Xtes discreta de estado discreto

Si el conjunto T es... La v. a. Xt es...

continuo proceso estocstico de

parmetro continuo

discreto proceso estocstico de

parmetro discreto

Procesos estocsticos


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Supongamos el espacio

parametral:

(Discreto)

que interpretamos como

tiempos.

Entonces habr:

variables aleatorias

estado del sist

es el valor del proceso o

ema al

tiempo n.

Entonces para cada n, Xn

Procesos estocsticosCaso sencillo tiempo discreto


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Convencin:

si el subndice es n, entonces los

tiempos son discretos, y si el

subndice es t, el tiempo se mide de

manera continua

El espacio parametral tambin

puede ser un conjunto continuo

Entonces el proceso es a

tiempo continuo y se denota:

Procesos estocsticosCaso tiempo continuo


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Procesos estocsticos


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Los posibles estados para la mquina son que estoperando o que est fuera de funcionamiento.

Posible secuencia

de cambios de

estado a travs deltiempo para esa

mquina.

La verificacin se realizar al

principio de cada da siendolos estados:

"fuera de operacin" con el

valor 0"en operacin" con el valor 1.

Procesos estocsticosCadena - Ejemplo mquina en una fbrica


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Seal telegrfica.

Slo hay dos posibles

estados (por ej. 1 y -1)

pero la oportunidad del

cambio de estado se da

en cualquier instante en

el tiempo, es decir, elinstante del cambio de

estado es aleatorio.

Procesos estocsticosProcesos de Saltos Puros - Ejemplo


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seal de voz modulada

en amplitud.

Seal de voz vista en la

pantalla de un

osciloscopio.

Esta seal acstica estransformada en una seal

elctrica analgica que puede

tomar cualquier valor en un

intervalo continuo de estados.

Procesos estocsticosProceso continuo - Ejemplo


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distribucin de probabilidades, en general, distinta de las

en la que cada variable Xi, i = 0, ..., n, tiene una

otras variables.

Una secuencia de variables que indique el valor del

proceso en instantes sucesivos suele representarse de la

siguiente manera:

Procesos estocsticosProcesos de estado discreto


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prob abi l idad de transicin

o de cambio de estado.

Principal inters

en el caso

discreto:

* clculo deprobabilidades de

ocupacin de

cada estado a

partir de las

probabilidades decambio deestado.


Si en el instante n1 se est

en el estado xn1con qu

probabilidad se estar en el

estado xn en el siguiente n?

Esta probabilidad se denotar

con


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Probabilidades de

ocupacin de estado

Probabilidades de

transicin o de cambio deestado.

Otra notacin



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Otro probabilidad de inters es la de ocupar un cierto

estado en un instante n, dado que en todos los instantes

anteriores, desde n=0 hasta n1, se conoce en qu

estados estuvo el proceso. Esto se puede escribir como:

Ntese que esta probabilidad

depende de toda la historiapasada del proceso, mientras

que la probabilidad de transicin

depende nicamente del estado

actual que ocupe el proceso.



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Procesos de Markov

Propiedad de Markov.

Son procesos donde,

suponiendo conocido el

estado presente del sistema,

los estados anteriores no

tienen influencia en los

estados futuros del sistema.



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Cadenas de Markov

Aquellas Cadenas que cumplen la propiedad de

Markov se llaman Cadenas de Markov.



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Cadenas de Markov

Considere una mquina que ser

revisado al inicio de cada da paraverificar si est operativa o si est

daada.

diagrama de estados



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Segn el cuento, en la Tierra de

Oz nunca hay dos das buenos

en sucesin. Despus de un da

con buen tiempo, le sigue (conigual probabilidad) un da con

lluvia o nieve. Del mismo modo,

si nieva (o llueve), el da

siguiente nevar (o llover) con

probabilidad 1/2, pero si cambia

el tiempo, solo la mitad de las

veces ser un lindo da.

EjemploEl clima en la Tierra de Oz


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Primero encontremos la probabilidades de transicin, es

decir las probabilidades de que teniendo cierto clima un da,

al da siguiente se tenga otro clima.

Indiquemos con b un da bueno, con uno lluvioso y n sinieva.



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Resumiendo:

Se le llama matriz detransicin (o transiciones).

Veamos que:Los coeficientes son positivos.

Si sumamos una fila el resultado es 1.

En cambio la suma por columnas no da 1.



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Una matriz estocstica derecha es una matriz cuadrada cada una de

cuyas filas est formada por nmeros reales no negativos, sumando

cada fila 1.

Una matriz estocstica izquierda es una matriz cuadrada cada una

de cuyas columnas est formada por nmeros reales no negativos,

sumando cada columna 1.

Una matriz doble estocstica es una matriz cuadrada donde todos los

valores son no negativos y todas las filas y columnas suman 1.


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En el siguiente momento

volveremos a ese estado o a

otro.

Pasaremos de un estado a

otro con cierta probabilidad.

Solo depende del estado

inmediato anterior.

La probabilidad no cambiacon el transcurso del tiempo.

Este es un ejemplo de una

cadena de Markov

Hay ciertos estados: b,l y n.

En cada momento estamos en

alguno de esos estados.



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estar en el estado j dado

La matriz de transicin

Con la condicin (matriz

estocstica.

pijes la probabilidad de

que est en el estado i.

En cualquier paso puedeocurrir alguno de lossucesos E

1, E

2, . . . , E

my

Procesos estocsticosCadenas de Markov


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Procesos estocsticosCadenas de Markov - Ejemplo 1


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Las siguientes matrices son estocsticas?

EjemploCadenas de Markov


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PaseanteLa zona urbana de mi pueblo tiene 6

cuadras de largo, que van de norte a

sur.

Estoy con ganas de deambular y pasar

el tiempo, y como tengo una moneda,

se me ocurre tirarla y caminar una

cuadra hacia el norte si sale cara o unacuadra hacia el sur si sale cruz. Y

contino este juego hasta salir de la

zona urbana, ya sea hacia el norte o hacia

el sur



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Podemos pensar que los estados son 0,1,...,5,6, donde

0 es la esquina sur donde empieza la zona urbana, 6 la

esquina norte.

La matriz de transicin puede escribirse entoncescomo:

Al llegar al estado 0 o 6

el "juego" se termina,

por lo que ponemos un

1 en la entradacorrespondiente

indicando que ya nos

quedamos para siempre

en esa posicin.



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En cada camino

multiplicamos

las probabilidades, y

despus sumamos los

caminos

Supongamos que estando

en un estado i lleguemos

en dos pasos al estado j.

Evidentemente en el

primer paso estaremos

en algn estado

intermedio

k (que puede ser i o j) y

despus pasar de k a j

Procesos estocsticosCadenas de Markov - Dos pasos, ejemplo.


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Procesos estocsticosCadenas de Markov - Dos pasos, ejemplo.


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Supongamos que estando en un estado i lleguemos envarios pasos al estado j.

Entonces la matriz que

contiene todos estosestados se llama:

matriz de transicin depasos. n

Nota

La matriz P es de un paso

es la probabilidad de

transicin del estado i al

estado j en n pasos



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ms, podemos escribir:

Matriz de transicin de n

pasos.

Propiedades

Se puede obtener

multiplicando la matriz de

transicin de un paso.

Puesto que para hacer n

pasos necesitamos hacer

n-1 pasos y luego otro

En general:



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Procesos estocsticosCadenas de Markov - Probabilidades iniciales


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