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Sumário• Multicadência em sistemas discretos
– Noção de multicadência– Amostragem e reconstrução de sinais contínuos (revisão de PDS) – Operações multicadência básicas (revisão de PDS)
• decimação por um inteiro M
• interpolação por um inteiro L
• alteração fraccionária da cadência
– Caracterização temporal de sistemas multicadência– Interligação de blocos multicadência
• casos simples
• cascata de decimadores e interpoladores
• IDENTIDADES NOBRES
– Estudo de um caso real: o “oversampling” em leitores de CD
• reconstrução sem interpolação
• reconstrução com interpolação
– Antevisão do 5º trabalho de laboratório
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Noção de multicadência
filtro anti-
-sobreposiçãoA/D D/A + S/HDSP
filtro anti-
-imagem
compensado
x(t) xc(t) x(n) y(n) yr(t)
p(t)s(t)
• • • • • •
-2T -T 0 T 2T t
decimação interpolação
processamento
multicadência !
-T/2 T/2 t
yc(t)
H0(z) N0 N0Algoritmo 0 F0(z)
H1(z) N1 N1Algoritmo 1 F1(z)
HK(z) NK NKAlgoritmo K FK(z)
•••
•••
•••
x(n) y(n)
várias cadências
de dados
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Amostragem e reconstrução de sinais contínuos
A/Dxc(t) x(n)
s(t)
xc(t) x(n)= xa(nT)
s(t)
XC() XA()
• Os sinais discretos resultam normalmente da amostragem uniforme de sinais contínuos de banda limitada
– amostragem ideal:
• • • • • •
-2T -T 0 T 2T t
1
• • • • • •
-4/T -2/T 0 2/T 4/T
2/T
n
nTtts )()(
k T
kT
S )2
(2
)(
F
n
cca nTtnTxtstxtx )()()()()(
k
cca TkX
TSXX )
2(
1)()(
2
1)(
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– da análise anterior decorre ainda que:
– significando que após uma amostragem ideal, o espectro do sinal contínuo surge replicado em todos os múltiplos inteiros da frequência de amostragem, graficamente será:
)()( nTxnx a
kc
Ta
j
T
kX
TXeX )
2(
1)()(
F
1
Xc()
Max-Max
• • • • • •
2/T 4/T
Xa()
-2/T 0
/T
1/T
-/T
• • • • • •
2 4
X(ej)
-2 0
1/T
-
Max
TMax
frequência de Nyquistfrequência de Nyquist
Condição na Amostragem
a condição a ser garantida pelo filtro anti-sobreposição espectral de modo a evitar sobreposição entre réplicas do espectro base é que:
MAX < /T 2FMAX < FS
FS > 2FMAX
ou seja, a largura de banda do sinal deve ser limitada a menos de metade da frequência de amostragem.
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• Reconstrução a partir das amostras
– admite-se nesta análise reconstrução ideal de ordem zero !
D/A + S/Hy(n) yr(t)
s(t) p(t)
ya(t)
s(t)
*
p(t)
yr(t)y(n)
• • • • • •
-2 -1 0 1 2 n
• • • • • •
-2T -T 0 T 2T t
• • • • • •
-2T -T 0 T 2T t -T/2 T/2 t
n
a nTtnyty )()()( )()()(
jj
a eYeYY
2/
2/sin)(
T
TTP
outros
Tttp
,0
2/,1)(
F
• • •
t
• • •
-2T -T 0 T 2T
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– Será então, na sequência da análise anterior:
– a representação espectral dos sinais considerados será:
n
ar nTtpnytptyty )()()()()(2/
2/sin)()(
T
TTeYY Tj
r
F
• • • • • •
2/T 4/T -2/T 0
/T
1/T
-/T
Y(ejT)
Max
P()T
• • • • • •
2/T 4/T -2/T 0
/T
-/T
Yr()
Max
1
?que há a fazer para
recuperar, sem distorção, a banda
base do sinal original ?
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• Filtro anti-imagem ideal e compensado Hc()
– deve eliminar imagens espectrais (filtro anti-imagem) e efectuar uma compensação da distorção linear gerada pela reconstrução ideal de ordem zero, analiticamente será então:
não havendo modificação de sinal, y(n)=x(n) e Y(ejT)=X(ejT), resultando:
)()()( thtyty crc )(2/
2/sin)()()()(
c
Tjcrc H
T
TTeYHYY
F
)()(2/
2/sin)
2()(
cc
kcc XH
T
T
TkXY
Yc()
1
Max-Max
1
Hc()
-/T
/2
/T
• • • • • •
2/T 4/T -2/T 0
/T
-/T
Yr()
Max
filtro ideal
filtro real
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– Da análise anterior resulta o fundamento do Teorema da Amostragem:
um sinal de banda limitada pode ser representado, de forma exacta, a partir das suas amostras, se a cadência de amostragem for superior a duas vezes a largura de banda do sinal.
– Conclusão: a compensação sen(x)/x pode ser inserida em qualquer fase de processamento, inclusivelmente (e talvez desejavelmente ! ) na parte de processamento digital do sinal, neste caso com todas as vantagens conhecidas (precisão, estabilidade, reconfiguração, …) ! Nesta situação, hc(t) é um filtro ideal passa-baixo, pelo que yc(t) resultará:
Tt
Ttthc /
/sin)(
n
cc TnTt
TnTtnTxty
/)(
/)(sin)()(
• • • • • •
-2T -T 0 T 2T t
yc(t)
NOTA : Nesta análise ignoraram-se erros, desde logo os de quantificação, introduzidos pelos conversores A/D e D/A.
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Operações multicadência básicas
• Decimação por M (sub-amostragem)
– consiste em preservar uma amostra em cada bloco de M amostras originais ou, equivalentemente, as réplicas espectrais, centradas em múltiplos de 2 (notar que após a sub-amostragem, aparecem M-1 réplicas espectrais entre 0 e 2M centradas em 2k com k entre 0 e M-1), expandem por um factor de M, podendo provocar sobreposição espectral (aliasing) se a banda de x(n) não for limitada, situação em que se perde informação !
Mx(n)
d(n)=x(nM)
X(z) D(z)
• • • • • •
-2 -1 0 1 2 n
x(n)
• • • • • •
-1 0 1 n
d(n)
Exemplo (M=2):
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– A análise no domínio da transformada em z será:
para que o somatório possa ser generalizado para inteiros, considera-se um sinal s(n), que é um “pente” de impulsos unitários com período M e que permite escrever x1(n)=x(n)s(n) , tal como se exemplifica com M=2:
sendo s(n) um sinal discreto periódico, a sua caracterização de Fourier será:
e assim a expressão D(z) poderá escrever-se:
Mdemúltiplom
m
M
m
n
n
n
n zmxznMxzndzD )()()()(
• • • • • •
-2 -1 0 1 2 n
• • • • • •
-2 -1 0 1 2 n
• • • • • •
-2 -1 0 1 2 n
1
x(n) s(n) x1(n)
1
0
2
1)()(M
m
kmMj
enskS
1
0
1
0
2 11)(
M
k
knM
M
k
knMj
WM
eM
ns
1
0
11
0
11
0
1)(
11)()(
M
k
MkM
M
k
m
MkM
m
M
k
M
mkm
Mm
WXM
WmxM
WM
mxD
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– Um pequeno “àparte” quanto à análise no domínio de Fourier:
na análise da amostragem uniforme de sinais contínuos derivou-se:
e agora na análise da decimação de sinais discretos acabamos de derivar:
? que reflexão merece a espantosa semelhança entre estas expressões ?
1
0
21)()(
M
k
M
kj
e
j eXM
zDeD j
kc
j
T
kX
TeX )
2(
1)(
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– por exemplo, para M=2 será:
– precaução para evitar sobreposição espectral (aliasing)
como decorre da representação gráfica anterior, só se evitará sobreposição espectral se MAX, a largura de banda do sinal representado, verificar a condição MAX < /M. Para garantir esta condição, usa-se um filtro digital decimador do tipo passa-baixo, antes da sub-amostragem.
• • • • • •
2 4
X(ej)
-2 0
1
- Max
• • • • • •
2 4
D(ej)
-2 0
1/2
- 2Max
2
2
21
0
2
2
2
1
2
1
2
1)(
jj
k
kjj eXeXeXeD
Mx(n) d(n)
H(z)
H(e j)
/M
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• Interpolação por L (sobre-amostragem)
– consiste em introduzir L-1 zeros entre cada duas amostras originais ou, equivalentemente, consiste em introduzir L-1 repetições espectrais comprimidas por um factor de L em cada segmento de extensão 2, sem qualquer risco de sobreposição e portanto de perda de informação.
Lx(n)
c(n)
X(z) C(z)
Exemplo (L=2):
• • • • • •
-1 0 1 n
x(n)
• • • • • •
-2 -1 0 1 2 n
c(n)
x(n/L), se n é múltiplo inteiro de L
0, outros casosc(n)=
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– A análise no domínio da transformada em z será:
quando concretizado na circunferência unitária, este resultado traduz-se em C(ej)=X(ejL), ou seja, há uma compressão do espectro tal como se exemplifica com L=4:
Lm
mL
Ldemúltiplonn
n
n
n XmxL
nxncC
)()()(
• • • • • •
2
X(ej)
- 0
1
-/2
• • • • • •
2
C(ej)
- 0 /2
1
-/2 /L
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– De modo a eliminar imagens espectrais redundantes (>/L) num período da representação espectral do sinal discreto, usa-se um filtro digital interpolador, passa-baixo e com ganho L, depois da sobre-amostragem:
note-se que dado o par de Fourier:
será:
Lx(n) c(n)
F(z)y(n)
F(e j)
/L
L
L, | |< /L
0, outros casosF(ej )= f(n)=
sin(n /L)
n /L
F
kk Lkn
Lknkcknfkcnfncny
/)(
/)(sin)()()()()()(
NOTA: na gíria este filtro é conhecido por “L-band filter” e verifica a propriedade : f(n)=0, para n0 e múltiplo de L
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• • • • • •
-1 0 1 n
x(n)
• • • • • •
-2 -1 0 1 2 n
c(n)
• • • • • •
-2 -1 0 1 2 n
y(n)
– O resultado anterior indica que o efeito do filtro interpolador é substituir os “zeros” resultantes da sobre-amostragem por valores interpolados com base em todos as restantes amostras não nulas, por exemplo se L=2 :
NOTA FINAL : os operadores de decimação e interpolação são lineares mas variantes no tempo !
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• Alteração fraccionária da cadência
– quando se pretende alterar (aumentar ou diminuir) a cadência por um factor inteiro, basta usar um decimador ou interpolador apropriado,
– quando se pretende alterar a cadência por um factor fraccionário, deve-se usar uma combinação adequada de decimação com interpolação, de modo a minimizar a perda de largura de banda do sinal. Isto é conseguido efectuando em primeiro lugar a operação que não sacrifica largura de banda, isto é, a interpolação.
Lx(n)
F(z) My(n)
H(z)
Lx(n)
F(z) H(z) My(n)
Este filtro combinado é o principal responsável pela QUALIDADE de todo o processo.
Frequência de corte global: MIN(/L, /M).
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– Exemplo: ilustra-se a alteração da cadência em 3/2 que se aplica por exemplo quando se convertem os registos de áudio de difusão (fa=32kHz) em registos de áudio profissional (fa=48KHz).
• • • • • •
2 4 -2 0 -
• • • • • •
2 4 -2 0 - /3
• • • • • •
2 4 -2 0 - /3
• • • • • •
2 4 -2 0
- 2/3
fa=32kHz
fa=96kHz
fa=96kHz
fa=48kHz
original
após sobre-
-amostragem
após filtro
interpolador
após sub-
-amostragem
Questão 1 : qual seria o resultado se a ordem de operações fosse a inversa ?
Questão 2 : se o espectro do sinal original tivesse conteúdo só até 2/3, qual seria a maior redução possível de cadência e qual seria a sequência correspondente de operações ?
NOTA : como se verá mais à frente, há formas eficientes (decomposição polifásica de filtros) de efectuar estas operações, por exemplo, não calculando valores que serão depois ignorados na fase de sub-amostragem.
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Caracterização temporal de sistemas multidébito
• A análise anterior pode ser tratada no domínio dos tempos
– interpolação por L :
– decimação por M :
à saída do filtro decimador ter-se-á:
pelo que após a sub-amostragem será:
– conjugando os dois casos, teremos que a alteração do débito por um factor de L/M caracteriza-se por:
kk
kLnhkxkLnhkLcnhcny )()()()()()()(
só há c()0 quando é múltiplo de L
k
knhkxnx )()()('
k
knMhkxnMxny )()()(')(
k
kLnMhkxny )()()( Note que este h(k) difere do das expressões anteriores !
NOTA : nesta disciplina não faremos uso desta notação.
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Interligação de blocos multidébito
• Há situações de interligação e equivalências que devem ser claramente entendidas e dominadas (desde já …)
– casos simples válidos para interpolação e decimação :
ou a
ou a
x1(n)
ou
x2(n)
ou
ou
x1(n)
x2(n)
ou x1(n)
x2(n)
ou x1(n)
x2(n) ou IMPORTANTE : isto é multiplicação, não é válido para convolução !
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• Cascata de decimadores com interpoladores
– estando prevenida a ocorrência de sobreposição espectral (aliasing), a seguinte equivalência :
é válida somentesomente quando M e L são primos relativos, isto é, quando o seu maior divisor comum é a unidade. Prova:
Mx(n) y1(n)
L Lx(n) y2(n)
M
1
0
1
0
1 11)(1
M
k
M
LkM
LM
k
MkM WX
MWX
MY
1
0
1)()(2
M
k
M
LkLMM
L WXM
XY
Exemplo para M=3 e L=2 :
k: 0, 1, 2 2/3
kL: 0, 2, 4 2/30
1
222
00
44
se L e M são primos relativos
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• Identidades NobresIdentidades Nobres (muito importantes na implementação de sistemas multidébito)
– sendo G(z) racional (i.e. uma fracção de polinómios em Z ou Z-1), então :
NOTA : estas identidades não são válidas para G(z) irracional, como por exemplo: G(z)=Z -1/2.
Mx(n) y1(n)
G(z) G(zM)x(n) y1(n)
M
G(z)x(n) y2(n)
L Lx(n) y2(n)
G(zL)
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Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
• Problema– admitindo que as amostras áudio gravadas num CD são obtidas por
amostragem ideal de um sinal contínuo xc(t) a uma cadência de amostragem de 44100 amostras por segundo, especificar o filtro analógico de reconstrução real e compensado (filtro analógico anti-imagem) que recupera o sinal áudio após reconstrução de ordem zero, em duas circunstâncias: sem interpolação discreta e com interpolação por 4.
– reconstrução sem interpolação:
– reconstrução com interpolação por 4 ( “4-times oversampling” ):
x(n)
D/A
sT/4(t) pT/4(t)
filtro real
compensado
hc(t)
S/H L/L
Lxi(n) xif(n) xDA(t) xr(t) xc(t)
x(n)
D/A
sT(t) pT(t)
filtro real
compensado
hc(t)
S/HxDA(t) xr(t) xc(t)
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• reconstrução sem interpolação
– a sequência dos sinais é:
– e sendo:
Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
n
x(n)
0 1 2 3 t
xDA(t)
0 T 2T 3T
t
xr(t)
0 T 2T 3T t
xc(t)
0 T 2T 3T
outros
TtTtpT
,0
2/,1
)(F
n
T nTtts )()(
2/
2/sin)(
T
TPT
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• reconstrução sem interpolação (cont. )
– ter-se-á, sucessivamente:
– de modo a recuperar, sem distorção, a banda base de X(ejT), o filtro real deverá ter a seguinte especificação:
• banda base: 0 MAX = 220000 rad. : Hc() = [T/2]/sin(T/2)
• banda de transição: MAX < < 2/T-MAX = 224100 rad.
• banda de corte: 2/T-MAX : Hc() = 0 (ou a melhor atenuação possível)
– as conclusões deste ‘slide’ são ilustradas nos dois ‘slides’ seguintes.
Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
n
DA nTtnxtx )()()( )()()(
jj
DA eXeXX
2/
2/sin)()()()(
T
TeXPXX Tj
TDAr
)()()( thtxtx crc )(2/
2/sin)()()()(
c
Tjcrc H
T
TeXHXX
F
n
TDAr nTtpnxtptxtx )()()()()(
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26
• • • • • •
2 -2 0-
X(ej)
Max
• • • • • •
/T 2/T -2/T 0-/T
XDA()
Max
PT()
• • • • • •
/T 2/T -2/T 0-/T
Xr()
Max
Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
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Proc
essa
men
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igit
al d
e Si
nal e
m T
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Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
• • • • • •
/T 2/T -2/T 0-/T
Xc()
Max
1
1,44Hc()
• reconstrução sem interpolação (cont. )
– conclui-se dos resultados e ilustrações anteriores que:
• o esforço de compensação do filtro analógico na banda base é assinalável, devendo o ganho variar entre 1.0 para DC e 1.44 para a frequência de 20000 Hz,
• este esforço de compensação pode, em alternativa ser assegurado por um filtro discreto, com precisão matemática mas consumindo recursos computacionais,
• a banda de transição do filtro anti-imagem é muito estreita (uma medida típica da exigência do filtro é dada pela relação entre banda de transição / banda de passagem, que neste caso é muito pequena: 0.205) o que indicia a necessidade de um filtro de ordem elevada para remover de forma efectiva as imagens espectrais, com custos elevados para a implementação do filtro e com prejuízo claro para outros parâmetros de qualidade como o seu atraso de grupo.
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• reconstrução com interpolação
– a sequência dos sinais é:
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n
x(n)
0 1 2 3
n
xif(n)
0 1 2 3 4 8 12
n
xi(n)
0 1 2 3 4 8 12
t
xDA(t)
0 T/2 T 2T 3T
t
xr(t)
0 T/2 T 2T 3T t
xc(t)
0 T 2T 3T
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• reconstrução com interpolação
– considerando à partida a seguinte definição e pares de Fourier :
– tem-se, sucessivamente:
Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
n
T
Tntts )
4()(4/
outros
TtTtpT
,0
8/,4
)(4/ 8/
8/sin)(4/ T
TPT
outros
eH ji
,0
4/,4)(
4/
4/sin)(
n
nnhi
F
outros
nx
nxi,0
4 de múltiplon ,4)( )()( 4 jj
i eXeX
)()()( nhnxnx iiif
F
4/),()()()( 4MAX
jji
ji
jif eXeHeXeX
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• reconstrução com interpolação
– e também :
– de modo a recuperar, sem distorção, a banda base de X(ejT), o filtro real deverá ter a seguinte especificação:
• banda base: 0 MAX = 220000 rad. : Hc() = [T/8]/sin(T/8)
• banda de transição: MAX < < 8/T-MAX = 2156400 rad.
• banda de corte: 8/T-MAX : Hc() = 0 (ou a melhor atenuação possível)
– as conclusões deste ‘slide’ são ilustradas nos três ‘slides’ seguintes.
Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
n
ifDA
Tntnxtx )
4()()( MAX
Tjj
ifj
ifDA eXeXeXX
),()()( 4
4
n
TifDAr
Tntpnxtptxtx )
4()()()()( 4/ 8/
8/sin)()()()( 4/ T
TeXPXX Tj
TDAr
)()()( thtxtx crc )(8/
8/sin)()()()(
c
Tjcrc H
T
TeXHXX
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Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
• • • • • •
2 -2 0-
X(ej)
Max
Xi(ej)
• • • • • •
2 - 0Max/4
-2
Xif(ej)
• • • • • •
2 - 0Max/4
-2
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Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
XDA()
• • • • • •
4/T 8/T -4/T 0Max
-8/T
PT/4()
Xr()
• • • • • •
4/T 8/T -4/T 0Max
-8/T
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Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD
Xc()
• • • • • •
4/T 8/T -4/T 0Max
-8/T
Hc()
• reconstrução com interpolação (cont. )
– conclui-se dos resultados e ilustrações anteriores que:
• o esforço de compensação do filtro analógico na banda base é modesto, devendo o ganho variar somente entre 1.0 para DC e 1.02 para a frequência de 20000 Hz,
• de tão modesto, este esforço de compensação pode inclusivamente ser ignorado,
• a banda de transição do filtro anti-imagem é muito confortável (a relação entre banda de
transição / banda de passagem é neste caso 6.82) sendo 33.3 vezes a largura da banda de transição disponível no caso anterior, o que sugere que um filtro simples de 1ª ou 2ª ordem será suficiente para remover de forma efectiva as imagens espectrais. De modo a não penalizar o atraso de grupo é habitual em áudio usar um filtro de Bessel de 3ª ordem.
