Processi e Fenomenidi Radio Galassie

Galardo Vincenzo

Astronomia Extragalattica

Anno accademica 2007-2008

Si osservano tre processi principali in una radiogalassia:

•Bremsstrahlung

•Sincrotrone

•Compton Inverso

BremsstrahlungLa bremsstrahlung (dal tedesco ``radiazione di frenamento''), o emissione free-free, é prodotta dalla accelerazione di una particella carica nel campo coulombiano di uno ione.Il bremsstrahlung dovuto alla collisione di particelle identiche è nullo, poiché il momento di dipolo (Σeiri) è proporzionale al centro di massa (Σmiri) che è una costante del moto.

Nel bremsstrahlung elettrone-ione, gli elettroni sono le particelle che irraggiano, questo perché l’accelerazione è inversamente proporzionale alla massa.

Consideriamo nella radiazione di bremsstrahlung l’elettrone che si muove nel campo elettrico generato dallo ione che rimane fermo.

Definiamo, inoltre, il tempo di collisione come il tempo di interazione fra ione ed e- :

Emissione da un singolo elettrone in movimentoSi assume che l’elettrone si muova abbastanza rapidamente così che le deviazioni del suo percorso da una retta siano trascurabili (straight-line approximation).Tale approssimazione non è necessaria, ma semplifica di molto i conti e porta a dei risultati corretti.

v ed

Trasformando con Fourier l’equazione precedente, otteniamo:

dtee tiω2 v

2)(d

v

b

Considerando un e che si muove contro uno ione Ze con un parametro di impatto b. Il momento di dipolo è d=-eR e la sua derivata seconda è:

Considerando i due andamenti ad alte e basse frequenze possiamo vedere:

• <<1 l’esponeziale è unitario

• >>1 l’esponenziale oscilla rapidamente e quindi l’integrale è piccolo

1,0

12)( 2

Δv,e

d

2

3

4

)(3

8

dcd

dW

Otteniamo che lo spettro di potenza è:

Dove v è il cambiamento della velocità durante la collisione e risulta esserev

2 2

mb

Ze

v,0

v,v3

8)( 2223

62

b

bbmc

eZ

d

bdW

Possiamo quindi scrivere:

Ricordando che lo spettro di potenza di un dipolo è dato da:

dtee tiω2 v

2)(d

min

2vbie bdb

d

bdWnn

dVdtd

dW

Adesso vorremmo determinare lo spettro totale per un mezzo con densità ionica ni, densità di e- ne e una velocità fissata v degli elettroni. L’emissione totale per unità di tempo, volume, frequenze è quindi dato da:

I limiti asintotici definiti per dW(b)/d non sono sufficienti a valutare l’integrale. In realtà è possibili troncare l’integrale ad un valore massimo del parametro di impatto b usando solo l’approssimazione a basse frequenze.

min

max23

6

3 b

bln

mc

nne16ZI

dtdVd

dW

e

ie2

v

Per calcolare l’integrale è stato considerato b<< che rappresenta una ottima approssimazione per un regime classico.

• ne ni sono le densità degli elettroni e degli ioni presenti nel volume dV

• bmax e bmin sono i valori del parametro d’urto tra cui abbiamo integrato e vanno discussi.

Otteniamo che l’integrale valutato è:

Rappresenta il flusso incidente su uno ione

Rappresenta l’elemento di area di un singolo ione

bmax è un certo valore del parametro d’urto sopra il quale l’approssimazione fatta è inapplicabile e l’integrale è trascurabile. Il valore di bmax non è conosciuto esattamente ma è dell’ordine di v. Poiché il valore di bmax compare in un logaritmo, il suo valore esatto non è molto importante, quindi si è scelto di usare semplicemente il valore v.

Il valore di bmin può essere ricavato in due modi differenti:

Per prima cosa possiamo ricavare il valore a cui l’approssimazione di “straight-line” non è più applicabile. Quando questo accade abbiamo che v~v, possiamo quindi scrivere:

2m

Zeb

v

4 2)1(

min

Il secondo metodo è di origine quantistica; si concentra sulla possibilità di trattare i processi collisionali in termini di orbite classiche, come abbiamo fatto fino a ora. Quindi:

v2)2(

min m

hb px

vmp

bx

Quando bmin(1)>>bmin

(2) è possibile una descrizione classica del sistema e si utilizza bmin=bmin

(1). Questo si ha quando quando l’energia cinetica è minore dell’energia dello ione:

Quando abbiamo il caso inverso, il principio di esclusine gioca un importante ruolo, poiché non è possibile usare le orbite classiche. In questo caso l’ordine corretto è dato impostando bmin=bmin

(2).

2

422

e 2v

2

1

me

RydoveRyZme

Per comodità si è introdotta un fattore di correzione che tiene presente di volta in volta il regime di lavoro. Tale fattore è chiamato fattore di Gaunt gff():

min

maxff b

bln

3g

,v(

Questo è una certa funzione dell’energia degli elettroni e della frequenza di emissione.

),v(v33

1623

6

ff

2ie

e

gZnnmc

e

dtdVdv

dW

Si ottiene in questo modo un’espressione per l’emissione totale in unità di tempo, frequenza e volume:

Il più interessante impiego di queste relazione riguarda la loro applicazione al bremsstrahlung termico. In questo caso partendo dalla relazione

Valida per una singola velocità, utilizziamo una distribuzione di velocità termica e calcoliamo la media dell’emissività di bremsstrahlung con tale distribuzione:

0

22

v

22

v

v2

vexpv

v2

vexpv

),v(

),( min

dTk

m

dTk

mdVdtddW

dVdtd

TdW

b

bff

Questo integrale molto complicato viene semplificato ad alte e basse frequenze.

La vmin è la velocità minima sotto la quale non è possibile la creazione di un fotone di energia h ( ). Quindi rappresenta un limite inferiore delle velocità su cui integrare per avere l’emissività di bremsstrahlung termico.

2

2

1mvh

Analizzando l’espressione di otteniamo:ffv

ffTk

hv

ieffv geTnnZ

dVdtd

TdWb

2

1238108.6

),(

min

max23

6

v33

16

b

bln

mc

nneZI

dtdVd

dW

e

ie2

Bremsstrahlung per una distribuzione Maxwelliana

Studio dell’assorbimento e riemissione

SI

dx

dI

1

12

108.6

2

3

2

1238

KT

h

ffTk

hv

ie

ec

hBI

geTnnZ b

KT

h

ff eTgNNeT

h

cZQuindi

1,)2(4 3

2122

Il principio di bilancio dettagliato tra emissione e assorbimento si ricava dall’equazione del trasporto radiativo:

Dove è il coefficiente di assorbimento, K è l’opacità e S è l’emissività. Un sistema in equilibrio termodinamico, richiede che tale derivata sia nulla. Impostando che I segua una distribuzione di Planck (per la legge di Kirchoff) e sia l’emissione per bremsstrahlung, quindi che:

con i limiti ad alte frequenze

E basse frequenze

TgT

NNe

h

cZ

KTh

ff ,)2(4 2

13

22

TgT

NNe

k

cZ

KTh

ff ,)2(4 2

32

22

I

SSI 0

1

121

2

3

kT

h

ec

hIx

Integrando l’equazione del trasporto, nell’ipotesi che non esista contributo nella radiazione di fondo, I(0)=0, si ricava:

xxk ek

ek

xI

1

41

4)(

kTh c

kTIperche

2

22

xIx

41

dxTNdx e22

32

L’intensità trasmessa da una regione compatta di idrogeno ionizzato (HII) alle basse frequenze, cui corrisponde una profondità ottica:

SincrotroneParticelle accelerate da un campo magnetico B irraggiano. Partiamo con il ricavarci la dinamica di una particella di massa m e carica q che si muove in un campo magnetico.

Ev)c(

Bv)v(

2

qmdt

dc

qm

dt

d

Dall’ultima relazione, poiché il campo elettrico E è nullo, ricaviamo che è costante. Quindi per la prima possiamo dire che:

Bc

q

dt

dm vv

Scomponendo la velocità lungo il campo e perpendicolarmente ad esso, otteniamo

Bvv

v

mc

q

dt

ddt

d

0||

Dall’ultima relazione segue che v|| rimane costante, e poiché anche il modulo di v si mantiene costante, deve valere anche che sia costante. La soluzione a tale equazione è il moto circolare uniforme lungo il piano perpendicolare alla direzione del campo B. La combinazione di questo moto con il moto uniforme è un moto ad elica della particella.

v

Nel sistema solidale con la particella, abbiamo che la potenza

emessa è:2

3

2

'3

2' a

c

qP

Poiché la potenza totale emessa è un’invariante di Lorentz per qualsiasi sorgente che emette con una simmetria centrale in un sistema a riposo, riportiamo la potenza al nostro sistema di riferimento

223

2

3

2

''3

2''

3

2'

|| aac

q

c

qP aa

aa

aa2

||3

||

'

'

2224

3

2

||3

2 aa

c

qP

L’accelerazione è perpendicolare alla velocità, con magnitudine quindi la potenza totale emessa è:

vBa

22v

22

224

3

2

222

224

3

2

3

2

3

2

m

Bq

c

q

cm

Bq

c

qP

Considerando le seguenti uguaglianze:

Possiamo scrivere la potenza totale come:

BT UcP 22

3

4

2

2

0 mc

qr 2

03

8rT

8

2BUB

3

2sin

4

22

22

d

Lo spettro di potenza in frequenza è proporzionale alla trasformata di Fourier del campo elettrico, secondo la relazione: 2

)(

EcdAd

dW

La trasformata di Fourier sarà

dtetGE ti

c )(

deGE c

i

c )(

Integrando questa quantità, su tutto l’angolo solido e dividendo per il periodo orbitale, entrambi indipendenti dalla frequenza, otteniamo uno spettro per unità di area e frequenza.

c

FCPd

dWT

dtd

dW

11 )(

I coefficienti di proporzionalità non sono ancora stabiliti. Questo verrà ricavato per confronto con la relazione della potenza ricavata in precedenza.

0 0 011 )()( dxxFCdFCdPP cc

Spettro di potenza della radiazione di sincrotrone

Lo spettro di potenza della radiazione di sincrotrone è fortemente piccato intorno alla direzione di movimento, ovvero all’interno di un cono con un angolo molto piccolo dell’ordine di 1/1. Inoltre a parità di accelerazione, la potenza risulta maggiore di un fattore 2, se l’accelerazione è trasversa.

L’osservatore vedrà la pulsazione fra il punto 1 e 2 lungo il percorso della particella, dove il cono di emissione, che ha angolo ~1/, include la linea di vista. La distanza può essere ricavata da:21

a

a2

21221

tΔ

mc

q

tc

q

c

q

tm

vvv

vBvvBBv

v

21,

sinsin

sin21

sin2

vvvBv

mc

qB

mc

q

t

a2

21 sin

21

B

av

sin

221

Bv

tt

Per effetto relativistico dobbiamo riportare al nostro sistema, quindi:

sin

1'1'

3B

ttt 12

11

2

'

1

tc sin

2

3 3Bc

Ora possiamo ricavare la frequenza di taglio c. Lo spettro di potenza si estende per qualche c prima di decadere rapidamente.

Ora possiamo derivare lo spettro in frequenza utilizzando l’informazione che per i segnali impulsati, il campo elettrico è funzione di , dove è l’angolo polare che si forma con la direzione del moto

Vogliamo ricavarci il tempo tra i due intervalli successivi in cui passa il cono di luce

sinv

21

v2

mc

qB

Riscrivendo la relazione della potenza ricavata in precedenza e l’equazione della frequenza di taglio

32

22224

3

sin2

cm

BqPtot

mc

qBc 2

sin3 2

Possiamo ricavare per confronto la costante C1, sotto l’ipotesi che ~1, ottenendo in questo modo lo spettro di potenza in frequenza della radiazione di sincrotrone

c

Fmc

BqP

2

3 sin

2

3

La scelta del è inserita per avere una corretta normalizzazione della funzione F, che esprime il profilo della radiazione. La forma di F è espressa per basse e alte frequenza:

2

3

1,2

1,2

3

13

4

212

1

31

c

x

c

cc

xeF

xF

01 )( dxxFCP ctot

Polarizzazione della radiazione di Sincrotrone

Possiamo, inoltre, analizzare la polarizzazione della radiazione di sincrotrone. Il primo punto da notare è che la radiazione di una singola carica è ellittica, e il senso della polarizzazione è determinato dalla posizione della linea di vista dell’osservatore: all’interno o all’esterno del cono della massima radiazione. La polarizzazione dovuta ad una distribuzione di particelle è parzialmente lineare; questo perché il cono di emissione contribuisce da entrambe le parti della linea di vista.

Possiamo, quindi, caratterizzare la radiazione dalla sua potenza per unità di frequenza in direzione parallela e perpendicolare alla proiezione del campo magnetico sul piano del cielo.

Il grado di polarizzazione è definito come:

||

||

PP

PP

Radiazione di elettroni con distribuzione di potenzaLa relazione P() dipende da solo tramite c. Si può ricavare da questo risultato che lo spettro di potenza è ben approssimabile da una legge di potenza.

Il numero di particelle con energie tra E e E+dE, è espressa mediante la

2

1

2

1

dFCdPCP p

C

pToT

I limiti x1 e x2 corrispondo ai limiti di 1 e 2 che dipendono da . In realtà se i limiti delle energie sono sufficientemente ampi, si può approssimare x1=0 e x2=, in questo modo l’integrale è approssimativamente costante e possiamo dire:

21

p

totP Quindi l’indice spettrale s è collegato all’indice della distribuzione p dalla:

2

1p

s

Effetto ComptonPer fotoni di bassa energia h<<mc2, lo scattering della radiazione da particelle cariche libere si riduce al caso classico dello scattering di Thomson; al contrario quando il fotone possiede un certo momento h/c si presentano effetti quantici e relativistici. Studiando i tetra-momenti all’inizio e alla fine dell’interazione e applicando le conservazioni dell’energia e del momento, si ottiene:

cos112

1

mc

A02426.0

cos11

mc

hC

C

Possiamo vedere che per c (quindi h<<mc2), lo scattering è elastico. Quando questa condizione è soddisfatta, possiamo assumere che non c’è variazione nell’energia del fotone nel sistema a riposo dell’elettrone.

L’effetto Compton inverso permette agli elettroni ultrarelativistici di cedere energia ai fotoni portandoli a più alta frequenza.Studiando l’interazione fotone-elettrone nel sistema di riferimento dell’elettrone a riposo (che risulta perciò una semplice diffusione Thomson finché ħ=mec2), e rasformando al sistema di laboratorio dove l’elettrone ha fattore di Lorentz , si ottiene l’energia "irraggiata per Compton inverso“.

Basandosi sempre sulle leggi di conservazione, si ottiene:

Compton Inverso

cos1'

1''

'cos1'

cos1'

21

111

mc

'sin'sin'cos'coscos 11

Potenza del compton inverso per scattering singolo

Adesso si ricava una relazione generica per una distribuzione isotropica di fotoni che collide con una distribuzione isotropica di elettroni. La potenza totale emessa è:

''v')('

'1

31 dcpdpncdt

dETT

Assumiamo:•La perdita di energia dei fotoni nel sistema a riposo è trascurabile rispetto a quella del sistema non inerziale. In questo caso possiamo dire: ’1=’

•La potenza emessa è un’invariante del campo

•La densità di fotoni è invariante vdv’d’

'

'11

dt

dE

dt

dE

Quindi possiamo scrivere:

vdcdt

dE

vdc

dvc

dt

dE

dt

dE

T

TT

221

2211

)cos1(

''

'''

'

'

Possiamo definire:

•Una distribuzione isotropica di fotoni, :

•La densità di campo dei fotoni:

22

3

11cos1

vdU ph

Quindi la potenza totale è:

phTphT UcUcdt

dE 2222

3

4

3

11

Lo spettro della radiazione emergente dall’interazione di un elettrone di energia mc2 con un fascio di fotoni monocromatici di frequenza è calcolato operando una trasformata di Fourier, come già fatto in precedenza.

d

NcdI T

20

04

)(

16

3)(

con un upper cut-off alla frequenza corrispondente ad un urto in cui il fotone viene riflesso indietro lungo la stessa direzione di arrivo

Invece la frequenza media risultante del fotone diffuso a partire da un fotone incidente 0

max ≈ 420

02

3

4

Radio GalassieUn esempio di queste emissioni studiate fin’ora sono le radiogalassie:

Centaurus-A (NGC 5128), la radiogalassia (ed AGN) più vicina posta a 10 milioni di a.l. galassia è il prodotto di una fusione tra una galassia a spirale e la gigante ellittica. Lo shock della collisione ha compresso il gas interstellare che ha innescato una intensa formazione stellare a dense nubi. HST ha rivelato un disco luminoso (la macchia al centro dell'ultima immagine in fondo) di 130 a.l. di diametro, che circonda un possibile buco nero supermassiccio di 109 M . Tale disco luminoso alimenta probabilmente un disco di accrescimento interno non risolto.

Altri esempi di radio galassie:

Spettro di emissione caratteristico di un black hole:

Emissione nella zona radio dello spettro elettromagnetico. Questa è l’emissione per sincrotroni degli elettroni presenti nel getto che interagiscono con il campo magnetico presente. Nel caso dell’esempio di SED mostrato, si tratta di un Radio Quiet. Nel caso contrario il flusso sarebbe stato molto più alto

• Dispense di Attilio Ferrari Università di Torino http://www.ph.unito.it/~ferrari/

• Radiative processes in Astrophysics George B. Rybicky Alan P. Lightman Wiley-VCH

• Dispense del corso di astronomia extragalattica Prof. Guido Chincarini (università Milano-bicocca)

• RELATIVISTIC THERMAL BREMSSTRAHLUNG GAUNT FACTOR FOR THE INTRACLUSTER PLASMA. II. ANALYTIC FITTING FORMULAE NAOKI ITOH, TSUYOSHI SAKAMOTO, AND SHUGO KUSANO,Department of Physics, Sophia University, 7-1 Kioi-cho, Chiyoda-ku, Tokyo, 102-8554, Japan;

Il fattore di Gaunt è mediato sulle velocità.

hv

Tk

Zve

Tkg

b

bff

ln3

8ln

2

32242

33

Radio

Raggi X

Valori numerici del fattore di Gaunt gff (,T). La variabile u rappresenta la frequenza e rappresenta la variabile temperatura

I valore di gff(,T) per non sono importanti poichélo spettro per quei valori è tagliato.In questa regione gff(,T) è dell’ordine dell’unità, mentre per frequenze più basse il range può arrivare a 5-6

1Tk

hvu

b

I limiti a basse e alte frequenze sono:

La radiazione totale di una carica viene calcolata utilizzando l’analisi di Fourier, in modo tale da ottenere:

2222

2

aac

4ea

c

4eI ||33 33

Vengono indicati con K0 K1 i comportamenti dello spettro dovuti all’accelerazione parallela e a quella perpendicolare rispettivamente.Si vede che la componente dell’accelerazione parallela influisce debolmente all’emissione di bremsstrahlung. Considerando quindi solo la componenteperpendicolare della forza agente. Integriamo su tutti i valori del parametro di impatto, così da considerare la presenza degli ioni nella zona, trasformiamo nel sistema di riferimento solidale con l’elettrone, e otteniamo uno spettro:

min

max23

6

3 b

bln

mc

Ne16ZI

e

2

The synchrotron (peak near 1019 Hz) and synchrotron self-Compton (peak near 1027 Hz) spectra of Mkn 501 (Konopelko et al. 2003, ApJ, 597, 851).  The ordinate  F   on this plot is proportional to flux density per logarithmic frequency range, so the relative heights of the two peaks reflect their relative contributions to Urad.

Radiazione di elettroni con distribuzione di potenzaÈ utile ricavare le caratteristiche della radiazione emessa da una distribuzione di cariche con spettro energetico differenziale che segue una legge di potenza con indice d in presenza di un campo magnetico (medio) B uniforme e omogeneo:

ULnn

0)(dove = E/mc2 e L U sono i limiti inferiore e superiore della distribuzione. L’emissività totale è in tal caso:

1

0 sinBncPndPToTsync

vistadi linea la e B traangolo 2

1

che indica uno spettro di radiazione anch’esso espresso da una legge di potenza con indice spettrale a determinato da quello delle particelle. Questo risultato è importante in quanto la maggior parte delle sorgenti astrofisiche sincrotrone hanno spettri non termici, ma di potenza, con ≈ 0 ÷ 1. Conseguentemente possiamo dedurne che gli elettroni emettenti hanno una distribuzione di potenza con ≈ 1 ÷ 3; ciò si accorda con il tipico spettro energetico dei raggi cosmici. La polarizzazione per una radiazione di potenza è:

351

L