Usando Programao Linear na Contabilidade DecisorialValcemiro NossaProfessor da Universidade Federal do Esprito Santo (UFES) Mestre e Doutorando em Controladoria e Contabilidade (FEA/USP) Diretor Presidente, Professor e Pesquisador da FUCAPE Email: valcemiro@fucape.br

Jos Ferreira ChagasMestre em Contabilidade e Controladoria (FEA/USP)

Artigo apresentado no V CONGRESSO INTERNACIONAL DE CUSTOS, em Acapulco, Mxico, em julho/97, publicado na Revista Brasileira de Contabilidade (RBC) n 107, de set/out de 1997 e na Revista COSTOS Y GESTION n 27, maro/1998, editada pelo Instituto Argentino de Professores Universitarios de Costos (IAPUCO);

Resumo O estudo a focaliza a utilidade, para fins para a eficincia e eficcia Os da

tcnica de programao linear no cotidiano dos profissionais que utilizam podem se Contabilidade dessa decisoriais. produo de autores demonstram, com exemplos prticos do dia-a-dia, como os contadores valer tcnica informaes relevantes e dinmicas e como devem interpretar essas informaes. Ressaltam a facilidade de uso linear e a aplicabilidade da programao em qualquer tipo de empresa ou instituio, especialmente

aps o surgimento das planilhas eletrnicas. Palavras-Chave: Contabilidade Gerencial. Programao Linear. Uso de Planilha Eletrnica. Margem de Produo Otimizada. Funo-objetivo. Restrio. Contribuio Marginal. SOLVER. Grau de Sensibilidade. Custo de Oportunidade.

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1. INTRODUO Uma das mais nobres funes do profissional de Contabilidade o suprimento de informaes de controle para suporte a decises econmicas. Essa funo cresce ainda mais em importncia medida que, neste final de sculo, so aceleradas as mudanas no meio ambiente empresarial, decorrentes, em sua maioria, do avano tecnolgico maior e da nova configurao exposio da a economia riscos, internacional, marcada pela desregulamentao,

agilidade e competitividade dos mercados. O cenrio exige novas competncias. No basta uma resposta correta para uma questo complicada. Em geral, um problema exige vrias solues, todas fornecidas com informaes geis e consistentes. Definitivamente no h mais lugar para a improvisao e para decises intuitivas. Tornou-se quantitativos na imprescindvel prestao de para os contadores para os a utilizao do de mtodos das

solues

problemas

dia-a-dia

empresas e instituies. Uma das ferramentas com maior potencial de uso a programao linear. Este tornou-se artigo essa procura demonstrar os quo til, eficiente e indispensvel com o

tcnica

para

profissionais

contbeis,

notadamente

surgimento das planilhas eletrnicas, as quais propiciam amplas facilidades para o manuseio dessa e de outras tcnicas matemticas e estatsticas. A questes interpretao do cotidiano da dos resultados e do da aplicao Nos da programao um dos anos, linear em os

empresarial

institucional

aspectos

mais

enriquecedores

formao

contador.

ltimos

felizmente,

microcomputadores e as planilhas eletrnicas tornaram-se os grandes parceiros dos profissionais, pois agregaram rapidez, eficincia e eficcia no emprego dessa ferramenta, conforme ser mostrado neste trabalho. Os aspectos conceituais mais relevantes da programao linear sero

mostrados no primeiro tpico do artigo.

A seguir, os autores procuram ressaltar

a praticidade da operacionalizao da tcnica, especialmente quando se usa uma planilha eletrnica1. Ser desenvolvido um exemplo aplicativo, com o uso do recurso SOLVER disponvel na planilha Microsoft Excel para Windows 952, verso 7.03. Aps a evidenciao de como determinar e interpretar as informaes fornecidas, os autores manifestam suas concluses sobre o tema.

1

A programao linear aplicada em diversos softwares. Neste artigo ser utilizado um deles: a planilha eletrnica Microsoft Excel. 2 O software Microsoft Excel para Windows 95 uma marca registrada de propriedade da Microsoft Corporation. 3 A verso 5.0 do Microsoft Excel tambm torna disponvel o recurso SOLVER. Em portugus, no entanto, a verso 5.0 no gera o Relatrio Grau de Sensibilidade, o qual, conforme ser adiante explanado, essencial aos propsitos deste artigo.

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2. USOS DA PROGRAMAO LINEAR 2.1. Conceitos A programao linear uma tcnica matemtica que tem por objetivo

encontrar a melhor soluo para problemas que tenham seus modelos representados por expresses lineares.4 Assim, o mbito da programao linear se restringe aos problemas cuja representao simblica possa ser feita por uma linha reta em um grfico. So aqueles problemas que usam operaes aritmticas simples como, por exemplo: adio e subtrao, e funes predefinidas tais como SOMA, TENDNCIA e PREVISO. Problemas no-lineares so os que apresentam um ou mais elementos

desproporcionais entre si e cuja representao em um grfico se d atravs de uma linha curva. Isso pode ocorrer quando: a) as variveis estiverem divididas ou multiplicadas umas pelas outras; b) uma exponencial for usada no problema; c) funes predefinidas como CRESCIMENTO e RAIZ, ou quaisquer funes

logartmicas forem usadas. Existem outras tcnicas, fora do escopo deste trabalho, para a soluo de problemas de modelos no-lineares. Um modelo, segundo STEVENSON5 uma verso simplificada de algum problema ou situao da vida real destinada a ilustrar certos aspectos do problema sem levar em conta todos os detalhes.. Portanto, pode-se formalizar e quantificar os aspectos de um problema atravs de representaes. H modelos verbais (palavras e sentenas), modelos grficos, modelos numricos (nmeros e equaes) e modelos fsicos (tridimensionais). Para tratados retas). A programao linear consiste na maximizao ou minimizao de uma funo linear, denominada ou funo-objetivo, que respeitando-se o nome de um sistema linear do de os fins deste artigo, conforme foi mencionado por acima, apenas sero

modelos

numricos

representados

expresses

lineares

(linhas

igualdades

desigualdades

recebem

restries

modelo.

Restrio aquilo que impede um melhor desempenho de um sistema e representa normalmente limitaes de recursos disponveis (capital, mo-de-obra, recursos minerais4

ou

fatores

de

produo)

ou

exigncias

e

condies

que

devem

ser

BREGALDA, Paulo Fbio, OLIVEIRA, Antonio A . F. de, BORNSTEIN, Cludio T. Introduo Programao Linear. 3. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1988, p. 61.

3

cumpridas no problema. As restries delimitam uma regio de um plano na qual se insere o conjunto das solues viveis. A melhor dessas solues, ou seja, aquela que maximiza ou minimiza a funo-objetivo chamada soluo tima. A programao linear visa determinar essa soluo tima. Esses conceitos de funo-objetivo, restrio e soluo tima podem ser melhor compreendidos quando inseridos em situaes da vida real das empresas, conforme ser demonstrado no caso prtico a seguir.

2.2. Exemplo Imaginemos que seja solicitada ao contador de uma indstria de lingerie determinao de um mix ideal de produo para a empresa. O contador obtm as seguintes informaes: 1. Margens de contribuio dos produtos, por unidade: a

PRODUTOAngua Baby-doll Camisola

MARGEM DE CONTRIBUIO UNITRIAR$ 3,00 R$ 5,00 R$ 8,00

2. Restries produo:

ITEM RESTRITIVO

QUANTIDADE MXIMA DISPONVEL

QUANTIDADE REQUERIDA PELOS PRODUTOS ANGUA ( a )8 2 2

BABY-DOLL ( b )2 8 3

CAMISOLA ( c )3 3 8

Espao Fsico (m2) Tecido (m) Horas-mquina (hm)

5.000 8.000 7.000

A produtos

soluo que

tima,

neste a

caso,

seria

a

melhor aqui

combinao denominada

possvel Margem

de de

maximizasse

funo-objetivo,

Contribuio Total (MCT), ou seja:

Maximizar MCT = 3 a5

+

5 b

+

8 c

STEVENSON, William J. Estatstica Aplicada Administrao. Traduo de Alfredo Alves de Farias. So Paulo:

4

a

qual

est

sujeita

s

seguintes

restries

(limitaes

de

recursos):

8 a 2 a 2 a

+ 2 b + 8 b + 3 b

+ 3 c + 3 c + 8 c

=0) e passaria para maior ou igual a 10 ($B$2>=10). Definidos os parmetros, (clicar o boto Opes). o passo seguinte definir as opes do SOLVER

Passo 4: Definio das Opes do SOLVER

Nesta fase so indicadas opes que permitem administrar a forma como o programa ir resolver o problema. Possibilitam a melhoria da preciso do resultado obtido e o tempo consumido na soluo do problema. Dependendo da escolha, a soluo poder ser encontrada com maior ou menor rapidez, com maior ou menor preciso. Opes mais avanadas (Estimativas, Derivadas, Localizar) tambm esto disponveis. O SOLVER normalmente apresenta uma pr-definio padronizada, devendo ser alterada somente nos casos linear de de problemas um vetor mais complexos (pesquisa unidimensional, til. extrapolao tangencial, extrapolao

quadrtica etc.). Em qualquer caso, a consulta funo Ajuda ser bastante

10

Aps certificar-se de que as opes esto preenchidas corretamente, clicar OK e, em seguida, Resolver.

Passo 5: Avaliao dos Resultados Parciais

Na

hiptese de e o

de,

no

Passo a cada

4,

haver uma

sido

assinalada como a

a

opo o

Exibir Os

resultados interrompido

iterao, SOLVER

soluo

parcial

encontrada

sistema abaixo.

exibir

janela,

mostrada

resultados parciais devero ser analisados e escolhida a opo de Continuar ou Parar. No caso de no ser pedida a exibio de tentativas de soluo, o SOLVER apresentar o resultado que encontrar.

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Passo 6: Resoluo do Problema

Tendo prosseguir

sido

escolhida a

a

opo tima

Continuar para o

no

Passo

5,

o

SOLVER o

buscando

soluo

problema.

Quando

encontrado

resultado, pode-se ento salvar a soluo, retornar aos valores originais, ou ento solicitar a gerao dos relatrios (Relatrio de Resultado, Relatrio Grau de Sensibilidade e Relatrio de Limites), conforme as opes oferecidas. A interpretao do Relatrio Grau de Sensibilidade somente ser tratada no tpico 2.4.

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Para obteno de relatrios, deve-se assinalar aquele(s) desejado(s) ou, se desejar todos, manter pressionada a tecla CTRL e clicar sobre todos os tipos de relatrio. No final, clicar OK.

Passo 7: Interpretao da Planilha Final

Na planilha final indicada qual a quantidade de cada produto deve ser produzida para maximizar a margem de contribuio total, otimizando os recursos. Qualquer outra combinao que se fizer entre as quantidades no conseguir atingir a margem de contribuio total calculada como soluo tima. Tambm nesta planilha so informados os totais de recursos escassos

(espao fsico, tecido e horas-mquina) que sero necessrios para a fabricao do mix de produtos.

Passo 8: Interpretao do Relatrio de Resultados

Relatrio de Resultados espelha os dados da planilha inicial e dos resultados obtidos.

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Microsoft Excel 7.0c Relatrio de resultados Planilha: [TESTES.XLS]DADOS1 Relatrio criado: 21/1/97 15:23 Clula de destino (Mximo) Clula Nome Valor Valor final original $E$4 Margem Total 0 8715 Clulas ajustveis (variveis) Clula Nome Valor Valor final original $B$2 Quantidade Angua 0,0 238,5 $C$2 Quantidade Baby-doll 0,0 738,5 $D$2 Quantidade Camisola 0,0 538,5 Restries Clula Nome Valor da Frmula clula $E$10 Total espao fsico (m2) 5000 $E$10=0

Status Obrigatrio Obrigatrio Obrigatrio No obrigatrio No obrigatrio No obrigatrio

Diferencial 0 0 0 238,5 738,5 538,5

Valor Original - valor(es) informado(s) na planilha inicial, a partir do(s) qual(is) o software iniciou as iteraes. Valor Final - valor da clula que otimizar a soluo e das variveis bsicas. No exemplo, a margem de contribuio total (MCT) e as quantidades de produtos a fabricar. Valor da clula - valor de cada restrio, de acordo com a soluo encontrada. Frmula cada uma das expresses lineares representativas das

restries, as quais foram informadas no Passo 3. Status - Obrigatrio - significa que no houve diferena entre o valor da restrio inicial e o valor do recurso necessrio calculado para a soluo tima. A restrio, neste caso, est justa, no existe folga; - No Obrigatrio - significa que houve diferena entre o valor da restrio original e o valor do recurso calculado. Havendo diferena h folga do recurso.

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Diferencial

-

valor

da

diferena

(folga)

existente

entre

o

recurso

necessrio calculado e o valor original da restrio. Este valor ser diferente de zero quando o Status for do tipo No Obrigatrio, ou seja, quando existir folga de recurso.

Passo 9: Interpretao do Relatrio de Limites

Microsoft Excel 7.0c Relatrio de limites Planilha: [TESTES.XLS]DADOS1 Relatrio criado: 21/1/97 15:23 Destino Clula Nome $E$4 Margem Total Ajustvel Clula Nome $B$2 Quantidade Nagua $C$2 Quantidade Baby-doll $D$2 Quantidade Camisola

Valor 8715 mnimo Resultado Limite de destino 0,0 8000,0 0,0 5023,1 0,0 4407,7 mximo Resultado Limite de destino 238,5 8715,4 738,5 8715,4 538,5 8715,4

Valor 238,5 738,5 538,5

Limite

mnimo

-

o

menor

valor

que

uma

varivel

bsica

(clula

ajustvel: quantidade de anguas, quantidade de baby-dolls, quantidade de camisolas) pode assumir enquanto todas as demais clulas variveis so mantidas fixas e ainda satisfazem todas as restries. Limite mximo o maior valor que uma varivel bsica (clula

ajustvel: quantidade de anguas, quantidade de baby-dolls, quantidade de camisolas) pode assumir enquanto todas as demais clulas variveis so mantidas fixas e ainda satisfazem todas as restries. Resultado de destino - corresponde ao valor da clula-meta (aquela que se pretende maximizar/minimizar) da funo-objetivo, quando a clula

varivel analisada est em seu limite mnimo ou mximo. Na indstria de lingerie em anlise, a soluo tima produzir 238,5 anguas, 738,5 baby-dolls e 538,5 camisolas. No sendo produzida nenhuma angua e prevalecesse a quantidade de $ 8.715 dos para outros $ 8.000 produtos, todas com as uma restries sobra de continuariam sendo satisfeitas. Ocorreria, no entanto, uma reduo da margem de contribuio total concomitante recursos. Neste caso, o Status das restries no Relatrio de Resultados seria

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do tipo No Obrigatrio. Por outro lado, se fossem produzidas 240 anguas e fossem mantidas as quantidades fabricadas dos outros produtos, faltariam recursos e seria necessrio aumentar o valor de algumas restries. Ou seja: o limite mximo de produo de anguas de 238,5 unidades. Ultrapassado esse limite, faz-se necessria a alterao no valor das restries. No caso especfico, a fabricao do produto angua pode oscilar entre 0 e 238,5 unidades sem afetar nenhuma das restries. Esse raciocnio valido para os demais produtos. 2.4. Uso da programao linear como instrumento de controle gerencial Chama-se Anlise de Sensibilidade o estudo realizado aps a identificao de um resultado otimizado de um problema atravs da tcnica de programao linear. Ao se encontrar a denominada soluo tima, deve-se proceder uma crtica ao modelo diante de possveis alteraes nas variveis que possam afetar o resultado. Isso corresponde etapa de ps-otimizao. A planilha eletrnica oferece, alm do Relatrio de Resultados e do Relatrio de Limites e das amplas possibilidades de simulaes dos dados

originais, o Relatrio Grau de Sensibilidade, com informaes preciosas para a etapa de ps-otimizao. Microsoft Excel 7.0c Relat. grau de sensibilidade Planilha: [TESTES.XLS]DADOS1 Relatrio criado: 21/1/97 15:23 Clulas variveis Valor Custo Coeficiente Clula Nome final reduzido objetivo $B$2 Quantidade Angua 238,5 0,0 3 $C$2 Quantidade Baby-doll 738,5 0,0 5 $D$2 Quantidade Camisola 538,5 0,0 8 Restries Valor Diferena Valor de Clula Nome final de preo restrio $E$10 Total espao fsico (m2) 5000 0,090 5000 $E$11 Total tecido (m) 8000 0,279 8000 $E$12 Total horas-mquina (hm) 7000 0,862 7000

Aumento Reduo permitido permitida 15,57 0,64 3,50 1,88 3,50 5,60 Aumento Reduo permitido permitida 21000 1690,91 10500 4965,52 5166,67 3500

2.4.1. Conceitos importantes Convm destacar duas das informaes fornecidas pelo Relatrio que so consideradas importantssimas para o julgamento de quem toma decises: os conceitos de custo de oportunidade (no relatrio denominado Custo Reduzido) e de Shadow Price (chamado Diferena de Preo no relatrio).

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Custo de Oportunidade e Shadow Price se equivalem em significado e esto intimamente relacionados. No Relatrio designam elementos diferentes: Custo reduzido (de oportunidade) informa o montante que ser

incorrido, em termos de custos, se determinado produto (clula varivel) for fabricado. Diferena de preo (Shadow Price) designa quanto se deixa de ganhar por no se dispor de uma unidade a mais da varivel restritiva. Outras informaes: Valor Final - valor da soluo tima para as clulas variveis e para as restries. Coeficiente Objetivo - coeficiente da clula ajustvel (varivel bsica) na funo objetivo. Aumento/Reduo permitida Nas clulas uma variveis: sem das refere-se que haja ao uma limite Por de aumento/reduo no valor a final margem do de de

coeficiente qualquer

objetivo

alterao

clulas

variveis.

exemplo:

contribuio do produto angua, que de $ 3, poder ser diminuda em at $ 0,64 ($ 3 - $ 0,64 = $ 2,36) ou aumentada em at $ 15,57 ($ 3 + $ 15,57 = $ 18,57), que em nada alterar a composio das quantidades (Valor Final). A margem de contribuio do produto b (baby-doll)

poder variar entre $ 3,12 e $ 8,50, enquanto que a do produto c poder ir de $ 2,40 a $ 11,50; Nas restries: refere-se ao limite de aumento/reduo do valor da restrio sem que haja uma alterao no valor da Diferena de Preo.

Interpretando

cuidadosamente

esses

dados,

o

contador

dispor

de

informaes fora do convencional, muito mais dinmicas e relevantes para fins de controle, como sero vistas adiante.

2.4.2.Questes no convencionais respondidas pela tcnica de programao linear

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Na dinmica do dia-a-dia, so muitas as questes de natureza econmica para as quais o contador deve apresentar solues, na maioria das vezes com muita rapidez. Mais uma vez o uso da programao linear e dos microcomputadores vm em seu auxlio. 2.4.2.1.Questo 1: Montante perdido se 1 unidade a mais fosse produzida Suponhamos que fosse solicitada ao contador da indstria de lingerie a informao sobre o montante que seria perdido se 1 unidade a mais do produto a (angua) fosse fabricada e se o produto b (baby-doll) mantivesse a mesma quantidade da soluo tima. Neste caso a planilha original deveria ser recomposta, incluindo-se uma restrio para que a quantidade de anguas fosse igual a 239,5 (238,5 apurados na soluo tima mais 1 unidade = 239,5) e outra restrio para que a quantidade de baby-dolls seja igual a 738,5 (mesma quantidade encontrada na soluo tima). Com seguinte: Microsoft Excel 7.0c Relat. grau de sensibilidade Planilha: [TESTES.XLS]DADOS3 Relatrio criado: 21/1/97 15:32 Clulas variveis Clula Nome $B$2 Quantidade Angua $C$2 Quantidade Baby-doll $D$2 Quantidade Camisola Restries Clula Nome $E$10 Total espao fsico (m2) $E$11 Total tecido (m) $E$12 Total horas=mquina (hm) Valor Diferena final de preo 5000 2,667 7994 0,000 6980 0,000 Valor de restrio 5000 8000 7000 Aumento permitido 6 1E+30 1E+30 Reduo permitida 1607 6 20,1666667 Valor final 239,5 738,5 535,7 Custo reduzido -18,3 -0,3 0,0 Coeficiente Aumento objetivo permitido 3 18,3333333 5 0,33333333 8 1E+30 Reduo permitida 1E+30 1E+30 0,5 as alteraes o Relatrio Grau de Sensibilidade passa a ser o

O fato de se ter aumentado 1 unidade do produto a fez com que fosse diminuda a quantidade do produto c (camisola) e, com isso, a margem de contribuio total passasse para $ 8.696. Na situao anterior, que considerava a soluo tima, a margem de contribuio total era de $ 8.715. Percebe-se, ento, que a produo adicional de 1 unidade de angua, mantendo-se a mesma quantidade de baby-dolls, provoca uma diminuio na margem de contribuio total de $ 19.

18

Essa

diminuio

de

$

19

pode

ser

notada

no

Relatrio

Grau

de

Sensibilidade, no campo Custo Reduzido (ou custo de oportunidade). Na coluna Custo Reduzido aparecem trs valores ($ 18,3; 0,3; 0) que, somados, totalizam $ 18,6 $ 19. Isso indica que, a cada unidade fabricada acima da quantidade calculada na soluo tima, a margem de contribuio total estar sendo reduzida em $ 19. 2.4.2.2.Questo 2: Quantia ganha com o relaxamento de uma restrio No caso de ser pedida ao mesmo contador a informao de quanto seria ganho se uma restrio particular (hora-mquina, por exemplo) fosse relaxada em 10 unidades e as demais restries permanecessem constantes, o quadro de restries deveria ser alterado para que o total de horas-mquina passasse a ser menor ou igual (