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7/24/2019 PRODUCTO INTEGRADOR.docx

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ura 1. Diversos tipos de superfcies como aletas, segn Kern y Kraus [1]. (a)Aleta longitudinal con perfl rectan

LABORATORIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR09/11/15Profesor: M.C. Said Zamora Hora: N2 Da:Lunes

PRODUCTO INTEGRADORDistribucin de temperatura en superficies extendidas (Prctica 6) y

Transferencia de calor por conveccin y radiacin en superficies extendidas

(Prctica 8)Ine!ranes:"#e$andra Dimas %&eso 1'915'5"ruro (ar)a (on*+#e* 151,'50Leonardo Danie# Mares "-uino 152

Marco Terico

Superficie extenia# rmino de suerfi)ie e3endida se usa norma#mene )on referen)ia a un s4#ido -uee3erimena ransferen)ia de )a#or or )ondu))i4n denro de sus #mies as )omoransferen)ia de )a#or or )on6e))i4n 7/o radia)i4n enre sus #mies 7 a#rededores.La a#i)a)i4n m+s fre)uene es e# uso de #as suerfi)ies e3endidas de manera ese)fi)aara aumenar #a raide* de ransferen)ia de )a#or enere un s4#ido 7 un f#uido )oni!uo.sa suerfi)ie e3endida se denomina a#ea. Denro de sus usos )omunes enemos #osradiadores 8enfriadores de a!ua de enfriamieno de #os sisemas de )om&usi4n inerna #aesru)ura e3erna de #a )+mara 8)i#indro de #os moores de moo)i)#eas e).Las "#eas se monan en un aarao rmi)o u&era u oro sisema )on #a fina#idad deaumenar e# rodu)o de# )oefi)iene de ransferen)ia de )a#or )on6e)i6o )on e# +rea 8hA

7 as disminuir #a resisen)ia rmi)a (!hA)"Sin em&ar!o e# rea adi)iona# no es anefi)iene )omo #a suerfi)ie ori!ina# 7a -ue ara )ondu)ir e# )a#or es ne)esario un!radiene de emeraura a #o #ar!o de #a a#ea. "s #a diferen)ia media de emeraura ene# enfriamieno es menor en una suerfi)ie )on a#eas -ue en una sin e##as. La resisen)iaade)uada de una a#ea es+ dada or !(A#h #nf) dondeA es #a suerfi)ie de #a a#ea 7nfessu efe)i6idad ($% nf % ). Para a#eas )oras de a#a )ondu)i6idad rmi)a nfes !randeero disminu7e a# aumenar #a #on!iud de #a a#ea.

Tipo! e a"eta!


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Tran!ferencia e ca"or e!e !uperficie! con a"eta!

La ra*4n de #a ransferen)ia de )a#or desde una suerfi)ie -ue es+ a una emeraura Ts

;a)ia e# medio )ir)undane -ue es+ a Tse e3resa or #a #e7 de Neam&in or )on6enien)ia en e# an+#isis se suone -ue e# )oefi)iene de ransferen)ia de)a#or or )on6e))i4n h es )onsane 7 uniforme so&re oda #a suerfi)ie de #a a#ea. Sere)ono)e -ue en !enera# ese )oefi)iene h6ara a #o #ar!o de #a a#ea as )omo de su)ir)unferen)ia 7 -ue su 6a#or en un uno es una fuere fun)i4n de# mo6imieno de# f#uidoen ese uno. # 6a#or de hsue#e ser mu);o m+s &a$o en #a &ase de #a a#ea -ue en #a unade #a misma de&ido a -ue )er)a de #a &ase e# f#uido es+ rodeado or suerfi)ies s4#idas#as )ua#es o&sa)u#i*an seriamene su mo6imieno ;asa e# uno de ?asfi3iar#o@ en ano-ue e# f#uido )er)ano a #a una de #a a#ea iene o)o )ona)o )on una suerfi)ie s4#ida 7)omo )onse)uen)ia en)uenra o)a resisen)ia a# f#u$o. Por #o ano #a adi)i4n dedemasiadas a#eas so&re una suerfi)ie en rea#idad uede disminuir #a ransferen)ia de )a#oroa# )uando e# de)remeno en hnu#ifi)a )ua#-uier !anan)ia resu#ane de# aumeno en e#+rea suerfi)ia#.

Ecuacin e "a a"eta

Considere un e#emeno de 6o#umen en una a#ea en #a u&i)a)i4n x -ue iene una #on!iudxun +rea de se))i4n rans6ersa# deAc7 un ermero dep )omo se muesra en #a fi!ura 2. #&a#an)e de ener!a so&re ese e#emeno de 6o#umen en )ondi)iones esa)ionarias se uedee3resar )omo:

Qcond,x=Qcond ,x + x+Qconv

donde Qconv=h(p x )(TT)


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Figura . Aleta circular larga de secci%n transversal uni&orme y la variaci%n de la temperatura a lo largo de ella

"# susiuir 7 di6idir enre x se o&ine:

Q cond,x+ x+Q cond,x x

+hp (TT)=0

"# omar e# #mie )uando x 0 :

dQconddx

+hp (TT )=0

Con &ase en #a #e7 de Aourier de #a )ondu))i4n de )a#or se iene:

Qcond=k AcdT

dx

donde ") es e# +rea de #a se))i4n rans6ersa# de #a a#ea en #a u&i)a)i4n 3. La susiu)i4n deesa re#a)i4n en #a -uina e)ua)i4n en ese e3o da #a e)ua)i4n diferen)ia# -ue ri!e #aransferen)ia de )a#or en #as a#eas

d

dx (k Ac dTdx)hp (TT )=0n !enera# e# +rea de #a se))i4n rans6ersa#Ac7 e# ermerop de una a#ea 6aran )onx #o)ua# ;a)e -ue esa e)ua)i4n diferen)ia# sea dif)i# de reso#6er.


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n e# )aso ese)ia# de una se))i4n rans6ersa# )onsane 7 )ondu)i6idad rmi)a )onsane#a e)ua)i4n diferen)ia# anerior se redu)e a:

d2

T

dx2

hp

k Ac(TT)=0 o

d2

dx2m2 =0

donde m2=

hp

k Ac 7=TT es e# e3)eso de #a emeraura.

Como #a e)ua)i4n es diferen)ia# #inea# ;omo!nea de se!undo orden )on )oefi)ienes)onsanes iene dos fun)iones de so#u)i4n #inea#mene indeendienes 7 su so#u)i4n!enera# es #a )om&ina)i4n #inea# de am&as. Por #o ano #as fun)iones de so#u)i4n de #a

e)ua)i4n diferen)ia# anes dada son #as e3onen)ia#es emx

o emx

o mB#i#os

)onsanes de e##as. so se uede 6erifi)ar or susiu)i4n dire)a. non)es #a so#u)i4n

!enera# de #a e)ua)i4n diferen)ia#d

2

dx2m2 =0 es:

(x)=C1

emx+C

2emx

Donde C1 7 C2 son )onsanes ar&irarias )u7os 6a#ores se de&en deerminar a arir

de #as )ondi)iones de fronera en #a &ase 7 en #a una de #a a#ea.

s norma# -ue #a emeraura de #a #a)a a #a )ua# se su$ean #as a#eas se )ono*)a )onanerioridad. Por #o ano en #a &ase de #a a#ea se iene una )ondi)i4n de fronera de

emeraura ese)fi)a e3resada )omo (0 )=b=TbT .

n #a una de #a a#ea se ienen 6arias osi&i#idades -ue in)#u7en emeraura ese)fi)ardida de )a#or desre)iae 8idea#i*ada )omo una una ais#ada )on6e))i4n o)on6e))i4n 7 radia)i4n )om&inadas. Considerando )ada )aso or searado se iene:

#$ A"eta infinita%ente "ar&a ' Tpuntade laaleta=T

Se )onsidera una a#ea infiniamene #ar!a si se )um#e -ue #a #on!iud de #a misma sea 1006e)es ma7or -ue su esesor.

'ondiciones de fronteraPara una a#ea sufi)ienemene #ar!a de se))i4n rans6ersa# uniforme 8")

)onsane #a emeraura en #a una ender+ a #a de# medio T 7 or

)onsi!uiene ender+ a )ero. s de)ir

(L )=T(L )T=0 )uando L .


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Distribucin de temperatura en la aleta

Si =TT 7 m=hp /k Ac #a 6aria)i4n de #a emeraura a #o #ar!o de #a

a#ea se uede e3resar )omo

T(X

)

TTbT =

emx=ex

hp

k A c

n ese )aso #a emeraura a #o #ar!o de #a a#ea de)re)e e3onen)ia#mene

desde Tb ;asa T 8Ai!ura 2.

a*n de la Transferencia de 'alor

Se uede deerminar a arir de #a #e7 de Aourier de #a )ondu))i4n de# )a#or:

Qaletalarga=k AcdT

dx|x=0=hpk Ac(TbT )(W)donde es e# ermero ") es e# +rea de #a se))i4n rans6ersa# de #a a#ea 7 3 es #adisan)ia desde #a &ase de #a a#ea.

($ P)ria e ca"or e!precia*"e e!e "a punta e "a a"eta 'punta e "a a"eta ai!"aa+

Qpunta de la aleta=0 ,

se )aso es a#i)ae )uando e# +rea rans6ersa# de #a a#ea es mu7 e-ue=a )omarada)on #a #on!iud de #a misma de manera -ue #a ransferen)ia de )a#or en #a una esdesre)iae.

'ondiciones de frontera

Se suone )omo una ais#ada or #o -ue su )ondi)i4n en e##a uede e3resarse)omo

d

dx|x=L=0 Distribucin de temperatura en la aleta

T(X)TTbT

=coshm(Lx)

cosh mL


Ena 6e* m+s se uede deerminar #a ra*4n de #a ransferen)ia de )a#or a arir de#a #e7 de Aourier de #a )ondu))i4n de# )a#or:

Qpuntaaslada=k A cdT

dx |x=0=hpk A c (TbT ) tanhmL


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ura *. +a longitud corregida de la aleta +c se defne en tal &orma #ue la trans&erencia de calor desde una aleta

-$ Con.eccin 'o con.eccin / raiacin co%*inaa!, e!e "a punta e "a a"eta

n #a r+)i)a #as unas de #as a#eas es+n e3uesas a #os a#rededores or #o ano #a)ondi)i4n de fronera aroiada ara #a una de #a a#ea es #a de #a )on6e))i4n -ueam&in uede in)#uir #os efe)os de #a radia)i4n.

'ondiciones de frontera

La )ondi)i4n en #a una de #a a#ea se uede o&ener a arir de un e-ui#i&rio de

ener!a en #a una de #a a#ea 8 Qcond=Q conv . s de)ir

k A cdT

dx |x=L=h Ac[T(L )T ] 'onveccin en la punta de la aleta

T(X)TTbT

=

coshm (Lx )+(

h

mk

)senh m(Lx)

cosh mL+( hmk)senhmL


Se uede )a#)u#ar #a ra*4n de #a ransferen)ia de )a#or de #a a#ea a# susiuir en #a

e)ua)i4n de #a #e7 de Aourier de )ondu))i4n de )a#or e# !radiene de emerauraen #a &ase de #a a#ea e# resu#ado de ese ro)edimieno es

Qpuntaaslada=k AcdT

dx |x=0=hpk Ac (TbT )senhmL+( hmk)cosh mLcoshmL+( hmk) senhmL


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La so#u)i4n a #a e)ua)i4n !enera# de a#eas ara e# )aso de #a )on6e))i4n de #auna de #a a#ea es mu7 )om#e$a. En modo aro3imado ero r+)i)o 7 re)isode reresenar #a rdida en #a una de #a a#ea es reem#a*ar #a #on!iud de #aa#ea L en #a re#a)i4n ara #a una ais#ada or una #on!iud de a#ea )orre!ida8definida )omo en #a Ai!ura F:

Lc=L+A c

p

donde ") es e# +rea de #a se))i4n rans6ersa# 7 es e# ermero de #a a#ea en #auna.

La aro3ima)i4n de #a #on!iud )orre!ida da resu#ados mu7 &uenos )uando #a

6aria)i4n de #a emeraura )er)a de #a una es e-ue=a 8)uando mL !1 7 e#

)oefi)iene de ransferen)ia de )a#or en esa una es seme$ane a# -ue se iene en #asuerfi)ie #aera# de #a a#ea. Por #o ano #as a#eas su$eas a )on6e))i4n en #asunas se ueden raar )omo a#eas )on unas ais#adas a# reem#a*ar #a #on!iud

rea# de #a a#ea or #a #on!iud )orre!ida en #as e)ua)iones )orresondienes.Si se usan #as re#a)iones aroiadas ara ") 7 se deermina )on fa)i#idad -ue #as#on!iudes )orre!idas ara #as a#eas re)an!u#ares 7 )i#ndri)as son

Lc ,aletarectangular=L+t

2

7 Lc ,aletaclpndrca=L+"

4

donde es e# esesor de #as a#eas re)an!u#ares 7 D es e# di+mero de #as a#eas

)i#ndri)as.

Efecti.ia e "a a"eta


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Figura . +as aletas me-oran la trans&erencia de calor desde una superfcie al acrecentar el rea supe

Considere #a suerfi)ie de una ared #ana -ue es+ a #a emeraura Tb e3uesa a unmedio a #a emeraura T. # )a#or se ierde de #a suerfi)ie ;a)ia e# medio )ir)undane or)on6e))i4n )on un )oefi)iene de ransferen)ia de )a#or de h. Si se des)ara #a radia)i4n ose )onsidera su )onri&u)i4n en e# )oefi)iene de )on6e))i4n h #a ransferen)ia de )a#or

desde un +rea suerfi)ia#As se e3resa )omo Qconv=h A s(TsT) .

Considere a;ora una a#ea de +rea )onsane de se))i4n rans6ersa# Ac + Ab 7 lon,itud -

-ue es+ su$ea a #a suerfi)ie )on )ona)o erfe)o 8fi!ura . n esa o)asi4n e# )a#or esransferido de #a suerfi)ie ;a)ia #a a#ea or )ondu))i4n 7 de #a a#ea a# medio )ir)undaneor )on6e))i4n )on e# mismo )oefi)iene hde ransferen)ia de )a#or. La emeraura de #aa#ea ser+ Tben su &ase 7 !radua#mene disminuir+ ;a)ia #a una. La )on6e))i4n desde #asuerfi)ie de #a a#ea )ausa -ue #a emeraura en )ua#-uier se))i4n rans6ersa# )ai!a unano desde #a are inerior ;a)ia #as suerfi)ies e3eriores. Sin em&ar!o e# +rea de #ase))i4n rans6ersa# de #as a#eas sue#e ser mu7 e-ue=a 7 en )onse)uen)ia se uede)onsiderar -ue #a emeraura en )ua#-uier se))i4n rans6ersa# es uniforme. "simismo or)on6enien)ia 7 sen)i##e* se uede suoner -ue #a una de #a a#ea es+ ais#ada a# usar #a#on!iud )orre!ida ara #a a#ea en #u!ar de #a #on!iud rea#.


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ura /.Distri!uci%n ideal y real de temperatura en una aleta.

Sin em&ar!o en rea#idad #a emeraurade #a a#ea )ae a #o #ar!o de e##a 7 or #oano #a ransferen)ia de )a#or desde #amisma ser+ menor de&ido a #a diferen)iade)re)iene en #a emeraura T(x).

T /;a)ia #a una )omo se muesraen #a fi!ura 5. Para )onsiderar e# efe)ode esa disminu)i4n en #a emerauraso&re #a ransferen)ia de )a#or se defineuna efi)ien)ia de #a a#ea )omo:

#aleta=Qaleta

Q aleta, m$x

donde Qaleta, m$x=h Aaleta(TbT) 7 Aaleta es +rea suerfi)ia# de oda #a a#ea.

U!o e %acro! en Exce"

Definicin e %acro

La a#a&ra ma)ro es una a&re6iaura de ?ma)roinsru))i4n@ es de)ir un )on$uno deinsru))iones -ue se e$e)uan se)uen)ia#mene.

Haando m+s )o#o-uia#mene una ma)ro es un e-ue=o ro!rama -ue rea#i*a una areaese)fi)a a ra6s de una serie de insru))iones. se e-ue=o ro!rama se en)uenradenro de #a a#i)a)i4n rin)ia# 7 or #o ano uede a))eder a odas #as fun)iona#idadesde #a misma. s de)ir una ma)ro denro de MS Gord odr+ a))eder a #os ios de #era+rrafo aas de Gord una ma)ro denro de 3)e# odr+ a))eder a #os #i&ros ;o$as

formu#as )e#das de #a a#i)a)i4n rin)ia#.

Las ma)ros es+n a#o$adas en unos )onenedores ##amados m4du#os. Pueden erene)er a#as )areas !enera#es de 3)e# en )u7o )aso se ueden e$e)uar en )ua#-uier ;o$a de)+#)u#o o &ien esar desinadas s4#o a una ;o$a.

0C%o !e crea una %acro1

Ena ma)ro es+ )omuesa or una serie de insru))iones -ue se e$e)uan se)uen)ia#meneara rea#i*ar una area deerminada. sas insru))iones es+n es)rias en #en!ua$e de

ro!rama)i4n or #o -ue ara )rear una ma)ro de&eremos de es)ri&ir e# )4di!o ne)esarioara rea#i*ar #as insru))iones deseadas. Las ma)ros ueden aumenar mu7)onsideraemene #as osi&i#idades de mu);as a#i)a)iones 7 adaar#as de una maneramu);o m+s efi)iene a ne)esidades ese)fi)as de sus usuarios.

n mu);as a#i)a)iones -ue ra&a$an en enorno Gindo


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ma)ros. # #en!ua$e JK" es un su&)on$uno )asi )om#eo de# #en!ua$e Jisua# Kasi) ' )asi)ua#-uier )osa -ue se ueda ro!ramar en ese #en!ua$e se odr+ ro!ramar am&in denrode una a#i)a)i4n -ue en!a e# edior de JK" ine!rado. s or ese moi6o -ue #as nue6as6ersiones de %ffi)e son )ada 6e* m+s resri)i6as a #a ;ora de e$e)uar ma)ros de auoresdes)ono)idos 7a -ue )on una ma)ro odramos ;a)er -ue un sim#e do)umeno de Gord se

)omore )omo un 6irus sim#emene e$e)uando #as insru))iones ade)uadas.

02u) !e puee 3acer con una %acro en Exce"1

Las a#i)a)iones de #a fami#ia de sof


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Figura 0. Activaci%n de la cinta Desarrollador2...

Figura 3. 4ntorno de 56A.

Figura 7. 8reaci%n de una macro.

Para )rear una ma)ro en an)o 6amos a #a fi);aDesarrollador!7acros/ en #a 6enana nosaare)er+n #as ma)ros -ue ;emos )reado en e# do)umeno. n se )aso no aare)e nin!unama)ro en e# )uadro inferior or-ue aBn no ;emos )reado nin!una. Para )rear una nue6ama)ro es)ri&imos en e# )uadro de&a$o de ?Nom&re de #a ma)ro@. Le onemos de nom&re?MiMa)ro@ 7 #e damos a )rear 8Ai!ura ,. De esa manera ;emos )reado una ma)ro 7

enrado a# edior de JK" 8Ai!ura .


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Figura 9. 8%digo de la macro en 56A.

Figura 11.Figura 1:.

# edior )oniene F 6enanas rin)ia#es: #a Jenana Pro7e)o 8are i*-uierda suerior #aJenana de C4di!o 8are dere);a 7 #a Jenana Proiedades 8are i*-uierda inferior."dem+s )omo mu);os oros ro!ramas de Gindo


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ura 1*. Asignaci%n de una macro a un o!-eto.

Figura 1. ;acro gra!ada en el li!ro de 4


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Figura 1. Activaci%n del complemento =olver.

Para e$e)uar una ma)ro de forma inmediaa un ro)edimieno r+ido es asi!nar#a a unaima!en forma )uadro de e3o o )ua#-uier oro o&$eo -ue #o admia. Ena 6e* )reada #aima!en o #a forma &asa usar e# &o4n dere);o ara a))eder a #a orden de asi!nar unama)ro 8fi!ura 1F. n #a #isa de ma)ros se e#i!e #a ade)uada 7 se da )#i) en a)ear. "s)ada 6e* -ue se u#se #a )ara sonriene se e$e)uar+ #a ma)ro -ue se#e))ionamos

re6iamene.Creacin e %acro 6ue e5ecute So".er

# So#6er se ui#i*a ara deerminar e# 6a#or m+3imo o mnimo de una )e#da modifi)andooras )e#das or e$em#o e# &enefi)io m+3imo -ue uede !enerarse modifi)ando #os !asosde ui)idad. Las )e#das -ue se se#e))ionen de&er+n esar re#a)ionadas mediane f4rmu#asen #a ;o$a de )+#)u#o. Si no es+n re#a)ionadas )uando se modifi-ue una )e#da no semodifi)ar+ #a ora.

Con So#6er uede &us)arse e# 6a#or 4imo arauna )e#da denominada )e#da o&$ei6o en una

;o$a de )+#)u#o. Aun)iona en un !ruo de )e#das-ue esn re#a)ionadas dire)a o indire)amene)on #a f4rmu#a de #a )e#da o&$ei6o. So#6er a$usa#os 6a#ores en #as )e#das )am&ianes -ue seese)ifi-uen denominadas )e#das a$usaesara !enerar e# resu#ado ese)ifi)ado en #af4rmu#a de #a )e#da o&$ei6o. Pueden a#i)arseresri))iones ara resrin!ir #os 6a#ores -ueuede ui#i*ar So#6er en e# mode#o 7 #asresri))iones ueden ;a)er referen)ia a oras)e#das a #as -ue afe)e #a f4rmu#a de #a )e#da

o&$ei6o.

"nes de )rear una ma)ro -ue e$e)ue e#)om#emeno olveres ne)esario rearar nuesro #i&ro ara oder ##e6ar a )a&o di);aarea.

Primero se de&e a&rir un #i&ro de 3)e# 7 ;a&i#iar e# )om#emeno olver diri!indonos a:Archivo ! Bpciones ! 'omplementos/ C#i) en e# &o4nr !Mar)ar olver 8fi!ura 1 7 )#i)enAceptar"

Desus se de&e ;a&i#iar #a )inaDesarrollador/ )omo se indi)4 aneriormene.

"nes de )omen*ar a ra&a$ar se de&e !uardar e# do)umeno )omo un ?Li&ro de 3)e#;a&i#iado ara ma)ros@ enArchivo ! uardar como ! es)o!emos e# nom&re dire)orio 7 en>io se#e))ionaremos-ibro de 9xcel habilitado para macros 7 damos )#i) enAceptar"


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Figura 1/. >armetros de =olver.

Ena 6e* -ue se a)i6a e#)om#emeno aare)er+ uni)ono en #a )ina Datos )on e#nom&re de olver+ a# ;a)er )#i)en se se a&re una 6enana )on

#os si!uienes ar+meros 8fi!ura15:

'elda obEetivo Ce#da -uese desea definir )on un 6a#ordeerminado o -ue se deseama3imi*ar o minimi*ar.

3alor de la celda obEetivo:se)fi)a si se desea

ma3imi*ar o minimi*ar #a )e#da o&$ei6o o &ien definir#a )on un 6a#or ese)fi)o e#)ua# se inrodu)ir+ en e# )uadro.

'ambiando las celdas Ce#das -ue ueden a$usarse ;asa -ue se saisfa!an #asresri))iones de# roema ueden ese)ifi)arse 200 )e#das )omo m+3imo.

9stimarsima odas #as )e#das -ue no )onienen nin!una f4rmu#a a #as -ue se ;a)ereferen)ia en #a f4rmu#a de #a )e#da o&$ei6o 7 es)ri&indo#a en e# )uadro Cam&iando#as )e#das.

uEeto a las si,uientes restricciones: Muesra una #isa de #as resri))iones a)ua#es ene# roema ermiindose ediar di);as resri))iones.

esolverIni)ia e# ro)eso de so#u)i4n de# roema definido.

'errar Cierra e# )uadro de di+#o!o sin reso#6er e# roema. Teiene odos #os)am&ios -ue se ;a7an rea#i*ado mediane #os &oones %)iones "!re!ar Cam&iar oKorrar.

Bpciones: Muesra e# )uadro de di+#o!o %)iones de So#6er donde ueden )ar!arse 7!uardarse #os mode#os de roema 7 #as )ara)ersi)as de )onro# a6an*ado de#ro)eso de so#u)i4n.

establecer todo Korra #os 6a#ores a)ua#es de# roema 7 resae)e odos #os6a#ores a sus 6a#ores ori!ina#es.

Mi)rosof 3)e# So#6er ui#i*a e# )4di!o de oimi*a)i4n no #inea# 8(T(2 desarro##ado or#a Eni6ersidad Leon Lasdon de "usin 8>e3as 7 #a Eni6ersidad "##an Garen 8C#e6e#and.

Los roemas #inea#es 7 eneros ui#i*an e# modo m+s sim#e )on #mies en #as 6ariaes

7 e# modo de ramifi)a)i4n 7 #mie im#anado or Uo;n Gason 7 Dan A7#sra deAron#ine S7sems In).

Para definir 7 reso#6er un roema )on so#6er en e# menB Datos ;a)er )#i) en olver. n e#)uadro 'elda obEetivo inrodu*)a una referen)ia de )e#da o un nom&re ara #a )e#dao&$ei6o. Para -ue e# 6a#or de #a )e#da o&$ei6o sea e# 6a#or m+3imo osie ;a!a )#i) enM+3 de ser un 6a#or mnimo en Min o de ener un 6a#or deerminado ;a!a )#i) en Ja#or.


16/27Figura 10. 5entana de validaci%n de datos.

n e# )uadro 'ambiando la celda inrodu*)a un nom&re o referen)ia ara )ada )e#daa$usae searando )on )omas #as referen)ias no ad7a)enes o resione e# &o4n 9stimar.Inrodu*)a odas #as resri))iones -ue desee a#i)ar. Ha)er )#i) en Teso#6er.

" )oninua)i4n se modifi)ar+n #os 6a#ores de #as )e#das re#a)ionadas )on e# )om#emenomosrando 6a#ores resu#ados m+s r43imos a #a so#u)i4n -ue se desee. Lue!o aare)er+ un

)uadro de dia#o!o ##amadoesultados de olver/ donde se se#e))iona una de #as o)ionessi!uienes:

'onservar la solucin de olver")ear #a so#u)i4n 7 )o#o)ar #os 6a#ores resu#anesen #as )e#das a$usaes.

estaurar valores ori,inalesTesaurar #os 6a#ores ori!ina#es en #as )e#das a$usaes.

nformes(enera e# io de informe -ue se ese)ifi-ue 7 #o )o#o)a en una ;o$aindeendiene en #a ;o$a de )+#)u#o.

V Tesuesa muesra una #isa )on #a )e#da o&$ei6o 7 #as )e#das a$usaes )on sus6a#ores ori!ina#es 7 sus 6a#ores fina#es #as resri))iones 7 #a informa)i4n a)er)a de

#as mismas.V Sensi&i#idad fa)i#ia informa)i4n a)er)a de #a sensi&i#idad de #a so#u)i4n a -ue se

rea#i)en e-ue=os )am&ios en #a f4rmu#a definida en e# )uadro Definir )e#da o&$ei6ode# )uadro de di+#o!o Par+meros de So#6er o de #as resri))iones. No se !enera eseinforme ara #os mode#os -ue en!an resri))iones eneras. n mode#os no #inea#es e#informe fa)i#ia #os 6a#ores ara #as !radienes 7 #os mu#i#i)adores de La!ran!e. n#os mode#os #inea#es e# informe in)#u7e )osos redu)idos oros re)ios )oefi)ienede o&$ei6os 8)on aumenos 7 disminu)iones ermiidos 7 ran!os de resri))iones;a)ia #a dere);a.

V Lmies muesra una #isa )on #a )e#da o&$ei6o 7 #as )e#das a$usaes )on sus6a#ores )orresondienes #os #mies inferior 7 suerior as )omo #os 6a#ores de#o&$ei6o. No se !enera ese informe ara #os mode#os -ue en!an resri))ioneseneras. # #mie inferior es e# 6a#or mnimo -ue uede omar #a )e#da a$usaemienras se manienen odas #as dem+s )e#das a$usaes fi$as 7 se )oninBasaisfa)iendo #as resri))iones. # #mie suerior es e# 6a#or m+3imo.

uardar escenario"&re e# )uadro de di+#o!o (uardar es)enario donde ueden!uardarse #os 6a#ores de )e#da ara ui#i*ar#os en e# "dminisrador de es)enarios deMi)rosof 3)e#.

s imorane -ue ara oder are)iar e# )om#emeno denro de una ma)ro se a)i6e e#)om#emeno en e# esa)io de JK" ara e##o: en #a 6enana de JK" ;a)er )#i) en=erramientas ! eferencias !7 a)i6ar #a )asi##a olver 7Aceptar"

Re!triccin e ato! en una ce"a en Exce"

Para oder #imiar #os 6a#ores in!resados en una)e#da ano )omo e# 6a#or m+3imo o minimo -uese uede in!resar en esa en #a )ina Datosaarado =erramientas de datos se en)uenra e#


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&o4n 3alidacin de datos donde a# ;a)er )#i) en # nos aare)e una 6enana emer!ene8Ai!ura 1'.

Donde en #a esa=a ermiir se se#e))iona #a o)i4n de daos -ue -uieras in!resar8)ua#-uier 6a#or numero enero de)ima# #isa fe);a ;ora #on!iud de e3o 7ersona#i*ada. Se!Bn #a es)o!ida se aare)er+ en #a are de a&a$o re)uadros ara -ue

definas #os #mies )orresondienes.n #a esa=a mensa$e de error se es)ri&e e# mensa$e -ue -uieras -ue se aare*)a en )aso-ue se in!rese un dao -ue no enre en e# ran!o aneriormene definido.

Dato! experi%enta"e!

# ro!rama )reado en e# #i&ro de 3)e# ara so#u)ionar #a r+)i)a de disri&u)i4n deemerauras en suerfi)ies e3endidas re-uiere in!resar #os si!uienes daos:

>emeraura e3erimena# en WC arro$ada or #os ermoares )one)ados a #asuerfi)ie de #a a#ea.

>emeraura am&iena# en WC.

Se oman esos daos 7a -ue e# )aso a reso#6er es e# de una a#ea )on rdida de )a#or or)on6e))i4n desde #a una de #a a#ea ;a)ia #os a#rededores. Por #o -ue e3ise enon)es unde)remeno de #a disri&u)i4n de #a emeraura a #o #ar!o de #a suerfi)ie e3endida amedida -ue nos a#e$amos de #a &ase de #a misma. sas emerauras a )ieras disan)ias 3de #a &ase 7 fueron medidas e3erimena#mene )on #a a7uda de ermoares sin em&ar!o

am&in se ueden )a#)u#ar e4ri)amene dese$ando T(x ) de #a f4rmu#a:

T(X)TTbT

=coshm(Lcx)

coshm Lc

-uedando enon)es:

T(X)=(TbT )cosh m(Lcx)

cosh m Lc+T

donde T(X) es #a emeraura a una disan)ia 3 de #a &ase de #a suerfi)ie e3endida 83 se

om4 )omo 0m 0.05m 0.10m 0.15m 0.20m 0.25m 0.F0m 0.F5m ara >1 >2 >F >>5 >' >, 7 > rese)i6amene 7 en ese )aso es #a 6ariae a )a#)u#ar Tb es #a

emeraura de #a &ase o #a emeraura a #a disa)ia 30m 8>1 T es #a emeraura

am&iene m es una )onsane 7 se )a#)u#a )omo m= hp

k A cdonde ; es e# )oefi)iene de

)on6e))i4n de# f#uido a# -ue es+ e3uesa #a a#ea 8aire es e# ermero de #a misma ")


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es e# +rea de #a se))i4n rans6ersa# a# f#u$o de )a#or 7 O es #a )ondu)i6idad de #a a#ea 7 L)es #a #on!iud )orre!ida -ue es una aro3ima)i4n ara oder ana#i*ar e# roema )omo e#

)aso de una ais#ada sim#ifi)ando as #os )+#)u#os 7 oera)iones ara e##o Lc=L+A c

p

susiu7endo ") 7 ara una a#ea )i#ndri)a:

Lc=L+"

4=longtud de la aleta+( d$metrode la aleta4 )=0.35+

0.01

4 =0.3525m .

Noe -ue no es ne)esario in!resar #os 6a#ores de 3 7 L) de&ido -ue esos se oman )omo)onsanes 7 se definieron en e# ro!rama 7 amo)o e# 6a#or de m 7a -ue a# )orrer#o seauom+i)amene oma m )on un 6a#or de ,. -ue nosoros definimos ara desus)orre!ir#o usando e# )om#emeno olver )on #a fina#idad de redu)ir #a suma de #asdiferen)ias de emerauras e4ri)as 7 e3erimena#es a# )uadrado aro3im+ndo#as a 0 araase!urarnos -ue #os daos e4ri)os se aro3imen a #os e3erimena#es #o m+s osie esose e3#i)ara )on m+s dea##e en e# r43imo aarado.

Los daos ne)esarios de in!resar ara #a e$e)u)i4n de# se!undo ro!rama )orresondiene a#a r+)i)a de ransferen)ia de )a#or or )on6e))i4n 7 radia)i4n en suerfi)ies e3endidasson:

>emeraura e3erimena# en WC en )ada ermoar )o#o)ado a #o #ar!o de #asuerfi)ie de #a a#ea ne)esarias ara su oserior )on6ersi4n de unidades a WXas )omo e# romedio de #as mismas )orresondiene a# romedio de #aemeraura suerfi)ia# de #a a#ea 8>s.

>emeraura am&iena# en WC ui#i*ada oseriormene en #os )+#)u#os de H)m 7Hrm as )omo en #as ra*ones de #a ransferen)ia de )a#or. Di+mero de #a a#ea en m usada ara o&ener H)m. rea suerfi)ia# de #a a#ea 8"s en mY2 ne)esaria ara o&ener #a ra*4n de #a

ransferen)ia de )a#or. misi6idad de #a suerfi)ie e3endida. Jo#a$e e inensidad de )orriene en Jo#s 7 "meres rese)i6amene de #a

fuene de !enera)i4n de )a#or am&os re-ueridos ara o&ener Qgen .


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Figura 17. ?nter&a$ de usuario..

ura 13. +lenado de los datos re#ueridos para la resoluci%n del pro!lema.

C7"cu"o! / re!u"tao!

Para #a r+)i)a de disri&u)i4n de emeraura en suerfi)ies e3endidas #os asosrea#i*ados ara )rear e# ro!rama fueron #os si!uienes:

Primeramene se modifi)4 e# esa)io en #a ;o$a de )+#)u#o de 3)e# ara )rear #a inerfa* deusuario deseada 8Ai!ura 1,. "!re!ando #os rese)i6os o&$eos -ue se ui#i*ar+n desus)omo &oones ara asi!nar#es #a ma)ro )orresondiene.

Se!uido se in!resaron #osdaos )orresondienes ene# re)uadro de #a i*-uierda8fi!ura 1. Paraoseriormene a#i)ar e#uso de ma)ros.

"nes de ini)iar #a!ra&a)i4n de ma)ros fuene)esario a)i6ar #a )inaDesarrollador/ara e##o en#a )ina Archivo sese#e))ion4 Bpciones 7 en

#a 6enana emer!enePersonali*ar cinta de opciones a)i6ando en e# )uadro fi);as rin)ia#es #a )asi##aDesarrollador 8fi!ura ' 7 dando )#i) enAceptar.

>am&in se u6o -ue a)i6ar e# )om#emeno olver diri!indonos a: Archivo ! Bpciones !'omplementos/ C#i) en e# &o4n r ! a)i6ando e# re)uadro olver 8fi!ura 1 7 )#i) enAceptar"


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Figura 19. 8reaci%n de la macro calcular2.

Figura :. @!tenci%n de las temperaturas te%ricas (t).

Se!uido se !uard4 e# do)umeno )omo un ?Li&ro de 3)e# ;a&i#iado ara ma)ros@ enArchivo ! uardar como ! a!re!ando e# nom&re dire)orio 7 en >io se#e))ionando -ibrode 9xcel habilitado para macros 7 )#i)Aceptar"

De sa manera nuesro #i&ro -uedo #iso ara )rear #as ma)ros a ui#i*ar.

Para !ra&ar #a rimera ma)roen)ar!ada de rea#i*ar #os )+#)u#os de #ase))i4n ?Tesu#ados@ de #a inerfa* serea#i*4 e# si!uiene ro)edimieno: fi);aDesarrollador ! rabar macro/ en #a6enana es)ri&imos en e# )uadro de&a$ode Fombre de la macro e# nom&re?)a#)u#ar@ 7 Aceptar (i,ura G)"

" arir de ese momeno odosnuesras a))iones en #a #ani##a de 3)e#

esa&an siendo !ra&adas:

n #a )e#da ?6; in!resamos e# 6a#or de ,. su!erido or e# manua#. en #a )e#daoserior #a formu#a :+'B(HI6#HIG); -ue es i!ua# -ue )a#)u#ar: cos(m-)"

n e# )uadro de emeraura e4ri)a ara e# 6a#or de >1 in!resamos #a f4rmu#a: :+('I6.'IJ)#(('B=(I6#("@KCK.$)))!('B=(HI6#"@KCK)))5'IJ; -ue es i!ua# -ue:

(TbT )cosh m(Lcx)

cosh m Lc+T o &ien T(x) 7 se )oi4 en #as dem+s )e#das a#

)o#o)arnos en #a es-uina inferior dere);a 7 arrasrar e# mouse ;asa e# 6a#or de >modifi)ando desus ara )ada emeraura e# 6a#or )orresondiene a 3 6er Ai!ura 20.


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Figura 1. 8lculo de la sumatoria de las di&erencias de las temperaturas te%ricas y e>eY2 se in!res4 en#a )e#da ?6; :+(6.'6)LC;7 se )oi4 ara #as )e#das oseriores. Lue!o en #a B#ima)e#da de esa aa se a!re!4 #a f4rmu#a :+M7A(6@);ara sumar odas #as diferen)iasde )uadrados 8Ai!ura 21.

Con ese aso erminamos #os asos deseados ara #a ma)ro ?Ca#)u#ar@ as -ue deu6imos#a !ra&a)i4n de #a ma)ro en #a )inaDesarrollador ! Detener ,rabacin"

Poseriormene ;i)imos )#i) dere);o en e# )uadro ro$o )on #a #e7enda ?C"LCEL"T@ 7se#e))ionamos #a o)i4nAsi,nar macro"". es)o!iendo en e# re)uadro #a ma)ro calcular7dando )#i) enAceptar"

Ena 6e* erminada esa ma)ro )reamos #a -ue )orrer+ e# )om#emeno de olverara e##ofuimos a #a )inaDesarrollador/ 7acros ! en e# re)uadro de nom&rees)ri&imossolver 7se#e))ionamos 'rear"so nos ##e6ara a# esa)io de ra&a$o de JK" 7 a# )4di!o de #ama)ro so#6er 8Ai!ura 22.

nre ub 7 9nd ubes)ri&imos #as insru))iones -ue-ueremos -ue rea#i)e nuesrama)ro fi!ura 2F.

# )omando olvereset sea!re!4 ara #imiar ar+meros 7resri))iones -ue udierane3isir ara e# )om#emenoSolver.

Desus definimos #osar+meros -ue re)u&rir+solver mediane #a e3resi4nsolveraceptar/ en e# aarado


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Figura *. 8%digo de la macro solver.

Figura . Besultados de la e-ecuci%n de la macro solver.

definir'elda a!re!amos nuesra )e#da o&$ei6o 8I1 -ue es #a )orresondiene a# 6a#or de#a sumaoria de #a diferen)ia de emerauras a# )uadrado 7a -ue &us)amos redu)ir esadiferen)ia a )ero mediane #a 6aria)i4n de m or #o -ue en e# aarado valor7x7Nn)o#o)amos e# 6a#or 2 -ue )orresonde a #a a))i4n de Minimi*ar en valorDe )o#o)amos un)ero or-ue es #a )anidad a #a -ue -ueremos aro3imarnos 7 en celdas'ambiantes

inseramos e# 6a#or de #a )e#da -ue -ueremos 6ariar -ue en ese )aso )orresonde a# 6a#orde m 8)e#da (1'. Se!uido se rees)ri&en #os ar+meros de# solver ara -ue se e$e)ue)orre)amene.

Las insru))iones olverolve Mserinish+True 7 olverinish Oeepinal+se )o#o)anara -ue e# olverse e$e)ue sin mosrar e# )uadro de dia#o!o de# esultado de olver 7ara -ue a# erminar se manen!a e# resu#ado fina# en)onrado or e# so#6errese)i6amene. >erminamos e# )4di!o )on 9xit ub 7 anes de )errar e# esa)io JK"de&emos a)i6ar e# )om#emeno olver am&in en se ara e##o: en #a 6enana de JK";a)emos )#i) en=erramientas ! eferencias !a)i6amos #a )asi##a olver 7 )#i) enAceptar"

"si!namos #a ma)ro a# re)uadro ro$o )on #a #e7enda ?"PLIC"T S%LJT@. "# ;a)er )#i) #ama)ro se e$e)u4 )orre)amene mosr+ndonos e# 6a#or )orre!ido de m 8fi!ura 2. ue en

nuesro roema aso de ser de ,. a ,.02F 7 #a sumaoria de #as diferen)ias de #as > a#)uadrado de 2.5 a 0.FF #o -ue nos )orro&ora -ue efe)i6amene e# 6a#or de m o&enidoaro3imo nuesros resu#ados e4ri)os a #os rea#es #o ma7or osie.

Por B#imo se !ra&4 #a ma)ro limpiar/ asi!nada a# re)uadro ?J"CI"T CLD"S@. Lasoera)iones rea#i*adas ara e##o fueron #as si!uienes: )ina Desarrollador ! rabarmacro ! en e# re)uadro nombre de la macrose es)ri&i4 limpiar ! Aceptar !se se#e))ionaron


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Figura /. 8%digo de la macro limpiartodo.

#as )e#das de )o#or an)o de oda #a inerfa* 7 desus se orimi4 #a e)#a supr / Detener,rabacin ! )#i) dere);o en e# re)uadro ?J"CI"T CLD"S@ /Asi,nar macro ! limpiar !Aceptar" Por #o -ue ese &o4n se ui#i*a so#amene ara de$ar e# esa)io de ra&a$o #imio 7ara -ue as nos sea m+s f+)i# in!resar nue6os daos.

# )4di!o en e# enorno de JK" )reado auom+i)amene or #a !ra&a)i4n de #a ma)ro

limpiar se muesra en #a fi!ura 25.

Por B#imo !uardamos #as modifi)a)iones ;e);as en nuesro #i&ro.

n e# )aso de #a r+)i)a de ransferen)ia de )a#or or )on6e))i4n 7 radia)i4n ensuerfi)ies e3endidas se rea#i*4 un ro)edimieno sumamene simi#ar e# )ua# se des)ri&e a)oninua)i4n:


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Figura 7. +lenado de los datos re#ueridos para la soluci%n del pro!

Figura 0. ?nter&a$ de prctica 3.

Primero se )re4 #a inerfa* de usuario usando #as roiedades 7 ;erramienas de 3)e#8fi!ura 2' de manera -ue en #a are dere);a se in!resen odos #os daos ne)esarios araoder ;a)er #os )+#)u#os )orresondienes 7 en)onrar e# 6a#or de #a ra*4n de #aransferen)ia de )a#or or )on6e))i4n 7 radia)i4n as )omo #a ra*4n de #a ransferen)ia de)a#or !enerada de a# forma -ue di);os resu#ados se en)uenran en #a are i*-uierda de #a

inerfa*.

Desus se ##enaron #as )e#das )on #a informa)i4n )orresondiene 8fi!ura 2,.

# aso si!uiene fue !ra&ar #a ma)ro calcularC/ en #a )inaDesarrollador ! rabar macro !en nom&re de #a ma)ro se in!res4 calcular ! )#i) enAceptar"

Nos )o#o)amos en #a )e#da :K;)orresondiene a #a emeraura 1 de# aaraado deresu#ados e in!resamos #a formu#a :+'K5CJ@; donde #a )e#da :'K; )orresonde a #aemeraura 1 de# aarado de daos 7 #a suma de 2,F se ;i*o ara )on6erir di);aemeraura de WC a WX. Se )oi4 #a misma f4rmu#a ara #as dem+s emerauras 7 en #aB#ima )e#da se rea#i*4 una suma de #as mismas a# i!ua# )omo se ;i*o ara #a r+)i)aanerior.

n #a )e#da )orresondiene a# 6a#or de >s se es)ri&i4 :+@!8; o&eniendo as #aemeraura romedio en #a suerfi)ie de #a a#ea 7 ara #a )e#da de #a emeraura am&ienese rea#i*4 de i!ua# manera #a )on6ersi4n de emerauras (:+J5CJ@;)"

Ena 6e* -ue se o&u6ieron #as emerauras en Oe#6in se ro)edi4 a rea#i*ar e# )+#)u#o de#os )oefi)ienes de )on6e))i4n 7 radia)i4n rese)i6amene ara #ue!o sa)ar e# 6a#or de#)oefi)iene )om&inado 7 ui#i*ar#o en #a f4rmu#a de #a ra*4n de #a ransferen)ia de )a#or or)on6e))i4n de manera -ue as se a!re!an #os efe)os de radia)i4n a #a formu#a. Para e##o en


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Figura 3. Besultados de la macro calcular.

#a )eda :C$; se in!res4 :+"@C#((K.J)!'C)L$"CK; -ue es i!ua# -ue "@C((Ts.TQ)!d)L$"CK + =cm + )oefi)iene de )on6e))i4n en #a )e#da :C; se in!res4:+($"$$$$$$$K6J)#'8#(((KLR).(JLR))!(K.J@ -ue es i!ua# -ue #a f4rmu#a

ara o&ener e# )oefi)iene or radia)i4n 8 %rm=&'( Ts4T

4

TsT ) . n #a )e#da oserior serea#i*4 #a suma de am&os )oefi)ienes H)m 7 Hrm o &ien ?'C$5'C@.

Ena 6e* -ue )a#)u#amos H #a susiuimos en #a formu#a Qconv=% A s(TsT) -ue

e3resado )on #as )e#das rese)i6as de 3)e# nos -ued4: :+CC#'@$#(K.J)@. Por

u#imo ara e# )+#)u#o de Qgen=() en #a )e#da :C8;se in!res4 ?'CR#'CJ;"Ena 6e*

erminados odos #os )+#)u#os 8Ai!ura 2 deu6imos #a ma)ro 7 se #a asi!namos a# re)uadro?C"LCEL"T@.

"!re!amos una ma)ro -ue nos fa)i#i4 e# 6a)iado de #os daos ##amada limpiarCor medio

de una !ra&a)i4n donde se se#e))ionaron odas #as )e#das de )o#or an)o 7 se orimi4 #ae)#asupr desus Detener ,rabacin 7se #e asi!no #a ma)ro a# re)uadro )on #a #e7enda?J"CI"T CLD"S@.

De esa manera o&u6imos dos ;o$as de )+#)u#o -ue nos sir6en ara reso#6er de manerar+ida 7 f+)i# #as r+)i)as ' 7 de# manua# de# #a&oraorio de ransferen)ia de )a#or.


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Conc"u!ione!

"#!unas difi)u#ades -ue resenamos fueron a# )orrer #a ma)ro de olver7a -ue #as orasma)ros so#o in6o#u)ra&an oera)iones sen)i##as. Sin em&ar!o e# roema no fue)om#i)ado de reso#6er 7a -ue so#o &aso a)i6ar e# )om#emeno olverano en e# esa)ioJK" )omo en #a ;o$a de )+#)u#o as )omo #a )inaDesarrolladordonde se en)uenran #os

&oones ara ro!ramar a ra6s de ma)ros.Nosoros de)idimos ro!ramar ui#i*ando e# roio enorno 7 #as roiedades de# #i&ro de3)e# or #a fa)i#idad -ue im#i)a mas no o&sane am&in se udo ;a&er rea#i*ado #ainerfa* )on #os )onro#es de #a )inaDesarrollador"

Ena de #as 6ena$as m+s imoranes -ue en)onramos a# usar ma)ros es -ue ara oder)orrer e# ro!rama so#o es ne)esario in!resar #os daos )orresondienes 7 ;a)er )#i) en e#&o4n )a#)u#ar arro$+ndonos as #os resu#ados de #as )+#)u#os rea#i*ados en #a r+)i)a )on#a Bni)a diferen)ia -ue ara #a r+)i)a ' #os )+#)u#os ui#i*an e# 6a#or de m,. or #o -uees ne)esario ;a)er )#i) oseriormene en e# &o4n ?"#i)ar so#6er@ ara en)onrar e#6erdadero 6a#or de m -ue nos aro3ime #o m+s osie a #os daos e3erimena#es

)orresondienes a #a disri&u)i4n de emerauras a #o #ar!o de #a a#ea. Se seararon esasoera)iones 7a -ue a# -uerer a#i)ar olveren #a ma)ro calcularnos mar)a&a error ra*4nor #a )ua# de)idimos )rear una ma)ro ara ese )om#emeno. "dem+s de esa maneraodemos )omarar #os resu#ados arro$ados )on e# 6a#or de m su!erido 7 )on e# 6a#or de mierado.

Por oro #ado se o&ser6a en #a inerfa)es -ue )uenan )on un &o4n e3ra ##amado ?Ja)iar)e#das@ a!re!ado ara &rindarnos ma7or )omodidad 7 raide* a# e#iminar #os daos)onenidos en e# ro!rama.

Como )on)#usiones odemos afirmar -ue e# uso de ma)ros en 3)e# fa)i#ia &asane #os)+#)u#os 7 oera)iones ara una r+)i)a 7a -ue no es ne)esario ener un ni6e# de

)ono)imienos a6an*ado de# sof


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So#6er de 3)e#. 82000. 0'/11/2015 de CJK. Siio

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