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producto interno norma teorema cauchy-schwartz
Producto interno y norma
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
31 de agosto de 2010
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
producto interno
definición (producto interno)
V e.v. sobre Kuna función
〈, 〉 : V × V → K
se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
producto interno
definición (producto interno)V e.v. sobre K
una función〈, 〉 : V × V → K
se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
producto interno
definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función
〈, 〉 : V × V → K
se llama producto interno en V
si cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
producto interno
definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función
〈, 〉 : V × V → K
se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
producto interno
definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función
〈, 〉 : V × V → K
se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉
2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
producto interno
definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función
〈, 〉 : V × V → K
se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉
3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
producto interno
definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función
〈, 〉 : V × V → K
se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉
4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
producto interno
definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función
〈, 〉 : V × V → K
se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)
5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
producto interno
definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función
〈, 〉 : V × V → K
se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
observaciones
propiedades inmediatas〈, 〉 producto interno sobre K, entonces
1 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉2 〈u, αv〉 = α〈u, v〉3 〈~0,u〉 = 〈u, ~0〉 = 0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
observaciones
propiedades inmediatas〈, 〉 producto interno sobre K, entonces
1 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉
2 〈u, αv〉 = α〈u, v〉3 〈~0,u〉 = 〈u, ~0〉 = 0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
observaciones
propiedades inmediatas〈, 〉 producto interno sobre K, entonces
1 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉2 〈u, αv〉 = α〈u, v〉
3 〈~0,u〉 = 〈u, ~0〉 = 0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
observaciones
propiedades inmediatas〈, 〉 producto interno sobre K, entonces
1 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉2 〈u, αv〉 = α〈u, v〉3 〈~0,u〉 = 〈u, ~0〉 = 0
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
producto usual de Rn
V = Rn el producto interno dado por:
〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
se llama producto usual en Rn
verificar que es un producto interno
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
producto usual de Rn
V = Rn el producto interno dado por:
〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
se llama producto usual en Rn
verificar que es un producto interno
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
producto usual de Rn
V = Rn el producto interno dado por:
〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
se llama producto usual en Rn
verificar que es un producto interno
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
producto usual de Rn
V = Rn el producto interno dado por:
〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
se llama producto usual en Rn
verificar que es un producto interno
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 2
producto usual en Cn
V = Cn el producto interno dado por:
〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
se llama producto usual en Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 2
producto usual en Cn
V = Cn el producto interno dado por:
〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
se llama producto usual en Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 2
producto usual en Cn
V = Cn el producto interno dado por:
〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
se llama producto usual en Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 3
producto interno de funciones realesV = CR[0,1] un producto interno en V es
〈f ,g〉 =
∫ 1
0f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 3
producto interno de funciones realesV = CR[0,1] un producto interno en V es
〈f ,g〉 =
∫ 1
0f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 4
producto interno de funciones complejasV = CC[0,1] un producto interno en V es
〈f ,g〉 =
∫ 1
0f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 4
producto interno de funciones complejasV = CC[0,1] un producto interno en V es
〈f ,g〉 =
∫ 1
0f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
norma
definición (norma)
V e.v. sobre Kuna función
‖.‖ : V → [0,∞)
se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:
1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)
cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
norma
definición (norma)V e.v. sobre K
una función‖.‖ : V → [0,∞)
se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:
1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)
cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
norma
definición (norma)V e.v. sobre Kuna función
‖.‖ : V → [0,∞)
se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:
1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)
cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
norma
definición (norma)V e.v. sobre Kuna función
‖.‖ : V → [0,∞)
se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:1 ‖αv‖ = |α|‖v‖
2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)
cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
norma
definición (norma)V e.v. sobre Kuna función
‖.‖ : V → [0,∞)
se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~0
3 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)
cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
norma
definición (norma)V e.v. sobre Kuna función
‖.‖ : V → [0,∞)
se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)
cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
definición
norma
definición (norma)V e.v. sobre Kuna función
‖.‖ : V → [0,∞)
se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)
cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
normas `p en Rn
V = Rn la función:
‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p
es una norma en Rn
cuando p = 2, se llama norma usual en Rn
cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
normas `p en Rn
V = Rn la función:
‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p
es una norma en Rn
cuando p = 2, se llama norma usual en Rn
cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
normas `p en Rn
V = Rn la función:
‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p
es una norma en Rn
cuando p = 2, se llama norma usual en Rn
cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
normas `p en Rn
V = Rn la función:
‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p
es una norma en Rn
cuando p = 2, se llama norma usual en Rn
cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
normas `p en Rn
V = Rn la función:
‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p
es una norma en Rn
cuando p = 2, se llama norma usual en Rn
cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobar
también define norma en V = Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 1
normas `p en Rn
V = Rn la función:
‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p
es una norma en Rn
cuando p = 2, se llama norma usual en Rn
cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 2
norma `∞ en Rn
V = Rn la función:
‖u‖∞ = max{|u1|, . . . , |un|}
es una norma en Rn
también define norma en Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 2
norma `∞ en Rn
V = Rn la función:
‖u‖∞ = max{|u1|, . . . , |un|}
es una norma en Rn
también define norma en Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 2
norma `∞ en Rn
V = Rn la función:
‖u‖∞ = max{|u1|, . . . , |un|}
es una norma en Rn
también define norma en Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 2
norma `∞ en Rn
V = Rn la función:
‖u‖∞ = max{|u1|, . . . , |un|}
es una norma en Rn
también define norma en Cn
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 3
norma Lp[a, b]
en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos las normas:
‖f‖p =
(∫ b
a|f (t)|p dt
) 1p
para p > 2, la desigualdad triangular no es sencilla deprobar
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 3
norma Lp[a, b]
en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos las normas:
‖f‖p =
(∫ b
a|f (t)|p dt
) 1p
para p > 2, la desigualdad triangular no es sencilla deprobar
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 3
norma Lp[a, b]
en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos las normas:
‖f‖p =
(∫ b
a|f (t)|p dt
) 1p
para p > 2, la desigualdad triangular no es sencilla deprobar
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 4
norma L∞[a, b]
en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos también la norma:
‖f‖∞ = max{|f (t)| : t ∈ [a,b]}
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
ejemplo 4
norma L∞[a, b]
en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos también la norma:
‖f‖∞ = max{|f (t)| : t ∈ [a,b]}
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
ejemplos
observación
observar como puede haber 6= normas en un mismo espaciovectorial
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
teorema
teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉
⇒ V espacio normado con norma:
‖v‖ =√〈v , v〉
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
teorema
teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉⇒ V espacio normado con norma:
‖v‖ =√〈v , v〉
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
teorema
teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉⇒ V espacio normado con norma:
‖v‖ =√〈v , v〉
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
demostración
más adelante
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 1
no siempre se cumple que
norma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:
‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2
regla del paralelogramo(dato anecdótico)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 1
no siempre se cumple quenorma→ producto interno
para que eso pase se tiene que cumplir:
‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2
regla del paralelogramo(dato anecdótico)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 1
no siempre se cumple quenorma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:
‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2
regla del paralelogramo(dato anecdótico)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 1
no siempre se cumple quenorma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:
‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2
regla del paralelogramo(dato anecdótico)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 1
no siempre se cumple quenorma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:
‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2
regla del paralelogramo
(dato anecdótico)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 1
no siempre se cumple quenorma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:
‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2
regla del paralelogramo(dato anecdótico)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 2
de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo
‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])
son normas que provienen de un producto interno:〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn
〈f ,g〉2 =∫ b
a f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 2
de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo
‖.‖2 (norma de `2) y
‖.‖2 (norma de L2[a,b])son normas que provienen de un producto interno:
〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn
〈f ,g〉2 =∫ b
a f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 2
de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo
‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])
son normas que provienen de un producto interno:〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn
〈f ,g〉2 =∫ b
a f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 2
de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo
‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])
son normas que provienen de un producto interno:
〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn
〈f ,g〉2 =∫ b
a f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 2
de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo
‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])
son normas que provienen de un producto interno:〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn
〈f ,g〉2 =∫ b
a f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema
observación 2
de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo
‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])
son normas que provienen de un producto interno:〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn
〈f ,g〉2 =∫ b
a f (t)g(t) dt
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
teorema Cauchy-Schwartz
teorema (Cauchy-Schwartz)
V e.v. con producto interno 〈, 〉‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉para todo u, v ∈ V :
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖
(desigualdad de Cauchy-Schwartz)la igualdad vale⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
teorema Cauchy-Schwartz
teorema (Cauchy-Schwartz)V e.v. con producto interno 〈, 〉
‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉para todo u, v ∈ V :
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖
(desigualdad de Cauchy-Schwartz)la igualdad vale⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
teorema Cauchy-Schwartz
teorema (Cauchy-Schwartz)V e.v. con producto interno 〈, 〉‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉
para todo u, v ∈ V :
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖
(desigualdad de Cauchy-Schwartz)la igualdad vale⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
teorema Cauchy-Schwartz
teorema (Cauchy-Schwartz)V e.v. con producto interno 〈, 〉‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉para todo u, v ∈ V :
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖
(desigualdad de Cauchy-Schwartz)
la igualdad vale⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
teorema Cauchy-Schwartz
teorema (Cauchy-Schwartz)V e.v. con producto interno 〈, 〉‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉para todo u, v ∈ V :
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖
(desigualdad de Cauchy-Schwartz)la igualdad vale⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre R
estructura de la prueba:∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre Restructura de la prueba:
∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre Restructura de la prueba:∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)
‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre Restructura de la prueba:∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo
⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre Restructura de la prueba:∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉
= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2
≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R
⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2
≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R
⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R
⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo
⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R
⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde
4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R
⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0
⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R
⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)
además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R
⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔
‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R
⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R
⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
∀u, v ∈ V y t ∈ R
‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0
⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R⇔ u‖v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0
o sea
‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉
= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0
tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R
entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea
‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉
= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0
tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R
entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea
‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2
= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0
tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R
entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea
‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0
tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R
entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea
‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0
tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R
entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea
‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0
tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R
entonces queda:
‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea
‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0
tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R
entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0
(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea
‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0
tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R
entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)
⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C
⇔ u||v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0
donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C
⇔ u||v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)
⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C
⇔ u||v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖
y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C
⇔ u||v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C
⇔ u||v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C⇔ u||v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
demostración
‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C⇔ u||v
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
observación 1
V e.v. sobre R
v ,w ∈ V \ {~0}⇒
〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖
∈ [−1,1]
se define: cos ∠(v ,w) = 〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
observación 1
V e.v. sobre Rv ,w ∈ V \ {~0}
⇒〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖
∈ [−1,1]
se define: cos ∠(v ,w) = 〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
observación 1
V e.v. sobre Rv ,w ∈ V \ {~0}⇒
〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖
∈ [−1,1]
se define: cos ∠(v ,w) = 〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
observación 1
V e.v. sobre Rv ,w ∈ V \ {~0}⇒
〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖
∈ [−1,1]
se define: cos ∠(v ,w) = 〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
observación 2
desigualdad de Cauchy-Schwartz aplicada al producto usualen Rn ⇒
(x1y1 + · · ·+ xnyn)2 ≤ (x21 + · · ·+ x2
n )(y21 + · · ·+ y2
n )
la igualdad vale sii ~x‖~y
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
observación 2
desigualdad de Cauchy-Schwartz aplicada al producto usualen Rn ⇒
(x1y1 + · · ·+ xnyn)2 ≤ (x21 + · · ·+ x2
n )(y21 + · · ·+ y2
n )
la igualdad vale sii ~x‖~y
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
observación 3
desigualdad de Cauchy-Schwartz aplicada al producto quegenera ‖.‖2 en L2[0,1]⇒(∫ 1
0f (t)g(t) dt
)2
≤∫ 1
0f 2(t) dt
∫ 1
0g2(t) dt
la igualdad vale sii f (t) = αg(t) para todo t ∈ [0,1]
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
teorema cauchy-schwartz
observación 3
desigualdad de Cauchy-Schwartz aplicada al producto quegenera ‖.‖2 en L2[0,1]⇒(∫ 1
0f (t)g(t) dt
)2
≤∫ 1
0f 2(t) dt
∫ 1
0g2(t) dt
la igualdad vale sii f (t) = αg(t) para todo t ∈ [0,1]
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
desigualdad triangular
corolario de Cauchy-Scwartz
corolario (desigualdad triangular)V e.v. sobre K
⇒‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
desigualdad triangular
corolario de Cauchy-Scwartz
corolario (desigualdad triangular)V e.v. sobre K⇒
‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
desigualdad triangular
demostración
‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉
= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)≤ (‖v‖+ ‖w‖)2
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
desigualdad triangular
demostración
‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2
≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)≤ (‖v‖+ ‖w‖)2
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
desigualdad triangular
demostración
‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)
≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)≤ (‖v‖+ ‖w‖)2
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
desigualdad triangular
demostración
‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)
≤ (‖v‖+ ‖w‖)2
producto interno norma teorema cauchy-schwartz
desigualdad triangular
demostración
‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)≤ (‖v‖+ ‖w‖)2