Producto tensorial

0.1 Transformaciones multilineales

Definicion 1 Sean E, F y G tres espacios vectoriales. Una transformacion

ϕ : E × F −→ G se llama bilineal si satisface las siguientes condiciones:

ϕ(λx1 + x2, y) = λϕ(x1, y) + ϕ(x2, y) ; x1, x2 ∈ E, y ∈ F ; λ ∈ R o C

ϕ(x, λy1 + y2) = λϕ(x, y1) + ϕ(x, y2) ; y1, y2 ∈ F, x ∈ E; λ ∈ R o C.

Observacion: Si G = R o C, ϕ se llama una funcion bilineal.

Sea ϕ(E × F ) := {z ∈ G / z = ϕ(x, y) ; x ∈ E , y ∈ F}. Entonces

ϕ(E×F ) no es necesariamente un subespacio de G. Por lo tanto denotamos:

im ϕ = 〈ϕ(E × F )〉 ≡ subespacio generado por ϕ(E × F ).

Ademas, denotamos

B(E, F ; G) := {ϕ : E × F −→ G / ϕ es transformacion bilineal }.

Si definimos

(ϕ1 + ϕ2)(x, y) = ϕ1(x, y) + ϕ2(x, y) ; x ∈ E, y ∈ F

(λϕ)(x, y) = λϕ(x, y) ; x ∈ E, y ∈ F, λ ∈ R o C.

Entonces B(E, F ; G) es un espacio vectorial.

Observacion: Si G = R o C, B(E, F ; G) ≡ B(E × F ) es el espacio de

todas las funciones bilineales de E × F en R o C.

1

Definicion 2 Sean E, F y G espacios vectoriales y sea ϕ : E×F −→ G una

transformacion bilineal. El par (G,ϕ) se llama un producto tensorial para E

y F si se satisfacen las condiciones siguientes:

⊗1 : im ϕ = G.

⊗2: Si ψ : E×F −→ H es una transformacion bilineal de E×F en cualquier

espacio vectorial H, entonces existe una transformacion lineal f : G −→ H

tal que ψ = f ◦ ϕ (Propiedad de factorizacion).

Observacion: En forma de diagrama, ⊗2 dice que el diagrama:

E × Fψ−→ H

ϕ ↓G

puede siempre completarse a un diagrama conmutativo:

E × Fψ−→ H

ϕ ↓ ↗ f

G

.

Proposicion 3 Las condiciones ⊗1 y ⊗2 son equivalentes a la condicion :

⊗: Si ψ : E × F −→ H es una transformacion bilineal en cualquier espacio

vectorial H, entonces existe una unica transformacion lineal f : G −→ H tal

que ψ = f ◦ ϕ (propiedad de factorizacion unica).

Demostracion.

(i) Sea ψ : E × F −→ H y supongamos que existen dos transformaciones

lineales f1 : G −→ H y f2 : G −→ H tales que

ψ = f1 ◦ ϕ y ψ = f2 ◦ ϕ.

2

Entonces

(f1 − f2) ◦ ϕ = 0.

Lo cual implica que f1 = f2. En efecto: Sea x ∈ G. Por ⊗1, x ∈ 〈ϕ(E×F )〉,esto es, x =

∑λiϕ(xi, yi); donde xi ∈ E, yi ∈ F . Luego:

(f1 − f2)(x) =∑

λi(f1 ◦ ϕ)(xi, yi)−∑

λi(f2 ◦ ϕ)(xi, yi)

=∑

λiψ(xi, yi)−∑

λiψ(xi, yi)

= 0.

(ii) Supongamos que el par (G,ϕ) satisface ⊗. Entonces ⊗2 se cumple.

Debemos probar ⊗1. En efecto: se define la aplicacion bilineal ϕ∗ : E×F −→im ϕ por

ϕ∗(x, y) = ϕ(x, y)

(esto es, tomamos H = im ϕ)

E × Fϕ∗−→ im ϕ

ϕ ↓G ↗ f

.

Por hipotesis existe f : G −→ im ϕ tal que f ◦ ϕ = ϕ∗.

Sea j : im ϕ −→ G la inclusion canonica (i.e. j(x) = x ∀x, pues im ϕ es un

subespacio de G). Entonces j ◦ ϕ∗ = ϕ. Ademas,

(j ◦ f) ◦ ϕ = j ◦ (f ◦ ϕ) = j ◦ ϕ∗ = ϕ.

Pero, por otra parte, i ◦ ϕ = ϕ, donde i : G −→ G es la identidad (i.e.

i(x) = x ∀x). Luego, por unicidad, se debe tener:

j ◦ f = i.

Esto implica que j : im ϕ −→ G es sobreyectiva (En efecto: Si z ∈ G entonces

existe f(z) en im ϕ tal que j(f(z)) = i(z) = z). Por lo tanto, im ϕ = G.

3

Notacion: Si el par (G, ϕ) es un producto tensorial para E y F , escribimos

G como E ⊗ F y ϕ(x, y) como x⊗ y. Luego, la bilinealidad se expresa en la

siguiente forma:

(λx1 + x2)⊗ y = λx1 ⊗ y + x2 ⊗ y ; x1, x2 ∈ E, y ∈ F

x⊗ (λy1 + y2) = λx⊗ y1 + x⊗ y2 ; x ∈ E, y1, y2 ∈ F, λ ∈ R o C.

Ejemplos

1) Sea E u e.v. sobre R y se define una transformacion bilineal ⊗ : R×E −→E como

λ⊗ x = λx.

Entonces el par (E,⊗) es un producto tensorial de R y E.

En efecto: Veamos ⊗1: ⊗(R⊗E) = R ·E = E, luego, es claro que im ⊗ = E.

Veamos ⊗2: Sea ψ : R × E −→ H bilineal y definamos f : E −→ H como

f(x) := ψ(1, x) y tal que

R× Eψ−→ H

⊗ ↓E ↗ f

.

Entonces f(λ ⊗ x) = f(λx) = ψ(1, λx) = λψ(1, x) = ψ(λ, x); esto es,

f ◦ ⊗ = ψ. Esto prueba ⊗2.

Concluimos que el par (E,⊗) es un producto tensorial de R y E. Esto es:

R⊗ E = E. En particular Γ⊗ Γ = Γ con λ⊗ µ = µ.

2) Sea β : Rn × Rm −→ Mn×m(R) definida por

β((x1, . . . , xn), (y1, . . . , ym)) =

x1y1 · · · x1ym

......

xny1 · · · xnym

n×m

.

4

Probaremos que (Mn×m(R), β) es un producto tensorial para Rn y Rm (luego,

Rn ⊗ Rm = Mn×m(R)).

En efecto : Veamos ⊗1 : 〈β(Rn × Rm)〉 = Mn×m(R). Sea A ∈ Mn×m(R) tal

que A =

α11 α12 · · · α1m

α21 α22 · · · α2m

......

...

αn1 αn2 · · · αnm

entonces

β((α11, α21, . . . , αn1), (1, 0, 0, . . .)) + β((α12, α22, . . . , αn2), (0, 1, 0, . . .))

+ · · ·+ β((α1m, α2m, . . . , αnm), (0, 0, . . . , 1))

=

α11 0 · · · 0

α21 0 · · · 0...

......

αn1 0 · · · 0

+

0 α12 0 · · ·0 α22 0 · · ·...

......

0 αn2 0 · · ·

+ · · ·+

0 · · · 0 α1m

0 · · · 0 α2m

......

...

0 · · · 0 αnm

=

α11 · · · α1m

......

αn1 · · · αnm

o sea: Dado A ∈ Mn×m(R), existen xi ∈ Rn, yi ∈ Rm tales que

A =∑

β(xi, yi).

Por lo tanto A ∈ 〈β(Rn × Rm)〉.Veamos ahora ⊗2: Sea ψ : Rn × Rm −→ H bilineal.

Rn × Rm ψ−→ H

β ↓ ↗f

Mn×m(R)

.

Por ejemplo: con n = m = 2, definamos:

f

(a b

c d

)= ψ((1, 0), (a, b)) + ψ((0, 1), (c, d)).

5

Entonces f lineal:

f

(λ

(a1 b1

c1 d1

)+

(a2 b2

c2 d2

))= f

(λa1 + a2 λb1 + b2

λc1 + c2 λd1 + d2

)

= ψ((1, 0), (λa1 + a2, λb1 + b2)) + ψ((0, 1), (λc1 + c2, λd1 + d2))

= ψ((1, 0), λ(a1, b1) + (a2, b2)) + ψ((0, 1), λ(c1, d1) + (c2, d2))

= λψ((1, 0), (a1, b1))+ψ((1, 0), (a2, b2))+λψ((0, 1), (c1, d1))+ψ((0, 1), (c2, d2))

= λ[ψ((1, 0), (a1, b1))+ψ((0, 1), (c1, d1))]+[ψ((1, 0), (a2, b2))+ψ((0, 1), (c2, d2))]

= λf

(a1 b1

c1 d1

)+ f

(a2 b2

c2 d2

)

Finalmente,

(f ◦ β)((x1, x2), (y1, y2)) = f

(x1y1 x1y2

x2y1 x2y2

)

= ψ((1, 0), (x1y1, x1y2)) + ψ((0, 1), (x2y1, x2y2))

= ψ((1, 0), x1(y1, y2)) + ψ((0, 1), x2(y1, y2))

= x1ψ((1, 0), (y1, y2)) + x2ψ((0, 1), (y1, y2))

= ψ(x1(1, 0), (y1, y2)) + ψ(x2(0, 1), (y1, y2))

= ψ((x1, 0), (y1, y2)) + ψ((0, x2), (y1, y2))

= ψ((x1, 0) + (0, x2), (y1, y2))

= ψ((x1, x2), (y1, y2)).

Luego, f ◦ β = ψ.

La generalizacion se deja como ejercicio.

6

0.1.1 Propiedades del producto tensorial

1.- a⊗ b 6= 0 si a 6= 0 y b 6= 0.

Demostracion. Si a 6= 0 y b 6= 0, existen f : E −→ R lineal y g : F −→ Rlineal respectivamente tales que f(a) 6= 0 y g(b) 6= 0 (sino: f(a) = 0 ∀ f ∈ E∗

entonces a = 0 pues la forma bilineal 〈f, a〉 es no degenerada).

Consideremos ahora la funcion bilineal p : E×F −→ R definida por p(x, y) =

f(x)g(y).

E × Fp−→ R

⊗ ↓ ↗ h

E ⊗ F

.

En vista de ⊗2, existe una funcion lineal h : E ⊗ F −→ R tal que h ◦ ⊗ = p

esto es,

h(x⊗ y) = f(x)g(y) para cada (x, y) ∈ E × F .

Luego: h(a⊗ b) = f(a)g(b) 6= 0. Por lo tanto, a⊗ b 6= 0.

2.- Sea z ∈ E ⊗ F , z 6= 0; entonces z =∑r

i=1 xi ⊗ yi donde {xi} y {yi} son

L.I.

Demostracion. Sea z ∈ E ⊗ F entonces z =∑r

i=1 λiwi ⊗ yi =∑r

i=1 xi ⊗ yi

donde xi ≡ λiwi ∀ i y r es el minimo de manera que la descomposicion

anterior se cumple.

Si r = 1 entonces x1 6= 0 y y1 6= 0 (por la Propiedad 1), en consecuencia {x1}y {y1} son dos conjuntos de vectores L.I. cada uno.

Supongamos que {xi}ri=1 son L.D. entonces, sin perdida de generalidad,

xr =r−1∑i=1

λixi

7

luego,

z =r−1∑i=1

xi ⊗ yi + xr ⊗ yr =r−1∑i=1

xi ⊗ yi + (r−1∑i=1

λixi)⊗ yr

=r−1∑i=1

xi ⊗ yi +r−1∑i=1

λi(xi ⊗ yr)

=r−1∑i=1

xi ⊗ (yi + λiyr)

=r−1∑i=1

xi ⊗ yi

lo cual contradice la minimalidad de r. En la misma forma se puede mostrar

que los vectores {yi}ri=1 son L.I. Esto prueba la propiedad.

3.- Sean {aj}rj=1 ⊆ E y {bj}r

j=1 un subconjunto de vectores L.I. de F . En-

tonces la ecuacion∑r

j=1 aj ⊗ bj = 0 implica que aj = 0 ∀ j = 1, . . . , r.

Demostracion. Ya que {bj} es un conjunto L.I. de vectores en F , se pueden

definir g1, . . . , gr : F −→ R funciones lineales tales que:

gi(bj) = δij

(e.g.: g : 〈{b1, . . . , br}〉 −→ R tal que g1(x) = g1(∑r

i=1 λibi) = λ1. Luego:

Sea g1 : F −→ R tal que g1(x) =

{g1(x) , x ∈ 〈{b1, . . . , br}〉

0 , otro caso

entonces g1(b1) = 1 y g1(bj) = 0 ∀ j = 2, . . . , r. )

Consideremos ahora la funcion bilineal

F (x, y) =∑

i

fi(x)gi(y)

8

donde fi : E −→ R son funciones lineales (cualesquiera) en E.

E × F −→ R⊗ ↓ ↗h

E ⊗ F

.

Por ⊗2, existe h : E ⊗ F −→ R lineal tal que:

h(x⊗ y) = F (x, y) =∑

i

fi(x)gi(y)

luego,

h(r∑

j=1

aj ⊗ bj) =∑

j

h(aj ⊗ bj)

=∑

j

∑i

fi(aj)gi(bj)

=r∑

i=1

fi(ai).

Ahora, por hipotesis:∑r

j=1 aj ⊗ bj = 0; por lo tanto,∑r

i=1 fi(ai) = 0.

Como los fi son cualesquiera, elegimos fi ≡ 0 para cada i 6= k (por cada

k = 1, . . . , r fijo), esto da:

fk(ak) = 0.

Como fn sigue siendo arbitrario, se tiene que ak = 0 (k = 1, . . . , r).

Corolario 4 Si E y F tienen dimension 1, entonces E⊗F tiene dimension

1.

Demostracion. Ejercicio.

4.- E ⊗ F ∼= F ⊗ E (conmutatividad del producto tensorial).

9

Demostracion.

E × Fϕ2−→ F ⊗ E

ϕ1 ↓ ↗f

E ⊗ F

esto es: ϕ1(x, y) =: x⊗y y ϕ2(x, y) =: y⊗x. Luego, debemos demostrar que

ϕ1 = ϕ2.

Ya que ϕ2 es bilineal, existe f : E ⊗ F −→ F ⊗ E lineal tal que

f ◦ ϕ1 = ϕ2.

Esto es: f(x⊗ y) = y ⊗ x.

De la misma forma

E × Fϕ1−→ E ⊗ F

ϕ2 ↓ ↗g

F ⊗ E

existe g : F ⊗ E −→ E ⊗ F tal que g ◦ ϕ2 = ϕ1; esto es:

g(y ⊗ x) = x⊗ y.

Entonces:

g ◦ f ◦ ϕ1 = g ◦ ϕ2 = ϕ1 y f ◦ g ◦ ϕ2 = f ◦ ϕ1 = ϕ2

esto es:

g ◦ f ◦ ϕ1 = ϕ1 y f ◦ g ◦ ϕ2 = ϕ2

o equivalentemente:

(g ◦ f)(x⊗ y) =︸︷︷︸(1)

(x⊗ y) y (f ◦ g)(y ⊗ x) = (y ⊗ x).

10

Como im ϕ1 = E ⊗ F se tiene que g ◦ f = I. En efecto: Sea v ∈ E ⊗ F .

Entonces v =∑

λixi ⊗ yi, luego:

(g ◦ f)(v) = (g ◦ f)(∑

λixi ⊗ yi)

=∑

λi(g ◦ f)(xi ⊗ yi)

=∑

λi(xi ⊗ yi) de (1)

= v.

Analogamente: f ◦g = I. Esto prueba que f (o g) es 1-1 y sobreyectiva. Por

lo tanto, E ⊗ F ∼= F ⊗ E.

5.- Unicidad del producto tensorial.

Supongamos que E⊗F y E⊗F son productos tensoriales de E y F . Entonces

E ⊗ F ∼= F ⊗ E.

Demostracion.

E × Fϕ2−→ E⊗F

ϕ1 ↓ ↗f

E ⊗ F

luego, ϕ1(x, y) = x⊗ y y ϕ2(x, y) = x⊗y.

Ya que ϕ2 es bilineal, la propiedad de factorizacion implica que existe f :

E ⊗ F −→ E⊗F lineal tal que:

f ◦ ϕ1 = ϕ2.

Analogamente:

E × Fϕ1−→ E ⊗ F

ϕ2 ↓ ↗g

E⊗F

11

existe g : E⊗F −→ E⊗F tal que g◦ϕ2 = ϕ1. Combinando ambas relaciones

se obtiene:

(g ◦ f)(x⊗ y) = x⊗ y y (f ◦ g)(x⊗y) = x⊗y.

Nuevamente, como im ϕ1 = E ⊗ F y im ϕ2 = E⊗F se obtiene que f ◦ g = i

y g ◦ f = i, de donde sigue el resultado.

6.- Asociatividad del producto tensorial: (E ⊗ F )⊗G ∼= E ⊗ (F ⊗G).

Demostracion. Sea z ∈ G fijo. Definamos βz : E × F → E ⊗ (F ⊗ G) por

βz(x, y) = x⊗ (y ⊗ z). Es claro que βz es bilineal: En efecto,

βz(λx1 + x2, y) = (λx1 + x2)⊗ (y ⊗ z)

= λx1 ⊗ (y ⊗ z) + x2 ⊗ (y ⊗ z)

= λβz(x1, y) + βz(x2, y)

βz(x, λy1 + y2) = x⊗ (λy1 + y2 ⊗ z)

= x⊗ [λy1 ⊗ z + y2 ⊗ z]

= x⊗ (λy1 ⊗ z) + x⊗ (y2 ⊗ z)

= λx⊗ (y1 ⊗ z) + x⊗ (y2 ⊗ z)

= λβz(x, y1) + βz(x, y2)

Por definicion de producto tensorial, el siguiente diagrama es conmutativo:

E × Fβz−→ E ⊗ (F ⊗G)

⊗ ↓ ↗hz

E ⊗ F

esto es, existe una unica transformacion lineal hz : E ⊗ F → E ⊗ (F ⊗ G)

tal que hz ◦ ⊗ = βz, esto es:

hz(x⊗ y) = βz(x, y) = x⊗ (y ⊗ z) ∀x ∈ E, y ∈ F.

12

Sea ψ : (E ⊗ F )×G → E ⊗ (F ⊗G) definida por:

ψ(x⊗ y, z) = hz(x⊗ y).

Entonces ψ es bilineal: En efecto,

ψ(λ(x1 ⊗ y1) + (x2 ⊗ y2), z) = hz(λ(x1 ⊗ y1) + (x2 ⊗ y2))

= λhz(x1 ⊗ y1) + hz(x2 ⊗ y2)

= λψ(x1 ⊗ y1, z) + ψ(x2 ⊗ y2, z)

Ademas, por unicidad, hλz1+z2 = λhz1 + hz2 de donde sigue la linealidad en

la segunda componente (Ejercicio).

Ası, el siguiente diagrama es conmutativo:

(E ⊗ F )×Gψ−→ E ⊗ (F ⊗G)

⊗ ↓ ↗g

(E ⊗ F )⊗G

esto es, existe una unica transformacion lineal g : (E⊗F )⊗G → E⊗(F⊗G)

tal que g ◦ ⊗ = ψ, esto es:

g((x⊗ y)⊗ z) = ψ(x⊗ y, z) = hz(x⊗ y) = x⊗ (y ⊗ z) (1)

Sea ahora x ∈ E fijo. Definamos αx : F ×G → (E ⊗ F )⊗G por αx(y, z) =

(x ⊗ y) ⊗ z. Claramente αx es bilineal. El siguiente diagrama es ahora

conmutativo:F ×G

αx−→ (E ⊗ F )⊗G

⊗ ↓ ↗bhx

F ⊗G

esto es, existe una transformacion lineal hx : F ⊗G → (E ⊗ F )⊗G tal que

hx ◦ ⊗ = αx esto es:

hx(y ⊗ z) = αx(y, z) = (x⊗ y)⊗ z.

13

Sea ψ : E × (F ⊗G) → (E ⊗ F )⊗G definida por

ψ(x, y ⊗ z) = αx(y ⊗ z).

Entonces ψ es bilineal y el siguiente diagrama es conmutativo:

E × (F ⊗G)bψ−→ (E ⊗ F )⊗G

⊗ ↓ ↗bgE ⊗ (F ⊗G)

esto es, existe una unica g : E ⊗ (F ⊗G) → (E ⊗F )⊗G tal que: g ◦⊗ = ψ,

esto es:

g(x⊗ (y ⊗ z)) = ψ(x, y ⊗ z) = (x⊗ y)⊗ z. (2)

Luego, de (1) y (2) :

(g ◦ g)(x⊗ (y ⊗ z)) = g((x⊗ y)⊗ z) = x⊗ (y ⊗ z)

y

(g ◦ g)((x⊗ y)⊗ z) = g(x⊗ (y ⊗ z)) = (x⊗ y)⊗ z.

Por lo tanto, g ◦ g = id y g ◦g = id, luego g es un isomorfismo y, por lo tanto,

(E ⊗ F )⊗G ∼= E ⊗ (F ⊗G).

Teorema 5 (Reduccion de transformaciones bilineales a lineales).

Sean E y F e.v. y E ⊗ F un producto tensorial. Entonces

L(E ⊗ F ; G) ∼= B(E, F ; G)

para cada espacio vectorial G.

14

Demostracion. Se define φ : L(E ⊗ F ; G) −→ B(E, F ; G) como:

φ(f) := f ◦ ⊗ ∀ f ∈ L(E ⊗ F ; G)

i.e. φ(f) : E × F −→ G tal que φ(f)(x, y) = f(x⊗ y).

Claramente φ es lineal:

φ(λf1 + f2)(x, y) = (λf1 + f2)(x⊗ y)

= λf1(x⊗ y) + f2(x⊗ y)

= λφ(f1)(x, y) + φ(f2)(x, y)

= (λφ(f1) + φ(f2))(x, y).

i) φ es sobreyectiva.

Sea b ∈ B(E, F ; G), entonces b : E×F −→ G es bilineal. Luego, por ⊗2,

existe f : E ⊗ F −→ G tal que es lineal y f ◦ ⊗ = b, esto es, φ(f) = b.

ii) φ es inyectiva.

Como φ es lineal basta ver que φ(f) = 0 implica f = 0. En efecto: Sea

φ(f) = 0, entonces (f ◦ ⊗)(x, y) = 0 ∀x ∈ E, y ∈ F , esto es: f(x ⊗ y) =

0 ∀x ∈ E, y ∈ F . Sea z ∈ E ⊗ F . Entonces z =∑

xi ⊗ yi. Luego:

f(z) =∑

f(xi ⊗ yi) = 0. Por lo tanto, f ≡ 0.

15

Ejercicios

1. Suponga que a ⊗ b 6= 0. Demuestre que a ⊗ b = a′ ⊗ b′ si y solo si

a′ = λa y b′ = λ−1b; λ ∈ R, λ 6= 0.

2. Sea (G, ϕ) un producto tensorial de E y F . Sean E1 ≤ E, F1 ≤ F . Sea

ϕ1 : E1× F1 −→ G la restriccion de ϕ a E1× F1. Entonces (im ϕ1, ϕ1)

es un producto tensorial para E1 y F1.

3. Sean {ai} y {bi} bases de E y F respectivamente. Entonces {ai ⊗ bj}es una base de E ⊗ F .

4. Demuestre que

dim B(E, F ; G) = dim E dim F dim G.

5. Sean E1 y E2 subespacios de E. Sea F e.v. de dimension finita

entonces

(E1 ⊗ F ) ∩ (E2 ⊗ F ) = (E1 ∩ E2)⊗ F.

6. Sea E = E1 ⊕ E2 y F = F1 ⊕ F2. Entonces

E ⊗ F = E1 ⊗ F1 ⊕ E1 ⊗ F2 ⊕ E2 ⊗ F1 ⊕ E2 ⊗ F2.

0.1.2 Producto tensorial de transformaciones lineales

Sean E, E ′, F , F ′ cuatro espacios vectoriales.

Consideremos dos transformaciones lineales :

ϕ : E → E ′ ; ψ : F → F ′.

16

Queremos definir una transformacion lineal

ϕ⊗ ψ : E ⊗ F → E ′ ⊗ F ′

para esto procedemos como ilustra el siguiente diagrama:

E × Fp−→ H

⊗ ↓ ↗f

E ⊗ F

.

Dados E y F , existe el producto tensorial E ⊗ F . Por definicion, sabemos

que dada cualquier funcion bilineal p : E × F → H, H cualquier espacio

vectorial, existe una unica f : E ⊗ F → H tal que f ◦ ⊗ = p (propiedad de

factorizacion unica). Escojamos

p : E × F → E ′ ⊗ F ′

definida por p(x, y) = ϕ(x)⊗ ψ(y).

Claramente p es bilineal. Luego, existe una unica funcion lineal γ : E⊗F →E ′ ⊗ F ′ tal que γ(x⊗ y) = p(x, y).

Se define: γ ≡ ϕ⊗ ψ. Luego, por definicion:

(ϕ⊗ ψ)(x⊗ y) = ϕ(x)⊗ ψ(y)

y se llama el producto tensorial de las transformaciones lineales ϕ y ψ.

0.1.3 Transformaciones Multilineales

Sea E un espacio vectorial y consideremos

T k(E) := {f : E × · · · × E︸ ︷︷ ︸k−veces

→ R / F es multilineal }

17

el conjunto de todas las funciones que son multilineales. Los elementos de

T k(E) los llamaremos tensores de orden k.

Problema: Definir un producto en T k(E) y estudiar este espacio.

Recordemos el isomorfismo:

T k(E) ∼= L(⊗kE;R)

definido en la seccion anterior. Aquı, ⊗k = E ⊗ E ⊗ · · · ⊗ E︸ ︷︷ ︸k−veces

.

Consideremos ahora dos transformaciones lineales:

T : ⊗kE → R S : ⊗lE → R.

De acuerdo a la seccion anterior, podemos definir una unica transformacion

lineal T ⊗ S : ⊗kE ⊗⊗lE → R⊗ R, esto es:

T ⊗ S : ⊗k+lE → R,

tal que (T ⊗S)(x⊗ y) = T (x)S(y). Notar que T (x)⊗T (y) = T (x)T (y) pues

se trata del producto tensorial en R y R⊗ R ∼= R.

Mas precisamente,

(T ⊗ S)(x1 ⊗ · · · ⊗ xk ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yl) = T (x1 ⊗ · · · ⊗ xk)S(y1 ⊗ · · · ⊗ yl)

donde T ⊗ S ∈ L(⊗k+lE;R).

Ya que L(⊗k+lE;R) ∼= T k+l(E), lo anterior se puede traducir en terminos

de funciones multilineales, esto es, se puede definir un (unico) producto de

funciones multilineales (o tensores de orden k).

Mas precisamente, si T ∈ T k(E) y S ∈ T l(E), entonces la definicion

(T ⊗ S)(x1, . . . , xk, y1, . . . , yl) = T (x1, . . . , xk)S(y1, . . . , yl) (∗)

produce una funcion T⊗S ∈ T k+l(E) llamada el producto de tensores T y S .

18

Ejemplos de Tensores

1. Una funcion determinante es un tensor.

En efecto, basta recordar la definicion de la seccion 1.3: Es una funcion

∆ : E × · · · × E → R multilineal y antisimetrica.

2. Un producto interior es un tensor de orden 2.

En efecto: Recordemos de la seccion 1.1 que un producto interior en una fun-

cion 〈, 〉 : E × E → R bilineal, que es ademas simetrica y definida positiva.

Proposicion 6 (Propiedades del producto de Tensores)

a) (S1 + S2)⊗ T = S1 ⊗ T + S2 ⊗ T

b) S ⊗ (T1 + T2) = S ⊗ T1 + S ⊗ T2

c) (aS)⊗ T = S ⊗ (aT ) = a(S ⊗ T )

d) (S ⊗ T )⊗ U = S ⊗ (T ⊗ U)

Demostracion. Usando la definicion (∗), se probara (a). Las partes (b), (c)

y (d) quedan de ejercicio.

[(S1 + S2)⊗ T ](x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , yl)

= (S1 + S2)(x1, . . . , xk)T (y1, . . . , yl)

= [S1(x1, . . . , xk) + S2(x1, . . . , xk)]T (y1, . . . , yl)

= S1(x1, . . . , xk)T (y1, . . . , yl) + S2(x1, . . . , xk)T (y1, . . . , yl)

= (S1 ⊗ T )(x1, . . . , xk, y1, . . . , yl) + (S2 ⊗ T )(x1, . . . , xk, y1, . . . , yl)

= [(S1 ⊗ T ) + (S2 ⊗ T )](x1, . . . , xk, y1, . . . , yl)

Supongamos que E tiene dimension finita. El siguiente resultado nos dice

como es T k(E) internamente:

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Teorema 7 Sea {e1, . . . , en} base de E y sea {f1, . . . , fn} la base dual (esto

es, la base de L(E;R), que verifica fi(ej) = δij). Entonces el conjunto de

todos los productos tensoriales de k-factores:

fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik ; 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n

es una base de T k(E), que ademas tiene dimension nk.

Demostracion. Es claro que, por definicion

(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik)(x1, . . . , xk) = fi1(x1)fi2(x2) · · · fik(xk)

es una funcion k-lineal, esto es, un elemento de T k(E).

Ademas

(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik)(ej1 , ej2 , . . . , ejk) = fi1(ej1)fi2(ej2) · · · fik(ejk

)

= δi1,j1δi2,j2 · · · δik,jk

=

{1 si j1 = i1 , j2 = i2 , . . . , jk = ik,

0 otro caso(∗)

Veamos que el conjunto de vectores genera T k(E). Sea T ∈ T k(E). Entonces

T : E × · · · × E → R es multilineal. Sean w1, . . . , wk ∈ E; entonces para

cada wj:

wi =n∑

j=1

aijej (∗∗).

Luego :

T (w1, . . . , wk) = T (n∑

j1=1

a1j1ej1 , . . . ,

n∑jk=1

akjkejk

)

=n∑

j1,··· ,jk=1

a1j1 · · · akjkT (ej1 , . . . , ejk

) (∗ ∗ ∗)

Ahora, de (∗) y (∗∗) notemos que:

(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik)(w1, . . . , wk) = fi1(w1) · · · fik(wk)

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donde, por ejemplo,

fi1(w1) = fi1(n∑

j=1

a1jej) =n∑

j=1

a1jfi1(ej) = a1i1 .

Ası,

(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik)(w1, . . . , wk) = a1i1a2i2 · · · akik ;

por lo tanto insertando esto en (∗ ∗ ∗) se obtiene:

T (w1, . . . , wk) =n∑

i1,...,ik=1

T (ei1 , . . . , eik)(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik)(w1, . . . , wk)

luego ,

T =n∑

i1,...,ik=1

T (ei1 , . . . , eik)(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik).

Esto prueba que el conjunto genera T k(E).

Veamos ahora que el conjunto es L.I.

Supongamos que existen escalares ai1ai2 · · · aik tales que

n∑i1,...,ik=1

ai1ai2 · · · aik(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik) = 0.

Aplicando el vector de la base (ej1 , . . . , ejk) se obtiene de (∗) que todos los

elementos de la suma son cero excepto cuando j1 = i1, j2 = i2, . . . , jk = ik,

esto es:

aj1 , aj2 , . . . , ajk= 0.

Esto prueba que el conjunto es L.I.

Se deja como ejercicio para el lector probar que esta base tiene nk ele-

mentos.

21

0.1.4 Producto Exterior

Consideremos el tensor ”determinante”∆ ∈ T k(E). Este tensor es impor-

tante pues, como vimos, permite entre otros definir el producto cruz en es-

pacios de dimension 3 y la nocion de orientacion de un espacio de dimension

finita.

Recordemos que, por definicion, un determinante no solo es una funcion

multilineal, sino tambien alternada. Consideremos el conjunto (de todos los

determinantes)

Λk(E) = {f : E × E × · · · × E → R / f es multilineal y alternada }.

Es claro que Λk(E) es un subespacio de T k(E). A fin de estudiar de mejor

manera esta parte de T k(E) se define la siguiente funcion:

Alt : T k(E) → T k(E)

como

Alt(T )(v1, . . . , vk) =1

k!

∑σ∈Sk

sgn σT (vσ(1), . . . , vσ(k))

donde sgn σ es +1 si la permutacion σ es par y es−1 si es impar. Ademas, Sk

es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto de numeros {1, 2, . . . , k}.

Teorema 8

(1) Si T ∈ T k(E) entonces Alt(T ) ∈ Λk(E).

(2) Si w ∈ Λk(E) entonces Alt(w) = w.

(3) Si T ∈ T k(E) entonces Alt(Alt(T )) = Alt(T ).

A fin de tener una mejor visualizacion del Teorema anterior, consideremos el

caso k = 1 y k = 2.

Para k = 1 se tiene: Alt : T 1(E) → T 1(E) tal que Alt(T )(v) = T (v); esto

es,

Alt(T ) = T o Alt ≡ Id.

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Para k = 2 se tiene: Alt : T 2(E) → T 2(E) tal que

Alt(T )(v1, v2) =1

2[T (v1, v2)− T (v2, v1)].

En lo que sigue probaremos el teorema en el caso k = 2. El caso general

queda de ejercicio para el lector.

(1) Sea T ∈ T 2(E) entonces es claro que Alt(T ) esta en T 2(E) (i.e. es

bilineal) pues, por ejemplo,

Alt(T )(λv1 + w1, v2) =1

2[T (λv1 + w1, v2)− T (v2, λv1 + w1)]

=1

2[λT (v1, v2) + T (w1, v2)− λT (v2, v1) + T (v2, w1)]

= λ1

2[T (v1, v2)− T (v2, v1)] +

1

2[T (w1, v2)− T (v2, w1)]

= λAlt(T )(v1, v2) + Alt(T )(w1, v2)

Veamos que ademas es alternada: Alt(T )(v1, v2) = −Alt(T )(v2, v1).

En efecto:

Alt(T )(v2, v1) =1

2[T (v2, v1)− T (v1, v2)]

= −1

2[T (v1, v2)− T (v2, v1)] = −Alt(T )(v1, v2).

(2) Sea w ∈ Λ2(E). Entonces

Alt(T )(w)(v1, v2) =1

2[w(v1, v2)− w(v2, v1)]

=1

2[2w(v1, v2)] pues w es alternada ssi w(v1, v2) = −w(v2, v1)

= w(v1, v2).

Por lo tanto, Alt(w) = w.

(3) Sea T ∈ T 2(E). Entonces por (1) w := Alt(T ) ∈ Λ2(E). Luego, por (2):

Alt(Alt(T )) = Alt(w) = w = Alt(T ).

23

El problema siguiente es determinar la dimension de Λk(E). Para ello se

necesitara un teorema analogo al visto para el caso T k(E). Por esto, necesi-

tamos definir un producto en Λk(E), el cual llamaremos producto exterior, y

que se define como sigue:

Dados w ∈ Λk(E) y η ∈ Λl(E), se define ω ∧ η ∈ Λk+l(E) como:

ω ∧ η :=(k + l)!

k!l!Alt(ω ⊗ η).

Observaciones:

1) Note que, efectivamente, ω ∧ η ∈ Λk+l(E) gracias a que por el Teorema

anterior parte (1), si ω ⊗ η ∈ T k+l(E) entonces Alt(ω ⊗ η) ∈ Λk+l(E).

2) El producto ω ⊗ η no sirve pues no esta en Λk+l(E) necesariamente.

Proposicion 9 (Propiedades del Producto Exterior)

a) (ω1 + ω2) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η

b) ω ∧ (η1 + η2) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2

c) aω ∧ η = ω ∧ aη = a(ω ∧ η)

d) ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω.

Probaremos la propiedad (a), el resto queda de ejercicio.

(ω1 + ω2) ∧ η =(k + l)!

k!l!Alt((ω1 + ω2)⊗ η)

=(k + l)!

k!l!Alt(ω1 ⊗ η + ω2 ⊗ η)

=(k + l)!

k!l!Alt(ω1 ⊗ η) +

(k + l)!

k!l!Alt(ω2 ⊗ η) (Ejercicio)

= ω1 ∧ η + ω2 ∧ η.

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Teorema 10

(1) Si S ∈ T k(E), T ∈ T l(E) y Alt(S) = 0, entonces

Alt(S ⊗ T ) = Alt(T ⊗ S) = 0.

(2) Alt(Alt(ω ⊗ η)⊗ θ) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ))

(3) Si ω ∈ Λk(E), η ∈ Λl(E) y θ ∈ Λm(E) entonces

(ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) =(k + l + m)!

k!l!m!Alt(ω ⊗ η ⊗ θ)

Demostracion. Veamoslo para el caso k = l = 1

(1)

Alt(S ⊗ T )(v1, v2) =1

2[(S ⊗ T )(v1, v2)− (S ⊗ T )(v2, v1)]

=1

2[S(v1)T (v2)− S(v2)T (v1)]

Como, Alt(S)(v) = S(v) = 0 se obtiene que Alt(S⊗T )(v1, v2) = 0. Analogamente

se demuestra que Alt(T ⊗ S) = 0.

Las partes (2) y (3) quedan de ejercicio para el lector.

Teorema 11 Sea {e1, . . . , en} base de E y {f1, . . . , fn} base dual. El con-

junto

fi1 ∧ fi2 ∧ · · · ∧ fik 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n

es una base para Λk(E), que tiene dimension:

(n

k

)=

n!

k!(n− k)!.

Demostracion. Ejercicio.

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Bibliografıa

[1] W. H. Greub, Linear Algebra, Springer-Verlag, vol. 97, Berlin-

Heidelberg, 1967.

[2] W. H. Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag, vol.136, Berlin-

Heidelberg, 1967.

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