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Diapositiva 1

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Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ecuacin de la Recta


Y

SEGUNDO PRIMERCUADRANTE CUADRANTE (- ;+) (+ ;+)

X

TERCER CUARTOCUADRANTE CUADRANTE (- ; -) (+ ; -)

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O PLANO CARTESIANO

Al eje horizontal x se le llama tambin ABSCISA

Al eje vertical y se le llama tambin ORDENADA.Un punto est representado por un PARA ORDENADO (x; y) , donde:x:se le llama primera componente.y:se le llama segunda componente

I. CONOCIMIENTOS PREVIOS: Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz


Ejercicios N 1:

1) Indica el cuadrante y las coordenadas de los puntos:Solucin:

Punto A, pertenece al I cuadrante. Coordenadas: (2; 3)Punto B, pertenece al II cuadrante. Coordenadas: (-5; 1)Punto C, pertenece al III cuadrante. Coordenadas: (-2; -2)Punto A, pertenece al IV cuadrante. Coordenadas: (4; -2) Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

II. LA RECTA

Primero respondamos qu significan estas seales de trnsito:

La primera nos indica que est prxima una pendiente ascendente

La segunda nos indica que est prxima una pendiente descendente.Entonces, qu es una pendiente?

Intuitivamente podemos deducir que la pendiente es una inclinacin. Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

2.1) Pendiente de una recta: Definiciones:

Si nos dan dos puntos:

Primero necesitamos un modo de medir la inclinacin de una recta o que tan rpido se levanta o desciende cuando nos desplazamos desde la izquierda hacia la derecha. Definimos desplazamiento horizontal como la distancia que nos movemos hacia la derecha y desplazamiento vertical como la distancia correspondiente a la recta que sube o baja. La pendiente es la relacin entre el desplazamiento vertical y el horizontal


= m = donde: x1 x2La pendiente de una recta vertical no est definida. Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicios N 2:

Hallar la pendiente de la recta L que pasa por los puntos:

P1(4, 8) y P2(6, 10)

P1(-6, 2) y P2(8, -4)Solucin:



2.2) ECUACIN DE LA RECTAForma Punto Pendientesta nace a partir de la definicin de pendiente: Sea una recta L que pasa por el punto P1(x1; y1) y tiene una pendiente m la ecuacin es:y - y1 = m(x - x1)


Caso particular:

Si no nos dan la pendiente, pero s dos puntos P1(x1, y2) y P2(x2, y2): su ecuacin la podemos encontrar as:

Paso 1:

Hallamos la pendiente entre P1 y P2.

m =

Paso 2:

Usamos la ecuacin de la recta (punto pendiente) y reemplazamos uno, cualesquiera de los puntos P1(x1, y1) P2(x2, y2) : y y1 = m(x x1) Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicios N 3:

1) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P1 (3, 4) y que tiene una pendiente m=2Si pasa por P1 (3, 4) y la pendiente es m=2. El bosquejo de la grfica sera

y y1 = m(x x1)

y 4 = 2(x 3)

Ecuacin punto-pendiente de la recta. Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

2) Hallar la ecuacin de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).A(-2, -3) y B(4, 2). x1 y1 x2 y2

Si la recta pasa por los puntos: A(-2, -3) y B(4,2). Entonces identificamos los puntos:

Paso 1: La pendiente Paso 2: Ecuacin punto-pendiente:

y y1 = m(x x1)


2) Forma General:

Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente podemos obtener la ecuacin general de la recta que tiene la siguiente expresin:Ax + By + C = 0

Cuando la ecuacin se escribe as, se dice que est en la forma general donde A y B no pueden ser cero simultneamente.

Nota:La pendiente de una recta escrita en la forma general:Ax + By + C = 0 se obtiene as:

m = - ; B 0La interseccin con el eje y es: - Si C = 0 la recta pasa por el origenSi B = 0 la recta es verticalSi A = 0 la recta es horizontal Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicios N 4:

De la ecuacin punto-pendiente: y 4 = 2(x 3) Expresar como ecuacin general.

2) Indicar las pendientes y las intersecciones correspondientes a las rectas dadas como ecuacin general: a) 2x 3y +1 = 0 b) x 7y = 0c) 4x + 6 y -3 = 0d) 3x + 6 = 0e) 3y +5 = 0 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

3) Forma Pendiente - ordenada al origen

Sea L una recta cuyo intercepto con el eje y sea b (tambin se le llama ordenada al origen).

Si hacemos que:

y = mx + b Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicios N 5:

Hallar la ecuacin de una recta que tiene una pendiente igual a m = 2 y su intercepto con el eje y es 4.

2) Dadas las ecuaciones de las rectas identificar la pendiente y el intercepto con y.

Y = -3x + 1Y= 4/5 x + 3Y = -3x Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

4) Forma Ordinal, Cannica o SimtricaLa ecuacin ordinal o simtrica de la recta es la expresin de la recta en funcin de los interceptos con los ejes de coordenadas

La Ecuacin es la siguente:

a es la abscisa en el origen de la recta: (a, 0)

b es la ordenada en el origen de la recta: (0; b)

Los valores de a y de b se pueden obtener de la ecuacin general.

Si y = 0 resulta x = a.Si x = 0 resulta y = b. Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

OBSERVACIN:

Una recta carece de la forma ordinal en los siguientes casos:

1 Recta paralela al eje X, que tiene de ecuacin y = n

2 Recta paralela al eje Y, que tiene de ecuacin x = k

3 Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuacin y = mx.


Ejercicio N 6:

1) Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuacin.

2) Hallar la ecuacin cannica de la recta que pasa por P(2, 1) y tiene como pendiente -4/3.PendienteTipo de rectapositivarecta ascendentenegativarecta descendentecerorecta horizontalno definidarecta verticalCon los ejemplos discutidos podemos observar la interpretacin geomtrica de la pendiente de una recta:


Ejercicios N 7:

1. Indique a qu cuadrante pertenece los siguientes puntos. A. (6,8) B.(-2,7) C. (-8,-3) D. (0,-4) E.(1,0) 2. Localice los siguientes puntos A. (-3,-7) B. (-2, -4) C. (-1,-1) D. (0 , 2 ) E. (1 , 5 ) F. (2 , 8 ) G. (3 ,11)3. Resolver la ecuacin para encontrar sus puntos y coloque stos en la grfica. y = 2x + 1 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

4. De los siguientes puntos, cules son soluciones a la ecuacin y = -3x + 9?

A. (2, 3) B. (5, 4) C. (1, 9) D. (0, 9) E. (4,-3)

5. Buscar el intercepto de x e y de las siguientes ecuaciones:

A. y = 4x + 6 B. y = -3x + 7

6. Encontrar la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos: A. (2,5) y (-3,8) B. (4,-8) y (-7,0) C. (1,0) y (-2,-4)

7. Buscar la ecuacin en todas sus formas ( punto-pendiente, general, pendiente ordenada en el origen y ordinal) de los puntos dados. A. (5,0) y (2,-1) B. (-3, -4) y (6,0) Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

2.2.1 Rectas paralelas y perpendicularesDos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente

L1

L2

Si L1 // L2 entonces: m1 = m2 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejemplo:

Dos rectas son perpendiculares si tienen las pendientes invertidas y opuestas.

L1 L2 Si L1 L2 entonces: Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz


Ejemplo: Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicios N 8:

Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por (-1,2) y es paralela a la recta

10x + 2y 6 = 0.

Si las ecuaciones y = (7-2k)x+kx+5 e y =3-(4k-1)x, representan rectas paralelas. Hallar el valor de k

3) Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por A(7,-3), y perpendicular a la recta cuya ecuacin es 2x 5y = 8. Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

2.2.2 Punto de Interseccin de dos Rectas

Para hallar el punto de interseccin de dos rectas es necesario desarrollar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas. Este procedimiento ser de utilidad para encontrar el punto de equilibrio de mercado en las aplicaciones de la funcin lineal en la administracin y economa.

Ejercicios N 9:

1) Hallar la interseccin de las rectas

L1 : 2x + 3y +1 = 0 y L2: 3x + 4y = 0

2) Encuentra la interseccin de dos rectas: L1 : y = - 3/2x + 7/2 y L2: 4/3x + 2/3


3) Escribe la ecuacin de la recta dada:

4) Segn el grfico:

a) Escribe la ecuacin en forma pendiente ordenada para cada una de las rectas graficadas.Recta a: __________________Recta b: __________________ b) Escribe las coordenadas del punto de interseccin de las rectas a y b ____________c) Verifica que el par ordenado que registraste como punto de interseccin es la solucin al sistema lineal.


Funciones


PRODUCTO CARTESIANO:

Dado un conjunto A llamado conjunto de partida, y un conjunto B llamado conjunto de llegada, se define el producto cartesiano A x B entre ambos conjuntos como el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar: donde el primer componente pertenece a A y el segundo componente del par pertenece a B.Se escribe:Por lo tanto, el producto cartesiano: es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, de modo que la primera componente se ha tomado de un conjunto original llamado Conjunto de Partida y la segunda componente se ha tomado de otro conjunto original llamado Conjunto de Llegada


Ejemplo: Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicios N 10:

Sea los conjuntos

A={1,2,3} y B={4,5,6}

Hallar el producto cartesiano AXB

2) Dados:

A = { 1; 2; 3 } yB = {a; b}

Halle los productos cartesianos:

a) A x Bb) B x A c) grfica cartesiana de A XB Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

2) RELACIN

Se dice que es una relacin que aplica A en B, si es unsubconjunto del Producto Cartesiano A x B, o sea que es un determinado conjunto de pares ordenados cuya primer componente pertenece a A, (llamado Conjunto de Partida) y cuya segunda componente pertenece a B, (Conjunto de Llegada).


3) Dominio y Rango de una relacin

Se llama Dominio de una relacin al subconjunto incluido en el conjunto de partida de los elementos de A que tienen imagen sobre el conjunto de Llegada. Grficamente es el subconjunto de A desde donde parten las flechas.

Se llama Rango o Imagen de una relacin al subconjunto incluido en elconjunto de llegada de los elementos de B que son imagen de al menos un punto del conjunto de partida. Grficamente es el subconjunto de B hacia el cual llegan las flechas.


Ejercicios N 11:

Dados A = {2,3,4,5} y B = {4,6,9}, siendo , R : A > B la relacin tal que "x + y < 8 , determina:a) Conjunto Solucin, b) Dominio, c) rango d) Diagrama de flechas o sagital

M = 2) Si:

Hallar :


II. FUNCIN:

Sean A y B dos subconjuntos de R. Cuando existe una relacin entre las variables, x e y, donde x A e y B, en la que a cada valor de la variable independiente x le corresponde un nico valor de la variable dependiente y, diremos que dicha relacin es una funcin.

Reconocimiento de una funcin:

Para que una relacin sea una relacin funcional o funcin deben cumplirse la siguiente condicin:


Unicidad:

Cada elemento correspondiente al conjunto del dominio debe tener una sola imagen en el conjunto de llegada B. Es decir que no puede haber un elemento del dominio asociado con dos valores distintos de imagen en el conjunto de llegada.En lenguaje simblico:

La relacin del ejemplo no cumple unicidad debido a que el elemento 2 tiene dos imgenes distintas en B.



EN EL PLANO CARTESIANO: PARA CONJUNTOS REALES:


Dada una relacin en coordenadas cartesianas, para determinar si es funcin o no, se procede as:

Se toma una recta vertical (de ecuacin x = constante) y se barre con ella todos los elementos del conjunto de partida A especificados.

2) Si esta recta imaginaria corta siempre una y slo una vez a la grfica dada, la misma corresponde a una funcin.

Si no la corta en algn punto o la corta ms de una vez, no corresponder a una funcin.


Algunos ejemplos de relaciones que no son funcin:


Ejercicios N 12:

1) Dados los conjuntos A = {1, 3 ; 5 } y B = {1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 11 }Determinar :a) Dado el producto Cartesiano de A x B indicar partida y de llegada. b) El producto Cartesiano de A x Bc) Hallar la funcin que cumpla con y = 2x+1 o lo que es lo mismo: f(x) = 2x+1.d) Indicar si la relacin obtenida es una funcine) Establecer el dominio y el rangof) Graficar en el plano cartesiano

2) Dadas las siguientes relaciones mediante diagrama de flechas, determinar si se trata de funciones o no. En este ltimo caso indicar la condicin que no se cumple.


Dadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos "XY", determinar si se trata de funciones o no. En este ltimo caso indicar la condicin que no se cumple.


FUNCIN LINEAL

La funcin ms simple en la matemtica es la funcin lineal o deprimer grado, donde la incgnita x aparece slo elevada a la primera potencia. Su forma general es:

Como ya hemos visto la ecuacin de la recta, La variable y depende de la variable x, entonces, y = f(x)


Ejercicios N 13:

1) Dadas las siguientes funciones lineales

Graficar usando los conceptos de pendiente y ordenada al origen.

Hallar el cero, igualando la funcin a cero y despejando la x. Verificar su ubicacin en el grfico.

Decir si la funcin es creciente, decreciente o constante.


2) Dadas las siguientes grficas, hallar la funcin lineal correspondiente


2. PROBLEMAS DE APLICACIN DE LA FUNCIN LINEAL:COSTOS TOTALES:

En otros trminos : C= CF + CVDonde el costo variable es= ( costo unitario) (n de unidades) Cv = Cu. Q

Nota, se puede utilizar q o x para el nmero de unidades Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

INGRESOS

Se refiere a las ventas realizadas

Tambin puede ser I = ( Pv ) . ( q )


UTILIDAD

Por ltimo se define la "utilidad", "beneficio" o "ganancia o prdida" a la diferencia entre ingresos y costos.

Si la utilidad es positiva, entonces: I > C GANANCIA

Si la utilidad es negativa,entonces I < CPRDIDA

Si la utilidad es cero, entonces I = CNI GANANCIA NI PRDIDA (PUNTO DE EQUILIBRIO) Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Se cumple la siguiente grfica: I;C Ingreso

Costo ganancia

I = C

Cf prdida

q n unidades Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicios N 14:

Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de S/. 5 por unidad y costos fijos de S/. 80 000. Cada unidad tiene un precio de venta de S/. 12. Determine el nmero de unidades que deben venderse para que la compaa obtenga utilidades de S/. 60 000Hallar el punto de equilibrio y graficar.

2) Los costos fijos de una empresa (luz, telfonos, alquileres etc.), que son independientes del nivel de produccin, ascienden a $ 250.000. El costo variable o costo por unidad de produccin del bien es de $ 22,50. El precio de venta del producto es de $ 30,00 por unidad. Calcular su punto de equilibrio.

3) Una empresa para resolver sus problemas de facturacin puede optar por:

Alternativa 1: Alquiler de una computadora, los programas y hacer la facturacin Costo del alquiler y programas $ 15.000 por ao y $ 0,65 es el costo por factura emitida. Por lo tanto la funcin de esta alternativa podemos definirla como A(x) = 0,65 x + 15.000

Alternativa 2: Contratar un servicio que se encargue del total del trabajo a realizar cuyo costo sera de $ 3.000 anuales ms $ 0,95 por factura procesada. Por lo tanto la funcin de esta alternativa podemos definirla como C(x) = 0,95 x + 3.000 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Oferta y Demanda

El punto de equilibrio de mercado ocurre en un precio (p) en el cual la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada (q). Esto corresponde al punto de interseccin de las rectas de oferta y demanda.Algebraicamente, el precio (p) y cantidad (q) de equilibrio de mercado se determinan resolviendo las funciones de oferta y demanda como un sistema de ecuaciones lineales.Para establecer el punto de equilibrio es necesario determinar las ecuaciones de oferta y demanda, las cuales tienen la siguiente forma:

(oferta)

(demanda) (demanda)p: es el precio del productoq: la cantidad de unidades a ofrecer o demandar, segn sea el caso (oferta o demanda)m: la pendiente es una constante positiva en el caso de la oferta y negativa para el caso de la demandaEl punto de equilibrio est dado por : OFERTA = DEMANDA


precio OFERTA m+

p

DEMANDA m-

q n unidades Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicio N 15:

Si el precio se fija en $220 entonces la oferta es de 20000 unidades. Si el precio se fija en $227 entonces la oferta es de 27000 unidades.

Si el precio se fija en $220 entonces la demanda es de 30000 unidades, Si el precio se fija en $227 entonces la demanda es de 23000 unidades.

Hallar las ecuaciones de oferta y demanda, el punto de equilibrio y graficar. Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Respuesta grfica:


FUNCIN CUADRTICA

con a=-2, b=4, c=-1 se abre para abajo, porque a es (-)Una funcin cuadrtica es una funcin f : IR IR cuyo criterio de asociacin es de la forma: con a , b y c constantes reales, a 0. Donde a determina la orientacin de la parbola.

Por ejemplo las siguientes son funciones cuadrticas:

f(x)=ax2 + bx + c y=-2x2+4x-1 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

con a=5, b=-4, c=2

Se abre para arriba porque a2 es (+)y= 5x2-4x+2

con a=1, b=-3, c=0y=x2-3x Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

con a=-1, b=0, c=4y=-x2+4 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

GRFICA DE UNA PARBOLA:

Podemos construir una parbola a partir de estos puntos:

1. Vrtice

Por el vrtice pasa el eje de simetra de la parbola.

2. Puntos de corte con el eje XEn el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax + bx +c = 0Resolviendo la ecuacin podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b 4ac = 0

Ningn punto de corte si b 4ac < 0 3. Punto de corte con el eje OYEn el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a 0 + b 0 + c = c (0,c) Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicios N 16:

Representar la funcin f(x) = x 4x + 3.

2) Representa grficamente la funcin cuadrtica:y = -x + 4x 3

3) Representa grficamente la funcin cuadrtica:y = x + 2x + 1

4) Representa grficamente la funcin cuadrtica:y = x +x + 1 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Construccin de parbolas a partir de y = xxy = x-24-11 00 11 24Partimos de y = x

Traslacin vertical

y = x + k

Si k > 0, y = x se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x se desplaza hacia abajo k unidades.

El vrtice de la parbola es: (0, k). Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

El eje de simetra x = 0.

y = x +2 y = x 2


2. Traslacin horizontal

y = (x + h) Si h > 0, y = x se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x se desplaza hacia la derecha h unidades.El vrtice de la parbola es: (h, 0). El eje de simetra es x = h.

y = (x + 2) y = (x 2)


3. Traslacin oblicua

y = (x + h) + k

El vrtice de la parbola es: (h, k).El eje de simetra es x = h.

y = (x 2) + 2 y = (x + 2) 2


2.2.1 PROBLEMAS DE APLICACIN DE LA FUNCIN CUADRTICA

Las aplicaciones que revisaremos estn orientadas a solucionar casos de: Costos, Ingresos y Utilidades.Debemos recordar :

Costos Totales = Costos Fijos + Costos Variables

Ingreso Total = Precio de venta . Cantidad vendida

Utilidad = Ingresos Totales Costos Totales

Adems

los costos que nos pedirn sern los MNIMOS El ingreso ser el MXIMO

Y La utilidad ser la MXIMA

-b / 2a ; Unidades que minimizan el costoCosto mnimo unitario C (-b / 2a )


Ejercicios N 17:

El costo promedio por unidad ( en dlares) al producir x unidades de cierto artculo es C(x) = 20 - 0.06x + 0.002x2.

Qu nmero de unidades producidas minimizarn el costo promedio?.

b) Cul es el correspondiente costo mnimo por unidad?

2) Una empresa tiene costos fijos mensuales de $ 2000 y el costo variable por unidad de su producto es de $ 25.

a) ) Determine la funcin de costob) El ingreso I obtenido por vender x unidades est dado por

f(x) = 60x - 0.01q2. Determine el nmero de unidades que deben venderse al mes de modo que maximice el ingreso. Cul es el ingreso mximo?

c) ) Cuntas unidades deben producirse y venderse al mes con el propsito de obtener una utilidad mxima? Cul es est utilidad mxima? Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Proporcionalidad Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

La armona matemtica en la Naturaleza: el nmero de Oro

Cuando algo nos parece estticamente proporcionado ello es debido a una explicacin matemtica, a la llamada "proporcin aurea" o "divina proporcin". Recibe el nombre de "divina proporcin" porque es la proporcin que tiene la naturaleza, o la proporcin que Dios materializ en la naturaleza, segn crean algunas civilizaciones.


Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.REGLA DE TRES

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemploa) Si por 12 camisetas pago 96, cunto pagar por 57 de esas camisetas? ( Es directa porque a doble de camisetas corresponde doble dinero)

Rpta: 456 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

b) Un auto gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depsito 6 litros, cuntos kilmetros podr recorrer el auto ?

Luego con 6 litros el coche recorrer 120 km Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Ejemplo

a) Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. Cunto les hubiera costado a 16 obreros? (Es inversa porque a doble de obreros corresponde mitad de tiempo)

Rpta: 5 horas Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

b) Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. Cul deber ser la capacidad de esos toneles?

Pues la cantidad de vino=8.200=32.xDebemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.


Ejercicios N 18:

En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. Cuntos litros de agua de mar contendrn 5200 gramos de sal?

2) Un ganadero tiene alimento suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 das. Cuntos das podr alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

75 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

PORCENTAJES

El porcentaje concierne a un grupo de fracciones decimales cuyos denominadores son 100 .

Dado el intenso uso del centsimo desapareci la coma decimal y se coloc el smbolo %, que se lee "por ciento" (por cien).

Entonces, 0,15 y 15 % representan el mismo valor, 15/100. El primero se lee "quince centsimos" y el segundo se lee "quince por ciento". Ambos significan 15 partes de 100. Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Cualquier cantidad presentada, se puede considerar como una cantidad total que se puede dividir en 100 partes.

Cada parte representa el del total, a la cual llamaremos 1 por ciento y la denotamos por 1%.Porcentajes

EJEMPLOS : Hallar el 20% de $700

Hallar el 4% del 60% de 5000

De un total de 500 nios y nias de la calle, el 30% son menores de 10 aos y el 20% de stos son nias. Qu cantidad son nias menores de 10 aos? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 33,577SEMEJANZA CON LAS FRACCIONES Y REPRESENTACIN GRFICA:

As tenemos: 50 % = 1/ 2 Esto es porque: 50%=

50 % 50%

del del totaltotal

25 % = 1/ 4Esto es porque: 25 % = 75 % = 3 / 4Esto es porque: 75 % =

25 % 75%

1/4 del 3/4 deltotal total

Equivalencias fraccionarias notables:

1% = 1/ 10020% = 1/5100% = 15% = 1/2025% = 1/430% = 3/1010% = 1/1050% = 1/260% = 3/575% = 3 /4 EJEMPLOS:

La siguiente figura representa a 500 familias. El reasombreada representa a las familias sin hijos, cuntas familiasy qu porcentaje del total de familias tiene hijos?a) 375 familias y 25% b) 125 familias y 75% c) 375 familias y 75% d) 125 familias y 15% e) No se puede determinar.VARIACIN PORCENTUAL:En estos casos debemos tener mucho cuidado al tomar la cantidad total, la que le corresponder el 100%.Una vez ubicada esa cantidad slo nos queda trabajar una proporcin o regla de tres.EJEMPLOS :Encuentra la cantidad inicial

10% 180

a) 100 b) 150 c) 250 d) 230 e) 200 Cunto haba al comienzo? 60

20% Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Ejercicios N 19:

1) Un comerciante compr un estante cuyo valor era de $200 le hicieron un descuento primero de 20% y luego de 10% sobre el resto, el precio que pag fue:

$120b) $144 c) $168 d) $142

2) En un aula de 60 estudiantes de los cuales 12 son hombres, indique, respectivamente qu tanto por ciento representa el nmero de hombres, el nmero de mujeres y el nmero de hombres respecto al de mujeres.

a) 20, 80 y 25% b) 30, 80 y 150% c) 15, 20 y 60% d) 45,5 ; 20 y 60% Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

APLICACIONES COMERCIALES:

ndice de variacin n

Es el nmero por el que hay que multiplicar una cantidad inicial (precio inicial) para obtener la cantidad final (el precio final).

Por ejemplo:

Si en unas rebajas nos hacen un descuento de un 15% sobre un artculoEl % real que se aplica es del 85 %, siendo su tanto por uno 0,85. Por lo tanto n = 0,85.

Al comprar un pantaln nos aplican un IGV del 19 %. El porcentaje real que se aplica es del 119 % y su tanto por uno es 1,19, luego n = 1,19. Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

AUMENTOS Y DESCUENTOS

Para resolver este tipo de problemas utilizaremos la frmula

Cf = nCiSiendo:

CF: la cantidad final n: el ndice de variacin CI: la cantidad inicial

A) Clculo del precio final

Ejemplos:

Un televisor que costaba 820 soles, se rebaja en un 22 %. Cunto cuesta ahora?

Precio inicial: 820Cf= nCiPrecio final: CF CF = 0,78 820% Descuento: 22 CF = 639, 6 soles es el precio final% Real que se aplica: 78n: 0,78


2) A un reloj de $ 95 hay que aadirle el 19 % de I.G.V.. Cul ser su precio final?

Precio inicial: 95 Cf= nCiPrecio final: CF CF = 1,19 95% Aumento: 19 CF = $ 113,05 es el precio final% Real que se aplica: 119n: 1,19 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Clculo del precio inicial

Ejemplos:

Por una camisa, que estaba rebajada un 12 %, he pagado 74,8 soles. Cul era su precio inicial?

Precio inicial: ? Cf = nCiPrecio final: 74,8 74,8 = 0,88 CI% Descuento: 12 CI = S/. 85 es el precio sin rebajar de la camisa.% Real que se aplica: 88n: 0,88 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

C) Clculo del porcentaje de incremento o descuento

Ejemplos:

Por una chompa que costaba S/.84 he pagado S/.71,4 . Qu % de descuento me han hecho?Precio inicial: 84 Cf = nCiPrecio final: 71,4 71,4 = n 84% Descuento: ? n = 0,85 % Real que se aplica: ? % Real: 85 % Descuento: 15% n:?

Un comercio, por gastos de envo, me ha cobrado 134,4 por un artculo que costaba 120 . Qu porcentaje de incremento me ha aplicado?Precio inicial: 120 Cf = nCiPrecio final: 134,4 134,4 = n 120% Incremento:? n = 1,12 % Real: 112 % Incremento: 12%% Real que se aplica:?n: ? Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

D) ENCADENAMIENTO DE VARIACIONES PORCENTUALES

Para calcular los porcentajes de aumentos y descuentos encadenados se multiplican los ndices de variacin n decada uno de los casos.n = n1 n2 ..nk

Por ejemplo:

Si una cantidad aumenta un 33 % y luego disminuye un 12 %, cul ha sido el % final que se ha aplicado?

Aumento de 33 % % Real = 133n1 = 1,33Descuento de 12 % % Real = 88 n2 = 0,88

n = n1 n2n = 1,33 0,88n = 1,1704 % Real: 117,04

Aplicar un 33 % de aumento y un 20 % de descuento es equivalente a aplicar un 17,04 % de aumento.


2) Unas acciones que valan 1 000 suben un 60 %. Despus vuelven a subir el 25 %. Cul ser el precio final de las acciones?

Aumento de 60 % % Real = 160 n1 = 1,60Aumento de 25 % % Real = 125 n2 = 1,25

n = n1 n2n = 1,60 1,25n = 2

Cantidad inicial: 1 000 Cf = nCi Cantidad final: ? CF = 2 1 000n: 2

CF = 2 000 precio final de las acciones Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

FIJACIN DE PRECIOSDurante casi toda la historia los precios se fijaron por negociacin entre quienes compran y quienes venden. Establecer un mismo precio para todos los compradores es una idea relativamente moderna que surgi con el desarrollo de las ventas al detalle a gran escala al final del siglo XIX.


FORMULARIO

C = Costo total . - Es el gasto que hace la empresa por cada unidad que adquiere.MB = Margen de utilidad bruta.- Es el porcentaje de ganancia, puede ser respecto al costo o respecto al Valor de venta.UB = utilidad bruta.- Es la ganancia en dineroVV = Valor de Venta.- Es el resultado de sumar el costo total + la utilidad bruta COSTO + MARGEN DE UTILIDAD BRUTA =VALOR DE VENTA

C + MB = V.V.

IGV = Impuesto general a las ventas.- Es el 19% del Valor de venta.PV = Precio de venta.- Es el precio que paga el cliente por su compra. ste incluye el I.G.V., que equivale al 19% del Valor de Venta.

VALOR DE VENTA + I.G.V. = PRECIO DE VENTA VV + IGV = PV

O mejor an: 1,19 (VV ) = PV Si lo produce o lo compraCosto

C. FijosC. VariablesUtilidad Bruta+=Valor de Ventagenera+I.G.V.= Precio de VentaCosto

Utilidad BrutaValor de VentaEl margen de Utilidad Bruta , se expresa como un %Cmo se aplica el margen?(1)(2)Sobre el valor de ventaSobre el costoEjercicios N 20:

La tienda Casita Feliz tiene que colocar los precios a sus productos, para ello deben completar el siguiente cuadro:

ProductoCosto unitarioGananciaMB y UBValor de VentaIGVPrecio de VentaAspiradora Ultracomb 1200 W - 20 lts. de capacidad$320.00MB= 30% del costoUB= Cafetera Automtica "Ultracomb" 800 W - 12 Pocillos$105.00MB= 12% del VVUB= Cafetera Expresso "Yelmo" 800 W - Presion de 5 barMB= 25% del costoUB= $213.00 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

ProductoCosto unitarioGananciaMB y UBValor de VentaIGVPrecio de VentaExtractor de Jugos Yelmo 700 W - Cuchillas de Acero InoxidableMB= 10% del VVUB= $279.00Extractora de Jugos Ultracomb 800 W - 700 ml de JugoMB= 20% del costoUB= $398.00Fuenton Plstico, Capacidad 40 Lts; Por UnidadMB= 10% del VVUB= $18.50Costo ( C ) +Margen de Utilidad Bruta ( MB )=Valor de Venta (V. Vta)380+30%(380)=V. Vta. V. Vta =434114Aspiradora Ultracomb

C = 380MB= 30% del costoEl valor de venta ser:IGV = 19% ( 434) = 82,46 Precio de Venta:VV + IGV = PV 434+ 82,46 = 516,46Cafetera Automatica:

C = 105MB= 12% del valor de ventaEl valor de venta ser:105+12%(V. Vta)=V. Vta.105=V.Vta-12% V.Vta105=88% V.Vta.= V. Vta10588%=119,32V. Vta Costo ( C ) +Margen de Utilidad Bruta ( MB )=Valor de Venta (V. Vta)El valor de venta ser:

C + MB = V.V.

C + 12%(VV) = VV105 = VV - 12%(VV)105 = 88% VV 119,32 = VV

De aqu

la UB = VV C = 119,32 105 = 14,32

El IGV: IGV = 19% ( 119,32) = 22,67 Precio de Venta:VV + IGV = PV119,32 + 22,67 = 141,99


La tabla completa sera:ProductoCosto unitarioGananciaMB y UBValor de VentaIGVPrecio de VentaAspiradora Ultracomb 1200 W - 20 lts. de capacidad$320.00MB= 30% del costoUB= 11443482,46516,46Cafetera Automatica "Ultracomb" 800 W - 12 Pocillos$105.00MB= 12% del VVUB= 14,32119,3222,67141,99Cafetera Expresso "Yelmo" 800 W - Presion de 5 bar170,4MB= 25% del costoUB= 42,6$213.0040,47253,47Extractor de Jugos Yelmo 700 W - Cuchillas de Acero Inoxidable251,1MB= 10% del VVUB= 27,9$279.0047,71326,71Extractora de Jugos Ultracomb 800 W - 700 ml de Jugo278,71MB= 20% del costoUB= 55,74334,4563,55$398.00Fuenton Plastico, Capacidad 40 Lts; Por Unidad13,99MB= 10% del VVUB=15,552,95$18.50 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Conversiones y contenedores


Ejercicios N 21:

Utilizando la ficha de conversiones, hallar:

1) 45 a millas terrestres.=

= 0,001219 Ac

=

= 0,0071 millas terrestres2) 5.9 yd2 a Acres:Conversiones Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

1@ 3) a @. a25 lb.

3.85@. 25lb = 96.25 lb. 1@

96.25 lb.1 kg. 2.2 lb.

43.75 kg. 1 q. = = 0.875 q. 50 kg.

4) Hallar el rea en pies cuadrados

3x 105 u. 0.083 km.

3000000 u. 1mm 1000 u.

3000 mm. 1 pie 304.8 mm. = 9.84 pies

0.083 km. 3280,8 pies 1 km = 272.30 pies

272.30 pies x 9.84 pies = 2679.43 pies 2 Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

5) 8.86951 Bimestres

8.86951 bim 1 ao= 1.478252 aos 1 ao entero 6 bim 0.478252 aos 12meses = 5.739024 meses 5 meses enteros 1 ao 0.739024 meses 30 das = 22,17072 das 22 das enteros 1 mes

0,17072 das 24 horas = 4,09728 horas 4 horas enteras 1 da

0, 09728 horas 60 min.= 5,8368 min 5 minutos ent. 1 hora

0, 8368 min. 60 seg. = 45,20 s. 50 segundos 1 min.1 Ao, 5 Meses , 22 Das, 4 Horas, 5 Minutos, 50 Segundos. Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

6) 5 Trimestres, 1 bimestre, 1 mes, 28 Das, 13 Horas, a aos solamente.

13 horas. 1 dia 24 horas

0.541666666 das 1 mes 30 das

0.018055555 meses 1 bimestre 2 meses

0.009027777 bimestres 2 meses 1 bimestre

0.001504629 aos Matemtica IProf. Alicia Herrera Ruiz

Contenedores





Ejercicios N 22:

1) Se desea exportar esprragos a China, en cajas que contengan 24 latas del producto. Cada lata pesa 210gr. Y cada caja vaca pesa 400g.

El transporte se realizar mediante un contenedor 20 Standard. Las dimensiones de las cajas que contienen los enlatados son: largo: 47 cm., ancho: 24 cm , altura: 21 cm.Encontrar la mejor manera de apilar dichas cajas en el contenedor.


Un grupo de egresados de ADEX, decide continuar con la empresa formada durante sus estudios. Su empresa CUEROS, se dedica a la fabricacin de carteras de cuero. Sus iinnovadores diseos son exportados a Europa. Para ello embalan 8 carteras por caja de madera. Si cada cartera pesa 800gr., y cada caja de madera vaca pesa 1,5 kg., cuyas dimensiones son : largo: 57 cm, ancho: 38 cm, alto: 30 cm.Cuntas carteras lograrn exportar en un contenedor? y de qu manera se apilarn las cajas?.

Esta vez, utilizarn un contenedor 40 OPEN TOP


Matemtica Financiera

Inters simple

Equivalencia FinancieraEl valor del dinero en el tiempo y la tasa de intersayudan a desarrollar el concepto de Equivalencia Financiera y esto significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes de tiempo son iguales en valor econmico.Por ejemplo, si la tasa de inters es de 7% anual, $100 (tiempo presente)Seran equivalentes a $107 dentro de un ao a partir de hoy, entonces para un individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el da de maana.Y este incremento se dio debido a la tasa de inters. Por lo tanto es el mismo valor econmico o equivalente.Inters SimpleEl inters simple se calcula utilizando slo el principal, ignorando cualquier inters causado en los perodos de inters anterioresInters que se carga al final del perodo y que no gana inters en el perodo o perodos subsiguientes$100$10$10$10Ejemplo: Un capital de 100 dlares al 10% en tres periodosTiempo1230Total en los 3 periodos$30Nomenclatura Universal I = inters generado ($) VP = es el capital o principal que se da o se recibe en prstamo i = tasa de inters anual (%) n = nmero de aos o perodos, tiempo VF = monto o valor futuro a fin del perodo

I=inters simpleC=capital o principali=tasa (tipo de inters tanto por ciento)t=tiempoM=montoNomenclatura EspaolaDenominacin de VariablesLa frmula que utilizaremos es la siguiente:

VF = VP + I x100 El planteamiento de los problemas econmicos-financieros se desarrolla en torno a dos conceptos bsicos: capitalizacin y actualizacin.

El concepto de capitalizacin se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendr o en que se convertirn los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. El concepto de actualizacin se refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitalesCapitalizacin y ActualizacinEjemplo de Valor presente simple

Un miroempresario desea innovar su equipo de trabajo y recurre a una institucin crediticia, que le cobra el 16% de inters simple, Qu cantidad le prestaron si tendr que pagar $52,600 dentro de 5 meses?

$52,600021345 MesesTiempoValor?

Ejemplo de Valor futuro simple

Una institucin crediticia otorga un prstamo de $ 49 312.50 pesos a una tasa de inters simple de 16% Cul ser el monto de ese prstamo, despus de 5 meses?

$ 49 312.50021345 MesesTiempoValor?

Cuando el tiempo no coincide con la tasaCules son los intereses que se genera un capital de$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de 30 das? $ 12,50002134 30 dasTiempoIntereses+ el principal?

Recuerda que debes cambiar el tiempo segn la tasaCules son los intereses que genera un capital de$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de 30 das? I=$205.73+ VP= $12,500$ 12,50001051520 30 dasTiempoEste es monto total al final del periodo$12705.73InteresesCapital o principal

L

x

0

y

P2 (6, 10)

P1 (4, 8)

P1 (-6, 2)

P2 (8, -4)

x

y

x

L

x

y

y

y1

x

x1

P1 (x1; y1)

P(x, y)

m (pendiente)

x

L

y

P1 (3, 4)

m = 2

P1(x1 y1) = (0, b)

y

x

L

P (x, y)

P1 (0, b)

0

Ordenada al origen

b

Hoja1Valor PresenteDATOSTasa de interes16%Valor futuro52600Tiempo5mesesVP=VF/(1+in)SustitucinVP=52600/(1+0.16*5/12)Valor presente$49,312.50$49,312.50$49,312.50

$52,600021345 MesesTiempoEsta es la cantidad que le prestaron!

Hoja1Valor FuturoDATOSTasa de interes16%Valor presente49312.5Tiempo5mesesVF=VP(1+ni)SustitucinVF=49312.50*(1+0.16*5/12)Valor Futuro$52,600.00$49,312.50

021345 MesesTiempo$ 52, 600Monto que pagar dentro de 5 meses

Hoja1SolucinDatosFrmulaP=12500i=19.75anualn=30dasI=?SustitucinI=12500(.1975)(30)/360I=205.73

la tasa de inters se toma en decimales

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