Prof. Daniel Almeida REGRA DE TRÊS SIMPLES REGRA DE …docs.aprovaconcursos.com.br/aprova/materias_adicionais/22442/82062/... · MATEMÁTICA – BB - NOVO CURSO Prof. Daniel Almeida

MATEMÁTICA – BB - NOVO CURSO

Prof. Daniel Almeida

07 A 08

1

REGRA DE TRÊS SIMPLES Existem alguns problemas que envolvem duas grandezas diretamente, ou inversamente proporcionais que podem ser resolvidos através de um método pratico chamado regra de três simples. Método para solução de uma regra de três simples.

Ex: Uma fábrica de pneus produz 4500 pneus a cada 3 dias. Quantos dias serão necessários para produzir 3000 pneus? 1º Posicione as grandezas em razões. Fique atento para as unidades; elas devem se apresentar no mesmo sistema.

PNEUS DIAS

4500 3

3000 X

2º Verifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, posicionando setas ao lado dessas grandezas; orientadas no mesmo sentido para as grandezas diretas e, em sentidos opostos para as grandezas inversas. Importante:

Faça esta operação sem envolver os valores, pensando somente nas grandezas, assim você não será induzido a nenhum erro. NÃO ENVOLVA OS VALORES NESTA ANÁLISE. PNEUS _______________ DIAS G.D.P. (Grandezas diretamente proporcionais) Mais dias - consequentemente mais pneus.

3º Caso as grandezas sejam diretas as setas estão orientadas no

mesmo sentido, então passe ao próximo item. Caso as grandezas sejam inversas as setas estão invertidas, desta forma, inverta uma das razões para que as setas tenham mesmo sentido, e vá para o próximo item. 4º Temos então duas razões e, entre elas uma igualdade, logo estamos diante de uma proporção que será resolvida usando a propriedade fundamental, isto é, o produto dos extremos igual ao produto dos meios.

x

3

3000

4500

diasx 24500

3000.3

REGRA DE TRÊS COMPOSTA É um processo para resolver problemas envolvendo mais de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Método para solução de uma regra de três composta Ex: Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 5 toneladas de

carvão. Se esta equipe for aumentada para 20 mineiros, em quanto tempo serão extraídas 10 toneladas de carvão? 1º Posicione as grandezas em razões. Fique atento para as unidades; elas devem se apresentar no mesmo sistema

MINEIROS DIAS TONELADAS

15 30 5

20 X 10

2º Relacione cada uma das grandezas, em separado, com a variável onde aparece a incógnita.

MINEIROS DIAS TONELADAS

15 30 5

20 X 10

3º Iguale a razão que contém a variável com o produto das demais; invertendo as razões que estão contrárias a razão da variável.

10

5.

15

2030

x

150

10030

x

4500100 x

TESTES EM SALA: 01. Uma olaria fabrica 2560 tijolos em 8 dias. Quantos dias seriam

necessários para fabricar 960 tijolos? a) 2 dias b) 3 dias c) 5 dias d) 5 dias e) 6 dias 02. Seis pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo

levarão 18 pedreiros para fazer o mesmo muro? a) 12 horas b) 24 horas c) 48 horas d) 96 horas e) 72 horas

diasx 45



07 A 08

2

03. 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6

dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias? a) 8 máquinas b) 10 máquinas c) 12 máquinas d) 14 máquinas e) 16 máquinas 04. (BOMB-2004) Um reservatório de água possui duas

torneiras para abastecimento. Quando o reservatório está completamente vazio, uma das torneiras sozinha é capaz de encher o reservatório em 6 horas e a outra, também sozinha, é capaz de encher o reservatório em 9 horas. Se o reservatório está completamente vazio e as duas torneiras forem ligadas simultaneamente, em quanto tempo o reservatório estará cheio? a) 3 horas e 12 minutos b) 3 horas e 24 minutos c) 3 horas e 30 minutos d) 3 horas e 36 minutos e) 3 horas e 48 minutos TESTES: 01. Doze operários levaram 25 dias para executar uma certa

obra. Quantos dias levarão 10 operários para executara mesma obra? a) 20 dias b) 26 dias c) 27 dias d) 28 dias e) 30 dias 02. Com uma certa quantidade de cobre fabricam-se 16000

metros de fio com seção de 12mm². Se a seção for de 8mm², quantos metros de fio poderão ser obtidos? a) 6.000m b) 8.000m c) 16.000m d) 20.000m e) 24.000m 03. (FAE-COPEL-2009) Para realizar um trabalho de

emergência, foi necessária a contratação de 2 técnicos, uma vez que cada um deles, atuando sozinho, não conseguiria concluir tal trabalho no tempo máximo de 5 horas. O primeiro, sozinho, levaria 8 horas e o segundo, realizando o mesmo trabalho, levaria 12 horas. Quanto tempo gastarão, já que os dois trabalharão juntos?

a) 4 horas. b) 4 horas e 8 minutos. c) 4 horas e 28 minutos. d) 4 horas e 48 minutos. e) 5 horas. 04. (FAE-COPEL-2009) Um veículo percorre uma

determinada distância, a uma velocidade de 80 km/h, em 4 horas. Quanto tempo esse veículo levaria para percorrer a mesma distância a uma velocidade de 100 km/h? a) 3 horas e 42 minutos. b) 3 horas e 32 minutos. c) 3 horas e 22 minutos. d) 3 horas e 12 minutos. e) 3 horas e 02 minutos.

05. (UFPR) O gerente do SAC (serviço de atendimento ao

consumidor) de uma empresa constatou que 30 atendentes são capazes de atender satisfatoriamente, em média, 108 clientes por hora. Quantos funcionários são necessário para que o SAC dessa empresa possa atender, em média, 144 clientes por hora, mantendo a mesma qualidade de atendimento? a) 36. b) 38. c) 39. d) 40. e) 42. 06. Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia

durante 10 dias, gasta R$ 1026,00. Qual será seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia? a) R$ 1026,00 b) R$ 2052,00 c) R$ 3078,00 d) R$ 4104,00 07. (MACK-SP) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas

ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam: a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00 c) R$ 26.560,00 d) R$ 29.440,00 e) n.d.a. 08. (Santa Casa – SP) Sabe-se que 4 máquinas, operando

4 horas por dia, durante 4 dias produzem 4 toneladas de certo produto.Quantas toneladas do esmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5 e) n.d.a 09. Em uma fábrica, 25 máquinas produzem 15.000 peças

de automóvel em 12 dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 30 dessas máquinas para produzir 18.000 peças em 15 dias? a) 8 b) 15 c) 10 d) 12 e) 20 10. (ESPP-MPP-PR-2010) As máquinas de uma fábrica

funcionam, ininterruptamente, das 10h às 18 horas. Sabe-se que 5 máquinas idênticas produzem 2000 unidades de um produto, após 40 horas de funcionamento. O fabricante recebeu uma encomenda de 600 unidades do produto, e dispõe apenas de duas máquinas para produzi-los. Sabendo-se que a produção começou às 10 horas do dia 03 de Outubro, em que dia e hora ficará pronta a encomenda? a) 3 de outubro, às 18 horas b) 4 de outubro, às 5 horas c) 5 de outubro, às 10 horas d) 7 de outubro, às 8 horas e) 6 de outubro, ás 16 horas



07 A 08

3

11. (FCC- BB) Uma Agência do Banco do Brasil dispõe de

duas impressoras, A e B, que são capazes de tirar 18 e 20 cópias por minuto, respectivamente. Suponha que, certo dia, as duas foram acionadas simultaneamente às 9 horas e 25 minutos e que, a partir de então, tiraram iguais quantidades de cópias de um mesmo texto. Considerando que ambas funcionaram ininterruptamente, então, se a impressora A terminou o serviço às 10 horas, 6 minutos e 40 segundos do mesmo dia, B encerrou o seu às a) 10 horas, 2 minutos e 30 segundos. b) 10 horas, 12 minutos e 40 segundos. c) 10 horas, 20 minutos e 30 segundos. d) 11 horas, 4 minutos e 20 segundos. e) 11 horas, 20 minutos e 30 segundos. 12. (CESGRANRIO-BB-2012) No Brasil, quase toda a

produção de latas de alumínio é reciclada. As empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por 100 kg de latas usadas, sendo que um quilograma corresponde a 74 latas. De acordo com essas informações, quantos reais receberá um catador ao vender 703 latas de alumínio? a) 23,15 b) 23,98 c) 28,80 d) 28,96 e) 30,40 13. (CESGRANRIO-BB-2010) Segundo dados do

Sinduscon-Rio, em fevereiro de 2010 o custo médio da construção civil no Rio de Janeiro era R$875,18 por metro quadrado. De acordo com essa informação, qual era, em reais, o custo médio de construção de um apartamento de 75m2 no Rio de Janeiro no referido mês? a) 66.634,00 b) 66.128,50 c) 66.048,50 d) 65.688,00 e) 65.638,50 GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 E E D D D B A D A

1 E A E E



09 A 10

1

PORCENTAGENS Podemos definir porcentagem como sendo qualquer razão cujo denominador é 100. O seu símbolo é o %. Simplificando, quando dizemos 10% estamos falando em 10

partes de 100, ou seja, %10100

10 .

Exemplo:

Calcular 15% de 60.

9100

90060.

100

15

TESTES EM SALA: 01. (PM-2005) Um administrador municipal promoveu uma

consulta à população com o objetivo de obter subsídios para o projeto do orçamento do próximo ano. Das pessoas consultadas, 4392 responderam que a maior prioridade deveria ser dada à segurança pública. Sabendo que estas constituíam 24% do total de pessoas consultadas, calcule esse total. a) 18.300. b) 17.860. c) 16.120. d) 13.600. e) 10.540. 02. Uma máquina depois de usada sofre uma

desvalorização de 12% e é então avaliada em R$ 1760,00. Qual era o valor dessa máquina antes de ser usada? a) R$ 3.308,00 b) R$ 2.400,00 c) R$ 2.000,00 d) R$ 1.548,00 e) R$ 1.466,66 03. Sobre o preço de um carro importado incide um imposto

de importação de 30%. Em função disso o seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro para o importador? a) R$ 22.500,00 b) R$ 24.000,00 c) R$ 22.350,00 d) R$ 31.200,00 e) R$ 39.000,00 04. Um investidor resolveu empregar todo o seu capital da

seguinte forma: metade em caderneta de poupança, que lhe rende 30% ao ano; um terço na bolsa de valores, que lhe rende 45% no mesmo período. O restante ele aplicou em fundos de investimento, que lhe renderam 24% ao ano. Ao término de um ano o capital deste investidor aumentou em: a) 33% b) 38% c) 34% d) 32% e) 36%

05. (UDESC SC/2005) Quando chegou o inverno, um

comerciante aumentou em 10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,00. O preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, era: a) R$ 186,00. b) R$ 220,00. c) R$ 180,00. d) R$ 190,00. e) R$ 200,00. TESTES: 01. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Após

dois aumentos consecutivos de 10%, foi colocado em promoção com 20% de desconto. Qual o novo preço do produto (em R$) a) R$ 176,00 b) R$ 192,00 c) R$ 193,60 d) R$ 200,00 e) n.d.a. 02. Um investidor resolveu empregar todo o seu capital da

seguinte forma: metade em caderneta de poupança, que lhe rende 30% ao ano; um terço na bolsa de valores, que lhe rende 45% no mesmo período. O restante ele aplicou em fundos de investimento, que lhe renderam 24% ao ano. Ao término de um ano o capital deste investidor aumentou em: a) 33% b) 38% c) 34% d) 32% e) 36% 03. (PUC MG) Certa loja compra um eletrodoméstico por

R$1200,00 e o vende dando ao freguês 10% de desconto sobre o preço por ela estabelecido. Mesmo assim, a loja teve um lucro de 20% sobre o preço de compra. Então o preço estabelecido pela loja para a venda desse eletrodoméstico, em reais, era: a) 1440,00 b) 1500,00 c) 1600,00 d) 1720,00 04. (UDESC SC) Quando chegou o inverno, um comerciante

aumentou em 10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,00. O preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, era: a) R$ 186,00. b) R$ 220,00. c) R$ 180,00. d) R$ 190,00. e) R$ 200,00.



09 A 10

2

05.(UEG) Um fogão custou R$ 600,00 para um comerciante.

O comerciante anunciou o preço para venda do fogão de modo que, se sobre esse preço anunciado fosse aplicado 25% de desconto, ao vender o fogão, o comerciante ainda teria um lucro de 25% sobre o preço de custo. O preço anunciado foi de a) R$ 1.020,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 960,00 d) R$ 940,00 e) R$ 900,00

06. (UFPB PB/2005) Num supermercado, um produto foi

posto em promoção com 20% de desconto sobre o seu preço de tabela, por um período de 5 dias. Concluído esse período, o preço promocional foi elevado em 10%. Com esse aumento, o desconto, em relação ao preço de tabela, passou a ser a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 14%

07. (ESAF/TJ/CE) Na compra a vista de um produto que

custava R$ 180,00, um consumidor conseguiu um desconto de 12%. Por quanto saiu o produto? a) R$ 158,40 b) R$ 160,00 c) R$ 162,00 d) R$ 162,45 e) R$ 170,00 08. (ESAF/TJ/CE) As vendas de uma microempresa

passaram de R$ 3.000,00 no mês de janeiro para R$ 2.850,00 no mês de fevereiro. De quanto foi a diminuição relativa das vendas? a) 4% b) 5% c) 6% d) 8% e) 10% 09. (ESAF/TJ/CE) Um trabalhador teve um aumento salarial

de 10% em um ano e de 20% no ano seguinte. Qual foi o aumento salarial total do trabalhador no período? a) 40% b) 32% c) 30% d) 20% e) 10% 10. (ESAF/TCU) Em um aquário há peixes amarelos e

vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi: a) 20 % b) 25 % c) 37,5 % d) 62,5 % e) 75 %

11. (FCC-BB-2013) Uma pessoa resolveu investir a quantia

de R$ 200.000,00 em três investimentos diferentes. No investimento F, ela aplicou R$ 80.000,00. No investimento G, ela aplicou R$ 50.000,00 e no investimento H ela aplicou R$ 70.000,00. Após um período de tempo, os investimentos apresentaram os seguintes resultados: − investimento F com ganho líquido de 5%. − investimento G com ganho líquido de 3%. − investimento H com perda de 2%. O valor atualizado do total investido é, em reais, igual a

a) 200.500,00. b) 204.100,00. c) 198.500,00. d) 201.500,00. e) 206.900,00. 12. (CESGRANRIO-BB-2010) Um investidor aplicou certa

quantia em um fundo de ações. Nesse fundo, 1/3 das ações eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as restantes, da empresa C. Em um ano, o valor das ações da empresa A aumentou 20%, o das ações da empresa B diminuiu 30% e o das ações da empresa C aumentou 17%. Em relação à quantia total aplicada, ao final desse ano, este investidor obteve

a) lucro de 10,3%. b) lucro de 7,0%. c) prejuízo de 5,5%. d) prejuízo de 12,4%. e) prejuízo de 16,5%. 13. (CESGRANRIO-BB-2012)

Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano? a) 9,08 b) 10,92 c) 12,60 d) 21,68 e) 24,80



09 A 10

3

14. (FCC-BB-2011) Certo mês, um comerciante promoveu

uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em a) 18,5%. b) 20%. c) 22,5%. d) 25%. e) 27,5%. 15. (FCC-BB-2010) As estatísticas da Campanha Nacional

de Prevenção ao Câncer de Pele, organizada há 11 anos pela Sociedade Brasileira de Dermatologia, revelam que o brasileiro não se protege adequadamente do sol: 70% dos entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo quando vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34430 pessoas, o número delas que usam protetor solar é

a) 24101 b) 15307 c) 13725 d) 12483 e) 10329 16. (FCC-BB-2013) Após a finalização de um concurso de

conhecimentos gerais, os dados foram organizados e apresentados em um infográfico, conforme abaixo.

Sabe-se que, do total de 840 participantes desse exame, 25% eram mulheres. Nas condições dadas, o total de aprovados no concurso é igual a a) 756. b) 315. c) 189. d) 284. e) 354.

17. (FCC-BB-2013) O Secretário de Petróleo, Gás Natural e Combustíveis Renováveis do Ministério das Minas e Energia (MME) afirmou que o bloco BM-S-8, no pré-sal da Bacia de Santos, pode ter reservas de 1 bilhão de barris. Na região, está localizado o prospecto de Carcará. O bloco BM-S-8 é desenvolvido pela Petrobras (66%); Galp (14%); Barra Energia (10%) e Queiroz Galvão (10%). (Adaptado de: Valor Econômico, 12/03/2013) De acordo com os dados dessa notícia, o total de barris estimados do bloco BM-S-8 que NÃO caberá à Petrobras é igual a

a) 340 mil. b) 34 mil. c) 34 milhões. d) 340 milhões. e) 3,4 milhões. 18. (FCC-BB-2013) O preço de uma mercadoria subiu 25%

e, depois de uma semana, subiu novamente 25%. Para voltar ao preço inicial, vigente antes dessas duas elevações, o preço atual deve cair um valor, em porcentagem, igual a

a) 20. b) 64. c) 44. d) 50. e) 36. 19. (CEGRANRIO-BB-2013) Numa empresa, todos os seus

clientes aderiram a apenas um dos seus dois planos, Alfa ou Beta. O total de clientes é de 1.260, dos quais apenas 15% são do Plano Beta. Se x clientes do plano Beta deixarem a empresa, apenas 10% dos clientes que nela permanecerem estarão no plano Beta. O valor de x é um múltiplo de

a) 3 b) 8 c) 13 d) 11 e) 10 GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 C C C E B C A B B

1 D B C A D E B D E E



AULA 01/16

1

ESTATÍSTICA: POPULAÇÃO E AMOSTRA População é um conjunto de elementos que têm pelo

menos uma característica (variável) comum objeto de

estudo.

População Finita: Limitada em tamanho

População Infinita: Ilimitada em tamanho. Consiste num

processo que gera itens.

Nomenclatura Básica Tipos de variáveis

a) Variável quantitativa

Quando as variáveis de uma pesquisa são, por exemplo,

altura, peso, idade em anos e número de irmãos, dizemos

que elas são quantitativas, pois seus possíveis valores são

números.

As variáveis quantitativas podem ser discretas, quando se

trata de contagem (números inteiros), ou contínuas, quando

se trata de medida (números reais). Veja:

• “Número de irmãos” é uma variável quantitativa discreta,

pois podemos contar (0, 1, 2 etc.).

• “Altura” é uma variável quantitativa contínua, uma vez que

pode ser medida (l,55 m, l,80 m, l,73 m etc.).

• “A idade em anos exatos” pode ser considerada variável

quantitativa discreta (8, 10, 17 etc.).

b) Variável qualitativa

São aquelas variáveis que procuram passar uma certa

característica do dado que está sendo analisado, como, por

exemplo: cor do cabelo, cor da pele, feio ou bonito, alegre

ou triste e assim por diante.

Obs.: Essas variáveis podem ser de dois tipos:

Qualitativas Nominais (atributos)

Qualitativas Ordinais (ordem) Freqüências

a) Freqüência absoluta:

É aquela que indica o número de elementos coletados da

variável analisada.

b) Freqüência relativa:

É aquela que representa a proporção entre a variável

analisada e o todo, e que, por isso, pode ser representada

por uma fração, por uma porcentagem ou por uma dízima.

N

FF abs

r

Tabela de freqüências Tabela sem intervalo de classe:

A tabela abaixo relaciona a preferência pelo time de futebol

em relação a 500 pessoas entrevistadas, em que, para cada

time, podemos utilizar a proporção entre a freqüência

relativa e o setor do gráfico.

TIME FREQUÊNCIA

ABSOLUTA

FREQUÊNCIA

RELATIVA

FREQUÊNCIA

RELATIVA (%)

CORINTHIANS 120 24,0500

120 24%

PALMEIRAS 60 12,0500

60 12%

SÃO PAULO 70 14,0500

70 14%

SANTOS 250 50,0500

250 50%

TOTAL 500 1 100%

Podemos representar a tabela pelo histograma abaixo:

0

50

100

150

200

250

300

CORINTHIANS PALMEIRAS SÃO PAULO SANTOS



AULA 01/16

2

A tabela também pode ser representada pelo gráfico abaixo(polígono de frequências):

Tabela com intervalo de classe:

Altura(em

classe) Fabs FR

FREQUÊNCIA

RELATIVA

(%)

1,62 1,65 m 2 0,10 10%

1,65 1,68 m 3 0,15 15%

1,68 1,71 m 6 0,30 30%

1,71 1,74 m 3 0,15 15%

1,74 1,77 m 4 0,20 20%

1,77 1,80 m 2 0,10 10%

TOTAL 20 1 100%

OBS.: As classes são intervalos fechados no início e abertos

no final.

[,[ baba

Quando for necessário podemos representar cada classe

pelo seu elemento central.

TESTE:

01. (UFJF) A editora de uma revista de moda resolveu fazer

uma pesquisa sobre a idade de suas leitoras. Para isso selecionou, aleatoriamente, uma amostra de 25 leitoras. As idades que constaram da amostra foram: 19, 20, 21, 20, 19, 20, 19, 20, 21, 21, 21, 22, 20, 21, 22, 22, 23, 19, 20, 21, 21, 23, 20, 21, 19. Considerando as informações dadas, complete a tabela de freqüências absoluta (f), relativa (fr) e frequência acumulada (fa) a partir dos dados acima:

IDADE F Fr(%) Fa

TOTAL

050

100150200250300

Qu

anti

dad

e d

e t

orc

ed

ore

s TORCIDA



AULA 02/16

1

Medidas de tendência central

A medida de centralidade é um número que está

representando todo o conjunto de dados; nas pesquisas tal

número é conhecido como medida de tendência central, que

pode ser encontrado a partir da média aritmética, da moda

ou da mediana, e o uso de cada uma delas é mais

conveniente de acordo com o nível de mensuração, o

aspecto ou forma da distribuição de dados e o objetivo da

pesquisa.

1 - Média Aritmética:

Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante certa semana:

Seg Terça Quarta Quinta Sexta Sábado

22 23 22 27 25 13

Qual foi a média de livros vendidos durante essa semana? Para resolver esse problema, devemos fazer:

226

132

6

132527222322

Esse número é chamado de média aritmética dos números

22, 23, 22, 27, 25 e 13

Média aritmética ( x ) dos valores nxxxx ....321 é

o quociente entre a soma desse valores e seu número total n.

n

xxxxx n

....321

Média aritmética ponderada

Quando alguns valores se repetem, torna-se mais fácil o cálculo da média aritmética. Vejamos: Calcular a média aritmética dos valores 27,27,30,30,30,30,32,32 e 32. Nesse caso, observamos que: - o valor 27 se repete 2 vezes; - o valor 30 se repete 5 vezes; - o valor 32 se repete 3 vezes; Assim, a média pode ser calculada de uma forma mais simples:

3010

300

10

9615054

352

3.325.302.27

x

A média aritmética é 30. O número de vezes que o valor se repete chama-se peso, e à média assim calculada dá-se o nome de média ponderada.

TESTES:

01. (UFPR) Em levantamento feito numa sala de aula de um

curso da UFPR, verificou-se que a média das idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram considerados apenas os anos completos e desconsideradas todas as frações (meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a coordenação do curso verificou que um aluno havia desistido, e que a média das idades caiu para 20 anos. Como nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade do aluno que desistiu? a) 41 anos b) 25 anos c) 29 anos d) 33 anos

02. (Fuvest-adaptada) Para que fosse feito um

levantamento sobre o número de infrações de trânsito, foram escolhidos 50 motoristas. O número de infrações cometidas por esses motoristas, nos últimos cinco anos, produziu a seguinte tabela:

Pode-se então afirmar que a média do número de infrações, por motorista, nos últimos cinco anos, é:

03. (FCC-BB-2011) Palmira faz parte de um grupo de 10

funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é

a) 60. b) 57. c) 54. d) 52. e) 48. 04. (FCC-BB-2011) Suponha que certa Agência do Banco

do Brasil tenha 25 funcionários, cujas idades, em anos, são as seguintes: 24 − 24 − 24 − 25 − 25 − 30 − 32 − 32 − 32 35 − 36 − 36 − 40 − 40 − 40 − 40 − 46 − 48 48 − 50 − 54 − 54 − 60 − 60 − 65 A média das idades dos funcionários dessa Agência, em anos, é igual a

a) 36. b) 38. c) 40. d) 42. e) 44.



AULA 02/16

2

05. (FCC-BB-2006) Os salários dos 40 empregados de uma

empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam distribuídos conforme a tabela abaixo:

Salários (R$) Número de Funcionários

400,00

550,00

1 000,00

1 400,00

1 800,00

4

8

10

16

2

Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é

a) R$ 1400,00 b) R$ 1230,00 c) R$ 1150,00 d) R$ 1100,00 e) R$ 1050,00

GABARITO: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 A * B C E



AULA 03/16 E 04/16

1

Medidas de tendência central

A medida de centralidade é um número que está

representando todo o conjunto de dados; nas pesquisas tal

número é conhecido como medida de tendência central, que

pode ser encontrado a partir da média aritmética, da moda

ou da mediana, e o uso de cada uma delas é mais

conveniente de acordo com o nível de mensuração, o

aspecto ou forma da distribuição de dados e o objetivo da

pesquisa.

02 –Moda

A moda é o elemento da seqüência de dados que possui a maior freqüência, em que ela será localizada. Para ficar mais fácil de você lembrar, associe o fato de que aquilo que está na moda é o que as pessoas mais usam. A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete. Ex: Na série 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 a moda é igual a 10. Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Ex: 3 , 5 , 8 , 10 , 12 não apresenta moda. A série é amodal. Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Ex: 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 apresenta duas modas: 4 e 7 A série é bimodal. 03 –Mediana

A mediana representa o elemento que se encontra no centro da distribuição, quando a seqüência de dados se apresenta ordenada de forma crescente ou decrescente, cortando, assim, a distribuição em duas partes com o mesmo número de elementos. Dada uma série de valores como, por exemplo: 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9. Caso a quantidade de elementos do intervalo de dados seja par, tomaremos os dois elementos centrais e faremos a média aritmética entre eles.

TESTES:

01. (Enem) Na tabela, são apresentados dados da cotação

mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

Mês Cotação Ano

Outubro R$ 83,00 2007

Novembro R$ 73,10 2007

Dezembro R$ 81,60 2007

Janeiro R$ 82,00 2008

Fevereiro R$ 85,30 2008

Março R$ 84,00 2008

Abril R$ 84,60 2008

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a: a) R$ 73,10. b) R$ 81,50. c) R$ 82,00. d) R$ 83,00. e) R$ 85,30.

02. (UNIMONTES) O serviço meteorológico registrou, em

alguns estados brasileiros, as seguintes temperaturas:

A moda e mediana dessas temperaturas são, respectivamente, a) 39ºC e 24ºC b) 8ºC e 39ºC c) 8ºC e 21ºC d) 21ºC e 8ºC

03. Qual a média aritmética )M( a , a moda )M( o e a

mediana )M( e , respectivamente, dos dados da tabela de

freqüências abaixo?

a) 14,3; 15; 14,5. b) 14,5; 15; 14,3. c) 14,5; 15; 14,5. d) 14,3; 14,5; 15.



AULA 03/16 E 04/16

2

04. (CESGRANRIO-2011) A tabela abaixo apresenta o

resultado de uma pesquisa sobre o preço de venda do etanol em 30 postos de abastecimento de São Paulo, em abril de 2011.

Os valores, em reais, da moda e da mediana dos preços pesquisados são, respectivamente, a) 2,18 e 2,24 b) 2,18 e 2,28 c) 2,24 e 2,28 d) 2,28 e 2,18 e) 2,36 e 2,26 05. (CESGRANRIO-2010) Considere a amostra de uma

variável aleatória, cujos valores estão todos expressos em uma mesma unidade. Amostra: 36 38 26 40 40 28 46 40 38 28

Sobre essa amostra, tem- se que a) a média é igual à mediana. b) a média é maior que a moda. c) se retirarmos um dos valores da amostra, a média, necessariamente, será alterada. d) a mediana é maior que a moda. e) a mediana é maior que a média. 06. (CESGRANRIO-2009-BNDES) Mariana fez sete

ligações de seu aparelho celular. Os tempos, em minutos, de cada ligação, estão relacionados a seguir: 30; 15; 7; 20; 35; 25; 15 Sejam a, b e c, respectivamente, os tempos médio, modal e mediano do rol de tempos apresentado. É correto afirmar que

a) a < b < c b) a < c < b c) b < a < c d) b < c < a e) c < a < b 07. (FCC-BB-2012) Nos quatro primeiros dias úteis de uma

semana o gerente de uma agência bancária atendeu 19, 15, 17 e 21 clientes. No quinto dia útil dessa semana esse gerente atendeu n clientes. Se a média do número diário de clientes atendidos por esse gerente nos cinco dias úteis dessa semana foi 19, a mediana foi a) 19. b) 18. c) 20. d) 23. e) 21.

08. (CESGRANRIO-2013) Considere o seguinte conjunto:

15; 17; 21; 25; 25; 29; 33; 35 A média, a mediana e a moda desse conjunto de dados são, respectivamente, a) 1, 2 e 3 b) 5, 7 e 9 c) 7, 9 e 5 d) 25, 25 e 25 e) 25, 27 e 29

GABARITO: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 * * * A A E A D



AULA 03/16 E 04/16

3

MEDIANA COM DADOS AGRUPADOS:

fi

hFantN

liMed

.2

li -> Limite inferior da classe mediana N -> total de elementos Fant -> Frequência acumulada da classe anterior fi -> frequência absoluta da classe mediana h -> amplitude do intervalo de classe SEPARATRIZES

Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores. Essas medidas - os quartis, os decis e os percentis - são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.

. QUARTIS

Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. Precisamos portanto de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3 ) para dividir a série em quatro partes iguais. Obs: O quartil 2 ( Q2 ) sempre será igual a mediana da série. CÁLCULO DOS QUARTIS EM DADOS AGRUPADOS: 1

o QUARTIL:

fi

hFantN

liQ

.4

1

3

o QUARTIL:

fi

hFantN

liQ

.4

3

3

DECIS

A definição dos decis obedece ao mesmo princípio dos quartis, com a modificação da porcentagem de valores que ficam aquém e além do decil que se pretende calcular. Indicamos os decis : D1, D2, ... , D9. Deste modo precisamos de 9 decis para dividirmos uma série em 10 partes iguais. De especial interesse é o quinto decil, que divide o conjunto em duas partes iguais. Assim sendo,o quinto decil é igual ao segundo quartil, que por sua vez é igual à mediana. PERCENTIL OU CENTIL

Denominamos percentis ou centis como sendo os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais. Indicamos: P1, P2, ... , P99. É evidente que P50 é igual a mediana da série.

TESTES: 01. (UFU/MG) Uma equipe de futebol realizou um

levantamento dos pesos dos seus 40 atletas e chegou à distribuição de freqüência dada pela tabela a seguir, cujo histograma correspondente é visto abaixo.

Peso (kg)

60 | 64

64 |

68 |

72 |

76 |

80 |

84 |

Total de atletas

Frequência

2

5

10

12

6

3

2

40

TABELA

frequência

Peso (kh)

HISTOGRAMA

12

10

6

3

5

2

62 66 70 74 78 82 86

Com base nestes dados pode-se afirmar que o valor da mediana dos pesos é igual a a)75 b)72 c)74 d)73

02. (CESGRANRIO-2011) No histograma acima, os pontos

médios das classes inicial e final são 40 e 80, respectivamente. Sabendo-se que todas as classes têm a mesma amplitude, a estimativa adequada para a média e para a mediana dessa distribuição são, respectivamente, a) 59,5 e 59,5 b) 59,5 e 60 c) 60 e 59 d) 60 e 59,5 e) 60 e 60



AULA 03/16 E 04/16

4

03. (FCC) O histograma de freqüências absolutas, abaixo,

demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada:

Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à esquerda e abertos à direita.

Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a a) R$ 100 b) R$ 400 c) R$ 800 d) R$ 900 e) R$ 1000

04. (FCC) A tabela abaixo apresenta a distribuição do valor

(em número de salários mínimos) do salário pago aos funcionários da fábrica Y no mês de maio de 2006. Calcule a média e a mediana do valor do salário pago pela fábrica Y no mês de maio de 2006.

a) 3,3 salários mínimos e 2,67 salários mínimos. b) 3,3 salários mínimos e 3,3 salários mínimos. c) 3,5 salários mínimos e 3,0 salários mínimos. d) 3,8 salários mínimos e 2,67 salários mínimos. e) 3,8 salários mínimos e 2,67 salários mínimos.

05. (CESGRANRIO-2008-BNDES) Idades de pessoas de

uma turma preparatória para um concurso e freqüências absolutas acumuladas

Sejam x e md, respectivamente, a média e a mediana das idades. O valor de x - md é a) 0,80 b) 0,75 c) 0,70 d) 0,65 e) 0,60

GABARITO: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 D D A A D

Documents

Prof. Daniel Almeida REGRA DE TRÊS SIMPLES REGRA DE …docs.aprovaconcursos.com.br/aprova/materias_adicionais/22442/82062/... · MATEMÁTICA – BB - NOVO CURSO Prof. Daniel Almeida