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Eletromagnetismo I - Eletrostática
• C.C. para Campo Elétrico tangencial.
• C.C. para Campo Elétrico tangencial.
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1
Condições de Contorno em Interfaces Dielétricas (Capítulo 5 – Páginas 119 a 123)
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Vimos que a resposta de um meio dielétrico a um campo elétrico pode ser levada
em conta através do vetor polarização P.
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2
Interface entre meios dielétricos
• P está associado com os momentos de dipolo gerados pelo campo E dentro do
dielétrico.
• A densidade de fluxo elétrico D dentro do material é dada por: !D = ε
!E (onde ε = εrε0 )
• A resposta do material ao campo aplicado é levada em conta através da constante
dielétrica ε do material.
• Agora trataremos das Condições de Contorno que permitem relacionar os campos na
interface entre dois meios dielétricos com ε diferentes.
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• O conhecimento do comportamento dos campos eletrostáticos (e eletromagnéticos)
em:
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza3
Meios materiais (só mencionar)
permite compreender o funcionamento e projetar grande parte dos dispositivos
de Engenharia Elétrica e de Telecomunicações, como por exemplo:
① Materiais homogêneos, isotrópicos e lineares (condutores e dielétricos) e
② Na interface entre meios diferentes (condutores e dielétricos),
Antenas FibrasÓpticasGuiasdeOnda
Linhasdetransmissão
§ Componentes normais ( ).
§ Componentes tangenciais ( ).
Para isso é necessário decompor os campos em:
!E1t!E1!E1n
Eletromagnetismo I - Eletrostática
Desejamos encontrar relações entre os campos em cada lado da interface entre dois meios com permissividades ε1 e ε2.
30/05/17 4
!E2
!E2n
!E2t
e
e
y
x
!E2n!
E1n
!E2t
!E1t
ε1
ε2
C. C. na Interface entre meios Dielétricos
!E1 =
!E1t +!E1n
!E2 =
!E2t +!E2n
Eletromagnetismo I - Eletrostática
30/05/17 5x
C. C. na Interface entre meios Dielétricos
Se escolhermos o caminho tal que h→ 0:
!E ⋅d!l
C!∫ = 0
!E ⋅d!l
C1∫ +
!E ⋅d!l
C2∫ +
!E ⋅d!l
C3∫ +
!E ⋅d!l
C4∫ = 0
!E ⋅d!l
C2∫ =
!E ⋅d!l
C4∫ = 0
§ Os campos eletrostáticos são conservativos e satisfazem a equação:
§ Usando a integral de linha ao longo do caminho retangular ‘C’ ilustrado encontramos as C.C. para E tangencial na interface.
§
c d y
h
w
h
a bC1
C2
C3
C4
ε1
ε2
ε1
ε2
Caminho fechado (C)
c d
Eletromagnetismo I - Eletrostática
30/05/17 6
y
x
Caminho fechado
h
w
h
C1
C2
C3
C4 § Esta é a C.C. para E tangencial. Uma forma equivalente de escrever esta relação é:
!E1 −!E2( )× an12 S
= 0
§ Se w for suficiente pequeno, os componentes tangenciais de E ao longo de C1 e C3 são uniformes.
ε1
ε2
ε1
ε2
C. C. na Interface entre meios Dielétricos
!E ⋅d!l
C3∫ +
!E ⋅d!l
C1∫ = 0
§ A integral de linha ao longo do caminho fechado é:
§ Isto é equivalente a escrever:
E1tw−E2
tw = 0 E1t = E2
t ân12
Se a altura do cilindro for tal que h→ 0:
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h
Área S’
z y
x
Eletromagnetismo I - Eletrostática
ψLATERAL = 0
!D ⋅d!S
S"∫ =Q
ψBASE +ψLATERAL +ψTOPO =Q
§ A Lei de Gauss permite encontrar a relação entre os componentes normais de D dos dois lados da interface entre dois meios dielétricos.
§ Considerando uma Superfície Gaussiana cilíndrica onde o topo e a base são paralelos à superfície temos:
Carga dentro do cilindro
§ ε1
ε2
C. C. na Interface entre meios Dielétricos
§ A integral de superfície corresponde ao fluxo nas superfícies lateral, do topo e da base.
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h
Área S’
z y
x
Eletromagnetismo I - Eletrostática
§ Desta forma a Lei de Gauss pode ser escrita:
§ Se S’ for pequena, o componente normal de D ao longo de S’ é uniforme (D sai da integral).
ε1
ε2
C. C. na Interface entre meios Dielétricos
!D ⋅d!S
STOPO"∫ +
!D ⋅d!S
SBASE"∫ =Q
§ A integral de superfície no topo fica:
§ As áreas do topo e da base do cilindro são iguais.
STOPO = SBASE = S '
d!S
STOPO"∫ = S ' an12
§ A C. C. para o componente normal de D na superfície do condutor é.:
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z y
x
Eletromagnetismo I - Eletrostática
§ A carga total no interior do cilindro é nula.
ε1
C. C. na Interface entre meios Dielétricos
§ A integral de superfície na base fica:
d!S
SBASE!∫ = S ' −an12( )
!D2 ⋅ S ' an12( )−
!D1 ⋅ S ' an12( ) = 0
ân12 h
Área S’
z
ε2
!D1 −
!D2( ) ⋅ an12 S
= 0
D1n = D2
n
Ou:
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Eletromagnetismo I - Eletrostática
§ Usando as C.C. obtidas, é possível determinar o ângulo (com relação a normal), de D (e E) com relação à interface.
C. C. na Interface entre meios Dielétricos
!D2!
D2n
!D2
t
ε1
ε2
ε2 > ε1
θ1
θ2
!D1ε1
senθ1 =
!D2
ε2senθ2
!D1 cosθ1 =
!D2 cosθ2D1
n = D2n
E1t = E2
t
§ A componente normal de D é contínua através da interface.
§ A componente tangencial de E é contínua através da interface.
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Eletromagnetismo I - Eletrostática
§ Podemos reescrever esta última equação na forma:
C. C. na Interface entre meios Dielétricos
ε2!D1 senθ1 = ε1
!D2 senθ2
ε2 tanθ1 = ε1 tanθ2
!D2!
D2n
!D2
t
ε1
ε2
θ1
θ2 § Dividindo esta última equação pela
equação para D normal:
§ Esta equação relaciona os ângulos entre D (e E) e a interface, em ambos os lados, com a permissividade dos dois meios.