Upload
herrick-nader
View
112
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Vorlesung Prozessidentifikation
z-Transformation für zeitdiskrete Signale /z-Transformation für zeitdiskrete Signale /Bestimmung des Frequenzganges und Ortskurve Bestimmung des Frequenzganges und Ortskurve
aus der digitalisierten Sprungantwort /aus der digitalisierten Sprungantwort /Identifizierung im AmplitudengangIdentifizierung im Amplitudengang
15. Mai 2002
Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik
Goebenstr. 4066117 Saarbrücken
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
z - Transformation
Themen
• Herleitung der z-Transformation als Beschreibung des Übertragungsverhaltens von zeitdiskreten Signalen
• Definition der z-Transformation• Korrespondenztabellen• Beispiele
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Digitalisierung kontinuierlicher Signale
Abtastung: periodische Abtastung / Impulsfolge im Abstand Abtastzeit / Eingangssequenz für Prozessmodell
Prozessmodell: Algorithmus / Errechnung der AusgangssequenzBerechnung benötigt Bearbeitungszeit Tr Kern des Regelkreises / Prozessrechner
Ausgangssequenz: Durch Modell entsteht modifizierte Signalfolgeyd(kTo) -> ud(kTo)
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Diskrete Systemantwort
g(k)G(s)
)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0
k=m
Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge.
Alternative Lösung durch Einführung und Anwendung der z-Transformation
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kontinuierliche vs. diskrete Systeme
Kontinuierlich diskret
Faltung y(t) = u(t)g(t-)d y(m) = Σu(k)g(m-k)
Übertragungs- Funktion
Differential-gleichung
G(s))(tueU(s) Y(s) G(z)U(z) Y(z)
Y(s) = G(s)U(s) Y(z) = G(z)U(z)
dmy/dtm + am-1dm-1y/dtm-1 + .... + a0y = bndnu/dt + bn-1dn-1u/dtn-1 + .... + b1du/dt + bou
y(k+m) + am-1y(k+m-1) + .... + aoy(k) = bnu(k+n) + bn-1u(k+n-1) + .... + b1u(k+1 + bou(k)
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Lineare zeitinvariante diskrete Systeme
Lineares System Superposition
y1(n) = T[u1(n)]y2(n) = T[u2(n)]
u(n) = a1u1(n) + a2u2(n) y(n) = T[u(n)] = a1T[u1(n)] +
a2T[u2(n)]
Zeitinvariantes System Systemreaktion ist unabhängig vom
Startzeitpunkt der Anregung mit u(k)
y(n) = T[u(n)]y(n-no) = T[u(n-no)]
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Differenzengleichung
y(k+m) + am-1y(k+m-1) + .... + aoy(k) = u(k+n) + bn-1u(k+n-1) + .... + b1u(k+1) + bou(k)
Beispiel:y(k+2) + a1y(k+1) + aoy(k) = bou(k) Differenzgleichung 2. Ordnung
y(k+2) = bou(k) - a1y(k+1) - aoy(k) Zur Bestimmung von y(k+2)werden die Vorgänger y(k+1) und y(k) benötigt.
Die Lösung der Gleichung erfordert Additions-, Multiplikations- undSpeicherglieder (Speicherglied <-> Integrator).
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Graphische Darstellung für Differenzengleichungen
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Berechnungsvorschrift
Beispiel: Differenzgleichung2. Ordnung:
y(k+2) = bou(k) - a1y(k+1) - aoy(k)
Für k = 3 gilt:
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Blockschaltbild Differenzengleichung 2. Ordnung
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel Differenzengleichung 1. Ordnung
y(k+1) = ay(k) + u(k) k = 0,1,2,3,....
Für k=0: y(1) = ay(0) + u(0) y(0) muß bekannt sein.Anfangsbedingung, unabhängig von Eingangssequenz u(k)
Für k=1: y(2) = ay(1) + u(1)= a2y(0) +au(0) +u(1)
Für k=2: y(3) = a3y(0) +a2u(0) + au(1) + u(2)
Allgemein: y(k) = aky(0) + Σu(j)ak-1-j
Die Lösung besteht aus 2 Anteilen: aky(0) Anfangsbedingung / homogener TeilΣu(j)ak-1-j Erzwungener Anteil, abhängig von Eingangssequenz
j=0
j=k-1
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel
System 1. OrdnungAnregung mit u(k) = Δ(k) = 1 für k=0, sonst 0
y(k) = ak-1 für k>= 1 Gewichtsfolge für System 1. Ordnung
Σu(j)ak-1-j Die Summe entspricht der zeitdiskreten Faltung von Eingangssequenz und Stoßantwort g(k) = ak-1.
vgl.
y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0
k=m
j=0
j=k-1
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Einführung z-Transformation:
g(k)G(s)
)(tua)(tueu(k) y(k)Voraussetzung LTI-System
ges: y(k) = f(g(k), u(k)) vgl. y(t) = f(g(t), u(t)) -> Y(s) = G(s) U(s)
u(k) = u*(t) = Σu(kT) δ(t-kT) = u(0) δ(t) + u(T) δ(t-T) + u(2T) δ(t-2T) + ...
Transformation in den Frequenzbereich:U*(s) = u(0) 1 + u(T) e-sT + u(2T)e-s2T + .... + u(kT)e-skT + ..... = Σu(kT)e-skT
Setzt man formal z = esT so gilt: U(z) = Σu(kT)z-k {u(kT)} <-> U(z)
K=0
k=
K=0
k=
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
z-Transformation
Interpretationen der z-Transformation:•Die z-Transformation beschreibt den Zusammenhang zwischen einer
Zahlenfolge {u(kT)} und der Funktion U(z). Die Herkunft der Zahlen-folge ist unerheblich.
•Die z-Transformation kann als Spezialfall der Laplace-Transformation aufgefaßt werden u*(t) <-> U*(s) = U(z) mit z=esT
Zeitkontinuierlich G(s) = Y(s)/U(s)Diskret G(z) = Y(z)/U(z)
y(m) = Σu(k)g(m-k) <-> Y(z) = U(z)G(z)
Y(z) = Σy(m)z-m = Σz-mΣu(k)g(m-k) = Σz-mΣu(k)g(m)z-k =
Σz-mg(m)Σu(k)z-k =G(z)U(z)
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Korrespondenztabelle 1
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Korrespondenztabelle 2
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel
Berechnung der z-Transformierten zur Folge u(k) = {1,1,1,1,1,1.....} mit k= 0,1,2,3,4,5,.....
U(z) = Σu(k)z-k = Σz-k = 1 + 1/z + 1/z2 + 1/z3 + 1/z4 + ....
U(z) = lim Σu(k)z-k = lim{Σz-k} = 1 + 1/z + 1/z2 + 1/z3 + 1/z4 + .... + 1/zn
zU(z) = zΣu(k)z-k = lim{zΣz-k} = z + 1 + 1/z + 1/z2 + 1/z3 + 1/z4 + .... +1/zn-1
U(z)(z-1) = lim(z-z-n) = z ->
U(z) = z/(z-1)
K=0
k=
K=0
k=n
K=0
k=n
K=0
k=n
K=0
k=
n-> n->
n->
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel / Übung
Gegeben ist u(k) = {1,1,1,1,1....} für k = 0, 1, 2, 3, 4, ....
u(k) <-> U(z) = z/(z-1)
Rechtsverschiebung um eine Stelle: u(k-1) <-> z-1 U(z) = 1/(z-1)Rechtsverschiebung um zwei Stellen: u(k-2) <-> z-2 U(z) = 1/[z(z-1)]
Linksverschiebung um eine Stelle: u(k+1) <-> zU(z) – zu(0) = z2/(z-1) – z = z/(z-1)
Linksverschiebung um zwei Stellen:u(k+2) <-> z2U(z) – z2u(0) –zu(1) = z2/(z-1) – z2 - z = z/(z-1)
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel / Übung
Differenzengleichung: y(k+2) = y(k+1)+y(k)z-Transformierte: z2Y(z) – z2y(0) - zy(1) = zY(z) - zy(0) + Y(z)Anfangsbedingungen: y(0) = 0; y(1) = 1
Y(z) = z/(z2-z-1) Polstellen bei z1,2 = 0.5 (1±5)
Y(z)/z = 1/(z2-z-1) = A/(z-z1)+ B/(z-z2) = Q(z)
A = 1/5 und B = -1/5
Y(z) = A z/(z-z1) + B z/(z-z2)
y(k) = A{1, z1, z12, z1
3, ...} + B{1, z2, z22, z2
3, ...}
y(k) = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .....}
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Übertragungsfunktion
Themen:
•Bestimmung des Frequenzganges aus der diskreten Sprungantworteines LTI-Systems
•Berechungsgrundlagen•Beispiele
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Identifikation für diskrete Systemantwort
g(k)G(s)
)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0
k=m
Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge.
Neue Problemstellung/Ausgangssituation:• Digitalisierte Sprungantwort (äquidistante Zeitabstände)• Quantisierte Funktionswerte• LTI-System• Interpolation der Werte für den Zeitbereich
außerhalb der Abtastung durch Geradenstücke
Gesucht: • Frequenzgang / Ortskurve / Real- und Imaginärteil
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Lösungsansatz / Interpolation
~
~
~
Interpolation durch Geradenstücke:
y(t) = y0 + (y1-y0)/(t1-t0) t σ(t) für 0<= t < t1 1. Intervall
y(t) = y1 + (y2-y1)/(t2-t1) (t-t1) σ(t-t1) für t1<= t < t2 2. Intervall
y(t) = y2 + (y3-y2)/(t3-t2) (t-t2) σ(t-t2) für t2<= t < t3 3. Intervall
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.23 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
n-tes Intervall:y(t) = yn-1 + (yn-yn-1)/(tn-tn-1) (t-tn-1) σ(t-tn-1)für tn-1<= t < tn
Approximation der Sprungantwort (1. und 2. Intervall):
y(t) = y0 + (y1-y0)/(t1-t0) t σ(t)
y(t1) = y0 + (y1-y0)/(t1) t1 = y1
Für t1 t< t2
Kompensation 1. Approximation
y(t) = y0 + (y1-y0)/T t σ(t) - (y1-y0)/T (t-t1) σ(t-t1) + (y2-y1)/T (t-t1) σ(t-t1)
Verallgemeinerung Interpolation
~
y0
y1
y2
t1t0 t2
~~
~
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Frequenzgang und Ortskurve
Damit ergibt sich:
G(jω) = Re(G(jω)) + j Im(G(jω))
Beispiel:• Sprungantwort • Zeittakt / Abtastung 20 s / Abtastfrequenz 1/T = 0,05 s-1
• Systemverhalten zeigt PTx-Verhalten• Ortskurve: Darstellung Imaginärteil über Realteil• PT1-Glied: Ortskurve Halbkreis in IV. Quadranten
~ ~ ~
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Verallgemeinerung Interpolation
Damit ergibt sich als Approximation für das 2. Intervall:
y(t) = y0 + (y1-y0)/T t σ(t) + [y2-2y1+y0]/T (t-t1) σ(t-t1)
Formelmäßige Beschreibung der Approximation für den kompletten
Zeitbereich:
y(t) = y0 + (y1-y0)/T t σ(t) + [y2-2y1+y0]/T (t-t1) σ(t-t1) + .....
[(yk+1-yk)/(tk+1-tk) – (yk-yk-1)/(tk-tk-1)](t-tk) σ(t-tk) + ....
[(yn+1-yn)/(tn+1-tn) – (yn-yn-1)/(tn-tn-1)](t-tn) σ(t-tn)
~
~
Δyo/Δt (y2-2y1-y0)/Δt = Δy1/Δt
(yk+1-2yk-yk-1)/Δt = Δyk/Δt
(yn+1-2yn-yn-1)/Δt = Δyn/Δt
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Verallgemeinerung Interpolation
Damit ergibt sich folgende vereinfachte Schreibweise:
y(t) = y0 + Σ Δyk/Δt (t-tk) σ(t-tk)
mit Δy0 = (y1-y0)/T; Δy1 = (y2-2y1+y0)/T; Δyk = (yk+1-2yk+yk-1)/T
Zwischenresultat:• Approximation der diskreten Sprungantwort (Systemantwort)
durch eine kontinuierliche Funktion in Form von Geradenstücken• Erhöhung der Genauigkeit durch Reduzierung T und
Quantisierung• Basis für die Anwendung der Laplace-Transformation
~k=0
N
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Anwendung der Laplace-Trans-formation für Approximation
y(t) = y0 + Σ Δyk/Δt (t-tk) σ(t-tk)
Transformation:
Y(s) = y0/s + Σ Δyk/Δt 1/s2 e-skΔt
Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion G(s) bei Anregung
mit einer Sprungfunktion U(s) = u0/s:
G(s) = Y(s)/U(s) = y0/u0 + 1/u0Σ Δyk/Δt 1/s e-skΔt
~k=0
N
~
~k=0
N~
k=0
N
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.28 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Ermittlung des Frequenzganges / Ortskurve
Durch Ersetzen von s -> jω erhält man aus der Übertragungsfunktion den Frequenzgang und Ortskurve:
G(jω) = Y(jω)/U(jω) = 1/u0[ y0 + Σ Δyk/Δt 1/jω e-jωkΔt]
= 1/u0[ y0 –j/(ωΔt) Σ Δyk e-jωkΔt]
= 1/u0[ y0 –j/(ωΔt) Σ Δyk {cos(ωkΔt) - j sin(ωkΔt)}
Ermittlung des Real- und Imaginärteils:
Re(G(jω)) = 1/u0[ y0 +j2/(ωΔt) Σ {Δyk sin(ωkΔt)}]
= 1/u0[ y0 - 1/(ωΔt) Σ {Δyk sin(ωkΔt)}]
Im(G(jω)) = -1/u0[ 1/(ωΔt) Σ {Δyk cos(ωkΔt)}]
k=0
Nk=0
N
k=0
N
~
~
~
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.29 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel Sprungantwort
Beispiel Sprungantwort
0,00
0,07
0,25
0,47
0,65
0,78
0,85
0,900,94
0,960,98 0,99 1,00 1,00 1,00
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Zeit (s)
Reihe1
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.30 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Ortskurve
Berechnete Ortskurve
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Realteil G(jw)
Ima
gin
ärt
eil
G(j
w)
Frequenz
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.31 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Ortskurve bis ω = 0,08 s-1
Berechnete Ortskurve
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Realteil G(jw)
Ima
gin
ärt
eil
G(j
w)
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.32 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Weitere Beispiele Totzeitglied ideal / real
Beispiel Sprungantwort
0,00 0,00 0,00
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 29,4 58,8 88,2 117,6 147
Zeit (s)
Reihe1
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.33 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Ortskurve reales Totzeitglied
Berechnete Ortskurve
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Realteil G(jw)
Ima
gin
ärt
eil
G(j
w)
Frequenz
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.34 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Weitere Beispiele DT1-Glied
Beispiel Sprungantwort
1,00
0,37
0,14
0,050,02 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 29,4 58,8 88,2 117,6 147 176,4 205,8 235,2 264,6 294
Zeit (s)
Reihe1
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.35 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Ortskurve Sprungfunktion mit negativer Flanke (DT1-Glied)
berechnete Ortskurve
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Realteil G(jw)
Ima
gin
ärt
eil
G(j
w)
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.36 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Weiteres Beispiel Allpaß-Glied
Beispiel Sprungantwort
-1,00
0,26
0,73
0,900,96 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Zeit (s)
Reihe1
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.37 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Ortskurve Allpaß-Glied
berechnete Ortskurve
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Realteil G(jw)
Ima
gin
ärt
eil
G(j
w)
Frequenz
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.38 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Thema Identifizierung im Amplitudengang
Amplituden- und Frequenzgang:• Ausgangssituation G(jω) in Form der Ortskurve (Real- und
Imaginärteil)• Bestimmung des Amplitudenganges durch Betragsbildung
von G(jω)Bestimmung des Phasenganges durch Phasenbildung φ(jω) aus arctan-Bildung aus Imaginär- und Realteil
G(jω) = Re(G(jω)) + j Im(G(jω)) ~ ~ ~
Amplitudengang: A(ω) [dB] = 20 log|G(jω)|Phasengang: φ(ω) = arctan{Im[G(jω)]/[ReG(jω)] }
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.39 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Identifizierung aus dem Amplitudengang
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.40 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Bewertung
Identifizierung nur über Amplitudengang:• Keine Berücksichtigung des Phasenganges• Annahmen nur minimalphasige Systeme• Keine Berücksichtigung z.B. von Totzeiteinflüssen (Betrag =
1)Kein Beitrag zum Amplitudengang
Alternative Verfahren sind bekannt (nicht Bestandteil dieserVorlesungsreihe).