Prof. Ettore Pennestrì · 2019-11-20 · Testi consigliati per approfondimenti Lanczos, C, The Variational Principles of Mechanics, Dover Publications Inc. Kirk, D.E., Optimal Control

Le equazioni di Lagrange

Prof. Ettore Pennestrì

Dipartimento di Ingegneria dell’ImpresaUniversità Roma Tor Vergata

E.Pennestrì Le equazioni di Lagrange

Cenni di calcolo variazionale


Testi consigliati per approfondimenti

Lanczos, C, The Variational Principles of Mechanics,Dover Publications Inc.Kirk, D.E., Optimal Control Theory: An Introduction,Prentice-Hall


L’equazione di Eulero-Lagrange

Determinare la funzione y(x), soggetta alle condizioni

y(x1) = y1 (1a)y(x2) = y2 , (1b)

in maniera tale che l’integrale

I =∫ x2

x1

f (x, y, y′)dx (2)

assuma un valore estremo ( massimo o minimo).


Possiamo interpretare il problema come la ricerca della curvay(x) che unisce i punti A e B di coordinate (x1, y1) e (x2, y2).


Ipotizziamo inoltre che la curva incognita y(x) sia due voltedifferenziabile. Al fine di risolvere il problema, introduciamo lafamiglia di curve

Y(x) = y(x) + εη(x) (3)

con η(x) funzione arbitrariamente differenziabile per la quale

η(x1) = η(x2) = 0 (4)

e ε parametro incognito che caratterizza ciascun elementodella famiglia di curve.


Sostituendo inI =

∫ x2

x1

f (x, y, y′)dx

Y(x) = y(x) + εη(x) al posto di y(x) si ha

I(ε) =∫ x2

x1

f (x,Y(x),Y ′(x))dx (5)

conY ′(x) = y′(x) + εη′(x) (6)


Poiché y(x) costituisce la soluzione del problema, osserviamoche l’integrale I(ε) dovrà assumere un valore estremo perε = 0, ovvero

I′(0) = 0 (7)


Per valutare I′(ε), si richiama la formula per la derivata di unintegrale I(ε) =

∫ x2(ε)x1(ε)

f (x, ε)dx

dIdε

= f (x2, ε)dx2

dε− f (x1, ε)

dx1

dε+

∫ x2(ε)

x1(ε)

∂f∂ε

dx

Poiché x1 ed x2 non dipendono da ε, si ha:

I′(0) =dIdε

∣∣∣∣ε=0

=

∫ x2

x1

(∂f∂Y

∂Y∂ε

+∂f∂Y ′

∂Y ′

∂ε

)dx

=

∫ x2

x1

(∂f∂Y

η +∂f∂Y ′

η′)

dx = 0 (8)


Sappiamo che imporre ε = 0 equivale a sostituire Y con y,quindi la (8) diventa

I′(0) =∫ x2

x1

(∂f∂yη +

∂f∂y′

η′)

dx = 0 . (9)

Integrando per parti il secondo termine all’interno dell’integrale,tenute presenti le uguaglianze η(x1) = η(x2) = 0, segue:

I′(0) =∂f∂y′

η

∣∣∣∣x2

x1

+

∫ x2

x1

[∂f∂y− d

dx

(∂f∂y′

)]ηdx

=

∫ x2

x1

[∂f∂y− d

dx

(∂f∂y′

)]ηdx = 0 (10)


Equazione di Euler-Lagrange

La relazione ottenuta deve valere per tutte le funzioni η(x), dallaprecedente segue l’equazione differenziale di Euler-Lagrange

∂f∂y− d

dx

(∂f∂y′

)= 0 (11)

In definitiva, la soluzione y(x) della (11) costituisce la soluzionedel problema di stazionarietà dell’integrale

I =∫ x2

x1

f (x, y, y′)dx


Tenuto conto che

ddx

(·) = ∂

∂x(·) + ∂

∂y(·)dy

dx+

∂

∂y′(·)d2y

dx2

la∂f∂y− d

dx

(∂f∂y′

)= 0

può anche essere scritta nella forma

∂f∂y− ∂2f∂x∂y′

− ∂2f∂y∂y′

dydx− ∂2f∂y′2

d2ydx2 = 0 (12)


Caso degenere equazione di Euler-Lagrange: f (x, y′)

Se la funzione integranda f è indipendente da y, sarà

∂f∂y

= 0 (13)

e l’equazione di Euler-Lagrange si semplifica nella seguente

ddx

(∂f∂y′

)= 0 (14)

ovvero∂f∂y′

= C1 (15)

con C1 costante arbitraria.


Caso degenere equazione di Euler-Lagrange: f (y, y′)

Se f non dipende esplicitamente da x, la

∂f∂y− ∂2f∂x∂y′

− ∂2f∂y∂y′


d2ydx2 = 0

diventa∂f∂y− ∂2f∂y∂y′


d2ydx2 = 0 (16)

Si può dimostrare che la della precedente può essere espressanella forma (v. passaggi slide successiva )

ddx

(y′∂f∂y′− f)

= 0 (17)

per cui

y′∂f∂y′− f = C (18)


Passaggi algebrici

Vogliamo dimostrare che l’integrale della (16) è la (18).

ddx

(y′∂f∂y′− f)

=∂

∂y

(y′∂f∂y′− f)

dydx

+∂

∂y′

(y′∂f∂y′− f)

dy′

dx= 0

(y′∂2f∂y∂y′

− ∂f∂y

)y′ +

(��∂f

∂y′+∂2f∂y′2

y′ −��∂f

∂y′

)d2ydx2 = 0

ovvero

y′∂2f∂y∂y′

− ∂f∂y

+∂2f∂y′2

d2ydx2 = 0

espressione che coincide con la equazione (16).


Caso degenere equazione di Euler-Lagrange: f (y′)

Se f è indipendente sia da y sia x, l’equazione diEuler-Lagrange si semplifica ulteriormente a

y′ = C2 (19)

con C2 costante funzione di C1.Nel caso in questione y′ sarà una funzione lineare di x.


Il problema della brachistocrona

Nel giugno del 1696 Johann Bernoulli formulò il seguenteproblema:

Dati due punti A e B posti su un piano verticale ed unaparticella M soggetta all’azione della gravità. Si de-termini la traiettoria AMB che renda minimo il temponecessario a percorrere la traiettoria medesima.

Brachistos = Il più cortoChronos = tempo


Formulazione matematica problema brachistocrona

La velocità della particella lungo la curva vale v = ds/dt, per cuiil tempo impiegato nella discesa vale (ds =

√dx2 + dy2)

I =∫ x2

x1

dsv

=

∫ x2

x1

√1 + y′2dx

v(20)

cony′ =

dydx


In assenza di attrito,

12

mv2 − 12

mv21 = mg(y− y1) (21)

per cui, assunto y1 = v1 = 0:

v =√

2gy (22)

il tempo di discesa diventa

I =1√2g

∫ x2

x1

√1 + y′2√

ydx (23)

Dobbiamo determinare la funzione y(x) che renda minimo I.


Nella nostra nomenclatura

f (y, y′) =

√1 + y′2√

y(24)

L’applicazione dell’equazione di Euler-Lagrange nella forma(18)

y′∂f∂y′− f = C1 (25)

forniscey′2√

y (1 + y′2)−√

1 + y′2√

y= C1 (26)

ovveroy′2 −

(1 + y′2

)√y (1 + y′2)

= C1


In definitivay(1 + y′2

)= 2c (27)

con c costante.


Se poniamo y′ =dydx

= tanψ dalla

y(1 + y′2

)= 2c

otteniamoy = c (1 + cos 2ψ) (28)

Inoltre, essendo dx = dy cotψ si ha

x = a− c (2ψ + sin 2ψ) (29)

con a costante


Per ψ =π

2, x = y = 0, per cui a = cπ.

La curva che rende minimo il tempo è dunque una cicloideavente la seguente equazione parametrica

x = c [π − (2ψ + sin 2ψ)] (30)y = c (1 + cos 2ψ) (31)


Energia potenziale

Uno dei più importanti concetti in statica è quello dell’energiapotenziale.Un corpo soggetto ad un campo di forze possiede un’energia diposizione definita quale lavoro conseguente allo spostamentoda una configurazione ad un’altra.Se il campo è conservativo il lavoro compiuto è indipendentedalla traiettoria e la funzione lavoro è nota quale energiapotenziale.


La funzione energia potenziale V possiede le seguentiproprietà:

le forze del campo si ottengono attraverso la derivataparziale di V rispetto allo spostamento;V è stazionaria se il sistema è in equilibrio;V assume un minimo se l’equilibrio è stabile.


Il problema della catenaria

Si consideri un filo perfettamente flessibile e massauniformemente distribuita sospeso tra due punti A e B.

Si voglia calcolare la forma assunta da tale filo sotto l’azionedella gravità.


Siaρ è la densità lineare;y l’altezza dell’arco elementare di lunghezza ds;g l’accelerazione di gravità

l’energia potenziale del filo compreso tra gli estremi A e B vale

I = V =

∫ B

Aρgyds (32)

Poiché ds2 = dx2 + dy2, omettendo il fattore ρg, avremo

I =∫ B

Ay√

1 + y′2dx (33)


Osserviamo che la funzione

f (y, y′) = y√

1 + y′2 (34)

non dipende da x in maniera esplicita.Pertanto la condizione di stazionarietà dell’integrale daapplicare è quella nella forma

y′∂f∂y′− f = C (35)

ovvero

y√

1 + y′2 − y′yy′√

1 + y′2= C

y′2 =y2

C2 − 1 (36)


Catenaria

dy√y2 − C2

=dxC

(37)

cosh−1 yC

=xC

+ D (38)

La soluzione del precedente integrale risulta essere

y = C cosh( x

C+ D

)(39)

Le costanti C e D si determinano imponendo le coordinate deipunti A ≡ (−h, k) e B ≡ (h, k), con h e k quantità positive.

Avremo D = 0, C coshhC

= k


Generalizzazione delle equazioni di Euler-Lagrange alcaso pluridimensionale

Consideriamo la minimizzazione dell’integrale del tipo

I =∫ t2

t1L (q1, q2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn; t) dt (40)

in cui q1, q2, . . . , qn sono quantità indipendenti (posizioni) e

qi =dqi

dti = 1, 2, . . . , n (41)

le rispettive derivate temporali (velocità).


Al contorno varranno le uguaglianze

δqk(t)|t=t1 = 0 (42)

δqk(t)|t=t2 = 0 (43)

Il problema consiste nel calcolo delle variabili q1, q2, . . . , qn taliche l’integrale (40) rimanga stazionario

δI = 0 (44)


Procediamo variando solo qk e mantenendo costanti tutte lealtre variabili q.Sia δkI la variazione di I per effetto della sola variazione δqk.L’equazione di Euler-Lagrange

∂L∂qk− d

dt∂L∂qk

= 0 t1 ≤ t ≤ t2 (45)

garantisceδkI = 0


Se si procede variando singolarmente tutte le variabili,otterremo

δI = δ1I + δ2I + · · ·+ δnI (46)

Possiamo affermare che quando le condizioni

∂L∂qk− d

dt∂L∂qk

= 0 (k = 1, 2, . . . , n) (47)

sono simultaneamente soddisfatte, stanti le (46), sarà ancheδI = 0 necessariamente verificata.


Le equazioni di Lagrange da PLV

“I metodi da me presentati non richiedono costruzionio ragionamenti di carattere geometrico, ma solo opera-zioni di carattere algebrico che si succedono secondouno schema ben definito. Coloro i quali amano l’analisisaranno lieti di vedere la meccanica quale branca del-l’analisi medesima e me ne saranno grati per averneesteso i confini".


Per un sistema costituito da N masse elementari il principio did’Alembert-Lagrange è matematicamente espresso dallarelazione

δW =

N∑k=1

(~Fe

k − mk~ak

)· δ~rk = 0 . (48)


Se tale sistema ha n gradi di libertà, scelto l’insieme dicoordinate generalizzate (q1, q2, . . . , qn), si potrà introdurre latrasformazione

~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t) (49)

fra le componenti dei vettori posizione ~r e le suddettecoordinate generalizzate.


Velocità delle masse

d~rk (q1, q2, . . . , qn)

dt=

n∑j=1

∂~rk

∂qj

dqj

dt+∂~rk

∂t, (50)

Spostamenti virtuali delle masse

δ~rk (q1, q2, . . . , qn) =n∑

j=1

∂~rk

∂qjδqj . (51)


Pertanto, stante quest’ultima relazione, il primo termine della

δW =

N∑k=1

(~Fe

k − mk~ak

)· δ~rk = 0

che consiste nel lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne,diventa

N∑k=1

~Fek · δ~rk =

N∑k=1

n∑j=1

~Fek ·∂~rk

∂qjδqj (52)


Forze generalizzate

Indichiamo con

Qj =

N∑k=1

~Fek∂~rk

∂qj=δWδqj

(53)

la forza generalizzata nella direzione corrispondente al motodella jma coordinata generalizzata


Lavoro virtuale compiuto dalle forze di inerzia:

N∑k=1

mkd2~rk

dt2 · δ~rk =

N∑k=1

n∑j=1

mkd2~rk

dt2 ·∂~rk

∂qjδqj . (54)


Ai fini dei successivi sviluppi è necessario tener presentealcune relazioni:

N∑k=1

mkd2~rk

dt2 ·∂~rk

∂qj=

N∑k=1

[ddt

(mk

d~rk

dt· ∂~rk

∂qj

)− mk

d~rk

dt· d

dt

(∂~rk

∂qj

)]


ddt

(∂~rk

∂qj

)=

n∑i=1

∂2~rk

∂qj∂qiqi +

∂2~rk

∂qj∂t=

∂

∂qj

(d~rk

dt

),


∂

∂qj

d~rk

dt=∂~rk

∂qj,


N∑k=1

mkd2~rk

dt2 ·∂~rk

∂qj=

N∑k=1

[ddt

(mk

d~rk

dt· ∂~rk

∂qj

)− mk

d~rk

dt· d

dt

(∂~rk

∂qj

)]


N∑k=1

mkd2~rk

dt2 ·∂~rk

∂qj=

N∑k=1

[ddt

(mk

d~rk

dt· ∂~rk

∂qj

)− mk

d~rk

dt· d

dt

(∂~rk

∂qj

)]

N∑k=1

mkd2~rk

dt2 ·δ~rk =N∑

k=1

n∑j=1

[ddt

(mk

d~rk

dt· ∂∂qj

d~rk

dt

)− mk

d~rk

dt· ∂∂qj

d~rk

dt

]δqj


N∑k=1

mkd2~rk

dt2 ·∂~rk

∂qj=

N∑k=1

[ddt

(mk

d~rk

dt· ∂~rk

∂qj

)− mk

d~rk

dt· d

dt

(∂~rk

∂qj

)]

N∑k=1

mkd2~rk

dt2 ·δ~rk =N∑

k=1

n∑j=1

[ddt

(mk

d~rk

dt· ∂∂qj

d~rk

dt

)− mk

d~rk

dt· ∂∂qj

d~rk

dt

]δqj


N∑k=1

mkd2~rk

dt2 · δ~rk =

N∑k=1

n∑j=1

[ddt

(mk

d~rk

dt· ∂∂qj

d~rk

dt

)− mk

d~rk

dt· ∂∂qj

d~rk

dt

]δqj


N∑k=1

mkd2~rk

dt2 · δ~rk =

n∑j=1

N∑k=1

[ddt

(mk

d~rk

dt· ∂∂qj

d~rk

dt

)− mk

d~rk

dt· ∂∂qj

d~rk

dt

]δqj =

n∑j=1

[ddt

∂

∂qj

(N∑

k=1

12

mkd~rk

dt· d~rk

dt

)− ∂

∂qj

(N∑

k=1

12

mkd~rk

dt· d~rk

dt

)]δqj


Introdotto il termine

T =

N∑k=1

12

mkd~rk

dt· d~rk

dt

che rappresenta l’energia cinetica delle masse del sistemaavremo


Equazioni di Lagrange

ddt

(∂T∂qj

)− ∂T∂qj

= Qj . (j = 1, . . . , n) (55)

con

Qj =

N∑k=1

~Fek∂~rk

∂qj=δWδqj

(56)


Casi particolari equazioni di Lagrange

Distinguendo tra forze esterne conservative ~Fc e nonconservative ~Fnc agenti sulla massa kma, potremo scrivere

~Fek = ~Fc

k + ~Fnck . (57)


L’espressione della generica forza conservativa puòdirettamente dedursi differenziando la funzione energiapotenziale V associata alla forza che si considera, per cui sarà

N∑k=1

~Fckδ~rk =

n∑j=1

−∂V∂qj

δqj , (58)


Le forze generalizzate che discendono dalle forze nonconservative si determineranno attraverso la relazione

Qncj =

N∑k=1

~Fnck ·

∂~rk

∂qj. (59)


Pertanto, le equazioni di Lagrange diventeranno

ddt

(∂T∂qj

)− ∂T∂qj

= −∂V∂qj

+ Qncj (j = 1, . . . , n) .

Introdotta la funzione Lagrangiana

L = T − V (60)

essendo,∂T∂qj

=∂L∂qj

,

le equazioni di Lagrange potranno riscriversi nella forma

ddt

(∂L∂qj

)− ∂L∂qj

= Qncj (j = 1, . . . , n) .


Pertanto, le equazioni di Lagrange diventeranno

ddt

(∂T∂qj

)− ∂T∂qj

= −∂V∂qj

+ Qncj (j = 1, . . . , n) .

Introdotta la funzione Lagrangiana

L = T − V (60)

essendo,∂T∂qj

=∂L∂qj

,

le equazioni di Lagrange potranno riscriversi nella forma

ddt

(∂L∂qj

)− ∂L∂qj

= Qncj (j = 1, . . . , n) .


Equazioni di Lagrange per sistemi conservativi

ddt

(∂L∂qj

)− ∂L∂qj

= 0 (j = 1, . . . , n) .


Applicazioni



1 Determinazione della funzione Lagrangiana

L =12(m1q2

1 + m2q22)− 1

2k1q2

1 −12

k2 (q2 − q1)2 ,

2 Identificazione delle forze esterne agenti sulle masse

f1 = −c1q1 ,

f2 = −c2 (q2 − q1) ,

3 Calcolo del lavoro virtuale delle forze esterne

δW = f1δq1 − f2δq1 + f2δq2 ,

= −c1q1δq1 + c2 (q2 − q1) δq1 − c2 (q2 − q1) δq2 ,



L =12(m1q2

1 + m2q22)− 1

2k1q2

1 −12

k2 (q2 − q1)2 ,


f1 = −c1q1 ,

f2 = −c2 (q2 − q1) ,


δW = f1δq1 − f2δq1 + f2δq2 ,

= −c1q1δq1 + c2 (q2 − q1) δq1 − c2 (q2 − q1) δq2 ,



L =12(m1q2

1 + m2q22)− 1

2k1q2

1 −12

k2 (q2 − q1)2 ,


f1 = −c1q1 ,

f2 = −c2 (q2 − q1) ,


δW = f1δq1 − f2δq1 + f2δq2 ,

= −c1q1δq1 + c2 (q2 − q1) δq1 − c2 (q2 − q1) δq2 ,


L’applicazione delle equazioni di Lagrange

ddt∂L

∂qi− ∂L

∂qi=δWδqi

, (i = 1, 2)

conduce al risultato richiesto

m1q1 + k1q1 − k2 (q2 − q1) = −c1q1 + c2 (q2 − q1) ,

m2q2 + k2 (q2 − q1) = −c2 (q2 − q1) .



1 L’energia cinetica T è espressa da

T =12(m1 + m2)L2

1ϑ21+

12

m2L22ϑ

22+m2L1L2ϑ1ϑ2 cos (ϑ1 − ϑ2) ;

2 Lavoro virtuale compiuto dalle forze peso vale

δW = − (m1 + m2) gL1 sinϑ1δϑ1 − m2gL2 sinϑ2δϑ2;


1 L’energia cinetica T è espressa da

T =12(m1 + m2)L2

1ϑ21+

12

m2L22ϑ

22+m2L1L2ϑ1ϑ2 cos (ϑ1 − ϑ2) ;

2 Lavoro virtuale compiuto dalle forze peso vale

δW = − (m1 + m2) gL1 sinϑ1δϑ1 − m2gL2 sinϑ2δϑ2;


(m1 + m2)L21ϑ1 + m2L1L2 cos (ϑ1 − ϑ2) ϑ2

+ m2L1L2ϑ22 sin (ϑ1 − ϑ2) + (m1 + m2) gL1 sinϑ1 = 0 , (61a)

m2L1L2 cos (ϑ1 − ϑ2) ϑ1 + m2L22ϑ2

− m2L1L2ϑ21 sin (ϑ1 − ϑ2) + m2gL2 sinϑ2 = 0 . (61b)



L =m2{vP}T {vP} −

k2ϑ2

=m2

[L2

1ω2 + L2

2

(ω + ϑ

)2+ 2L1L2ω

(ω + ϑ

)cosϑ

]− k

2ϑ2 ,

mL22ϑ+ mL1L2ω

2 sinϑ+ kϑ = 0 . (62)


L =m2{vP}T {vP} −

k2ϑ2

=m2

[L2

1ω2 + L2

2

(ω + ϑ

)2+ 2L1L2ω

(ω + ϑ

)cosϑ

]− k

2ϑ2 ,

mL22ϑ+ mL1L2ω

2 sinϑ+ kϑ = 0 . (62)


k

x

m

M

l

P

A

ϑ

F(t)

Mg


L’energia cinetica T ed il lavoro virtuale δW delle forze esternevalgono, rispettivamente:

T =12

mx2 +12

M {vP}T {vP}

=12

mx2 +12

Mx2 + Mlxϑ cosϑ+12

Ml2ϑ2 ,

δW = MgδyP + (F(t)− kx) δx ,

oveδyP = −l sinϑδϑ .


L’applicazione delle equazioni

ddt∂T∂x− ∂T∂x

= Qx ,

ddt∂T

∂ϑ− ∂T∂ϑ

= Qϑ ,

con

Qx =δWδx

,

Qϑ =δWδϑ

,

fornisce:


(m + M) x + Ml(ϑ cosϑ− ϑ2 sinϑ

)= P− kx , (63a)

x cosϑ+ lϑ = −g sinϑ (63b)


Il Principio di Hamilton


In precedenza, abbiamo stabilito che il metodo che consente didedurre la funzione y per la quale

δI = δ

∫ x2

x1

f(x, y, y′

)dx = 0

consiste nel risolvere l’equazione differenziale diEuler-Lagrange:

ddx

(∂f∂y′

)− ∂f∂x

= 0


Confrontiamoddx

(∂f∂y′

)− ∂f∂x

= 0 (64)

con l’equazione di Lagrange per un sistema conservativo ad 1gdl

ddt∂L∂y− ∂L∂y

= 0 (65)

Se effettuiamo le sostituzioni x→ t ed f → L avremol’equazione che descrive il principio di Hamilton:

δ

∫ t2

t1L(t, y, y)dt = 0 (66)


Estremi di integrali in presenza di vincoliIntroduzione teorica


Calcolo variazionale in presenza di vincoli

Formulazione del problema

Determinare la funzione y(x) in maniera tale che:l’integrale I =

∫ x2x1

f (x, y, y′)dx attinga un valore estremo

assuma un valore assegnato l’integrale J =∫ x2

x1g(x, y, y′)dx.


Soluzione con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Introduciamo una funzione a due parametri

Y(x) = y(x) + ε1η1(x) + ε2η2(x) (67)

con

η1(x1) = η1(x2) = 0

η2(x1) = η2(x2) = 0

In tal modo

Y(x1) = y(x1) = y1

Y(x2) = y(x2) = y2


Sostituendo Y(x) al posto di y(x) i precedenti integralidiventano, rispettivamente:

I (ε1, ε2) =

∫ x2

x1

f (x,Y,Y ′)dx (68)

J (ε1, ε2) =

∫ x2

x1

g(x,Y,Y ′)dx (69)


Il problema si riduce al calcolo dei parametri ε1 e ε2 tali che:

Valore stazionario I(ε1, ε2)

J(ε1, ε2) = Valore prescritto

Avvalendosi del metodo dei moltiplicatori di Lagrange dovremoridefinire la funzione obiettivo da ottimizzare:

I∗ = I(ε1, ε2) + λJ(ε1, ε2) =

∫ x2

x1

f ∗(x,Y,Y ′)dx (70)

conf ∗ = f + λg (71)


Il problema si riduce al calcolo dei parametri ε1 e ε2 tali che:

Valore stazionario I(ε1, ε2)

J(ε1, ε2) = Valore prescritto

Avvalendosi del metodo dei moltiplicatori di Lagrange dovremoridefinire la funzione obiettivo da ottimizzare:

I∗ = I(ε1, ε2) + λJ(ε1, ε2) =

∫ x2

x1

f ∗(x,Y,Y ′)dx (70)

conf ∗ = f + λg (71)


Equazione Euler-Lagrange in presenza di vincoli

Applicando le condizioni

∂I∗

∂ε1=∂I∗

∂ε2= 0

perverremo all’equazione di Euler-Lagrange per il caso diottimizzazione vincolata:

∂f ∗

∂y− d

dx

(∂f ∗

∂y′

)= 0 (72)


Il problema di Didone

Determinare l’equazione parametrica della curva chiusa x(t),y(t) tale che:

sia massima l’area compresa I

I =12

∫ t2

t1(xy− yx) dt

la lunghezza totale della curva sia

J =

∫ t2

t1

√x2 + y2dt


Soluzione problema di Didone

1 Costruiamo il funzionale esteso:

f ∗ =12(xy− yx) + λ

√x2 + y2 (73)

2 Applichiamo le equazioni di Euler-Lagrange ad f ∗

12

y− ddt

(−1

2y +

λx√x2 + y2

)= 0

−12

y− ddt

(−1

2x +

λy√x2 + y2

)= 0


Soluzione problema di Didone (cont.)

Per integrazione

y− λx√x2 + y2

= C1

x +λy√

x2 + y2= C2

ovvero(x− C2)

2 + (y− C1)2 = λ2


Gradi di libertà

Le parti di sistemi meccanici sono spesso soggette a restrizioninel loro movimento per cui le loro posizioni e spostamentidovranno soddisfare un certo numero di condizioni.In linea di massima possiamo distinguere due tipologie dicondizioni:

vincoli geometrici: quelli imposti sulle coordinate cheindividuano le posizioni dei corpi;vincoli cinematici: quelli imposti sulle velocità dei corpi.


Appare evidente che per derivazione un vincolo geometricopuò essere trasformato in vincolo cinematico, ma l’operazioneinversa NON sempre è possibile.


P

X

Z

Yψ

θ

φ

Π

R

Coordinate: x, y, φ, θ, ψ.Condizioni richieste dal contatto di puro rotolamento:

x = Rψ cosφ y = Rψ sinφ


È importante osservare che, nonostante le due condizionirichieste dal puro rotolamento, le 5 coordinate possonoassumere qualsivoglia valore.

Lagrange non fa alcuna menzione di vincoli non in grado diinfluenzare le configurazioni che un sistema può assumere.


È importante osservare che, nonostante le due condizionirichieste dal puro rotolamento, le 5 coordinate possonoassumere qualsivoglia valore.Lagrange non fa alcuna menzione di vincoli non in grado diinfluenzare le configurazioni che un sistema può assumere.


Vincoli nonolonomi

Diremo integrabili quei vincoli cinematici se il corrispondentesistema di equazioni differenziali risulta integrabile.

I vincoli cinematici non integrabili NON possono essere ridotti avincoli geometrici.Un sistema meccanico soggetto a vincoli cinematici nonintegrabili è dello non olonomo.


Vincoli nonolonomi

Diremo integrabili quei vincoli cinematici se il corrispondentesistema di equazioni differenziali risulta integrabile.I vincoli cinematici non integrabili NON possono essere ridotti avincoli geometrici.

Un sistema meccanico soggetto a vincoli cinematici nonintegrabili è dello non olonomo.


Vincoli nonolonomi

Diremo integrabili quei vincoli cinematici se il corrispondentesistema di equazioni differenziali risulta integrabile.I vincoli cinematici non integrabili NON possono essere ridotti avincoli geometrici.Un sistema meccanico soggetto a vincoli cinematici nonintegrabili è dello non olonomo.


Condizioni per integrabilità

Se consideriamo la relazione differenziale

A1dq1 + A2dq2 + . . .+ Andqn = 0 ,

con A1, A2, . . ., An funzioni delle q, questa può essere integratasolo se vengono soddisfatte determinate condizioni.

Per semplicità faremo riferimento al caso elementare diun’unica relazione.


Condizioni per integrabilità

Se consideriamo la relazione differenziale

A1dq1 + A2dq2 + . . .+ Andqn = 0 ,

con A1, A2, . . ., An funzioni delle q, questa può essere integratasolo se vengono soddisfatte determinate condizioni.Per semplicità faremo riferimento al caso elementare diun’unica relazione.


In particolare, si vuole indagare sulle condizioni che assicuranol’integrabilità della forma differenziale

A1 (q1, q2, q3) dq1 + A2 (q1, q2, q3) dq2 + A3 (q1, q2, q3) dq3 = 0

ovvero sulla possibilità che da questa possa ricondursi perintegrazione ad una funzione del tipo

f (q1, q2, q3) = C


Se deriviamo la f (q1, q2, q3) = C otterremo

∂f∂q1

dq1 +∂f∂q2

dq2 +∂f∂q3

dq3 = 0 .

e, dal confronto con la forma differenziale,Ai =

∂f∂qi

(i = 1, 2, 3) ;

µ (q1, q2, q3)Ai =∂f∂qi

(i = 1, 2, 3) .Nel primo caso si ha µ = 1, mentre per µ 6= 1, diremo µ unfattore di integrazione.


Se la forma differenziale è integrabile, allora dovranno esseresoddisfatte le condizioni

µ (q1, q2, q3)A1 =∂f∂q1

,

µ (q1, q2, q3)A2 =∂f∂q2

,

µ (q1, q2, q3)A3 =∂f∂q3

.


Per le proprietà delle funzioni di più variabili, dalle precedentiuguaglianze discendono le seguenti relazioni

∂ (µA1)

∂q2=∂ (µA2)

∂q1,

∂ (µA2)

∂q3=∂ (µA3)

∂q2,

∂ (µA3)

∂q1=∂ (µA1)

∂q3.


Se ciascuna di queste viene, rispettivamente, moltiplicata perA3, A1 ed A2 e si somma il risultato, avremo, dopo le opportunesemplificazioni, la condizione

A1

[∂ (A2)

∂q3− ∂ (A3)

∂q2

]+A2

[∂ (A3)

∂q1− ∂ (A1)

∂q3

]+A3

[∂ (A1)

∂q2− ∂ (A2)

∂q1

]= 0

(4)


Ai fini pratici, è utile porre la precedente espressione in forma dioperatore ∣∣∣∣∣∣

A1 A2 A3∂∂q1

∂∂q2

∂∂q3

A1 A2 A3

∣∣∣∣∣∣ = 0 .


Per un sistema di equazioni differenziali indipendenti, si risolveprima il sistema medesimo rispetto ad un insieme di dq e siapplica, ad ogni relazione, la procedura appena esposta.


Distinguiamo due tipologie di vincoli olonomi:1 vincoli reonomi, quelli in cui la variabile temporale appare

esplicitamente nelle equazioni che li rappresentano;2 vincoli scleronomi, quelli nei quali appaiono solo le

coordinate generalizzate nelle relative equazioni.


Gradi di libertà

Se δq1, δq2, . . . , δqn sono arbitrari spostamenti infinitesimi delsistema, quando questi definiranno un possibile spostamentodel sistema diremo il sistema olonomo. Per un sistema nonolonomo sussisteranno un certo numero m di relazioni tra isuddetti spostamenti.Il numero

F = n− m (74)

è il grado di libertà del sistema.


Nei sistemi nonolonomi il numero delle coordinate dovrà esseresuperiore al numero dei gradi di libertà posseduti dal sistema.L’impiego dei moltiplicatori di Lagrange si rivela utile anchenella deduzione delle equazioni del moto di sistemi olonomi,ma la cui configurazione viene descritta attraverso un numeroridondante di coordinate.


Per illustrare tale metodologia viene qui proposta l’analisidinamica di un manovellismo di spinta ad un grado di libertàimpiegando due parametri di posizione, ovvero le variabili θ1 eθ2 che individuano, rispettivamente, le posizioni angolari dellamanovella e della biella.

Figura: Nomenclatura


L’equazione di vincolo di posizione che lega le suddette variabilirisulta essere

r sin θ1 + ` sinθ2 = 0 . (75)


Se si deriva tale vincolo rispetto al tempo, si otterrà

r cos θ1θ1 + ` cos θ2θ2 = 0 , (76)

Relazione simile a quelle del tipo

m∑i=1

Ajiqj + bi = 0 (j = 1, 2, . . . , n) (77)

cui si perviene considerando sistemi non olonomi.


Dal confronto tra (76) e (77) segue

[r cos θ1 ` cos θ2

]{ θ1

θ2

}=

{00

}(78)


La condizione (76) tra le velocità verrà considerata qualevincolo non olonomo fittizio. Sappiamo infatti che tale vincolo siintegra dando luogo alla (75); tuttavia, la procedura dideduzione delle equazioni del moto avverrà mediante l’impiegodella

ddt∂T∂qj− ∂T∂qj

= Qj + Qnhj (j = 1, 2, . . . , n) (79)

con

Qnhj =

m∑i=1

Ajiλi (80)


Le equazioni di Lagrange per il sistema in esame assumono laforma

ddt∂L

∂θ1− ∂L∂θ1

= Qθ1 + Qnhθ1

(81)

ddt∂L

∂θ2− ∂L∂θ2

= Qθ2 + Qnhθ2, (82)


con

{Q} ={

Qθ1

Qθ2

}=

δWδθ1δWδθ2

(83)

vettore delle forze esterne generalizzate e

{Qnh} =

{Qnhθ1

Qnhθ2

}=

{r cos θ1` cos θ2

}λ1 (84)

vettore delle forze generalizzate associate al vincolo.


La funzione lagrangiana del sistema, trascurando l’azione dellaforza peso, risulta essere

L =12

m1v2G1

+12

m2v2G2

+12

IG1 θ21 +

12

IG2 θ22 +

12

m3v2G3.

Le coordinate dei baricentri sono espresse mediante i vettori

G1 ≡{ r

2cos θ1

r2sin θ1

}T(85)

G2 ≡{

r cos θ1 +`

2cos θ2 r sin θ1 +

`

2sin θ2

}T

(86)

G3 ≡{

r cos θ1 + ` cos θ2 0}T (87)

(88)

e le rispettive velocità si ottengono per derivazione rispetto altempo.


Indicata quindi con M la coppia motrice agente sulla manovella,l’applicazione della (79) fornisce

θ1(4IG1 − 2m3r2 cos 2θ1 + 2m3r2 + 4m2r2 + m1r2)+ 2m3r2θ2

1 sin 2θ1

− 4 (3λ1 cos θ1 + M)

− 2r`θ2 [m3 cos (θ2 + θ1)− (m2 + m3) cos (θ2 − θ)]+ 2r`θ2

2 [m3 sin (θ2 + θ1)− (m2 + m3) sin (θ2 − θ1)] = 0 (89a)

2r`θ1 [(m2 + m3) cos (θ2 − θ1)− m3 cos (θ1 + θ2)]

+ 2r`θ21 [m3 sin (θ1 + θ2) + (m2 + m3) sin (θ2 − θ1)]

+ 2m3`2θ2

2 sin 2θ2 − 4`λ1 cos θ2 = 0 (89b)


Le equazioni differenziali ottenute formeranno con la derivatatemporale della (76)

r cos θ1θ1 + ` cos θ2θ2 = r sin θ1θ21 + ` sin θ2θ

22 (90)

un sistema di equazioni algebrico-differenziali nelle incogniteθ1, θ2 e λ1.


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Prof. Ettore Pennestrì · 2019-11-20 · Testi consigliati per approfondimenti Lanczos, C, The Variational Principles of Mechanics, Dover Publications Inc. Kirk, D.E., Optimal Control