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Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, [email protected]
http://www.ufrgs.br/~viali/
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
ESTATESTATÍÍSTICA DESCRITIVASTICA DESCRITIVA
Organização;
Resumo;
Apresentação.
Conjunto de dados:
Amostra
ou
População
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Um conjunto de dados éresumido de acordo com as seguintes características:
Tendência ou posição centralDispersão ou variabilidadeAssimetria (distorção)
Achatamento ou curtose
Amostra ouPopulação
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Tendência ou PosiTendência ou Posiçção Centralão Central
(a) As médias
Si
mples
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
Interna
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A mA méédia Aritmdia Aritméética (tica (mean))
nxxn
1
nx...xxx
ii
n21
∑=∑=
=+++=
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A mA méédia Aritmdia Aritméética Ponderadatica Ponderada
∑∑=
=+++
+++=
wwx
wwwwxwxwxm
i
ii
k
kkap
.
.........
21
2211
22
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A mA méédia Geomdia Geoméétricatrica
ni
nn21g
x
x ... .x.xm
∏=
==
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A mA méédia Geomdia Geoméétrica Ponderadatrica Ponderada
∑=
=∑=
∏w w
w w ... .w.w
i ii
i kkgp
x
xxxm 2211
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A mA méédia Harmônicadia Harmônica
∑=
+++=
=+++
=
xxxx
xxx
m
in
n
h
n ...
n
n
...
1111
1111
21
21
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A mA méédia Harmônica Ponderadadia Harmônica Ponderada
∑
∑
+
=
=+++
+=
xww
xw
xw
xw
wwwm
i
i
i
k
k
kP
...h
2
2
1
1
21
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A mA méédia Quadrdia Quadrááticatica
nx
nx...xxm
2i
2n
22
21
q
∑=
=++
=
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A mA méédia Quadrdia Quadráática Ponderadatica Ponderada
∑w∑ xw
=w+...+w+w
xw+...+xw+xw=m
i
2i
k21
2kk
222
21
qpi1
33
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A mA méédia Interna (dia Interna (trimmed mean))
É a mesma média aritmética sóque aplicada sobre o conjunto onde uma parte dos dados (extremos) édescartada.
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4,84,954 6
1,8351 9
mhmgConjuntos x
Médias
ExemploExemplo
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RelaRelaçção entre as mão entre as méédiasdias
Dado um conjunto de dados qualquer, as médias aritmética, geométrica e harmônica mantém a seguinte relação:
mm hgx ≥≥
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2 u2,101,50Pão
5 kg5,524,80Carneqp02p01Produtos
12 lt0,920,80Ceva
------Total
1 l4,945,20Cana
ExemploExemplo
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1,000,070,230,120,58
α
--1,401,150,951,15
p(0,t)
2,101,504
5,524,801p02p01Produtos
0,920,803
----Total
4,945,202
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114,31%=1,1431 =
=07,0+23,0+12,0+57,0
07,0.40,1+23,0.15,1+12,0.95,0+58,0.15,1=map
Média aritmética ponderada dos relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 14,31%.
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Média geométrica ponderada dos relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,90%.
%90,113=1390,1 = =40,115,195,015,1 =
=40,115,195,015,1=m07,023,012,058,0
1 07,023,012,058,0gp
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Média harmônica ponderada dos relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,48%.
%48,113=1348,1=
=
40,107,0
+15,123,0
+95,012,0
+15,158,0
1=m h P
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Tendência ou PosiTendência ou Posiçção Centralão Central
(b) A mediana (median)
me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par
É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho.
me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar
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Separatrizes
A idéia de repartir o conjunto de dados pode ser levada adiante. Se ele for repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em 100 os PERCENTIS.
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Considere o seguinte conjunto:1 -1 0 4 2 5 3
Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4
Ordenando o conjunto, tem-se:
-1 0 1 2 4 3 5Então: me = x4 = 2
ExemploExemplo
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Se o conjunto for:1 -1 0 4 2 5 3 -2
Tem-se: n = 8 (par)
Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2
Ordenando o conjunto, tem-se:
-2 -1 0 1 2 3 4 5
me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50
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(c) A moda (mode)
É o(s) valor(es) do conjunto que
mais se repete(m).
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Considere o conjunto
0 1 1 2 2 2 3 5
Então: mo = 2
Pois, o dois é o que mais se repete (três vezes).
ExemploExemplo
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Considere o conjunto:
0 1 1 2 2 3 5
Então: mo = 1 e mo = 2
Conjunto bimodal
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Considere o conjunto:
0 1 2 3 4 5 7
Este conjunto é amodal, pois todos os valores apresentam a mesma freqüência.
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(a) A amplitude (h)
(b) O Desvio Médio (dma)
(c) A Variância (s2)
(d) O Desvio Padrão (s)
(e) A Variância Relativa (g2)
(f) O Coeficiente de Variação (s)
Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade
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h = xmáx - xmín
A Amplitude (range)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
h = 5 – (-2) = 7
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A média é:
155
553021
==+++−−
=x
O dma (average deviation)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
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Calculando os desvios: xxi −
Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3
d2 = -1 – 1 = -2
d3 = 0 – 1 = -1
d4 = 3 – 1 = 2
d5 = 5 – 1 = 4
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Como pode ser visto a soma éigual a zero. Tomando o módulo vem:
40,25
125
|4||2||1||2||3|n
|xx|dma i
==
=++++−+−+−
=
=∑ −=
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Se ao invés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se:
8065
345
164149
542123 22222
22
,
((
ni
)))(
)xx(s
==++++
=
=+++
=
==
+−−−
∑ −
A variância (variance)
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ni
nn....
)xx(
)xx()xx()xx(s
∑ −
−−−
=
=+++
=
2
2222 21
A variância de um conjunto de dados será:
xxs ni2 22−= ∑
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É a raiz quadrada da variância
xnx
n)xx(s 2
2i
2i −
∑=∑ −=
O Desvio Padrão (standard deviation)
Obs.: A variância e o desvio padrão também podem ser calculados com “n – 1” no denominador, dependendo dos objetivos do estudo.
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Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos o desvio padrão:
61,280,6n
)xx(s i2
==∑ −=
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g2 = s2 / x 2
g = s / x
A Variância Relativa
O Coeficiente de Variação
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O coeficiente de variação do
exemplo anterior, será:
%77,2601
6077,2xsg ===
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.......................................MaiorMenorMenorMaior DesenhoTortoLascadoLascadoEsmalteTortoEsmalteDesenhoLascadoTorto MaiorDesenhoMenorLascado
Defeitos em uma linha de produção
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100500Total5,4027Trincado
11,4057Torto 16,6083Menor 14,0070Maior19,4097Lascado19,0095Esmalte14,2071Desenho%FreqüênciaDefeito
Distribuição de freqüências
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SIMPLES
ACUMULADAS
Absoluta
Relativa
Apresentação
FREQÜÊNCIAS
Apresentação
Percentual
Decimal
Relativa
Absoluta
Percentual
Decimal
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1,000,020,030,050,150,200,250,30fri
10023515202530fri
—20019619018015011060Fi
—100989590755530Fri
200Total4665104303402501600fiValores
Freqüências - Representação
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99
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14%
20%
19%14%
7%
11%5%
DesenhoEsmalteLascadoMaiorMenorTortoTrincado
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Número de irmãos dos alunos da turma D -Probabilidade e Estatística - UFRGS - 2007/01
01032112012234120114655111121314220111540113136110
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Distribuição de freqüências por ponto
ou valores da variável: “Número de
irmãos dos alunos da turma D” da
disciplina: Probabilidade e Estatística
UFRGS - 2007/01.
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50∑263544538221170
No de alunosNo de irmãos
1010
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Diagrama de colunas simples da
variável: Número de irmãos dos alunos
da turma D - Disciplina: Estatística,
UFRGS - 2007/01.
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0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
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Neste caso, a média a dada por:
nx.f
f...ffx.f...x.fxfx ii
k21
kk2211 ∑=++++++
=
(A) A média Aritmética
1111
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EXEMPLO
9550∑1226153516441553168221211070
fixifixi
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A média será, então:
irmãos 90,15095
nx.f x ii ==∑=
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Como n = 50 é par, tem-se:
irmão 1211
2x 26x 25
2x 1(50/2)x 2/50
2x 1(n/2)xn/2
me
=+
=+
=
=++
=++
=
(B) A Mediana
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Total de dados n = 50 (par)
—50∑5026483545444153368228211770Fifixi
Metade dos
dados n/2 = 25
EXEMPLO
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mo = valor(es) que mais se repete(m)
(C) A Moda
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50∑2635445382
21170fixi
A moda A moda éé igual aigual a1 (um)1 (um)
Pois ele se repete mais
vezes
EXEMPLO
1212
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h = xmáx - xmín
h = 6 - 0 = 6 irmãos
(A) A Amplitude (h)
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Neste caso, o dma será dado por:
n|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
(B) O dma
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64,4050∑2.|6 – 1,90| = 8,20263.|5 – 1,90| = 9,30 354.|4 – 1,90| = 8,40445.|3 – 1,90| = 5,50538.|2 – 1,90| = 0,8082
21.|1 – 1,90| = 18,90 2117.|0 – 1,90| = 13,3070
fi|xi - | fixi xEXEMPLO
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O dma será, então:
irmãos 29,150
40,64n
|xx|.f dma ii ==−∑=
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xnxf
n)xx(f
n)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
22
i
k211
−∑=∑ −=
=−++−+−
=
Neste caso, a variância será:
(C) A Variância (s2)
1313
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29950∑62.2 = 722652.3 = 753542.4 = 644432.5 = 455322.8 = 3282
12.21 = 2121102.7 = 070
fixi2fixi
EXEMPLO
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A variância será, então:
irmãos 3700,2
90,150
299 xnxfs
2
222i2 i
=
=−=−∑=
EXEMPLO
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O desvio padrão será dado por:
irmãos 1,54 1,5395
3700,2xnxfs 2
2ii
≅=
==−∑=
(D) O Desvio Padrão (s)
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Dividindo o desvio padrão pela média, tem-se o coeficiente de variação:
%03,8190,1
539480,1g ==
(E) O Coeficiente de Variação (g)
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Idade (em meses) dos alunos da turma
D da disciplina: Probabilidade e
Estatística - UFRGS - 2007/01.
1414
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276 245 345 240 270 310 368
334 268 288 336 299 236 239 355 330
287 344 300 244 303 248 251 265 246
240 320 308 299 312 324 289 320 264
252 298 315 255 274 264 263 230 303
369 247 266 275 281 230 234
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Distribuição por classes ou intervalos
da variável “idade dos alunos da turma
D” da disciplina: Probabilidade e
Estatística da UFRGS - 2007/01.
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50Total3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250
Número de alunosIdades
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Histograma de freqüências da variável
“Idade dos alunos da turma D” de
Probabilidade e Estatística da
UCRGS - 2007/01.
1515
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0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
2 3 0 | - - - 2 50 2 50 |- - - 2 70 2 70 | - - - 2 9 0 2 9 0 | - - - 3 10 3 10 | - - -3 3 0 3 3 0 |- - - 3 50 3 50 |- - - 3 7 0
fi / hi
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Antes de apresentarmos as
medidas, i. é, representantes do
conjunto, é necessário estabelecer uma
notação para alguns elementos da
distribuição.
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xi = ponto médio da classe;
fi = freqüência simples da classe;
lii = limite inferior da classe;
lsi = limite superior da classe;
hi = amplitude da classe.
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Ponto Médio da Classe
—50∑3603350 |--- 3703405330 |--- 3503206310 |--- 3303007290 |--- 3102808270 |--- 2902609250 |--- 27024012230 |--- 250xifixi
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1616
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Média da Distribuição
5035678912fi
∑360340320300280260240xi
142601080170019202100224023402880fi. xi
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A média será:
meses 20,28550
14260n
x.f x ii ==∑=
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Neste caso, utilizam-se as
freqüências acumuladas para identificar
a classe mediana, i. é, a que contém o(s)
valor(es) central(is).
(B) A Mediana
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Total de dados n = 50 (par)
Metade dos dados n/2 = 25
—50∑503350 |--- 370475330 |--- 350426310 |--- 330367290 |--- 310298270 |--- 290219250 |--- 2701212230 |--- 250Fifixi
EXEMPLO
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Portanto, a classe mediana é a
terceira. Assim i = 3. A mediana será
obtida através da seguinte expressão:
EXEMPLO
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meses 2808420 270
8
212
50
20702
8
212
50
20702 f
F2n
hli mi
1i
iie
=+=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −+=
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −+=
−
1717
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Neste caso é preciso inicialmente
apontar a classe modal, i. é, a de
maior freqüência. Neste exemplo é a
primeira com fi = 12. Assim i = 1.
(C) A Moda
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Classe modal, pois
fi = 12.
—7654321i
50∑3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250fixi
EXEMPLO
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Portanto a moda poderá ser
obtida através de uma das seguintes
expressões:
EXEMPLO
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Critério de King:
meses 250 99.20023
90
9.20302 ff
fhli m1i 1i
1iiio
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++=
− +
+
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Critério de Czuber:
meses 246 16230
924
12.20023
)90(12.2
012.20302
)ff(f.2
ffhli m1ii
i
1i
1iiio
=+=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+=− +
−
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1818
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h = xmáx - xmín
h = 370 - 230 = 140 meses
(A) A Amplitude (h)
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Neste caso, o dma será dado por:
n|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
(B) O dma
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x
5035678912fi
∑360340320300280260240xi
1621,603.|360 – 285,20| = 224,405.|340 – 285,20| = 274,006.|320 – 285,20| = 208,807.|300 – 285,20| = 103,608.|280 – 285,20| = 41,609.|260 – 285,20| = 226,80
12.|240 – 285,20| = 542,40fi.|xi - |
EXEMPLO
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O dma será, então:
meses 32,43 50
60,1621n
|xx|.f dma ii
=
==−∑=
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xn
xfn
)xx(f
n)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
22
i
k211
−∑=∑ −=
=−++−+−
=
Neste caso, a variância será:
(C) A variância (s2)
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50356789
12fi
∑360340320300280260240xi
4 138 0003.3602 = 3888005.3402 = 5780006.3202 = 6144007.3002 = 6300008.2802 = 6272009.2462 = 608400
12.2402 = 691200 fixi
2
EXEMPLO
1919
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A variância será, então:
meses 420,961
20,28550
4138000
xnxfs
2
2
22i2 i
=
=−=
=−∑=
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O desvio padrão será dado por:
meses 37,70 37,6956
96,1420xnxfs 2
2ii
≅=
==−∑=
(D) O Desvio Padrão (s)
Obs.: O livro texto utiliza “n -1” no cálculo do desvio e da variância.
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Dividindo o desvio padrão pela média, tem-se o coeficiente de variação:
%22,1320,285
695623,37g ==
(E) O Coeficiente de Variação (g)
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1. Primeiro coeficiente de Pearson;
2. Segundo coeficiente de Pearson;
3. Coeficiente quartílico;
4. Coeficiente do momento.
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Primeiro coeficiente de Pearson
a1 = (média - moda) / desvio padrão
Segundo coeficiente de Pearson
a2 = 3(média - mediana) /desvio padrão
2020
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Coeficiente quartílico
CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)
Coeficiente do momento
a3 = m3/s3, onde m3 = Σfi(Xi - )3/nX
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S1
Coeficiente = 0 (Simétrica)
Coeficiente > 0 (Assimetria positiva)
Coeficiente < 0 (Assimetria negativa)
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Coeficiente de curtose [kurtosis]
a4 = 3 ou 0 (Mesocúrtica)
a4 > 3 ou 0 (Leptocúrtica)
a4 < 3 ou 0 (Platicúrtica)
a4 = m4/s4, onde m4 = Σfi(Xi - )4/nX
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Teorema de Chebyshev
O teorema de Chebyshev permite verificar qual é o percentual mínimo de valores de um conjunto de dados que deve estar um “certo número” de desvios em torno da média.
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Em qualquer conjunto de dados com desvio padrão “s”, pelo menos (1 – 1/k2) dos valores do conjunto devem estar entre “k” desvios em torno da média, onde “k” é um valor tal quek > 1.
2121
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Exemplos:Assim pelo menos:
75% dos valores estão dentro de k = 2desvios a partir da média;
89% dos valores estão dentro de k = 3desvios a contar da média;
94% dos valores estão dentro de k = 4desvios a contar da média.
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1 - 1/4 = 75%.
S2<X-X
Graficamente: