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Prof. Roberto Cristóvã[email protected] 12
Séries
Séries
Se tentarmos somar os termos de uma sequência infinita obteremos uma expressão da forma
que é denominado uma série infinita (ou apenas série) e é denotada, por simplicidade pelo símbolo
1 2 3 4 na a a a a
1{ } ,n na
1
oun nn
a a
Séries
Mas faz sentido falar sobre a soma de uma
quantidade infinita de termos?
Séries
Seria impossível encontrar uma soma finita para a série
porque, se começarmos adicionando os termos, obteremos as somas cumulativas
e depois do -ésimotermo, que se torna muito
grande à medida que aumenta.
1 2 3 4 5 n
1, 3, 6, 10, 15, 21, ... n( 1) / 2,n n
n
Séries
Contudo, se começarmos a somar os termos da série
obteremos
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 2n
1 3 7 15 31 63 1, , , , , , ,1 ,
2 4 8 16 32 64 2n
Séries
Podemos observar que quando adicionamos mais e mais termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais próximas de 1.
Dessa forma, parece razoável dizer que a soma dessa séria infinita é 1 e escrever
1
1 1 1 1 1 11
2 2 4 8 16 2n nn
Séries
Dada uma série usamos uma idéia
parecida para determinar se ela tem uma
soma ou não.
na
Somas Parciais
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2 31
e, em geral, n
n n ii
s a
s a a
s a a a
s a a a a a
Somas Parciais
Essas somas parciais formam uma nova sequência que pode ou não ter limite.
Se existir o chamaremos
de soma da série infinita
,ns
lim nns s
.na
Série Convergente
Definição: Dada uma série
Seja sua -ésima soma parcial:
Se for convergente eentão a série é dita convergente e
caso contrário, a série é divergente.
n
Exemplo 1
Série geométrica
Se então
Como não existe, a série
geométrica diverge nesse caso.
Série geométrica
Se temos
subtraindo essas equações, obtemos
Série geométrica
Se então quando então
Então, quando a série geométrica
converge, e sua soma é
Série geométrica
Se ou a sequência
é divergente, assim não existe.
Portanto, a série geométrica diverge
naqueles casos.
Prova Geométrica
Por semelhança de triângulos temos
Resumindo
A série geométrica
é convergente se e sua soma é
Se a série geométrica divergente.
Exemplo 01
Encontre a soma da série geométrica
Solução:
Graficamente
Exemplo 02
A série converge ou diverge?
Solução:
Diverge !
Exemplo 3
Escreva o número como fração de inteiros.
Solução:
Exemplo 4
Encontre a soma da série ondeSolução:
Exemplo 5
Mostre que a série é convergente e encontre sua soma.Solução:
Exemplo 5
Exemplo 6
Mostre que a série harmónica
diverge.
Solução
a série harmônica diverge!