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Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3
12
15
12
43
Números Complejos ( C )
C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 312
N
ZQ
I
RC
EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
A ) 2P x N /x 9 0
B )
C )
D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0
E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0
2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
4T
3
B 2
Sistemas de los números Reales
1) Asociatividad: para todo a, b y c en R
a+(b+c)=(a+b)+c y a (bc) = (ab) c
2) Conmutatividad: para todo a y b en R
a+b=b+a y ab = ba
3) Elementos neutros: a distinto de 0 y 1 tales que, a en R
a+0=a y a*1=a
4) Distributividad: para todo a, b y c en R
a (b+c) = ab + ac
Algunas consecuencias
1) Para todo a, b y c en R a+b=a+c entonces b=c
2) Para todo a, b y c en R ab=ac y a≠0 entonces b=c
3) Sustracción: Si a y b son números reales a-b=a+(-b)
4) División: Si a y b son números reales y si b≠0
1aa b
b
Orden en R
Los números reales pueden ser positivo, negativo o igual a cero. Además está ordenado a través de ser “menor que” denotada por < ; y definida a continuación:
Para dos números reales a y b,
a<b sí y sólo sí b-a>0
Propiedades asociadas
1) Tricotomía : a<b ó a=b ó a>b2) Transitividad : Si a<b y b<c entonces a<c3) Si a<0 y b<0 entonces a+b<04) Si a<b sí y sólo sí a+c<b+c5) Si a<b y c<d entonces a+c<b+d 6) Si a>0 y b>0 entonces a+b>07) Si c>0, a<b sí y sólo sí ac< bc c<0, a<b si y solo si ac>bc
La recta Real
La recta real es la representación geométrica del conjunto R
Intervalos Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos:
a) Intervalo finito o acotado:
, /a b x a x b
, /a b x a x b
a b
a b
a b
a b
, /a b x a x b
, /a b x a x b
b) Intervalo infinito o no acotado:
a
, /a x x a
a
, /a x x a
a
a
, /a x x a
, /a x x a
, /x x
A B x /x A x B
U
A
B
A B x /x A x B
U
A
B
UNION
INTERSECCION
A B x /x A x B
U
A
B
A B x /x (A B) x (B A) DIFERENCIA :SIMETRICA
DIFERENCIA:
A B (A B) (A B)
A B
Simbólicamente: A ' x /x U x A
A’ = U - AEjemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y
12 3
45
6
78
9
U AA
A’={2;4;6,8}
1. Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]. Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:
a) A U D b) c) B – C d)
A C A B C
-3 3-4 5
SOL
a) A U D = D
b) A C
-3 3-1 4
1,3
c) B – C
-3 3-1 4
3, 1
A B C d)
-3 3-1 4
3,3
2. Sean los intervalos determinar si son Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones
) 2
) 1,3
)
) ' 2,3
) ' 1, 4
a A C
b A B C
c B C A
d A B C B
e A C A B
1,4 ; 3,7 ; 2,6A B C
3. Si A = [-3;3] ;B =(-3;3) ; C =(-1;4] ;D =(-4;-3); E =[-1;4); F=(-4;3), determine:
)
)
)
a F E
b F E E F
c C F D
4. Sean:
/ 2 1 5,9
/ 0
/ 2 6
A x x
B x x
C x x
Calcular: A B C
5. Sean los intervalos:
, 4 3
5,0
6,10
:
A
B
C
Calcular A B C
6. Sean los siguientes intervalos:
, ; 0,8 ; 0,5
' , 1 8,
A m n B A B
A B
Si , y son de signos diferentes , calcular:
a) El intervalo correcto de A
b)
,m n ( )m n
'A C B
