Profesor: Juan Luis Espinoza Valledor

Profesor: Juan Luis Espinoza Valledor ASIGNATURA DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS

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MODELOS -1 Ley de Ohm

1.- CONCEPTOS DE MODELO CIRCUITAL DE UN CONDUCTOR ELÉCTRICO. CONDUCTIVIDAD : [AV-1m-1] RESISTIVIDAD: = 1/ [VA-1m] . Para el Cobre: a 20ºC : = 0,017244 0,017 1/58[mm2/m] ≅≅≅≅ 1,7·10−8[Ωm]

a 0ºC: = 0,01756 0,018 1/57[mm2/m] ≅ 1,8·10−8[Ωm] 2.- LEY DE OHM: Modelo de campos: J = ·E Donde : i(t) = J·S

Modelo circuital: v(t) =E·L =LJ/ = iL/S = iL/S 3.- RESISTENCIA ELÉCTRICA (Modelo Físico):

R[ =ohm] R= L/S = L/S 4.- FORMA CIRCUITAL DE LA LEY DE OHM. V=I·R v = i·R 5.- MODELO ESQUEMÁTICO DE LA RESISTENCIA:

CONDUCTOR IDEAL: R = 0[] 6.- POTENCIA EN R: Potencia instantánea: p(t) = v·i.= v2/R = Ri2 [W] Potencia Media: P= V·I = R·I2 = V2/R [W]

P = (1/T)·T

0

p dt·

7.- DEFINICIÓN DE CONDUCTANCIA : G = 1/R [S= siemens] 8.- RESISTENCIA EQUIVALENTE SEGÚN LA FORMA DE CONECTARLAS: REQ.

8.1.- Serie: REQ de n resistencias conectadas en Serie: REQ = n

k 1= Rk

8.2.- Paralelo: REQ de n resistencias conectadas en Paralelo: REQ = n1

Rkk 1

1

=

9.- CONDUCTANCIA EQUIVALENTE : GEQ

9.1.- Serie: GEQ de n conductancias conectadas en Serie: GEQ = n1

Gkk 1

1

=

9.2.- Paralelo: GEQ de n conductancias conectadas en Paralelo : GEQ = n

k 1= Gk

vR

iR

R

AS

B


2

MODELOS-2 Fuentes Circuitales.

1.- Fuentes Independientes. La energía generada no tiene relación con el circuito.

1.1.- Ideales. No tienen pérdidas. La función de generación de energía en sus terminales, es constante.

1.1.1.- De Voltaje: vS(t) = independiente de la corriente en sus terminales: io.

1.1.2.- De Corriente: iS(t) = independiente del voltaje en sus terminales: vo.

1.2.- Reales. Tienen pérdidas. La energía perdida depende del consumo. Las pérdidas se pueden representar por una resistencia interna: RS 1.2.1.- De voltaje: vo(t) = vS(t) – RS· io

1.2.2.- De Corriente: io(t) = iS(t) – vo/RS

2.- Fuentes Dependientes o Controladas. Su función de generación depende de x, que es la variable de control. Esta debe ser un voltaje o una corriente del circuito. 2.1.- Ideales:

2.1.1.- De voltaje controlada por voltaje: Donde x = vk

2.1.2.- De voltaje controlada por corriente: Donde x = ik

2.1.3.- De corriente controlada por voltaje: Donde x = vk

2.1.4.- De corriente controlada por corriente: Donde x = ik 2.2.- Reales: Son iguales a las ideales, solo que incluyen la resistencia de pérdida. 3.- Transformaciones de Fuentes: Condiciones de equivalencia: Iguales pérdidas, iguales ecuaciones, igual par v0 e i0 . De Corriente: io(t) = iS(t) – vo/RSC De voltaje: vo(t) = vS(t) – RSV· io Para io(t) = 0: iS(t) = vo/RSC y vo(t) = vS(t), de donde : vS(t) = iS(t) RSC

Para vo(t) = 0: io(t) = iS(t) y vS(t) = RSV· io , de donde: vS(t) = iS(t) RSV Por comparación: RSV = RSC = RS , Luego la ecuación queda: vS(t) = iS(t) RS

_ + vS = f(x)

iS = f(x)

vo Vo

Io

RS

vS vS

Io

vo Vo

Io

RS

vS vS

Io

vo

vo io

vS vS io

vo io

io IS

IS vo

RS

Io

Vo

io

iS iS

vo


3

MODELOS-3. Aplicaciones de Fuentes. 1.- Resistencia Interna de las fuentes. 1.1.- Fuente Ideal de voltaje : R interna es cero.

1.1.- Fuente Real de voltaje : Muy Baja, (Fuentes de poder: menos de 1 [Ω]). 1.2.- Fuente Ideal de corriente: R interna es Infinita.

1.2.- Fuente Real de corriente: Muy alta, mayor de 1000 ohms (Muy complejas). 2.- Condiciones de carga 2.1.- En vacío: Sin entregar energía. Potencia de salida cero. 2.2.- A plena carga o nominal: Potencia máxima para operación continua. 2.3.- Carga máxima: (operación durante un tiempo muy corto especificado) 2.3.- Anulación de una fuente independiente: Se reemplaza por su R interna. 2.4.- Anulación de una fuente controlada: Se anula la variable de control. 3.- Interconexiones de Fuentes: 3.1.- Ideales. En serie: Solo fuentes de voltaje. Suman sus voltajes En paralelo: Solo fuentes de corriente. Suman sus corrientes. 3.2.- Reales. No tienen restricciones. 3.3.- Fuentes reales de voltaje en serie. Fuente equivalente. Objetivos. 3.4.- Fuentes reales de corriente en paralelo. Fuente equivalente. Objetivos. 4.- Elementos Inoperantes o Redundantes. Sólo influyen en la energía total entregada por la fuente de alimentación. No influyen en los cálculos del resto del circuito. 4.1.- Elementos o ramas en serie con fuente ideal de corriente. 4.2.- Elementos o ramas en paralelo con fuente ideal de voltaje. 4.3.- Elementos en Cortocircuito o en Circuito Abierto. 5.- Teorema de Millman. 5.1.- Fuentes reales de corriente en paralelo. 5.2.- Fuentes reales de voltaje en paralelo. 5.3.- Expresión del Teorema de Millman. 6.- Protecciones: 6.1.- Objetos a proteger: La Fuente; La Carga; El Operador; La Operación..

6.2.- Elementos de protección: Fusibles; Interruptores Térmicos; Interruptores Magnéticos; Interruptor Diferencial; Aisladores; Conexiones; Jaulas; etc.

6.3.- Conexión de Tierra. Mallas de Tierra, en las centrales y subestaciones. 6.4.- Pulseras a Tierra: Protección de voltajes electroestáticos (FET, CMOS). 6.5.- Jaula de Faraday. Protege de campos externos indeseables.


4

MODELOS-4: El Condensador.

Consultas sobre la materia de la clase anterior 1.- Modelo de Campos, para condensador de placas paralelas: q = Carga eléctrica [C] D = Vector Densidad de flujo eléctrico = Vector Desplazamiento eléctrico[Cm-2]. E = Vector Intensidad de Campo Eléctrico, o Campo Eléctrico[Vm-1]. A = Area de las placas[m2] = Permitividad eléctrica del medio (dieléctrico) [CV-1m-1]. d = distancia de separación de las placas[m]

E =F/q [NC-1] ó[Vm-1] Ley de Gauss: q = AD·dS = D·A D = ·E

q = ·E·A 2.- Modelo Circuital, para condensador de placas paralelas: v = E·dl = E·d = qd/A [V]. Se define la Capacidad: C = A/d [F], [F] = [farad] v = q/C ó bien : q = Cv i(t) = dq(t)/dt = Cdv(t)/dt + v(t) dC/dt Si C es lineal y estacionario: dC/dt = 0 Ecuación de equilibrio para un condensador lineal y estacionario:

iC(t) = C dvC/dt [A] , o también : vC(t) = t

1CC i t( )

−∞ dt = vC0 +

t1

CC0

i t( ) dt

3.- Principio de conservación de la carga en un condensador. q(t0

+) = q(t0-) ± q(i;t0) Si no hay impulso de corriente, la carga se conserva:

q(t0

+) = q(t0-) ó C(t0

+) v(t0+) = C(t0

-) v(t0-)

Si C es lineal y estacionario : C(t0

+) = C(t0-) = C

Luego: v(t0+) = v(t0

-) : En un condensador lineal y estacionario, sin impulsos de corriente presentes, el voltaje no puede cambiar bruscamente. 4.- Potencia y energía en un Condensador. Potencia Instantánea: p(t) = v(t)·i(t) = v(t) ·C dv/dt = C·v·dv/dt [W], no se puede seguir. Energía almacenada:

w(t) = pdt = Cvdv = ½ C v2 [J] Energía entre dos estados, inicial y final: W = WF – Wi = ½ C ( vF

2 – vi2 )


5

MODELOS-5: La Bobina.

Consultas sobre la materia de la clase anterior 1.- Modelo de Campos, para una bobina:Ley de Ampere o de Biot y Savart 1.1.- Ecuaciones de campos: Ley de Ampere: dB = (i/4r2)dl X

B =l

dB [weber/m2] = S

B·dS[weber] B = densidad de flujo[Wb/m2]

1.2.- Definición del Enlace de flujo: (lambda)

= N = N S

B·dS [weber-vuelta] = Flujo magnético[Wb=weber]

1.3.- Definición de la Inductancia (L= Inductancia Propia y M= Mutua) = N· = i·L Si la corriente que produce el flujo es la de la misma bobina. = M·i Si la corriente que produce el flujo es la de otra bobina L y M se miden en henrys [H] 2.- Modelo circuital. 2.1.- Ley de Faraday : v = d /dt v= N d/dt + dN/dt o bien v = L · di/dt + i · dL/dt

2.2.- Ecuación de equilibrio para L lineal y estacionario: v = L · di/dt o también:

iL(t) = t

1LL v t( )

−∞ dt = IL0 +

t1

LL0

v t dt( )

3. Principio de conservación del Enlace de flujo: (t0

+) = (t0-) ± (i;t0) Si no hay impulso de voltaje, se conserva:

(t0+) = (t0

-) ó L(t0+) i(t0

+) = L(t0-) i(t0

-) Si L es lineal y estacionario : L(t0

+) = L(t0-) = L

Luego: i(t0+) = i(t0

-) En una bobina lineal y estacionaria, sin impulsos de voltaje presentes, la corriente no puede cambiar bruscamente. 4.- Energía y potencia en la bobina. Potencia Instantánea: p(t) = v(t)·i(t) = i(t) ·L di/dt = L·i·di/dt [W], no se puede seguir. Energía almacenada:

w(t) = pdt = Lidi = ½ L i2 [J] Energía entre dos estados, inicial y final: W = WF – Wi = ½ L ( iF

2 – ii2 )


6

MODELOS-6: Acoplamientos.

Consultas sobre la materia de la clase anterior 1.- Flujo total en cada bobina: 1 = 11 + 12 2 = 22 + 21 2.- Flujo transferido entre las bobinas : 12 = K12·22 21 = K21·11

K12 y K21 son los factores de acoplamiento individuales. 3.- Enlace de Flujo () e Inductancia Mutua (M12 = M21 = M ; bilateral) : 12 = N1·12 = M12·i2 = N1· K12·22 K12 = M12· i2 /N1·22 21 = N2·21 = M21·i1 = N2· K21·11 K21 = M21· i1/ N2·11

Además: 11 = L1· i1 = N1· 11 y 22 = L2· i2 = N2· 22 4.- Ecuaciones Generales: V1 = d1/dt = d11/dt + d12/dt = L1·di1/dt + M12· di2/dt = L1·di1/dt + M· di2/dt V2 = d2/dt = d21/dt + d22/dt = L2·di2/dt + M21· di1/dt = L2·di2/dt + M· di1/dt 5.- Factor de Acoplamiento Total: K.

K = 12 21K K => K2 = K12 K21 = M2/L1·L2 => M2 = K2 ·L1·L2

Como: 0 < K < 1 0 < M2 < L1·L2 6.- Transformador Ideal (Sin pérdidas: K12 = K21 = K= 1) 12 = 22 21 = 11 1 = 11 + 22 2 = 22 + 11 => 1 = 2 =

V1 =N1·d1/dt = N1·d/dt V2 =N2·d2/dt = N2·d/dt 1 1

2 2

V NV N

=

Sin pérdidas => P1 = P2 => V1 i1 = V2 i2

De donde se obtiene la segunda ecuación: 2 1

1 2

I NI N

=

7.- Modelos del Transformador Real. 7.1.- Con fuentes de voltaje:

V1 = L1·Di1 + M· Di2 V2 = L2·Di2 + M· Ddi1

7.2.- Con fuentes de corriente:

V1 = L1·Di1 + M·i2/ L1

V2 = L2·Di2 + M· i1/ L2

M· i1/ L2 M· i2/ L1

I1 I2

V1 V2 L1 L2

L1 L2

M Di1 M Di2

+ + V1 V2

I1 I2


7

MODELOS-7 BOBINAS ACOPLADAS:

Consultas sobre la materia de la clase anterior 1.- DOS BOBINAS ACOPLADAS EN CONEXIÓN SERIE

1.1.- Acoplamiento Aditivo: Reemplazar los acoplamientos por su modelo con fuentes de voltaje. Escribir la ecuación voltaje corriente. Comparar con el modelo equivalente.

Inductancia equivalente Aditiva: LT = L1 + L2 + 2M

1.2.- Acoplamiento Substractivo: Escribir directamente la ecuación y determinar la inductancia equivalente:

Inductancia equivalente sustractiva:LT = L1 + L2 -- 2M 2.- TRES BOBINAS ACOPLADAS EN CONEXIÓN SERIE

(Ejercicio en clases con diferentes polaridades): Inductancia equivalente: LT = L1 + L2 + L3 + 2(± M12 ± M13 ± M23) 3.- BOBINAS ACOPLADAS EN CONEXIÓN PARALELO. Tarea: demostrar que la Inductancia equivalente tiene las expresiones:

Acoplamiento Aditivo: Acoplamiento Substractivo: LT = (L1·L2 – M2)/( L1 + L2 -- 2M) LT = (L1·L2 – M2)/( L1 + L2 + 2M)

Demostración del primer caso: V = L1·Di1 +MDi2 /*L2 L2V = L1L2·Di1 + ML2·Di2 = L1L2Di1 + M(V – M·Di1) = Di1(L1L2-M2) +MV

V = L2·Di2 +MDi1 /*L1 L1V = L1L2·Di2 + ML1·Di1 = L1L2Di2 + M(V – M·Di2) = Di2(L1L2-M2) +MV Sumando las dos ecuaciones V (L1 + L2 – 2M) = (L1L2 – M2)·D( i1+i2 ) 4.- Tarea. Adicional a ejercicios de la guía Nº3

RED DE TRES MALLAS, CON TRES BOBINAS ACOPLADAS ENTRE SÍ: Malla uno: Fuente de voltaje, resistencia R1 y bobina L1. La malla central con tres bobinas L1, L2 , R2 y L3.

Malla tres L3, R3 y C. MÉTODO DE SOLUCIÓN:

Designar la corriente de rama en cada bobina: iL1 , iL2 , iL3 . Escribir la relación con las corrientes de mallas iL1 = i1 – i2 iL2 = i2 iL3 = i2 – i3 Reemplazar cada acoplamiento por su equivalente de fuente de voltaje. Reemplazar las corrientes de ramas por las corrientes de mallas. Plantear las ecuaciones de cada malla

* * V

I1 I2

L1 L2

*

*

V

I1 I2

L1 L2

* *

L1 L2

M

V1 V2

I1 I2

M *

*

L1 L2 V1 V2

I1 I2

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Profesor: Juan Luis Espinoza Valledor