Professor Marcelo Gonsalez Badin

MATEM ÁTICALogaritmos – Introdução

Você certamente já sabe calcular logaritmos!

2x = 8 2x = 23

x = 3

Por exemplo, resolva a equação: 2x = 8

Logaritmo é apenas um nome que édado ao expoente que é a solução de uma equação exponencial. Assim,

2x = 8

2x = 8

x é o logaritmo de 8 na base 2⇔

x = log28⇔

2x = 15 ⇔ x = log215

Obs: log215 é, aproximadamente 3,90689059562, ou seja:23,90689059562= 15

23 = 8

24 = 16

3 < x < 4

Logaritmos ax = b

b > 0

a > 01a ≠

logab = x

x = logab

ax = b

⇔

⇔

logab = x

base logaritmando

logaritmo de b na base a

C.E.:

Condições deExistência

logab = x

ax = b

1. Determine o domínio da função f(x) = log(x–1)(7–x) C.E.: x – 1 > 0

condições de existência

fi x > 1 ( I )

II

I

D

III

1

2

7

7

21

D =

ou vc escreve: D = ]1,2[ U ]2,7[

x – 1 ≠ 1fi x ≠ 2 ( II )

7 – x > 0 fi x < 7 ( III )

{xŒIR / 1 < x < 7 e x ≠ 2}

2. Resolva a equação 52x – 7.5x + 10 = 0

Fazendo 5x = t, temos:

( )2x x5 7 5 10 0− ⋅ + = t = 2

t2 –7t + 10 = 0

S = 7P = 10

t = 5

S = {1, log52}

x = log525x = 5x = 1

5x = 2t = 5

t = 2

a) log3243= x

3. Calcule x

3x = 243

2b) log 0,25 x=

( )x1 2 22 2−=

( )x

2 0,25=

x222 2−=

x2

2= −

x = –4

c) log5x = 4

54 = x

d) logx49= 2

x2 = 49

3x = 35

x = 5

x = 625como x > 0,

x = 7

e) log3(log7x) = 0

30 = log7x

log7x = 1

71 = x

x = 7

4. Qual o valor do logaritmo de 512 na base 2?log2512 = x

O logaritmo de 512 na base 2 é 92x = 512

2x = 29

x = 9

Imagine alguém que, diariamente, tivesse que fazer contas como

(2,37)(1,02)(3,57)

(1,21)(8,33)sem utilizar uma calculadora.

Seria muito chato e trabalhoso!

No século XVI, o barão escocês John Napier (1550-1617)teológo e matemático, criou um método que,

• Multiplicação em adição;• Divisão em subtração;• Potenciação em multiplicação;• Radiciação em divisão.

Para isso, Brigs elaborou uma tabela com a qual é possível escrever qualquer número positivo na forma de potência de dez, com altíssimo grau de aproximação. Essa tabela é chamada de tábua de logaritmos.

aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1639), diminuiu o tempo gasto na realização de operações matemáticas, transformando, por meio das propriedades de potências:

Briggs foi o primeiro a construir uma tabela de logaritmos. Começou com log 10=1 e depois achou outros logaritmos.Em 1617, ano da morte de Napier, ele publicou uma obra que continha os logaritmos de 1 a 1000, cada um com 14 casas decimais. Em 1624, publicou Arithmetica logarithmica, que continha os logaritmos, também calculados com 14 casas decimais, de 1 a 20000 e de 90000 a 100000.

Hoje, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu.

A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática.

• log x = log10 x (logaritmo decimal)

• ln x = logex (logaritmo natural ou neperiano)

• O número indicado por e é chamado de número de Euler(Leonhard Euler, matemático suiço, 1707-1783) é irracional e vale, aproximadamente, 2,718.

x

x

1lim 1 e

x→∞

+ =

• cologb a = –logb a (cologaritmo)

O número indicado por e é chamado de número de Euler (Leonhard Euler, matemático suiço, 1707-1783) é irracional e vale, aproximadamente, 2,718.

x

x

1lim 1 e

x→∞

+ =

Para quem tiver interesse de saber mais sobre o e, indico o livro“e: A HISTÓRIA DE UM NÚMERO” Eli Maior (Editora Record)

A aproximação decimal de e é obtida calculando o limite de1

1x

+ elevado a x, para x “muito grande”. Matematicamente:

Vamos fazer algumas contas!

x1

1x

+

x

Acompanhe a tabela:

100

1.000

10.000

100.000

10 2,593742601

2,70481382942

2,71692393224

2,71814592683

2,718268237172,718280469321.000.000

5. Determine o valor da expressão:

52a) A = log 8 log 0,2 log1000+ +

Calculando cada parcela da soma:

2log 8 x= A = 6 – 1 + 3

A = 8

log50,2 = y

5y = 0,2

x = 6

y = –1

12 10,2 5

10 5−= = =

( )x

2 8=x

322 2=x

32

=

5y = 5–1

5. Determine o valor da expressão:loga1 = ?

loga1 = 0

logaac = ?

logaac = c

( )4 1021 7 π 3b) B = log 1 log 7 log π log log 3+ + +

B = 0B = 5 + 1

pois a0 = 1

pois ac = ac

alog ba ?= alog ba b=alog ba

5 2log 13 3 log 7log4c) C = 5 10 2++ +

C = 13 +

C = 17 +

2log 732 2⋅

C = 17 + 56

B = 6

C = 73

+ 4 + 1 + log10

4 +

8.7

6. A solução real da equação log7 (7x+56) = 2x é:a) log87b) log78c) log7d) 1e) – 1

72x = 7x + 56

( )2x x7 7 56 0− − =

fi t = –7 ou t = 8t2 – t – 56 = 0

Fazendo 7x = t, temos:

t = –7 S = 1 P = –56

t = 8

x = log78 7x = –7

Impossível pois 7x > 0

7x = 8

fi k = 1

7. (Vunesp-2001) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiênciatermina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão:

com k uma constante positiva e t em horas. k

10

10Q(t) log

t 1

= +

a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k.

Para t = 0, temos Q(0) = 1k

10

10log 1

0 1

= +

b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?

Como k = 1, temos Q(t) =

A experiência termina se Q(t) = 0

10

10log

t 1 +

A experiência termina ao fim de 9 horas

10

10log 0

t 1 = +

10

t 1+

t + 1 = 10t = 9

Série Pensador – P. 508Exercício 10

fi log1010k = 1

fi 100 =

–1

a) y = log2x

Esboçar o gráfico das seguintes funções:

x

y

x y = log2x

–2

–1

1

2

4

¼

½0

2

1

–2

¼ ½0 1

1

2

2

4

C.E.: x > 0 Im = IRD = IR*

+ (reais positivos)

Função crescente

a reta x = 0 (eixo y)é assíntota de log2x

–1

b) y = log½x

10. Faça o gráfico da função:

x

y

x y = log½x

–2

–1 1

2

4

¼

½0

2

1

–2

¼ ½0 1

1

2

2

4

C.E.: x > 0

Im = IRD = IR*

+ (reais positivos)

Função decrescente

a reta x = 0 (eixo y)é assíntota de log½x