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Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 11
GEOMETRIAGEOMETRIA
ANNO SCOLASTICO 2005 - 2006ANNO SCOLASTICO 2005 - 2006
A cura della Prof.ssa Maddalena DominijanniA cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 22
Come consultare l’ipertesto “GEOMETRIA”Come consultare l’ipertesto “GEOMETRIA”
Benvenuti !Benvenuti ! Per navigare e muoversi nell’ipertesto Per navigare e muoversi nell’ipertesto “GEOMETRIA”“GEOMETRIA” dovete dovete semplicemente fare clic sui pulsanti riportati sul lato destro.semplicemente fare clic sui pulsanti riportati sul lato destro.
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Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 33
GEOMETRIA
INTUITIVA RAZIONALE
OSSERVAZIONIPROVE
TENTATIVI
CONCETTI
PRIMITIVIASSIOMI
Può essere
Si basa su Parte da
Definiti mediante
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 44
DALLA GEOMETRIA
INTUITIVA
ALLA GEOMETRIA
RAZIONALE
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 55
IndiceIndice
Gli elementi fondamentali della geometria euclidea Postulati e teoremi Punto Retta Piano Postulati riguardanti gli enti elementari Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari (semirette, segmenti, angoli
Gli obiettiviGli obiettivi
Comprendere il significato di “dimostrazione” Cogliere la differenza fra postulato e teorema Approfondire la conoscenza degli enti geometrici fondamentali Operare con segmenti ed angoli
I contenutiI contenuti
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 66
Di che cosa tratta la geometriaDi che cosa tratta la geometria
Il termine Il termine geometriageometria deriva dal greco ( deriva dal greco (gheghe: “terra”, e : “terra”, e metron:metron: “misura”) e “misura”) e
significa significa ««misuramisura delladella Terra». Terra».
Già gli antichi egiziani erano abili nell’arte di misurare la terra, perché Già gli antichi egiziani erano abili nell’arte di misurare la terra, perché
costretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente costretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente
invasi dalle inondazioni del Nilo.invasi dalle inondazioni del Nilo.
Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, furono Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, furono
portate in Grecia da portate in Grecia da Talete di MiletoTalete di Mileto (624-548 a. C.) e servirono agli antichi (624-548 a. C.) e servirono agli antichi
greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama
Geometria.Geometria.
Rimane però il fatto che l’uomo è stato spontaneamente portato a creare Rimane però il fatto che l’uomo è stato spontaneamente portato a creare
questa scienza, osservando l’ambiente e questa scienza, osservando l’ambiente e astraendoastraendo dagli oggetti circostanti dagli oggetti circostanti
quelle proprietà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di quelle proprietà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di
cui essi sono fatti.cui essi sono fatti.
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 77
I punti di partenza della geometriaI punti di partenza della geometria
Gli enti primitivi della Geometria sono:
PUNTO
RETTA
PIANO
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 88
Gli elementi fondamentali della geometria Gli elementi fondamentali della geometria
Gli enti fondamentaliGli enti fondamentali della geometria sono: il della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei
quali non è data definizionenon è data definizione: la loro natura risulta però determinata da : la loro natura risulta però determinata da
particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati.particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati.
(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!)(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!)
Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure
geometrichegeometriche.
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 99
PUNTOPUNTO
PUNTOPUNTO
Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un punto.punto.
Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso indica soltanto una posizione.indica soltanto una posizione.
Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc.punto A, punto B, ecc.
•A
•B
•C•D
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1010
RETTARETTA
RETTA
Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di una retta.una retta.
A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e senza spessore.senza spessore.
Su di una retta si possono segnare infiniti puntiSu di una retta si possono segnare infiniti punti
Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc.retta a, retta b, ecc.
retta aretta a
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1111
PIANOPIANO
PIANO
Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago, Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago, forniscono delle immagini concrete di un piano.forniscono delle immagini concrete di un piano.
Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come indefinitamente esteso in tutti i sensiindefinitamente esteso in tutti i sensi
I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco: I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco: αα (alfa), (alfa), ββ (beta), (beta), γγ (gamma), ecc. (gamma), ecc.
ααPiano Piano αα
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1212
Postulati riguardanti gli enti elementariPostulati riguardanti gli enti elementari
Alla retta appartengono infiniti puntiAlla retta appartengono infiniti punti
Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti puntiAl piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti
Esistono infinite retteEsistono infinite rette
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1313
Postulati riguardanti gli enti elementariPostulati riguardanti gli enti elementari
Per Per due puntidue punti distinti passa distinti passa unauna sola retta sola retta
•A
•B
Per Per un puntoun punto passano passano infiniteinfinite rette ( rette (l’insieme di tale rette è chiamato l’insieme di tale rette è chiamato fascio fascio poprio)poprio)
A
Una retta può essere percorsa in Una retta può essere percorsa in due versidue versi, l’uno opposto all’altro, l’uno opposto all’altro
La retta è La retta è illimitataillimitata e e continuacontinua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due , vale a dire non ha fine né inizio; fra due suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”.suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”.
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1414
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementariNuovi enti definiti tramite gli enti elementari
Semiretta –Semiretta – Si dice Si dice semirettasemiretta ciascuna delle due parti in cui una retta ciascuna delle due parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto.rimane divisa da un suo punto.
•A
semiretta semiretta
origine
Segmento –Segmento – Un Un segmentosegmento è la parte di retta limitata da due suoi è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi del segmentopunti che si dicono estremi del segmento
A• •
Bsegmento
estremi
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1515
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementariNuovi enti definiti tramite gli enti elementari
Segmenti consecutivi - Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si Due segmenti aventi un estremo in comune si dicono dicono consecutiviconsecutivi
•
Segmenti adiacenti - Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono Due segmenti si dicono adiacenti adiacenti se sono se sono consecutivi ed appartengono alla stessa rettaconsecutivi ed appartengono alla stessa retta
A• •
B
A
B
C
C• •
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1616
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementariNuovi enti definiti tramite gli enti elementari
B
A C
Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea spezzata
Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata
D
ESpezzata aperta
Spezzata chiusaSpezzata
intrecciata
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1717
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementariNuovi enti definiti tramite gli enti elementari
ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l’origine in comune
Angolo convesso
Angolo concavo
Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi latiUn angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1818
Angoli particolariAngoli particolari
Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA. In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il prolungamento dell’altro ( 180 °)]
A O B
Angolo piatto
PIATTO:180°
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 1919
Angoli particolariAngoli particolari
Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si dice che AÔB è un angolo nullo
O
A
B
Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)]
O
A
BAngolo giroGIRO: 360°
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 2020
Angoli particolariAngoli particolari
Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto
RETTO:90°
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 2121
Angoli particolariAngoli particolari
Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto
OTTUSO: > di 90°
ACUTO: < di 90°
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 2222
Angoli particolariAngoli particolari
Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune
O
A
B
CLato comune
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 2323
Angoli particolariAngoli particolari
Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 2424
Angoli particolariAngoli particolari
Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro
O
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 2525
Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI
Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 2626
Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI
Prof.ssa Maddalena DominijanniProf.ssa Maddalena Dominijanni 2727
Concetti o enti primitiviEnti che non definiamo esplicitamente
Assiomi o postulatiProprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo
Teoremi
I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema, mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate, vale a dire dei risultati di altri teoremi.