Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE
incontro borsistiPerugia, 27-31 Agosto, 2007
La Modellizzazione Matematica
Nella Dinamica Di Popolazione
Mimmo Iannelli
University of Trento, Italy
BioMaSCoT groupBio logical Modelling and Scientific Computing Trento
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 1/108
Due ”parole chiave”
Modellizzazione Matematica
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 2/108
Due ”parole chiave”
Modellizzazione Matematica
Dinamica Di Popolazione
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 3/108
Due ”parole chiave”
Modellizzazione Matematica
'
&
$
%la mediazione del modello matematico
tra teoria astratta e realt a fenomenica
@@
@@@R
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 4/108
Modellizzazione Matematica
La matematica è una meravigliosa area di studio, unica in quanto ècontemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una delle poche aree di"ingresso" alla conoscenza.
Con ciò intendo dire che una competenza matematica di base è necessaria in ogni altraarea della ricerca scientifica e che, inoltre, spesso la matematica fornisce la base per losviluppo all’interno delle singole discipline scientifiche.
Nel passato abbiamo potuto verificare questo carattere della matematica nell’ambitodella fisica, ma al giorno d’oggi siamo sul punto di ottenere conquiste in altre disciplinecome la biologia, la chimica, la geologia e la scienza dei materiali, grazie alle nuovetecniche di modellizzazione applicate in questi campi.
Ma, mentre questo suo carattere unico rende la matematica indispensabile allo sviluppodella scienza, può anche renderla poco visibile nell’arena politica. ...
George E. Brown Jr.
Deputato al Congresso degli U.S.A.
Discorso tenuto il 10 gennaio 1997
alla Conferenza dell’A.M.S.
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 5/108
Modellizzazione Matematica
La matematica è una meravigliosa area di studio, unica in quanto ècontemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una delle poche aree di"ingresso" alla conoscenza.
Con ciò intendo dire che una competenza matematica di base è necessaria in ogni altraarea della ricerca scientifica e che, inoltre, spesso la matematica fornisce la base per losviluppo all’interno delle singole discipline scientifiche.
Nel passato abbiamo potuto verificare questo carattere della matematica nell’ambitodella fisica, ma al giorno d’oggi siamo sul punto di ottenere conquiste in altre disciplinecome la biologia, la chimica, la geologia e la scienza dei materiali, grazie alle nuovetecniche di modellizzazione applicate in questi campi.
Ma, mentre questo suo carattere unico rende la matematica indispensabile allo sviluppodella scienza, può anche renderla poco visibile nell’arena politica. ...
George E. Brown Jr.
Deputato al Congresso degli U.S.A.
Discorso tenuto il 10 gennaio 1997
alla Conferenza dell’A.M.S.
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 6/108
Modellizzazione Matematica
La matematica è una meravigliosa area di studio, unica in quanto ècontemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una delle poche aree di"ingresso" alla conoscenza.
Con ciò intendo dire che una competenza matematica di base è necessaria in ogni altraarea della ricerca scientifica e che, inoltre, spesso la matematica fornisce la base per losviluppo all’interno delle singole discipline scientifiche.
Nel passato abbiamo potuto verificare questo carattere della matematica nell’ambitodella fisica, ma al giorno d’oggi siamo sul punto di ottenere conquiste in altre disciplinecome la biologia, la chimica, la geologia e la scienza dei materiali, grazie alle nuovetecniche di modellizzazione applicate in questi campi.
Ma, mentre questo suo carattere unico rende la matematica indispensabile allo sviluppodella scienza, può anche renderla poco visibile nell’arena politica. ...
George E. Brown Jr.
Deputato al Congresso degli U.S.A.
Discorso tenuto il 10 gennaio 1997
alla Conferenza dell’A.M.S.
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 7/108
Modellizzazione Matematica
La matematica è una meravigliosa area di studio, unica in quanto ècontemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una delle poche aree di"ingresso" alla conoscenza.
Con ciò intendo dire che una competenza matematica di base è necessaria in ogni altraarea della ricerca scientifica e che, inoltre, spesso la matematica fornisce la base per losviluppo all’interno delle singole discipline scientifiche.
Nel passato abbiamo potuto verificare questo carattere della matematica nell’ambitodella fisica, ma al giorno d’oggi siamo sul punto di ottenere conquiste in altre disciplinecome la biologia, la chimica, la geologia e la scienza dei materiali, grazie alle nuovetecniche di modellizzazione applicate in questi campi.
Ma, mentre questo suo carattere unico rende la matematica indispensabile allo sviluppodella scienza, può anche renderla poco visibile nell’arena politica. ...
George E. Brown Jr.
Deputato al Congresso degli U.S.A.
Discorso tenuto il 10 gennaio 1997
alla Conferenza dell’A.M.S.
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 8/108
Modellizzazione Matematica
'&
$%REALTÀ FENOMENICA
'
&
$
%oggetti
matematici+ teoria + algoritmi
di calcolo
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 9/108
Modellizzazione Matematica
'&
$%REALTÀ FENOMENICA
6
'
&
$
%oggetti
matematici+ teoria + algoritmi
di calcolo
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 10/108
Modellizzazione Matematica
'&
$%REALTÀ FENOMENICA
6
'
&
$
%oggetti
matematici+ teoria + algoritmi
di calcolo
?
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 11/108
Modellizzazione Matematica
Un classico della Fisica: la caduta di un sasso
?
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 12/108
Modellizzazione Matematica
Un classico della Fisica: la caduta di un sasso
?
variabile di stato (posizione):x(t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 13/108
Modellizzazione Matematica
Un classico della Fisica: la caduta di un sasso
?
variabile di stato (posizione):x(t)
legge fisica:a = −g
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 14/108
Modellizzazione Matematica
Un classico della Fisica: la caduta di un sasso
?
variabile di stato (posizione):x(t)
legge fisica:a = −g
equazione differenziale:x”(t) = −g, x(0) = h
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 15/108
Modellizzazione Matematica
Un classico della Fisica: la caduta di un sasso
?
variabile di stato (posizione):x(t)
legge fisica:a = −g
equazione differenziale:x”(t) = −g, x(0) = h
soluzione analitica:x(t) = − 1
2gt2 + h
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 16/108
Modellizzazione Matematica
Un classico della Fisica: la caduta di un sasso
?
variabile di stato (posizione):x(t)
legge fisica:a = −g
equazione differenziale:x”(t) = −g, x(0) = h
soluzione analitica:x(t) = − 1
2gt2 + h
confronto con i dati sperimentali . . .
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 17/108
Modellizzazione Matematica
Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio
matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 18/108
Modellizzazione Matematica
Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio
matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 19/108
Modellizzazione Matematica
Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio
matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 20/108
Modellizzazione Matematica
Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio
matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 21/108
Modellizzazione Matematica
Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio
matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 22/108
Dinamica di Popolazione
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 23/108
Dinamica di Popolazione
Demografia
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 24/108
Dinamica di Popolazione
Demografia
Ecologia
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 25/108
Dinamica di Popolazione
Demografia
Ecologia
Epidemiologia
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 26/108
Dinamica di Popolazione
Demografia
Ecologia
Epidemiologia
Immunologia
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 27/108
Dinamica di Popolazione
Demografia
Ecologia
Epidemiologia
Immunologia
Crescita Cellulare
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 28/108
Dinamica di Popolazione
Demografia
Ecologia
Epidemiologia
Immunologia
Crescita Cellulare
Biologia Molecolare
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 29/108
Dinamica di Popolazione
Demografia
Ecologia
Epidemiologia
Immunologia
Crescita Cellulare
Biologia Molecolare
6
progressionedi scala
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 30/108
Dinamica di popolazione: uno sguardo ai dati
anno milioni tasso
1790 3,929
1800 5,308 3,5
1810 7,240 3,6
1820 9,638 3,3
1830 12,861 3,3
1840 17,064 3,3
1850 23,192 3,6
1860 31,443 3,6
1870 38,558 2,3
1880 50,189 3,0
1890 62,980 2,5
1900 76,212 2,1
popolazione americana
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 31/108
Dinamica di popolazione: uno sguardo ai dati
anno milioni tasso
1790 3,929
1800 5,308 3,5
1810 7,240 3,6
1820 9,638 3,3
1830 12,861 3,3
1840 17,064 3,3
1850 23,192 3,6
1860 31,443 3,6
1870 38,558 2,3
1880 50,189 3,0
1890 62,980 2,5
1900 76,212 2,1
popolazione americana
(tasso = variazione percentuale)AA
AA
AA
AA
AAK
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 32/108
Uno sguardo ai dati
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 33/108
Uno sguardo ai dati
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 34/108
Uno sguardo ai dati
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 35/108
Uno sguardo ai dati
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 36/108
Uno sguardo ai dati
Gause 1935
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 37/108
Uno sguardo ai dati
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 38/108
Uno sguardo ai dati
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 39/108
Uno sguardo ai dati
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 40/108
Uno sguardo ai dati
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 41/108
Modelli di base
Malthus, 1798 (crescita esponenziale)
d
dtN(t) = (β − µ)N(t)
L’equazione differenziale piu semplice (y′(x) = αy(x))
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 42/108
Modelli di base
Malthus, 1798 (crescita esponenziale)
d
dtN(t) = (β − µ)N(t)
L’equazione differenziale piu semplice
Soluzione: N(t) = N(0)e(β−µ)t
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 43/108
Modelli di base
dati@@@I
�
N(t) = N(0)e(β−µ)t
@@
@@
@R
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 44/108
Modelli di base
Malthus, 1798 (crescita esponenziale)
Modello per una popolazione
- omogenea
- isolata
- in un habitat invariante
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 45/108
Modelli di base
la popolazione e omogenea (gli individui che lacompongono si possono considerare identici);
la popolazione e isolata (non e soggetta adimmigrazione ed emigrazione);
l’habitat e invariante (le risorse a disposizione dellapopolazione e le condizioni di vita cui e sottopostanon sono influenzate da fattori esterni, n e dallapropria stessa presenza).
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 46/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
la popolazione e isolata (non e soggetta adimmigrazione ed emigrazione);
l’habitat e invariante (le risorse a disposizione dellapopolazione e le condizioni di vita cui e sottopostanon sono influenzate da fattori esterni, n e dallapropria stessa presenza).
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 47/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;
l’habitat e invariante (le risorse a disposizione dellapopolazione e le condizioni di vita cui e sottopostanon sono influenzate da fattori esterni, n e dallapropria stessa presenza).
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 48/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;
fertilit a e mortalit a sono costanti.
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 49/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;
fertilit a e mortalit a sono costanti.
formulazione del modello
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 50/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;
fertilit a e mortalit a sono costanti.
formulazione del modello
d
dtN(t)
HHHYvariazione istantanea al tempo t
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 51/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;
fertilit a e mortalit a sono costanti.
formulazione del modello
d
dtN(t) = βN(t)
6input: nuovi nati
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 52/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;
fertilit a e mortalit a sono costanti.
formulazione del modello
d
dtN(t) = βN(t)
6input: nuovi nati�
����
fertilit a: numero di nuovi nati per individuo nell’unit a di tempo
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 53/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;
fertilit a e mortalit a sono costanti.
formulazione del modello
d
dtN(t) = βN(t) − µN(t)
6output: morti
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 54/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;
fertilit a e mortalit a sono costanti.
formulazione del modello
d
dtN(t) = βN(t) − µN(t)
6output: morti���������1
mortalit a: frazione di individui che muore nell’unit a di tempo
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 55/108
Modelli di base
lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);
uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;
fertilit a e mortalit a sono costanti.
formulazione del modello
d
dtN(t) = βN(t) − µN(t) = (β − µ)N(t)
N(0) = N0
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 56/108
Modelli di base
N(t) = N0e(β−µ)t
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 57/108
Modelli di base
N(t) = N0e(β−µ)t = N0e
εt
@@R
potenziale malthusiano
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 58/108
Modelli di base
N(t) = N0e(β−µ)t = N0e
εt
@@R
potenziale malthusiano
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 59/108
Modelli di base
Il modello di Malthus non funziona sempre
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 60/108
Modelli di base
Il modello di Malthus non funziona sempre
Popolazione
- omogenea- isolata- in un habitat invariante
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 61/108
Modelli di base
Il modello di Malthus non funziona sempre
Popolazione
- omogenea- isolata- in un habitat invariante
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 62/108
Modelli di base
Verhulst, 1838 (crescita logistica)
d
dtN(t) = ε
(
1 −N(t)
K
)
N(t)
potenziale malthusiano ”intrinseco”(a bassa densit a di popolazione)
��
��
���
capacit a portante�
��
��
��
��
���
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 63/108
Modelli di base
Verhulst, 1838 (crescita logistica)
d
dtN(t) = ε
(
1 −N(t)
K
)
N(t)
soluzione: N(t) =KN0
N0 + (K − N0)e−εt
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 64/108
Modelli di base
Verhulst, 1838 (crescita logistica)
d
dtN(t) = ε
(
1 −N(t)
K
)
N(t)
soluzionestazionaria
��
���
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 65/108
Modelli di base
comportamento non logistico
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 66/108
Modelli di base
comportamento non logistico
Popolazione
- omogenea- isolata- in un habitat invariante
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 67/108
Modelli di base
comportamento non logistico
Popolazione
- omogenea- isolata si manifesta una ”struttura”- in un habitat invariante
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 68/108
I prototipi dell’ecologia
Equazioni di Volterra-Lotka
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 69/108
I prototipi dell’ecologia
Meccanismi Fondamentali di Interazione (due specie)
Competizionedue specie sono in concorrenza per le stesse risorse
ciascuna specie produce un effetto logistico su entrambe
la crescita di una specie peggiora le condizioni di vita di en trambe
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 70/108
I prototipi dell’ecologia
Meccanismi Fondamentali di Interazione (due specie)
Competizionedue specie sono in concorrenza per le stesse risorse
ciascuna specie produce un effetto logistico su entrambe
la crescita di una specie peggiora le condizioni di vita di en trambe
Preda-predatoreuna specie (predatore) si ciba dell’altra (preda)
la crescita della preda favorisce il predatore
la crescita del predatore sfavorisce la preda
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 71/108
I prototipi dell’ecologia
Competizione
d
dtN1(t) = [ε1 − γ1(h1N1(t) + h2N2(t))]N1(t),
d
dtN2(t) = [ε2 − γ2(h1N1(t) + h2N2(t))]N2(t),
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 72/108
I prototipi dell’ecologia
Competizione
d
dtN1(t) = [ε1 − γ1(h1N1(t) + h2N2(t))]N1(t),
d
dtN2(t) = [ε2 − γ2(h1N1(t) + h2N2(t))]N2(t),
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 73/108
I prototipi dell’ecologia
Competizione
d
dtN1(t) = [ε1 − γ1(h1N1(t) + h2N2(t))]N1(t),
d
dtN2(t) = [ε2 − γ2(h1N1(t) + h2N2(t))]N2(t),
se fosse N2(t) ≡ 0 allora
d
dtN1(t) = [ε1 − γ1h1N1(t)]N1(t) = ε1
[
1 −N1(t)
K1
]
N1(t)
��
��
��
���
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 74/108
I prototipi dell’ecologia
Competizione (caso h1K1 < h2K2)
equilibri(soluzioni stazionarie)di esclusione
��
��
XXXXXXXXXXXXXXXXXXy
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 75/108
I prototipi dell’ecologia
I dati di Gause
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 76/108
I prototipi dell’ecologia
Il Principio di Esclusione
Due specie distinte non possono occupare a lungascadenza la stessa nicchia ecologica, ma necessariamenteuna delle due specie si estingue mentre l’altra tende asaturare la nicchia.
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 77/108
I prototipi dell’ecologia
Preda-Predatore
d
dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)
d
dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 78/108
I prototipi dell’ecologia
Preda-Predatore
d
dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)
d
dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)
eq. preda -
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 79/108
I prototipi dell’ecologia
Preda-Predatore
d
dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)
d
dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)
eq. preda
eq. predatore
-
-
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 80/108
I prototipi dell’ecologia
Preda-Predatore
d
dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)
d
dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)
eq. preda
eq. predatore
-
-
preda senza predatore - d
dtH(t) = ε1H(t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 81/108
I prototipi dell’ecologia
Preda-Predatore
d
dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)
d
dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)
eq. preda
eq. predatore
-
-
predatore senza preda - d
dtP (t) = −ε2P (t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 82/108
I prototipi dell’ecologia
Preda-Predatore
d
dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)
d
dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)
eq. preda
eq. predatore
-
-
incontri efficaci nell’unit a di tempo - aH(t)P (t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 83/108
I prototipi dell’ecologia
Preda-Predatore
d
dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)
d
dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)
eq. preda
eq. predatore
-
-
vantaggio nell’unit a di tempo - γaH(t)P (t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 84/108
I prototipi dell’ecologia
soluzioni periodiche
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 85/108
I prototipi dell’ecologia
soluzioni periodiche
equilibrio�
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 86/108
I prototipi dell’ecologia
perturbazione delle medie
d
dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t) − λH(t)
d
dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t) − λP (t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 87/108
I prototipi dell’ecologia
perturbazione delle medie
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 88/108
I prototipi dell’ecologia
perturbazione delle medie
la pesca, la caccia, l’uso di insetticidi
producono un aumento della preda
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 89/108
I prototipi dell’ecologia
l’ultimo lavoro di Volterra
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 90/108
La descrizione delle Epidemie
eW. O. Kermack A. G. McKendrick
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 91/108
La descrizione delle Epidemie
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 92/108
La descrizione delle Epidemie
S′(t) = −λ(t)S(t)
I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t)
R′(t) = γI(t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 93/108
La descrizione delle Epidemie
S′(t) = −λ(t)S(t)
I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t)
R′(t) = γI(t)
λ(t) =cχ
NI(t) = λ0I(t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 94/108
La descrizione delle Epidemie
S′(t) = −λ(t)S(t)
I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t)
R′(t) = γI(t)
I ′(t) = [λ0S(t) − γ] I(t)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 95/108
La descrizione delle Epidemie
S′(t) = −λ(t)S(t) S(0) = S0;
I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t) I(0) = I0;
R′(t) = γI(t) R(0) = R0.
I ′(t) = [λ0S(t) − γ] I(t)
S′(t) = −λ(t)S(t)< 0
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 96/108
La descrizione delle Epidemie
S′(t) = −λ(t)S(t) S(0) = S0;
I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t) I(0) = I0;
R′(t) = γI(t) R(0) = R0.
I ′(t) = [λ0S(t) − γ] I(t)
S′(t) = −λ(t)S(t)< 0
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 97/108
La descrizione delle Epidemie
S′(t) = −λ(t)S(t) S(0) = S0;
I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t) I(0) = I0;
R′(t) = γI(t) R(0) = R0.
I ′(t) = [λ0S(t) − γ]I(t)
S′(t) = −λ(t)S(t)< 0
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 98/108
La descrizione delle Epidemie
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 99/108
La descrizione delle Epidemie
R0 =cχ
γ= numero riproduttivo di base
Paradigma di base
R0S0 ≤ 1 → estinzione dell’infezione
R0S0 > 1 → outbreak = invasione
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 100/108
La descrizione delle Epidemie
Lo studio di una pandemia
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 101/108
Concludendo
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 102/108
Concludendo
Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo
condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il
ragionamento ordinario ”
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 103/108
Concludendo
Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo
condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il
ragionamento ordinario ”
I semplici modelli esaminati fanno vedere come i meccanismi che regolano
gli ecosistemi possano essere esaminati ”qualitativamente”
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 104/108
Concludendo
Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo
condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il
ragionamento ordinario ”
I semplici modelli esaminati fanno vedere come i meccanismi che regolano
gli ecosistemi possano essere esaminati ”qualitativamente”
L’analisi ”qualitativa” (appunto) mette a disposizione i concetti di stabilit a
degli equilibri e gli strumenti per lo studio del comportamento asintotico
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 105/108
Concludendo
Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo
condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il
ragionamento ordinario ”
I semplici modelli esaminati fanno vedere come i meccanismi che regolano
gli ecosistemi possano essere esaminati ”qualitativamente”
L’analisi ”qualitativa” (appunto) mette a disposizione i concetti di stabilit a
degli equilibri e gli strumenti per lo studio del comportamento asintotico
Un problema di popolazione coinvolge vari strumenti e teori e
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 106/108
Concludendo
Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo
condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il
ragionamento ordinario ”
I semplici modelli esaminati fanno vedere come i meccanismi che regolano
gli ecosistemi possano essere esaminati ”qualitativamente”
L’analisi ”qualitativa” (appunto) mette a disposizione i concetti di stabilit a
degli equilibri e gli strumenti per lo studio del comportamento asintotico
Un problema di popolazione coinvolge vari strumenti e teori e
Equazioni differenziali ordinarie (ODE)
Equazioni alle derivate parziali (PDE)
Equazioni Integro-Differenziali
Equazioni discrete (alle differenze)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 107/108
Concludendo
e ancora:
Equazioni stocastiche
Analisi funzionale
Equazioni nel campo complesso
Analisi numerica
...
...
...
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 108/108
Concludendo
e ancora:
Equazioni stocastiche
Analisi funzionale
Equazioni nel campo complesso
Analisi numerica
...
...
...
. . . La matematica e una meravigliosa area di studio, unica in quanto e
contemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una d elle poche aree di
”ingresso” alla conoscenza.. . .
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 109/108
". . . e la sua carne, cucinata come pesce erapesce buonissimo, cucinata come coniglio eraconiglio saporito, come lepre o altra cacciagioneera lepre e altra cacciagione . . . "
Italo Calvino, Fiabe Italiane
Sperso per il mondo (fiaba siciliana)
Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 110/108