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“PROGRAMA DE INTERVENCIÓN BASADO EN LA
ENSEÑANZA DIRECTA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN
QUINTO GRADO DE PRIMARIA”.
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE
LICENCIADO EN PSICOLOGÍA EDUCATIVA PRESENTAN
ARGÜELLES RANGEL VERÓNICA
HERNÁNDEZ CRUZ RAFAEL
ASESOR: MTRO. PEDRO BOLLAS GARCÍA
MÉXICO, D. F. 2009
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
PSICOLOGÍA EDUCATIVA
2
Dedicatoria
A Dios, le doy gracias porque ha escuchado mi oración y me acompaña en todo momento.
A mi esposa, por la infinita paciencia y
apoyo incondicional que me brinda siempre.
A mi familia por la formación que me ha dado, los valores inculcados, su cariño, amor y su gran espíritu de superación.
A mis maestros por su gran sabiduría, experiencia y apoyo en mi trayecto formativo de mi preparación profesional.
Rafael Hernández Cruz
3
Dedicado a:
Mis padres que me dieron su apoyo y confianza para que yo pudiera realizarme como persona y como
profesional. A mis hermanos por su compañía y apoyo.
Dios por la fuerza, paciencia, salud, amor necesario para la realización de este sueño.
Raúl por su apoyo incondicional, confianza, AMOR, por creer en mi y por crecer conmigo.
Mis amigos por su compañía, por vivir conmigo los momentos difíciles y alegres de este camino.
Pedro Bollas García por la colaboración de mi formación profesional.
Ana Laura Avalos (+) por lo que aprendí de la vida.
Verónica Argüelles Rangel
4
Í N D I C E
RESUMEN
INTRODUCCIÓN
1. DELIMITACIÓN DEL TEMA 1.1 Planteamiento del problema…………………………………………………… 4
1.2 Justificación ……………………………………………………………………... 6
1.3 Objetivos ………………………………………………………………………… 7
2 MARCO TEÓRICO
2.1 La enseñanza de las matemáticas en la educación primaria. ……………………………………………………………………....... 8 2.1.1 Sugerencias pedagógicas para la enseñanza de las
matemáticas. …………………………………………………………………… 10
2.1.2 Recomendaciones didácticas. ……………………………………………… 11
2.1.3 Los números, sus relaciones y sus operaciones. ……………………….. 15
2.2 Enseñanza – aprendizaje de la multiplicación. …………………………. 18
2.2.1 Formas de enseñanza de la multiplicación. ……………………………… 23
2.3 Enseñanza – aprendizaje de la división. …………………………………. 27 2.3.1 Formas de enseñanza de la división. ……………………………………… 31
2.4 Problemas que implican la multiplicación y la división. ……………… 33 2.4.1 Tipos de problemas. ………………………………………………………… 35
2.4.2 Procesos para la resolución de problemas. ……………………………… 40
2.4.3 Dificultades en la resolución de problemas. ……………………………… 41
2.5 Uso de material didáctico para la enseñanza de la multiplicación y división. ……………………………………………………. 42
5
2.6 Modelo de Enseñanza Directa. …………………………………………… 45
2.6.1 Bases teóricas del Modelo de Enseña Directa. ………………………… 45
2.6.2 Fases del modelo. …………………………………………………………. 47
2.6.3 Introducción. ………………………………………………………………… 47
2.6.4 Presentación. ……………………………………………………………….. 49
2.6.5 Práctica guiada. ……………………………………………………………. 50
2.6.6 Práctica independiente…………………………………………………….. 50
3 MÉTODO 3.1 Sujetos. ……………………………………………………………………….. 52
3.2 Escenario. ……………………………………………………………………. . 52
3.3 Instrumentos. ………………………………………………………………….. 52
3.4 Tipo de estudio. ………………………………………………………………. 53
3.5 Procedimiento. ………………………………………………………………. . 53
4 ANÁLISIS DE RESULTADOS 4.1 Análisis cuantitativo. …………………………………………………………. 55
4.2 Análisis cualitativo. …………………………………………………………… 57
5 CONCLUSIONES ………………………………………………………………. 61
6 BIBLIOGRAFÍA 7 ANEXOS 7.1 Cuestionario
7.2 Programa de intervención.
7.3 Tabla de resultados Pretest.
7.4 Tabla de resultados Postest.
1
RESUMEN
El presente trabajo tiene como objetivo diseñar, aplicar y evaluar un programa de
intervención basado en el modelo de enseñanza directa para la resolución de
problemas matemáticos de multiplicación y división en quinto grado de primaria.
Los problemas matemáticos se plantean con el fin de promover en los niños el
desarrollo de una serie de actividades, reflexiones, estrategias y discusiones que les
permita la construcción de conocimientos nuevos o la búsqueda de la solución a partir
de los conocimientos que ya poseen, para ello se pueden auxiliar de materiales
didácticos.
Se trabajó un diseño cuasi – experimental pre – post con un grupo experimental. Las
fases de la investigación son tres: a) evaluación inicial que consta de 21 items que
evalúan contenidos procedimentales de multiplicación y división, b) la aplicación de la
propuesta y c) la evaluación final que mide los mismos contenidos.
La propuesta aplicada al grupo experimental se dividió en 14 sesiones con una duración
de 1 hora con 30 minutos diarios.
En el análisis comparativo de los resultados obtenidos se encontró que en la evaluación
inicial las calificaciones del grupo fueron menores que las calificaciones de la
evaluación final. En este caso, la evaluación final arrojó que la diferencia a favor fue
para el grupo después de trabajar con la propuesta de intervención; con la aplicación de
la prueba “t de student” con grupos relacionados, se logró determinar la significancia de
su aplicación, en vista a que los alumnos se percibieron con mejores habilidades al final
del programa.
2
INTRODUCCIÓN
Todo sujeto en algún momento de su vida se ha encontrado con problemas, desde el
punto de vista Kantowski citado por Luceño (1999) “un individuo está ante un problema,
cuando se enfrenta con una cuestión a la que no puede dar respuesta o con una
situación que no sabe resolver, utilizando los conocimientos inmediatamente
disponibles”(p.13).
Considerando una parte del proceso de enseñanza aprendizaje como es la resolución
de problemas de multiplicación y división, en este trabajo de tesis se plantea el objetivo
de diseñar, aplicar y evaluar un programa de intervención basado en el modelo de
enseñanza directa para la resolución de problemas matemáticos de multiplicación y
división en quinto grado de primaria.
En el primer capítulo se hace una breve descripción de la enseñanza de las
matemáticas en la educación primaria; Puig y Cerdán (1995) mencionan que, sobre los
números y las operaciones, los alumnos aprenden a contar, recitar la secuencia
numérica; a reconocer las cifras y escribirlas; a coordinar y comparar conjuntos de
objetos, a decir cuántos objetos hay, dónde hay más o menos; a expresar
simbólicamente esas relaciones; a sumar con los dedos, mediante la recta numérica o
con regletas de colores.
También se hacen sugerencias pedagógicas para la enseñanza de las matemáticas, así
como recomendaciones didácticas, basadas en el eje los números, sus relaciones y sus
operaciones, con el fin de promover en los niños una serie de actividades, reflexiones,
estrategias y discusiones que les permitan la construcción de conocimientos nuevos o
la búsqueda de la solución a partir de los conocimientos que ya poseen.
El siguiente capítulo está dedicado a describir las formas de enseñanza – aprendizaje
de la multiplicación según Rochelle, Takashi y Herbert (1989) una forma en que los
niños aprenden las multiplicaciones mediante la memorización, sin embargo los niños
también pueden aprender a través de otros procedimientos buscando estrategias.
3
Existen diferentes modelos de enseñanza para la multiplicación que están propuestos
por los libros de texto como: arreglos rectangulares, esquemas cardinales, diagramas
de flechas, diagramas de árbol, manejo de las tablas, etc.
En el tercer capítulo se revisan las diferentes formas de enseñanza de la división, a
través de los arreglos rectangulares, la utilización de regletas y el planteamiento de
problemas.
En el cuarto capítulo se explican los tipos de problemas que existen utilizando la
multiplicación y división como son: el isomorfismo de medidas y categorías del producto
de medidas.
También se describen los procesos para la resolución de problemas, según Maza
(1991) el procedimiento es el siguiente: análisis del problema, representación del
problema, planificación, ejecución y generalización. De la misma manera se mencionan
las dificultades que se presentan en la resolución de problemas.
En el quinto capítulo se hace una descripción de la importancia del uso del material
didáctico para la enseñanza de la multiplicación y división, ya que es una estrategia
importante en el proceso de enseñanza aprendizaje debido a que, usualmente, se
utiliza para propiciar en el alumno las experiencias que contribuyen a lograr la
comprensión y la asimilación de un conocimiento, como dice Coriat (2001) en principio
cualquier cosa puede servir de material didáctico o recurso, ya que cualquier objeto
admite la lectura de o interpretación matemática.
En el último capítulo se menciona importancia del uso del modelo de enseñanza
directa. Éste modelo es de gran ayuda al profesor para planear sus actividades o
sesiones para enseñar tanto conceptos como habilidades de una forma más
significativa para los alumnos, según Rosenshine (citado por Eggen, 2002) la
enseñanza directa se refiere a clases académicamente enfocadas y dirigidas por el
docente, con la utilización de materiales secuenciados y estructurados.
4
DELIMITACIÓN DEL TEMA
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La enseñanza de las matemáticas se ha modificado partiendo de la necesidad de
resolver problemas concretos, propios de los grupos sociales. En el caso de la
construcción de los conocimientos matemáticos, los niños parten de sus experiencias
previas y de su interacción con el medio que los rodea, a medida que realiza sus
acciones puede ir dejando de lado los objetos concretos para utilizar las operaciones
aritméticas. Para que esto pueda ser posible, se pretende que el alumno tenga una
formación matemática que le permita a cada miembro de la comunidad enfrentar y dar
respuesta a determinados problemas de la vida moderna, esto dependerá en gran parte
de las acciones y nociones elementales adquiridas y desarrolladas durante la
enseñanza en la educación primaria.
De acuerdo con la Secretaria de Educación Pública, cuando los alumnos terminan su
educación primaria deben conocer las reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones
esenciales de las matemáticas que les servirán para la solución de problemas en su
vida cotidiana (SEP, 1993). Para que el alumno construya sus conocimientos
matemáticos es necesario que el maestro elija y diseñe problemas con los que el niño
desarrolle nociones y procedimientos a través de las interrogantes que ellos se
planteen. Los problemas no deberán responder sólo al esquema tradicional que
consiste en una sola interrogante.
Para la enseñanza de las operaciones matemáticas, se sugiere que el maestro propicie
la reflexión del niño, al comparar los procedimientos informales que utiliza con los
procedimientos convencionales. Así, él podrá valorar la eficacia de estos últimos para
resolver problemas, por ello las recomendaciones didácticas que se plantean en el libro
para el maestro (SEP, 1993), tienen el propósito de brindar algunas herramientas que
apoyen la tarea del docente, ya sea en lo que se refiere a la organización de la
enseñanza de las matemáticas o al tratamiento de los contenidos propuestos.
5
De la misma manera se debe fomentar el trabajo en equipos ya que permite a los
alumnos intercambiar puntos de vista, socializar sus estrategias y validar o rectificar sus
procedimientos para solucionar un problema o un ejercicio numérico. Por eso cuando
se manejan las operaciones básicas como la multiplicación, es importante saber que
aparece de manera natural ya que posee un soporte lingüístico en el lenguaje común,
gracias a los términos como: doble o triple etc., y a las expresiones como: dos veces,
tres veces, cuatro veces etc., esto se traduce en la suma de sumandos iguales. De ahí
que éste sea, el modo más natural de construir las tablas de multiplicar, esto se puede
ver cuando el alumno usa los arreglos rectangulares, como recurso didáctico, que son
comúnmente utilizados en los libros de texto de educación primaria, para la enseñanza
de diversos contenidos.
La división para los alumnos de quinto grado sigue presentando gran dificultad, para
ello una estrategia que facilitará la enseñanza de estos contenidos es el Modelo de
Enseñanza Directa; éste ayuda a que los alumnos le encuentren un valor significativo,
en la medida que ellos serán protagonistas del logro de sus conocimientos. Para tener
una mejor comprensión de éstas operaciones un factor importante es auxiliarse de
material didáctico ya que facilita el proceso de enseñanza – aprendizaje. Son los
recursos que se utilizan para propiciar en el alumno las experiencias que contribuyen a
lograr la comprensión y asimilación de un conocimiento, este tipo de materiales son
objetos físicos o gráficos que son utilizados por los profesores para la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas.
La importancia en el uso de los materiales didácticos radica en saber utilizarlos en el
momento, modo y lugar adecuado, tomando en cuenta la circunstancia y el contenido
escolar para que funcione adecuadamente, sin embargo no es suficiente que el
material parezca tener una utilidad, también hay que tomar en cuenta su función y la
interpretación que darán los alumnos en el aprendizaje que obtendrá de éste.
De acuerdo con lo anterior, en esta investigación nos preguntamos: ¿Un programa de
intervención basado en la enseñanza directa favorece el aprendizaje de la resolución de
problemas con multiplicación y división?
6
JUSTIFICACIÓN
La multiplicación y la división han generado un problema que comúnmente encontramos
en el salón de clases, los alumnos frecuentemente aplican estas operaciones para
resolver algunos problemas que les plantea el profesor o simplemente para resolver las
operaciones del pizarrón, pero lo hacen de una forma mecánica sin comprender el
proceso que sigue.
La presente investigación es importante debido a que los alumnos de quinto grado de
Educación Primaria se les dificultan resolver problemas en los que se aplican la
multiplicación y división, tanto en la aritmética, como en la geometría. Debido a esto
hemos elaborado un programa de intervención basado en el Modelo de Enseñanza
Directa, tomando en cuenta dos puntos que son: la ejecución de la operación y el uso
en la resolución de problemas, con el fin de facilitar el proceso de enseñanza -
aprendizaje en los alumnos, con ayuda de material didáctico, de tal manera que
encuentren estrategias más sencillas y con mayor significado en su contexto actual.
A través de este programa se pretende que tanto profesores como alumnos logren
mayores satisfacciones que beneficien sus intereses particulares y de esta manera
reducir las bajas calificaciones y la tasa de de reprobación en la asignatura de
matemáticas. Lo que se pretende es favorecer el aprendizaje de los contenidos con los
alumnos a quienes se les aplicará el programa de intervención. Tomando en cuenta las
evaluaciones del programa “Enlace” (Evaluación Nacional del Logro Académico en
Centros Escolares), donde uno de los problemas de aprendizaje tiene que ver con la
aplicación de la multiplicación y la división en la solución de problemas.
Gracias a las bondades de este programa, los conocimientos se comprobarán en una
realidad inmediata de tal modo que resuelva los problemas de su vida actual.
7
OBJETIVO GENERAL Diseñar, aplicar y evaluar un programa de intervención basado en el modelo de
enseñanza directa para la resolución de problemas matemáticos de multiplicación y
división en quinto grado de primaria.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Realizar una evaluación antes y después de aplicar el programa de intervención
para que nos permita saber con que conocimientos cuentan los alumnos antes
de la aplicación del programa de intervención y después de la aplicación de éste.
Aplicar el programa de intervención que favorezca el aprendizaje de la resolución
de problemas de multiplicación y división en quinto grado basado en el modelo
de enseñanza directa.
Realizar un análisis comparativo entre la evaluación inicial y la evaluación final
para conocer los logros obtenidos con el programa de intervención.
8
MARCO TEÓRICO
LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA
El hombre por naturaleza es un ser en constante dinamismo; debido a su enorme
curiosidad y es precisamente en las matemáticas donde la proyecta, por ello las
matemáticas son un producto del quehacer humano.
“Muchos desarrollos importantes de esta disciplina han partido de la necesidad de
resolver problemas concretos, propios de los grupos sociales. Por ejemplo los
números, tan familiares para todos, surgieron de la necesidad de contar y son también
una abstracción de la realidad que se fue desarrollando durante largo tiempo” (SEP,
1993, 50). Este desarrollo está además estrechamente ligado a las particularidades
culturales de los pueblos. Todas las culturas tienen un sistema para contar, aunque no
todas cuenten de la misma manera.
Para la construcción de los conocimientos matemáticos, el niño parte de sus
experiencias previas. A medida que realiza sus acciones puede ir dejando de lado los
objetos concretos. Cuando interacciona y confronta sus puntos de vista con los demás
va contribuyendo al aprendizaje de contenidos, por lo que tal proceso es reforzado
cuando está en contacto con sus compañeros y maestros “El éxito en el aprendizaje de
esta disciplina depende, en buena medida, del diseño de actividades que promuevan la
construcción de conceptos a partir de experiencias concretas, en la interacción con los
otros” (SEP, 1993,51).
La necesidad que va teniendo el hombre a la largo de su historia, va siendo cada día
mayor y las matemáticas son una herramienta útil para obtener soluciones a cada
problemática que se le presente. Las matemáticas le permiten resolver problemas en
distintos contextos. “Todas las personas construyen conocimientos fuera de la escuela
9
que les permiten enfrentar dichos problemas, esos conocimientos no bastan para
actuar eficazmente en la práctica diaria. Los procedimientos generados en la vida
cotidiana para resolver situaciones problemáticas muchas veces son largos,
complicados y poco eficientes, si se les compara con los procedimientos
convencionales que permiten resolver las mismas situaciones con más facilidad y
rapidez” (SEP, 1993, 55). Gracias a las habilidades que se desarrollan en la escuela, le
permiten interpretar lo que se le presente en un mundo donde existe en distintos rubros
la comunicación matemática, “la matemática se aprende por la realización de la
actividad matemática, cual se caracteriza por una indagación constante, el
planteamiento de lo elaborado, la búsqueda de una comprensión más profunda de los
contenidos y la realización de esfuerzos para interactuar constantemente con los
contenidos matemáticos” (Mancera, 2000, 9).
Los problemas se plantean con el fin de promover en los niños el desarrollo de una
serie de actividades, reflexiones, estrategias y discusiones, que les permitan la
construcción de conocimientos nuevos o la búsqueda de la solución a partir de los
conocimientos que ya poseen, para ello se pueden auxiliar de las operaciones
aritméticas, “por lo que respecta a los números y las operaciones aprenden a contar,
recitar la secuencia numérica; a reconocer las cifras y escribirlas; a coordinar y
comparar conjuntos de objetos, a decir cuántos objetos hay, dónde hay más o menos; a
expresar simbólicamente esas relaciones; a sumar con los dedos, mediante la recta
numérica o con regletas de colores” (Puig y Cerdán, 1995, 49).
Las operaciones son concebidas como instrumentos que permiten resolver problemas;
el significado y sentido que los niños puedan darles deriva, precisamente, de las
situaciones que resuelven con ellas. Para ello el docente debe propiciar la habilidad
matemática en el educando.
10
Sugerencias pedagógicas para la enseñanza de las matemáticas. De acuerdo son la Secretaría de Educación Pública en México (SEP, 1993), se
pretende la formación matemática que le permita a cada miembro de la comunidad
enfrentar y dar respuesta a determinados problemas de la vida cotidiana. Esto
dependerá en gran parte de las acciones y nociones elementales adquiridas y
desarrolladas durante la enseñanza primaria. La experiencia que tengan los niños en el
aprendizaje de las matemáticas en la educación básica definirá el gusto que puedan
adquirir por esta disciplina.
La propuesta contenida en los Planes y Programas (1993), pretende llevar a las aulas
una matemática que permita a los alumnos construir los conocimientos a través de
actividades que susciten su interés y los hagan involucrarse y mantener la
atención hasta encontrar la solución de un problema. Una función de la escuela primaria
es ofrecer al alumno la oportunidad de desarrollar el conjunto de habilidades y
conocimientos para resolver problemas de diversa índole, favoreciendo así su
desarrollo integral. Esta propuesta considera los conocimientos escolares y
extraescolares que poseen los alumnos, los procesos que siguen para construir nuevos
conocimientos y las dificultades que enfrentan en su aprendizaje para resolver
problemas y avanzar hacia el conocimiento formal.
Asimismo, se pretende “que el alumno disfrute al hacer matemáticas y que desarrolle la
habilidad para expresar ideas, la capacidad de razonamiento, la creatividad y la
imaginación” (SEP, 1994, 9).
Para que el alumno construya sus conocimientos matemáticos es necesario que el
maestro elija y diseñe problemas con los que el niño desarrolle nociones y
procedimientos a través de las interrogantes que ellos se planteen. Los problemas no
deberán responder sólo al esquema tradicional que consiste en una sola
interrogante.
11
Es necesario saber si los datos de un problema son suficientes para encontrar la
solución o es necesario buscar información adicional, encontrar la respuesta de un
acertijo, buscar la estrategia para ganar sistemáticamente en un juego matemático, etc.,
también son problemas que ayudan a pensar y a poner en juego conocimientos
matemáticos.
Recomendaciones didácticas Las recomendaciones didácticas que se plantean en el libro para el maestro (SEP,
1994) tienen el propósito de brindar algunas herramientas que apoyen la tarea del
docente, ya sea en lo que se refiere a la organización de la enseñanza de las
matemáticas o al tratamiento de los contenidos propuestos.
Con el fin que el maestro propicie las condiciones más favorables para la formación de
sus alumnos se sugiere: motivar la reflexión personal y colectiva de los alumnos, y la
verificación y expresión individual de sus procedimientos y soluciones.
Seleccionar o diseñar actividades que impliquen variedad en la forma de presentar
información, datos o preguntas. Seleccionar situaciones problemáticas que puedan ser
resueltas utilizando diversos procedimientos. Proponer a los alumnos que
comparen sus resultados y justifiquen sus procedimientos para que participen cuando
se tenga que decidir qué respuestas son correctas y cuáles no. “Proponer
actividades en las que los alumnos realicen estimaciones y cálculos mentales tanto en
situaciones numéricas, como de medición u otras” (SEP, 1994, 12).
Fomentar el trabajo en equipos ya que permite a los alumnos intercambiar puntos de
vista, socializar sus estrategias y validar o rectificar sus procedimientos para solucionar
un problema o un ejercicio numérico.
Es importante que el maestro diferencie cuando una actividad consiste en un problema,
para ello debe tener presente, que a partir de los datos del problema se quiere obtener
12
una información que no es consecuencia inmediata de éstos. Estas informaciones
pueden proporcionarse a través de enunciados, documentos, situaciones y
experiencias o de la construcción de un objeto o un juego matemático. Estas
actividades deben llevar al niño a efectuar descubrimientos propios y no sólo aquello
que queremos que aprenda. “Es por ello que se debe estimular en el niño un espíritu de
búsqueda que lo ayude a desarrollar la intuición matemática” (SEP, 1994, 12).
Una vez que los alumnos han construido un determinado conocimiento, el maestro
podrá plantear problemas con los que pueda conocer y evaluar cómo aplican las
nociones o procedimientos aprendidos, mientras que el alumno comprobará los
conocimientos que va adquiriendo.
Los alumnos alcanzan el aprendizaje de las matemáticas con diferentes actitudes,
algunos se estimulan con las ideas matemáticas y el planteamiento de un problema les
resulta un reto motivador, por otro lado, otros tantos muestran muy poco interés, debido
a que las abstracciones son difíciles de comprender, para ello y a menudo
experimentan fracaso, pasando por su mente la frase “no puedo”. Por eso el profesor
debe darle a cada quien lo que necesita tomando en cuenta las individualidades para
que no lleve a sus alumnos a un pensamiento de frustración. Para el logro del
conocimiento el alumno debe de alcanzar el aprendizaje de conceptos, teniendo como
objetivo que él llegue a construir ideas sobre la realidad y que cada vez sean más
adecuadas, buscando la interacción con su medio y aumentando su nivel de predicción.
El aprendizaje de éste exige de la memorización de la información.
Otro escalón que se debe fomentar es el aprendizaje procedimental que incluye entre
otras “las reglas, las técnicas, los métodos, las destrezas o habilidades, las estrategias,
los procedimientos; si son un conjunto de acciones ordenadas y finalizadas en busca
de un objetivo” (Hernández y Soriana, 1999, 36). Este aprendizaje procedimental se
refiere al saber hacer, a diferencia del aprendizaje de conceptos que remite sólo al
saber. En uno se trata de conocimiento básicamente declarativo, mientras que el otro, si
bien hay elementos conceptuales, la naturaleza básica de conocimiento es
13
procedimental. “Con el aprendizaje procedimental se trata de alcanzar un triple
conocimiento: adquirir determinadas formas de actuar, usando este conocimiento en la
solución de problemas, y usar estas formas de actuar para construir nuevos
conocimientos” (Marchesi y Martí, 1999, 362). De la misma forma pretende que los
alumnos sean capaces de llevar a cabo procedimientos de búsqueda, y además que
relacionen estas destrezas con la adquisición de nuevos conocimientos y los utilicen en
nuevas situaciones de aprendizaje. El alumno debe de seleccionar el procedimiento
que en cada caso resulte más adecuado.
Según Marchesi y Martí, algunas pautas que son elementales para aprender los
contenidos procedimentales son:
1.- La realización de acciones: se aprenden en cada uno de los actos que se llevan a
cabo.
2.- Ejercitación: se deben realizar las suficientes acciones para que cada alumno llegue
a dominar el contenido.
3.- Reflexión sobre la actividad: se debe reflexionar sobre el modo en el que se realiza
el ejercicio y qué uso le damos.
4.- Aplicación en contextos diferentes: Lo que se aprende es más útil, siempre que se
pueda utilizar en situaciones distintas.
Los profesores deben plantear varios tipos de preguntas, que requiera que los alumnos
participen activamente en las experiencias de aprendizaje como son:
Preguntas directas: Orientan a los niños hacia respuestas específicas e incitan a
recordar información; por ejemplo: ¿Qué camino seguirías para llegar antes a....?
14
Preguntas reflejas: Se utilizan para que los educandos examinen y analicen sus
respuestas; por ejemplo: sI se pregunta ¿Cuánto es 2 x 7? , el niño no lo sabe, pero sÍ
conoce la forma de construir la tabla de multiplicar del 2, a partir de esto le ayudará a
obtener la respuesta adecuada.
Preguntas abiertas: Provoca que los alumnos estructuren las experiencias desde su
propia visión y dan respuesta a su libertad de acción.
Todo lo anterior ayuda al profesor para saber con qué conocimientos cuenta el alumno,
y partir de ellos para la obtención de otros nuevos.
También el maestro deberá plantear problemas abiertos, en los cuales los alumnos, por
iniciativa propia u orientados por el maestro, identifiquen las situaciones que se derivan
del problema original e indaguen todo lo que sea posible con los datos que éste ofrece.
Por ejemplo si el maestro les plantea la necesidad de pintar el salón, los alumnos
deberán averiguar qué materiales necesitan, en qué cantidades y cómo harán para
obtenerlos. El propósito de este planteamiento es que los alumnos identifiquen el
problema, los datos necesarios y la forma de resolverlos. Con este tipo de situaciones
los niños infieren los conocimientos adquiridos en la escuela al matematizar situaciones
de la vida diaria.
Al presentar un problema es importante que el maestro tenga claro qué propósito se
persigue. Por otro lado, debe ver que responda a una necesidad o interés del niño, que
despierte el interés de búsqueda para resolverlo, que utilicen conceptos matemáticos
para resolverlo, que pueda expresarse en varios lenguajes (aritmético, geométrico,
gráfico, etc.) y que sea posible la traducción de uno a otro, que su grado de dificultad no
sea tan grande como para desanimar a los alumnos y que permita al niño tener la
libertad de elegir distintos caminos, como se puede apreciar en el siguiente eje llamado
los números, sus relaciones y sus operaciones.
15
Los números, sus relaciones y sus operaciones De acuerdo con el plan y programas de estudio (SEP, 1993), el objetivo central para
quinto grado en el eje de los números, sus relaciones y sus operaciones, es lograr que
los niños manejen significativamente los números hasta siete cifras, los decimales y las
fracciones.
Es importante que tanto los números naturales, como las fracciones o los números
decimales se trabajen en diversos contextos, es decir, que se realicen comparaciones,
estimaciones, ordenamientos y escrituras de estos números en relación con
situaciones de medición de distintas magnitudes: longitud, capacidad.
En quinto grado se continúa trabajando con los significados de los números naturales
en diversos casos, considerando las relaciones que establecen entre ellos y retomando
la operatoria en situaciones significativas. “El propósito es que los alumnos reflexionen
sobre las reglas del sistema de numeración decimal: valor posicional, uso del cero,
equivalencia entre distintos órdenes numéricos, notación desarrollada y uso de
algoritmos en las diferentes operaciones aritméticas” (SEP, 1994, 17).
Se sugiere que el maestro plantee actividades que permitan al alumno interpretar
adecuadamente información numérica vinculada a contextos como precios, estaturas,
pesos, placas de autos, números telefónicos, recibos, notas, tasa de crecimiento, etc.
El maestro debe aprovechar estos datos para realizar comparaciones, ordenamientos,
redondeo de cantidades, así como para resolver problemas con multiplicación y división
y realizar estimaciones y cálculos mentales, según el programa de educación primaria,
“La estimación de resultados es una habilidad muy útil en la vida diaria, su manejo
denota la comprensión del procedimiento que se pone en juego” (SEP, 1994, 18).
16
Cuando el alumno resuelva cálculos o problemas, no sólo se le debe pedir que
produzca un resultado exacto, también se le debe conducir hacia la estimación de
resultados. Por ejemplo una vez que el niño haya comprendido de qué se trata el
problema y antes de que comience a resolverlo, el maestro deberá preguntarle cuál
cree que será el resultado, con el propósito de incentivar la habilidad de estimación y de
esta manera, generarán sus propios procedimientos y se ejercitará el cálculo mental,
que frecuentemente se requiere en la vida diaria. Para ello tendrán el dominio de los
siguientes contenidos que se abordan en el programa de quinto grado en el libro de
texto de matemáticas que enseguida se muestran en la tabla 1, esta, muestra los
temas en los que son requeridos la multiplicación y división y la forma en la que se
abordan, es decir los recursos que son utilizados para la resolución de los temas
propuestos como son, los arreglos rectangulares, tablas, regletas, calculadora, etc.
17
Tabla 1. Temas en los que se utiliza la multiplicación y división.
OPERACIÓN ARITMÉTICA
TEMA FORMA
Multiplicación Perímetro y área de polígonos y otras figuras Arreglos rectangulares Descomposición de números en productos de dos o
más factores. Arreglos rectangulares
Uso de las tablas de variación proporcional para resolver problemas.
Tablas
Cálculo del área del rectángulo, cuadrado y otras figuras.
Arreglos rectangulares
Uso de la calculadora para reflexionar sobre las operaciones.
Calculadora
Área de polígonos con fórmula y los que no tiene fórmula.
Arreglos rectangulares
Resolución de problemas de proporcionalidad utilizando distintas relaciones.
Tablas
Introducción al concepto de porcentaje. Tablas
El centímetro cúbico como unidad de medida de volumen.
Cubos
Introducción a la multiplicación con números decimales.
Tablas.
Cálculo de volumen Fórmulas. División Establecimiento de equivalencias entre décimos,
centésimos y milésimos. Arreglos rectangulares
Equivalencia de fracciones con base en el resultado de un reparto
Objetos físicos
Ampliar el conocimiento de los decimales. Regletas Cálculo de promedio Tablas División como cociente decimal. Problemas La división como cociente hasta centésimos. Tablas Problemas que impliquen dividir un decimal entre un
natural. Problemas
Multiplicación y división
Área del rombo. A= D x d / 2 Fórmulas
Uso de la calculadora para analizar algunas relaciones aditivas y multiplicativas.
Calculadora
Sistema métrico decimal. Regletas Unidades de capacidad y de peso. Tablas Relación entre unidades de peso. Tablas SEP, 2005.
Estos contenidos reflejan la cotidianidad que vive el alumno y por lo tanto siempre están
presentes las operaciones matemáticas. Cuando el profesor vincula estos contenidos
de forma amena, los aprendizajes son más significativos. Para ejemplificar esto, en el
siguiente capítulo se muestran las formas de enseñanza más comunes para llevarlo a
cabo.
18
ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN La multiplicación es una operación aritmética que se puede explicar como una manera
de sumar números idénticos. Los números que se multiplican se llaman factores y el
resultado se le denomina producto. Como queda expresado de la siguiente manera:
Factor
X Factor
Producto
Para la enseñanza de conceptos matemáticos se debe considerar cómo es que el niño
los aprende para así poder identificar los problemas que se presenten y así saber qué
estrategias serían las más adecuadas para alcanzar un aprendizaje de los conceptos
matemáticos en el niño.
En la escuela es muy común que se enseñe al niño a memorizar, en el caso de la
multiplicación, las tablas de multiplicar son “una forma en que los niños aprenden las
multiplicaciones mediante la memorización, sin embargo los niños también pueden
aprender a través de otros procedimientos buscando estrategias” (Rochelle, Takashi y
Herbert. 1989, 105). Estas estrategias deben de ser buscadas por el profesor para que
el niño no sólo memorice las tablas de multiplicar sino que razone y aprenda el
significado de éstas y cuál es su utilidad en la vida diaria.
También algo que debemos tomar en cuenta para la enseñanza de los conceptos
matemáticos son los conocimientos previos del niño o conocimiento informal, ya que
éste es adquirido dentro del contexto familiar, “es evidente que los niños pueden
desarrollar este tipo de conocimiento informal simplemente a partir de las experiencias
repetidas contando objetos y usando el vocabulario cuantitativo de la vida cotidiana”
(Rochelle, et. al. 1989, 107). En esta etapa donde se adquiere el conocimiento informal,
el niño adquiere la noción de suma y resta ya que puede observar y contar conjuntos de
objetos y así identificar cuál tiene menos y cuál tiene más y que sucede si le quitas
algunos objetos a un conjunto.
19
Después del cocimiento informal, sigue el conocimiento formal, este conocimiento se
enseña en la escuela, ya que es un sistema más organizado, “se les enseñan los
medios simbólicos para representar ideas y procedimientos” (Rochelle, et. al. 1989,
108). Aquí los niños aprenden a reconstruir su esquema mental y a razonar algunos
problemas o conceptos y buscar estrategias para que se facilite su aprendizaje.
La multiplicación es la operación que aparece de manera natural ya que posee un
soporte lingüístico en el lenguaje común, gracias a los términos como: doble o triple
etc., y a las expresiones como: dos veces, tres veces, cuatro veces, etc., esto se
traduce en la suma de sumandos iguales. De ahí que ésto sea el modo más natural de
construir las tablas de multiplicar. De la misma manera existen verbos, que son
palabras claves para referirse a esta operación aritmética como son los siguientes:
redoblar, reduplicar, reiterar, repetir, reproducirse, quintuplicar, etc.
Algo importante que debemos saber es dónde se empieza a enseñar las
multiplicaciones y saber cuál es la secuencia que se lleva para llegar hasta la solución
de los problemas. “En algunos textos escolares se presenta esta operación a partir del
algoritmo, en otros de las tablas, en otro a partir del signo “x” como escritura abreviada
de la suma reiterada, en otro como un problema resuelto a modo de modelo, etc.”
(Broitman, 1999, 51).
Es importante tener una secuencia sencilla para que el alumno pueda ir construyendo y
organizando poco a poco estos nuevos conceptos que implica la multiplicación, es un
aprendizaje que se va construyendo y se va utilizando para problemas diferentes, como
podría ser el cálculo del volumen, área, etc. “Los niños durante los diferentes años de
la escuela primaria podrán ir ampliando sus conocimientos sobre esta operación a partir
de las situaciones que enfrenten y de una organización de enseñanza que favorezca la
reflexión sobre la misma” (Broitman, 1999, 52).
En el primer año de primaria los niños empiezan a resolver problemas de suma y resta
sin comprender bien las operaciones que realiza al resolver dichos problemas.
20
En el segundo año empiezan a realizar problemas como por ejemplo: ¿Cuántas galletas
hay en 4 paquetes, si en cada paquete hay 3 galletas? Ellos buscarán resolverlo de
otras formas, por ejemplo sumando cuatro veces tres, usando representaciones
gráficas que contengan los elementos pedidos en el problema, sin saber que si
multiplican 4 x 3 llegarán al resultado. Estas representaciones informales son las que
ayudarán al alumno a reconocer que operación los lleva al resultado y cuando esto
sucede se enriquece el significado de esta operación. Poco a poco los alumnos
identifican la operación que necesitaran para la resolución de los problemas.
4 x 3 = 12
Es importante que el profesor ayude a los alumnos a elaborar trabajos de reflexión y
análisis de las relaciones numéricas que se encuentran en las multiplicaciones, para
que ellos puedan utilizar diferentes estrategias y distinguirlas de las actividades de
memorización, que les ayudarán a resolver los problemas de una manera más eficaz,
“nunca se da un espacio en el que los alumnos desarrollen por sí mismos
procedimientos de resolución informales, previamente en la enseñanza del algoritmo,
de tal forma que el algoritmo no es para ellos una herramienta que evita esfuerzos,
ahorra tiempo…” (SEP 1993). Por ello debe permitirse al alumno seguir utilizando estos
procedimientos informales, y como sabemos la multiplicación puede resolver distintos
problemas.
El aprendizaje de la multiplicación regularmente inicia cuando se enseñan las tablas de
multiplicar, aunque un problema muy serio en la educación es el hecho de que los
alumnos suelen memorizar algunos conceptos como serían las tablas de multiplicar y
este problema es porque no se ha enseñado a los alumnos a razonar los contenidos.
21
Esto ocurre en los primeros años, cuando a los alumnos se les pide que se aprendan
las tablas de multiplicar, se les enseña a recitar estas tablas para que tengan un
aprendizaje mecánico y sin sentido, “ésto lleva a que los niños puedan recordar un
producto a partir del recitado total de las tablas” (Broitman,1999, 67).
En lo general, los alumnos en lugar de estar atentos a los razonamientos y participar en
clase, se limitan, por tradición de aprendizaje, a tomar apuntes que después tratarán de
memorizar al resolver un problema, sin saber que en las matemáticas lo importante es
entender. Como consecuencia, el alumno no le da importancia, ni pone empeño en el
aprendizaje de las matemáticas.
Pero no dejamos de lado que la memoria es importante, pero también sería importante
recordar algo que ha aprendido mediante el razonamiento, “en otras palabras, la
retención y la memorización son más fáciles si lo que se aprende es significativo”
(Orton, 2003, 39). La memoria es importante, siempre y cuando pueda partir de un
trabajo reflexivo.
Existen diversas propuestas para la enseñanza de las tablas de multiplicar, una de ellas
son los patrones de relación que existe entre éstas, por ejemplo:
1.- Conmutación: los alumnos pueden representar la siguiente expresión, donde los
factores intercambian su lugar de ocupación; de tal manera que el producto no se ve
alterado, como se muestra a continuación:
3 x 5 = 15 ó 5 x 3 = 15
2.- Doblar: es una estrategia adecuada para aproximarse a la tabla de multiplicar. Por
ejemplo: multiplicar por 2 es doblar. Multiplicar por 4 es doblar y doblar, por ejemplo: 2,
4, 6, 8, 10, etc.
3., Tabla del 1: Todo número multiplicado por uno dará como resultado el número
mayor; es decir 1 x 5 es = 5, ya que el cinco es más grande que el uno.
22
4.- La tabla del 10 también es sencilla. Aquí los niños pueden observar que todos los
números terminan en cero y todos están en la misma secuencia de cuando se cuenta
de 10 en 10 como, 20, 30, 40, 50, 60...etc.
5.- Añadir ceros: todo número multiplicado por 10, se le agrega un cero, por 100, 2
ceros, por 1000, 3 ceros y así sucesivamente.
Otra opción para la enseñanza de las tablas de multiplicar es una tabla que contiene las
combinaciones de las tablas como sus resultados, esta tabla podrá ayudar a encontrar
las propiedades de la multiplicación y facilitar su aprendizaje.
Tabla 2. Cuadro de multiplicaciones
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Una forma de entenderla es sólo doblarla de manera diagonal, de tal forma que
solamente es necesario aprenderse la mitad de las tablas, debido a que en el resto se
repiten los productos. Por lo que aquí el alumno aplica la propiedad conmutativa, de
tal manera que 3 x 4 = 12 o 4 x 3 = 12. Cuando el estudiante aprende una
operación se puede inferir la siguiente.
23
En el siguiente apartado se muestran diversas formas de enseñanza de la multiplicación
utilizadas en el libro de texto de quinto grado que ayudan a desarrollar lo antes
mencionado.
Formas de enseñanza de la multiplicación.
Existen diferentes modelos de enseñanza para la multiplicación que están propuestos
por los libros de texto, a continuación explicaremos algunos.
Uso de los Arreglos rectangulares.
Los arreglos rectangulares son comúnmente utilizados en los libros de texto de
educación primaria, para la enseñanza de diversos contenidos, entre ellos la
multiplicación.
Estos arreglos consisten en una selección de elementos colocados en renglones o
columnas del mismo tamaño. La cantidad de elementos de un arreglo rectangular se
puede calcular multiplicando el número de elementos que hay a lo ancho y a lo largo.
Estos arreglos se utilizan de la siguiente forma, por ejemplo:
El profesor pide a los alumnos realicen un rectángulo que contenga 5 cuadritos en la
base y 3 de altura. El maestro pregunta ¿Cómo podemos encontrar el total de cuadritos
del rectángulo?, lo más probable es que los alumnos respondan que contando cada uno
de los cuadritos o sumando 5 veces el 3 o 3 veces el 5, entonces el maestro les hará
ver que se puede encontrar el resultado con la multiplicación 5 x 3.
5
3
24
Esquemas cardinales.
Este modelo se utiliza para representar uno o los dos factores que intervienen en el
problema que se le ha presentado al alumno de manera gráfica para que él pueda
observar qué es lo que sucede al momento de realizar la operación aritmética.
También es importante que reconozca el significado de la multiplicación.
1.- El primer tipo es la unión repetida de conjuntos cardinales.
+ = 2 VECES 2 =
2 VECES 2 BOTONES = 4 BOTONES O BIEN 2 x 2 = 4
2.- Diagrama de flechas y diagrama de árbol.
Es utilizado para encontrar las diferentes combinaciones entre varios objetos, colores,
letras etc. Por ejemplo: en el libro de texto se emplean esquemas y problemas como el
siguiente: “Para contar las distintas combinaciones de cascos y velas, Concha pensó
en hacer una lista de todas las combinaciones posibles para contarlas después.
Completa la lista que hizo Concha y cuenta todas las combinaciones posibles que
encontraste. Fíjate que no falte ninguna y que no se repita ninguna” (SEP, 2007, 35)
Después, haz una lista igual con las combinaciones que encontraste con tu equipo.
25
Pedro pensó que era más fácil contar las combinaciones si se hace una tabla de
doble entrada como la siguiente:
SEP, 2007
Teniendo como base de los barcos en color: azul, verde, rojo y amarillo, de la misma
manera en las velas teniendo los mismos colores. Su inquietud es saber cuántas
combinaciones podría obtener. El procedimiento a seguir, es multiplicando el número de
bases por el número de velas, teniendo como resultado un total de 16 combinaciones,
como se muestra en la siguiente representación:
n x n = número de combinaciones 4 x 4 = 16 combinaciones
Manejo de tablas
En esta estrategia se trabaja a manera de utilizar todos los conocimientos previos de las
tablas de multiplicar, de tal forma que lo representen gráficamente y se puedan
observar los factores y productos que se están utilizando, como a continuación se
presenta:
24 12X2 8X3 6X4
40 20X2 4X10 5X8
49 1X49 7X7 49X1
72 9X8 36X2 1X72
26
Utilización de las Formulas
Cuando el alumno utiliza las formulas; están manejando implícitamente el uso de la
multiplicación y la división, como para calcular las áreas de las siguientes figuras:
Triángulo Cuadrado Rectángulo
A b X h A = LXL A = b X h
2
Una vez revisado el tema de los métodos aplicables a la enseñanza de la multiplicación,
a continuación procederemos a explicar los métodos correspondientes a la enseñanza
de la división, tomando como base los mismos principios y características de los
utilizados en el caso de la multiplicación.
27
ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE LA DIVISIÓN. La división se enseña seguida de la multiplicación, de la misma manera la división es la
operación inversa de la multiplicación, esto es verdad en parte, pero la división tiene
otras características, “aprender sobre la división significará ir progresivamente
aproximándose a sus propiedades” (Broitman, 1999, 76), como pueden ser, de reparto,
repartos equivalentes, proporcionalidad entre otros. La división incluye en sí misma
todas las operaciones: adición, sustracción y multiplicación, por lo que sí existen
dificultades para la realización de ésta, es obvio que la combinación de todas
incrementa la complejidad, hasta el punto de que algunos alumnos no logran acceder
mas que a las divisiones sencillas de cantidades pequeñas, sobre todo en el divisor.
“La representación de la división no puede reducirse al conocimiento de una estrategia
de solución acompañada de la de un pretendido sentido o significado de la operación
que permitiría aplicarla, sino que comparta la capacidad de controlar varias estrategias,
pasando de una a otra según las circunstancias” (Parra,1997,201).
La división consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en
otro número (dividendo). En la división de números enteros además del dividendo y el
divisor intervienen otros números. Así al resultado entero de la división se le denomina
cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número
exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo. Y se
representa algebraicamente de la siguiente forma:
Cociente
Divisor Dividendo
Residuo
El procedimiento para resolver una división es: después de colocar el divisor a la
izquierda del dividendo separados por medio del correspondiente signo, se averigua
cuántas veces el primer número de éste, empezando por la izquierda, contiene el
número o es menor las veces que están contenidos en el dividendo; o de manera
coloquial sería, ¿cuántas veces cabe el divisor en el dividendo?, y el resultado se pone
arriba de éste.
28
Ejemplo:
6
5 307
Después se multiplica dicho resultado por el divisor, y colocando el producto debajo del
dividendo parcial se resta entre sí.
. 6 5 307 - 30 0 Luego se baja el siguiente número del dividendo y se une con el residuo de la resta, si
lo hay, se ve igualmente las veces que contiene al dividendo, y se procede de la misma
manera de lo ya citado, hasta concluir la operación. Finalmente, si hubiera algún
residuo se escribe hasta el final de la operación.
. 61 5 307 - 30 07 - 5
Residuo
En una división el cociente puede ser un número entero, o bien entero con decimal, o
decimal, o que sea un decimal interminable, de la misma manera con un residuo de
cero o con una cifra que sobre, como se observa a continuación:
30÷5= 6 y sobra 0
47÷6 = 7 y sobra 5
47÷6 = 7.83 o bien .833… (no tiene terminación).
2
29
Otro caso de la división se puede dar cuando el dividendo contiene un punto decimal,
entonces se procede solamente a subir dicho punto en el cociente, como a continuación
se observa.
. 5
7 3. 5
0
Existen divisiones donde está implícito el cero, por lo tanto una manera sencilla de
resolverla es, eliminando los ceros, y así facilitar la solución a esta operación, por
ejemplo:
10 340 = 34 y sobra cero
La división en sus inicios de enseñanza se puede ver como una repartición de partes
iguales, por ejemplo:
Luís tiene 10 chocolates y los va a repartir a sus 2 amigos. ¿Cuántos Chocolates le
corresponden a cada uno?
Por lo tanto, le corresponden a cada amigo 5 chocolates (5 enteros); es decir de un total
de 10 elementos, al repartirlos en partes iguales a cada uno le corresponde la mitad de
10. Como se muestra en la siguiente representación aritmética:
10 ÷ 2 = 5
30
Otro tipo de problemas de la división es cuando los alumnos se dan cuenta que no
siempre se reparte en partes iguales, por lo que en ocasiones sobra algo, y que lo que
sobra no siempre se reparte, por ejemplo:
Alicia compró 5 globos para regalarlos a sus 3 hermanos. ¿Cuántos globos le tocan a
cada uno?
Sobran 2
En este caso le corresponde un globo a cada uno y por lo tanto sobran 2, debido a que
la repartición en este caso es igual pero hay sobrantes, como se representa en la
operación.
5 ÷ 3 = 1(entero) y sobran 2(enteros)
No todos los problemas son de reparto, hay problemas de proporcionalidad, en el que
se averigua el valor de la unidad. Estos problemas a diferencia de los de reparto, no
sobra, por ejemplo:
Juan pagó $20 por la compra de 10 dulces. ¿Cuánto le costó cada uno?
$2 $2 $2 $2 $2
$2 $2 $2 $2 $2
De tal manera que queda expresado como se muestra a continuación:
20 ÷ 10 = $2 Por lo tanto $2 es el precio de cada dulce.
Para todo este tipo de problemas los alumnos buscarán diversas estrategias para
solucionarlos, como son: multiplicaciones que den el resultado, dibujos, tablas de
proporción, etc. pero tanto el maestro como el libro de texto dan opciones de enseñanza
de estos contenidos como lo veremos en el siguiente apartado.
31
Formas de enseñanza de la división. Empleo de Arreglos rectangulares
En este apartado se trabaja representando gráficamente, la diferencia en proporción de
tamaño de un décimo, centésimo y milésimo etc.
SEP ,2007
Utilizando Objetos físicos
Se trabaja de manera que la cantidad tenga sentido para el niño; es decir se muestran
galletas, pastel, naranjas, etc. Para repartirlos entre varios sujetos.
Ejemplo: Norma y Andrés querían calcular la cantidad de litros para llenar la pecera
que deseaban poner en el hueco de la pared. Para ayudarlos, necesitan saber como se
mide la capacidad, una manera es auxiliándose de los objetos físicos que tengan
capacidad, como, vasos, jarras, etc. De tal manera que al llenar la pecera medirán el
contenido total de ésta.
32
Uso de Regletas
Se fragmenta una o varias líneas, de tal forma que queden representados los enteros y
las partes más pequeñas que lo conforman como décimos o centésimos. En este
ejemplo el entero se dividió en 10 partes iguales quedando cada segmento en décimos.
0 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 10/10
2 ÷ 10 = .2 5 ÷ 10 = .5 10 ÷ 10 = 1
Planteamientos de Problemas
Se plantean operaciones donde el dividendo, el divisor o ambos tengan punto decimal
para obtener un resultado que contenga una cifra con las mismas características. Por
ejemplo:
Pablo repartió de domingo, a sus 3 hijos un total de $120.50. ¿Cuánto le corresponde a
cada uno? La explicación del resultado se muestra en el siguiente procedimiento.
Datos Operación Resultado 3 hijos 120.50 ÷ 3 $40.16 a cada uno de sus hijos.
$120.50
Después de describir las formas de enseñanza de la multiplicación y división por
separado, ahora mostraremos la aplicación de estas formas de enseñanza de manera
conjunta o combinada en diversos tipos de problemas que son comúnmente utilizados
en la enseñanza básica.
33
PROBLEMAS QUE IMPLICAN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
La sociedad siempre ha estado en constante cambio, esto ha generado que haya un sin
fin de problemas por resolver, debido a éstos el individuo debe de tener la capacidad
para dar respuesta de manera eficiente, tomando en cuenta que uno de los lugares
privilegiados para la enseñanza del proceso de resolución de problemas son las aulas
de las escuelas, donde se deben de preparar hombres que demande la sociedad de
hoy, aunque los problemas los encontramos en muchos contextos.
Las escuelas deben fomentar que el alumno tenga un pensamiento crítico, analítico y
reflexivo; es decir fortalecer sus capacidades para enfrentarlos a un mundo exterior, de
tal manera que se les enseñe a aprender y que no sólo sea un sujeto receptivo, donde
únicamente se le depositen los contenidos.
Todo sujeto en algún momento de su vida se ha encontrado con problemas, desde el
punto de vista Kantowski citado por Luceño (1999) “un individuo está ante un problema,
cuando se enfrenta con una cuestión a la que no puede dar respuesta o con una
situación que no sabe resolver, utilizando los conocimientos inmediatamente
disponibles” (p.13).
La resolución de problemas es un tema muy importante en la didáctica de las
matemáticas en educación primaria, y es además una parte importante de la formación
integral de los educandos, pues alienta el desarrollo de las estructuras del pensamiento
lógico-matemático, ayuda a comprender las relaciones cuantitativas, las formas que se
dan en la realidad y fomentan la creatividad.
La resolución de problemas es el punto de partida de nuevos conocimientos, a partir de
las acciones realizadas al resolver problemas aritméticos (agregar, unir, buscar un
faltante, repartir, medir etc.), el niño construye los significados de las operaciones. La
dificultad de los problemas va aumentando en los seis grados. El aumento de dificultad
no radica solamente en el uso de números mayores, sino también en la variedad de los
problemas que se resuelven con cada una de las operaciones y en las relaciones que
se establecen entre los datos.
34
Por lo general en la escuela los problemas de tipo aritméticos se plantean a los alumnos
a través de enunciados o de manera verbal para su resolución, “en el enunciado, la
información que se proporciona tiene carácter cuantitativo ya que los datos suelen ser
cantidades; la condición expresa relaciones de tipo cuantitativo y la pregunta se refiere
a la determinación de una o varias cantidades, o relaciones entre cantidades” (Puig y
Cerdán, 1995, 17).
La enseñanza de las matemáticas a través del planteamiento de problemas debe
despertar la curiosidad del individuo, provocando una cierta tensión durante la
búsqueda de la solución y finalmente, hacerle sentir satisfacción al lograr su objetivo.
“Los objetivos que persiguen en la enseñanza – aprendizaje basada en la resolución
problemas, son los siguientes:
a) Promover y potenciar en los alumnos la capacidad de razonamiento lógico y
enseñarle a pensar de una forma estructurada, sistemática y flexible.
b) Facilitar a los alumnos experiencias suficientes para el estudio – resolución de
problemáticas reales con las que puede encontrarse a lo largo de su vida.
c) Capacitarlos para enfrentarse crítica y eficazmente a situaciones nuevas e
imprevistas” (Luceño, 1999, 12).
Cuando se plantean problemas, a veces sucede que son difíciles de resolver para
algunas personas, pero para otras no. Esto tiene que ver con los conocimientos previos
que tenga cada sujeto, de la misma manera que también juega un papel muy
importante sus vivencias personales, es más, se pensaría que para la persona que
tiene mayor experiencia y conocimientos solamente es un ejercicio. Según Luceño
(1999). “un problema aritmético es cuando implica el conocimiento de conceptos,
técnicas y algoritmos matemáticos para su resolución” (p.14)
35
Tipos de problemas.
Los problemas matemáticos forman parte de nuestra cultura mexicana, existen
distintas características para clasificar los problemas, en este caso nos enfocaremos al
punto de vista de los siguientes autores: Vergnaud y Bell, que son citados por Luceño
(1999), estos autores encuentran diferentes formas de clasificar a los problemas en los
que se utiliza la multiplicación y la división.
En seguida revisaremos las clasificaciones de Vergnaud con sus dos grandes
categorías:
I Isomorfismo de medidas: Dentro de esta categoría se encuentran los problemas
referidos a repartos iguales en los que se encuentran cuatro subcategorías:
a) Subclase de multiplicación:
Ejemplo: Luís compró 3 lápices a $5.00 cada uno. ¿Cuánto pago Luís?
b) Subclase de dividir de primer tipo:
Ejemplo: Ana tiene 10 dulces y los quiere repartir en partes iguales entre sus dos
primas. ¿Cuántos dulces le dará a cada una?
c) Subclase de división de segundo tipo:
Ejemplo: Juan tiene 40 canicas y quiere hacer grupos de 5 canicas. ¿Cuántos grupos
va a formar?
d) Problemas de regla de tres:
36
Ejemplo:
• Si un comerciante vende 12 kilos de tomate a $36. ¿A qué precio venderá 5 kilos
de tomate? (directa)
• Si un auto tarda 2 horas en recorrer un camino a 10km/h. ¿Cuánto tardará en
realizar ese mismo recorrido a 20 km/h? (inversa)
II – Categoría del producto de medidas: Dadas tres magnitudes, una de ellas es el
producto cartesiano de las otras dos, es mediante una representación cartesiana,
dentro de esta categoría se distinguen dos subtipos.
a) Multiplicación:
Ejemplo:
• ¿Cuál es el área de un terreno rectangular que mide 6 metros de largo por 3 de
ancho?
• ¿De cuántas formas distintas se puede vestir José si tiene 5 pantalones y 3
camisas?
b) División:
Ejemplo: Un patio tiene 48 metros cuadrados, si su largo es de 6 metros. ¿Cuánto mide
de ancho?
Bell y otros (1989) hace una clasificación de problemas de multiplicación y división
asimétricos, las dos cantidades juegan papeles distintos y los clasifica en siete
categorías.
1.- Grupos múltiples:
Ejemplo:
• Hay 5 cajas con 10 botellas de leche. ¿Cuántas botellas hay en total?
(multiplicación)
37
• Si se reparten 50 botellas entre 5 cajas. ¿Cuántas botellas habrá en cada caja?
(división)
• Si 50 botellas las queremos repartir en 5 cajas. ¿Cuántas cajas necesitamos?
(división)
2.- Medida repetida
Ejemplo:
• Un sastre necesita 4 piezas de tela de 8 metros de largo. ¿Cuánta tela
comprará? (multiplicación)
• 32 metros de tela se reparten entre 4 trozos iguales. ¿Cuántos metros medirá
cada trozo? (división)
• Si con 32 metros de tela pretendo hacer manteles de 6 metros. ¿Cuántos
manteles puedo hacer? (división)
3.- Razón
Ejemplo:
• Un carro avanza a velocidad de 80km por hora. ¿Cuántos kilómetros recorre en 3
horas? (multiplicación)
• Un carro ha recorrido 240km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros recorrió en 1 hora?
(división)
4.- Cambio de tamaño (la misma unidad)
Ejemplo:
• Si un dibujo se amplia 5 veces y su altura original es de 10cm. ¿Cuántos cm.
medirá la altura del dibujo ampliado? (multiplicación)
38
• Un dibujo ampliado 5 veces mide 50 cm. ¿Cuál era su altura original? (división)
• Un dibujo de 10cm ha sido ampliado a 50cm. ¿Cuántas veces se ha ampliado?
(división)
5.- Cambio de tamaño (distintas unidades)
Ejemplo:
• La maqueta de una casa está hecha a escala de 5 metros por cm. Si la maqueta
es de 6 cm de larga. ¿Cuál es la longitud de la casa? (multiplicación)
• Una casa mide 30 cm de longitud y su maqueta tiene 6 cm. ¿A qué escala está
construida la maqueta? (división)
6.- Mezclas (con la misma cantidad)
Ejemplo:
• Un pintor obtiene determinado color usando 5 veces más rojo que amarillo.
¿Cuánta pintura roja precisará para mezclar con 4 litros de amarillo?
(multiplicación)
• Para obtener una pintura de determinado color, un pintor ha utilizado 20 litros de
pintura roja. Si utiliza 5 veces más rojo que amarillo ¿Cuántos litros de color
amarillo tiene que mezclar? (división)
• Si un pintor mezcla 20 litros de pintura de color rojo con 4 litros de color amarillo
para obtener un determinado color. ¿Cuántas veces utiliza más rojo que
amarillo? (división)
39
7.- Mezclas (unidades distintas)
Ejemplo:
• Se mezclan 10 gramos de polvo por litro de agua. ¿Cuántos gramos se
necesitarán para mezclar con 12 litros? (multiplicación)
• Si se mezclan 10 gramos de polvo por litro de agua. En 120 gramos de polvo.
¿Cuántos litros de agua hay que echar? (división)
• 120 gramos de polvo se mezclan con 12 litros de agua. ¿Cuántos gramos de
polvo hay por litro de agua? (división)
40
Procesos para la resolución de problemas
Hay diversos autores que muestran diferentes enfoques en el procedimiento para
encontrar la forma más eficaz en la resolución de problemas. Uno de estos autores es
Polya citado por Luceño (1999), que presenta cuatro etapas que han servido de
referencia para sucesivas propuestas. Estas etapas son las siguientes: Comprender el
problema, concebir un plan, ejecución del plan, visión retrospectiva. Basado en estos
principios, Maza (1991) reformula el modelo de Polya en las siguientes fases:
1.- Análisis del problema. Implica analizar la información que contiene el problema y se
pueden formular preguntas como las siguientes: ¿Cuáles son los datos?, ¿Qué se
desea encontrar?, ¿Qué condiciones cumplen los datos?
2.- Representación del problema. Relacionar los elementos del problema, para lo cual
podemos ayudarnos de la manipulación de objetos reales, dibujos, etc., que ilustren las
acciones involucradas. Implica preguntarse: ¿Qué relaciones existen entre los
elementos del problema?, ¿Cuál es la mejor representación del mismo?, ¿Disponemos
de suficientes datos?
3.- Planificación. Implica elegir la estrategia más adecuada para llegar a la solución,
relacionar el problema con otro conocido, identificar submetas, etc.
4.- Ejecución. Consiste en aplicar la estrategia planificada. Conviene incluir una revisión
constante de esta aplicación, detectar errores, valorar si cada paso es correcto y
permite aproximarse a la solución, etc.
5.- Generalización. Además de revisar lo acertado de la solución y de las estrategias
empleadas, conviene generalizar el problema, conectándolo con algún principio general
que permita abordar problemas semejantes en un futuro.
Nos podemos basar en este proceso para ayudar al alumno a encontrar una nueva
estrategia para la resolución de problemas por medio de análisis y la reflexión.
41
Dificultades en la resolución de problemas. Cuando el alumno comprende el significado de las operaciones puede transferirlo a
situaciones nuevas y solucionar las cuestiones que se plantean; es decir que el alumno
tiene que ser consciente de que el hecho de realizar correctamente una operación no
se agota o termina ahí, sino que precisamente le facilita la resolución de sus
problemáticas cotidianas.
Pero si el alumno no tiene comprendido el significado y la aplicación de las operaciones
aritméticas, le será muy difícil resolver un problema por sencillo que éste sea, pero
además de la falta de comprensión y de resolución de las operaciones, se presentan
otras dificultades. Company, Rico y otros (citados por Luceño, 1999) presentan ocho
dificultades comunes en la resolución de problemas que son las siguientes:
1.- Una deficiente comprensión lectora.
2.- La complejidad del texto.
3.- Deficiente representación mental del problema.
4.- Dificultad en localizar las metas a alcanzar que faciliten la solución.
5.- Escasa familiaridad del sujeto con los procedimientos necesarios para resolver el
problema.
6.- La utilización de un plan inadecuado.
7.- El desconocimiento del procedimiento operativo (fallos en los algoritmos).
8.- Factores afectivos (ansiedad, escasa motivación).
Uno de los medios que facilitan ésta tarea tanto al profesor como al alumno dentro del
proceso enseñanza – aprendizaje, es el uso de materiales didácticos, que permiten el
desarrollo de habilidades, actitudes, destrezas, etc. Enseguida se explica su
importancia.
42
EL USO DEL MATERIAL DIDÁCTICOS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
Es importante que los alumnos desarrollen estrategias para ayudarse a si mismos a
solucionar problemas desde temprana edad. Cuando los alumnos asisten a la escuela
los maestros brindan ayuda a los alumnos a desarrollar estrategias apropiadas para
resolver problemas matemáticos.
Las estrategias son importantes porque ayudan a los estudiantes a entender y resolver
problemas que son adecuados para ciertas situaciones. Las estrategias pueden mejorar
el aprendizaje y hacerlo más rápido. Las estrategias pueden diferir dependiendo del
concepto, sujetos o la dificultad que se desea manejar. Mientras más amplio sea el
rango de estrategias que el alumno pueda usar apropiadamente, más exitoso podrá ser
al resolver sus problemas.
El uso del material didáctico es un una importante estrategia en el proceso de
enseñanza – aprendizaje. Son los recursos que se utilizan para propiciar en el alumno
las experiencias que contribuyen a lograr la comprensión y asimilación de un
conocimiento, este tipo de materiales son objetos físicos que son utilizados por los
profesores para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y éstos han sido
construidos para uso educativo y son llamados materiales didácticos. Este tipo de
materiales posibilita el aprendizaje real de los conceptos en base a la experiencia del
alumno y esto va generando más interés por los nuevos conocimientos.
Para que un material didáctico resulte eficaz en el logro de unos aprendizajes, no basta
con que se trate de un buen material, ni tampoco es necesario que sea de última
tecnología, “en principio `cualquier cosa´ puede servir de material didáctico o recurso
ya que cualquier objeto admite la lectura de o interpretación matemática” (Coriat, 2001,
62), incluso materiales que puedan ser reciclables o con los que el profesor tenga a la
mano o a la vista en la misma aula de trabajo.
43
Lo importante en el uso de los materiales didácticos es saber cuándo y cómo es la
mejor forma de utilizarlo, se tiene que buscar el mejor método, el lugar, la situación y el
contenido escolar para que éstos funcionen adecuadamente, aunque no es suficiente
que el material parezca tener utilidad sino que también hay que tomar en cuenta su
función y la interpretación que darán los alumnos en la utilidad y en el aprendizaje que
obtendrá de éste.
El profesor deberá planear su clase y elegirá el material y cómo será utilizado y en qué
contenido específico, para ello existen diversos tipos de material que podrán servir al
profesor para planear su clase. Los materiales didácticos son de diferentes tipos.
Algunos de ellos son fáciles de conseguir o de elaborar, estando al alcance de cualquier
alumno, no importando tanto la situación del contexto en donde se desenvuelva. En
seguida hablaremos de nuestras propuestas para la resolución de los contenidos en los
que se encuentra el uso de la multiplicación y división en el programa de quinto grado
de educación primaria que fueron presentados en la tabla 1 en el capítulo II.
Como primer sugerencia es el uso de los arreglos rectangulares, que sirven para
mostrar física y gráficamente los diferentes resultados en la multiplicación y división.
Para calcular el área de un rectángulo que tiene como medida en uno de sus lados 10
cm y en el otro 5 cm. Hay que recortar cuadritos de 1cm ² y pegarlos uno por uno sobre
la superficie del rectángulo, por lo que el alumno comprobará el total de su área.
La organización del salón, de los alumnos y de los tiempos también es un aspecto muy
importante en el manejo de las actividades que están planeadas para que el alumno
adquiera su conocimiento. El salón de clases debe estar bien organizado de tal forma
que los alumnos tengan su espacio de tal manera que puedan desplazarse de un lugar
a otro con facilidad. El aula debe prestarse para el trabajo individual y en equipo.
44
El tipo de actividad que se realice debe tomar en cuenta el agrupamiento; para esto son
recomendables de 4 a 6 alumnos por equipo. Este agrupamiento dará la oportunidad a
los alumnos que aprendan contenidos actitudinales, ya que el número de integrantes es
apropiado para actividades que requieran discusión del tema que se este trabajando.
Esto posibilita que los alumnos den y pidan ayuda para comprender conceptos y
procedimientos complejos.
El trabajo individual también es importante y el profesor puede favorecer estas
actividades individuales con ejercicios como, resolución de problemas que utilicen
algoritmos correspondientes etc. El trabajo individual es eficaz cuando el alumno ha
comprendido el concepto de manera que estos ejercicios reforzarán su conocimiento.
Es importante también contar con un modelo de aprendizaje que pueda guiar al
profesor en la planeación de sus clases, ya que éste le servirá para tener un mejor
manejo del grupo y control de su tema, en este caso proponemos el uso del Modelo de
Enseñanza Directa ya que este modelo nos ayudará a trabajar con los alumnos,
conceptos o habilidades nuevas.
Algo importante para lograr el objetivo de los profesores al enseñar las operaciones
aritméticas (multiplicación y división) es la planeación de la clase, para lo cual hacemos
una propuesta de intervención basada en el “Modelo de enseñanza directa” que nos
ayudará a enseñar conceptos y habilidades con el apoyo de los materiales didácticos
que facilitarán el aprendizaje de los alumnos de quinto grado de educación primaria. En
el siguiente capítulo hablaremos de la importancia que tienen estos recursos en el
proceso de enseñanza – aprendizaje.
45
MODELO DE ENSEÑANZA DIRECTA
El modelo de enseñanza directa es una estrategia útil para el profesor, ya que con éste
se pueden planear actividades o sesiones de clase para enseñar tanto conceptos como
habilidades de una forma más significativa para los alumnos. El profesor es lo más
importante en este modelo porque es él el que tiene que brindarle a los alumnos una
explicación y modelización de los conceptos o habilidades, estructurar el contenido y
dar la explicación de lo que se desee enseñar, y los alumnos tendrán la oportunidad de
analizar los contenidos y manipular la información, siempre con la guía y el apoyo del
profesor, para así dejar de lado el aprendizaje memorístico y poco significativo.
Rosenshine (citado por Eggen, 2002) dice: “La enseñanza directa se refiere a clases
académicamente enfocadas y dirigidas por el docente, con la utilización de materiales
secuenciados y estructurados” (p.254).
En la enseñanza directa, las metas que se pretenden están claras para los alumnos,
donde el tiempo asignado para la enseñanza es suficiente y continuo, los contenidos
son abarcados de manera extensa y el desempeño de los alumnos es supervisado, al
mismo tiempo que se da la retroalimentación por parte del docente, todo este proceso
se lleva a cabo en un ambiente grato.
BASES TEÓRICAS DEL MODELO DE ENSEÑANZA DIRECTA. En el modelo de enseñanza directa se toma en cuenta la observación en el aprendizaje
de conductas y habilidades, según Eggen y Kauchak, (2002) retomando los trabajos de
Albert Bandura que enfatiza el rol del docente como modelador del aprendizaje para
nuevas habilidades y Lev Vygotsky que le da importancia al aprendizaje como un
proceso social. A continuación se describen tres líneas de investigación que dieron
origen al modelo de enseñanza directa.
46
Investigación sobre la eficacia del docente.
En esta investigación se analizó y se comparó el desempeño que tenían los profesores
más eficaces con los profesores menos eficaces, los primeros ayudaban a sus alumnos
a aprender de manera significativa y se detectaron habilidades por parte de los
profesores como: del uso productivo del tiempo, planteamiento de excelentes
preguntas, el buen manejo de las estrategias y el uso de los conocimientos previos de
los alumnos.
Tomando en cuenta todo lo mencionado la enseñanza directa incorpora seis funciones
que son las que organizan la estructura del modelo:
• Revisión del trabajo del día anterior.
• Presentación del material nuevo en pasos claros y lógicos.
• Suministro de práctica guiada.
• Retroalimentación con correcciones.
• Suministro de práctica independiente.
• Revisión para consolidar el aprendizaje.
Modelización: aprender observando a otros.
En esta línea de investigación, Bandura (2002) resalta el aprendizaje por observación,
ya que debido a éste se aprenden conductas complejas; es decir, las personas tienden
a imitar las conductas que observan en otros. En un contexto escolar los estudiantes
aprenden a partir de la observación de modelos presentados por el profesor, siendo
éstos la causa para que se modifiquen conductas, pensamientos, etc.
Cuando se enseña un modelo se exponen aquellas conductas que constituyen la meta
del aprendizaje; por lo tanto el modelo de enseñanza directa ha tomado estas
características debido a que dentro de este proceso la modelización proporciona un
camino importante para ayudar a los estudiantes a aprender habilidades complejas.
47
Vygotsky: el lado social del aprendizaje de habilidades.
En esta línea de investigación se toma como parte primordial a las interacciones que
existen entre los adultos y los niños en el proceso de enseñanza aprendizaje; es decir
entre profesor y alumno, éste primero guiando para la comprensión de un nuevo
conocimiento. Dicho de las palabras de Vygotsky lo que él llama andamiaje, que se
refiere al apoyo que permite que los alumnos desarrollen una habilidad, por ejemplo:
cuando el profesor realiza preguntas y lo provee a los alumnos de ciertas pistas para
lograr la solución.
Otro punto que se considera de Vygotsky en la enseñanza directa es el llamado Zona
de Desarrollo Próximo para referirse a la etapa del proceso de enseñanza aprendizaje
en la cual el alumno todavía no puede resolver el problema o resolver una habilidad
solo, pero puede hacerlo bien con la ayuda del docente. En esta zona los docentes
pueden ser más eficaces y ayudar a los alumnos a aprender.
Estos procesos se observan dentro del Modelo de Enseñanza Directa en la etapa de
Práctica Guiada.
FASES DEL MODELO Para desarrollar este modelo de enseñanza directa se tienen 4 momentos importantes
en los cuales se desarrollará la sesión que el profesor impartirá, estos son: Introducción,
Presentación, Práctica guiada, y Práctica independiente que a continuación se explica
en qué consiste cada uno.
INTRODUCCIÓN
La fase de Introducción tiene varias funciones dentro del modelo de enseñanza directa
y esto es porque en un principio nos ayuda a atraer la atención de los alumnos y otra es
que “la introducción proporciona una visión general del contenido que sigue y permite
48
que los alumnos observen en el curso de la clase cómo se relaciona aquel con
contenidos aprendidos anteriormente” (Eggen y Kauchak, 2002, 263), y por último el
profesor podrá hacer ver a los alumnos cuál es la utilidad de este nuevo conocimiento.
Es importante que el profesor inicie con esta fase de introducción, ya que también los
alumnos guiarán al profesor cuando éste explore sus conocimientos previos y a la vez
sus intereses acerca del tema.
Para llevar a cabo este paso, el profesor deberá iniciar su clase hablándole a los
alumnos acerca de un tema que haya sido visto previamente y que pueda hilar al
concepto nuevo, preguntando también qué es lo que saben acerca de este tema, es
decir, explorará sus conocimientos acerca del tema y éstos le servirán para hacer la
transferencia entre el conocimiento anterior y el nuevo.
Foco introductorio.
Este proceso forma parte de la introducción dentro del Modelo de Enseñanza Directa,
aquí el profesor es el agente que marcará las condiciones, las situaciones, los
momentos, las acciones, etc. dentro de la clase. El foco introductorio se le llama a “las
acciones que realiza el docente al comienzo de una clase, diseñadas para atraer la
atención de los estudiantes e introducirlos en ella” (Eggen y Kauchak, 2002, 263). Es
muy importante que se tome en cuenta este paso debido a que la atención que tienen
que prestar los alumnos desde el inicio de la clase, es fundamental para el logro del
aprendizaje de manera satisfactoria y eficaz, desde luego que aquí está en juego la
habilidad y creatividad del docente para conseguir dicho propósito.
Visión general de la clase
Éste forma el segundo proceso de la etapa de introducción dentro del Modelo de
Enseñanza Directa, donde se les brinda a los alumnos una orientación sobre los
contenidos que se tratarán. La visión general contempla el mencionarle a los alumnos
49
los fines que se persiguen, un breve resumen del nuevo contenido y los procedimientos
que se emplearán en la clase. De manera que el alumno esté bien informado, a modo
que esté consiente de lo que va a aprender, pretendiendo despertar su interés por
conocer algo nuevo e ir incrementando su acervo de conocimientos.
Motivar a los alumnos
Es la última función que forma parte de la etapa de introducción, en ella nuevamente el
docente es fundamental para llevar a cabo una buena interacción con su alumno.
Dentro de esta función el docente empleará su habilidad verbal para invitar a sus
alumnos para que aprendan nuevos conocimientos y le den un significado en su vida
diaria, de tal forma que los mismos alumnos se les despierte la curiosidad por conocer
más y más de un contenido que le sirva en su presente y futuro, para ello “el
componente motivacional se construye sobre el foco introductorio y ayuda mantener la
atención” (Eggen y Kauchak, 2002, 264).
PRESENTACIÓN Una vez que el docente ya dio a los alumnos la introducción acerca del tema que se
presentará sigue la etapa de presentación, y es en ésta donde el profesor ya de
manera directa explica a los alumnos el concepto o habilidad nueva de una forma clara
y con ejemplos que ayuden a los alumnos a asimilar el nuevo conocimiento.
En ocasiones, a los docentes les cuesta trabajo encontrar la forma de enseñar a los
alumnos los conceptos planeados, sin embargo los docentes deberán dar instrucciones
“claras, interactivas y que contengan la ejemplificación y modelos suficientes para
desarrollar la comprensión de los estudiantes” (Eggen y Kauchak 2002, 266), aunque
esta etapa depende mucho de la creatividad del profesor y de sus habilidades de
enseñanza.
50
PRÁCTICA GUIADA Durante la práctica guiada los alumnos empiezan a manejar el nuevo conocimiento por
medio de los ejercicios o prácticas que el docente proponga. Durante la primera etapa
de la práctica guiada, el profesor sólo se dedicará a monitorear el trabajo de los
alumnos y a brindarles la información y el apoyo que necesiten, mientras tanto “los
alumnos serán examinadores de su propia comprensión con los problemas provistos
por el docente” (Eggen y Kauchak 2002, 266). De una manera gradual, el profesor va
retirando este apoyo para que los alumnos vayan teniendo más responsabilidad con el
tema y puedan buscar soluciones por sí solos, es decir que puedan “elevar el nivel de
reflexión”.
En un segundo momento, el profesor debe decidir cuándo es el momento de la
transición, es decir, cuando considere que los alumnos ya han comprendido y han
podido resolver el problema. Para esto, el docente buscará la forma de intervenir para
verificar el trabajo. Existen diversas formas de indagar acerca de lo que ocurre durante
la práctica guiada, una de ellas es que el docente formule preguntas para sondear el
trabajo con el fin de saber si los alumnos ya comprenden el nuevo contenido.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE Ésta es la etapa final del modelo de enseñanza directa, una vez que ya se dio la
introducción, la presentación del tema y se practicó acerca de éste tema, llega la etapa
de la práctica independiente y es aquí donde el alumno ya de manera individual
manejará el nuevo concepto y le dará significado.
En una primera etapa de la práctica independiente, se sigue trabajando dentro del aula
con la guía del profesor para resolver las dudas que todavía queden. En el segundo
momento el alumno podrá seguir trabajando el nuevo contenido, pero esta ocasión ya
sin la observación y guía del profesor sino con tareas en casa.
51
Con el modelo de enseñanza directa el profesor podrá planear sus clases de manera
más eficaz, por ello nuestra propuesta de trabajar con este modelo, pero también algo
importante dentro de este es el manejo de los materiales didácticos que nos ayudarán a
favorecer y facilitar el aprendizaje de los alumnos. Todo lo anterior se encuentra
resumido en siguiente cuadro.
Cuadro 1. Etapas del Modelo de Enseñanza Directa
ETAPA PROPÓSITO
Introducción (foco introductorio, visión
general y motivar a los alumnos)
Provee una visión general del contenido
nuevo, explora las conexiones con los
conocimientos previos de los alumnos, y
ayuda a los alumnos a comprender el
valor del nuevo contenido.
Presentación Un nuevo contenido es explicado y
modelizado por el docente en forma
interactiva.
Práctica guiada Se proporciona a los alumnos
oportunidades para aplicar el nuevo
contenido.
Práctica independiente Se promueve la retención y la
transferencia, haciendo que los
estudiantes practiquen solos el concepto o
la habilidad.
(Eggen y Kauchak, 2002, 252).
52
MÉTODO
Sujetos
Este programa de intervención se aplicó a 35 alumnos, de los cuales son 18 niñas y 17
niños, que oscilan entre las edades de 10 y 11 años, de una escuela primaria, turno
matutino de Ciudad Nezahualcóyotl, Estado de México que cursan el quinto grado.
Escenario
El programa se aplicó en una escuela pública, ubicada en Ciudad Nezahualcóyotl,
Estado de México.
Instrumentos
Un cuestionario. Consta de 21 reactivos de opción múltiple, que miden contenidos
procedimentales de multiplicación y división. La distribución de los reactivos se
observan en la tabla de abajo. Este cuestionario se utilizó para la evaluación inicial y
final. (anexo 1)
TEMA No. De reactivos
MULTIPLICACIÓN 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 y 18
DIVISIÓN
2, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20 y 21
53
Un programa de intervención que consta de 14 sesiones, distribuidas por temas como
se muestra a continuación. (Ver Anexo 2)
Contenidos No. Sesión No. Sesiones
Uso de la multiplicación para resolver problemas. 1 y 2 2 Cálculo de área de polígonos. 3 1
Descomposición de números en productos de 2 o más factores.
4 1
Uso de la calculadora para reflexionar sobre las operaciones, (multiplicación).
5 1
Uso de la tabla de variación proporcional para resolver problemas.
6 1
Introducción al concepto de porcentaje 7 1
Introducción a la multiplicación con números decimales.
8 1
Establecimiento de equivalencias entre décimos, centésimos y milésimos.
9 1
Equivalencia de fracciones con base en el resultado de un reparto.
10 1
Ampliar el conocimiento de decimales. 11 1
Cálculo de promedio. 12 1
Problemas que impliquen dividir un numero decimal entre un natural.
13 1
La división como cociente hasta centésimos. 14 1
Tipo de estudio Cuasiexperimental Procedimiento El diseño, aplicación y evolución de este programa fue dirigido por los titulares de este
proyecto.
54
Para llevar a cabo la aplicación de este programa de intervención se solicitó
autorización a la directora de la institución y a la profesora titular del grupo 5° A.
El procedimiento se desarrolla en 4 fases que son las siguientes:
• Se aplica un cuestionario inicial a los alumnos para conocer con qué
conocimientos cuentan acerca de las operaciones básicas multiplicación y
división (ver anexo 1).
• Se aplica un programa de intervención de 14 sesiones (ver anexo 2).
• Se aplica un cuestionario final para conocer los resultados del programa de
intervención (ver anexo 1).
• Se realiza un análisis comparativo de los resultados de la intervención inicial y
final.
55
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Después de la aplicación del programa de intervención basado en el Modelo de
Enseñanza Directa se analizaron los datos en dos aspectos indispensables para la
comparación de los resultados que son: análisis cuantitativo y análisis cualitativo, los
cuales se describen a continuación.
a) Análisis cuantitativo Para realizar el análisis cuantitativo de los datos se utilizó el estadístico de prueba “t de
Student” que nos permite comparar los promedios obtenidos en las distintas mediciones
realizadas.
Con los puntajes obtenidos en la evaluación inicial (anexo 3) y en la evaluación final
(anexo 4) del grupo experimental se obtienen los siguientes datos:
Grupo
Experimental
Promedio Desviación
Estándar
n
Pretest (G1) 14.829 2.770 35
Postest (G2) 18.514 2.063 35
Planteamiento de las hipótesis
El promedio de las calificaciones que obtendrán los alumnos del grupo experimental en
el postest (G2) después de trabajar con “el programa de intervención” es mayor que el
promedio de las calificaciones obtenidas en el pretest del mismo grupo (G1).
56
Hinv: µ1 < µ2 Hipótesis estadísticas:
Ho: µ1 - µ2 > 0
H1: µ1 - µ2 < 0
Regla de decisión. Con ∞ = .05, el valor encontrado en la tabla de distribución “t de Student”
con n1 + n2 – 2 es igual a 68 grados de libertad es t (68) = 1.6669. A partir de estos datos
se definen las regiones de rechazo y no rechazo de Ho como sigue:
Se rechaza Ho si tc Є [ - ∞, 1.6669]
No se rechaza Ho si tc Є [ 1.6669, ∞ ]
Cálculos:
El valor de tc es:
tc = - 7.892
Decisión
Como tc = - 7.892 Є [ - ∞, 1.6669] se rechaza Ho.
57
Interpretación. Como se rechaza la Ho: µ1 - µ2 > 0 con ∞ = .05 hay evidencia para considerar con 95%
de confianza que las calificaciones obtenidas en el postest del grupo experimental son
mayores que las obtenidas en el pretest del mismo grupo. En este caso se puede decir
que x1 pretest (14.829) es significativamente menor que x2 postest (18.514) del grupo
experimental (Ver gráfica 1).
b) Análisis cualitativo. Para el desarrollo cualitativo se tomaron en cuenta dos aspectos: un análisis de los
contenidos en el cual ubicamos los contenidos con mayor dificultad para los alumnos; y
en el segundo análisis fue realizado bajo cinco categorías, las cuales fueron de mayor
importancia para el logro satisfactorio de los resultados, que a continuación
presentamos.
14.829
18.514
Pretest Postest
GRÁFICA 1
58
Análisis de contenidos.
En el análisis de contenidos nos vamos a centrar en las puntuaciones más bajas
obtenidas en el pretest, ya que se observó que los alumnos tuvieron dificultad para
resolver las preguntas que correspondían a: cálculo de área de polígonos (pregunta 3 y
7), uso de la tabla de variación proporcional para resolver problemas (pregunta 11),
establecimiento de equivalencias entre décimos, centésimos y milésimos (pregunta14),
equivalencia de fracciones con base en el reparto (pregunta 17 y 18) y cálculo de
promedio (pregunta 10) (Ver gráfica 2).
Consideramos de manera hipotética que los alumnos no obtuvieron buenos resultados
en el primer contenido debido a que ellos sólo saben manejar superficies generales,
más no calcular una superficie que se encuentre en el interior de una figura, del mismo
modo los alumnos tienden a manejar las fórmulas de forma memorizada y no son
observadores, es más, se puede decir que algunos no comprenden el sentido de
planteamiento del problema.
En el segundo contenido se deja ver la falta de comprensión lectora y que no saben
distinguir con qué operaciones resolver el problema.
En el tercer contenido no tienen la noción física de qué unidad de medida es mayor que
otra, debido a que sólo se basan en realizar ejercicios de conversión de manera
abstracta sin que ellos puedan comprobar por si solos las proporciones de éstas.
En el cuarto contenido sucede una situación semejante a las ya citadas, pero además
carece de sentido repartir de manera abstracta, ya que el sujeto le gusta trabajar con
objetos físicos y no solo con textos.
En el último contenido notamos que los alumnos no saben dividir y cuando notan un
punto decimal se les complica aún más, es decir ignoran si el punto se debe recorrer o
simplemente subir, tampoco saben ubicar correctamente los enteros y los decimales o
distinguir las unidades de las decenas cuando van sumando por separado
59
Tomando en cuanta todo lo anterior nos dimos a la tarea de darle más énfasis a dichos
contenidos en la aplicación del programa de intervención, considerando factores como
dedicar mayor tiempo a las sesiones, el manejo de material didáctico más atractivo, el
acercamiento a los alumnos que se observaron con mayores dificultades en la
resolución de los problemas, etc., con el objetivo de despertar en el alumno mayor
interés y generar que el conocimiento le fuera significativo. Esto se comprobó cuando
se aplicó el postest y se observaron los puntajes obtenidos (resultados), que
cambiaron de manera radical respecto al pretest, dejando ver que el programa de
intervención trajo beneficios y resultados óptimos a los alumnos en la comprensión y
resolución de los contenidos.
0
5
10
15
20
25
30
Errores
1 2 3 4 5 6 7
Preguntas
GRÀFICA 2
pretestpostest
Continuando con el análisis cualitativo se trabajo con cinco categorías que fueron
identificadas en el desarrollo de las sesiones. A continuación presentamos el significado
de dichas categorías.
60
NOMBRE DE LA CATEGORÍA
DESCRIPCIÒN EJEMPLO
Disposición para el
aprendizaje.
Los alumnos participan de
manera espontánea y
colaboran en las actividades
planteadas.
Se observaba a más de la
mitad de los alumnos
levantando la mano para
participar, el trabajo en
equipo se realizó de manera
cordial y organizada.
Uso del material didáctico. Los materiales eran muy
prácticos, sencillos, con
colores vistosos y de uso
común.
Era muy común escuchar a
los alumnos comentarios
como: - ¡Que bonitos! ¡Que
padre está!
Ejemplos sencillos y
conocidos por los alumnos.
Los ejemplos trabajados
fueron con un vocabulario
común entre ellos, con
aspectos de la vida
cotidiana.
- Maestro: ¿Cuál es el valor
de cada tortilla si el kilo
cuesta $ 8.50?
- Alumno: el kilo trae 34
tortillas, por lo tanto tengo
que dividir $8.50 entre 34
tortillas que tengo aquí.
Aclaración de dudas a través
de instrucción directa.
Se maneja mucho la
empatìa entre el profesor y
alumno, generando un
vínculo de comunicación y
confianza para que al
alumno le sea más fácil
preguntar sus inquietudes.
Durante la práctica guiada el
profesor recorre los lugares
y se acerca a los alumnos
que solicitan una aclaración
con respecto a la resolución
de la actividad.
Exposición de
procedimientos en la
resolución de problemas.
Los alumnos pasaban frente
al grupo y explicaban el
procedimiento con el cual
llegaron a su resultado.
- Alumnos: a nosotros se nos
facilitaron los arreglos
rectangulares multiplicando
el número de cuadritos de un
lado, por el número del otro.
61
CONCLUSIONES
Una vez diseñado, aplicado y evaluado el programa de intervención podemos decir que
los objetivos planteados para este trabajo se lograron satisfactoriamente, ya que a partir
de los resultados obtenidos en el postest se observó un mejor desempeño, en la
resolución de problemas que implican el uso de la multiplicación y la división en los
niños de quinto grado con los que se trabajó el programa de intervención, esto se debe
a que el material utilizado y las actividades diseñadas bajo el Modelo de Enseñanza
Directa, permitieron que los alumnos elaboraran su aprendizaje de lo
concreto a lo abstracto, (Marchesi y Martí, 1999).
Cabe señalar que, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de estas operaciones, el
maestro se limita a ofrecer sólo los algoritmos, lo cual ocasiona que la mayoría de las
veces los alumnos los mecanicen sin llegar a una comprensión de qué, cómo y para
qué sirve la multiplicación y la división, se considera conveniente que el maestro tome
en cuenta que la resolución de problemas debe realizarse acorde al contexto y el
desarrollo de los alumnos, es decir, es relevante el diseño de situaciones de
aprendizaje adecuadas y el uso de estrategias que despierten en el niño el interés por
las matemáticas, en este caso por las operaciones de multiplicación y división,
(Hernández y Soriana, 1999).
Las matemáticas siempre han sido una asignatura que trae conflictos a los alumnos, sin
embargo la didáctica empleada es trascendental para el buen aprendizaje. En este
programa de intervención los sujetos con los que se llevo a cabo mencionado por su
maestra mostraban apatía y poca disposición a la materia, ella comentaba que la
materia de mayor aceptación era Ciencias Naturales debido a que los alumnos estaban
en contacto con los fenómenos naturales mas comunes y visibles para ellos e incluso el
poder realizar experimentos u observaciones del medio en el que encuentran.
Un factor que influye en la enseñanza de las matemáticas es la preparación y vocación
docente. Ante esto la función del psicólogo educativo juega un papel fundamental
dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que proporciona apoyo en lo
referente a métodos de enseñanza, adecuaciones curriculares, dificultades de
62
aprendizaje, elaboración y uso de material didáctico adecuado, planeación,
organización de actividades adecuadas a cada etapa de desarrollo y distribución del
tiempo.
Cuando nos encontrábamos en el proceso de plantación de este proyecto, nos llamo la
atención El Modelo de Enseñanza Directa por que propicia que el docente interactué
más con el alumno logrando desarrollar de manera más eficaz sus habilidades,
destrezas, actitudes y valores, que es realmente lo que hoy en día los Planes y
Programas de Estudio de Educación Básica (primaria) pretenden (Rosenshine, 2002).
Es importante comentar que durante el desarrollo del programa de intervención, los
alumnos se mostraron con mucho interés y disposición al realizar las actividades
propuestas ya sea por el material utilizado o por la forma de trabajo de los aplicadores.
El programa de intervención basado en la enseñanza directa trae sus bases con la
pedagogía nueva que pretende el crear un alumno activo con cualidades de crítico,
analítico y reflexivo, dejando de lado al alumno que solo se remetía a escuchar todo lo
que el docente decía.
Después de la aplicación del programa de intervención se realizó un análisis cualitativo
y cuantitativo en el que identificamos que el Modelo de Enseñanza Directa favoreció la
comprensión y resolución de problemas con multiplicación y división, fomento la
participación activa de los alumnos, por medio de la etapa de presentación, el maestro
enseña al alumno, qué está haciendo, por qué lo está haciendo, y cómo hacerlo;
además, el alumno desarrolla a la par las habilidades para realizar las actividades
propuestas cada vez de manera más independiente, espontáneo y creativo.
Una de las mejoras que presentaron los alumnos a partir del programa de intervención,
fue la disminución de dificultades para la comprensión y resolución de problemas,
expresarse oralmente frente al grupo, lo más significativo es que sus ideas fueron
expuestas de manera clara; esto se notó al compartir con sus compañeros lo que
habían entendido y como llegaban a la respuesta correcta.
63
Los materiales didácticos utilizados en la intervención fueron de gran ayuda para que
los alumnos participaran y se interesaran en los contenidos; durante el proceso de
intervención los comentarios de los niños fueron un indicador positivo.
Uno de los logros del Programa del intervención fue permitir que los alumnos trabajaran
de manera cooperativa y organizada, incluso con los que había un poco de apatía y
esto permitió que el aprendizaje fuera aun más significativo, además que los alumnos
ya comprendieron el planteamiento de un problema, pero sobre todo saber que
estrategias utilizar para la resolución del mismo; es decir antes no sabían que operación
matemática utilizar. Otro logro fue el fomentar la observación, ya que cuando se carece
de ésta se da un sin fin de errores.
Los resultados fueron óptimos debido a que este programa favorece que los alumnos
puedan tocar, recortar, pegar, ensamblar, etc. permitiendo una activación total de sus
sentidos y por ende se pone en juego todo su potencial como sujeto activo, lo cual
demanda a nuestra sociedad actual, que se encuentra en una amplia transformación.
Al concluir el programa lo mas grato fue saber la critica de los alumnos hacia el trabajo
mostrado por nosotros, en ella se manifestaba que todas las actividades que habían
realizado y los auxiliares didácticos que se manejaron les habían facilitado ese largo
proceso que antes se les dificultaba que es el aprendizaje, pero lo mas satisfactorio y
que a nosotros nos llena como profesionales es saber que a su maestra también le
agrado este proyecto, hasta llegaron a invitarnos para continuar apoyándolos. Los alumnos trabajaron en forma organizada, amena, participativa y creativa debido a
que además del material concreto que se les proporcionó también resolvieron
problemas de la vida cotidiana, es bien sabido que la transpolaciòn del conocimiento a
su entorno social es lo que ayuda a los alumnos a conseguir un verdadero
conocimiento. Los alumnos después de dialogar e interactuar entre sí disfrutaron tanto
este trabajo que estuvieron muy interesados en exponer ante el grupo el procedimiento
que siguieron para la resolución de cada problema, confrontando así los diferentes
procedimientos que utilizaron, esto ayudó en la construcción de sus conocimientos.
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Es importante que los alumnos se interesen en las matemáticas y encuentren
significado y funcionalidad en ellas para que puedan valorarlas y les ayuden a
reconocer, plantear y resolver problemas de interés para ellos.
De acuerdo con los planes y programas de educación básica primaria los ejes de
matemáticas que se trabajaron fueron: los números, sus relaciones y sus operaciones;
medición; geometría; procesos de cambio y tratamiento de la información, éstos ayudan
al desarrollo de habilidades y destrezas fundamentales en la educación básica de los
educandos.
Cuando los alumnos agregan, unen, igualan, quitan, buscan un faltante, comparan,
suman, reparten, miden y cuentan construyen los significados de las operaciones, de tal
forma que son capaces de resolver problemas.
En matemáticas es indispensable seguir una serie de procesos que tendrán como
finalidad la construcción del conocimiento, teniendo como coordinador o guía al
docente.
65
BIBLIOGRAFÍA Broitman, C (1999), Las operaciones en el primer ciclo. Novedades Educativas, Argentina Coriat, M (2001), “Materiales didácticos y recursos” en: Castro, E. (editor). Didáctica de las matemáticas en la educación primaria. Síntesis, Madrid. pp. 61 – 68 Eggen P, Kauchak D (2002), Estrategias docentes. Enseñanza de contenidos curriculares y desarrollo de habilidades de pensamiento. Fondo de Cultura Económica, México. Fernández, J (2002), La numeración y las cuatro operaciones matemáticas. CCS, Madrid. Fuensanta, H. y Encarnación, S. (1999), Enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en la educación primaria. La muralla, Madrid. Luceño, J. (1999), La resolución de problemas aritméticos en el aula. Ediciones Aljibe, Málaga. Mancera, E (2000), Saber matemáticas es saber resolver problemas. Grupo Editorial Iberoamérica. México. Marchesi, A. Y Martí, E. (1999). “Los contenidos del aprendizaje” en: Calidad de la enseñanza en tiempos de cambio. Alianza, Madrid. pp. 353 – 376. Orton, A (2003), Didáctica de las matemáticas. Ediciones Morata, Madrid. Parra, C (1997), Didáctica de las matemáticas. Paidós, México. Puig, L y Cerdán F. (1995), Problemas aritméticos escolares. Síntesis, Madrid.
66
Rochelle G, Takashi Y, y Herbert P. (1989), La enseñanza de conceptos Matemáticos en: Laurent B, Leopold E, (comp.). Currículo y cognición. Aique, Argentina. pp 105 – 136
SEP (1993). Plan y programas de estudio, México. SEP (1994). Libro para el maestro, matemáticas, quinto grado, México SEP (2005). Matemáticas quinto grado. México
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ANEXOS
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ANEXO 1
CUESTIONARIO
CUESTIONARIO
INSTRUCCIONES: Subraya la respuesta correcta. 1.- A Juanita le dan cada domingo $15.50 su papá, $20.50 su mamá, $50.50 su tío y $18 su abuelita. ¿Cuánto juntó Juanita en 4 meses?
a) $135.50 b) $104.5 c) $1,672
2.- El perímetro de un cuadrado es de 88.60 cm. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
a) 25. 30cm b) 23.15cm c) 22.15cm
3.- ¿Cuánto mide la superficie de los rectángulos internos, si el área total del rectángulo tiene de base 12u² y de altura 10u²?
a) 350u² b) 46u² c) 120u²
NOMBRE DEL ALUMNO: ___________________________________________ ESCUELA: _______________________________________________________ GRADO ESCOLAR: ____________________ FECHA: _________________ ACIERTOS: _______________
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4.- Ésta es una hoja cuadriculada que se rompió. ¿Cuántos cuadritos tenía antes?
a) 30u² b) 54u² c) 35u² 5.- La superficie total de el rectángulo es de 80cm, ¿Cuánto mide el área del triángulo A?
A
a) 45 cm² b) 35 cm² c) 40 cm² 6.- José gana $50 por hora, al día trabaja 7 horas, considerando que trabaja de lunes a viernes. ¿Cuánto gana a la quincena? Utiliza tú calculadora y describe el procedimiento. Procedimiento a) $3750 b) $3500 c) $1750 7.- Si la superficie de un cuadrado es de 3600cm2. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados? a) 60 cm b) 30 cm c) 1800 cm
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8.- ¿Cuántos segundos hay en 2 horas? Utiliza tú calculadora y describe el procedimiento. Procedimiento. a) 7200 seg. b) 3600 seg. c) 60 seg. 9.- ¿Cuál es el 25% de $5,520? a) $1,350 b) $2,315 c) $1,380 10.- Las calificaciones de Karina son: 10.0, 9.5, 8.9, 9.7, 9.3, 8.7, 9.8 y 9.4. ¿Cuál es su promedio? a) 9.3 b) 9.4 c) 9.7 11.- A Rocío le dieron $350 para sus gastos, considerando que se gasta la misma cantidad a la semana. ¿Cuánto dinero gasta al día? Días Gastos Lunes Martes Miércoles $210 Jueves Viernes a) $50 b) $35 c) $70 12.- Pilar tiene 5 chocolates y los quiere repartir de manera que le toque lo mismo a sus 10 amigos. ¿Cuánto le toca a cada amigo? a) 1/2 de chocolate b) 1/4 de chocolate c) 10/5 de chocolate 13.- ¿Cuántos décimos hay en 5 enteros? a) 50 décimos b) 25 décimos c) 5 décimos 14.- ¿Cuántos centésimos hay en 5 décimos? a) 500 centésimos b) 5000 centésimos c) 50 centésimos
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15.- Para un festival de beneficencia se vendieron $515, 625 en boletos cada boleto costó $375 cada uno. ¿Cuántos boletos se vendieron en total?
a) 5 075 b) 1 375 c) 2 375
16.- Fernanda ahorró durante todo el año $ 955.50, y quiere repartir a sus 3 primos. ¿Cuánto dinero le toca a cada quien?
a) $318.50 b) $238.50 c) $300.50
17.-De una pieza de tela de 10 metros de largo, Noemí elabora 6 trajes. ¿Cuál es la cantidad de tela que utiliza en cada traje?
a) 1/6 m b) 6/10 m c) 1m 4/6
18.- Omar y sus amigos compraron manzanas y al repartirlas a cada uno le tocó 3/5 de manzana. ¿Cuántas manzanas y cuántos niños pudieron haber sido?
a) 5 manzanas y 3 niños b) 6 manzanas y 10 niños c) 15 manzanas y 6 niños
19.- ¿Cuál de los siguientes números representa setenta y cinco centavos?
a) 0.075 b) 0.75 c) 7.5
20.- Otra forma de representar 35/1000 se observa en la opción:
a) 35.000 b) 0.35 c) 0.035
21.- Mario le dijo a Beto: -Te vendo mi bicicleta, sólo págame ¼ de su precio real. ¿Qué porcentaje de descuento le está dando Mario a Beto?
a) 25% b) 75% c) 0.25%
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ANEXO 2
Programa de actividades Sesión 1: Uso de la multiplicación para resolver problemas.
Propósito: Que el alumno resuelva problemas con la multiplicación. Duración: 1 hora 30 minutos
Material: Problemas impresos
hojas blancas
lápiz
goma y sacapuntas.
Actividades. INTRODUCCIÓN El profesor cuestionará a los alumnos sobre sus conocimientos, acerca de la resolución
correcta de la multiplicación, enseguida explicará a los alumnos la importancia de
analizar los problemas que se presentan y los procedimientos para resolverlos por
medio de la multiplicación. Para esto organizará al grupo en parejas.
PRESENTACIÓN
El profesor escribirá en el pizarrón el siguiente problema:
El teatro de la escuela tiene capacidad para 800 personas. En una semana se
realizaron diferentes actividades, entre las cuales estaba una obra de teatro a cargo de
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alumnos de diferentes grados. Si la obra se presentó tres veces y en cada ocasión se
llenó el teatro, ¿cuántas personas entraron a ver esa obra?
Enseguida el profesor peguntará a los alumnos cómo podrían resolver el problema. A
partir de lo expresado el maestro mencionará lo que es una multiplicación, al indicar lo
siguiente:
Asistieron en total 800 + 800 + 800 = 2 400 personas, o también
3 X 800 = 2 400 personas.
-La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales.
PRÁCTICA GUIADA El profesor escribirá en el pizarrón el siguiente problema: El cuarto tiene 4 ángulos. En cada ángulo está sentado un gato. Frente a cada gato hay
sentados 3 gatos. En cada rabo está sentado un gato. ¿Cuántos gatos hay en el
cuarto?
Los alumnos comentarán entre ellos la solución. Una vez que el profesor monitoree la
actividad y brinde a los alumnos la orientación que requieren, un integrante de cada
equipo pasará al frene del grupo a explicar que procedimiento siguieron para llegar al
resultado ya sea éste correcto o incorrecto.
El profesor guiará a los alumnos a encontrar la solución correcta ya que habrá alguien
que posiblemente comience a reflexionar así: 4 gatos en los ángulos; en frente de cada
uno de ellos otros 3 gatos, lo que supone que son 12 gatos y, además en el rabo de
cada gato otro rabo o sea 16 gatos y en total resultan 32 gatos. Pero la respuesta
correcta será que sólo hay 4 gatos en el cuarto.
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PRÁCTICA INDEPENDIENTE Los alumnos resolverán de manera individual más problemas, como el siguiente: En un
estadio de béisbol se vendieron 4 375 boletos a $125 cada uno. ¿Cuánto dinero se
obtuvo con la venta de los boletos?
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Programa de actividades Sesión 2: Uso de la multiplicación para resolver problemas.
Propósito: Que el alumno resuelva problemas con la multiplicación. Duración: 1 hora 30 minutos
Material: Problemas impresos hojas blancas lápiz, goma
Actividades. INTRODUCCIÓN El profesor repasará con los alumnos la importancia de razonar ejercicios cuyas
características son precisamente el pensar y tratar de encontrar la respuesta correcta
por medio del análisis del problema.
PRESENTACIÓN
El profesor escribe en el pizarrón el siguiente problema: Repartir 5 manzanas entre 5
personas, de tal forma que a cada persona le toque una manzana y que una manzana
quede en la cesta. Cuestiona y resuelve junto con los alumnos la forma en que
resolverían el problema.
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PRÁCTICA GUIADA El profesor organizará al grupo en parejas para que juntos resuelvan el siguiente
problema que escribirá en el pizarrón y explicará a los alumnos que tienen que buscar
los números que multiplicados puedan dar el resultado que se busca pero de la
siguiente manera: cada letra tendrá un valor por ejemplo: S = 5 de manera que al
sustituir las letras por los números coincidan las cantidades con las letras.
MAS
X MAS
MENOS
Una vez que los alumnos han trabajado el problema los integrantes de cada equipo
explicarán al grupo como fue que encontraron la solución del problema y se
retroalimentaran con los demás equipos.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El profesor dará a los alumnos el siguiente problema para que lo resuelvan de manera
individual.
Son las 9 am. ¿Qué hora será dentro de 2008 horas después?
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Programa de actividades Sesión 3: Cálculo de área del rectángulo y cuadrado.
Propósito: Que el alumno calcule las diferentes superficies con la ayuda de la
multiplicación a través de arreglos rectangulares.
Duración: 1 hora 30 minutos
Material: Rectángulos y cuadrados cuadriculados impresos en hojas blancas. 5 hojas de color por binas Pegamento Regla Lápiz Tijeras Actividades INTRODUCCIÓN El profesor preguntará a los alumnos ¿Qué es el área? y analizará todas las respuestas
que los alumnos proporcionen para poderlos ubicar y ayudar a encontrar el significado
del área de una figura geométrica.
PRESENTACIÓN El profesor mostrará varios ejemplos de figuras donde aparece el área de la figura
sombreada o marcada de cierto color, de tal manera que los alumnos puedan identificar
la parte importante de lo que se va a trabajar (área).
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PRÁCTICA GUIADA El profesor organizará al grupo en parejas.
Los alumnos recortarán las hojas de color en cuadritos de 1cm por lado, de tal manera
que la superficie es de cm². Este procedimiento lo realizarán con ambas hojas, si ellos
prefieren podrán intercambiar los cuadritos de color con sus compañeros para que
tengan variedad de estos mismos.
En un segundo momento el profesor les indicará que tracen 2 rectángulos en las hojas
blancas con las siguientes medidas: 7cm de base y 5cm de altura, el siguiente 10cm de
base y 4cm de altura. De la misma manera les indicará que tracen 2 cuadrados, el
primero que tenga de cada lado 6cm y el segundo 7cm de cada lado.
En un tercer momento los alumnos colocarán cada cuadrito de tal forma que la
superficie de la figura quede cubierta por estos mismos, para enseguida ir numerando
uno por uno para saber cuantas unidades de cm² contienen dichas figuras. El número
total de estos cuadritos es el área de la figura que se está trabajando, es decir que el
área es el total de cm² de una superficie. El docente ira pasando por cada uno de los
lugares supervisando el trabajo de cada uno de los equipos.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El profesor les indicará que tracen un cuadrado y un rectángulo con las dimensiones
que ellos deseen, ya de manera individual, realizando todo el procedimiento anterior
para que cada uno vaya construyendo el conocimiento de lo que es área.
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Programa de actividades Sesión 4: Descomposición de números en productos de 2 o más factores. Propósito: Que el alumno descomponga números en productos de dos o más factores
a través de arreglos rectangulares.
Duración: 1 hora 30 minutos
Material: 3 hojas impresas cuadriculadas de 1cm
Cuadritos de colores de 1cm²
Tijeras
Pegamento
Actividades INTRODUCCIÓN El profesor preguntará a los alumnos si éstos conocen las partes de la multiplicación,
mediante una lluvia de ideas. Lo mismo hará cuestionándoles acerca de la propiedad
conmutativa. Al final concluirán en un conocimiento base para partir de él.
PRESENTACIÓN El profesor mostrará algunos ejemplos en el pizarrón donde aparezcan las partes de la
multiplicación, remarcando con mayúsculas tanto los factores como el producto, ahí
mismo la propiedad conmutativa.
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PRÁCTICA GUIADA El docente les pedirá a los alumnos que formen binas.
El profesor pedirá a los alumnos que en sus hojas anoten el número 20 y ellos pegarán
en sus hojas cuadriculadas diferentes rectángulos que tengan en su interior 20
cuadritos.
Ellos identificarán que la base y la altura de ese rectángulo son los diferentes factores
que nos darán como resultado el mismo producto que se les pidió; es decir 20.
Recortarán todos los rectángulos posibles y los pegarán en una hoja blanca, en
seguida intercambiarán los equipos sus hojas para observar los distintos trabajos.
El profesor comentará en cada uno de los equipos que para llegar al mismo producto
pueden intervenir diferentes factores.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El profesor le pedirá a sus alumnos que cada pareja busque todas las alternativas
posibles para representar el número 36, de tal manera que los alumnos sigan el
procedimiento anterior para luego exponer sus trabajos frente la grupo, concluyendo
que para el producto 36 existen varios factores posibles.
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Programa de actividades Sesión 5: Uso de la calculadora para reflexionar sobre las operaciones, (multiplicación).
Propósito: Que el alumno resuelva problemas de multiplicación con uso de la
calculadora.
Duración: 1 hora 30 minutos
Material: Calculadora
Varios objetos (camisas, suéteres, juguetes, dulces, frutas, etc.)
Tarjetas de cartulina
Marcador negro
Lápiz
1hoja
Actividades INTRODUCCIÓN El profesor partirá invitándoles a que observen su calculadora, luego les pedirá que
identifiquen la tecla que representa la multiplicación y de la misma manera el signo de
igual.
PRESENTACIÓN El profesor indicará a los alumnos que jueguen con su calculadora 5 minutos realizando
las multiplicaciones que ellos deseen.
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PRÁCTICA GUIADA El profesor indicará a los alumnos que coloquen a cada uno de los objetos que
trajeron el precio que ellos consideren con los cuadros de cartulina, luego dividirá al
grupo en parejas donde uno de los niños fungirá como vendedor y el otro como
comprador. En seguida el profesor les indicará que compren imaginando que van a
llevar el mismo producto por mayoreo y realizarán sus operaciones (multiplicación por
medio de la calculadora) de tal forma que ellos sepan cuanto van a pagar en total. Este
procedimiento lo realizarán con varios productos. El profesor estará presente en varios
lugares supervisando con su respectiva calculadora que los niños hayan realizado sus
operaciones correctamente. En seguida el profesor les indicará que cambien de rol.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El profesor frente al grupo invitará a sus alumnos a que estén atentos y preparados con
su calculadora a las multiplicaciones que él proponga de manera verbal, ellos por lo
tanto con la ayuda de su calculadora obtendrán el resultado en el menor tiempo posible.
El profesor por su parte corroborará la velocidad y exactitud para esta actividad,
dándoles un incentivo a los 3 primeros alumnos más hábiles.
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Programa de actividades
Sesión 6: Uso de la tabla de variación proporcional para resolver problemas.
Propósito: Que el alumno resuelva problemas de variación proporcional directa. Duración: 1 hora
Material: Una cartulina por equipo
Colores
Marcadores
Hojas de colores
Tijeras
Regla
2 dados
1 tabla de registro
Número de casillas
dinero
1 $10 2 3 Actividades INTRODUCCIÓN El profesor preguntará a los alumnos ¿Cuáles son las características de una tabla de
registro y para que nos serviría utilizarlas?
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PRESENTACIÓN El profesor presenta a los alumnos un ejemplo de una tabla de registro la cual muestra
la proporción directa entre las cantidades.
PRÁCTICA GUIADA El profesor les pedirá a los alumnos que se agrupen en equipos de 3 integrantes. Cada
equipo deberá contar con su respectivo material para diseñar en la cartulina un tablero
semejante al juego de turista con 50 casillas, donde cada casilla la adornarán a su
gusto enumerándola (el diseño de cada uno de los tableros reflejará la creatividad de
cada uno de los equipos).
Los alumnos elaborarán de manera individual un total de 30 billetes con las medidas de
5 x 3 cm, colocándole el valor simbólico de $10. El profesor vigilará minuciosamente el
desempeño de las actividades de cada equipo.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE Cada equipo con su respectivo material elaborado, jugará lanzando los dados por
turnos, el número de casillas que recorra es la cantidad de dinero que se le entregará a
cada jugador, considerando que cada casilla tiene un valor de $10 (un billete), que será
administrado por un miembro del equipo (banco). Cada niño deberá ir registrando en su
tabla de variación proporcional directa el número de casillas que avance con el dinero
obtenido, para tener cierto control personal.
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Programa de actividades Sesión 7: Introducción al concepto de porcentaje.
Propósito: Que el alumno calcule el porcentaje como descuento en un producto.
Duración: 1 hora
Material: Varios productos (objetos personales)
Cartulina
Marcador
Cuaderno
Lápiz
Actividades INTRODUCCIÓN El profesor recordará junto con sus alumnos los términos de décimos y centésimos.
PRESENTACIÓN El profesor colocará una tabla de lectura en el pizarrón donde separe los números
enteros de los números decimales, enunciando que después del punto decimal existen
los números decimales, y que por orden de posición se encuentran los décimos y
centésimos, haciendo énfasis en éstos últimos, de ahí el término de porcentaje. Por lo
tanto para el cálculo del porcentaje se tendría que multiplicar por centésimos.
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PRÁCTICA GUIADA El docente pedirá a sus alumnos que se agrupen en parejas y coloquen precio y el
descuento que tienen las diferentes objetos que trajeron previamente. En seguida uno
de los elementos de las binas fungirá el rol de vendedor y el otro de comprador, donde
el comprador con ayuda de su cuaderno y su lápiz calculará cuánto pagará por cada
uno de los productos que compre si tiene un determinado descuento.
El maestro indicará que intercambien de función cada uno de los miembros de las
binas. También atenderá si hubiera alguna duda en dicho proceso.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE Cada uno de los alumnos de manera individual tomará un producto de los que llevaron
al salón y calcularán en su cuaderno el precio real de lo que pagarían si lo compraran a
un porcentaje de descuento.
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Programa de actividades
Sesión 8: Introducción a la multiplicación con números decimales.
Propósito: Que el alumno resuelva problemas que impliquen multiplicación con
números decimales.
Duración: 1 hora
Material: Hojas de foami de varios colores por equipo
Marcador para foami
Tijeras
Cuaderno
Lápiz
Cinco muñequitos por equipo (soldaditos de plástico)
Veinte canicas por equipo
Actividades
INTRODUCCIÓN
El docente parte de la pregunta ¿Saben realizar el procedimiento para resolver una
multiplicación con decimales? El profesor escuchará todas las respuestas de los
alumnos y se hacen comentarios acerca de ellas.
PRESENTACIÓN
El maestro dará una explicación del proceso correcto para resolver una multiplicación
con punto decimal, enfatizando donde se coloca el punto decimal en el producto y
anotará algunos ejemplos en el pizarrón resaltando los puntos decimales con color
azul.
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PRÁCTICA GUIADA El profesor agrupará a los niños en parejas dándoles la indicación de que elaboren con
el foami monedas con valor de $10.00, $5.00, $1.00, $0.50 y $0.20. Enseguida los
integrantes de cada equipo jugarán a la feria, donde dos de ellos serán los dueños de
un puesto de tiro al blanco, cuyo objetivo del cliente que serán los otros dos integrantes
de equipo es tirar a cinco muñequitos con canicas, por cada canica que tiren tendrán
que pagar un costo de $2.20. Cada sujeto realizará en su cuaderno las multiplicaciones
correspondientes para ver cuánto van a cobrar y cuánto van a pagar. El docente pasará
por cada un de los equipos sirviendo de apoyo o dirección del conocimiento cuando sea
necesario.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El maestro planteará problemas que impliquen la resolución de multiplicaciones con
punto decimal, donde se involucren temas de interés para los niños y que se manejen
en su contexto. Por ejemplo: dulces, juguetes, videojuegos, etc.
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Programa de actividades Sesión 9: Establecimiento de equivalencias entre décimos, centésimos y milésimos.
Propósito: Que el alumno encuentre la equivalencia entre décimos, centésimos y
milésimos para resolver problemas.
Duración: 1 hora
Material: 1 lamina representando las equivalencias de décimos, centésimos y milésimos.
10 palitos de elote pintados (por alumno)
10 abatelenguas pintadas (por alumno)
20 palillos pintados (por alumno)
Ligas
Hoja
Lápiz
Actividades INTRODUCCIÓN El maestro mostrará en lamina la dimensión comparativa (tamaño) entre un milésimo a
un centésimo y éste a un décimo y pedirá a los alumnos sus opiniones respecto a la
imagen que están observando, de la misma manera preguntará ¿Qué es más grande? y
¿Por qué?
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PRESENTACIÓN El profesor dejará frente al grupo pegado el esquema anterior así como la equivalencia
de lo que vale un décimo, un centésimo y un milésimo respecto a un entero. Explicará
porque nuestra numeración tiene base decimal.
PRÁCTICA GUIADA El maestro agrupará por parejas a los alumnos, donde cada una de ellas contará con
conjuntos de palos de elote, abatelenguas y palillos de 10 cada uno, partiendo de la
observación del cuadro de equivalencias colocado frente al grupo se les indicará que
representen con los palos de elote (décimos), abatelenguas (centésimos) y palillos
(milésimos), ejercicios como los siguientes:
5 décimos = ________ milésimos
3 décimos = ________ centésimos
8 centésimos = _______ milésimos
5 enteros = _________ décimos
En un segundo momento el profesor les indicará que se pongan de pie y a cada uno de
los alumnos se les dio de material (palos) y de manera verbal mencionará que formen
grupos representando cantidades como: 5 enteros, los alumnos se reuniran de manera
que completen con su material dicha equivalencia.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El educador planteará que representen de manera individual 3 ejercicios y los presenten
frente al grupo.
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Programa de actividades Sesión 10: Equivalencia de fracciones con base en el resultado de un reparto.
Propósito: Que el alumno divida uno o más enteros en fragmentos iguales. Duración: 1 hora Material: Círculos de papel de colores (representando las manzanas)
Moldes de niños de foami
2 hojas blancas
Cinta adhesiva
Pegamento
Tijeras
Regla
Lápiz
Actividades
INTRODUCCIÓN
El maestro les pedirá a sus alumnos que recuerden ¿Cuáles son las partes de una
fracción?, ¿Cuál es la función del numerador? y ¿Cuál es la función del denominador?
Comentarán sus respuestas de manera grupal llegando a una conclusión.
PRESENTACIÓN
El profesor indicará a sus alumnos sobre las funciones de cada una de las partes de la
fracción, así como ¿Qué sucede cuando el numerador es mayor que el denominador? y
viceversa; es decir ¿Cuándo se necesita un entero en una repartición? y ¿Cuándo se
necesita más de un entero?
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PRÁCTICA GUIADA El profesor planteará en el pizarrón varios problemas de repartición y los alumnos en
parejas tendrán que solucionar tomando como auxiliar didáctico los círculos. Por
ejemplo: Se quiere repartir 3 manzanas a 5 niños, ¿Cuánto le corresponde a cada
niño? Utilizando el material de apoyo representarán de manera gráfica cuanto le toca a
cada niño. El maestro auxiliará a cada uno de los equipos.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El profesor planteará 3 ejercicios de reparto que contestarán los alumnos de manera
individual a través de dibujos en su cuaderno de trabajo.
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Programa de actividades Sesión 11: Ampliar el conocimiento de decimales.
Propósito: Que el alumno explique y utilice de manera eficiente las reglas del sistema
de numeración decimal.
Duración: 1 hora
Material: Un metro por parejas
Cuaderno
Lápiz
Actividades INTRODUCCIÓN El maestro comenta con sus alumnos sobre la equivalencia del metro a centímetros.
Escucha los comentarios de sus alumnos y les pregunta ¿cuánto creen que miden de
estatura? Escucha sus respuestas.
PRESENTACIÓN El maestro coloca un metro frente al grupo y les menciona que esta conformado por
cien centímetros y anota dos ejemplos registrando las estaturas de dos alumnos en el
pizarrón, especificándoles que el primer número corresponde a los enteros (metro) y
los números seguidos del punto corresponden a los centésimos (centímetros). De la
misma manera anota dos ejemplos de multiplicación con enteros y otro con decimales.
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PRÁCTICA GUIADA El profesor les indica que se midan por parejas. Enseguida les indica que busquen en
todo el grupo los compañeros que midieron lo mismo y que lo multipliquen por el
número de elementos que encontraron para saber el total de metros y centímetros que
hay de una determinada estatura, y comparar cuántos niños existen en mayor cantidad
de la misma estatura.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El profesor les indicará que por parejas midan un total de cinco objetos en cuanto a su
longitud y que por medio de una multiplicación obtengan el total que tienen éstos en
metros y centímetros.
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Programa de actividades Sesión 12: Cálculo de promedio
Propósito: Que el alumno obtenga, organice y analice información numérica a través
de varias fuentes que impliquen promedio.
Duración: 1hora
Material: Preboletas de quinto grado
Copias de boletas de años anteriores
Hoja
Lápiz
Actividades INTRODUCCIÓN El maestro preguntará a sus alumnos ¿cuál es el procedimiento para realizar una
división? Escuchará respuestas y llegarán a una conclusión.
PRESENTACIÓN Anotará tres ejemplos en el pizarrón y posteriormente explicará el procedimiento para
obtener el promedio del registro de cifras.
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PRÁCTICA GUIADA El maestro les pedirá a sus alumnos de manera individual que obtengan su promedio
por asignatura de su preboleta. Posteriormente en parejas intercambiarán sus
preboletas y realizarán el mismo procedimiento para corroborar sus resultados.
El docente pasará con cada pareja para auxiliarlos en lo que sea necesario.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El profesor les pedirá a sus alumnos que obtengan el promedio de los cuatro años de
primaria que han cursado. Posteriormente pasarán al frente y registrarán sus promedios
en el pizarrón.
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Programa de actividades
Sesión 13: Problemas que impliquen dividir un número decimal entre un natural.
Propósito: Que el alumno resuelva problemas que impliquen división con números
decimales entre números naturales.
Duración: 1 hora
Material: 1 kilo de manzanas por parejas
1 kilo de tortillas por parejas
Cuaderno
Lápiz
Actividades INTRODUCCIÓN El maestro preguntará a sus alumnos lo que saben acerca de la división, como cuáles
son sus partes y formas de solución que ellos utilizan. De la misma forma preguntará
¿Qué saben sobre los números decimales?
PRESENTACIÓN El docente explicará qué sucede cuando el punto decimal se encuentra en el dividendo
y como tiene que aparecer en el cociente. Escribirá tres ejemplos en el pizarrón y
resaltará con un color distinto el punto decimal.
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PRÁCTICA GUIADA El profesor le pedirá a sus alumnos que se agrupen en parejas, utilizando las
manzanas, les colocarán precio por kilo y ellos obtendrán el valor unitario de cada
manzana de acuerdo al costo que ellos le colocaron. El profesor vigilará las actividades
de cada pareja y auxiliará si es necesario al final comentarán sus resultados con el
resto del grupo.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El docente indicará a sus alumnos que realicen lo mismo pero con tortillas; es decir
obtendrán el costo por cada tortilla. Al final se comentan los resultados obtenidos.
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Programa de actividades Sesión 14: La división como cociente hasta centésimos.
Propósito: Que el alumno resuelva problemas con divisiones que tengan cociente
hasta centésimos.
Duración: 1 hora
Material: 3 Cartulinas de colores distintos
Tijeras
Marcador
Cuaderno
Lápiz
Actividades INTRODUCCIÓN El profesor preguntará ¿Qué saben sobre el procedimiento para resolver una división y
sobre los números decimales? Partiendo de las repuestas de los alumnos el profesor
aclarará los errores o dudas que surjan de este tema.
PRESENTACIÓN El docente mostrará un cuadro sobre la escritura y lectura correcta de decimales y
explicará como recorrer el punto en el cociente para obtener centésimos. Los puntos
decimales los remarcará con colores distintos.
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PRÁCTICA GUIADA El docente pedirá a los alumnos que se agrupen en equipos de cinco elementos y que
elaboren monedas con las siguientes características:
Cinco de $100.00, diez de a $10.00, veinte de a $5.00, diez de a $1.00 y diez de $0.50.
Posteriormente les indicará que jueguen al banco. De los cinco elementos, dos fungirán
como cajeros y los otros tres como clientes que solicitan préstamos a pagar a dos
semanas, tres semanas, etc. Cada niño pedirá la cantidad que desee y él junto con el
cajero realizarán la división correcta para ver cuánto van a pagar por semana o por día.
El docente vigilará de cerca el trabajo de los alumnos y auxiliará si es necesario.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE El docente les escribirá tres problemas en el pizarrón que resolverán de manera
individual.
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