Programação Matemática Profs. Valeriano Oliveira & Silvio Araujo

Lista de Exercícios Nº. 4

Método Simplex 1) Solucione pelo método simplex e graficamente os seguintes problemas de

progamação linear: a) Maximizar 𝑓 𝑥 =  4𝑥! + 7𝑥!

sujeito a: 𝑥! ≤ 6 𝑥! ≤ 8 4𝑥! − 2𝑥! ≤ 10 𝑥!, 𝑥! ≥ 0.

b) Minimizar 𝑓 𝑥 =  −2𝑥! − 3𝑥! sujeito a: 𝑥! ≤ 8 𝑥! ≤ 4 −2𝑥! + 𝑥! ≤ 5 𝑥!, 𝑥! ≥ 0.

c) Uma empresa produz dois tipos de bolsas de plástico (𝐵!,𝐵!) cujos mercados absorvem respectivamente 80 e 60 unidades diárias. O processo de produção consome dois tipos de matéria-prima: folhas de plásticos e fechos. Cada unidade de 𝐵! consome duas folhas de plástico e quatro fechos. Cada unida- de de 𝐵! consome três folhas de plástico e três fechos. São disponíveis diariamente 200 folhas de plástico e 240 fechos. Os lucros unitários pelas vendas dos produtos são, respectivamente, R$ 20 e R$ 25. Qual deve ser o esquema de produção que conduza ao maior lucro possível?

2) Determine todas as soluções básicas viáveis do seguinte conjunto de restrições: −𝑥! + 𝑥! + 𝑥! + 𝑥! − 2𝑥! = 4 𝑥! − 2𝑥! + 𝑥! − 𝑥! = 3 𝑥!, 𝑥!, 𝑥!, 𝑥!, 𝑥! ≥ 0.

3) Use o método das duas fases para solucionar os seguintes problemas de programação linear:

a) Maximizar 𝑓 𝑥 =  2𝑥! + 5𝑥! + 𝑥! sujeito a: 𝑥! + 𝑥! ≥ 6 𝑥! − 𝑥! ≥ 4 4𝑥! + 𝑥! + 𝑥! ≤ 15 𝑥!, 𝑥!, 𝑥! ≥ 0.

b) Minimizar 𝑓 𝑥 =  𝑥! − 3𝑥! − 5𝑥! − 𝑥! sujeito a: 𝑥! + 𝑥! ≤ 8 𝑥! + 𝑥! ≤ 8 −𝑥! + 𝑥! + 𝑥! + 𝑥! ≥ 4 𝑥!, 𝑥!, 𝑥!, 𝑥! ≥ 0.

4) Sabendo-se que a figura abaixo representa graficamente a região das soluções

viáveis de um PPL e que a sequência de pontos extremos indicada mostra a trajetória de solução do algoritmo simplex utilizado (B é o ponto ótimo), pede-se: a) Representar as bases associadas aos pontos extremos visitados pelas iterações. b) Representar matricialmente a solução associada ao ponto F (ponto interno). c) Como poderíamos transformar a solução associada ao ponto F em uma

solução básica viável?

5) Seja o problema que se segue:

Maximizar 𝑓 𝑥 =  3𝑥! + 2𝑥! − 2𝑥! + 5𝑥! sujeito a: 𝑥! + 𝑥! + 3𝑥! + 𝑥! ≤ 8 3𝑥! − 𝑥! + 𝑥! + 2𝑥! ≤ 10 𝑥! − 𝑥! ≤ 6 𝑥!, 𝑥!, 𝑥!, 𝑥! ≥ 0.

Determine uma solução para o problema com as variáveis 𝑥!, 𝑥!, 𝑥!. Essa solução é ótima? Se não, tomando-a por base inicial, determine a solução ótima. 6) Solucione o problema abaixo pelo método das duas fases introduzindo uma

variável artificial de índice 5  (𝑥!) de custo igual a 1 e com um vetor de atividades igual a: −1−1 .

Minimizar 𝑓 𝑥 =  2𝑥! + 3𝑥! sujeito a: −𝑥! − 𝑥! + 𝑥! = −3 −2𝑥! − 𝑥! + 𝑥! = −2 𝑥!, 𝑥!, 𝑥!, 𝑥! ≥ 0.

7) Determine o menor valor de 𝐾 para que o problema abaixo seja viável:

Minimizar 𝑓 𝑥 =  2𝑥! + 3𝑥! sujeito a: −2𝑥! − 𝑥! + 3𝑥! ≥ 4 𝑥! + 2𝑥! ≥ 6 3𝑥! − 𝑥! + 2𝑥! ≤ 7 −𝑥! + 5𝑥! + 𝑥! ≤ 𝐾 𝑥!, 𝑥!, 𝑥! ≥ 0.

8) Uma companhia deve produzir 500 ferramentas para um de seus clientes em um

certo espaço de tempo. Ela possui duas máquinas que podem produzir as ferramentas segundo a distribuição de custos constantes da tabela abaixo: TABELA: CUSTOS E LIMITES DE PRODUÇÃO

Máquina Custo de produção

(US$)

Custo de montagem das máquinas

(US$)

Limite de produção no tempo disponível

1 1,12 60 300 2 1,23 50 270

a) Solucione o problema de forma a minimizar o custo total da produção. b) Seria possível solucionar esse problema com o uso do simplex? Justifique a

resposta. 9) Determine as condições necessárias e suficientes para os valores dos parâmetros 𝑘

e 𝑝 no problema a seguir de modo que o modelo seja: a) Ilimitado. b) Impossível. c) Inviável.

Minimizar 𝑓 𝑥 =  𝑥! + 𝑥! sujeito a: 𝑘𝑥! + 𝑝𝑥! ≥ 1 𝑥!, 𝑥! ≥ 0.

Referência:

M.C. Goldbarg, H.P.L. Luna, Otimização Combinatória e Programação Linear: modelos e algoritmos. Campus Elsevier, Rio de Janeiro, 2005.