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PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA MÉTODO SIMPLEX. Professor: D.Sc. Dalessandro Soares Vianna [email protected] [email protected] [email protected]. Agradecimentos. O material apresentado durante este curso é baseado nas notas de aula dos professores: - PowerPoint PPT Presentation
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PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA MÉTODO SIMPLEX
Professor: D.Sc. Dalessandro Soares ViannaProfessor: D.Sc. Dalessandro Soares Vianna
Pesquisa Operacional A 2
Agradecimentos
O material apresentado durante este curso é baseado nas notas de aula dos professores:
Edwin Benito Mitacc Meza e Fermín Alfredo Tang Montané,
professores do programa de Mestrado em Pesquisa Operacional e Inteligência Computacional da Universidade Candido Mendes - Campos.
Solução de Modelos de PL
Método Gráfico
Método Simplex
Método Simplex Dual
Método Simplex
Pesquisa Operacional A 5
Método Simplex
É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível seguir melhorando uma determinada solução.
Pesquisa Operacional A 6
Método Simplex
1 4x 3R :
22 12x 2R :
1 23 2 18x x 1R :
1x
2x
(0,0)
(0,6)
(6,0)
(4,3)
(2,6)
(0,9)
(4,0)
(4,6)
Parte do valor da F.O. de um vértice qualquer que pertença a o espaço de
soluções viáveis.
É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível seguir melhorando uma determinada solução.
Caminha pelos vértices até encontrar uma solução que não
possua soluções vizinhas melhores que ela
Pesquisa Operacional A 7
Método Simplex
A solução ótima pode não existir:
Quando não há uma solução viável (restrições incompatíveis);Quando não há um valor máximo (ou mínimo) da F.O. (1 ou mais variáveis tendem ao infinito e as restrições continuarem sendo satisfeitas).
Pesquisa Operacional A 8
Fundamentos
O modelo de um PPL pode ser resolvido pela solução de um sistema de equações lineares
Transformação de um PPL em um sistema de equações equivalentes
1 2
1
2
1 2
1 2
3 5
:
4
2 12
3 2 18
, 0
MAX Z x x
sujeito a
x
x
x x
x x
FORMA CANÔNICA
1 2
1 1
2 2
1 2 3
1 2 1 2 3
3 5
:
4
2 12
3 2 18
, , , , 0
MAX Z x x
sujeito a
x f
x f
x x f
x x f f f
FORMA PADRÃO
Pesquisa Operacional A 9
Procedimentos (forma canônicaforma padrão)
1 2
1 2
1 2
1 2
Minimizar Z 3 2
sujeito a:
5 4 14
3 4 8
, 0
x x
x x
x x
x x
Para restrições de desigualdade “”: A conversão é feita adicionando à equação uma variável artificial fj 0.
1 2Minimizar Z 3 2
sujeito a:
x x
1 2 23 4 8x x f 14
1 25 4x x1f
1 2 1 5 4 14x x f
Para restrições de desigualdade “”: A conversão é feita subtraindo à equação uma variável artificial fj 0.
8
1 23 4x x
2f
1 2 1 2, , , 0x x f f
Pesquisa Operacional A 10
Procedimentos (forma canônicaforma padrão)
FORMA CANÔNICA
FORMA PADRÃO
1 2
1
2
1 2
1 2
3 5
:
4
2 12
3 2 18
, 0
MAX Z x x
sujeito a
x
x
x x
x x
1 2
1 1
2 2
1 2 3
1 2 1 2 3
3 5
:
4
2 12
3 2 18
, , , , 0
MAX Z x x
sujeito a
x f
x f
x x f
x x f f f
O problema se transformou em encontrar uma solução de um sistema de equações lineares que maximize a F.O.
Variáveis: n=5 Restrições: m=3
n > m
Pesquisa Operacional A 11
Método de Enumeração das Soluções Básicas
Analisando, podemos dizer que atribuir zero a uma variável significa não produzir um dos produtos ou utilizar toda a disponibilidade de recursos.
O número de soluções básicas
possíveis
1 2
1 1
2 2
1 2 3
1 2 1 2 3
3 5
:
4
2 12
3 2 18
, , , , 0
MAX Z x x
sujeito a
x f
x f
x x f
x x f f f
(n-m) variáveis iguais a zero solução básica
!
C! !
nm
n n
m m n m
53
5 5!C 10
3 3! 2 !
soluçõe
s básicas possívei
s
Pesquisa Operacional A 12
Método de Enumeração das Soluções Básicas
Variáveis não básicas: São as variáveis zeradas, igual a (n-m) variáveis.
1 2
1 1
2 2
1 2 3
1 2 1 2 3
3 5
:
4
2 12
3 2 18
, , , , 0
MAX Z x x
sujeito a
x f
x f
x x f
x x f f f
Variáveis básicas: São as variáveis cujos valores são calculados pelo sistema de equações.
1ª Combinação:Variáveis Não Básicas: 1 2( , ) (0,0)x x
Variáveis Básicas: 1 2 3( , , ) (4,12,18)f f f
Solução Básica: 1 2 1 2 3( , , , , ) (0,0,4,12,18)x x f f f Solução Viável !!! 0Z
Pesquisa Operacional A 13
Método de Enumeração das Soluções Básicas
2ª Combinação:Variáveis Não Básicas: 1 1( , ) (0,0)x f
Variáveis Básicas: 2 2 3( , , )x f f
Solução Básica: Não existe !!!
Não existe Base Associada !!!!
3ª Combinação:Variáveis Não Básicas: 1 2( , ) (0,0)x f
Variáveis Básicas: 2 1 3( , , ) (6,4,6)x f f
Solução Básica: 1 2 1 2 3( , , , , ) (0,6, 4,0,6)x x f f f Solução Viável !!! 30Z
4ª Combinação:Variáveis Não Básicas: 1 3( , ) (0,0)x f
Variáveis Básicas: 2 1 2( , , ) (9,4, 6)x f f
Solução Básica: 1 2 1 2 3( , , , , ) (0,9,4, 6,0)x x f f f Solução Inviável !!!
Continuar .......
Pesquisa Operacional A 14
Método de Enumeração das Soluções Básicas
Solução Básica
(x1, x2, f1, f2, f3)
F.O.
Observação
1 (0,0,4,12,8) 0 Viável
2 ---- ---- Não existe
3 (0,6,4,0,6) 30 Viável
4 (0,9,4,-6,0) ---- Inviável
5 (4,0,0,12,6) 12 Viável
6 ---- ---- Não existe
7 (6,0,-2,12,0) ---- Inviável
8 (4,6,0,0,-6) ---- Inviável
9 (4,3,0,6,0) 27 Viável
10 (2,6,2,0,0) 36 Viável
Pesquisa Operacional A 15
Método de Enumeração das Soluções Básicas
Solução Básica
(x1, x2, f1, f2, f3)
F.O.
Observação
1 (0,0,4,12,8) 0 Viável
2 ---- ---- Não existe
3 (0,6,4,0,6) 30 Viável
4 (0,9,4,-6,0) ---- Inviável
5 (4,0,0,12,6) 12 Viável
6 ---- ---- Não existe
7 (6,0,-2,12,0) ---- Inviável
8 (4,6,0,0,-6) ---- Inviável
9 (4,3,0,6,0) 27 Viável
10 (2,6,2,0,0) 36 Viável
1 4x 3R :
22 12x 2R :
1 23 2 18x x 1R :
1x
2x
(0,0)
(0,6)
(6,0)
(4,3)
(2,6)
(0,9)
(4,0)
(4,6)
Pesquisa Operacional A 16
Método de Enumeração das Soluções Básicas
No problema vimos que n=5 (número de variáveis) e m=3 (número de restrições) tem
53
5 5!C 10
3 3! 2 !
soluções básicas
possíveis
No caso de n=10 e m=5 teremos:
105
10 10!C 252
5 5! 5 !
No caso de n=20 e m=10 teremos:
2010
20 20!C 184.756
10 10! 10 !
Problemas de grande porte
Pesquisa Operacional A 17
Simplex!!!
Desenvolvimento do Método Simplex
Problemas Reais
Método gráfico e
enumeração Inviável
Sistemática? Qual o sistema de equações que deve
ser resolvido; Qual é o próximo sistema a ser resolvido
que fornecerá uma solução melhor que os anteriores;
Como identificar uma solução ótima, uma vez que tenhamos encontrado.
Pesquisa Operacional A 18
Método Simplex - Passo 1
Transformar o PPL da sua forma Canônica para sua forma Padrão.
FORMA CANÔNICA
1 2
1
2
1 2
1 2
3 5
:
4
2 12
3 2 18
, 0
MAX Z x x
sujeito a
x
x
x x
x x
FORMA PADRÃO
1 2
1 1
2 2
1 2 3
1 2 1 2 3
3 5
:
4
2 12
3 2 18
, , , , 0
MAX Z x x
sujeito a
x f
x f
x x f
x x f f f
Pesquisa Operacional A 19
Método Simplex - Passo 2
Montar um quadro para ordenarmos as operações, colocando neles apenas os coeficientes das variáveis.
1 23 5 0MAX Z x x
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0
1 2
1 1
2 2
1 2 3
1 2 1 2 3
3 5
. . 4
2 12
3 2 18
, , , , 0
MAX Z x x
s a x f
x f
x x f
x x f f f
Quadro Inicial
A solução inicial
será sempre obtida
fazendo as
variáveis originais
do modelo iguais a
zero e achando o
valor das demais.
Pesquisa Operacional A 20
Método Simplex - Passo 3
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0
Quadro Inicial
Das variáveis não básicas na primeira solução, qual deve-se tornar positiva ?
Das 3 variáveis básicas na primeira solução, qual deverá ser anulado?
Deve ser a variável que MAIS CONTRIBUI para o lucroEntra: x2
4/0=12/2=618/2=9
Será aquela associada à linha que tiver o menor quociente entre o elemento da última coluna e o correspondente elemento da coluna de entrada.
Sai: f2
Pesquisa Operacional A 21
Método Simplex - Passo 3
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0
Quadro Inicial
Pivô
EquaçãoPivô
Para a mudança da base (na busca por outra solução) emprega-se 2 operações de cálculo:
1. Na equação do Pivô:
2. Nas demais equações incluindo Z:
Equação do Pivô Nova Equação do Pivô =
Pivô
Coeficiente da Nova EquaçãoNova Equação = Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
Gera uma nova
solução básica
Pesquisa Operacional A 22
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1
x2 0 1 0 1/2 0 6f3
Z
Método Simplex - Passo 3
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0
Pesquisa Operacional A 23
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3
Z
Método Simplex - Passo 3
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0
Pesquisa Operacional A 24
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3 3 0 0 -1 1 6Z
Método Simplex - Passo 3
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0
Pesquisa Operacional A 25
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3 3 0 0 -1 1 6Z -3 0 0 5/2 0 30
Método Simplex - Passo 3
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0
Pesquisa Operacional A 26
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3 3 0 0 -1 1 6Z -3 0 0 5/2 0 30
Método Simplex - Passo 3
Quadro I
Como nos elementos da ÚLTIMA LINHA (Equação do Z) existe ainda um NÚMERO NEGATIVO, significa que NÃO CHEGAMOS AINDA À SOLUÇÃO ÓTIMA do PPL. Temos que REPETIR o processo.
Pesquisa Operacional A 27
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3 3 0 0 -1 1 6Z -3 0 0 5/2 0 30
Método Simplex - Passo 3
Quadro I
4/1=4 6/0= 6/3=2
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 1 0 1/2 0 6x1 1 0 0 -1/3 1/3 2Z 0 0 0 3/2 1 36
Quadro II
Pesquisa Operacional A 28
Método Simplex - Passo 3
Variáveis na Solução
Variáveis de DecisãoValores
da Solução
x1 x2 f1 f2 f3
f1 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 1 0 1/2 0 6x1 1 0 0 -1/3 1/3 2Z 0 0 0 3/2 1 36
Quadro II
Como todas as VARIÁVEIS NA ÚLTIMA LINHA tem COEFICIENTES POSITIVOS foi encontrado a SOLUÇÃO ÓTIMA.
1 2x
2 6x SOLUÇÃO ÓTIMA
36Z