Programación Lineal (método algebraico)

Orales pos esto está bien facilito, intentare explicarlo de una manera muy sencilla, aclaro que debes tener conocimientos básicos de algebra he, pero de todos modos te explicare lo que es necesario saber oki??

El ejemplo ya dejo planteado esto:

Max P=15X+24y esta se llama función objetivo

Sujeto a:

MAQUINA A) 2X+2Y ≤ 800MAQUINA B) 4X + 2Y ≤ 1200 estas son las restriccionesMAQUINA C) 2Y ≤ 600X,Y ≥ 0

Paso 1) convertir igualdades y agregar variables de holgura:

Fíjate en este paso, las variables de holgura de agregan en las restricciones les pones nombres diferentes a las variables del problema en este caso las variables del problema se llaman “X y Y” (fíjate P=15X+24Y) entonces vamos a agregar 3 variables de holgura porque son 3 restricciones ¿ok? El problema va a quedar así (PONGO LAS VARIABLES EN ROJO)

Max P=15X+24Y+0F+0G+0H

Sujeto a:

MAQUINA A) 2X+2Y + F = 800MAQUINA B) 4X + 2Y + G = 1200MAQUINA C) 2Y + H = 600X,Y ,F,G,H ≥ 0

Ahora fíjate en esto:

Tienes 5 variables ok? (A;Y;F;G;H)Y tienes tres restricciones la del producto a, b y c)

Una vez hecho esto, debes primero determinar cuántos sistemas de ecuaciones te pueden salir de las restricciones, esto lo sabes sacando la combinatoria, Cm

n donde la “n” significa el numero de variables en la ecuación ya con variables de holgura, y la “m” el numero de restricciones, que siempre es el mismo”.

Ingeniero Agrónomo Especialista en Economía Agrícola

Fíjate en esto, le sume las variables porque en este caso las restricciones son “≤” si fuera ” ≥” entonces las restaría, primero agrega las variables de holgura a las restricciones y después a la función objetivo pero con coeficiente “0” para que no altere. Después de agregar las variables de holgura ya no son desigualdades, porque para eso son las variables de holgura, son para representar la diferencia en la inecuación oki?? “Una Variable de holgura por cada restricción”

Programación Lineal (método algebraico)

Ahora ¿cómo sacas la combinatoria? La formula es :

Cmn= n !m! (n−m)!

El símbolo “!” significa factorial, n!=(n) (n-1)(n-2)(n-3)…… y así sucesivamente, explico, por ejemplo, 4! = 4*3*2*1 =24 por lo tanto 4!=24, pero no tienes que hacer esto cada vez, en la calculadora debe estar una tecla que es más o menos así “nCr” donde n=n y r=m ok??

Ok ya sabes esto, ahora a sacar la combinatoria de 5C3 y nos da como resultado 10, ok esto quiere decir que hay 10 combinaciones posibles para formar en el sistema, chécate esto oki?? Es lo más importante.

Empiezas a crear tus sistemas de ecuaciones:

Tienes las restricciones:

2X+2Y + F = 8004X + 2Y + G = 12002Y + H = 600

Entonces formas una combinatoria de 3 sistemas y de 3 variables, para que sea conformable (esto es de algebra tu solo limítate a formar sistemas cuadrados es decir, siempre de “nxn” si tienes 4 restricciones pro ejemplo formaras sistemas de 4 restricciones y 4 variables, si tienes 6 formaras de 6 variables y 6 restricciones) ok??

1ra combinación

Te agarras las 3 restricciones y las primeras 3 variables así:

2X+2Y + F = 800…………………….(1)4X +2Y + 0 = 1200……………………(2) 0+2Y + 0 = 600……………………..(3)

Fíjate que puse “0” en las dos últimas ecuaciones, esto es porque en estas ecuaciones no existe F y en la última puse un cero al principio porque no existe “X” en esta ecuación

Y ahora solo te limitas a resolver el sistema, supongo que no te acuerdas así que te explico Primero que nada observa el sistema y busca la variable más fácil de despejar, en este caso la más fácil es la tercera porque está sola la y ya del lado izquierdo de la igualdad entonces despejas

2Y=600

Y=6002

por lo tanto Y=300 oki??

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Programación Lineal (método algebraico)

Después sustituyes en otra ecuación el valor de “Y” que nos dio en la primera (esto es solo un ejemplo he, tu lo debes hacer como más fácil lo veas) como en este caso es más fácil sustituir en la segunda ecuación porque solo tiene “X” y “Y”

Y nos quedaría así:

4X+2(300)=12004X+600=12004X= 1200-600X=600/4X=150

Y haces lo mismo para F:

2(150)+2(300) +F=800300+600+F=800900+F=800F=800-900F=-100

Y así queda que en este sistema

X=150Y=300F=-100

Haces esto con los sistemas siguientes .

Que seria Agarras las tres ecuaciones y las primeras dos variables te saltas una y agarras la 4ta es decir La función objetivo está estructurada así

X, Y, F, G, H en el primer sistema agarramos X, Y, F por que son las primeras tres, par el segundo agarras las primeras dos y te saltas la tercera y agarras la 4 entonces agarraríamos X, Y, G ok??

El sistema quedaría así:

2X+2Y + 0= 800…………………….(1)4X +2Y + G = 1200……………………(2) 0+2Y + 0 = 600……………………..(3)

Y el resultado es :

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X=100Y=300G=200

Esto lo saque rápido para seguir con la explicaciónEl tercer sistema queda :

2X+2Y + 0= 800…………………….(1)4X +2Y + 0 = 1200……………………(2) 0+2Y + H = 600……………………..(3)

El resultado es:

X=200Y=200H=200

El 4to

Ahora te saltas la primera variable y agarras las siguientes dos te queda

2Y + F= 800…………………….(1)2Y + G = 1200……………….…(2) 2Y + 0= 600…………………..(3)

Porque agarramos las siguientes dos variables que son Y,F,G ok??

El resultado es:

Y300F=200G=600

El 5to

2X+F + 0= 800…………………….(1)4X +0+G = 1200……………………(2) 0+0 + = 600……………………..(3)

Si las variables son X, Y, F, G, H entonces esta vez agarras la primera, te saltas la segunda y agarras las siguientes dos, es decir agarras X ( la primera variable) después te saltas Y, y agarras F y G (las siguientes dos) ok?

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Programación Lineal (método algebraico)

El resultado es infactible por que en la tercera no hay x’s la “y” nos la saltamos y no hay solución para un sistema de 3 variables y 2 ecuaciones ok? Esto es algebra solo así entiéndelo

Y bueno así le vas a hacer para todas las otras combinaciones, al último que tengas ya todos los resultados haces lo siguiente:

Sustituyes todos los valores que te dio en todos los sistemas en la función objetivo que es: P=15X+24Y+0F+0G+0H

Por ejemplo en el primer sistema nos dio:

X=150Y=300F=-100

Sustituyendo queda:

P= 15(150) + 24(300)+0(-100)

Nos daría como resultado

P= 9450

Chécate esto, esto lo tienes que hacer con todos los valores que obtuviste en los sistemas, y después de que tengas ya todos simplemente buscas el de mayor valor y ese es tu resultado, digo que busques el de mayor valor porque en este caso estas maximizando, si estuvieras minimizando sería el de menor valor

No pude hacerlo todo completo por falta de tiempo, pero con esto yo creo que le podrás entender oki?? Saludos

Ingeniero Agrónomo Especialista en Economía Agrícola