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Ville de Bruxelles – Programme de Mathématiques HG&T
1
Humanités générales et technologiques | 2e degré
PROGRAMME D’ÉTUDES DU COURS DE
MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME DEGRÉ
Ville de Bruxelles – Programme de Mathématiques HG&T
2
TABLE DES MATIÈRES
A. AVERTISSEMENT
B. CONDITIONS MATÉRIELLES DE TRAVAIL
C. OBJECTIFS DU COURS DE MATHÉMATIQUES
3
3
4
D. COMPÉTENCES TERMINALES EN MATHÉMATIQUES
7
E. ARTICULATION ENTRE COMPÉTENCES ET MATIÈRES
11
F. LE TRAVAIL DU PROFESSEUR
12
G. LES PRATIQUES D’ÉVALUATION
13
H. PLANIFICATION DES ACTIVITÉS 3e année ………………………………………………………………………………
Récapitulatif des matières de 3e année ……………………………………………
4e année ………………………………………………………………………………
Récapitulatif des matières de 4e année…………………………………………….
15
16
25
28
39
I. ANNEXES 1. Principaux verbes d’action utilisés en mathématiques ……………………..
2. Complément d’aide à la lecture des outils d’évaluation proposés par la
Commission des Outils d’Évaluation ……………………………………….
3. Autres exemples de situations d’apprentissage …………………………….
42
43
44
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3
A. AVERTISSEMENT
Ce programme de mathématiques a été rédigé à partir du référentiel Compétences
terminales et savoirs requis en mathématiques pour les humanités générales et technologiques
publié par l’Administration générale de l’Enseignement et de la Recherche scientifique -
Ministère de la Communauté française.
Ce programme a été conçu pour le 2ème degré de l’enseignement général, artistique et
technique de transition.
Le cours est donné dans chaque année à raison de cinq périodes par semaine.
B. CONDITIONS MATÉRIELLES DE TRAVAIL
L’enseignement des mathématiques par compétences exige l’utilisation de matériel.
Le professeur doit disposer du matériel de géométrie pour tableau.
De plus, il est souhaitable que le professeur dispose également d’un rétroprojecteur ou
d’un appareil multimédia ainsi que de l’accès à un local informatique équipé de logiciels
utiles à l’enseignement des mathématiques.
Les élèves doivent disposer :
- d’un cahier ou d’une farde ;
- du matériel de géométrie ;
- d’une machine à calculer scientifique.
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C. OBJECTIFS DU COURS DE MATHÉMATIQUES
Compétences terminales
La Communauté française fixe les compétences terminales à atteindre en mathématique
au terme du troisième degré. Le professeur prendra connaissance de ce texte. Les
programmes mentionnent les matières à voir en relation avec les compétences qu'elles
installent. La Communauté française fixe les socles de compétences à atteindre en
mathématique au terme du premier degré. Ce document constitue une base de travail
du professeur du second degré. Il y prendra connaissance des compétences acquises par
les élèves qui entrent en troisième année. Le cours de mathématique d'une année doit
prolonger celui de l'année précédente. En début d'année, le professeur tiendra compte
du niveau de connaissances de chacun de ses élèves et articulera son cours en
prolongement du niveau atteint par ceux-ci. Une révision des notions fondamentales
introduit utilement un nouveau chapitre. Le professeur veillera à demeurer dans le
cadre défini par le programme.
Structure du programme
Le découpage des compétences terminales en blocs permet de les associer aisément aux
matières qui privilégient leur entrainement. Ce découpage ne peut en aucun cas porter à
croire qu'une matière placée à la suite immédiate d'un bloc de compétences n'entraine
pas une compétence reprise dans un autre bloc.
Ce que le cours de mathématiques doit apporter
L'enseignement secondaire de transition doit permettre une insertion dans la société et
doit assurer une préparation à l'enseignement supérieur. Le principal objectif du cours
de mathématiques, dès lors, se situe à deux niveaux : la culture générale et les
comportements. Les mathématiques, non seulement par leur histoire et l’évolution de
ses idées mais aussi par ses développements actuels, participent à la culture générale. Le
cours de mathématiques contribue également à installer des comportements.
Appréhender un problème de façon méthodique et structurée apporte une rigueur
intellectuelle et une confiance personnelle nécessaires à une bonne intégration sociale
mais également indispensables dans l'enseignement supérieur.
Ainsi que le texte sur les compétences terminales en mathématiques l'indique d'emblée,
le professeur de mathématiques devra développer les compétences transversales
fondamentales suivantes : s'approprier une situation, traiter, argumenter, raisonner;
communiquer, généraliser, structurer, synthétiser.
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5
Les comportements
Les comportements indiqués ci-dessus seront progressivement installés par la pratique
régulière du raisonnement.
Toute activité mathématique repose sur un langage rigoureux. Le langage ensembliste
progressivement installé au cours des quatre premières années sera utilisé par le
professeur qui saisira toute occasion pour le développer et le faire employer par ses
élèves. La rigueur du langage constitue un objectif majeur du professeur. L’élève devra
utiliser ce langage pour apprendre à argumenter et à communiquer.
L'activité mathématique fait largement référence aux définitions des termes utilisés. Très
rapidement, l'élève doit y être confronté. Le professeur définira rigoureusement les
termes et exigera la connaissance de leurs définitions. Prioritairement, il devra faire
comprendre le concept qu'installe la définition en recourant aux exemples ou aux
situations-problèmes qui mettent les concepts en œuvre. Cette remarque se fonde tout
particulièrement à propos des quantificateurs que le professeur utilisera et à propos
desquels il saisira toute occasion pour attirer l'attention des élèves sur leur signification.
Les élèves rencontreront les démonstrations des principales propriétés, comme l'indique
le programme. La démonstration ne se fera pas pour chaque propriété. Le professeur
apprendra à l'élève à justifier les étapes d’une démonstration, à rechercher dans son
cours les propriétés mises en œuvre par une assertion.
Le professeur aura recours aux situations-problèmes pour installer les capacités à
s'approprier une situation, à traiter, à argumenter. Dans ces situations, l'élève mobilisera
les connaissances acquises pour construire une solution. Le cours de mathématiques
prendra tout son sens au travers des situations-problèmes rencontrées. Si certains élèves
sont d'emblée capables d'appréhender un concept abstrait, de nombreux autres élèves,
également capables d'abstraction, ont besoin d’une mise en situation concrète de la
notion mathématique pour la comprendre correctement. Le professeur veillera
constamment à le leur permettre.
Chaque situation-problème appartient à au moins une famille de tâches par les
compétences qu’elle contribue à installer. Le professeur prendra connaissance de ces
familles de tâches détaillées dans le corps du programme. Il veillera à identifier la
famille de tâches à laquelle appartient la situation-problème qu’il propose aux élèves.
Les techniques fondamentales du calcul algébrique, du calcul vectoriel et de l'analyse
seront régulièrement entrainées, mais en aucun cas le cours de mathématiques ne peut
limiter ses objectifs à cet entrainement.
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6
La culture générale
Le professeur inscrira les mathématiques dans la culture générale : il abordera des
thèmes de l'histoire des nombres, de l'histoire de l'art, … . Les situations abordées dans
ce cadre permettront une illustration des concepts mathématiques. Elles contribueront
également à l'apprentissage de capacités telles qu'évoquées ci-dessus : s'approprier une
situation, argumenter, raisonner, généraliser et structurer.
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D. COMPÉTENCES TERMINALES EN MATHÉMATIQUES
Le Décret « Missions »1 définit une compétence comme une aptitude à mettre en
œuvre un ensemble organisé de savoirs, de savoir-faire et d’attitudes permettant
d’accomplir un certain nombre de tâches.
Savoirs : ensemble des connaissances
Savoir-faire : ensemble de procédures
Attitude: état d’esprit qui pousse à un comportement, à une action
Par exemple, être curieux se poser des questions s’interroger
Une attitude est identifiable par un verbe d’action2 tel que s’interroger, analyser,
critiquer, sélectionner, résoudre, démontrer, communiquer, etc.
Le référentiel Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques- Humanités générales
et technologiques présente six compétences terminales à développer dans quatre
domaines disciplinaires.
Les six grandes compétences terminales :
- C1. Savoir, connaitre, définir
- C2. Calculer (déterminer, estimer, approximer)
- C3. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes
- C4. Représenter, modéliser
- C5. Démontrer
- C6. Résumer, organiser les savoirs, synthétiser, généraliser
Les quatre domaines disciplinaires :
- Étude des fonctions
- Algèbre
- Géométrie et trigonométrie
- Traitement des données
1 Article 5, 1° du décret « Missions » du 24 juillet 1997.
2 Un tableau reprenant les principaux verbes dont l’action est mise en œuvre dans le travail par
compétences est présenté en annexe 1.
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Les familles de tâches1 résultent du croisement des domaines et des compétences.
Par exemple,
Démontrer que la racine carrée d’un produit de réels positifs est égale au produit des racines
carrées de ces réels :
Compétence terminale : démontrer
Domaine disciplinaire : algèbre
L’enseignement par compétences invite les élèves à réaliser une tâche complexe avec
une consigne globale et un but à atteindre.
Tâche : travail déterminé à exécuter.
Tout travail entraine la réalisation d’une production. Une tâche est complexe à
partir du moment où elle réunit des savoirs, des savoir-faire et des verbes
d’action. Le niveau et le nombre des savoirs à mobiliser ainsi que la complexité
des savoir-faire à utiliser déterminent la difficulté de la tâche à accomplir. Pour
rappel, complexe ne signifie pas compliqué.
Consigne : énoncé dans lequel un travail est demandé à l’élève.
Une consigne n’est pas qu’une question. C’est un énoncé dans lequel la tâche
demandée à l’élève et donc la production attendue sont clairement identifiées. La
consigne est formulée de telle manière que les élèves soient confrontés à une
tâche inédite, complexe et adidactique (l’élève construit seul sa démarche).
But à atteindre : action visée dans la consigne.
Par exemple : modéliser, calculer, démontrer, …
Les productions attendues en mathématiques sont variées.
Ce peut être
- une expression analytique ;
- un graphique ;
- un calcul ;
- une démonstration (non faite en classe) ;
- une phrase donnant la solution ;
- une démarche cohérente et justifiée ;
- un énoncé et une justification ou une démonstration ;
- une relation entre une expression analytique et un graphique ;
- etc.
1 Voir annexe 2
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Exemples1,
1er exemple
Compétence terminale C4 «Représenter, Modéliser »
Domaine disciplinaire « Étude des fonctions »
Consigne : Un professeur de mathématique a filmé avec une caméra numérique son fils en train
de lancer un ballon. En regardant cet enregistrement avec arrêts sur image, il recueille les
données présentées dans le tableau ci-dessous. On te demande de reporter les données du tableau
dans le repère fourni, puis, de déterminer une fonction qui modélise le phénomène observé,
ensuite de confronter ton modèle aux données fournies (comparer les hauteurs calculées à l’aide
de ton modèle aux hauteurs mesurées) et enfin de tirer une conclusion sur la validité de ta
modélisation.
Tableau : Hauteur du ballon par rapport au sol.
Temps
en secondes
Hauteurs du ballon
en centimètres
0 84
0,1 121
0,2 149
0,3 167
0,4 175
0,5 174
0,6 163
0,7 143
0,8 114
0,9 75
Tâches à réaliser : construire un graphe cartésien
écrire l’expression analytique de la fonction modèle
calculer des valeurs théoriques
rédiger une phrase de conclusion sur la qualité de la modélisation
Buts à atteindre du graphe : représenter (C4)
de l’expression analytique de la fonction: modéliser (C4)
de la phrase : comparer et interpréter (C3 et C6)
1 D’après les exemples proposés par le groupe de travail interréseau de mathématiques de la Commission
des Outils d’Évaluation (COE), Administration Générale de l’Enseignement (AGERS).
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2ème exemple
Compétence terminale « Démontrer »
Domaine disciplinaire « Géométrie et trigonométrie »
Consigne : Dans le prisme droit représenté ci-dessous, Q est un point fixé sur une arête. En le reliant
aux sommets A et F, on obtient un triangle. Différentes mesures sont données sur la figure. On te
demande de démontrer (prouver) que le triangle AQF N’EST PAS un triangle rectangle. Tu
commenceras ta démonstration en indiquant ce qui t’est donné et ce que tu dois prouver. Tu justifieras tes
réponses en citant et mentionnant les théorèmes et/ou les propriétés que tu utilises (dans ta
démonstration.)
F
3
E
5,3
D
B
CA
6
11Q
3
4
9
Tu veilleras également à faire apparaitre la structure de ta démarche.
Tâches à réaliser : écrire les hypothèses
écrire la thèse
rédiger une démonstration
indiquer toutes les justifications
But à atteindre de la démonstration : prouver la thèse (C5)
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E. ARTICULATION ENTRE COMPÉTENCES ET MATIÈRES
Matières
Dans le programme, les matières reprennent les contenus notionnels que l'élève doit
maitriser à la fin de l'année : de cette maitrise dépend largement l'installation des
différentes compétences.
Le professeur veillera en permanence à diversifier l'approche de ces matières pour
permettre leur compréhension au plus grand nombre d'élèves. Entre l'exposé théorique,
le travail de recherche et de compréhension personnelle de l'élève (éventuellement suivi
d'un exposé de celui-ci), le professeur dispose d'une palette de moyens d'enseignement
au nombre desquels le recours à l'outil informatique, accessible dans tous les
établissements, s'avère extrêmement utile.
La compréhension d'une nouvelle matière se trouve facilitée si l'élève a déjà rencontré
les techniques mises en œuvre lors d'une application.
Compétences
Lorsque le professeur aborde une matière, il privilégiera l'acquisition des compétences
mentionnées immédiatement avant. La diversification des moyens d'enseignement se
trouve encouragée par les compétences terminales mentionnées dans les programmes :
dans certains cas, l'élève doit savoir appliquer, dans d'autres cas il doit savoir
démontrer. Le professeur en tiendra compte, dans le plus grand intérêt de ses élèves.
Le professeur organise une séquence de cours comme une succession de leçons. Cette
séquence doit avoir pour but d’une part d’installer telle(s) compétence(s) et d’autre part
de rencontrer tel(s) savoir(s) ou d’installer telle(s) technique(s). Le professeur organise
les matières à voir dans l’ordre logique du développement et du raisonnement
mathématiques. Au cours d’une séquence, la pratique de différentes approches
pédagogiques se fait dans l’intérêt de l’apprentissage des élèves : exposé théorique
incluant le cas échéant l’énoncé de définitions et de propriétés, exemples qui illustrent la
matière à voir, situation-problème qui met cette matière en œuvre, exercice qui entraine
une technique, … .
Si une compétence a été acquise lors d'une année antérieure, le professeur veillera à
l'entretenir pendant l'année en cours.
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F. LE TRAVAIL DU PROFESSEUR
1. Le professeur planifie les matières à voir au cours de l’année scolaire de telle façon
que le programme soit respecté et qu’il soit en continuité avec les matières vues les
années précédentes.
Une planification des matières permet :
- d’avoir une idée globale des savoirs et savoir-faire indiqués dans le programme ;
- d’identifier l’essentiel des savoirs à retenir et des savoir-faire à entrainer.
2. Le professeur prépare les séquences d’apprentissage (ensemble de leçons).
Il choisit les séquences d’apprentissage en termes de savoirs, de savoir-faire et de
compétences.
3. Le professeur évalue les compétences, les savoirs et les savoir-faire acquis par les
élèves. L’évaluation doit impérativement porter sur les savoirs, les savoir-faire et sur
le travail par compétences qui ont été enseignés en classe.
4. Le professeur aide les élèves à construire leur cahier en veillant à ce qu’il contienne
aussi les traces de productions réalisées en classe ou à domicile (brouillons, exercices,
recherches, …) ainsi que tout document permettant de structurer son cours (table des
matières, résumé, …).
5. Le professeur aide les élèves à tenir leur journal de classe en ordre pour qu’ils
puissent organiser au mieux leur travail.
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G. LES PRATIQUES D’ÉVALUATION
AU COURS DE L’ANNÉE : LES ÉVALUATIONS
Le professeur évalue régulièrement le travail de ses élèves.
L’évaluation doit porter sur des savoirs, des savoir-faire et le travail par compétences
enseignés en classe. L’évaluation des savoirs et des savoir-faire doit se faire au même
titre que l’évaluation du travail par compétences. Les parts consacrées à l’évaluation
des savoirs, des savoir-faire et du travail par compétences doivent être pondérées de
manière raisonnable.
L’évaluation peut se présenter sous différentes formes.
L’évaluation formative
C’est une évaluation1 « effectuée en cours d’activité qui vise à apprécier le progrès
accompli par l’élève et à comprendre la nature des difficultés qu’il rencontre lors d’un
apprentissage. Elle a pour but d’améliorer, de corriger ou de réajuster le cheminement
de l’élève ; elle se fonde en partie sur l’autoévaluation ».
Une évaluation est formative à partir du moment où le professeur a posé un diagnostic2
écrit en proposant éventuellement des pistes de remédiation sur la copie de l’élève ….
que cette copie soit cotée ou non …, des pistes de remédiation pour l’ensemble de la
classe.
L’évaluation sommative
C’est une évaluation3 basée sur des « épreuves situées à la fin d’une séquence
d’apprentissage et visant à établir le bilan des acquis des élèves ».
Une évaluation sommative mène toujours à une note. Elle porte sur les savoirs, les
savoir-faire et les compétences.
1 Article 5 du décret « Missions »
2 Une évaluation diagnostique facultative peut être effectuée soit en début d’année, soit en début de
séquence d’apprentissage. Elle a pour but d’informer le professeur du niveau de maitrise des prérequis
attendus. Elle ne peut en aucun cas être prise en compte pour la certification de l’élève. 3 Article 5 du décret « Missions »
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L’évaluation des compétences est facilitée par l’utilisation d’une grille d’évaluation
critériée1. Le professeur est libre de construire la grille d’évaluation qu’il souhaite. Il
peut s’inspirer du tableau des verbes d’action proposé en annexe 1. Au préalable, les
élèves doivent être informés non seulement de la tâche qu’ils ont à réaliser, mais
également des compétences et critères sur lesquels ils seront évalués.
Une épreuve d’évaluation de compétences doit comporter les caractéristiques
suivantes :
- La tâche est inédite, c’est-à-dire que la tâche d’évaluation proposée à l’élève ne doit
pas être la reproduction à l’identique d’une tâche effectuée en apprentissage
(compétence n’est pas synonyme de restitution).
- La tâche est complexe, c'est-à-dire qu’elle implique une réorganisation personnelle
des savoirs, savoir-faire, attitudes et stratégies. Ainsi, il importe d’amener l’élève à
les réorganiser en une démarche permettant la réalisation d’une « tâche » différente,
mais comparable. Il va de soi que les démarches attendues des élèves en évaluation
ne doivent pas présenter un degré de complexité supérieur à celui des tâches
d’apprentissage.
- La tâche est « adidactique », c'est-à-dire, selon les termes de DENYER et al.2, qu’elle
implique que l’énoncé de la consigne n’induise pas la démarche à suivre et n’indique
pas les ressources pertinentes à sa résolution : à ce stade, la réponse doit être
construite par l’élève en acteur autonome, obligé de faire des choix, de prendre des
décisions. Ce caractère adidactique constitue une condition sine qua non de la tâche
d’évaluation de compétences. Si l’épreuve n’est pas adidactique, c’est-à-dire si elle
est « étayée », ce ne sont pas des compétences que l’on évalue, mais bien plutôt le
respect de consignes explicites, l’aptitude à reproduire une opération algorithmique,
voire la simple exécution ou la restitution de savoirs.
Pour préparer ces épreuves d’évaluation, le professeur est invité à consulter les
épreuves d’évaluation interréseaux mises au point par le groupe de travail en
mathématiques du Service de Pilotage de la Commission des Outils d’Évaluation (COE)3
EN FIN D’ANNÉE : SANCTION DES ÉTUDES ET/OU CERTIFICATION
Selon l’année d’études4, la sanction des études ou la certification est une décision prise dans
le cadre du conseil de classe qui atteste que l’élève a acquis ou non les savoirs, les savoir-faire
et les compétences suffisants pour accéder à l’année suivante.
1 Le professeur peut s’inspirer des exemples de grilles d’évaluation proposées par la Commission des Outils d’Évaluation (COE)
www.enseignement.be 2 M. DENYER, J. FURNEMONT, P. POULAIN & G. VAN LOUBBEECK, Les compétences, où en est-on ?, Bruxelles, De Boeck, 2004,
pp.108-111 3 Pour consulter les outils d’évaluation : www.enseignement.be 4 La sanction des études concerne la 3e année et la certification concerne la 4e année (Certificat d’Enseignement Secondaire du
Deuxième Degré).
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H. PLANIFICATION DES ACTIVITÉS Le programme a été élaboré à partir du référentiel Compétences terminales et savoirs requis
en mathématiques pour les Humanités générales et technologiques publié par le Ministère de
la Communauté française.
3e ANNÉE
1. Algèbre
2. Étude des fonctions
3. Géométrie et trigonométrie
4e ANNÉE
1. Algèbre
2. Étude des fonctions
3. Géométrie et trigonométrie
4. Traitement des données
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3e ANNÉE
1. ALGÈBRE
Les compétences algébriques reposent sur la connaissance de propriétés articulées entre
elles et sur la capacité à traduire une situation en langage mathématique. Leur mise en
œuvre requiert d'avoir acquis des routines de calcul, mais surtout de savoir élaborer et
mener à bien les plans de calcul utiles à la solution. Cette habileté comporte le bon usage
des outils de calcul électroniques, quand la difficulté ou l'efficacité l'imposent, ainsi que
l'interprétation des résultats ainsi obtenus1.
C1. Savoir, connaitre, définir
Compétences à atteindre
1°) Les propriétés des opérations fondamentales sur les nombres et les formes littérales.
2°) Les propriétés de compatibilité des opérations avec les égalités, les inégalités ( , ).
3°) Les propriétés des opérations sur les polynômes, incluant celles relatives à l'égalité et à la
factorisation.
Matière
Propriétés des opérations sur les nombres réels ;
Puissances à exposants entiers ;
Racine carrée d'un nombre réel positif ;
Formules de produits remarquables ;
Polynômes : degré d'un polynôme, valeur numérique d'un polynôme, zéro d’un
polynôme ;
Égalité de deux polynômes ;
Fractions rationnelles.
Indications méthodologiques
- L’étude des propriétés des opérations sur les nombres réels sera prétexte à
poursuivre la mise en place de l’écriture formelle.
1 Source : Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques pour les Humanités générales et
technologiques
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- Les définitions des puissances peuvent être découvertes à partir de suites de
puissances ou d'extensions de la règle du quotient de deux puissances de même base
à exposants naturels. On établira l'une ou l'autre de ces propriétés.
- Au niveau des identités remarquables, on abordera par exemple les expressions
suivantes : 333222 ,)(,)(, babababa … .
- Les mesures irrationnelles découvertes dans le cadre de la relation de Pythagore
permettent d’aborder la notion de racine carrée positive. On pourra déduire les
propriétés au départ d’exemples numériques, de situations géométriques, … .
- On pourra présenter le zéro d’un polynôme à partir de valeurs numériques d’un
polynôme.
- L’accent sera mis sur les expressions à une variable au niveau des fractions
rationnelles.
C2. Calculer (déterminer, estimer, approximer)
Compétences à atteindre
1°) Calculer l'ensemble des solutions d'une équation, d'une inéquation.
2°) Calculer l'ensemble des solutions d'un système de 2 équations linéaires.
Matière
Résolution d'une équation et d'une inéquation du premier degré à une inconnue ;
Résolution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues ;
Résolution d'équations réductibles au premier degré.
Indications méthodologiques
- Les principes d’équivalence des équations étant essentiels, ils seront rappelés et
permettront aux élèves de justifier les résolutions d’équations.
- Les aspects algébriques de ce chapitre (résolution d’équations, d’inéquations, de
systèmes) peuvent prendre place au fur et à mesure des nécessités.
- La résolution d'équations réductibles au premier degré mettra l’accent sur la
factorisation et la règle du produit nul.
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C3. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes
Compétences à atteindre
1°) Organiser une suite d'opérations conduisant à la résolution d'un problème.
2°) Interpréter le résultat des calculs en les replaçant dans le contexte du problème.
3°) Présenter les résultats oralement ou par écrit dans une expression claire, concise, exempte
d'ambigüité.
Matière
Principes d’équivalence des équations et des inéquations ;
Racine carrée d'un nombre réel positif : valeur approchée, encadrement ;
Opérations sur les racines carrées ;
Propriétés des puissances à exposants entiers ;
Formules de produits remarquables ;
Somme, différence, produit et quotient de polynômes ;
Division par x – a, loi du reste, algorithme de Horner ;
Méthodes de factorisation ;
Somme, différence, produit et quotient de fractions rationnelles.
Indications méthodologiques
- La résolution de problèmes issus de situations concrètes, géométriques ou autres
permettra l’utilisation des proportions.
- La rationalisation pourra être abordée lors des différentes opérations sur les racines
carrées.
- On pourra analyser l'algorithme de la division polynomiale par son analogie avec
celui de la division des naturels.
- La loi du reste sera utilisée, notamment, dans le cadre de la factorisation.
- La factorisation par la méthode du discriminant sera réservée à la quatrième année.
- Dans les fractions rationnelles, les techniques de factorisations utilisées doivent être
variées mais ne doivent pas être l’objectif de l’exercice.
C4. Représenter, modéliser
Compétence à atteindre
Traduire une situation en langage mathématique sous forme d'équation, d'inéquation ou
d'autres formes de conditions.
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Matière
Résolution de problèmes faisant intervenir une équation ou un système d'équations du
premier degré.
Indications méthodologiques
- Le professeur s’efforcera d’installer chez ses élèves une méthode rigoureuse et
systématique de résolution des problèmes. Pour ce faire, il pourra s’inspirer de la
démarche suivante :
o choix d'inconnue(s) et mise en équation(s),
o résolution algébrique ou graphique de l'équation (ou du système
d'équations) et vérification de la solution obtenue,
o validation de cette solution comme solution du problème,
o présentation rédigée de la solution du problème.
- La calculatrice et l’ordinateur permettent de traiter des problèmes dont les données
ne sont pas arbitrairement simplifiées.
C5. Démontrer
Compétence à atteindre
Justifier les étapes d'un calcul (en relation avec le niveau mathématique envisagé).
Matière
Racine carrée d'un produit, d'un quotient ;
Loi du reste.
Indication méthodologique
Ces démonstrations seront à nouveau l’occasion d’installer auprès des élèves une
bonne compréhension de la démarche déductive (hypothèses, thèse et démonstration).
C6. Résumer, organiser les savoirs, synthétiser, généraliser
Compétences à atteindre
1°) Commenter les extensions successives de la notion de nombre et les utiliser (y compris les
nombres réels).
2°) Au moyen d'une droite graduée, représenter R et en illustrer les propriétés fondamentales.
3°) Reconnaitre une structure de groupe dans des ensembles numériques.
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Matière
L'ensemble des nombres réels (nombres rationnels et irrationnels) ;
Interprétation des solutions d’une équation et d'une inéquation du premier degré à une
inconnue dans un repère cartésien ;
Représentation de l’ensemble des solutions d’une équation et/ou d’une inéquation sur la
droite des réels.
Indication méthodologique
Un récapitulatif des propriétés des opérations sur les différents ensembles de nombres
peut conduire à la notion de groupe.
2. GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE
Les compétences géométriques prennent appui sur la connaissance de figures et de
solides, tant issus de l'espace physique qu'idéalisés dans des configurations. La première
compétence réside dans les tracés à main levée et aux instruments, éventuellement à
l'aide de logiciels ou encore dans la réalisation d'un modèle. Quelques notions
constituent les bases des compétences géométriques : l'incidence, le théorème de Thalès,
la similitude de figures et le théorème de Pythagore sont utilisés dans différents
domaines. Les compétences calculatoires qui s'y rapportent sont amplifiées ensuite par
la géométrie vectorielle. Les compétences liées à l'argumentation sont au cœur de toute
activité géométrique. Elles sont à l'œuvre dans la réalisation et la justification de
constructions, dans la recherche de propriétés et dans la rédaction de démonstrations,
qu'elles soient synthétiques ou vectorielles. Les translations, les symétries, les rotations
et les homothéties sont utilisées pour décrire et organiser les propriétés des figures.1
C1. Savoir, connaitre, définir
Compétences à atteindre
1°) Les grands théorèmes de la géométrie classique et de la trigonométrie relatifs aux
longueurs, aux rapports de longueurs, aux angles, aux aires et aux figures en général ;
1 Source : Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques pour les Humanités générales et
technologiques
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2°) Les translations, les symétries, les rotations, les homothéties de figures dans le plan ;
3°) Les projections parallèles de figures ou de solides.
Matière
Théorème de Pythagore ;
Théorème de Thalès ;
Angles au centre, angles inscrits, angles tangentiels ;
Caractérisation d'un triangle rectangle par son inscriptibilité dans un demi-cercle ;
Figures isométriques, cas d'isométrie des triangles ;
Figures semblables, cas de similitude des triangles ;
Nombres trigonométriques dans un triangle rectangle.
Indications méthodologiques
- On peut montrer sur des exemples numériques que la réciproque du théorème de
Pythagore permet de caractériser un triangle rectangle.
- La réciproque du théorème de Thalès permet d’installer une relation entre les
rapports de longueurs de segments et le parallélisme.
- Les propriétés des angles peuvent s’établir à partir de notions rencontrées au
premier degré : isométries, somme des angles d'un triangle, angles supplémentaires,
angle extérieur d'un triangle,…
- Les cas d’isométrie peuvent être présentés à partir de problèmes de construction puis
utilisés comme outils de démonstration. Le professeur veillera à mettre l’accent sur le
passage du langage courant au symbolisme mathématique et à l’utilisation correcte
des connecteurs logiques.
- La notion de figures semblables peut être reliée à l'idée intuitive d'agrandissement
(ou de réduction). Les cas particuliers où les figures se présentent dans la position de
« figures homothétiques » sont particulièrement éclairants et permettent de montrer
la filiation entre les propriétés des projections parallèles et celles de la similitude.
C2. Calculer, déterminer un élément géométrique
Compétence à atteindre
Sur base des notions de la rubrique C1, déterminer une longueur, un angle, une relation entre
points, droites, une propriété de figure, par une méthode routinière.
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22
Matière
Calcul de la longueur d'un côté, de l'amplitude d'un angle dans un triangle rectangle ;
Calcul de la longueur d'un segment (en appliquant les propriétés des proportions) ;
Géométrie analytique plane : coordonnées d'un point, équations d'une droite, intersections
avec les axes, conditions de parallélisme et de perpendicularité.
Indications méthodologiques
- Les nombres trigonométriques correspondant à 45°, 30°et 60° pourront se déduire
des deux figures géométriques : demi-carré et demi-triangle équilatéral (on étendra
ces nombres aux angles de 0° et 90°).
Dans les autres cas l’usage de la calculatrice sera encouragé.
- La mise en oeuvre des théorèmes de Thalès et de Pythagore permettra le calcul de la
longueur d’un segment.
- La formule de calcul du coefficient angulaire d'une droite passant par deux points
sera établie.
C3. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes
Compétence à atteindre
Parmi les notions de la rubrique C1, choisir des propriétés, organiser une démarche en vue de
- déterminer des éléments d'une figure;
- dégager de nouvelles propriétés géométriques;
- résoudre des problèmes.
Matière
Le professeur fera résoudre des problèmes qui mettent en œuvre les outils mathématiques
mentionnés au cadre C1.
C4. Représenter, modéliser
Compétence à atteindre
Effectuer des tracés de figures générales ou de leurs cas particuliers, à la main, aux instruments,
éventuellement à l'aide de logiciels, en vue d'illustrer un énoncé, d'éclairer une recherche.
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23
Matière
Figures isométriques ;
Figures semblables.
Indications méthodologiques
- Sur quelques exemples, on reconnaitra que des figures données sont isométriques
(superposables) en repérant une suite de translation(s), rotation(s), symétrie(s)
appliquant l'une sur l'autre.
- Sur quelques exemples, on reconnaitra que des figures données sont semblables en
repérant une suite de translation(s), rotation(s), symétrie(s) et un agrandissement (ou
une réduction) appliquant l'une sur l'autre.
C5. Démontrer
Compétences à atteindre
1°) Organiser les étapes d'une construction et les justifier ;
2°) Dans un énoncé (propriété, définition, théorème,…), distinguer l'hypothèse et la thèse ;
3°) Rédiger une démonstration en faisant apparaitre les étapes, les liens logiques, les théorèmes
utilisés au moyen de phrases complètement formulées.
Matière
Théorème de Pythagore ;
Théorème de Thalès ;
Propriétés des angles inscrits dans un cercle, des angles au centre d'un cercle ;
Cas d'isométrie des triangles ;
Cas de similitude des triangles.
Indications méthodologiques
- La configuration de Thalès pourra servir d’outil de démonstration.
- La relation entre l’angle inscrit et l’angle au centre sera démontrée et pourra être
utilisée comme outil de démonstration.
- Quelle que soit la démonstration du théorème de Pythagore (aires, rotations,…), on
exploitera la figure ci-dessous.
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24
- Les cas d’isométries et de similitudes peuvent être admis de manière intuitive et mis
en œuvre dans des démonstrations.
3. ÉTUDE DES FONCTIONS
L'étude des fonctions est un domaine privilégié pour apprendre à modéliser.
L'accent est mis sur la fonction de référence f(x) = ax + b.1
C1. Savoir, connaitre, définir
Compétence à atteindre
Les expressions relatives aux fonctions et à leur variation.
Matière
La fonction du premier degré f(x) = ax + b ;
Zéro d’une fonction ;
Notion de coefficient angulaire.
Indications méthodologiques
- Lors de la synthèse, on mettra en avant la relation entre les paramètres a et b de la
fonction f (x) = ax + b et la position de la droite y = ax + b correspondante.
- On fera la distinction entre les notions de fonction, d’équation et de polynôme tout
en établissant les liens qui existent entre ces notions.
- La notion de coefficient angulaire (ou pente ou coefficient directeur) sera introduite.
Le lien entre le signe de a et la croissance (ou la décroissance) de la fonction sera fait.
- La notion de coefficient de position, ou d’ordonnée à l’origine, sera introduite.
1 Source : Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques pour les Humanités générales et
technologiques
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25
C4. Représenter, modéliser
Compétences à atteindre
1°) Esquisser, construire un graphique pour mettre en évidence des caractéristiques du
phénomène traité.
2°) Interpréter un graphique en le reliant au problème qu'il modélise.
Matière
La fonction du premier degré ;
Construction point par point et première analyse des graphiques de fonctions numériques
du type
baxxfaxxf )(et)( ;
Notion de coefficient angulaire.
Indication méthodologique
La fonction du premier degré pourra être abordée à partir de problèmes de
tarification, de distance parcourue en fonction de la durée, d’observation de
phénomènes physiques,…
RÉCAPITULATIF DES MATIÈRES DE 3e ANNÉE Les matières reprises aux pages précédentes sont directement liées aux six compétences des Compétences
terminales et savoirs requis en mathématiques - Humanités générales et technologiques.
Ce choix délibéré fait disparaitre toute structuration logique du cours de mathématique. Afin d'aider le
professeur à structurer un cours tout en respectant le programme, on trouvera ci-dessous un exemple de
suite logique d'un cours reprenant les matières à voir. Le professeur reste libre d’adopter un autre ordre
de matières.
Chaque point de matière sera suivi de la compétence à exercer (C1, C2, C3, C4, C5 ou C6) suivant la
nomenclature habituelle.
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26
1. ALGÈBRE
L'ensemble des nombres réels (nombres rationnels et irrationnels) (C6).
Propriétés des opérations sur les nombres réels (C1).
Puissances à exposants entiers (C1).
Propriétés des puissances à exposants entiers (C3).
Racine carrée d'un nombre réel positif (C1).
Racine carrée d'un nombre réel positif : valeur approchée, encadrement (C3).
Racine carrée d'un produit, d'un quotient (C5).
Opérations sur les racines carrées (C3).
Formules de produits remarquables (C1, C3).
Polynômes : degré d'un polynôme, valeur numérique d'un polynôme, zéro d’un polynôme (C1).
Somme, différence, produit et quotient de polynômes (C3).
Division par x – a, loi du reste (C3,C5), algorithme de Horner (C3).
Méthodes de factorisation (C3).
Fractions rationnelles (C1).
Somme, différence, produit et quotient de fractions rationnelles (C3).
Principes d’équivalence des équations et des inéquations (C3).
Résolution d'une équation et d'une inéquation du premier degré à une inconnue (C2).
Interprétation graphique des solutions d'une inéquation du premier degré à une inconnue sur la droite
réelle (C6).
Résolution d'équations réductibles au premier degré (C2).
Résolution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues (C2).
Résolution de problèmes faisant intervenir une équation ou un système d'équations du premier
degré (C4).
2. GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE
Théorème de Thalès (C1, C5).
Figures semblables (C1, C4), cas de similitude des triangles (C1, C5).
Calcul de la longueur d'un segment (en appliquant les propriétés des proportions) (C2).
Théorème de Pythagore (C1, C5).
Figures isométriques (C1, C4), cas d'isométrie des triangles (C1, C5).
Angles au centre, angles inscrits (C1).
Propriétés des angles inscrits dans un cercle, des angles au centre d'un cercle (C5).
Caractérisation d'un triangle rectangle par son inscriptibilité dans un demi-cercle (C1).
Géométrie analytique plane : coordonnées d'un point, équations d'une droite, intersections avec les axes,
conditions de parallélisme et de perpendicularité (C2).
Nombres trigonométriques dans un triangle rectangle (C1).
Calcul de la longueur d'un côté, de l'amplitude d'un angle dans un triangle rectangle (C2).
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27
3. ÉTUDE DES FONCTIONS
La fonction du premier degré f(x) = ax + b (C1, C4)
Construction point par point et première analyse des graphiques de fonctions numériques du type
baxxfaxxf )(et)( (C4)
Zéro d’une fonction (C1).
Notion de coefficient angulaire (C1, C4).
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28
4e ANNÉE
1. ALGÈBRE
Les compétences algébriques reposent sur la connaissance de propriétés articulées
entre elles et sur la capacité à traduire une situation en langage mathématique. Leur
mise en œuvre requiert d'avoir acquis des routines de calcul, mais surtout de savoir
élaborer et mener à bien les plans de calcul utiles à la solution. Cette habileté
comporte le bon usage des outils de calcul électroniques, quand la difficulté ou
l'efficacité l'imposent, ainsi que l'interprétation des résultats ainsi obtenus15.
C1. Savoir, connaitre, définir
Compétences à atteindre
1°) Les propriétés des opérations fondamentales sur les nombres et les formes littérales.
2°) Les propriétés de compatibilité des opérations avec les égalités, les inégalités ( , ).
3°) Les propriétés des opérations sur les polynômes, incluant celles relatives à l'égalité et à
la factorisation.
Matière
Valeur absolue ;
Radicaux d'indice n ;
Puissances à exposants rationnels.
Indications méthodologiques
- Pour les radicaux d’indice n, on pourra s’appuyer sur la théorie des racines
carrées vue en 3e année.
- On attirera l’attention sur les conditions d’existence des radicaux afin de
préparer la notion de domaine d’une fonction développée en 5e année.
15
Source : Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques pour les Humanités générales
et technologiques
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29
C2. Calculer (déterminer, estimer, approximer)
Compétences à atteindre
1°) Calculer l'ensemble des solutions d'une équation, d'une inéquation.
2°) Calculer l'ensemble des solutions d'un système de deux ou trois équations linéaires.
Matière
Équations et inéquations du premier degré à deux inconnues ;
Systèmes d'équations ;
Équations et inéquations du second degré à une inconnue ;
Zéros et signe d’un produit et/ou d’un quotient de facteurs du premier et/ou du second
degré ;
Équations et inéquations fractionnaires.
Indications méthodologiques
- On insistera sur la signification logique de la notion de système. Le lien sera
fait entre cette notion et l’intersection des ensembles de solutions.
- On justifiera la résolution, notamment des équations fractionnaires, par la
référence aux principes d’équivalence.
- On suggère au professeur de rencontrer la résolution de conditions exprimées
sous forme de conjonction d’inéquations.
C3. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes
Compétences à atteindre
1°) Organiser une suite d'opérations conduisant à la résolution d'un problème.
2°) Interpréter le résultat des calculs en les replaçant dans le contexte du problème, avec
discussion éventuelle.
3°) Présenter les résultats oralement ou par écrit dans une expression claire, concise,
exempte d'ambigüité.
Matière
Transformation d'expressions simples contenant des radicaux, des puissances à exposants
rationnels ;
Méthode des coefficients indéterminés ;
Factorisation de trinômes du second degré ;
Opérations sur les fractions rationnelles.
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30
Indications méthodologiques
- La transformation d’expressions contenant des radicaux conduira à fixer les
diverses notations et les propriétés.
- La méthode des coefficients indéterminés sera l’occasion de revoir et de
consolider les acquis du calcul polynomial vus en 3ème année. Elle permettra
également d’entretenir la résolution de systèmes d’équations du premier
degré et de rencontrer des systèmes de plus de deux inconnues.
- La factorisation de trinômes du second degré offre l’occasion de traiter
notamment la factorisation de trinômes bicarrés et de faire une synthèse des
méthodes de factorisation.
C4. Représenter, modéliser
Compétence à atteindre
Traduire une situation en langage mathématique sous forme d'équation, d'inéquation ou
d'autres formes de conditions.
Matière
Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré ou du second degré ;
Résolution de problèmes conduisant à une inéquation du premier degré ou du second degré.
Indication méthodologique
Certaines situations relevant de domaines physiques, économiques ou
géométriques font naturellement intervenir un paramètre : on pourra examiner
l’effet de sa variation.
C5. Démontrer
Compétence à atteindre
Justifier les étapes d'un calcul (en relation avec le niveau mathématique envisagé).
Matière
Propriétés des radicaux d'indice n ;
Résolution et discussion de l'équation du second degré ;
Propriétés des racines d'une équation du second degré.
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31
Indication méthodologique
Le produit et la somme des racines serviront notamment à vérifier les résultats
obtenus lors de la recherche des solutions de l’équation du deuxième degré.
C6. Résumer, organiser les savoirs, synthétiser, généraliser
Compétences à atteindre
1°) Commenter les extensions successives de la notion de nombre et les utiliser.
2°) Au moyen d'une droite graduée, représenter R et en illustrer les propriétés
fondamentales.
3°) Reconnaitre une structure de groupe dans des ensembles numériques.
Matière
L'ensemble des nombres réels (nombres rationnels et irrationnels) ;
Interprétation graphique des solutions d'équations, d'inéquations et de systèmes à une ou
deux inconnue(s).
Indication méthodologique
Les propriétés des opérations sur les différents ensembles de nombres peuvent
conduire à la notion de groupe.
2. ÉTUDE DES FONCTIONS
L'étude des fonctions est un domaine privilégié pour apprendre à modéliser.
L'accent est mis sur les fonctions de référence f(x) = ax + b, f(x) = 2ax , f(x) = x ,
la mise en relation des différentes notions et leur interprétation16.
C1. Savoir, connaitre, définir
Compétence à atteindre
Les expressions relatives aux fonctions, à leurs extrémums et à leur variation.
16
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32
Matière
La fonction "valeur absolue", zéro et signe de f(x) = x ;
La fonction du second degré, zéros et signe de f(x) = cbxax 2 ;
Sommet et axe de symétrie d'une parabole.
Indications méthodologiques
- La définition d’une fonction fera référence à la notion de couple et au sens
logique de l’expression « au plus une image ».
- La fonction « valeur absolue » permettra de rappeler des caractéristiques de la
fonction du premier degré vues en 3e année.
C4. Représenter, modéliser
Compétences à atteindre
1°) Esquisser, construire un graphique pour mettre en évidence des caractéristiques du
phénomène traité.
2°) Interpréter un graphique en le reliant au problème qu'il modélise.
Matière
La fonction "valeur absolue" ;
La fonction du second degré ;
Maximum ou minimum d’une fonction du second degré décrivant un phénomène.
Indications méthodologiques
- On déduira la représentation graphique de y = ax² + bx + c de celle de y = ax² en
utilisant les transformations géométriques du plan (forme y = a(x-)² + ).
- On pourra éventuellement comparer avec d’autres fonctions de
référence ( xy , x
y1
) pour enrichir l’interprétation d’un graphique.
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33
3. GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE
Les compétences géométriques prennent appui sur la connaissance de figures et de
solides, tant issus de l'espace physique qu'idéalisés dans des configurations. La
première compétence réside dans les tracés à main levée et aux instruments,
éventuellement à l'aide de logiciels ou encore dans la réalisation d'un modèle.
Quelques notions constituent les bases des compétences géométriques : l'incidence, le
théorème de Thalès, la similitude de figures et le théorème de Pythagore sont utilisés
dans différents domaines. Les compétences calculatoires qui s'y rapportent sont
amplifiées ensuite par la géométrie vectorielle ou analytique. Les compétences liées à
l'argumentation sont au cœur de toute activité géométrique. Elles sont à l'œuvre dans
la réalisation et la justification de constructions, dans la recherche de propriétés et
dans la rédaction de démonstrations, qu'elles soient synthétiques, vectorielles ou
analytiques17.
C1. Savoir, connaitre, définir
Compétences à atteindre
1°) Les grands théorèmes de la trigonométrie relatifs aux longueurs, aux rapports de
longueurs, aux angles, aux aires et aux figures en général.
2°) La forme analytique des notions, des relations et équations de base de la géométrie :
l'incidence, l'alignement, la concourance, le parallélisme, l'orthogonalité, la longueur.
3°) Le calcul vectoriel dans le plan faisant intervenir les composantes des vecteurs, leur
égalité et le produit scalaire de 2 vecteurs.
Matière
Géométrie
Notion de vecteur ;
Calcul vectoriel : addition de vecteurs, relation de Chasles, multiplication d'un vecteur par
un nombre réel ;
Produit scalaire de 2 vecteurs et ses propriétés.
Trigonométrie.
Unités usuelles d'angles ;
Cercle trigonométrique.
Nombres trigonométriques d’un angle orienté ;
Nombres trigonométriques des angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ;
Angles associés.
17
Source : Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques pour les Humanités générales
et technologiques
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34
Indications méthodologiques
- Le vecteur sera associé d’une part à une translation et d’autre part à un couple
de nombres.
- La multiplication par un nombre pourra s’interpréter au moyen de
configurations de Thalès.
- On pourra exprimer le produit scalaire sous les formes faisant intervenir la
fonction cosinus, la projection orthogonale d’un vecteur sur l’autre, les
composantes dans un repère orthonormé.
- Les définitions des nombres trigonométriques feront référence au cercle
trigonométrique. On fera le lien avec les définitions dans le triangle rectangle.
Il est utile d’établir le lien entre les aspects algébrique, géométrique et
trigonométrique du coefficient angulaire d’une droite.
C2. Calculer, déterminer un élément géométrique
Compétence à atteindre
Sur base des notions de la rubrique C1, déterminer une longueur, un angle, une relation entre
points, droites, une équation, une propriété de figure, par une méthode routinière.
Matière
Géométrie
Géométrie analytique plane : coordonnées d'un point, composantes d'un vecteur, équation
d'une droite ax+by+c = 0, distance entre deux points, norme d’un vecteur, distance entre un
point et une droite, équation du cercle.
Trigonométrie
Longueurs d’arcs et aires de secteurs ;
Détermination d'une longueur et d'un angle dans un triangle quelconque.
Indications méthodologiques
- Le calcul de longueurs d’arcs et d’aires de secteurs permettra d’établir la
correspondance entre un angle et un arc.
- La notion de distance entre un point et une droite pourra être vue sous forme
d’exercice.
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35
C3. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes
Compétence à atteindre
Parmi les notions de la rubrique C1, choisir des propriétés, organiser une démarche en vue de
- déterminer des éléments d'une figure ;
- dégager de nouvelles propriétés géométriques;
- résoudre des problèmes.
Matière
Géométrie
Problèmes relatifs aux distances, aux angles, au parallélisme, à l'orthogonalité.
Trigonométrie
Problèmes relatifs aux triangles.
Indication méthodologique
Les problèmes exploiteront des applications géométriques, topographiques ou
physiques dans le plan ou dans l’espace.
C4. Représenter, modéliser
Compétence à atteindre
Effectuer des tracés de figures générales ou de leurs cas particuliers, à la main, aux
instruments, éventuellement à l'aide de logiciels, en vue d'illustrer un énoncé, d'éclairer une
recherche.
Matière
Géométrie
Vecteurs.
Trigonométrie
Problèmes conduisant à la résolution des triangles.
Indication méthodologique
La décomposition d’un vecteur en une combinaison linéaire de deux vecteurs non
parallèles pourra illustrer des problèmes de forces.
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C5. Démontrer
Compétences à atteindre
1°) Organiser les étapes d'une construction et les justifier.
2°) Dans un énoncé (propriété, définition, théorème,…), distinguer
- l'implication simple et l'équivalence;
- l'hypothèse et la thèse.
3°) Rédiger une démonstration en faisant apparaitre les étapes, les liens logiques, les
théorèmes utilisés au moyen de phrases complètement formulées.
Matière
Géométrie
Propriétés vectorielles ;
Parallélisme et perpendicularité de deux droites.
Trigonométrie
Formules fondamentales des nombres trigonométriques ;
Formules d'angles associés et des nombres trigonométriques d’angles particuliers ;
Relations au sinus et relations au cosinus dans le triangle quelconque ;
Aire d’un triangle quelconque.
Indications méthodologiques
- On pourra utiliser les vecteurs pour exprimer de manière concise et pour
démontrer certaines propriétés géométriques telles que l’alignement de points
du plan.
- Dans le cercle trigonométrique, on démontrera géométriquement les formules
fondamentales suivantes : 1cossin 22 et
cos
sintg .
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37
4. TRAITEMENT DES DONNÉES
Pour l’essentiel, l’étude de la statistique et des probabilités se fonde sur des exemples
que l’on travaille à partir de questions, de comparaisons. Au travers d’activités
interdisciplinaires, la lecture de graphiques, le traitement de données brutes ou
recensées amèneront les élèves à apprécier l’intérêt et les limites d’une étude
statistique ou probabiliste. Le but n’est pas de construire des modèles mathématiques
sophistiqués. Au contraire, on adopte une démarche expérimentale, intuitive, en
utilisant largement les moyens modernes de calcul.
En ce qui concerne la statistique, les compétences terminales sont identiques pour les
trois options. Les élèves de l’Enseignement secondaire de transition maitriseront ainsi
un noyau commun de mathématiques citoyennes. Cet objectif ne sera pleinement
atteint que dans la mesure où cette démarche trouvera un écho dans d’autres cours :
économie, sciences naturelles et humaines, etc.18.
C1. Savoir, connaitre, définir
Compétence à atteindre
Dans une série statistique à une variable discrète ou continue, connaitre la signification des
principaux paramètres de position, de dispersion.
Matière
Statistique
Groupement en classes de données numériques ;
Variables de position : moyenne, médiane, mode ;
Variables de dispersion : étendue, variance, écart-type.
Indication méthodologique
Les formules peuvent être écrites en utilisant le signe de sommation .
18
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C2. Calculer (déterminer, estimer, approximer)
Compétences à atteindre
1°) Calculer, cumuler des pourcentages. Lire et interpréter des tableaux de nombres.
2°) Dans une série statistique à une variable discrète ou continue, en utilisant des
moyens informatiques, déterminer : moyennes, médiane, quartiles, variance, écart-
type ; préciser la signification de ces paramètres.
Matière
Statistique
Variables de position : moyenne, médiane, quartile, mode ;
Variables de dispersion : étendue, variance, écart-type.
Indications méthodologiques
- On favorisera l’usage des calculatrices et des ordinateurs.
- On pourra se contenter de déterminer graphiquement la médiane et les
quartiles d’un tableau groupé à l’aide du polygone des effectifs cumulés.
- On insistera sur la mise en oeuvre et sur l’interprétation des variables plutôt
que sur la démarche théorique.
C3. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes
Compétence à atteindre
Résoudre des applications à caractère statistique.
Matière
Séries statistiques à une variable.
Indication méthodologique
Il s’agit de mettre en œuvre l’ensemble des notions dans un exemple statistique.
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C4. Représenter, modéliser
Compétence à atteindre
Représenter une série statistique à une variable, (fréquences, fréquences cumulées), localiser la
médiane, les quartiles.
Matière
Groupement en classes de données numériques ;
Représentation graphique des données numériques.
Indication méthodologique
Dans un tableau groupé, on pourra se limiter à des classes de même largeur.
RÉCAPITULATIF DES MATIÈRES DE 4e ANNÉE Les matières reprises aux pages précédentes sont directement liées aux six compétences des
Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques - Humanités générales et technologiques.
Ce choix délibéré fait disparaitre toute structuration logique du cours de mathématique. Afin d'aider
le professeur à structurer un cours tout en respectant le programme, on trouvera ci-dessous un
exemple de suite logique d'un cours reprenant les matières à voir. Le professeur reste libre d’adopter
un autre ordre de matières.
Chaque point de matière sera suivi de la compétence à exercer (C1, C2, C3, C4, C5 ou C6) suivant la
nomenclature habituelle.
1. ALGÈBRE
L'ensemble des nombres réels (nombres rationnels et irrationnels) (C6).
Valeur absolue (C1).
Radicaux d’indice n et puissances à exposants rationnels (C1).
Transformation d'expressions simples contenant des radicaux, des puissances à exposants
rationnels (C3).
Propriétés des radicaux d’indice n (C5).
Polynômes : méthode des coefficients indéterminés (C3).
Factorisation de trinômes du second degré (C3).
Résolution et discussion de l’équation du second degré (C2 et C5).
Propriétés des racines d’une équation du second degré (C5).
Opérations sur les fractions rationnelles (C3).
Inéquations du second degré à une inconnue (C2).
Zéros et signe d’un produit et/ou d’un quotient de facteurs du premier et/ou du second degré (C2).
Équations et inéquations fractionnaires. (C2).
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40
Équations et inéquations du premier degré à deux inconnues (C2).
Systèmes d'équations et d'inéquations (C2).
Interprétation graphique des solutions d'équations, d'inéquations et de systèmes à une ou deux
inconnue(s)(C6).
Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré ou du second degré (C4).
Résolution de problèmes conduisant à une inéquation du premier degré ou du second degré (C4).
2. ÉTUDE DES FONCTIONS
Fonction ‘’ valeur absolue ‘’, zéro et signe de ) ( xxf (C1 et C4).
Fonction du second degré , zéros et signe de cbxaxxf 2 ) ( (C1 et C4).
Sommet et axe de symétrie d’une parabole (C1).
Maximum ou minimum d’une fonction du second degré décrivant un phénomène (C4).
3. GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE
Trigonométrie
Unités usuelles d'angles (C1).
Cercle trigonométrique (C1).
Longueurs d’arcs et aires de secteurs (C2).
Nombres trigonométriques d’un angle orienté (C1).
Formules fondamentales des nombres trigonométriques (C5).
Nombres trigonométriques de 0° , 30° , 45°, 60° et 90° (C1 et C5).
Formules d’ angles associés (C1 et C5).
Relations au sinus et relations au cosinus dans le triangle quelconque (C5).
Détermination d'une longueur et d'un angle dans un triangle quelconque (C2).
Aire d’un triangle quelconque (C5).
Problèmes relatifs aux triangles (C3 et C4).
Géométrie
Géométrie vectorielle
Notion de vecteur (C1etC4).
Calcul vectoriel : addition de vecteurs , relation de Chasles, multiplication d’un vecteur par un réel
(C1).
Produit scalaire de deux vecteurs et propriétés (C1).
Propriétés vectorielles (C5)
Géométrie analytique plane
Coordonnée d’un point et composantes d’un vecteur (C2).
Équation d’une droite 0 cbyax (C2).
Parallélisme de deux droites (C5).
Distance entre deux points, norme d’un vecteur (C2).
Équation du cercle (C2).
Distance d’un point à une droite (C2).
Perpendicularité de deux droites (C5).
Problèmes relatifs aux distances, aux angles, au parallélisme, à l'orthogonalité (C3).
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4. TRAITEMENT DES DONNÉES
Statistique
Séries statistiques à une variable (C3)
Groupement en classes de données numériques (C1 et C4).
Variables de position : moyenne, médiane, mode (C1 et C2).
Variables de dispersion : étendue, variance, écart-type (C1 et C2).
Représentation graphique des données numériques (C4).
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I. ANNEXES
ANNEXE 1
Principaux verbes d’action utilisés en mathématiques
Définition du verbe
Petit Robert 2009
Comment vérifier dans la
production de l’élève
l’acquisition de la compétence ?
ANALYSER Décomposer un tout en ses
éléments constituants
Toutes les informations nécessaires
pour réaliser la consigne sont
présentes dans la production.
ARGUMENTER Présenter des arguments Les arguments avancés sont
pertinents.
CALCULER Déterminer par le calcul Le calcul est exact.
CLASSER Diviser et répartir en classes,
catégories
Le(s) critère(s) de classement sont
bien choisis et respectés.
COMMUNIQUER Faire connaitre quelque chose à
quelqu’un
La communication est correcte :
titre, soin, légende, orthographe,
syntaxe mathématique, … .
COMPARER Examiner les rapports de
différences et de ressemblances
Les différences et/ou les
ressemblances sont bien mises en
évidence.
DÉMONTRER Établir la vérité d’une manière
évidente et rigoureuse
La proposition, le théorème est
logiquement démontré(e).
EFFECTUER Réaliser, faire une opération
mathématique
L’opération mathématique est
correctement réalisée.
JUSTIFIER Montrer comme vrai, juste, réel,
par des arguments, des preuves
Les preuves avancées sont correctes
et structurées.
MÉMORISER Mettre des données en mémoire Les informations sont correctement
restituées de mémoire.
MODÉLISER
Établir une représentation
mathématique simplifiée d’un
processus ou d’un système.
Les modalités mises en place pour
modéliser sont adéquates.
RÉSOUDRE Découvrir la solution La démarche et le résultat obtenu
sont corrects.
SÉLECTIONNER Choisir les informations qui
conviennent le mieux
Il n’y a aucune information inutile
par rapport à l’objectif
S’INTERROGER Se poser des questions Les hypothèses sont correctement
énoncées.
SYNTHÉTISER Procéder du simple au composé, de
l’élément au tout
La production traduit correctement
la réalité c'est-à-dire qu’il n’y a pas
d’erreur qui fausse le sens. Les
liens entre les informations
sélectionnées sont pertinents.
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ANNEXE 2
Complément d’aide à la lecture des outils d’évaluation proposés par la COE
Dans un souci de gestion efficace de l’évaluation des compétences en
mathématiques, le groupe de travail interréseaux de mathématiques la Commission
des Outils d’évaluation pour les Humanités Générales et Technologiques n’a retenu
que quatre finalités de compétences à ne développer que dans trois domaines
disciplinaires.
Les trois domaines disciplinaires
1. Grandeurs et fonctions
2. Figures géométriques
3. Phénomènes aléatoires
Les quatre finalités
1. Modéliser (C4)
2. Démontrer (C5)
3. Résoudre un problème ((C2 et C3)
4. Organiser des savoirs (C1 et C6)
Ainsi, douze grandes familles de tâches19 peuvent être mises en œuvre :
Grandeurs et
fonctions
Figures
géométriques
Phénomènes
aléatoires
Modéliser
Démontrer
Résoudre un problème
Organiser des savoirs
19
Les familles de tâches ont été identifiées par le groupe de travail en mathématiques du service de
pilotage de la Commission des Outils d’évaluation. Une famille de tâches se caractérise par la même
finalité, par des compétences transversales identiques et par des critères d’évaluation identiques. Les
familles de tâches ont été déterminées sur base des compétences terminales et des domaines
disciplinaires.
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ANNEXE 3
Autres exemples de situations d’apprentissage
Exemple 1
Compétence terminale C2 : « Calculer, déterminer un élément géométrique »
Domaine disciplinaire : « Géométrie et trigonométrie »
Consigne : Un ballon de 8 m de diamètre est observé du sol à la verticale sous un angle de
vue de 4°. Détermine la hauteur à laquelle se trouve le centre du ballon. Détaille ton
raisonnement et justifie toutes tes affirmations.
Tâches à réaliser :
1. Représenter la situation ;
2. Calculer et indiquer toutes les justifications ;
3. Communiquer.
Buts à atteindre : représenter ;
savoir, connaitre ;
calculer.
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Exemple 2
Compétence terminale C3 : « Appliquer, analyser, résoudre des problèmes »
Domaine disciplinaire : « Algèbre »
Consigne :
Détermine les valeurs des nombres réels a et de b pour que la division de P(x) = 10 x5 +5x4 +
5ax3 - 65 x2 + 5bx par (x-1) et par (x+2) se fasse exactement. Ensuite, factorise le polynôme
obtenu et donne ses racines.
Tâches à réaliser :
1. Utiliser la théorie ;
2. Calculer les valeurs de a et de b ;
3. Vérifier les résultats.
Buts à atteindre : savoir , connaitre ;
calculer ;
résoudre.
Exemple 3
Compétence terminale C5 : « Démontrer »
Domaine disciplinaire : « Géométrie et trigonométrie »
Consigne :
Démontre que les médianes d’un triangle se coupent aux deux tiers de leur longueur à partir
du sommet. Tu veilleras à justifier toutes les étapes de ton raisonnement et à structurer ta
réponse.
Tâches à réaliser :
1. Représenter la situation ;
2. Écrire les hypothèses ;
3. Écrire la thèse ;
4. Rédiger la démonstration ;
5. Indiquer toutes les justifications.
But à atteindre : prouver la thèse.
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Exemple 4
Compétence terminale C3 : « Appliquer, analyser, résoudre des problèmes »
Domaine disciplinaire : « Algèbre »
Consigne :
Un parc d’attractions propose plusieurs tarifs.
Formule A : 10 ,50 € par entrée.
Formule B : un abonnement annuel de 52,50 € puis 6,75 € par entrée.
Formule C : un abonnement annuel de 214,50 € pour un nombre illimité d'entrées.
a) À partir de combien d'entrées la formule B est-elle plus avantageuse que la formule A ?
b) À partir de combien d'entrées la formule C est-elle plus avantageuse que la formule B ?
Tâches à réaliser :
1. Choisir l’inconnue ;
2. Traduire algébriquement le problème ;
3. Résoudre l’inéquation ;
4. Rédiger une conclusion.
Buts à atteindre : appliquer, analyser, résoudre des problèmes ;
calculer ;
synthétiser.