PowerPoint Presentation

Programov vyhlsenie fyziky

Systm, stav, zmena stavuasov vvoj

Derivcia ako rchlos zmeny

Demontrcia toho vetkho na jednoduchom obvode s kondenztoromPozn. Niektor slajdy maj aj zvukov komentr, treba klikn na ikonu reproduktora a spusti prehrvanieStav a jeho zmenaVeci okolo ns sa menia

Nejak vec sa neustle men, ale zostva tou istou vecouNevstpi dvakrt do tej istej rieky?

Fyziklny objekt a jeho stav

Stav fyziklneho objektu sa s asom men, ale ostva tm istm fyziklnym objektom

Najjednoduch prklad je mechanick pohyb

audio 1_12Achilles a korytnakaAchilles nepredbehne korytnaku:

km dobehne tam, kde je korytnaka teraz, korytnaka je u o ksok alej

Ako me objekt niekde by a sasne sa aj hba?Ako me by objekt v nejakom stave a sasne svoj stav meni?

Newton (a Leibnitz) vymyslel matematick techniku na popis meniacich sa vec infinitezimlny poet derivcie a integrly

audio 1_23Stav a jeho asov vvojPoznanie naej (zpadnej) civilizcie:

okamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)

audio:1_34StavZznam o stave:sbor hodnt relevantnch fyziklnych velin

o to je relevantnch, to je na majstrovstve fyzika.

Ke sledujem vlak na jeho ceste do iliny, tak do zznamu o stave vlaku v nejakom okamihu spravidla nedvam, kde sa prve nachdza hmyz vo vagnoch.

Ale ak je ruovodi alergick na velie pichnutie, tak je dleit, kde je vela, lebo ak ho pichne, zamdlie, nezbad semafr a vlak do iliny nedoraz.

Ale: Nemem chcie vetko

Stav a jeho asov vvojPoznanie naej (zpadnej) civilizcie:

okamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)aj ke neviem vetko, je uiton pracova s vhodne vyselektovanmi informciami, lebo aj nepln predpovedanie budcnosti pomha prei v dungliFyzika nepopisuje cel svet vylen nejak fyziklny systm, a analyzuje hoZloitejie systmy sa poka popsa ako skladaku z jednoduchchStav a jeho asov vvojLimitovan monosti popisu stavu mu ohraniova presnos alebo dokonca monos predpovedania budcnosti

Poasie vieme predpoveda vychdzajc z momentlnych dajov o stave atmosfry (meriame teplotu, vlhkos, tlak, vietor... na sieti meteorologickch stanc) pribline na 10 dn dopredu. Ovea lepie to nikdy nebude. Dlhodobejie predpovede by vyadovali nerelne hust sie meteorologickch stanc, ale ani to by nestailo, lebo mimoatmosfrick vplyvy (napr. priemyslov innos) tie ovplyvnia poasie v budcnosti (efekt motlch krdel).

Astronmovia vedia predpoveda naprklad zatmenia slnka vemi presne na vea rokov dopredu, ale i to je limitovan, dnes vbec nevieme, i v septembri o 100 milinov rokov odteraz bude jar, leto, jese alebo zima (teda kde bude Zem na obenej drhe okolo Slnka)

audio: 1_47Programov vyhlsenie fyzikyVybra ksok sveta ako fyziklny systmPopsa okamit stav toho systmuNjs pohybov rovnicePredpoveda vvoj stavu do budcnosti

Budeme demontrova tento program na jednoduchom fyziklnom systme, ktorho stav je dan hodnotou jedinej fyziklnej veliiny, teda jedinm slomKondenztorMme fyziklny objekt (systm), kondenztor

SKondenztorDve paraleln dosky oddelen izolantom (dielektrikom)Ak na jednu dosku privedieme nboj +Q a na druh dosku nboj Q, vznikne stabiln stav. Opan nboje sa priahuj, dosky ostvaj nabit i ke je kondenztor naprklad odpojen z elektrickho obvodu

Q-Q

audio 1_511KondenztorDve paraleln dosky oddelen izolantom (dielektrikom)Ak na jednu dosku privedieme nboj +Q a na druh dosku nboj Q, vznikne stabiln stav. Opan nboje sa priahuj, dosky ostvaj nabit i ke je kondenztor naprklad odpojen z elektrickho obvoduVekos nboja Q me by v podstate ubovon, hovorme, e kondenztor je nabit nbojom QSksenos hovor, e stav kondenztora je dostatone uren, ak zadme hodnotu nboja QV princpe je mon zvaova na dourenie stavu aj in veliiny, naprklad teplotu kondenztora. To nie je pln nezmysel, s teplotou sa menia rozmery (vzdialenos dosiek) o spsob zmenu naptia medzi doskami pri rovnakom Q, ale, v zvislosti na konkrtnej situcii to mono asto zanedba

Kondenztor

Kondenztor

SQStav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)Pripomeme si:Stav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)Kondenztor: stav je dan jedinm dajom QStav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)Kondenztor: stav je dan jedinm dajom QAko sa stav (Q) men?Zmena stavu kondenztora

Q Q + QAko sa stav (Q) men?Zmena stavu kondenztora

Q Q + Q

Coulomb = Ampr sekunda

audio: 1_719Zmena stavu kondenztora

Q Q + Q

Coulomb = Ampr sekundaPozn: I me by aj zporn, ke prd teie opanm smerom ako je nakreslen, vtedy je aj Q zporn, nboj na kondenztore sa zmenuje, kondenztor sa vybja

URVoltmeterOhmov zkon:

audio: 1_822

Ohmov zkon:

UR

U0

U

URU0UABC

audio:1_926

audio:1_1028

Takto sa vo fyzike predpoved budcnos:Ak poznm stav Q(t) v ase tpotom viem predpoveda, ak bude stav v troku neskorom ase, teda stavQ(t+dt)Reazenie predpoved budcnosti

Reazenie predpoved budcnosti

audio: 1_1131Reazenie predpoved budcnosti

Takto sa vo fyzike predpoved budcnos:Ak poznm stav Q(t) teraz potom sa postupne po malch asovch krokoch dtposvam do ubovone alekho budceho okamihut+dt+dt+dt+dt+dt+dt+...............Reazenie predpoved budcnosti

Ale pozor !!!

Aby to bolo dos presn, musia by asov prrastkydtvemi (nekonene) mal

to sme si zatia v oiali nadenia neuvedomili, v alom to rozoberieme podrobne

Take znovu a teraz starostlivejie. Zaali sme takto:Pripomeme si:

Take znovu a teraz starostlivejie. Zaali sme takto:Problm je v tom, o naozaj znamen nasledovn rovnica a i vbec nieo:

audio:1_1235

Take znovu a teraz starostlivejie. Zaali sme takto:Fyzik, na rozdiel od matematika neskma mylienky ale prroduFyziklne tvrdenia sce musia by logicky (matematicky) sprvne ale ete musia aj zodpoveda tomu, o v skutonosti pozorujeme

ExperimentU0 = 20 V, R = 10000 , C = 100 FPoiaton stav: t = 0, Q = 0Meriam U(t), prepotavam na Q(t) = C U(t)

audio: 1_1337

audio:1_1438

audio:1_1539

audio:1_1640

Pozorovanie:

Nrast nboja nie je rovnomernPrd ukazovan amprmetrom nie je kontantn

o ukazuje amprmeter?

Pozorovanie:

Nrast nboja nie je rovnomernPrd ukazovan amprmetrom nie je kontantn

o ukazuje amprmeter?

???

audio:1_1743

audio:1_1844

Preo nevychdzaj rovnak hodnoty Q v prvej polsekunde a v druhej polsekunde?

Preo nevychdzaj rovnak hodnoty Q v prvej polsekunde a v druhej polsekunde?Lebo krivka Q(t) je v prvej polsekunde strmia ako v druhej polsekunde

Keby krivka mala stle rovnak strmos, vychdzali by pre rovnak prrastky asu t rovnak prrastky nboja QAk grafom Q(t) je priamka, potom prrastky nboja Q za rovnak asov seky s rovnak

Ak grafom Q(t) je priamka, potom podiel Q/t je rovnak pre rzne dlh asov seky

ZverAk grafom Q(t) je priamka, potom defincia prdu

je zmyslupln bez alej pecifikcie, ktor a ako dlh asov sek t myslme

Newtonov trik

Ak sa pozrieme na dostatone mal sek grafu pri vhodnom zven, vyzer ako priamka

Pozorovanie:

Nrast nboja nie je rovnomernPrd ukazovan amprmetrom nie je kontantn

o ukazuje amprmeter?

???

o ukazuje amprmeter?

Vpoet urobme vo vemi malikom okienku: zvolme t tak mal, aby sa do toho okienka zmestilo, njdeme prslun Q a vypotame podiel, to o dostaneme nazvemeokamit hodnota prdu Ilebo okienko pokrva len okamiho ukazuje amprmeter?

Amprmeter ukazuje okamit hodnotu prdu.Ako dlho trv ten okamih, to je dan kontrukciou prstroja. iadny relny amprmeter neukazuje hodnotu zodpovedajcu nekonene krtkemu okamihu, kad prstroj m svoju asov klu, v rmci ktorej u meniace sa hodnoty teoreticky okamitho prdu nerozliujeo ukazuje amprmeter?

Amprmeter ukazuje okamit hodnotu prdu.Ako dlho trv ten okamih, to je dan kontrukciou prstroja. iadny relny amprmeter neukazuje hodnotu zodpovedajcu nekonene krtkemu okamihu, kad prstroj m svoju asov klu, v rmci ktorej u meniace sa hodnoty teoreticky okamitho prdu nerozliujeProblm pre hbavch fyzikov:Skste vemi hrubo odhadn asov klu amprmetra klasickej deprzskej kontrukcie, teda ruikovho prstroja s otavou cievkou v magnetickom poli.Nvod: skste o tom prstroji uvaova ako o akomsi kyvadleNewton teda vybabral s antickmi filozofmi (Achilles a korytnaka, Zennov letiaci p): vymyslel techniku ako definova pojem

okamit rchlos zmeny nejakej veliiny

Nvod znie ako udov re: v okol elanho okamihu zvolm tak mal t ako je rozumn a urobm podiel

potom I sa nazva okamit rchlos zmeny veliiny Q

Newton teda vybabral s antickmi filozofmi (Achilles a korytnaka, Zennov letiaci p): vymyslel techniku ako definova pojem okamit rchlos zmeny nejakej veliinyNvod znie ako udov re: v okol elanho okamihu zvolm tak mal t ako je rozumn a urobm podiel

potom I sa nazva okamit rchlos zmeny veliiny Q

Neskr exaktn matematici vybabrali s Newtonom, kritizujc: o to je za neexaktn re tak mal t ako je rozumn, to treba formulova matematicky presne a definovali:

I nazvali to matematici derivciou

I nazvali to matematici derivciou

I nazvali to matematici derivciou

Derivcia je smernica dotyniceMaj matematici pravdu ?Nekonene mal t ?

amprmeter nem nekonene mal tnboj naozaj pribda po jednotlivch elektrnoch, take ak je as t prli mal, a traf medzeru medzi dvoma elektrnmi nepribudne ni, v nasledovnom okamihu me naraz pribudn 5 elektrnov. Prd je na malch asovch sekoch trhan a cel kontrukcia s dotynicou sa zrtina chvu zabudnem na fyziku, pracujem len s matematickm modelom, vyuvam cel dobrodenie matematiky, ale potom na konci musm vsledky zskan v matematickom modeli znovu fyziklne interpretova

audio:1_1962

Pripomeme si:audio:1_2063

Takto sa vo fyzike predpoved budcnosAk poznm stav Q(t) v ase tpotom viem predpoveda, ak bude stav v troku neskorom ase, teda stavQ(t+dt)Reazenie predpoved budcnosti

Pripomeme si:

Poiaton stav: t=0; Q(0)=0

Poiaton stav: t=0; Q(0)=0

Zadan

audio:1_2172

Vsledok: krivka (funkcia) Q(t)

audio:1_2273Stav a jeho asov vvojPoznanie naej (zpadnej) civilizcie:

okamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)Pripomeme si:

Postup na priblin kontrukciu rieenia:o za rovnicu to vlastne rieime

audio:1_2375

audio:1_2476Chceme predpoveda budcnosAk matematick lohu to rieime?

Zadan je: v t=0 je poiaton stav Q(0)=0

Hadme funkciu Q(t), ktor spa rovnicu

V tej rovnici vystupuje nielen hadan funkcia Q(t) ale aj jej derivcia, preto sa t rovnica vol diferencilna rovnica

Poiaton stav: t=0; Q(0)=0lohaHadm funkciu Q(t), ktor spa poiaton podmienku Q(0)=0 a vyhovuje diferencilnej rovnici

Hadm krivku na grafe, ktor zana vo vyznaenom bode a v kadom jej bode Q(t) m t krivka dotynicu so smernicou

Vsledok: krivka (funkcia) Q(t)

lohaHadm krivku na grafe v rovine (t, Q), ktor zana vo vyznaenom bode a v kadom jej bode Q(t) m t krivka dotynicu so smernicou

Neviem dopredu poveda, ktormi bodmi (t,Q) bude t krivka prechdza. Ale vieme, e ak by prechdzala bodom (t,Q), mala by v om dotynicu so smernicou

Pripravm si preto plochu (t,Q) a v kadom jej bode nakreslm krtku iaroku, ktorej smernica je dan ako

QtAk zoberiem ceruzku a zanem kresli krivku v poiatonom bode (modr bod) pritom tak, aby sa krivka dotkala iaroiek v bodoch, ktormi prechdza, nakreslm rieenie

Kreslenie poda dotynicovch iaroiek je vlastne grafick verzia iteranej procedry

Kreslenie poda dotynicovch iaroiek je vlastne grafick verzia iteranej procedry

dtdQ

dtdQKreslenie poda dotynicovch iaroiek je vlastne kranie po malch krokoch v smere, ktor v danom mieste vdy ukazuje iaroka. Je to ako turista, ktor sa pozrie, kam ukazuje na danom mieste smerov turistick pka a potom ide ksok v danom smere, a na novom mieste, kam sa dostane, sa pozrie, kam ukazuje pka tam umiestnenNumerick (potaov) itercia

ktorou sa riei diferencilna rovnica sa nazva Eulerova metda

Ja ju rd nazvam metda Sovietskej armdy pretoe to pripomna techniku, akou Sovietska armda dola a do Berlna: v kadom meste, kam armda dorazila predvoj zapichol pku s npisom Berln a vojsko u vedelo, ktorm smerom sa pohn alej.

Numerick (potaov) itercia

ktorou sa riei diferencilna rovnica sa nazva Eulerova metda

Ja ju rd nazvam metda Sovietskej armdy pretoe to pripomna techniku, akou Sovietska armda dola a do Berlna: v kadom meste, kam armda dorazila predvoj zapichol pku s npisom Berln a vojsko u vedelo, ktorm smerom sa pohn alej.

Stav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)Pripomeme si:Stav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)Pohybov rovnica je spravidla diferencilna rovnica. Predpoveda budcnos znamen njs funkciu udvajcu stav v budcom ase tak, e v poiatonom ase udva poiaton stav a v kadom ase spa diferencilnu pohybov rovnicuStav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)Pohybov rovnica je spravidla diferencilna rovnica. Predpoveda budcnos znamen njs funkciu udvajcu stav v budcom ase tak, e v poiatonom ase udva poiaton stav a v kadom ase spa diferencilnu pohybov rovnicu

Ukzali sme si ako njs (priblin) rieenie diferencilnej rovnice Eulerovou metdou malch krokov pomocou potaa.To sa meme poksi urobi vdy, a spravidla ani inak postupova nevieme. Aj astronmovia, ke chc predpoveda zatmenie slnka, to inak nevedia, ako numericky na potai.Otzkou je, ako aleko do budcnosti sa vieme numericky dosta, presnos predpovede do vzdialenej budcnosti sa stle zniuje, a sa predpove stane bezcennou.

Niekedy vieme diferencilnu rovnicu vyriei analyticky, teda njs vzorec pre funkciu, ktor je rieenm.Na rieenie diferencilnych rovnc neexistuje univerzlny algoritmus, spravidla musm prs na ikovn trik.

Zavediem pomocn funkciu

Zavediem pomocn funkciu

Zavediem pomocn funkciu

Teraz urobm matematick trik trochu autisticky, t.j. naozaj nevysvetlm, o urobm, ale urobm to len poda matematickej intucie (ak ju mm ), v inej prednke takto trik prediskutujeme podrobnejie

Zavediem pomocn funkciu

Zavediem pomocn funkciu

Zavediem pomocn funkciu

Zavediem pomocn funkciu

Presvedte sa, e vzorec

zodpoved kvalitatvne krivke na obrzku

Toto vetko sme si zopakovali, aby sme si ukzali ako funguje fyzika, ke m pln informciu o stave.

Pri systmoch s vekm potom stupov vonosti pln informcia nie je spravidla mon. Ak mm plyn a m 1023 astc, potom pln zadanie stavu vyaduje zada pre kad asticu 6 hodnt: 3 sradnice polohy a 3 priemety rchlsoti. To je nerelne.

O plyne spravidla poznm len niekoko makroskopickch hodnt ako objem, tlak, teplota. Ak poznm tie makroskopicky meraten hodnoty, poviem, e poznm makrostav plynu. pln stav plynu spravidla nepoznm, pre lepie rozlenie to o vo veobecnej fyzike sa vol stav (teda pln znalos systmu v danom okamihu) sa v tatistickej fyzike vola mikrostav.

Mikrostav teda spravidla nepoznm, len makropstav. Napriek tomu chcem vedie, o sa bude odohrva v budcnosti, i ke mi chba pln informcia o okamihu teraz.tatistick fyzika ma pre prcu s neplnou informciou nasledovn technolgiupredstavm si vetky mon spsoby, ako by mohlo vyzera doplnenie informcie o mikrostave pre zadan makrostavtak vznikne tzv tatistick sbor (ansmbl) mikrostavov reprezentujci dan makrostavvyslim pre kad mikrostav v ansmbli to o ma zaujma, teda naprklad hodnotu nejakej veliinyz hodnt vyslench pre kad mikrostav ansmbla urobm stredn hodnotuvypotan stredn hodnotu budem chpa ako predpove toho, o oakvam, e nameriam v zadanom makrostave

Poznmka: kontrukcia tatistickho sboru me by zloitejia, rzne mikrostavy, ktor prichdzaj do vahy ako reprezentujce dan makrostav mu do tatistickho sboru vstupova s rozlinou relatvnou pravdepodobnosou.