1

REGRESIE MULTIPLA

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE

Facultatea de Contabilitate si InformaticaDe Gestiune

Nume:Grupa:Materia: EconometrieProfesor:

CUPRINS

1. Introducere ………………………………………………………………………. 12. Datele privind populatia, suprafata, densitatea ………………………………….. 43. Tabelul ANOVA …………………………………………................................... 54. Interpretarea coeficientilor ……………………………………………………… 65. Testul FISHER ...…………………………………………................................... 66. Testul DURBIN-WATSON pentru verificarea corelarii ………………………... 77. Testul KLEIN pentru verificarea multicolinearitatii ……………………………. 98. Testarea ipotezei de normalitate a erorilor JB …………………………………... 109. Testarea homoscedasticitatii GQ ………………………………………………... 12

http://ec.europa.eu/consumers/cons_info/cons_diary2007-2008/cp_ro.pdf

http://appsso.eurostat.ec.europa.eu/nui/setupModifyTableLayout.do

2

1. INTRODUCERE

Densitatea populatiei reprezinta numarul de persoane pe o unitate de suprafata, masurandu-se, in general, in persoane pe kilometru patrat, obtinandu-se prin impartirea numarului de locuitori la suprafata, in kilometri patrati.

Tarile cu cea mai mare densitate a populatiei sunt: Macao, Monaco, Hong Kong, Singapore, Gibraltar; aceste teritorii sunt relativ mici, dar au un nivel de urbanizare mare. Cel mai populat stat mai mare este Bangladeshul, unde 134 milioane de locuitori locuiesc in zonele cultivabile de la varsarea raului Gange cu o densitate de 900 persoane/km2.

Densitatea medie a pamantului este de 42 persoane/km2 (anul 2006).

Lista tarilor europene dupa populatie:

3

2. DATELE PRIVIND POPULATIA, SUPRAFATA SI DENSITATEA TARILOR DIN U.E.

4

Centru administrativ

PopulatiaSuprafata (km2)

Densitatea populatiei (loc./km2)

Belgium 11,000,638 30,510 361Bulgaria 7,369,431 110,910 66Czech Republic 10,486,731 78,866 133Denmark 5,560,628 43,094 129Germany 81,751,602 357,021 229Estonia 1,340,194 45,226 30Ireland 4,570,127 70,280 65Greece 11,309,885 131,940 86Spain 46,152,926 504,782 91France 65,048,412 547,030 119Italy 60,626,442 301,230 201Cyprus 839,751 9,250 91Latvia 2,348,784 64,589 36Lithuania 3,052,588 65,200 47Luxembourg 511,840 2,586 198Hungary 9,985,722 93,030 107Malta 415,198 316 1314Netherlands 16,655,799 41,526 401Austria 8,404,252 83,858 100Poland 38,529,866 312,685 123Portugal 10,572,157 92,391 114Romania 21,413,815 237,500 90Slovenia 2,050,189 20,253 101Slovakia 5,392,446 48,845 110Finland 5,375,276 337,030 16Sweden 9,415,570 449,964 21United Kingdom 62,498,612 244,820 255

3. TABELUL ANOVA

SUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsMultiple R 0.324632974R Square 0.105386568Adjusted R Square 0.030835448Standard Error 243.0724965Observations 27

ANOVA

df SS MS FSignificance

F

Regression 2 167044.7114 83522.36 1.413614827 0.262799767

Residual 24 1418021.726 59084.24

Total 26 1585066.437

CoefficientsStandard

Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Lower 95.0%Upper 95.0%

Intercept 220.5771629 66.38864104 3.322514 0.002850754 83.55774312357.596582

7 83.55774312 357.5965827

X Variable 1 3.50211E-06 2.9379E-06 1.192044 0.244898004 -2.56142E-06 9.56564E-06 -2.56142E-06 9.56564E-06

X Variable 2 -0.000712177 0.000423657 -1.68102 0.105728494 -0.0015865620.00016220

8 -0.001586562 0.000162208

Folosind informatiile din table (coloana Coefficients), elaboram modelul linar de regresie multipla:

Y=α0+α1 × X1+α 2× X2+u , unde: X1 – Suprafata (km2)

5

X2 – Populatia (locuitori)

Y – Densitatea ( loc/km2)

De unde rezulta: Y = 220.5771 – 3.5021 × X1 + (-0.007) × X2

Observand datele din tabel, putem deduce faptul ca intensitatea legaturii dintre variabilele analizate este slaba, deoarece indicatorul Multiple R = 0.3246 nu se afla in apropierea maximului 1.

Indicatorul R Square reprezinta faptul ca variatia densitatii ( variabila Y) este explicate de variatia suprafetei si a populatiei in proportie de 10.53 %.

4. INTERPRETAREA COEFICIENTILOR

α 0: Intercept – reprezinta cresterea medie a densitatii in conditiile in care suprafata si

populatie sunt nule.tα 0 este 3.3225 si pragul de semnificatie este 0.0028<0.05, insemnand ca acest parametru

este semnificativ. Probabilitatea fiind de 100−0.2850=99.715 %>95 % . α 1: La o crestere a suprafatei cu 1 km2, in conditiile in care populatia ramane constanta,

densitatea va creste, in medie cu 3.5021 loc/km2 .Intervalul de incredere este (−2.5614 ; 9.5656 ) .tα 1 are valoarea de 1.1920, iar pragul de semnificatie are valoarea de 0.2448 > 0.05, ceea

ce inseamna ca parametrul este nesemnificativ, probabilitatea fiind de 100−24.48=75.52<95 % .α 2: La o crestere a populatiei cu 1 mil. loc., in conditiile in care suprafata ramane

constanta, densitatea va scadea, in medie, cu 0.0007 loc./km2 .Intervalul de incredere este (−0.0015 ;0.0001 ) .tα 2: este – 1.6810, pragul de semnificatie este 0.1057>0.05, ceea ce inseamna ca

parametrul nu este semnificativ, iar probabilitatea este de 100−10.57=89.43 %<95 % .

5. TESTUL FISHER

Se utilizeaza pentru verificarea simultana a semnificatiei mai multor parametri:H 0:βk=0 si H 1:βk ≠ 0 se bazeaza pe compararea sumei patratelor erorilor SSE din

modelul initial cu SSER din modelul restrans, prin adoptarea ipotezei nule βk eliminandu-se variabilele explicative din model.

F=(SSER−SSE)/J

SSE/(T−K ),

6

Unde: SSER si SSE provin din tabelele ANOVA ale modelului restrans si initial J = numarul restrictiilorT = volumul esantionuluiK = numarul parametrilor modelului initial

SSER

ANOVA (restrans)

df SS MS FSignificanc

e FRegression 1

83087.84

83087.84

1.382973 0.250673

Residual 251501979 60079.1

4Total 26 1585066

SSE ANOVA (initial)

df SS MS FSignificance

F

Regression 2 167044.711483522.3

61.41361482

7 0.262799767

Residual 241418021.726 59084.2

4Total 26 1585066.437

F=(SSER−SSE)/J

SSE/(T−K ) =

(1.501 .979−1.418 .021,726)/11.418 .021,726 /(25−1)

=83.957,27459.084,238

=1,420975

Pentru aflarea lui F-critic, folosim formula FINV(α ; J ;T−K ¿, utilizata in Excel, care genereaza urmatorul rezultat: F-critic = FINV (0,05;1;24) = 4,259677 acceptam H 0, model valid statistic.

Datorita faptului ca F-static < F-critic variabila “populatie” influenteaza densitatea populatiei.

7

6. TESTUL DURBIN – WATSON PENTRU VERIFICAREA AUTOCORELARII

DW=∑t=2

T

¿¿¿¿; unde: ρ=¿coeficient de autocorelatie

v t=¿ eroare necorelata (medie=0;σ v2= constant)

Conditie: T>15 ; unde: T = numar observatii e t=ρ× e t−1+v t⏟

{ E (v t )=0

var ( v t )=σ v2

cov (v t , vs )=0

SUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsMultiple R 0.2289523R Square 0.0524192Adjusted R Square 0.0145159Standard Error 245.11047Observations 27

ANOVA

df SS MS FSignificanc

e F

Regression 1 83087.84383087.8

41.38297

3 0.250673

Residual 25 1501978.59460079.1

4

Total 26 1585066.437

Coefficients

Standard Error t Stat P-value Lower 95%

Upper 95%

Lower 95.0%

Upper 95.0%

8

Intercept 227.18086 66.711778373.40540

90.00223

6 89.785385364.5763

489.785385

2364.57634

2

X Variable 1 -0.0003463 0.00029451 -1.1760.25067

3 -0.0009530.000260

2 -0.00095290.0002602

1

RESIDUAL OUTPUT

Observation

Predicted Suprafata

Residuals

1 216.61394 143.9445032 266.2673 70898.28 20720.022 188.76795 -122.3228097 -55.4256 3071.998 14962.873 199.86617 -66.89719881 16.3235 266.4567 4475.23524 212.25556 -83.22070154 -208.674 43544.92 6925.68525 103.52912 125.4534978 307.3374 94456.27 15738.586 211.51715 -181.8838881 -44.0714 1942.291 33081.7497 202.83987 -137.8124542 -42.048 1768.035 18992.2738 181.48436 -95.76444918 -134.843 18182.56 9170.82979 52.353119 39.07828287 -42.1129 1773.493 1527.1122

10 37.720817 81.19114717 2.780128 7.729111 6592.002411 122.85194 78.41101936 211.6043 44776.39 6148.28812 223.97719 -133.1932983 35.25254 1242.741 17740.45513 204.81091 -168.4458338 -10.6654 113.7502 28373.99914 204.5993 -157.7804615 -129.423 16750.19 24894.67415 226.28522 -28.35791955 59.26392 3512.212 804.171616 194.96057 -87.62183891 -1174.47 1379375 7677.586717 227.07142 1086.846302 898.5517 807395.1 1181234.918 212.79862 188.2946454 286.2118 81917.21 35454.87319 198.13723 -97.91718829 -102.255 10456.13 9587.775820 118.88458 4.338040709 85.09149 7240.562 18.81859721 195.18188 -80.75345239 -25.9925 675.61 6521.120122 144.92439 -54.76095436 64.17652 4118.626 2998.762123 220.16638 -118.9374731 -19.0729 363.7746 14146.12324 210.26374 -99.86459648 -5.36069 28.73699 9972.937625 110.45286 -94.50390671 -44.0901 1943.938 8930.988426 71.338953 -50.41379036 -163.309 26669.69 2541.550327 142.38915 112.8947763 112.8948 12745.23 12745.231

2635237 1501978.6

DW = 2635237

1501978.6=1,754511

9

Datorita faptului ca valorea rezultata de testul Durbin – Watson (1,754511) se regaseste in intervalul (0;2), autocorelatia intre erori este una directa si puternica.

10

7. TESTUL KLEIN PENTRU VERIFICAREA MULTICOLINEARITATII

Y=220.5771−3.5021 X1−0.0007 X2

X1=β1+β2× X2+v

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R 0.2289523

R Square 0.0524192

Adjusted R Square 0.0145159

Standard Error 245.11047

Observations 27

Multiple R = 0.2289523 reprezinta noul model al regresiei.

R2 = 0.0524192

Datorita faptului ca valoarea lui r>R2 multicolinearitatea poate fi neglijata.

8. TESTAREA IPOTEZEI DE NORMALITATE A ERORILOR JARQUE-BERA

Ipoteze:H 0 : perturbatia u are o distributie normala.H 1 : perturbatia u nu are o distributie normal.

11

JB=T6

(S2+(k−3 )

4

2

)

S2=¿¿

k=(∑ e4

T)

¿¿

Unde, T = numarul de observatiiS= coefficient de asimetriek= coefficient de aplatizare

Calculand acesti coeficienti cu ajutorul explicatiei Excel, am obtinut urmatoarele valori:

S=12.8260756K=16.77557986

JB=276 (12.82602+

(16.7755−3 )4

2

)=216.4498

X 0.05; 52

12

9. TESTAREA HOMOSCEDASTICITATII GOLDFELD – QUANDT

H 0 : erori homoscedasticeH 1: erori heteroscedastice

Valoarea in urma testului GQ este de 1.059207, iar valoarea critica este de 19.Se compara valoarea lui GQ cu valoarea lui F-critic: 1.059207<4.259677 prezumtia

homoscedasticitatii este infirmata si se accepta alternativa: eroarea este heteroscedastica.

13