Projektowanie układów regulacji w dziedzinieczęstotliwości

dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Wprowadzenie

Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet:

stabilność i wymagania jakościowe są prezentowane na tymsamym wykresie

można używać rzeczywistych pomiarów zamiast modelu wformie transmitancji

projektowanie jest niezależne od rzędu układu

regulatory dla układów z opóźnieniami mozna projektować bezwiększych trudności

metody graficzne (analiza i synteza z użyciem odpowiednichdiagramów) jest relatywnie łatwa

Układ pierwszego rzędu

Rozważmy system opisany transmitancją

G(s) =a

s+ a

Własności:

Jeden biegun (s = −a)Pasmo przenoszenia ωBW = |a|Odpowiedź skokowa

Y (s) =1s

a

s+ a=1s− 1s+ a

y(t) = (1− e−at)1(t)

Przykładowa transmitancja

G(s) =2s+ 2

−10

−8

−6

−4

−2

Mag

nitu

de (

dB)

100

101

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ωBW=2[rad/sec]

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Step Response

Time (sec)A

mpl

itude

TR=0.5 sec

częstotliwość graniczna: przegięcie charakterystyk amplitudowej i fazowejstała czasowa: punkt przecięcia stycznej do odpowiedzi w punkcie zero zlinią maksymalnego wzmocnienia

Układ drugiego rzędu

Rozważmy system opisany transmitancją

G(s) =ω2n

s2 + 2ζωns+ ω2n

gdzie

ζ - współ. tłumienia względnego

ωn - pulsacja drgań własnych (nietłumionych)

lokalizacja biegunów

s1,2 = −ζωn ± jωn√1− ζ2

dla ζ > 1 oba bieguny są rzeczywistedla ζ = 1 oba bieguny są identyczne i rzeczywistedla 0 < ζ < 1 bieguny są zespolone i sprzężone.

Charakterystyki częstotliwościowe dla przykładowego systemu

G(s) =1

s2 + 0.6s+ 1

−30

−20

−10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ωBW

MR

Własności układu

pulsacja rezonansowa (dla ζ ¬ 1√2)

ωR = ωn√1− 2ζ2

Moduł rezonansowy (dla ζ ¬ 1√2)

MR =1

2ζ√1− ζ2

pasmo przenoszenia

ωBW = ωn

√(1− 2ζ2) +

√4ζ4 − 4ζ2 + 2

Dla 0 < ζ < 1 to 0.64ωn < ωBW < 1.55ωn.Dla ζ = 1√

2to ωBW = ωn.

Odpowiedź skokowa dla systemu

G(s) =1

s2 + 0.6s+ 1

MP - wartość (moduł)przeregulowania

POS = 100[(MP−y(∞))/y(∞)]

TP - czas max. przeregulowania

TS - czas regulacji

TR - czas narastania

Odpowiedź skokowa (dziedzina częstotliwości)

Y (s) =1sG(s) =

1s− s+ 2ζωn(s+ ζωn)2 + ω2n(1− ζ2)

Odpowiedź skokowa (dziedzina czasu)

y(t) = 1− e−t/τ√1− ζ2

cos(ωdt− ϕd), t > 0

gdzie

|σ| = ζωn - tłumienie względneτ = 1/|σ| - stała czasowaωd = ωn

√1− ζ2 - pulsacja tłumiona

ϕ = sin−1 ζ

Pasmo przenoszenia

Zakres częstotliwości, dla których wzmocnienie układu zamkniętego niespada poniżej = −3dB.

Częstotliwość, dla której wzmocnienie spada o −3 dB nazywamyczęstotliwością graniczną

Korzystając z metod odpowiedzi częstotliwościowej oczekujemyokreślenia odpowiedzi układu zamkniętego na podstawie odpowiedziukładu otwartego.

Na podstawie odpowiedzi układu 2-go rzędu, możemy przyjąć, iżczęstotliwość graniczna odpowiada częstotliwości, dla której wzmocnienieukładu otwartego jest pomiędzy −6 i −7.5dB (przyjmując, żeprzesuniecie fazowe dla tego wzmocnienia jest pomiędzy −135o i −225o)

Przykład

Transmitancja układu zamkniętego

Gcl =1

s2 + 0.5s+ 1

−80

−60

−40

−20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ωBW

=1.4[rad/sec]

Pasmo przenoszenia

Przykład – cd

dla ω < ωBW dla ω > ωBW

50 60 70 80 90 100

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

WyjscieWymuszenie

90 92 94 96 98 100

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

WyjscieWymuszenie

Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem ustalania(TS)

ωBW = ωn

√(1− 2ζ2) +

√4ζ4 − 4 ∗ ζ2 + 2

ωn =4Tsζ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100

120

140

ζ

ωB

W*T

S

Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem max.przeregulowania (TP )

ωBW = ωn

√(1− 2ζ2) +

√4ζ4 − 4 ∗ ζ2 + 2

ωn =π

Tp√1− ζ2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 14

4.5

5

5.5

6

6.5

7

ζ

ωB

W*T

P

Wpływ zmian położenia biegunów

Dla danej transmitancji

G(s) =ω2n

s2 + 2ζωns+ ω2n=

ω2d + σ2

s2 + 2σs+ ω2d + σ2

-s

X

X

+jwd

-jwd

wn

s1,2 = −ζωn ± jωn√1− ζ2

θ = cos−1 ζ

ζ = cos θ

Wpływ zmian σ

ωd = 1, σ = {0.5, 1, 1.5}

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

σ=0.5σ=1.0σ=1.5

10−1

100

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gula

r V

alue

s (d

B)

σ=0.5

σ=1.0

σ=1.5

Wpływ zmian ωd

σ = 1, ωd = {0.5, 2.5, 4.5}

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

ω

d=0.5

ωd=2.5

ωd=4.5

10−1

100

101

−15

−10

−5

0

5

Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gula

r V

alue

s (d

B)

ωd=0.5

ωd=2.5

ωd=4.5

Wpływ zmian ζ

ωn =√2, θ = {30, 45, 60}

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

θ=30

θ=45

θ=60

100

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gula

r V

alue

s (d

B)

θ=30θ=45θ=60

Wpływ zmian ωn

ζ = 1√2, ωn = {

√22 ,√2, 5√2}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

ωn=0.707

ωn=1.41

ωn=7

10−1

100

101

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gula

r V

alue

s (d

B)

ωn=0.707

ωn=1.41

ωn=7

Stabilność w dziedzinie częstotliwości

Problem

Czy badając transmitancję w otwartej pętli L(s) = K(s)G(s)możemy ustalić stabilność układu zamkniętego?

Gcl =K(s)G(s)1 +K(s)G(s)

Uwagi:

Łatwo rozwiązać powyższy problem korzystając z liniipierwiastkowych

Jak znaleźć warunek w dziedzinie częstotliwościodpowiadający ulokowaniu wszystkich biegunów w lewejpółpłaszczyźnie zespolonej?

Zapas wzmocnienia i fazy

Zapas wzmocnienia

Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym (K(s)G(s))powodująca niestabilność układu zamkniętego. Układy z większymzapasem wzmocnienia są bardziej odporne na zmiany parametrówukładu mogące spowodować niestabilność układu zamkniętego.

Zapas fazy

Zmiana fazy w układzie otwartym (K(s)G(s)) powodującaniestabilność układu zamkniętego.

Zapas fazy określa tolerancję układu na opóźnienia. Opóźnieniawiększe niż 180/ωpc (ωpc - częstotliwość przy którym przesunięciefazowe = 180o) powodują niestabilność układu zamkniętego.

Przykład

K(s) = 50, G(s) =1

s3 + 9s2 + 30s+ 40

10−1

100

101

102

−270

−180

−90

0

Pha

se (

deg)

Bode DiagramGm = 13.3 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = 101 deg (at 1.85 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

Zmieniając wzmocnienie układu (K(s) = 5000(100×)) nie musimykreślić nowego wykresu Bodego, aby odczytać zapas fazy.Wystarczy na utworzonym już wykresie sprawdzić zapas fazy dla−40dB (40dB odpowiada wzmocnieniu 100 razy).

−50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−270

−180

−90

0

Pha

se (

deg)

Bode DiagramGm = −26.7 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = −59.6 deg (at 16.9 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Wskaźniki jakościowe

Określanie wskaźników jakościowych układu zamkniętego:

musimy zapewnić stabilność układu otwartego jeśli będziemyużywać diagramów Bode’go.

sprawdzamy czy ωgc < ωpc) aby stwierdzić czy układzamknięty będzie stabilny.

dla układu 2-ego rzędu , współczynnik tłumienia (układuzamkniętego) jest w przybliżeniu równa PM/100 (jeśliPM= 0÷ 60o.dla układu 2-ego rzędu, istnieją zależności pomiędzywspółczynikiem tłumienia, pasmem przenoszenia i czasemustalania .

w przybliżeniu możemy przyjąć że pasmo przenoszenia będzierówne częstotliwości drgań własnych.

Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym

Definicje sygnałów

r - sygnał referencyjny

d - zakłócenia

n - szum czujników

z - regulowane wyjście

y - mierzone wyjście

Problem: Uzyskanie najmniejszego błędu regulacji (r − z)

Wyjście układu

Z(s) =K(s)G(s)1+K(s)G(s)

R(s)+1

1+K(s)G(s)D(s)− K(s)G(s)

1+K(s)G(s)N(s)

Definiując bład regulacji e = r − z otrzymujemy

E(s) =1

1+K(s)G(s)R(s)− 1

1+K(s)G(s)D(s) +

K(s)G(s)1+K(s)G(s)

N(s)

orazU(s) =

K(s)1+K(s)G(s)

(R(s)−D(s)−N(s))

Ograniczenia sterowania

Można pokazać, że

e = r − z = S(r − d) + Tn

gdzie

S(s) = (1+G(s)K(s))−1; T (s) = 1−S(s) = (1+G(s)K(s))−1G(s)K(s)

Głowne cele sterowania

Dobre śledzenie sygnału referencyjnego(dla niskich częstotliwości < ωBW )

|G(jω)K(jω)| � 1⇔ |S(jω)| � 1 or |T (jw)| ' 1

Dobre tłumienie zakłóceń (dla wysokich częstotliwości)

|G(jω)K(jω)| � 1⇔ |T (jω)| � 1

Cele i ograniczenia regulacji (sterowania)

Cel regulacji

Zaprojektować regulator K tak aby błąd regulacji pozostawałmały. Oznacza to, że będziemy dążyć aby S i T były małe w tychzakresach częstotliwości gdzie spektrum sygnałów r i n są małe.

Ograniczenia

S + T = 1 (błąd e nie może być mały dla wszystkichczestotliwości)∫∞0 log |S(jω)|dω = 0 - jakość sterowania (ang. performance)vs. odporność (ang. robustness)

I Sygnał z musi śledzić r (ang. tracking).

II Odporność na zmiany parametrów układu.

III Tłumić wpływ zakłóceń (oraz niemodelowanej dynamiki)

IV Tłumić wpływ szumu pomiarowego n

Ms =‖S(jω)‖∞

d =1− 1Ms

PM ­ ζ =2 sin−1(1Ms

)GM ­ 1

d=MsMs − 1

Czyli

Ms < 2⇔ GM > 2 i PM > 30o