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INSA DE STRASBOURG – SPECIALITE GENIE-CIVIL
Projet de Fin d’Études
Élaboration d’un cahier des charges pour la programmation d’un logiciel de calculs de structures de ponts mixtes aux Eurocodes
GLANES Julien Elève ingénieur de 5ème année
Tuteur entreprise : Péron Marie-Véronique Enseignant superviseur : Zink Philippe
INSA de Strasbourg – Projet de fin d’études INGEROP – Expertises et Structures
GLANES Julien – Élève de 5ème
année – Spécialité Génie-Civil 2/147
Sommaire
Sommaire ................................................................................................................................... 2 Remerciements ........................................................................................................................... 7 Introduction ................................................................................................................................ 8 1 Principe ............................................................................................................................. 10 2 Préprocesseur – Cas de la poutre droite ........................................................................... 12
2.1 Généralités ................................................................................................................. 12 2.2 Données d’entrée ....................................................................................................... 13
2.2.1 Géométrie ........................................................................................................... 13 2.2.2 Matériaux ........................................................................................................... 18 2.2.3 Actions ............................................................................................................... 21
2.3 Prise en compte de la fissuration du béton et du traînage de cisaillement ................ 41 2.3.1 Fissuration du béton ........................................................................................... 41 2.3.2 Traînage de cisaillement ..................................................................................... 42
2.4 Modélisation du tablier .............................................................................................. 44 2.4.1 Création des nœuds ............................................................................................ 44 2.4.2 Création des barres ............................................................................................. 44 2.4.3 Calcul des caractéristiques mécaniques des barres ............................................ 45
2.5 Modélisation des chargements ................................................................................... 46 2.5.1 Organisation des calculs ..................................................................................... 46
2.5.2 Charges permanentes à long terme ..................................................................... 48 2.5.3 Charges permanentes à court terme ................................................................... 48 2.5.4 Chargements dus aux actions variables .............................................................. 49
3 Préprocesseur – Particularités des ponts caissons ............................................................ 50
3.1 Géométrie .................................................................................................................. 50 3.1.1 Charpente métallique .......................................................................................... 50 3.1.2 Raidisseurs ......................................................................................................... 51
3.1.3 Dalle béton ......................................................................................................... 52 3.1.4 Appuis ................................................................................................................ 52
3.2 Traînage de cisaillement ............................................................................................ 52 3.3 Calcul des caractéristiques – Prise en compte de la torsion ...................................... 53
4 Préprocesseur – Particularités des ponts caissons courbes ............................................... 54 4.1 Géométrie .................................................................................................................. 54 4.2 Actions – Force centrifuge ........................................................................................ 55
5 Préprocesseur – Particularités des ponts bipoutres biais et courbes ................................. 56 5.1.1 Géométrie du tablier ........................................................................................... 56
5.1.2 Modélisation des appuis ..................................................................................... 56
6 Post processeur ................................................................................................................. 57
6.1 Généralités ................................................................................................................. 57 6.2 Données d’entrée supplémentaires ............................................................................ 58 6.3 Choix des sections à vérifier ...................................................................................... 58 6.4 Classification des sections et calcul des sections efficaces ....................................... 58
6.4.1 Traînage de cisaillement ..................................................................................... 58
6.4.2 Classification de la section ................................................................................. 62 6.4.3 Influence du voilement sur les sections de classe 4 ........................................... 66
6.5 Justifications aux ELU ............................................................................................... 78 6.5.1 Justification à la flexion ..................................................................................... 78
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GLANES Julien – Élève de 5ème
année – Spécialité Génie-Civil 3/147
6.5.2 Justification au tranchant .................................................................................... 79
6.5.3 Justification sous interaction flexion – effort tranchant ..................................... 81 6.6 Justifications aux ELS ............................................................................................... 85
6.6.1 Limitation des contraintes .................................................................................. 85
6.6.2 Respiration de l’âme ........................................................................................... 87 6.6.3 Maîtrise de la fissuration .................................................................................... 87
6.7 Justifications à la fatigue ........................................................................................... 89 6.7.1 Méthode .............................................................................................................. 89 6.7.2 Contraintes ......................................................................................................... 90
6.7.3 Coefficient de dommage équivalent ................................................................... 92 6.8 Dimensionnement des connecteurs – EN1994-2, 6.6 ................................................ 93
6.8.1 Résistance d’un goujon – EN1994-2, 6.6.3 ........................................................ 93 6.8.2 Dimensionnement sous ELS caractéristique ...................................................... 94 6.8.3 Dimensionnement sous ELU fondamental ......................................................... 95
6.8.4 Dimensionnement en fatigue .............................................................................. 97 Conclusion .............................................................................................................................. 100
Bibliographie .......................................................................................................................... 101 ANNEXES ............................................................................................................................. 102
Annexe 1 Choix de la modélisation de la dalle ............................................................. 103 Annexe 2 Modélisation 3D d’un pont bipoutre mixte courbe ...................................... 106
Annexe 3 Calcul de l’inertie de torsion ........................................................................ 109 Annexe 4 Calcul des coordonnées des nœuds .............................................................. 113 Annexe 5 Modélisation 3D d’un pont bipoutre mixte droit .......................................... 115
Annexe 6 Calcul des contraintes normales ................................................................... 119 Annexe 7 Calcul des propriétés plastiques ................................................................... 121
Annexe 8 Coefficients de voilement par cisaillement .................................................. 127 Annexe 9 Calcul de la contrainte critique de voilement de plaque σcr,p........................ 129
Annexe 10 Méthode de calcul simplifié de l’amplitude de contrainte à l’ELU de fatigue
134
Annexe 11 Calcul du coefficient d’équivalence en fatigue ............................................ 135 Annexe 12 Prise en compte des effets d’un effort normal N .......................................... 141 Annexe 13 Calcul des contraintes totales - Méthode en cas de modification du
comportement de la dalle béton ......................................................................................... 144
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Liste des tableaux
Tableau 2-1 : Caractéristiques du béton ................................................................................... 19 Tableau 2-2 : Classes de ciment ............................................................................................... 20 Tableau 2-3 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELU ............................................................ 21 Tableau 2-4 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELU de fatigue ........................................... 21
Tableau 2-5 : Valeurs du coefficient yMf ................................................................................ 21 Tableau 2-6 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELS ............................................................ 21 Tableau 2-7 : Exemple d'éléments de superstructures à prendre en compte ............................ 25 Tableau 2-8 : Valeurs du paramètre kh .................................................................................... 26
Tableau 2-9 : Valeurs du coefficient L ................................................................................. 28
Tableau 2-10: Nombre et largeur des voies conventionnelles ................................................. 31 Tableau 2-11: Valeurs caractéristiques des charges du modèle LM1 ...................................... 32 Tableau 2-12 : Coefficients d'ajustement ................................................................................. 33
Tableau 2-13 : Catégories de trafic .......................................................................................... 33 Tableau 2-14 : Indicateur de volume ........................................................................................ 33 Tableau 2-15 : Coefficient d'effet dynamique .......................................................................... 33 Tableau 2-16: Valeurs caractéristiques des charges des modèles SW/0 et SW/2 .................... 34
Tableau 4-1 : Valeurs caractéristiques de la force centrifuge .................................................. 55
Tableau 6-1: Coefficient β de largeur efficace S ...................................................................... 60 Tableau 6-2 : Calcul du coefficient de voilement kσ ............................................................... 68 Tableau 6-3 : Largeurs efficaces d'une âme ............................................................................. 71
Tableau 6-4: Diamètres de barre maximaux ............................................................................ 88 Tableau 6-5 : Espacement maximal des barres ........................................................................ 89
Tableau 6-6: Combinaisons à l'ELU de fatigue ....................................................................... 90
Tableau annexe 1 : Coefficient de voilement par cisaillement χ ............................................ 128
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Listes des figures
Figure 1-1 : Principe de la chaîne de calcul ............................................................................. 10 Figure 1-2 : Représentation du modèle à barres envisagé ........................................................ 11 Figure 2-1 : Données de la coupe transversale ......................................................................... 13 Figure 2-2 : Géométrie d'une poutre en I métallique ............................................................... 14
Figure 2-3 : Données des raidisseurs ........................................................................................ 15 Figure 2-4 : Modélisation de la dalle en deux rectangles ......................................................... 16 Figure 2-5 : Position des nappes d'armatures ........................................................................... 17 Figure 2-6 : Application des chargements par phases successives .......................................... 23 Figure 2-7: Ligne d'influence transversale ............................................................................... 30
Figure 2-8 : Tablier et chaussée utile ....................................................................................... 31 Figure 2-9: Géométrie du tandem TS ....................................................................................... 32 Figure 2-10: Charges du modèle LM71 ................................................................................... 34
Figure 2-11 : Charges du modèle SW/0 et SW/2 ..................................................................... 34 Figure 2-12: Effet du déplacement latéral des charges verticales pour les modèles LM71 et
SW/0 ......................................................................................................................................... 35 Figure 2-13 : Détermination des modèles de charges défavorables pour le LM71 et SW/0 .... 36
Figure 2-14 : Application de l'excentricité e ............................................................................ 37 Figure 2-15: Convoi de fatigue du modèle FLM3 ................................................................... 38
Figure 2-16 : Application du gradient thermique ..................................................................... 39 Figure 2-17 : Notations utilisées pour le calcul de la largeur efficace de la dalle .................... 42 Figure 2-18 : Détermination des portées équivalentes ............................................................. 43
Figure 2-19 : Organigramme de l'analyse globale (Guide du Sétra) ........................................ 47 Figure 3-1 : Notations utilisées pour les ponts caissons ........................................................... 50
Figure 3-2 : Positionnement de raidisseurs plat ou en Té sur la tôle de fond de caisson ......... 51 Figure 3-3 : Positionnement des raidisseurs en auget sur la tôle de fond de caisson ............... 51
Figure 3-4 : Modélisation de la dalle béton pour un caisson acier ouvert................................ 52 Figure 3-5 : Modélisation de la dalle béton pour un caisson acier fermé ................................ 52
Figure 4-1 : Position des nœuds d'appuis ................................................................................. 54 Figure 6-1 : Logigramme de fonctionnement du post processeur ............................................ 57 Figure 6-2 : Schéma de la procédure de calcul de la section efficace P................................... 67
Figure 6-3 : Géométrie d'une plaque ........................................................................................ 69 Figure 6-4 : Interpolation entre voilement de plaque et flambement ....................................... 70
Figure 6-5 : Largeurs efficaces P d'une paroi interne ............................................................... 71 Figure 6-6 : Largeurs efficaces d'une âme ............................................................................... 71
Figure 6-7 : Largeur des parois en console .............................................................................. 72 Figure 6-8 : Largeurs efficaces P d'une semelle inférieure d'un bipoutre ................................ 72 Figure 6-9 : Section brute d'une semelle inférieure de caisson ................................................ 73 Figure 6-10 : Zone d'étude d'une semelle inférieure d'un caisson ............................................ 73
Figure 6-11 : Prise en compte du voilement local .................................................................... 74 Figure 6-12 : Aire efficace P des panneaux secondaires d'une tôle de fond de caisson ........... 75 Figure 6-13 : Section efficace P intermédiaire d'une tôle de fond de caisson .......................... 75
Figure 6-14 : Caractéristiques des raidisseurs .......................................................................... 77 Figure 6-15 : Contraintes de cisaillement dans la tôle de fond d'un caisson ............................ 83 Figure 6-16: Effet de la rigidité du béton tendu entre fissures ................................................. 92 Figure 6-17 : Valeurs lv,1 en fonction de la portée pour trafic normal ou lourd ..................... 99 Figure 6-18: Distribution plastique des contraintes ............................................................... 121 Figure 6-19 : Zones d'influences à la fatigue ......................................................................... 135 Figure 6-20 : Coefficient λ2 pour la charpente en acier des ponts ferroviaires ..................... 137
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Figure annexe 1 : Modélisation d'un bipoutre courbe dans ST1 ............................................ 107 Figure annexe 2 : Facteur de réduction β du moment plastique résistant Mpl,Rd ................. 124 Figure annexe 3 : Moment plastique résistant réduit au tranchant Mpl,Rd,V........................ 125
Figure annexe 4 : Raidisseur et tôle participante ................................................................... 127 Figure annexe 5 : Coefficient de voilement par cisaillement χ .............................................. 128 Figure annexe 6 : de fond avec raidisseur unique .................................................................. 129 Figure annexe 7 : Flambement du raidisseur unique .............................................................. 129 Figure annexe 8 : Notations relatives à une âme avec un seul raidisseur dans la zone
comprimée .............................................................................................................................. 130 Figure annexe 9 : Tôle de fond avec deux raidisseurs ........................................................... 131 Figure annexe 10 : Flambement du raidisseur I dans le cas de deux raidisseurs ................... 131 Figure annexe 11 : Flambement du raidisseur fictif I+II dans le cas de deux raidisseurs ..... 132 Figure annexe 12 : Paramètres géométriques pour raidisseurs tartinés.................................. 133
Figure annexe 13 : Exemple de distribution plastique des contraintes dans l’acier ............... 142
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Remerciements
Tout d’abord, je tiens à remercier toute l’équipe d’IES, pour leur accueil et la bonne ambiance
qu’ils entretiennent dans le service, ainsi que pour leur aide et leurs conseils.
Plus particulièrement, je tiens à remercier Jean-Pierre Rapin, Directeur d’INGEROP Expertise
et Structures, pour m’avoir accueilli dans son entreprise.
Je tiens ensuite à remercier Marie-Véronique Péron, ma tutrice de stage, et Patrice Auffret,
mon chef, pour leur suivi tout au long de ce projet et grâce à qui j’ai beaucoup appris sur les
techniques de calculs des ouvrages mixtes.
J’adresse également mes remerciements à Philippe Zink, mon professeur superviseur, pour ses
conseils.
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Introduction
Présentation de l’entreprise
INGEROP est un groupe d’ingénierie pluridisciplinaire, associant expertise technique et
capacité de management. Il propose des missions de maîtrise d’œuvre, des études techniques
et économiques, et des missions d’assistance à maîtrise d’ouvrage, dans cinq grands métiers :
Infrastructures
Transports
Eau, énergie et environnement
Bâtiment
Industrie
L’effectif du groupe fin 2009 était de 1502 collaborateurs, dont plus de 300 à l’international,
en constante augmentation depuis plusieurs années.
Le groupe a une forte implantation régionale et offre ainsi son expertise au niveau local. Le
groupe est également présent en Europe (Espagne, Pologne, …) et dans le monde (Maghreb,
Afrique du Sud, Japon, …).
Le groupe se divise en trois entités principales :
J’ai effectué mon stage au sein d’INGEROP Expertise et Structures à Courbevoie, dirigé par
Jean-Pierre Rapin. Le service est compétent dans le domaine des structures complexes en
béton et en métal. Il intervient dans les domaines des ouvrages d’art, du génie civil, du
bâtiment et des installations complexes, dans le cadre de projets non courants. il assume ses
missions d’assistance à maîtrise d’ouvrage, de maîtrise d’œuvre ou d’études d’exécution,
aussi bien dans le cadre de projets portés en propre que pour des projets portés par les autres
filiales du groupe.
Présentation de l’étude
Les ponts mixtes occupent une place importante dans le paysage routier et ferroviaire en
France et dans de nombreux autres pays. Leur conception évolue régulièrement et est liée aux
règles de calculs. Les règlements Eurocodes, récemment mis en application, apportent des
nouveautés dans l’analyse structurale et les critères de justifications des ouvrages d’arts
mixtes – la norme directrice pour les ponts mixtes est l’EN 1994-2.
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L’étude menée s’attache à identifier l’ensemble des étapes de calculs d’un tablier mixte
suivant les Eurocodes dans le but de créer une chaîne de calcul automatisée des ponts mixtes,
afin de remplacer les outils existants qui ne sont plus adaptés. Elle s’appuie sur des guides
pratiques et propose des méthodes pour clarifier les points difficiles abordés de manière
partielle ou rapide.
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1 Principe
Le présent document constitue le cahier des charges d’un programme de calcul de ponts
mixtes types.
L’étude peut se scinder en deux parties : le préprocesseur d’une part, qui concerne les données
d’entrées et la création du modèle numérique, et le post-processeur d’autre part, qui se
chargera des vérifications.
Les sollicitations sont calculées à partir d’un logiciel de calculs des structures à barres
différent. Ceci afin de pouvoir, après avoir généré la modélisation du tablier mixte, adapter ce
modèle à tous les types d’ouvrage (ponts à béquilles, haubans, suspendus). Cet aspect
constitue le principal point d’innovation par rapport aux logiciels existants qui ne traitent
généralement que des bipoutres mixtes.
Ce logiciel calcule les sollicitations des cas de charges élémentaires.
Les combinaisons ainsi que les cas de charges enveloppes seront déterminés par ce même
logiciel ou par un programme plus adapté.
Le programme devant s’appliquer à tous les types d’ouvrage, les justifications devront être
menées en considérant les sollicitations N, M, V et non pas uniquement avec M et V comme
dans les logiciels classiques.
Les exemples de calculs figurants dans ce mémoire ont été réalisés avec des feuilles de calculs
Excel et le logiciel ST1.
Figure 1-1 : Principe de la chaîne de calcul
Le programme traitera de façon automatique les ponts types suivants :
les bipoutres droits ;
les caissons droits ;
les caissons courbes ;
les bipoutres courbes ;
les bipoutres biais.
Il traite aussi bien les ouvrages routiers que les ouvrages ferroviaires à partir des modèles de
chargements définies dans les Eurocodes.
Données d’entrée : - géométrie - actions - …
Modèle : - nœuds, barres, sections - chargements - …
Vérifications Sollicitations
Préprocesseur
Post-processeur
Logiciel de calcul
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Bipoutre droit
Le bipoutre droit est traité, à partir d’une répartition transversale des charges, comme une
unique poutre droite en deux dimensions disposant des caractéristiques d’un demi-tablier :
semelle inférieure non mixte ;
section transversale symétrique par rapport à un axe vertical ;
dalle en béton coulée en place, non précontrainte longitudinalement ;
Caisson droit et courbe
Le caisson est traité de la même façon que la poutre droite avec des caractéristiques et des
justifications complémentaires à intégrer :
- inertie de torsion,
- espacement et position des appuis,
- présence de raidisseurs sur les semelles,
- étude du voilement des semelles,
- ajout des forces centrifuges dans le cas des ponts courbes.
Bipoutre courbe et bipoutre biais
Ces ouvrages ne sont plus traités à partir d’une poutre droite, mais par un modèle
tridimensionnel, un calcul de répartition transversale des charges n’étant plus suffisant pour
étudier ce type de structure (influence de la courbure, biais).
Nous réalisons donc un modèle 3 D constitué :
- de plusieurs séries de barres longitudinales pour modéliser les poutres principales
(sections mixtes),
- d’une série de barres longitudinales fictives au niveau de l’axe du pont sur lesquelles
sont appliquées les charges,
- d’une série de barres transversales liaisonnant les poutres aux barres longitudinales
fictives,
- d’une série de barres transversales pour les entretoises.
Figure 1-2 : Représentation du modèle à barres envisagé
Poutre 1
Arête béton
Poutre 2
Barres longitudinales mixtes
(Poutres principales pour n ≈6 /18 / ∞)
Barre longitudinale fictive
(pour l’application des charges)
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2 Préprocesseur – Cas de la poutre droite
2.1 Généralités
Le préprocesseur doit permettre de
modéliser un ouvrage mixte et ses
chargements automatiquement. Cette
modélisation est ensuite utilisée par
un logiciel de calcul pour déterminer
les sollicitations qui s’appliquent au
niveau de chaque section de
l’ouvrage.
L’étape de préprocesseur de la
chaîne de calcul regroupe l’ensemble
des données d’entrée nécessaires aux
calculs des ouvrages mixtes et
présente les règles de modélisation
de la structure, des actions et la
méthode d’analyse globale
proposées dans les règles Eurocodes.
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2.2 Données d’entrée
2.2.1 Géométrie
2.2.1.1 Coupe longitudinale
Les données d’entrée utiles concernant la coupe longitudinale sont :
le nombre de travées ntravées ;
les longueurs des travées Ltravées,i pour i de 1 à ntravées
2.2.1.2 Coupe transversale
Les données suivantes seront utilisées par la suite pour la détermination des caractéristiques
géométriques des sections :
entraxe des poutres principales
entraxe des connecteurs sur une poutre principale : par défaut, l’écartement entre les
files de connecteurs b0 est pris égal à la largeur de la semelle supérieure btf – 0.40 m.
largeur de la dalle
largeur de la chaussée
Figure 2-1 : Données de la coupe transversale
Largeur de la dalle
Largeur de la chaussée
Entraxe des poutres principales
Entraxe des connecteurs
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2.2.1.3 Charpente métallique
La section de la charpente en acier est variable le long de l’ouvrage. Il est donc nécessaire de
rentrer les paramètres géométriques définissant la section par tronçons sur lesquels les
grandeurs sont constantes.
La poutre principale en acier considérée est une poutre en I, composée d’une semelle
inférieure, d’une âme et d’une semelle supérieure. Les paramètres d’entrées d’une poutre en I
sont illustrés sur le schéma suivant :
Figure 2-2 : Géométrie d'une poutre en I métallique
La section transversale d’une poutre en I dépend des 6 paramètres géométriques suivants :
largeur de la semelle inférieure bbf ;
épaisseur de la semelle inférieure tbf ;
hauteur de l’âme hw ;
épaisseur de l’âme tw ;
largeur de la semelle supérieure btf ;
épaisseur de la semelle supérieure ttf.
On note la hauteur totale de la poutre métallique h = tbf + hw + ttf.
Chacun des éléments (âme, semelle inférieure et semelle supérieure) peut avoir une nuance
d’acier différente. De plus, en demandant à l’utilisateur une valeur d’origine et une valeur
d’extrémité, il est possible de faire varier linéairement les données suivantes :
la hauteur d’âme
les épaisseurs des semelles
Par contre, les données suivantes sont considérées comme constantes sur un tronçon donné :
la largeur des semelles
l’épaisseur des âmes
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Il pourrait aussi être possible de choisir entre une variation linéaire ou parabolique des
caractéristiques géométriques de la section si nécessaire. (le cas de la variation parabolique
était prévu dans le code du fichier reparec.bas de la chaîne actuelle)
2.2.1.4 Raidisseurs
Des raidisseurs longitudinaux peuvent être ajoutés sur l’âme de la poutre. Seuls deux types de
raidisseurs sont prévus pour le bipoutre :
raidisseurs plats
raidisseurs en Té
Leur position peut être entrée directement par
l’utilisateur, mais ils seront uniformément
répartis par défaut. Ces raidisseurs ne sont pas
pris en compte pour le calcul des
sollicitations, ils interviennent uniquement
dans la résistance à l’effort tranchant.
Figure 2-3 : Données des raidisseurs
Leur géométrie doit être définie pour le calcul des sections efficaces dues au voilement lors
des vérifications.
L’utilisateur doit aussi entrer leur nombre et leur position sur l’âme. Ils seront uniformément
répartis par défaut. La chaine de calcul peut alors générer les largeurs des sous-panneaux de
plaque raidie.
2.2.1.5 Entretoises
La géométrie des entretoises peut être définie par l’utilisateur de la même manière que pour
les poutres principales. Cependant, la section des entretoises sera considérée comme constante
sur toute la longueur de l’ouvrage. Par défaut, le programme utilisera des HEA600.
La répartition des entretoises peut être définie de deux manières complémentaires :
par répartition uniforme sur chaque travée
par définition directe de l’abscisse
Dans le cas de la répartition uniforme, l’utilisateur doit entrer l’espacement voulu entre deux
entretoises (tous les 4 mètres par défaut). Le préprocesseur calcule ensuite le nombre
d’entretoises et l’espacement réel pour chacune des travées.
« Pour chaque travée » nombre_entretoises = partie_entière ( Ltravée/espacement_voulu ) espacement_reel = Ltravée / nombre_entretoises
Données d’entrée :
- Géométrie (par défaut : HEA600)
- Espacement voulu (par défaut : 4m)
- Liste d’abscisses pour ajouter des entretoises supplémentaires
Données générées :
- Liste d’abscisses de toutes les entretoises
1stb
2stt
1stt
Âme
2stb
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2.2.1.6 Dalle en béton armé
La section de la dalle est supposée constante sur toute la longueur de l’ouvrage. En effet, le
même coffrage est généralement réutilisé pour tout le pont.
Il est nécessaire de connaître les caractéristiques mécaniques du hourdis en béton, soit :
L’aire Ab
La position du centre d’inertie Zb
Le moment d’inertie de flexion Ib
L’utilisateur doit entrer un ensemble de points définissant la géométrie du demi-hourdis de
béton. Les caractéristiques précédentes sont alors calculées par le préprocesseur
[METHODE DE CALCUL : voir feuille Excel « calcul mixte »]
Il faut de plus entrer la valeur du périmètre exposé u correspondant à la surface du demi-
hourdis en contact avec l’air ambiant. Ce périmètre est nécessaire pour le calcul du retrait et
du fluage.
2.2.1.6.1 Modélisation de la dalle
Pour simplifier le calcul des largeurs et sections efficaces, la dalle va être modélisée par une
géométrie plus simple. Plusieurs possibilités ont été envisagées :
modélisation par un rectangle de même section ;
modélisation par deux rectangles de même section, de même inertie et de même
hauteur du centre de gravité ;
aucune modélisation, mais calcul des caractéristiques des sections efficaces à partir
d’un pourcentage des sections réelles dépendant du pourcentage de réduction de la
largeur.
Un comparatif des trois méthodes a été réalisé en 1.Annexe 1 avec trois exemples de dalles de
ponts mixtes différents.
La modélisation comportant deux rectangles se présente sous la forme suivante :
Figure 2-4 : Modélisation de la dalle en deux rectangles
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En mesurant la cote verticale du centre de gravité zb par rapport au dessus de la semelle
supérieure, les 3 paramètres b1, e1 et e2 doivent vérifier les 3 équations suivantes :
2)
2(
12)
2(
12
2)
2(
2
2
22122
3
222111
3
11
2122
2
11
2211
b
bb
bb
b
Iz
eeeb
ebz
eeb
eb
zAeeeb
eb
Aebeb
La résolution du système est effectuée de la façon suivante :
on considère 1b variable,
en posant )(4
)4(
122
1
2bbb
zbAAe bbb
et
1
22
12
2
b
ebAe b
en fonction de 1b , les deux
premières équations sont vérifiées,
on fait ensuite varier 1b afin de vérifier la troisième équation.
Cette résolution peut être effectuée par itération en prenant une valeur de départ de b1 très
faible, mais supérieure à 0 (par exemple : 0.0001 m).
2.2.1.6.2 Armatures
Le ferraillage du hourdis consiste en deux nappes d’armatures longitudinales. Pour une demi-
dalle donnée, chaque nappe d’armatures est modélisée par une section ponctuelle unique,
possédant la même aire et située au droit de l’âme.
La position et la section des armatures longitudinales sont susceptibles de varier le long de
l’ouvrage, ce qui n’est pas pris en compte par défaut dans le préprocesseur.
Il est nécessaire de connaître la position verticale de chaque nappe. Elle est demandée comme
donnée d’entrée à l’utilisateur. Il existe déjà des feuilles de calcul permettant de les calculer à
partir des conditions extérieures et de la géométrie de la dalle.
Figure 2-5 : Position des nappes d'armatures
siv ssv
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Pour certaines vérifications, le diamètre ϕ et l’espacement s des barres, ainsi que les
ouvertures maximales de fissures wk,max à l’ELS fréquent et à l’ELS caractéristique pour les
deux nappes d’armatures sont nécessaires.
Les données d’entrées utiles sont alors :
les pourcentages d’armatures inférieures et supérieures notées ρtslr et ρtsur (sur appuis et
en travées) ;
les côtes siv et ssv mesurées à partir de la face supérieure de la semelle supérieure de la
charpente,
les diamètres ϕinf et ϕsup ;
les espacements sinf et ssup ;
les ouvertures de fissures wk,max.
2.2.2 Matériaux
2.2.2.1 Aciers de charpente
Les valeurs de calcul des propriétés de l’acier sont (EN 1993-1-1, 3.2.6) :
le module d’élasticité longitudinale : aE = 210 000 MPa
le coefficient de poisson : a = 0.3
le module de cisaillement : aG = E/2(1+v) = 81 000 MPa
le coefficient de dilatation thermique : a = 10-5 / K
D’après l’EN1994-2, 3.3(2), la nuance de l’acier doit être comprise entre S235 et S460. Le
poids volumique de l’acier a est donné au tableau A-4 de l’EN 1991-1-1 et est égal à 3/77 mkN .
Pour une paroi donnée, l’épaisseur et la nuance de l’acier permettent d’obtenir la limite
d’élasticité yf dans les normes EN 10025, la nuance de l’acier ayant déjà été entrée par
l’utilisateur lors de la répartition de matière.
[Valeurs élasticité : voir feuille Excel « préprocesseur.xls » : module VBA « materiauAcier »]
Il est aussi possible de préciser la nuance d’acier pour chaque tronçon de section différente.
Données d’entrées :
- poids volumique (par défaut : 77 kN/m3)
- nuance d’acier pour chacun des éléments de charpente dans chaque tronçon
de la répartition de matière.
Données générées :
- limites d’élasticités
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2.2.2.2 Béton
D’après l’EN1994-2, 3.1(2), la classe du béton doit être comprise entre C20/25 et C60/75.
Les caractéristiques du béton sont :
les résistances caractéristiques :
o ckf la résistance caractéristique en compression du béton mesurée sur cylindre
à 28 jours, donnée par la classe ;
o ctmf la valeur moyenne de la résistance en traction directe du béton, donnée par
la classe ;
o cmf = ckf + 8 la valeur moyenne de la résistance en compression du béton
mesurée sur cylindre.
le module d’élasticité sécant : cmE = 22 000 ( cmf /10)^0.3
le coefficient de Poisson : c = 0.2
le coefficient de dilatation thermique : c = 10-5 / K
Le poids volumique du béton armé est pris égal à 25 kN/m3 par défaut.
Données d’entrée :
- classe du béton
- poids volumique (par défaut : 25 kN/m3)
Données générées :
Les résistances caractéristiques sont récupérées à partir du tableau ci-dessous grâce à la classe
du béton entrée par l’utilisateur. Le module d’élasticité cmE est ensuite calculé suivant la
formule précédente à partir de cmf .
Classe ckf (MPa) ctmf (MPa)
C20/25 20 2.2
C25/30 25 2.6
C30/37 30 2.9
C35/45 35 3.2
C40/50 40 3.5
C45/55 45 3.8
C50/60 50 4.1
C55/67 55 4.2
C60/75 60 4.4 Tableau 2-1 : Caractéristiques du béton
2.2.2.3 Aciers passifs
D’après l’EN1994-2, 3.2 (2), il est possible de prendre le module d’élasticité des aciers passifs
égal à celui utilisé pour la charpente. Soit sE = aE = 210 000 MPa.
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D’après l’EN1992-1-1, 3.2.2 (3), la limite d’élasticité skf doit être comprise entre 400 et 600
MPa. On garde skf = 500 MPa par défaut.
Données d’entrée :
- limite d’élasticité skf .
Données générées :
- aucune.
2.2.2.4 Connecteurs
Les données relatives aux connecteurs ne seront utilisées que pour les vérifications de la
connexion acier-béton.
Données d’entrée :
- limite d’élasticité uf (par défaut : …) ;
- caractéristiques du goujon (diamètre entre 16 et 25 mm et hauteur) ;
- nombre de goujons par file.
Données générées :
- aucune.
2.2.2.5 Ciment
La classe du ciment influence les déformations dues au fluage et au retrait. Les classes de
ciments possibles sont S, N et R.
Elles permettent de définir les coefficients 1ds et 2ds , donnés dans le tableau ci-dessous :
Classe de ciment S N R
1ds 3 4 6
2ds 0.13 0.12 0.11
Tableau 2-2 : Classes de ciment
Données entrées :
- classe de ciment (par défaut : N).
Données générées :
- les coefficients 1ds et 2ds .
2.2.2.6 Coefficients partiels de sécurité sur les matériaux
Les coefficients partiels de sécurité sont pris égaux aux valeurs recommandées dans les
normes Eurocodes. Il doit cependant rester possible de les modifier pour s’adapter à des
projets spéciaux.
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Pour l’ELU :
Béton : c Armature : s Acier de charpente : M Goujon v
1.5 1.5
0M = 1.0 (plastification, instabilité locale)
1M = 1.1 (instabilité d’élément)
2M = 1.25 (ruine de section nette tendue)
1.25
Tableau 2-3 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELU
Pour l’ELU de fatigue :
Béton : fatc, Armature : fats, Acier de charpente : Mf Goujon v
1.5 1.15 1.35 1.25 Tableau 2-4 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELU de fatigue
Le coefficient Mf peut être modifié pour s’adapter au projet. Les valeurs recommandées
générales, dépendant de la méthode d’évaluation de l’endommagement et des conséquences
de ruine sont données dans le tableau 3.1 de l’EN 1993-1-9 :
Méthode d’évaluation Conséquence de la ruine
conséquences peu importantes conséquences importantes
Tolérance de l’endommagement 1.00 1.15
Durée de vue sûre 1.15 1.35 Tableau 2-5 : Valeurs du coefficient yMf
La valeur 1.35 correspond à la situation la plus défavorable. La méthode de la durée de vie
sûre est recommandée à l’article 2.1.3.4(2) de l’EN 1993-2, AN.
Pour l’ELS :
Béton : c Armature : s Acier de charpente : serM , Goujon v
1.0 1.0 1.0 1.25 Tableau 2-6 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELS
2.2.3 Actions
2.2.3.1 Phasage
La construction du pont s’effectue en plusieurs étapes dans le temps :
le montage de la charpente métallique, non étudié ;
le bétonnage de la dalle en béton armé ;
l’installation des superstructures.
Les hypothèses retenues pour le phasage de construction ont une influence sur le calcul des
sollicitations. Elles influencent aussi l’âge moyen du béton qui est un paramètre dans le calcul
des déformations de retrait, et des coefficients d’équivalence des sections mixtes.
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Le bétonnage de la dalle s’effectue en plusieurs étapes dans le temps. L’ouvrage est
décomposé en nplot plots, ou segments de dalle, de longueur constante Lplot, coulés selon un
ordre donné.
Le coulage commence à l’instant t = 0 et s’effectue par phase d’une durée constante _t – sans
prendre en compte les week-ends et autres interruptions qui ont peu d’influence sur le résultat
final. L’article 6.6.5.2 (3) de l’EN 1994-2 n’impose que la résistance du béton mesurée sur
cylindre au bout du temps _t soit d’au moins 20 MPa.
Les dénivellations d’appui, pour diffuser les efforts au cours du bétonnage, ne sont pas
paramétrées.
Chaque phase correspond au coulage d’un seul plot, ce qui donne un total de nplot phases de
coulage. La phase j, pour j de 1 à nplot, débute ainsi à l’instant t = (j-1) _t et se termine à
l’instant t = j _t.
A chaque phase j, la structure est composée de :
1 plot de barres d’acier seul, chargées par le poids propre du béton humide ;
j-1 plots de barres mixtes, avec des bétons d’âge moyen différents ; on note t0j l’âge
moyen de l’ensemble des plots déjà durcis à l’instant t = j _t ;
n-j plots de barres d’acier seul non chargées par du béton.
Le poids propre des éléments de coffrage est également pris en compte par une charge
linéique uniformément répartie qcof :
appliquée vers le bas sur les barres d’acier seul du plot j en cours de coulage ;
appliquée vers le haut sur les barres mixtes du plot j-1 coulé à l’étape précédente.
Le principe du chargement par phases est expliqué sur le schéma suivant dans le cas d’un
coulage en 3 plots de dalle :
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Figure 2-6 : Application des chargements par phases successives
L’âge moyen des plots de béton t0j à la fin de la phase j est donné par la formule :
2
11
0
j
tj
tk
t
j
k
j
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L’âge moyen global du béton moyt ,0 est la moyenne des âges moyens au court du bétonnage. Il
permet d’évaluer une date moyenne pour l’application du poids propre du béton. Il est donné
par la formule :
4
31
0
,0
plot
plot
n
j
j
moy
nt
n
t
t
plot
Les superstructures sont mises en place après la fin du bétonnage en un temps supt .
A la date sup_ ttnt plot de mise en service, les âges du béton sont :
sup2
1t
ntt
plot
ser
l’âge moyen du béton,
supsup,0,4
3t
ntttt
plot
moymoyser
l’âge moyen global du béton
Les données d’entrée à fournir sont alors :
le nombre de plots et l’ordre du phasage ;
la durée d’une phase ;
le temps de mise en place des superstructures supt ;
la charge répartie de coffrage cofq .
2.2.3.2 Charges permanentes
2.2.3.2.1 Poids propre de la structure
La charpente en acier est constituée de la ou des poutres porteuses et des éléments
transversaux comme les raidisseurs ou les entretoises.
Le poids propre de la poutre principale est modélisé par une charge verticale linéique
constante sur un tronçon d’acier dont la valeur, notée //aq , est le produit de l’aire de la
section de la poutre par le poids volumique de l’acier a .
Le poids propre des éléments transversaux est modélisé par une charge verticale linéique
uniformément répartie dont la valeur, notée qa┴, correspond au poids des éléments
transversaux divisé par la longueur de l’ouvrage, ainsi que par des charges ponctuelles au
droit des appuis.
La seule donnée d’entrée supplémentaire nécessaire est la valeur de qa┴.
Le poids propre du hourdis est modélisé par une charge verticale linéique constante sur toute
la longueur de l’ouvrage. La valeur qb est le produit de l’aire de béton de la section de dalle
par le poids volumique du béton b .
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Données d’entrée :
- poids volumique de l’acier ;
- surcharge répartie d’acier ;
- surcharges ponctuelles d’acier au droit des appuis ;
- poids volumique béton OU charge béton mou totale à appliquer sur la poutre.
Données générées :
- aucune.
2.2.3.2.2 Superstructures
D’après l’EN1991-1-1, 5.2.3, il faut prendre en considération les valeurs caractéristiques
inférieure et supérieure du poids volumique.
Dans le cas des ponts, la valeur nominale de la couche d’étanchéité est pondérée par +/-20%
et la valeur nominale de la couche de roulement de +40% / -20%.
Élément Caractéristiques Pondération
max
Pondération
min
qnom qmax qmin
Étanchéité 3 cm 25 kN/m3 1.2 0.8
Enrobé 8 cm 25 kN/m3 1.4 0.8
Longrine de
BN4
0.1 m² 25 kN/m3 1 1
BN4 65 Kg/m 1 1
Corniche 25 Kg/m 1 1
Total - - - - - - Tableau 2-7 : Exemple d'éléments de superstructures à prendre en compte
L’action permanente due aux superstructures est modélisée par une charge verticale
uniformément répartie de valeur nominale nomq .
Si l’utilisateur devait entrer les valeurs de charge de chacun des éléments, il faudrait veiller à
insérer un tableau de superstructures propres aux ponts routes ou ferroviaires à compléter,
selon le choix du type de pont. Il faudrait ensuite réaliser une répartition transversale des
charges.
Cependant, pour éviter de faire cette répartition, l’utilisateur entre directement la valeur totale
de nomq qui s’applique sur la poutre la plus sollicitée.
Données d’entrée :
- nomq total.
2.2.3.3 Retrait
Il existe trois types de retrait :
- le retrait thermique ;
- le retrait endogène ;
- le retrait de dessiccation.
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Les retraits endogènes et de dessiccation se calculent ensemble :
- à court terme à la mise en service ;
- à long terme à l’infini.
2.2.3.3.1 Calcul du retrait au temps infini
Retrait endogène : 610)10(5.2)( ckca f
Retrait de dessiccation :
0,)( cdhcd k
Avec :
u
Ahoùhfk
RH
MPaf
f
f
b
h
RH
cm
RH
cm
cm
dsdscd
2
100155.1
10
10)exp()110220(85.0
00
3
0
6
0
210,
Le paramètre hk est déterminé par interpolation à partir des valeurs du tableau suivant
(EN 1992-1-1, tableau 3.3) :
Tableau 2-8 : Valeurs du paramètre kh
2.2.3.3.2 Calcul du retrait à court terme
Retrait endogène
En prenant t l’âge moyen du béton à l’instant considéré pour le calcul tcal, on a :
)()()( caasca tt
Avec
)2.0exp(1)( ttas
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Retrait de dessiccation
L’âge du béton st , correspondant à l’initiation du retrait de dessiccation, est pris égal à 1 jour.
Et en prenant t l’âge moyen du béton à l’instant considéré pour le calcul calt , on a :
0,),()( cdhsdscd kttt
Avec
3
004.0),(
htt
tttt
s
s
sds
Retrait thermique
D’après l’EN 1994-2, 7.4.1 (6) AN :
La différence de température à considérer peut alors être demandée à l’utilisateur ou calculée,
à l’aide de la modélisation par exemple pour simplifier les calculs.
Données d’entrée :
- Humidité : humidité relative (par défaut : 80%) ;
- la différence de température (calculée par défaut grâce à la géométrie de la dalle).
Données générées :
- les trois valeurs de retrait à court terme ;
- les retraits (endogène et de dessiccation) pour le long terme.
2.2.3.4 Fluage
Le phénomène de fluage s’applique pour les charges de longues durées d’application. Il
entraine une diminution de la section résistante du béton et donc une augmentation du
coefficient d’équivalence.
Les effets secondaires (ou hyperstatiques) du fluage sont négligés.
Il faut distinguer les coefficients d’équivalence pour les charges à court et à long terme d’une
part, et pour la flexion et la torsion d’autre part.
2.2.3.4.1 Charges à court terme
Il s’agit des actions variables comme les charges de trafic ou les actions thermiques. Le
coefficient d’équivalence pour la flexion est noté n0 et est évalué avec le module d’élasticité
sécant du béton :
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cm
a
E
En 0
Le coefficient d’équivalence pour la torsion est noté n0G et est évalué avec les modules
d’élasticité en cisaillement de l’acier et du béton :
c
a
GG
Gn 0
2.2.3.4.2 4.2 Charges à long terme
Les coefficients d’équivalence sont notés Ln pour la flexion, et LGn pour la torsion. Ils
dépendent du type de chargement considéré, par le coefficient L , et de l’instant de calcul
considéré calt , par le coefficient ),( 0tt :
)),(1(
)),(1(
00
00
ttnn
ttnn
LGLG
LL
Le coefficient L prend uniquement deux valeurs :
Type de chargement Charge permanente Retrait du béton
L 1.10 0.55
Tableau 2-9 : Valeurs du coefficient L
Où :
0t : âge moyen du béton lorsque le cas de charge considéré est appliqué à la structure,
t : âge moyen du béton à l’instant calt .
Les charges permanentes correspondent au bétonnage et aux superstructures.
Pour le cas de charge de bétonnage, le béton a un âge moyen t0j différent à la fin de chaque
phase j. Il est possible d’associer à ce cas élémentaire un coefficient d’équivalence nLj et il
faut alors considérer autant de coefficients d’équivalence qu’il y a de plots moins un, le
premier plot agissant uniquement sur la charpente.
Lorsque l’on étudie l’ouvrage en phase d’exploitation, l’article 5.4.2.2(3) de l’EN 1994-2
permet d’utiliser de manière simplifiée un âge moyen global pour l’ensemble des plots de la
dalle. Les propriétés mécaniques de l’ensemble des barres mixtes pour le bétonnage sont ainsi
calculées avec un unique coefficient d’équivalence pour la flexion ou la torsion. Cet âge
global est calculé grâce aux données de phasage de construction (cf. phasage).
Comme l’EN 1994-2 ne donne pas d’information sur la manière de calculer l’âge moyen à
utiliser, il est aussi possible, en simplifiant à l’extrême, d’utiliser le temps de bétonnage divisé
par deux.
Pour le retrait, l’âge t0 est pris égal à 1 jour, comme pour le calcul de la déformation de retrait,
conformément à EN 1994-2, 5.4.2.2 (4).
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Le coefficient ),( 0tt prend alors uniquement trois valeurs pour un instant de calcul
calt considéré. La fonction de fluage ),( 0tt est définie par : 3.0
0
0
00 ),(
tt
tttt
H
Avec :
u
Ah
fffOù
hRH
h
RH
MPaf
hRH
h
RH
MPaf
tf
b
cmcmcm
H
RH
ck
H
RHck
cm
RH
2,
35,
35,
35
1500250012.015.1
1.0
1001
135
1500250012.015.1
1.0
1001
135
1.0
18.16
0
5.0
3
2.0
2
7.0
1
330
18
213
0
0
18
30
2.0
0
0
Finalement, le programme laissera le choix à l’utilisateur entre :
le calcul automatique des coefficients d’équivalence en fonction du phasage et de la
fonction de fluage,
la détermination directe des coefficients comme données d’entrée.
Pour le calcul des coefficients d’équivalence, il faut faire attention aux unités utilisées dans la
formule : 0h est en mm, RH entre 0 et 100 (%), cmf en MPa et 0t en jours.
Données entrées :
- choix : calcul des coefficients ou non ;
- si le calcul n’est pas choisi : la valeur des coefficients.
Données générées :
- valeur de Ln .
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2.2.3.5 Actions dues au trafic
Les ouvrages traités supportent soit un trafic routier, soit un trafic ferroviaire. L’utilisateur de
la chaîne doit choisir entre les deux types de trafic et les données d’entrée requises sont
modifiées en correspondance. Le document de référence est l’EN 1991-2.
2.2.3.5.1 Lignes d’influences transversales
Les charges de trafic ne sont pas nécessairement centrées sur la section. Il est donc nécessaire
de prendre en compte l’effet de l’excentrement des charges. La méthode proposée consiste à
utiliser des lignes d’influences transversales, reposant sur des hypothèses classiques sur le
comportement en torsion des sections ouvertes (bipoutre) ou fermées (caisson).
La rigidité en torsion uniforme d’une section d’un bipoutre est relativement faible. Il apparaît
qu’une charge appliquée au droit d’une poutre, dans le plan de son âme, engendre des
contraintes normales dans la poutre légèrement inférieures aux contraintes générées par la
flexion de la poutre seule sous la même charge. Une charge excentrée est ainsi supposée
générer uniquement de la flexion simple dans chacune des poutres.
La répartition transversale des charges entre les deux poutres porteuses est alors prise
isostatique ce qui est sécuritaire si l’on considère la poutre la plus sollicitée. La ligne
d’influence transversale est rectiligne, voir schéma ci-dessous :
Figure 2-7: Ligne d'influence transversale
2.2.3.5.2 Actions du trafic routier
Voies conventionnelles
La largeur du tablier est b, la largeur de chaussée utile est w et l’entraxe des poutres
principales (mesurée entre les plans des âmes) est d. La coupe transversale est symétrique par
rapport à un axe vertical, voir schéma ci-dessous :
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Figure 2-8 : Tablier et chaussée utile
Le nombre et la largeur des voies pour le calcul sont donnés en fonction de la largeur utile de
chaussée w dans le tableau suivant :
Tableau 2-10: Nombre et largeur des voies conventionnelles
Les nl voies sont numérotés de 1 à nl en partant, dans l’ordre, depuis la voie de plus grande
influence.
Positionnement transversal des voies
Les charges routières sont positionnées transversalement sur le tablier de façon à obtenir
l’effet le plus défavorable sur la poutre étudiée, qu’il s’agisse du moment de flexion ou du
moment de torsion.
Charges verticales
Les effets du chargement vertical sont représentés au moyen de modèles de chargement. La
chaîne de calcul prend de manière automatique uniquement le modèle de charge 1, noté LM1.
Le modèle LM1 comprend deux systèmes partiels, le système tandem TS et le système UDL.
Le tandem TS consiste en des charges concentrées à double essieu, avec pour chaque essieu
un poids αQQk, réparti également sur deux roues identiques. On considère au plus un tandem
par voie conventionnelle et uniquement des tandems complets. Les tandems sont centrés sur
les voies conventionnelles. La géométrie du tandem TS est illustrée sur le schéma suivant :
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Figure 2-9: Géométrie du tandem TS
Le système UDL consiste en des charges uniformément réparties, avec un poids au mètre
carré de voie conventionnelle αqqk. Les charges sont réparties uniquement sur les parties
défavorables de la surface d’influence, longitudinalement et aussi transversalement. La partie
de chaussée au-delà de la seconde poutre ne doit donc pas être chargée (partie négative de la
ligne d’influence sur le schéma). Une voie conventionnelle peut être partiellement chargée par
le système UDL dans le sens transversal.
Les coefficients αQ et αq appelés coefficients d’ajustement de la classe de trafic dépendent
de la voie considérée.
Les valeurs caractéristiques des charges Qk et qk dépendent du numéro de voie et incluent
directement la majoration dynamique. Elles sont données dans le tableau suivant :
Tableau 2-11: Valeurs caractéristiques des charges du modèle LM1
L’évaluation de l’endommagement de l’ouvrage à la fatigue nécessite de connaître des
données sur le trafic prévu dans le projet :
le nombre de voies lentes nvl ;
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la classe de trafic, 1 ou 2, permettant de définir les coefficients d’ajustement selon le
tableau suivant (voir Actions routières pour précisions) tiré de l’EN 1991-2, AN clause
4.3.2(3) :
Classe de trafic 1Q )2( iQi 1q )2( iqi qr
1ère
classe 1.0 1.0 1.0 1.2 1.2
2ème
classe 0.9 0.8 0.7 1.0 1.0 Tableau 2-12 : Coefficients d'ajustement
la catégorie de trafic, à laquelle est associé le nombre indicatif de véhicules lourds
prévus par an et par voie lente obsN , voir tableau ci-dessous :
Catégories de trafic obsN
Routes et autoroutes à 2 voies ou plus dans chaque sens avec
un trafic de camions élevé 610.2
Routes et autoroutes avec un trafic de camions moyen 510.5
Routes principales avec un faible trafic de camion 510.25.1
Routes locales avec un faible trafic de camions 410.5 Tableau 2-13 : Catégories de trafic
le type de trafic, auquel est associé l’indicateur de volumeQ , voir tableau ci-dessous :
Type de trafic Q
Longue distance 1
Moyenne distance 0.94
Trafic local 0.82 Tableau 2-14 : Indicateur de volume
la rugosité de la surface de roulement, à laquelle est associé le coefficient d’effet
dynamique fat , voir tableau ci-dessous :
Rugosité du revêtement fat
Surfaces de bonne rugosité 1.2
Surfaces de rugosité moyenne 1.4 Tableau 2-15 : Coefficient d'effet dynamique
Toutes ces données sont à entrer par l’utilisateur.
2.2.3.5.3 Actions du trafic ferroviaire
Positionnement transversal des voies
Les positions des voies de calcul correspondent aux positions des voies réelles. On considère
par défaut que la ou les voies sont symétriques par rapport à l’axe vertical de la section.
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Charges verticales
Les effets statiques du chargement vertical dû à un trafic ferroviaire sont représentés au
moyen de modèles de chargement.
La chaîne de calcul doit permettre d’utiliser les 3 modèles suivants :
a. Modèle de charge LM71 :
La disposition et les valeurs caractéristiques des charges verticales sont représentées sur la
figure suivante :
Figure 2-10: Charges du modèle LM71
b. Modèles de charge SW/0 et SW/2 :
La disposition et les valeurs caractéristiques des charges verticales sont représentées sur la
figure et le tableau suivants :
Figure 2-11 : Charges du modèle SW/0 et SW/2
Tableau 2-16: Valeurs caractéristiques des charges des modèles SW/0 et SW/2
Les valeurs caractéristiques des charges verticales des modèles LM71 et SW/0 uniquement
sont multipliées par le coefficient α, (Cf. données de trafic). Les charges sont alors appelées
charges verticales classifiées.
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Pour les modèles de charge LM71 et SW/0 uniquement, l’effet du déplacement latéral des
charges verticales est pris en compte en limitant l’excentricité e des charges verticales à, voir
schéma ci-dessous :
Figure 2-12: Effet du déplacement latéral des charges verticales pour les modèles LM71 et SW/0
La distance transversale entre les roues r est prise par défaut égale à 1.500 m, ce qui donne
une excentricité maximale :
mmr
e 4.8318
1500
18
Il est à noter que l’excentricité n’est pas prise en compte pour la fatigue.
Effets dynamiques
Lorsque les trains circulant sur l’ouvrage ont une vitesse maximale de circulation V ≤ 200
km/h, une analyse dynamique n’est pas requise. Dans ce cas, les effets dynamiques sont pris
en compte en majorant les effets statiques verticaux des modèles de charge LM71 et SW/0
uniquement, par un coefficient dynamique ϕ. Il est égal à ϕ2 ou ϕ3, selon le choix de
l’utilisateur, voir données de trafic, qui sont définis par :
83.02.0
44.12
L
avec 67.100.1 2
73.02.0
16.23
L
avec 00.200.1 3
Où L est la longueur déterminante donnée par :
travée
ouvrage
n
LkL avec 5.1;1.01min travéenk
Charges horizontales
Les forces horizontales susceptibles de générer de la flexion longitudinale ou de la torsion
sont les forces centrifuges et les efforts de lacet.
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Les forces de lacets ne sont pas présentées dans ce document, voir EN 1991-2, 6.5.2.
Les forces centrifuges agissent horizontalement, vers l’extérieur de la courbure, à une hauteur
ht = 1.80 m au dessus du plan de roulement, défini par le dessus des rails. Elles
n’interviennent que dans le cas d’un pont courbe.
Application des charges de trafic
Les effets des actions sont déterminés en plaçant les convois dans les positions les plus
défavorables. Les actions de trafic dont l’effet est favorable sont négligées (même pour les
forces centrifuges).
La détermination des effets les plus défavorables dépend du modèle de charge.
a. Modèles LM71 et SW/0 :
pour les structures possédant 2 voies, le modèle de charge LM71 ou SW/0 est appliqué
aux 2 voies ;
pour les structures possédant 3 voies ou plus, le modèle de charge LM71 ou SW/0 doit
être appliqué tour à tour à chacune des voies ou à chaque groupe possible de 2 voies
ou bien 0.75 LM71 (ou 0.75 SW/0) doit être appliqué à 3 voies ou plus ; dans la
pratique, la situation la plus défavorable est un des deux cas suivants (voir schéma ci-
dessous) :
o LM71 ou SW/0 sur les 2 voies situées du côté de la poutre étudiée ;
o 0.75 LM71 ou 0.75 SW/0 sur toutes les voies ayant une influence transversale
positive.
Figure 2-13 : Détermination des modèles de charges défavorables pour le LM71 et SW/0
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b. Modèle SW/2 :
Pour les structures supportant plus d’une voie, le modèle SW/2 doit être appliqué tour à tour à
chacune des voies, le modèle LM71 ou SW/0 étant appliqué aux autres voies conformément
aux explications précédentes ; les combinaisons étant trop nombreuses, la chaîne calcule
uniquement les effets du passage d’un convoi SW/2 au dessus du plan de l’âme de la poutre
étudiée.
Les groupes de charges, permettant de traiter la simultanéité des systèmes de chargement, ne
sont pas pris en compte par défaut dans la chaîne de calcul.
Méthode de calcul des effets
La méthode pour calculer les effets des actions du trafic ferroviaire est la suivante :
Pour chaque modèle de charge (LM71, SW/0 ou SW/2), on applique un convoi sans
prendre en compte les éventuels coefficients :
o En flexion simple ;
o En torsion simple en considérant que la charge est appliquée à 1 m, dans le cas
d’un caisson.
Les effets des charges de trafic sur la structure sont alors obtenus en multipliant les
efforts précédents par un coefficient pondérateur global rendant compte des effets
suivants :
o nombre et influences des voies ;
o excentricité e ;
o coefficient de charges classifiées α ;
o coefficient dynamique ϕ ;
o éventuellement les forces centrifuges.
NOTE : L’excentricité maximale e est appliquée à toutes les voies chargées vers le même côté
du tablier, voir schéma ci-dessous :
Figure 2-14 : Application de l'excentricité e
Les données d’entrée relatives au trafic ferroviaire nécessaires pour le calcul sont donc :
le nombre de voies et leur sens de circulation ;
la position des voies par rapport à l’axe de symétrie vertical de l’ouvrage ;
le coefficient α pour déterminer les charges verticales classifiées, à choisir parmi les
valeurs suivantes : 0.75 – 0.83 – 0.91 – 1.00 – 1.10 – 1.21 – 1.33 – 1.46
le choix de coefficient dynamique ϕ valant ϕ2 si la voie est soigneusement entretenue
et ϕ3 si la voie est normalement entretenue ;
le type de trafic, normal ou lignes de métro ;
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le trafic annuel en tonnes/voie.
Données générées
- Charge de trafic à appliquer sur la poutre étudiée.
2.2.3.6 Chargement de fatigue
Les sollicitations sont comme précédemment calculées à partir d’une analyse globale
élastique prenant en compte les zones fissurées sur appuis intermédiaires et le phasage de
construction. Le chargement de fatigue étant une charge variable, le coefficient d’équivalence
à considérer est 0n .
Le modèle de chargement de fatigue dépend du type de pont.
2.2.3.6.1 Ponts routiers
La variation de contrainte au niveau de l’élément à justifier est calculée sous le passage
unique sur le pont d’un véhicule calibré. L’article 6.8.4(4) de l’EN 1994-2 propose d’utiliser
le modèle 3 de charge de fatigue défini à la section 4.6 de l’EN 1991-2, que l’on note dans la
suite FLM3.
Il s’agit d’un modèle à véhicule unique consistant en 4 essieux de 2 roues identiques, circulant
centré dans les voies lentes. La charge est de 120 kN/essieu et la surface de contact de chaque
roue est un carré de 0.40m de côté. La géométrie du véhicule est donnée ci-dessous :
Figure 2-15: Convoi de fatigue du modèle FLM3
Le nombre et les positions des voies lentes vln sont donnés dans la partie trafic, voir § 2.2.3.5.
Pour les armatures, les charges d’essieu du modèle LM3 doivent être multipliées par les
coefficients suivants :
1.75 pour une vérification au droit des appuis intermédiaires (15% des portées
adjacentes) ;
1.40 pour une vérification dans les autres zones.
2.2.3.6.2 Ponts ferroviaires
La variation de contrainte au niveau de l’élément à justifier est calculée sous le passage
unique sur le pont d’un véhicule calibré. L’article 6.8.4(6) de l’EN 1994-2 propose d’utiliser
les valeurs caractéristiques du modèle de chargement 71 défini à la section 6.3.2 de l’EN
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1991-2, que l’on note dans la suite FLM71. Les valeurs caractéristiques sont multipliées par le
coefficient de charge classifié α.
Le modèle de chargement 71 est illustré dans la partie trafic, voir § 2.2.3.5.3.
Dans la partie traitant du post-processeur, on note d’une manière générale FLM pour le
convoi de fatigue.
2.2.3.7 Gradient thermique
Le gradient thermique est une action variable à court terme. Il agit donc sur la section mixte
homogénéisée court terme, uniquement en flexion, de coefficient d’équivalence n0. Il est
défini dans l’EN 1991-1-5.
D’après l’EN 1991-1-5, 6.1.2, le gradient thermique sur les ponts mixtes se décompose en 2
composantes :
une composante de variation de température uniforme ;
un gradient thermique non linéaire.
La composante de température uniforme provoque une variation de longueur du tablier. Dans
notre cas, nous avons pris l’hypothèse d’un tablier libre sur appuis, cette variation de longueur
n’engendre donc pas de contraintes supplémentaires. Il n’est donc pas utile de la calculer.
Les Eurocodes proposent plusieurs méthodes pour calculer le gradient non linéaire. Le
document d’application national impose l’utilisation de la procédure simplifiée de la méthode
2 (cf. EN 1991-1-5, 6.1.4.2 AN).
On applique une variation de 10°C dans la dalle béton sur toute sa hauteur par rapport à
l’acier de charpente, voir schéma ci-dessous :
Figure 2-16 : Application du gradient thermique
Le gradient positif est noté ΔTM,heat et le gradient négatif ΔTM,cool.
Le gradient thermique s’apparente à un retrait d’un point de vue des déformations puisqu’il
s’agit d’une situation dans laquelle le béton se déforme sur toute sa hauteur d’une valeur : 41010 CbgradTh
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2.2.3.8 Combinaisons d’actions à prendre en compte
La spécificité des ouvrages mixtes réside dans la prise en compte du retrait dans les
combinaisons. Pour les combinaisons ELU et ELS, le retrait est pris en compte avec un
coefficient pondérateur de 1 et il n’est pas pris en compte si son effet est favorable.
Les effets du retrait se décomposent en effets primaires (ou isostatiques) et effets secondaires
(ou hyperstatiques). Les contraintes dues au retrait primaire sont ajoutées directement lors du
calcul des contraintes totales si le retrait est pris en compte.
La norme Eurocode de référence pour la détermination des combinaisons est l’EN 1990 et son
Annexe Nationale normative A2 « Application aux ponts ». Les combinaisons à appliquer
sont les suivantes :
2.2.3.8.1 Notations
inf,sup, kk GetG : Sollicitations sous charges permanentes tenant compte du phasage
(respectivement défavorable et favorable) ;
S : Enveloppe des sollicitations dues à l’action du retrait du béton ;
kT : Enveloppe des sollicitations dues aux effets thermiques ;
kk TSetUDL : Enveloppe des sollicitations dues aux charges du LM1.
2.2.3.8.2 Combinaisons ELS
Conformément au paragraphe A2.4.1 de l’Annexe A2 de l’EN1990, il convient de prendre en
compte les combinaisons suivantes :
- Combinaisons à l’ELS caractéristique :
kkkkk TTSUDLSGOUG 6.0)1/0(inf,sup,
kkkkk TTSUDLSGOUG 75.04.0)1/0(inf,sup,
- Combinaisons à l’ELS fréquent :
kkkkk TTSUDLSGOUG 5.075.04.0)1/0(inf,sup,
kkk TSGOUG 6.0)1/0(inf,sup,
- Combinaison à l’ELS quasi permanent :
kkk TSGOUG 5.0)1/0(inf,sup,
2.2.3.8.3 Combinaisons ELU
En situation de projet durable, les combinaisons fondamentales ELU à considérer sont :
kkkkk TTSUDLSGOUG 6.05.135.1)1/0(0.135.1 inf,sup,
kkkkk TTSUDLSGOUG 5.175.04.035.1)1/0(0.135.1 inf,sup,
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2.2.3.8.4 Combinaison de fatigue
Les sollicitations sont déterminées à partir d’une combinaison de base des charges non
cycliques, donnée à l’article 6.8.3 de l’EN 1992-1-1 :
kkk TSGOUGBASE 1,1inf,sup, )1/0(
Où :
kT représente les effets du gradient thermique non linéaire ;
6.01,1 d’après l’EN 1990.
La combinaison de base non cyclique n’est pas utilisée comme une enveloppe. On considère
les deux enveloppes de moment de flexion comme un état de sollicitation donné dans le
tablier. À chacun des deux états de base est ajoutée l’enveloppe des moments de flexion du
convoi de fatigue.
On aura donc les deux combinaisons finales :
FLMBASE min
FLMBASE max
2.3 Prise en compte de la fissuration du béton et du traînage de cisaillement
L’analyse globale ou structurale est l’analyse de l’ouvrage dans son ensemble pour la
détermination des sollicitations et des contraintes dans toutes les sections.
Cette analyse doit tenir compte de la fissuration du béton, de son retrait, de son fluage et du
phasage de construction.
2.3.1 Fissuration du béton
Les effets de la fissuration du béton sont développés dans l’EN1994-2, 5.4.2.3. La prise en
compte de la fissuration du béton se fait en deux temps. Une première analyse globale est
réalisée avec du béton non fissuré. Aux ELS, sous combinaison caractéristique :
1 1
,,01,, """"""j j
ikikjk QQPG (Cf. 2.2.3.8.2 ci-dessus)
Les contraintes sont alors calculées comme expliqué en 1.Annexe 6. Dans les sections dont la
contrainte longitudinale de la fibre supérieure de la dalle dépasse 2fctm, le béton est considéré
comme fissuré pour la deuxième analyse globale.
Lors de cette deuxième analyse « fissurée », la section considérée dans les zones fissurées se
réduit aux armatures passives du béton et à la charpente en acier.
L’analyse fissurée peut être appliquée directement en considérant des zones fissurées de
longueurs égales à 15% des portées de part et d’autre des appuis intermédiaires dans le cas
où :
- il n’y a aucune dénivellation d’appuis
- le rapport entre deux travées adjacentes est toujours > 0.6
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Il serait intéressant de tester les deux méthodes, mais la détermination des zones fissurées par
itération reste la plus précise. Jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de nouvelle section à considérer
comme fissurée, on continue les analyses et les calculs de contraintes successifs.
Une fois la détermination effectuée, dans ces zones :
le poids propre du béton est tout de même pris en compte dans ces zones ;
les déformations dues à l’effort normal de retrait, ou du gradient thermique non
linéaire, dans la dalle béton ne sont plus introduites dans les zones fissurées de
l’analyse globale. Les effets isostatiques dus au retrait sont alors négligés dans le
calcul des effets hyperstatiques (EN 1994-2, 5.4.2.2 (8)) ;
dans les zones fissurées de l’analyse globale, l’épaisseur de dalle béton à considérer
dans le calcul de la rigidité de torsion de Saint-Venant est réduite de moitié, dans le
cas du caisson.
2.3.2 Traînage de cisaillement
2.3.2.1 Traînage de cisaillement dans la dalle en béton
Le traînage de cisaillement dans la dalle est pris en compte par la réduction de la largeur réelle
de la dalle à une largeur participante ou efficace.
On note b0 l’entraxe entre les files extérieures de connecteurs, b1 et b2 les largeurs
géométriques réelles de la dalle en béton associée modélisée (à ne pas confondre avec les
largeurs de la dalle équivalente), voir schéma ci-dessous.
Figure 2-17 : Notations utilisées pour le calcul de la largeur efficace de la dalle
La largeur efficace de la demi-dalle en béton est donnée par la formule :
22110 eeeff bbbb
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Elle dépend de la position de la section sur l’ouvrage, voir schéma ci-dessous :
Figure 2-18 : Détermination des portées équivalentes
Calcul des portées équivalentes Le
Pour les travées d’extrémités : Lei = 0.85 * Li
Pour les travées intermédiaires : Lei = 0.70*Li
Au droit des appuis intermédiaires : Lei = 0.25*(Li-1+Li)
Calcul des coefficients bêta pour les sections sur culées
Pour les sections hors culées : β = 1
1;025.055.0min
1
1
e
e
b
L et
1;025.055.0min
2
2
e
e
b
L
Calcul de be1 et be2
11 ;
8min b
Lb e
e et
22 ;
8min b
Lb e
e
D’après l’EN1994 5.4.1.2, il est possible de déterminer les largeurs efficaces de manière
simplifiée. C'est-à-dire qu’on utilise une largeur participante constante par travée et égale à la
largeur participante au centre de chaque travée. Cela évite d’avoir à calculer les coefficients β
et permet d’avoir moins de nœuds à créer pour la modélisation. Cette méthode est utilisée par
la chaîne de calcul.
Lors de la réduction de largeur, il faut vérifier que la largeur participante du rectangle
supérieure est toujours supérieure à la largeur du rectangle inférieur qui modélise la dalle.
Dans le cas contraire, il faut aussi réduire la largeur du rectangle inférieur.
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Soit bsup et binf les largeurs réelles des deux rectangles qui modélisent la dalle. Une fois qu’on connait la largeur équivalente beff,sup il faut vérifier : SI (binf > beff,sup) ALORS beff,inf = beff,sup SINON beff,inf = binf
2.3.2.2 Traînage de cisaillement dans l’acier
D’après l’EN 1993-1-1, 5.2.1 (5), pour le calcul des sollicitations, on doit considérer l’effet du
traînage de cisaillement dans l’acier. Cependant, cet effet peut être négligé dans le cas de
profilé laminé ou de PRS.
Dans le cas du bipoutre, cet effet n’est donc pas considéré. Cependant, dans le cas des
caissons, il faudra en tenir compte conformément à l’EN 1993-1-5, 2.2.
2.4 Modélisation du tablier
Le tablier est modélisé par une file continue de barres 3D placées au niveau des fibres neutres
des sections modélisées par rapport à une ligne de référence fixe qui est par défaut le dessus
de la semelle supérieure.
Les propriétés mécaniques des sections sont calculées par rapport aux modules de l’acier au
moyen de coefficient d’équivalence. À chaque cas de charge correspond des sections
résistantes et, par conséquent, une famille de barres.
2.4.1 Création des nœuds
En reprenant les sous-parties précédentes, il est nécessaire de générer des nœuds :
aux appuis (piles et culées) ;
aux quarts et trois-quarts des travées (largeurs participantes) ;
aux extrémités des zones fissurées (analyse fissurée) ;
aux points de variations de la répartition d’acier ;
aux niveaux des raidisseurs transversaux ;
aux niveaux des plots de béton ;
aux niveaux de sections d’études particulières (propre au projet).
Le programme génère la liste complète des abscisses des nœuds, en prenant garde de détruire
les éventuels doublons.
2.4.2 Création des barres
Entre chacun de ces nœuds sont générées 5 familles de barres pour l’étude de la flexion,
associées à des sections mixtes homogénéisées :
barres 1000 : acier seul ;
barres 2000 : mixtes pour le bétonnage ;
barres 3000 : mixtes pour le retrait;
barres 4000 : mixtes pour les superstructures;
barres 5000 : mixtes court terme.
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Pour chaque famille de barres, les propriétés mécaniques des sections, situées au début et à la
fin des barres, sont calculées :
soit en prenant l’acier seul pour les barres 1000 ;
soit en prenant l’acier et le béton (sans les armatures) pondéré par le coefficient
d’équivalence acier/béton n de la famille, pour les sections mixtes dont l’état fissuré
est « non » ;
soit en prenant l’acier et les armatures pour les sections mixtes dont l’état fissuré est «
oui ».
2.4.3 Calcul des caractéristiques mécaniques des barres
Il s’agit de calculer l’aire, l’axe neutre élastique, le moment d’inertie de flexion et le moment
d’inertie de torsion de chaque barre.
2.4.3.1 Barres acier seul
Les caractéristiques des barres d’acier seul sont celles de la section d’acier.
2.4.3.2 Barres mixtes non fissurées
On note zi, Ai et Ii respectivement la position de l’axe neutre (par rapport au dessous de la
semelle inférieure), l’aire et le moment d’inertie de la section avec :
i = a pour l’acier
i = b pour le béton
i = m pour la section mixte
Les caractéristiques mécaniques de la dalle correspondent :
à un demi-hourdis pour le bipoutre ;
au hourdis entier pour le caisson.
On considère les coefficients d’équivalence n en flexion et nG en torsion.
Les formules sont valables pour les sections brutes ou efficaces.
L’aire de la section mixte est :
n
AAnA b
am )(
La position de l’axe neutre est :
)(
)(
)(nA
n
AhzAz
nzm
b
baa
m
Où zb est la distance du centre de gravité de la dalle en béton par rapport au dessus de la
semelle supérieure de la charpente.
Le moment d’inertie de flexion est :
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n
Azhz
n
IzzAInI b
mb
b
maaam 22 )()()(
La rigidité de torsion d’un caisson est supposée être gouvernée par la torsion uniforme.
Cependant, le cas du caisson n’est pas étudié ici.
2.4.3.3 Barres mixtes fissurées
On note A2, z2, I2 et IT,2 les propriétés de la section fissurée.
L’aire de la section fissurée est :
sa AAnA )(2
La position de l’axe neutre de la section fissurée est :
)(
)()()(
2
2nA
AvhAvhAznz tsursstslrsiaa
La position de l’axe neutre de la section fissurée est :
2
2
2
2
2
22 )()()()( zvhAzvhAzzAInI sstsursitslraaa
2.5 Modélisation des chargements
2.5.1 Organisation des calculs
Il s’agit d’effectuer deux calculs en parallèle :
- à court terme (mise en service)
- à long terme (infini ou 100 ans)
Dans le calcul à court terme, les sollicitations provoquées par les chargements dans les
sections mixtes seront calculées en prenant en compte le coefficient d’équivalence à court
terme 0n . Par contre, dans le calcul à long terme, les sollicitations dans les sections mixtes
doivent être calculées en prenant en compte le coefficient d’équivalence à long terme
correspondant au type de chargement appliqué (bétonnage, retrait, superstructure) tandis que
les chargements variables restent appliqués pour 0n .
Une fois les deux calculs effectués, il faut déterminer les cas de sollicitations les plus
défavorables en prenant les deux calculs en compte.
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Figure 2-19 : Organigramme de l'analyse globale (Guide du Sétra)
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2.5.2 Charges permanentes à long terme
2.5.2.1 Poids propre de la charpente
Ce chargement s’applique sur les barres 1000, l’acier seul. Le poids propre de l’acier est
calculé automatique par le logiciel.
Il faut cependant ajouter la surcharge répartie d’acier dû aux montant et raidisseurs, ainsi que
des forces ponctuelles au droit des appuis. Cette surcharge a été entrée directement par
l’utilisateur. De même pour les surcharges ponctuelles au droit des appuis.
2.5.2.2 Poids propre du béton mou et décoffrage
Ce chargement est appliqué par plot (cf. phasage).
Le poids propre du béton mou ainsi qu’une surcharge dû au coffrage est appliqué sur les
barres 1000, l’acier seul, tandis qu’une surcharge négative est appliquée sur les barres 2000
(mixte pendant le bétonnage) bétonnées lors de la phase précédente.
2.5.2.3 Retrait
Les valeurs de déformations dues au retrait à long terme (calculées précédemment)
s’appliquent sur les barres 3000 (mixte pendant le retrait) sauf sur les barres dont le béton est
considéré comme fissuré.
2.5.2.4 Charges de superstructures
Les charges de superstructure s’applique sur les barres 4000 (mixte pour les superstructures)
2.5.3 Charges permanentes à court terme
2.5.3.1 Poids propre de la charpente
Les charges permanentes d’acier s’appliquent de la même façon qu’en long terme : cf.
§2.5.2.1 ci-dessus.
2.5.3.2 Poids propre du béton mou
Comme pour 2.4.2.2, ce chargement est appliqué par plot. Cependant, la surcharge négative
due au décoffrage est appliquée sur les barres 5000 (n0).
2.5.3.3 Retrait
Les valeurs de déformations dues au retrait à court terme s’appliquent plot par plot comme le
poids du béton mou mais sur les barres mixtes 5000, de la même manière que les charges de
béton mou.
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2.5.3.4 Charges de superstructures
Les charges de superstructure s’appliquent sur les barres 5000.
2.5.4 Chargements dus aux actions variables
Ces chargements regroupent :
le chargement du au trafic
le chargement de fatigue
le gradient thermique
Ces chargements s’appliquent successivement sur les barres mixtes 5000.
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3 Préprocesseur – Particularités des ponts caissons
3.1 Géométrie
3.1.1 Charpente métallique
La charpente du caisson peut avoir deux géométries différentes :
caisson métallique fermé ;
caisson métallique non fermé.
Une section complète d’un caisson métallique est composée :
d’une ou deux semelles supérieures selon la géométrie choisie ;
de deux âmes, éventuellement inclinées par rapport à la verticale ;
d’une semelle inférieure, dont la partie interne entre les âmes est appelée tôle de fond.
Figure 3-1 : Notations utilisées pour les ponts caissons
La section transversale d’un caisson dépend donc des 8 paramètres géométriques suivants :
la largeur de la semelle inférieure : bfb
la largeur de la tôle de fond de caisson : pb
l’épaisseur de la semelle inférieure : bft
la hauteur « verticale » de l’âme : weqh
l’épaisseur de l’âme : wt
l’angle de l’âme par rapport à la verticale : w
la largeur de la semelle supérieure : tfb
l’épaisseur de la semelle supérieure : tft
On note la hauteur totale de la charpente : bfweqtf hhhh
tfb
tb
pb
bfb
weqh
w
tft
bft
wt
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3.1.2 Raidisseurs
Des raidisseurs longitudinaux peuvent être ajoutés sur les âmes et la tôle de fond de caisson.
Sur les âmes, comme dans le cas du bipoutre, seuls des raidisseurs plats et en Té sont prévus.
Leur position peut être entrée directement par l’utilisateur mais ils seront uniformément
répartis par défaut. Ces raidisseurs ne sont pas non plus pris en compte pour le calcul des
sollicitations.
Sur la tôle de fond de caisson, trois types de raidisseurs sont prévus :
raidisseurs plats (Cf. Bipoutre)
raidisseurs en Té (Cf. Bipoutre)
augets
Les données d’entrée nécessaires pour caractériser un auget sont :
Ces raidisseurs seront uniformément répartis sur la tôle de fond de caisson entre les âmes.
Figure 3-2 : Positionnement de raidisseurs plat ou en Té sur la tôle de fond de caisson
Figure 3-3 : Positionnement des raidisseurs en auget sur la tôle de fond de caisson
e e e e
e e e
3stb
1stb
2stb
stt
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3.1.3 Dalle béton
Les ponts caissons sont modélisés par une unique poutre. Contrairement au cas des bipoutres,
le hourdis en béton est complètement pris en compte.
Dans le cas des caissons acier ouverts, chaque demi-hourdis est modélisé de la même manière
que le demi-hourdis pris en compte pour modéliser le bipoutre.
Figure 3-4 : Modélisation de la dalle béton pour un caisson acier ouvert
Par contre, dans le cas des caissons acier fermés, le hourdis complet est modélisé par deux
rectangles sur le même principe que précédemment.
Figure 3-5 : Modélisation de la dalle béton pour un caisson acier fermé
3.1.4 Appuis
Les appuis sont modélisés de la même manière que pour les ponts bipoutres.
3.2 Traînage de cisaillement
Dans le cas des caissons, il faut tenir compte du traînage de cisaillement dans les semelles
conformément à l’EN 1993-1-5, 2.2.
Soit 0b égal à :
la demi-largeur de la semelle inférieure,
la demi-largeur de la semelle supérieure pour un caisson fermé,
la largeur de la partie en console des semelles supérieures pour un caisson ouvert.
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La largeur efficace prenant en compte le traînage de cisaillement se calcule ainsi :
)8
;min( 0Lbbeff
Avec L égal à, selon la position de la section :
la longueur de la travée
ou deux fois la longueur de la console
3.3 Calcul des caractéristiques – Prise en compte de la torsion
Un des intérêts des caissons est leur plus grande résistance à la torsion, il est donc nécessaire
de prendre celle-ci en compte. Pour cela, il faut calculer l’inertie de torsion pour chaque barre
générée dans le modèle numérique.
L’inertie de torsion Ix est calculée à partir d’une formule simplifiée (Cf. Annexe 3) :
el
AI x
24
Avec :
A : l’aire de la section fermée (ayant pour limite le milieu de chaque élément du
contour)
l : la longueur de chacun des éléments du contour
e : l’épaisseur de chacun des éléments du contour
Pour prendre en compte la dalle, il faut ramener l’étude au calcul de l’inertie d’une section
homogène. Pour cela, il est nécessaire de réduire l’épaisseur de la dalle à une épaisseur fictive
d’acier :
G
dalle
n
ee *
Avec : )1(0 tLGG nn qui dépend du phasage
et 2.1
3.1
1
1000
nn
G
Gn
beton
acier
acier
betonG
Soit : 2.1
3.1 nnG
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4 Préprocesseur – Particularités des ponts caissons courbes
4.1 Géométrie
Dans le cas de pont caisson courbe, les particularités s’appliquant aux ponts caissons décrites
dans le chapitre précédent (Chap.3) s’appliquent ici également.
La géométrie de l’ouvrage entrée par l’utilisateur doit permettre de prendre en compte la
courbure de l’ouvrage. Le préprocesseur prendra en compte la présence de plusieurs
courbures.
L’utilisateur devra entrer les longueurs de chaque travée comme pour le bipoutre mais avec
les longueurs curvilignes au niveau du centre du tablier. Il devra aussi entrer un rayon de
courbure et la longueur curviligne associée.
Un angle de rotation devra aussi être indiqué pour chaque appui. Ceux-ci sont modélisés par
deux appuis de part et d’autre des barres de tablier et sont reliés à celles-ci par des barres
rigides. À partir de la position moyenne d’un appui donné par les longueurs curvilignes de
chaque travée et de l’angle de rotation, le préprocesseur doit générer deux nœuds
supplémentaires, deux appuis liés à ces nœuds et les barres rigides.
Figure 4-1 : Position des nœuds d'appuis
La distance entre les deux appuis est donnée par la largeur de la tôle de fond du caisson.
Travée i
Travée i+1
appui
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4.2 Actions – Force centrifuge
Du fait de la courbure, il faut ajouter les forces centrifuges aux modèles des ponts courbes. Ce
chargement s’applique sur les barres représentant le tablier avec les barres de poutres 5000
(phase court terme) activées.
Ponts routes (EN1991-2, 4.4.2)
Dans le cas des ponts routes, la force centrifuge dépend du rayon de courbure et des tandems
TS du modèle de charge LM1. Elle s’applique au niveau de la chaussée, perpendiculairement
de cette dernière et dirigée vers l’extérieur.
Soit tkQ , la force centrifuge caractéristique en tout point du tablier en kN
mR 200 Vtk QQ 20.0
mR 1500200 RQQ Vtk 40
mR 1500 0tkQ
Tableau 4-1 : Valeurs caractéristiques de la force centrifuge
Avec : i
ikQiV QQ )2( , la somme des forces ponctuelles des tandems TS.
Pont ferroviaire (EN1991-2, 6.5.1)
Dans le cas des ponts ferroviaires, la force centrifuge est dirigée vers l’extérieur à une hauteur
de 1.80 m au dessus du plan de roulement et elle est combinée avec les charges verticales de
trafic.
)(127
2
Vktk QfR
VQ
et )(
127
2
Vktk qfR
Vq
Avec VkQ et Vkq , les valeurs caractéristiques des charges verticales de trafic
f : un coefficient réducteur
V : la vitesse maximale en km/h
Pour ces deux derniers paramètres, se reporter à l’article 6.5.1 de l’EN 1991-2. Ils peuvent
être demandés comme données d’entrée à l’utilisateur.
Dans les deux cas
De plus, l’excentrement du point d’application nécessite l’ajout d’un moment de torsion Mx
dans la modélisation :
tkmixtecentrifuge
Q
tk QzzM
et tkmixtecentrifuge
q
tk qzzM si nécessaire
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5 Préprocesseur – Particularités des ponts bipoutres biais et courbes
Les particularités vues précédemment pour les ponts caissons courbes s’appliquent ici
également.
5.1.1 Géométrie du tablier
Dans le cas des ponts bipoutres courbes, la totalité du tablier est modélisé en trois dimensions.
Les deux poutres principales du bipoutre sont modélisées chacune par cinq séries de barres
avec leur caractéristiques réelles comme dans le cas de la poutre modélisée sur un pont droit.
(SX …… SZ 0.001 IY …… sy 0.001 ix 1e-5 iz 1e-5)
Une autre série de barre est créée entre les deux poutres pour modéliser le tablier et sur
lesquelles les charges s’exerçant sur la structure mixte seront appliquées : la charge de
décoffrage, les charges de superstructure et les charges routières (les déformations restent
appliquées sur les barres représentant les poutres). Il s’agit de barres très souples et de section
nulle.
(SX 1e-5 IY 1e-5 IZ 1e+5 IX 1e-5).
Trois séries de nœuds seront donc générées : une série pour chaque poutre ainsi qu’une série
au centre des deux poutres.
Ces trois séries de barres longitudinales sont ensuite reliées par des barres transversales
rigides.
(SX 1e+5 IY 1e+5 IZ 1e+5 IX 1e+5)
Ces barres relient les nœuds des poutres aux nœuds représentant le tablier et leur
excentrement est déterminé de manière à les disposer au niveau de la face supérieure de la
dalle béton. Elles sont uniformément réparties longitudinalement tous les 4m environ par
défaut ou selon une longueur entrée par l’utilisateur.
D’après l’exemple traité en 1.Annexe 2, on peut remarquer que les différences de résultats
entre l’utilisation de barres transversales rigides et de barres ayant les caractéristiques du
béton sont très faibles (de l’ordre de 0.02%). La même remarque peut être formulée pour les
différences entre la prise en compte des entretoises ou non dans le modèle. C’est pour cela
que les barres transversales sont modélisées par des barres rigides et que les entretoises ne
sont pas modélisées.
5.1.2 Modélisation des appuis
Les appuis se modélisent comme dans le cas du caisson courbe. Seule la manière de
déterminer la distance entre les deux appuis change. Dans le cas du bipoutre, courbe ou biais,
les appuis se placent au droit des poutres principales.
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6 Post processeur
6.1 Généralités
Une fois le calcul des sollicitations réalisé par un logiciel annexe, le post-processeur doit
prendre le relais pour effectuer toutes les vérifications requises. Il doit donc être capable de
récupérer les données entrées et calculées par le préprocesseur ainsi que les sollicitations
calculées dans chacune des sections modélisées et pour chaque famille de barres.
Figure 6-1 : Logigramme de fonctionnement du post processeur
Vérification d’une section (M,V)
Calcul de la section efficace S
(Traînage de cisaillement)
Détermination de l’axe neutre plastique
Hypothèse : classe 1 ou 2
Classe 1 ou 2 ? OUI : Calcul plastique NON : Calcul élastique
Vérification du
cisaillement
Vérification M
ou M-V s’il y a
interaction
Calcul des
contraintes
Classe 3 ?
OUI
NON : Classe 4
Vérification du
cisaillement
Vérification M
ou M-V s’il y a
interaction
Calcul de la section efficace P
(Voilement)
Calcul des contraintes
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6.2 Données d’entrée supplémentaires
Dans un premier temps, il est nécessaire de récupérer les données entrées dans le
préprocesseur ainsi que les données ayant été générées et les sollicitations calculées par le
logiciel intermédiaire pour chacune des sections. La plupart des données requises pour réaliser
les vérifications sont donc déjà connues.
Le programme peut cependant laisser le choix à l’utilisateur des vérifications à réaliser, sous
la forme d’une liste de cases à cocher par exemple. Cela permettrait de diminuer le temps de
calcul en évitant les vérifications inutiles.
6.3 Choix des sections à vérifier
Chaque sous-panneau de l’ouvrage, délimité par les entretoises, doit être vérifié. Il faut donc
définir les sections à vérifier dans chacun des sous-panneaux et l’enveloppe de sollicitations
utilisée pour chacun d’entre eux.
Pour simplifier, chaque extrémité de barres, provenant du modèle généré par le préprocesseur,
sera vérifiée.
6.4 Classification des sections et calcul des sections efficaces
Comme pour le calcul des sollicitations, il faut prendre une section efficace de béton et
d’acier prenant en compte le traînage de cisaillement dans tous les cas, dite section efficace S,
et sa sensibilité au voilement pour la vérification de flexion à l’ELU, dite section efficace P.
6.4.1 Traînage de cisaillement
6.4.1.1 Traînage de cisaillement dans la dalle béton
Comme pour le calcul des sollicitations, le traînage de cisaillement dans la dalle est pris en
compte par la réduction de la largeur réelle de la dalle à une largeur participante ou efficace.
Pour rappel, on note b0 l’entraxe entre les files extérieures de connecteurs, b1 et b2 les largeurs
géométriques réelles de la dalle en béton associée modélisée (voir schéma § 2.3.2.1).
Calcul des portées équivalentes Le
Pour les travées d’extrémités : Lei = 0.85 * Li
Pour les travées intermédiaires : Lei = 0.70*Li
Au droit des appuis intermédiaires : Lei = 0.25*(Li-1+Li)
Calcul des coefficients bêta pour les sections sur culées
Pour les sections hors culées : β = 1
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1;025.055.0min
1
1
e
e
b
L et
1;025.055.0min
2
2
e
e
b
L
Calcul de be1 et be2
11 ;
8min b
Lb e
e et
22 ;
8min b
Lb e
e
Contrairement à la simplification effectuée pour le calcul des sollicitations, il n’est plus
possible d’utiliser une largeur constante par travée. Les coefficients β doivent donc être
calculés et la répartition linéaire aux extrémités des travées doit être prise en compte.
6.4.1.2 Traînage de cisaillement dans l’acier
Les largeurs efficaces des semelles d’acier, tant pour le bipoutre que pour le caisson, sont à
calculer pour l’ELS et l’ELU de fatigue d’une part et pour l’ELU d’autre part. D’après
l’EN1993-1-5, 3(1), le traînage de cisaillement peut être négligé si50
0eL
b .
Pour rappel, 0b est défini au paragraphe §3.2 - Traînage de cisaillement.
Le calcul des largeurs efficaces à l’ELS et l’ELU de fatigue est donné dans l’EN1993-1-5,
3.2.1.
6.4.1.2.1 Largeurs efficaces à l’ELS et l’ELU de fatigue
Dans le cas où le traînage de cisaillement n’est pas négligeable, la largeur efficace S d’une
semelle est donnée par la formule :
0bbeff
Le calcul du coefficient dépend de :
la position de la section sur l’ouvrage, comme dans le calcul de la section efficace de
béton : voir la Figure 2-18 : Détermination des portées équivalentes.
d’un coefficient qui dépend de la section des raidisseurs longitudinaux et de la
distance approximative entre les points de moment fléchissant nul eL .
e
sl
e L
b
tb
A
L
b 0
0
00 1
Où slA est l’aire de l’ensemble des raidisseurs longitudinaux situés dans la largeur 0b
(dans le cas de la tôle de fond de caisson, il s’agit de la moitié de l’aire totale des
raidisseurs).
Les formules permettant de calculer le coefficient sont données dans le tableau 3.1 de l’EN
1993-1-5.
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Tableau 6-1: Coefficient β de largeur efficace S
Il existe donc 4 cas de calcul de largeur efficace.
Appuis d’extrémité à 4
1 de travée
Pour une travée de portée L, on a au niveau de l’appui :
LLe 85.0 pour la distance approximative entre les points de moment fléchissant
nul
10 1;025.0
55.0min
Pour les sections de la zone a, la valeur est extrapolée de manière linéaire entre la valeur sur
appui et la valeur à 4
1 de la portée. Le calcul de 1 est développé ci-dessous.
Travée de rive de 4
1 à 4
3 de la portée
Pour une travée de portée L, on a :
LLe 85.0
1 où 1 dépend de :
0.11 si 02.0
214.61
1
si 70.002.0
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9.5
11 si 70.0
Appuis intermédiaires de 4
1 à 4
1 de travées adjacentes
Pour des travées adjacentes de portées 1L et 2L , on a au niveau de l’appui :
2125.0 LLLe
2 où 2 dépend de :
0.12 si 02.0
2
2
6.12500
10.61
1
si 70.002.0
6.8
11 si 70.0
Pour les sections dans la zone c, la valeur est extrapolée de manière linéaire entre la valeur sur
l’appui intermédiaire et la valeur à 4
1 de la portée du côté de la section.
Travée intermédiaire de 4
1 à 4
3 de la portée
Pour une travée de portée L, on a :
LLe 70.0
1
Le calcul de 1 est développé ci-dessus.
6.4.1.2.2 Largeurs efficaces à l’ELU
Dans le cas où le traînage de cisaillement n’est pas négligeable, la largeur efficace S d’une
semelle est donnée par la formule :
0bb ELUeff
La section 3.3 de l’EN 1993-1-5 propose 3 méthodes d’évaluation de ELU . La méthode
retenue est la méthode recommandée de la note 3 de l’article 1 :
;maxELU
Où et sont les coefficients calculés dans le cas des vérifications à l’ELS et à l’ELU de
fatigue (voir paragraphe précédent).
Remarque :
La position du centre d’inertie d’une section mixte n’est pas nécessairement la même
pour le calcul des sollicitations et pour la vérification des sections ; dans le cas de la
flexion simple, cette différence ne pose pas de problèmes ;
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la largeur efficace S de la semelle inférieure complète d’un caisson doit être
déterminée en considérant chaque partie en console ; en général, les parties en
consoles des semelles inférieure et supérieure ne sont pas réduites car plus petites que
50eL ;
la réduction au traînage de cisaillement d’une semelle inférieure ne modifie pas la côte
de son centre d’inertie.
6.4.2 Classification de la section
Le concept de classe permet de déterminer dans quelle mesure la résistance est limitée par le
voilement local des éléments de la charpente. Une section mixte est classée sur une échelle de
1 à 4, en fonction de la classe la plus élevée des parois élémentaires qui la composent. La
classification des sections mixtes est traitée dans l’EN1994-2, 5.5 qui renvoie à l’EN1993-1-1,
5.5.2 où les différentes classes sont définies.
La classe d’une paroi dépend de son élancement, de ses conditions d’appui – le fait qu’elle
soit bordée d’un seul côté (paroi en console) ou des deux côtés (paroi interne) par des parois
perpendiculaires stabilisantes – et des contraintes à l’ELU.
Le voilement local ne peut être provoqué que par des contraintes de compression. Par
conséquent toute paroi entièrement tendue est de classe 1 quel que soit son élancement.
L’article 5.5.2(1) de l’EN 1994-2 permet de considérer que la semelle supérieure est de classe
1, à condition que les connecteurs respectent les espacements définis à l’article 6.6.5.5 de
l’EN 1994-2. Cette hypothèse est considérée comme vérifiée dans la chaîne de calcul.
La détermination de la classe est effectuée en plusieurs étapes, par suppositions successives.
6.4.2.1 Etape 1 : analyse plastique (hypothèse de classe 1 ou 2)
La section est supposée être de classe 1 ou de classe 2, c’est-à-dire susceptible de développer
son moment résistant plastique. La distribution plastique des contraintes sera donc utilisée.
La section est effectivement de classe 1 ou 2 si elle vérifie certaines conditions. Selon le signe
du moment sollicitant total MEd, on détermine la position de l’axe neutre plastique, de cote
zpl, mesurée par rapport au dessous de la semelle inférieure. La détermination de la position
de l’axe neutre plastique est développée en 1.Annexe 7.
On s’intéresse alors à la distribution plastique de contraintes dans la semelle inférieure et dans
l’âme.
Semelle inférieure
On peut considérer raisonnablement que l’axe neutre plastique ne se trouve pas dans la
semelle inférieure. Ainsi, la semelle inférieure est :
soit tendue si MEd ≥ 0, et donc de classe 1
soit comprimée si MEd < 0 :
o pour le caisson, l’hypothèse de classe 1 ou 2 n’est pas vérifiée ;
o pour le bipoutre, la classe de la semelle inférieure dépend de son élancement :
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bf
bf
wbf
t
tb
9
2 : Classe 1
bf
bf
wbf
bft
tb
10
29 : Classe 2
bf
bf
wbf
t
tb
10
2 : Analyse élastique nécessaire
Avec ybf
bff
235
Âme
L’âme, non raidie longitudinalement, peut être entièrement tendue, entièrement comprimée ou
partiellement comprimée :
Si l’âme est entièrement tendue, elle est de classe 1 ;
Si l’âme est entièrement comprimée, alors sa classe dépend de son élancement :
o w
w
w
t
h 33 : Classe 1
o w
w
w
wt
h 3833 : Classe 2
o w
w
w
t
h 38 : Analyse élastique nécessaire
Si l’âme est partiellement comprimée, alors sa classe dépend de son élancement et de
la proportion α d’âme comprimée, donnée par :
o w
bfplw
Edh
tzhM
0
o w
bfpl
Edh
tzM
0
Si 5.0
113
396
w
w
w
t
h : Classe 1
113
456
113
396
w
w
ww
t
h : Classe 2
113
456
w
w
w
t
h : Analyse élastique nécessaire
Si 5.0
w
w
w
t
h
36 : Classe 1
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w
w
ww
t
h
5.4136 : Classe 2
113
5.41
w
w
w
t
h : Analyse élastique nécessaire
Avec yw
wf
235
Si un des deux éléments ne vérifie pas l’hypothèse de classe 1 ou 2, il faut passer à l’étape
suivante.
6.4.2.2 Etape 2 : analyse élastique (hypothèse de classe 3)
La section est supposée de classe 3. La limite avec la classe 4 dépend du diagramme élastique
de contraintes dans la section.
Les contraintes dans la section sont évaluées à l’ELU à partir des lois de comportement
élastique des matériaux en prenant en compte le phasage de construction et les aires efficaces
S (traînage de cisaillement).
La section est effectivement de classe 3 si :
Semelle inférieure :
Pour le caisson, la tôle de fond de caisson comprimée est supposé de classe 4. Il est possible
de considérer qu’elle est de classe 3 si son aire efficace P est égale à son aire brute, voir
§6.4.3 ci-dessous pour la détermination des aires efficaces P.
Pour le bipoutre, la semelle inférieure comprimée est de classe 3 si :
bf
bf
wbf
t
tb
14
2
Où bf peut être défini de deux manières :
ybf
bff
235 en considérant que la limite d’élasticité est atteinte dans la semelle
inférieure ;
bfmM
bf
0
235 en considérant la contrainte de calcul bfm dans le plan moyen de
la semelle inférieure.
Âme :
On note respectivement wb et wu la contrainte dans l’âme à la jonction avec la semelle
inférieure et à la jonction à la semelle supérieure, et on définit le rapport de contrainte w par
le rapport de la contrainte minimale sur la contrainte maximale, en considérant comme
positives les contraintes de compression :
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);max(
);min(
wuwb
wuwb
w
Si 1w :
o w
w
w
w
t
h
33.067.0
42 : Classe 3
o w
w
w
w
t
h
33.067.0
42 : Classe 4
Si 1w :
o www
w
w
t
h 162 : Classe 3
o www
w
w
t
h 162 : Classe 4
Où w peut être défini de deux manières :
yw
wf
235 en considérant que la limite d’élasticité est atteinte dans l’âme ;
0
235
M
w en considérant la contrainte maximale de compression de calcul dans
l’âme.
Le calcul des contraintes est développé en 1.Annexe 6.
Si un des deux éléments ne vérifie pas l’hypothèse de classe 3 alors la section entière est de
classe 4.
Reclassement :
À titre indicatif, l’article 5.5.2(3) de l’EN 1994-2 donne la possibilité de reclasser en classe 2
une section comportant des âmes de classe 3 et des semelles de classe 1 ou 2 en remplaçant la
portion comprimée de l’âme par un élément de largeur ww t20 adjacent à la semelle
comprimée et un autre de même largeur adjacent à l’axe neutre plastique. Il est alors possible
de réaliser une justification en analyse plastique. Cette méthode n’est pas utilisée dans la
chaîne de calcul.
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6.4.3 Influence du voilement sur les sections de classe 4
Si la section est de classe 4, les effets du voilement local sont pris en compte par l’utilisation
d’une section efficace, dites « P », calculée en appliquant un coefficient réducteur sur la
section efficace S dû au traînage de cisaillement : Cf. EN1993-1-5,4.4 et 4.5.
6.4.3.1 Procédure générale
Pour une paroi de classe 4 donnée, et la distribution de contrainte élastique associée, le
coefficient de réduction peut, comme dans le cas de la limite entre classe 3 et classe 4, être
déterminé en considérant :
1) soit la limite d’élasticité fy ;
2) soit la contrainte maximale de compression de calcul dans la paroi Edcomp, .
Cas 1 :
La méthode préconisée par l’EN 1993-1-5 est une méthode simplifiée où l’on suppose que la
limite d’élasticité est atteinte dans la paroi. Une paroi de classe 4 est réduite une unique fois.
Cas 2 :
La méthode alternative proposée par l’article 4.4(4) de l’EN 1993-1-5, permet de considérer
les contraintes de compression de calcul. Lorsque l’on détermine une première fois l’aire
efficace P de la section, la distribution de contrainte n’est plus la même, ce qui modifie les
contraintes de compression maximale dans les parois.
Au processus précédent, il faut ajouter un processus itératif. Il est répété tant que la
distribution de contrainte en fin de boucle est trop éloignée de la distribution de contrainte en
début de boucle. Le critère de convergence retenu est basé sur la contrainte maximale de
compression dans la section :
icompicompicomp ,,1,100
1.0
Où
icomp, est la contrainte maximale de compression à la fin de l’étape i
1, icomp est la contrainte maximale de compression à la fin de l’étape i+1
Remarque :
Il est possible qu’une paroi soit de classe 3 au cours d’une étape mais de classe 4 dans
une étape ultérieure.
La chaine de calcul suit la procédure itérative donnée dans l’Eurocode en commençant par
calculer la section efficace de la semelle inférieure puis celle de l’âme.
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Figure 6-2 : Schéma de la procédure de calcul de la section efficace P
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Les calculs des contraintes sont développés en annexe (Cf. 1.Annexe 6). La détermination des
sections efficaces de l’âme et de la semelle inférieure est développée ci-dessous : dans un
premier temps pour les plaques sans raidisseurs longitudinaux puis avec raidisseurs
longitudinaux.
La détermination des sections efficaces P passent par le calcul d’un coefficient de réduction
qui s’applique sur l’aire de la section comprimée :
ceffc AA ,
6.4.3.2 Plaques sans raidisseurs longitudinaux
Les plaques dépourvues de raidisseurs longitudinaux sont traitées à la section 4.4 de l’EN
1993-1-5.
D’une manière générale, la section efficace P d’une paroi de classe 4 ne comportant pas de
raidisseurs longitudinaux est déterminée en fonction de son élancement, des conditions
d’appuis et de la distribution de contrainte élastique.
Les cas pratiques rencontrés dans le cas d’un bipoutre ou d’un caisson sont :
1. paroi interne fléchie et comprimée, ou en compression pure :
� - cas d’une âme ;
� - cas d’un panneau secondaire d’une tôle de fond de caisson raidie.
2. paroi en console en compression pure :
� - cas d’une semelle inférieure d’un bipoutre ;
� - cas d’un raidisseur longitudinal de type plat simple.
6.4.3.2.1 Paroi interne fléchie et/ou comprimée
L’élancement p d’une paroi, de largeur b et d’épaisseur t, est donné par l’expression :
k
tbp
4.28
Où k est le coefficient de voilement, dépendant du rapport de contrainte k (voir tableau 4.1
de l’EN 1993-1-5) ;
yf
235 ;
b est la hauteur de la paroi (voir schéma ci-dessous) ;
t est l’épaisseur de la paroi.
Tableau 6-2 : Calcul du coefficient de voilement kσ
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La formule de la dernière colonne n’est pas présente dans l’EN 1993-1-5. Comme la situation
est envisageable, on fait le choix de prolonger la fonction par la valeur en = −3 ce qui est
sécuritaire au vu de la définition de l’élancement réduit p .
Le coefficient réducteur dépend du rapport d’aspect de la plaque non raidie :
Figure 6-3 : Géométrie d'une plaque
Cas 1b
a
La section efficace P de la paroi est calculée sans prendre en compte un éventuel flambement.
Le coefficient réducteur est calculé à partie de p et de de la manière suivante :
0.1 pour 055.0085.05.0p
0.13055.0
2
p
p
pour 055.0085.05.0p
Cas 1b
a
Dans le cas où les raidisseurs transversaux sont trop rapprochés, l’instabilité de type
flambement peut être prépondérante. L’aire efficace P est alors calculée au moyen d’un
coefficient réducteur c qui rend compte simultanément du voilement de plaque et du
flambement. Il est calculé selon les parties 4.5.2 à 4.5.4 de l’EN 1993-1-5 dans le cas d’une
plaque non raidie.
Comportement de type plaque
Les effets du voilement de plaque sont pris en compte par le coefficient réducteur calculé
comme précédemment.
Par la suite, la contrainte critique de voilement sera nécessaire, elle est définie par :
2,
p
y
pcr
f
Comportement de type poteau (ou colonne)
Les effets du flambement sont pris en compte par le coefficient réducteur c calculé à partie
de l’élancement réduit c avec la méthode de calcul de la résistance au flambement
développée en 6.3.1.2 de l’EN 1993-1-1.
L’élancement réduit c est défini par :
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ccr
yc
f
,
Où ccr , est la contrainte critique de flambement d’une plaque non raidie.
22
22
,112 av
tEa
ccr
Le facteur d’imperfection pris en compte correspond à la courbe de flambement a : 21.0 .
Le coefficient réducteur est alors :
0.11
22
ccc
c
Où 2
2.015.0 ccc
Interpolation entre le voilement de plaque et le flambement
Le coefficient réducteur final c est obtenu par interpolation entre et c de la manière
suivante :
ccc 2
Où 1,
,
ccr
pcr
avec de plus 10 , voir graphique ci-dessous.
Figure 6-4 : Interpolation entre voilement de plaque et flambement
Dans le cas d’une plaque non raidie, on note de manière générale le coefficient réducteur,
même dans le cas a/b < 1.
L’aire efficace P est alors répartie en deux largeurs 1eb et 2eb selon les schémas suivants :
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Figure 6-5 : Largeurs efficaces P d'une paroi interne
Dans le cas de l’âme, on définit deux largeurs efficaces wbb et wub selon le schéma ci-dessous :
Figure 6-6 : Largeurs efficaces d'une âme
Tableau 6-3 : Largeurs efficaces d'une âme
Où tb est la largeur tendue de l’âme.
Dans le cas d’une âme inclinée, il faut considérer la largeur réelle du panneau et non pas la
projection sur l’axe vertical.
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6.4.3.2.2 Paroi en console en compression uniforme
L’élancement p d’une paroi est toujours donné par l’expression :
k
tbp
4.28
Où c est la largeur en console, voir schéma ci-dessous tiré du tableau 5.2 de l’EN 1993-1-1 :
Figure 6-7 : Largeur des parois en console
et 43.0k est le coefficient de voilement dans le cas d’une compression uniforme.
Le coefficient réducteur est calculé à partie de p de la façon suivante :
0.1 pour 748.0p
0.1188.0
2
p
p
pour 748.0p
L’aire efficace P est alors située d’un ou des deux côtés du panneau de bord sur une largeur
cbeff , voir schéma ci-dessous dans le cas d’une semelle inférieure d’un bipoutre.
Figure 6-8 : Largeurs efficaces P d'une semelle inférieure d'un bipoutre
6.4.3.3 Plaques avec raidisseurs longitudinaux
Les plaques munies de raidisseurs longitudinaux sont étudiées dans l’EN 1993-1-5, 4.5.
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La méthode est décomposée en deux étapes principales :
la détermination des aires efficaces P résultant du voilement local de chaque panneau
secondaire constituant la plaque raidie ;
la détermination des aires efficaces P résultant du voilement d’ensemble de la plaque
raidie.
Dans la chaîne de calcul, les seules plaques munies de raidisseurs longitudinaux continus pris
en compte sont les tôles de fond des caissons mixtes et les âmes que le pont soit un bipoutre
ou un pont caisson.
6.4.3.3.1 Cas des tôles de fond de caisson
Les tôles de fond de caisson sont en compression uniforme. Dans ce cas, le rapport de
contrainte ψ est 1. La chaîne de calcul suppose de plus que les raidisseurs sont également
espacés.
La géométrie de la semelle inférieure d’un caisson est rappelée sur le schéma suivant, dans le
cas de deux raidisseurs de type plat simple :
Figure 6-9 : Section brute d'une semelle inférieure de caisson
Etape 1 : voilement local des panneaux secondaires
Le schéma suivant présente les propriétés brutes des panneaux élémentaires :
Figure 6-10 : Zone d'étude d'une semelle inférieure d'un caisson
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Où :
cA est l’aire brute de la plaque raidie à l’exception des parties des panneaux secondaires
en appui sur l’âme ;
subb est la largeur d’un panneau secondaire de tôle de fond
L’aire efficace P d’un panneau secondaire, s’il est de classe 4, est déterminée selon la
méthode utilisée pour les plaques non raidies, voir § 6.4.3.2 ci-dessus et le logigramme ci-
dessous.
Figure 6-11 : Prise en compte du voilement local
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Figure 6-12 : Aire efficace P des panneaux secondaires d'une tôle de fond de caisson
La section se décompose alors de la manière suivante :
Figure 6-13 : Section efficace P intermédiaire d'une tôle de fond de caisson
Où :
loceffcA ,, se compose des aires de section efficace P de tous les raidisseurs et panneaux
secondaires à l’exception des parties efficaces P appuyées sur une plaque adjacente de
largeur 2,effedgeb ;
loceffslA ,, est la somme des aires de section efficace P de tous les raidisseurs
longitudinaux.
Etape 2 : voilement d’ensemble de la plaque raidie dans son ensemble
Les effets du voilement d’ensemble sont pris en compte au moyen d’un coefficient réducteur
c s’appliquant à loceffcA ,, , sans modifier la position du centre d’inertie de la zone. L’aire de
section efficace de la plaque est alors :
peffedgeloceffcceffc tbAA ,,,,
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Le coefficient réducteur c tient compte simultanément de la possibilité de voilement de
plaque et du flambement, il est calculé selon les parties 4.5.2 à 4.5.4 de l’EN 1993-1-5.
Comportement de type plaque
Les effets du voilement sont pris en compte par le coefficient réducteur calculé à partie de
l’élancement réduit p pour le cas d’une paroi interne, voir § 6.4.3.2 ci-dessus.
L’élancement réduit p est défini par l’expression :
pcr
ycAp
f
,
,
Où :
c
loceffc
cAA
A ,,
, est le coefficient d’efficacité de la plaque raidie vis-à-vis du voilement
de plaque ;
pcr , est la contrainte critique de voilement de plaque ; une méthode de calcul est
présentée en 1.Annexe 9.
Comportement de type poteau (ou colonne)
Les effets du flambement sont pris en compte par le coefficient réducteur c calculé à partie
de l’élancement réduit c avec la méthode de calcul de la résistance au flambement
développée en 6.3.1.2 de l’EN 1993-1-1.
L’élancement réduit c est défini par l’expression :
ccr
ycAc
f
,
,
Où :
1,
,1,
,
sl
effsl
cAA
A est le coefficient d’efficacité de la plaque raidie vis-à-vis du flambement ;
2
1,
1,
2
,aA
IE
sl
sla
ccr
est la contrainte critique de flambement ;
1,slA , effslA ,1, et 1,slI sont des grandeurs géométriques définies sur la figure … ci-
dessous.
Le facteur d’imperfection pris en compte e est supérieur au facteur d’imperfection donné
pour les courbes de flambement :
eie
09.0
Où :
34.0 (courbe b) pour les raidisseurs à sections fermées et 34.0 (courbe c) pour
les raidisseurs à sections ouvertes ;
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1,
1,
sl
sl
A
Ii ;
);max( 21 eee est la plus grande distance entre le centre d’inertie de la portion de
plaque seule, respectivement le raidisseur seul, et le centre d’inertie de l’élément
complet efficace : voir schéma ci-dessous.
Figure 6-14 : Caractéristiques des raidisseurs
Le coefficient réducteur est alors :
0.11
22
ccc
c
Où 2
2.015.0 ccec .
Interpolation entre le voilement de plaque et le flambement
Le coefficient réducteur final c est obtenu par interpolation entre et c de la manière
suivante :
ccc 2
Où 1,
,
ccr
pcr
avec de plus 10
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6.4.3.3.2 Cas des âmes
Les âmes ne sont pas uniformément comprimées. Il est donc nécessaire de calculer le
coefficient :
);max(
);min(
ub
ub
L’aire efficace P d’un panneau secondaire de l’âme ainsi que le voilement global sont calculés
de la même manière que précédemment.
6.5 Justifications aux ELU
Le critère à satisfaire dépend de la classe.
6.5.1 Justification à la flexion
6.5.1.1 Justification plastique : classe 1 ou 2
La détermination de la résistance à la flexion d’une section peut-être évaluée par la théorie
rigide plastique pour les sections de classe 1 ou de classe 2.
La détermination de la position de l’axe neutre plastique et du moment plastique résistant sont
développé en 1.Annexe 7.
La résistance de la section en flexion est justifiée si le moment sollicitant vérifie :
RdplEd MM ,
6.5.1.2 Justification élastique : classe 3 ou 4
Les sections de classe 3 et 4 sont justifiées en élasticité, en imposant un critère sur les
contraintes. Les sections de classe 1 et 2 peuvent aussi être justifiées en élasticité mais une
telle méthode s’avère toutefois trop sévère par rapport à la justification plastique.
Pour une section de classe 4, il faut prendre en compte les effets du voilement local sur les
parois de classe 4 en utilisant la section efficace S+P vu précédemment.
La vérification de la résistance à la flexion est basée sur les contraintes admissibles suivantes :
ydbff dans la semelle inférieure ;
ydwf dans l’âme ;
ydtff dans la semelle supérieure ;
cdf dans le béton comprimé ;
sdf dans les armatures.
Pour les sections de classe 4, l’article 4.6(3) de l’EN 1993-1-5 permet d’effectuer la
vérification avec voilement sur la section efficace S+P avec les efforts évalués à une distance
égale à min(0.4a ; 0.5b) de l’extrémité du panneau où les contraintes sont les plus
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importantes, avec b la largeur du panneau et a la distance entre les raidisseurs transversaux. Il
faut dans ce cas effectuer une vérification à cette extrémité avec une section efficace S.
La chaine de calcul ne tient pas compte de cette possibilité : les vérifications sont faites pour
chaque section avec la section efficace S+P. L’utilisateur peut ensuite utiliser cette méthode
pour justifier une section qui ne passerait pas avec la justification de la chaîne de calcul.
Les contraintes dans les semelles sont calculées dans leur plan moyen. Le calcul des
contraintes et la prise en compte du retrait isostatique sont développés en 1.Annexe 6.
6.5.2 Justification au tranchant
6.5.2.1 Résistance à l’effort tranchant
Les âmes de l’ouvrage sont supposées pleines et munies de raidisseurs transversaux supposés
rigides. Les âmes et la semelle inférieure peuvent de plus être munies de raidisseurs
longitudinaux.
Résistance plastique à l’effort tranchant
Les sections mixtes possèdent une résistance plastique à l’effort tranchant prise égale à la
résistance de la section en acier de construction, en négligeant la contribution de la dalle en
béton armé.
La résistance plastique de la section en acier est :
30
,
M
yV
Rdpl
fAV
Où wwV thA est l’aire de cisaillement
Le coefficient dépend de la nuance d’acier et traduit la capacité de déformation
postcritique. On retiendra la valeur = 1.20 recommandée par l’EN 1993-1-5 pour les
nuances d’acier jusqu’à S460 inclus.
La section résistante au cisaillement correspond aux âmes du bipoutre ou du caisson. La
résistance pour une âme est donc :
30
,
M
yww
Rdpl
fthV
Résistance au voilement par cisaillement
Lorsqu’une âme est trop élancée, elle peut être sensible au voilement par cisaillement. Un
panneau d’âme raidi est sujet au voilement par cisaillement dans le cas où :
kt
hw
w
w 31
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Où k est le coefficient de voilement par cisaillement de l’âme raidie. Le calcul de k est
développé en 1.Annexe 8.
Dans le cas où le critère n’est pas vérifié, la résistance au voilement par cisaillement d’une
section mixte est calculée en négligeant la contribution des semelles :
11
,,
M
wwyw
M
wwyww
RdbwRdb
thfthfVV
Où w est le coefficient réducteur au voilement par cisaillement. Le calcul de w est
développé en 1.Annexe 8.
Critère de justification
En l’absence de voilement par cisaillement, la résistance de la section est vérifiée si :
RdplRdEd VVV ,
En cas de voilement par cisaillement, la résistance est vérifiée si :
RdbRdbRdplRdEd VVVVV ,,, );min(
6.5.2.2 Sollicitations
Dans le cas général d’une section avec des âmes inclinées, soumise à un effort tranchant total
EdV et un moment de torsion total TM , l’effort tranchant dans une âme se décompose de la
manière suivante :
TEdVEdEd VVV ,,
Où : )cos(2
,
w
Ed
VEd
VV
est la part issue de l’effort tranchant vertical,
ww
w
EdT
TEd tht
MV
2
,
, est la part issue de la torsion
La contrainte de cisaillement due à la torsion est calculée en ne considérant que la torsion
uniforme (ou libre) en accord avec l’article 6.2.3(7) de l’EN 1993-1-1 qui indique que les «
effets du gauchissement par torsion peuvent être négligés dans le cas d’une barre possédant
une section transversale creuse fermée ». La contrainte est alors donnée par la formule
suivante :
w
EdT
wTEdt
M
2
,
,,
En l’absence de voilement par cisaillement, l’article 6.2.7(9) de l’EN 1993-1-1 donne le
critère de vérification suivant :
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0.1,,
,
RdTpl
VEd
V
V où Rdpl
M
yw
wTEd
RdTpl Vf
V ,
0
,,
,,
3
1
Ce critère est équivalent à RdplTEdVEd VVV ,,, , introduisant le coefficient sans
explication physique. Il est fait le choix de considérer = 1.00 dans cette égalité, ce qui
revient au critère général.
6.5.3 Justification sous interaction flexion – effort tranchant
La justification sous interaction entre le moment de flexion et l’effort tranchant dépend de la
classe de la section.
6.5.3.1 Classe 1 ou 2
Pour les sections de classe 1 ou 2, l’effort tranchant n’a pas d’influence sur la résistance à la
flexion si :
RdEd VV 5.0
Si le critère précédent n’est pas satisfait, l’influence de l’effort tranchant est prise en compte
en considérant une résistance de calcul réduite des âmes dans le calcul du moment plastique
résistant :
ywdVywdywd fff 1,
Où
2
12
Rd
Ed
V
V
Le critère de résistance est :
VywdRdplVRdplEd fMMM ,,,,
En ne prenant pas en compte l’éventuel décalage de la position de l’axe neutre plastique de la
section dû à la limite d’élasticité de l’âme réduite dans le calcul de VRdplM ,, , comme le
suggère l’article 6.2.2.4(4) de l’EN 1994-2.
6.5.3.2 Classe 3 ou 4
Pour les sections de classe 3 ou 4, il faut vérifier un critère sur les âmes, et dans le cas d’un
caisson un critère supplémentaire sur la tôle de fond. Les critères suivants doivent être
satisfaits pour toute section située à plus de 2wh de l’appui le plus proche pourvu d’un
montant (EN 1993-1-5, 7.1(2))
6.5.3.2.1 Âmes
L’effort tranchant n’a pas d’influence sur la résistance à la flexion si :
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RdbwEd VV ,5.0
Si le critère précédent n’est pas satisfait, les effets combinés de la flexion et du cisaillement
sur l’âme doivent vérifier :
0.11212
3
,
,
1
Rdpl
Rdf
M
Mpour
Rdpl
Rdf
M
M
,
,
1 (équivalent à RdfEd MM , )
Où : Rdpl
Ed
M
M
,
1
Rdbw
Ed
V
V
,
3
RdfM , est le moment résistant plastique de calcul d’une section composée uniquement
des semelles efficaces S+P
RdplM , est le moment résistant plastique de calcul d’une section composée des
semelles efficaces S+P et de la totalité de l’âme.
6.5.3.2.2 Tôle de fond de caisson
Critère
La tôle de fond de caisson dans son ensemble, et son panneau secondaire le plus sollicité en
cisaillement, doivent vérifier le critère suivant, si 5.03 :
0.1122
31
Où : ydp
pEd
f
,
1
Rd
moyEd
,
3 où moyEd , et Rd sont développés ci-dessous.
Calcul des contraintes
La tôle de fond d’un caisson est sollicitée en cisaillement d’effort tranchant et de torsion. La
contrainte de cisaillement due à l’effort tranchant est nulle au niveau de l’axe de symétrie
verticale de la section et varie linéairement jusqu’à sa valeur maximale au niveau de la
jonction avec l’âme. La contrainte maximale est calculée en décomposant l’effort tranchant
sur les sections résistantes correspondantes, c’est-à-dire en prenant en compte le phasage de
construction, et en considérant les propriétés des sections brutes.
En considérant la section résistante i, sollicitée par l’effort tranchant Vi,Ed, la contrainte de
cisaillement à la jonction avec l’âme vaut :
pi
ipEdi
pVEditI
V
,,
max,,,,
Où les grandeurs sont calculées sur la section brute :
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2
2,
p
ipp
pi
tztb
est le moment statique de la semelle inférieure (plan moyen) par
rapport à l’axe neutre élastique de la section ;
iI est le moment d’inertie de la section ;
iz est la position du centre d’inertie par rapport au dessous de la tôle de fond.
La contrainte de cisaillement maximale due à l’effort tranchant total est alors :
i
pVEdipVEd max,,,,max,,,
L’hypothèse de calcul est raisonnable dans le cas où la dalle béton et la semelle inférieure ne
sont pas ou peu réduites au traînage de cisaillement dans l’analyse globale. Si la dalle ou le
caisson a une largeur significative devant les portées de l’ouvrage, un modèle plus fin, par
exemple aux éléments finis, peut s’avérer nécessaire. Toutefois, il faut garder à l’esprit que les
contraintes de cisaillement restent mesurées dans la tôle de fond.
La contrainte de cisaillement due à la torsion est calculée de nouveau en ne considérant que la
torsion uniforme (ou libre) et vaut ainsi :
p
EdT
pTEdt
M
2
,
,,
La contrainte de cisaillement totale maximale à la jonction avec l’âme est alors la somme des
contraintes de cisaillement :
pTEdpVEdpEd ,,max,,,max,,
La répartition des contraintes de cisaillement est illustrée sur le schéma suivant :
Figure 6-15 : Contraintes de cisaillement dans la tôle de fond d'un caisson
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La contrainte moyEd , est la contrainte moyenne de cisaillement dans l’élément, qui ne doit pas
être inférieure à la contrainte maximale, soit :
2
max,,
,
pEd
moyEd
pour la vérification de la semelle dans son ensemble ;
subEd
pEd
moyEd ,
max,,
, ;2
max
pour la vérification du panneau secondaire le plus
sollicité, avecp
sub
pVEdpEdsubEdb
b max,,,max,,, .
Calcul des résistances
Comme pour le cas de l’âme, la tôle de fond ou le panneau secondaire possède une résistance
plastique au cisaillement et une résistance au voilement par cisaillement.
Résistance plastique au cisaillement
La résistance plastique au cisaillement de la tôle de fond, valable pour la tôle dans son
ensemble et le panneau secondaire, est donnée par l’expression :
0
,,,,
M
yw
subRdplpRdpl
f
Résistance au voilement par cisaillement
La tôle de fond (raidie longitudinalement) et le panneau secondaire (non raidi
longitudinalement) ne sont pas sujets au voilement par cisaillement dans le cas où leur
élancement vérifie respectivement la condition suivante :
pp
p
pk
t
b,
31
subp
p
sub kt
b,
31
Où :
pk , est le coefficient de voilement par cisaillement de la tôle de fond dans son
ensemble ;
subk , est le coefficient de voilement par cisaillement du panneau secondaire.
Le calcul de k est développé en 1.Annexe 8.
Dans le cas où le critère n’est pas vérifié, la contrainte résistante au voilement par cisaillement
est donnée par :
11
,,
M
yp
M
ypp
pRdb
ff
pour la tôle de fond de caisson
11
,,
M
yp
M
ypsub
subRdb
ff
pour le panneau secondaire
Où :
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p est le coefficient réducteur au voilement par cisaillement de la tôle de fond de
caisson raidie longitudinalement ;
p est le coefficient réducteur au voilement par cisaillement du sous-panneau non raidi
longitudinalement.
Le calcul de p est développé en 1.Annexe 8.
La résistance au cisaillement est alors :
pRdplpRd ,,, ou pRdbpRdpl ,,,, ;min en cas de voilement par cisaillement
subRdplsubRd ,,, ou subRdbsubRdpl ,,,, ;min en cas de voilement par cisaillement
6.6 Justifications aux ELS
Les vérifications à l’ELS traitées par le post-processeur sont :
la limitation des contraintes dans la section ;
la respiration de l’âme ;
la maîtrise de la fissuration.
6.6.1 Limitation des contraintes
Les contraintes sont limitées à l’ELS pour la charpente en acier, le béton de la dalle et les
armatures longitudinales.
6.6.1.1 Charpente métallique
6.6.1.1.1 Critères
Les critères à vérifier concernent les contraintes normales, les contraintes de cisaillement et la
contrainte équivalente de Von Mises à l’ELS caractéristique :
serM
y
serEd
f
,
,
en contraintes normales ;
3,
,
serM
y
serEd
f
en contraintes de cisaillement ;
serM
y
serEdserEd
f
,
2
,
2
, 3
en contrainte équivalente.
Il faut de plus que la variation de contraintes due aux charges variables à l’ELS fréquent
vérifie :
serM
y
serEd
f
,
,
5.1
6.6.1.1.2 Contraintes
Les contraintes normales sont évaluées à partir des sections efficaces S (traînage de
cisaillement) suivant une analyse élastique. Elles prennent en compte les effets primaires du
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retrait et du gradient thermique non linéaire le cas échéant, ainsi que le phasage de
construction. Elles sont calculées au niveau des faces externes dans le cas des semelles, et non
dans le plan moyen comme c’est le cas à l’ELU. La résistance du béton à la traction est
négligée. Les contraintes de cisaillement sont calculées de même en décomposant l’effort
tranchant total de service serEdV , selon les sections résistantes, en tenant compte du phasage de
construction :
i
serEdiserEd VV ,,,
Pour une composante de l’effort tranchant serEdiV ,, , les contraintes de cisaillement sont
évaluées en utilisant les propriétés de la section brute à partir de la formule :
tI
zSV
i
i
serEdiserEdi
,,,,
Où :
zSi est le moment statique de l’aire située au dessous (ou dessus) de la côte z
iI est le moment d’inertie de flexion
t est l’épaisseur de la paroi considérée
L’hypothèse de calcul est raisonnable dans le cas où la dalle béton et la semelle inférieure ne
sont pas ou peu réduites au traînage de cisaillement dans l’analyse globale. Si la dalle ou le
caisson a une largeur significative devant les portées de l’ouvrage, un modèle plus fin, par
exemple aux éléments finis, peut s’avérer nécessaire. Toutefois, il faut garder à l’esprit que les
vérifications de l’ELS ne sont en général pas dimensionnantes par rapport aux vérifications de
l’ELU.
La contrainte équivalente de Von Mises est évaluée dans les semelles, et aux extrémités et au
milieu de l’âme, en considérant les valeurs de contraintes concomitantes.
6.6.1.2 Béton
La contrainte de compression dans le béton de la dalle doit vérifier :
ckc fk 1 à l’ELS caractéristique ;
ckc fk 2 à l’ELS quasi-permanent.
Les valeurs recommandées des coefficients sont 6.01 k et 5.02 k dans l’EN 1992-1-1, AN.
6.6.1.3 Armatures
La contrainte de traction dans les armatures doit vérifier :
sks fk 3 à l’ELS caractéristique ;
sks fk 4 à l’ELS caractéristique si la traction est générée par des déformations
imposées.
Les valeurs recommandées des coefficients sont 8.03 k et 0.14 k dans l’EN 1992-1-1, AN.
Seul le premier critère est utilisé étant donné les hypothèses prises sur les ouvrages.
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6.6.2 Respiration de l’âme
La respiration de l’âme correspond à la déformation répétée de l’âme hors de son plan,
susceptible de générer des fissures de fatigue aux jonctions de l’âme avec un autre élément en
acier.
Le critère retenu est un critère simplifié, portant sur les caractéristiques géométriques de
l’ouvrage, donné à l’article 7.4(2) de l’EN 1993-2. Il dépend du type de pont. Les risques de
respiration de l’âme peuvent être négligés si :
)300;0.430min( Lt
b pour les ponts routiers ;
)250;3.355min( Lt
b pour les ponts ferroviaires.
Où :
L est la portée de la travée en m, prise au minimum égale à 20m
b est la largeur wh d’une âme non raidie longitudinalement ou la largeur d’un panneau
secondaire d’une âme raidie.
6.6.3 Maîtrise de la fissuration
La maîtrise de la fissuration est assurée en considérant l’ouverture de fissures dues :
aux actions non calculées, à l’ELS caractéristique ;
aux actions directes, à l’ELS fréquent.
6.6.3.1 Ouverture des fissures dues aux actions non calculées
La section d’armature minimale dépend de la participation du béton à la résistance de la
section.
6.6.3.1.1 Béton résistant
La section d’armature doit être supérieure au ferraillage de non-fragilité défini par :
Où :
9.0sk ;
1;3.0
21
1min
0z
hk
c
c , avec ch la hauteur de la dalle en béton et 0z la distance
entre le centre d’inertie de la dalle béton seule et de la section mixte court terme ;
8.0k ;
ctmeffct ff , ;
ctA est prise égale à l’aire efficace S de la dalle béton.
sk
cteffctcss
f
AfkkkA ,
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6.6.3.1.2 Béton négligé
Dans les zones où le béton est tendu à l’ELS caractéristique, il faut vérifier que l’ouverture
des fissures reste inférieure à max,kw .
À un diamètre ϕ d’armature est associée une contrainte maximale autorisée dans l’armature
immédiatement après fissuration, notée s . Cette contrainte est lue dans le tableau 7.1 de l’EN
1994-2, en considérant comme diamètre :
effct
ct
f
f
,
0,* , où MPaf ect 9.20,
Tableau 6-4: Diamètres de barre maximaux
Le ferraillage mis en place doit alors vérifier le critère suivant :
s
ct
effctcss
AfkkkA
,
6.6.3.2 Ouverture des fissures dues aux actions directes
Dans les zones où le béton est tendu à l’ELS fréquent, il faut vérifier que l’ouverture des
fissures reste inférieure à max,kw .
La contrainte de traction dans l’armature doit rester inférieure à une contrainte limite
dépendant, au choix, du diamètre ϕ de la barre ou de l’espacement transversal s des barres,
selon la situation la plus favorable.
La contrainte de traction est calculée en considérant les effets de la rigidité du béton tendu
entre les fissures, soit :
sss 0,
Où :
0,s est la contrainte calculée en négligeant le béton tendu ;
IA
IAff aa
s
ctm
sst
ctm
s
4.04.0 est la variation de contrainte due à la rigidité du béton
tendu.
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Le tableau 7.1 de l’EN 1994.2 donne une contrainte maximale max,,s en fonction du diamètre
et le tableau 7.2, voir ci-dessous, donne une contrainte maximale ss max,, en fonction de
l’espacement s.
Tableau 6-5 : Espacement maximal des barres
La contrainte dans l’armature doit alors vérifier, en valeur absolue :
ssss max,,max,, ;max
6.7 Justifications à la fatigue
Les éléments à justifier à la fatigue dans un pont mixte sont :
la charpente et ses connecteurs ;
les armatures passives ;
le béton.
On s’intéresse dans cette partie uniquement à la justification de la charpente métallique, hors
connecteurs, et des armatures passives longitudinales en contraintes normales, générées par la
flexion longitudinale globale de l’ouvrage, dans le cas des ponts routiers et des ponts
ferroviaires.
6.7.1 Méthode
La méthode utilisée pour l’évaluation de l’endommagement est la méthode simplifiée des
étendues de contrainte de dommage équivalent.
Le critère de vérification à la fatigue à satisfaire est :
Pour la charpente
Mf
c
EFf
2,
Où :
0.1Ff ;
35.1Mf est le coefficient partiel de résistance à la fatigue donné au § 2.2.2.6.
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c est la valeur de référence de la résistance à la fatigue à 2 millions de cycles,
dépendant de la catégorie de détail à vérifier (voir EN 1993-1-9, tableau 8.1 à 8.10) ;
2,E est l’étendue de contraintes, donnée par l’expression :
fffE min,max,2,
Avec :
f la variation de contrainte sous le passage du convoi de fatigue
le coefficient de dommage équivalent
le coefficient de dommage équivalent d’impact valant :
- 1 pour les ponts routiers ;
- le coefficient dynamique pour les ponts ferroviaires.
Pour les armatures
fats
Rsk
equsfatF
NN
,
*
*
,,
Où : 6* 10N ;
0.1, fatF est le coefficient partiel relatif au chargement de fatigue ;
15.1, fats est le coefficient partiel relatif au matériau, voir § 2.2.2.6
MPaNRsk 5.162* est l’étendue de contrainte pour *N cycles, donnée dans le
tableau 6.3N de l’EN 1992-1-1 ;
*
, Nequs est l’étendue de contraintes donnée par l’expression :
fssfsfssequs ,min,,max,,,
Avec :
fs, la variation de contrainte sous le passage du convoi de fatigue
s le coefficient de dommage équivalent
le coefficient de dommage équivalent d’impact valant :
- 1 pour les ponts routiers ;
- le coefficient dynamique pour les ponts ferroviaires.
6.7.2 Contraintes
Le calcul de l’étendue de contraintes σ (en valeur absolue) s’effectue pour chaque état de
sollicitation donné non cyclique de la manière suivante :
Tableau 6-6: Combinaisons à l'ELU de fatigue
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La variation de contrainte est alors ;max .
Pour un état de base, le calcul de la variation de contrainte dans une section donnée dépend de
la participation du béton à la résistance. Il est possible que le béton se comprime et se
décomprime entre les deux enveloppes de moment de flexion sous le passage du convoi de
fatigue.
Dans les zones fissurées de l’analyse globale, le béton n’est pas résistant. En dehors de ces
zones, le béton est supposé non résistant si une partie de la dalle est tendue. Les contraintes
sont calculées une première fois en prenant en compte les effets primaires du retrait et/ou du
gradient thermique selon le cas de base non cyclique considéré. Si une partie du béton (fibre
inférieure ou fibre supérieure) est tendue, les contraintes sont calculées une deuxième fois en
section mixte fissurée en négligeant les effets primaires – le calcul des contraintes est
développé en 1.Annexe 6. Si le béton se recomprime sous l’autre enveloppe, les contraintes
sont aussi recalculées sans les effets primaires. En effet, les effets primaires ne sont pas des
charges cycliques et ne créent pas d’endommagement à la fatigue. Ainsi, les contraintes
primaires sont soit comptées dans les deux cas, soit négligées dans les deux cas, et par là-
même n’apparaissent pas dans le calcul de la variation de contrainte. Une méthode simplifiée
est proposée en 1.Annexe 10.
La section 6.8.5 de l’EN 1994-2 impose de prendre en compte l’effet de la rigidité du béton
tendu entre les fissures sur les armatures lorsque le béton est supposé non résistant. Il est par
contre négligé dans le calcul des contraintes pour l’acier de construction.
La variation de contrainte due au seul effet de la rigidité du béton tendu est :
22
, 2.02.0IA
IAff aa
s
ctm
sst
ctm
fs
Et on note 0,min,, fs et 0,max,, fs les contraintes maximale et minimale calculées sans prendre
en compte la rigidité du béton tendu entre les fissures.
La part du moment total appliquée aux sections mixtes est mFLMbaseEdcfmEdc MMM ,,,,,,
(avec « m » pour « max » ou « min »). Dans les formules suivantes, la convention de signe
suppose que fEdcfEdc MM min,,,max,,, .
Il existe alors 3 situations de calcul possibles pour les armatures.
Béton non participant sous fEdcM min,,, et fEdcM max,,,
La contrainte maximale est donnée par l’expression :
fsfsfs ,0,max,,max,,
La contrainte minimale est donnée par la formule (6.51) de l’EN 1994-2 :
fEdc
fEdc
fsfsM
M
max,,,
min,,,
max,,min,,
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Où l’on considère que l’effet de la rigidité du béton est proportionnel à la contrainte calculée
sans rigidité, voir figure suivante :
Figure 6-16: Effet de la rigidité du béton tendu entre fissures
Béton non participant sous fEdcM max,,, uniquement
Les contraintes sont données par :
fsfsfs ,0,max,,max,,
0min,,min,, sfs
Béton résistant sous fEdcM min,,, et fEdcM max,,,
Les contraintes sont directement données par :
0,max,,max,, fsfs
0min,,min,, sfs
Il s’agit à chaque fois pour une section donnée de déterminer si la variation de contrainte est
calculée en prenant en compte la résistance du béton. Un calcul sécuritaire consiste à calculer
la variation de contrainte en négligeant la résistance du béton. Pour la charpente, en notant
2I et 2z les propriétés mécaniques de la section mixte fissurée, la variation de contrainte à la
cote z est alors simplement :
2
2
2,I
zzMz FLME
6.7.3 Coefficient de dommage équivalent
Le coefficient de dommage équivalent dépend du matériau et du type de ponts. Le calcul est
développé en 1.Annexe 11.
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6.8 Dimensionnement des connecteurs – EN1994-2, 6.6
Pour dimensionner la connexion, à l’ELS comme à l’ELU, l’EN1994-2 utilise un calcul
élastique. Plusieurs hypothèses ont été prises :
un seul type de connecteurs est utilisé sur l’ouvrage
les connecteurs sont conformes aux exigences de l’Eurocodes
le programme ne traitera que le cas des goujons (tout en gardant la
possibilité d’ajouter des modules par la suite, pour les cornières par exemple)
le cas des connecteurs horizontaux n’est pas pris en compte
Les données concernant les goujons nécessaires pour le dimensionnement des connecteurs ont
déjà du être entrées dans le préprocesseur :
fy en MPa
fu en MPa
diamètre entre 16 et 25 mm
hauteur hors tout
6.8.1 Résistance d’un goujon – EN1994-2, 6.6.3
Il existe deux modes de ruine pour ce type de connecteurs :
La ruine par cisaillement de l’acier en pied
48.0
2)1( d
fP uRk
La ruine par écrasement du béton en pied
cmckRk EfdP 2)2(29.0
Avec : d : diamètre du goujon (compris entre 16 et 25mm)
h : hauteur du goujon
uf : résistance ultime à la traction de l’acier du goujon (< 500 MPa)
ckf : résistance caractéristique à la compression du béton (>17.2 MPa)
cmE : module d’élasticité du béton
)1(2.0 d
h si 43
d
h, sinon 1
Finalement, ),min(1 )2()1(
RkRk
V
ELS
Rd PPP
avec : 25.1V ,
et ELS
RdS
ELU
Rd PkP avec : 6.0Sk (d’après l’Annexe Nationale).
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6.8.2 Dimensionnement sous ELS caractéristique
6.8.2.1 Calcul du flux de cisaillement
Pour chaque extrémité de barre mixte, un flux de cisaillement – ou glissement – peut être
calculé à partir des caractéristiques de la section non fissurée prenant en compte le traînage
de cisaillement uniquement.
)(
)()(
)(
, i
mixte
i
Ed
i
Ci
EdLI
VV
Le flux de cisaillement final de chaque section s’obtient en additionnant algébriquement les
contributions pour chaque phase mixte.
i
i
EdLEdL VV)(
,,
De plus, comme le calcul du tranchant est réalisé en enveloppe, la valeur du flux dans chaque
section d’abscisse x est déterminé par :
))();(max()( maxmin, xVxVxVELS
EdL
6.8.2.2 Principe de dimensionnement
Dans toute section du tablier, la densité de connecteurs doit être suffisante pour reprendre
intégralement le flux de cisaillement :
ELS
Rd
i
iELS
EdL PL
NxV )(, ,
l’ouvrage étant divisé en n tronçons de longueurs Li sur chacun desquels on dispose un
nombre Ni de goujons. Chaque tronçon a une longueur comprise en général entre 5 et 15 m.
Cependant, la détermination de ces tronçons peut être difficile à réaliser de manière optimale
par un algorithme. Le logiciel va donc calculer le nombre de goujons nécessaire par mètre en
prenant Li = 1 pour chaque section. Ce sera finalement à l’utilisateur de définir ses propres
tronçons dans un module de vérification des connecteurs dans un deuxième temps par
exemple.
À partir du nombre de goujons, il est possible de déterminer l’espacement maximal requis
entre deux rangées de goujons. Pour cela, il est nécessaire de connaître le nombre de goujons
par rangées.
)max(_)(
___
,
xespacementxV
PrangéespargoujonsNombre
EdL
ELS
Rd
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6.8.3 Dimensionnement sous ELU fondamental
Deux types de vérifications sont possibles sous combinaison ELU selon que la section
considérée est plastifiée ou non.
6.8.3.1 Cas des zones non plastifiées – Dimensionnement élastique
Dans le cas des zones non plastifiées, il s’agit de calculer le flux de cisaillement selon la
même méthode que pour l’ELS caractéristique avec le tranchant ELU cette fois.
De la même manière, le flux de cisaillement dans chaque section est donné par :
))();(max()( maxmin, xVxVxVELU
EdL
Normalement, dans le cas où des tronçons ont été définis, il y a deux types de vérifications à
effectuer (Cf. EN1994-2, 6.6.1.2(1)) :
localement :
ELU
Rd
i
iELU
EdL PL
NxV 1.1)(,
par tronçon :
1
)(,
i
i
x
x
ELU
Rdi
ELU
EdL PNdxxV
Cependant, comme nous n’avons pas de tronçons définis dans un premier temps, il ne faudrait
conserver que la vérification locale. Il est aussi possible de ne pas prendre en compte les 10%
de dépassement possible pour être sûr que la vérification par tronçon soit toujours correcte.
Une fois le nombre de goujons nécessaire connu, il est possible de déterminer l’espacement
maximal entre deux rangées de goujons comme dans le cas des ELS.
6.8.3.2 Cas des zones plastifiées – Comportement non linéaire
Lorsqu’une section soumise à un moment positif est plastifiée, le comportement de la
structure n’est plus élastique et le flux de cisaillement ne peut plus être calculé de manière
linéaire.
6.8.3.2.1 Délimitation des zones plastifiées
Dans un premier temps, on identifie B : la section
soumise au moment de flexion maximal en travée.
Ensuite, il s’agit de déterminer les sections limites de la
zone plastifiée : A et C. Elles correspondent aux sections
pour lesquelles la première fibre de la section plastifie.
fyacier ou fcdbeton
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G
H J
N
M
6.8.3.2.2 Diagramme d’interaction dans la section B
La construction du diagramme d’interaction M-N est nécessaire pour le dimensionnement de
la connexion. Ce diagramme est défini par trois points.
le point G ( Ma,Ed ; 0 )
le point H ( MplRd ; Npl,B )
le point J ( MelRd ; Nc,el )
Une simplification autorisée par l’EN1994-2 consiste
à n’utiliser que la droite GH du diagramme. Cela
permet de ne pas avoir à calculer MelRd et Nc,el mais
peut entrainer un surdimensionnement du nombre de
connecteurs.
Calcul de MelRd
D’après l’EN1994-2, 6.2.1.4(6) :
EdcEdaRdel MkMM ,,,
Avec k, un coefficient réducteur qui s’applique sur le diagramme des contraintes apportées
par McEd sur la section mixte de manière à ramener le diagramme final sous Med dans ses
limites élastiques.
Il suffit de supposer que chaque élément de la section mixte est plastifié, on calcule alors le
coefficient k pour chacun de ces éléments et on garde le plus petit tout en veillant à ce qu’il
soit inférieur ou égal à 1.
Par exemple, pour la semelle inférieure, on considère la contrainte au niveau de la face
inférieure de la semelle :
McEd
a
MaEd
ayd
semelle
fk
inf,
inf,inf,
inf_
Ou, pour la dalle :
c
cddalle
fk
Calcul de Nc,el
La résultante de compression Nc,el est calculée en intégrant le diagramme élastique des
contraintes sous k.McEd sur la hauteur de la dalle :
dalleh
ceffelc dzzbkN_
, )(
Soit : dalle
cc
effelc hbkN
2
sup,inf,
,
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Calcul de NplRd
Il y a deux cas possible selon la position de l’axe neutre plastique :
l’axe neutre est dans la dalle :
compriméedalleeffcdRdpl hbfN _, 85.0
l’axe neutre est dans l’acier :
dalleeffcdRdpl hbfN 85.0,
6.8.3.2.3 Dimensionnement des connecteurs
Entre les sections A et B (respectivement B et C), le nombre de connecteurs ABn
(respectivement BCn ) doit globalement être suffisant pour reprendre en cisaillement la
variation d’effort de compression dans la dalle :
ELU
Rd
ABAB
P
NNn
et
ELU
Rd
CBBC
P
NNn
Les connecteurs peuvent ensuite être répartis avec une densité constante entre les sections A
et B (respectivement B et C)
La valeur de BN s’obtient par le diagramme d’interaction M-N sur le segment [JH].
Les valeurs de AN et de CN se calculent par intégration du diagramme élastique des
contraintes ELU sur la section de la dalle (en prenant en compte le trainage de cisaillement).
dalle
cc
effX hbN
2
sup,inf,
6.8.4 Dimensionnement en fatigue
6.8.4.1 Détermination des variations de contraintes
Le passage du convoi de fatigue FLM crée les variations de contraintes suivantes :
, variation de contraintes de cisaillement dans le fût du goujon, au niveau de sa
soudure sur la semelle supérieure de charpente principale.
f , variation de contraintes normales dans la semelle supérieure de la charpente sur
laquelle sont soudés les goujons (cf. 1.Annexe 10 pour sa détermination).
Contrairement aux calculs d’amplitude de contraintes normales, le flux de cisaillement à
l’interface acier-béton est calculé sur une section résistante non fissurée (cf. EN1994-2,
6.8.5.5). Il faut en outre ajouter le glissement de cisaillement de torsion le cas échéant.
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On aura donc :
ii
i
i
FLMLltronçonlesurgoujonsdetotalnombreleNavec
l
Nd
V
4
2
,
Et
A
M
I
V
A
M
I
VV
tconcomiEdx
mixte
EdCtconcomiEdx
mixte
EdC
FLML22
tan,,
0,
min,tan,,
0,
max,
,
Avec :
A l’aire de la section fermée (cf. 1.Annexe 3)
C le moment statique de la dalle en béton par rapport au centre de gravité de la section
mixte
0,mixteI le moment d’inertie de la section mixte non fissuré sous 0n .
6.8.4.2 Étendue de contrainte équivalente
Comme pour la charpente et les armatures passives, la méthode simplifiée des étendues de
contraintes équivalentes à 2 millions de cycles est utilisée pour les connecteurs (cf. EN1994-2,
6.8.6.2(1).
vE 2,
Où 4,3,2,1, vvvvv
Cas des ponts routes
D’après l’EN1994-2, 6.8.6.2(3), 55.11, v et les autres sont calculés comme au § 0 mais
avec une pente m=8 au lieu de m=5, ce qui donne :
8
1
00
1
2
N
N
Q
Q obsm ; 8
1
3100
Ldt
;
8
1
8
1
4
vln
i
i
Cas des ponts ferroviaires
D’après l’EN1994-2, 6.8.6.2(4), 1,v dépend de la travée (cf. Figure 6-17) et les autres sont
calculés comme au § 0 mais avec une pente m=8 au lieu de m=5, ce qui donne :
8
1
62,1025
Volv ;
8
1
3,100
Ld
v
t ; 8 88
4, )11 aannv
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Figure 6-17 : Valeurs lv,1 en fonction de la portée pour trafic normal ou lourd
On rappelle aussi le calcul dans la semelle supérieure de charpente (cf. § 6.7)
fE 2,
6.8.4.3 Vérifications à la fatigue
Quel que soit l’état de contraintes dans la semelle supérieure de charpente, tendue ou
comprimée, le critère suivant est à vérifier. Il traduit la propagation d’une éventuelle fissure
de fatigue dans le fût du goujon.
sMf
c
EFf
,
2,
Avec, d’après l’EN1994-2, 2.4.1.2(6) AN :
0.1Ff , le coefficient partiel sur les charges de fatigue ;
25.1, sMf , le coefficient partiel pour la résistance des goujons ;
Et MPac 90 , la catégorie de détail à 2 millions de cycles d’après l’EN1994-2, 6.8.3(3).
Lorsque la semelle supérieure est tendue sous la combinaison ELU de fatigue, des fissures de
fatigue sont susceptibles de s’y propager sous les variations de f au niveau de la soudure
du goujon sur sa face supérieure. Il faut alors vérifier deux critères supplémentaires :
un critère dans la semelle
Mf
c
EFf
2,
Avec : 35.1Mf et MPac 80
un critère d’interaction entre 2,E et 2,E
3.12,2,
Mfc
EFf
Mfc
EFf
Par simplification sécuritaire, on peut utiliser les valeurs maximales de et de .
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Conclusion
L’étude réalisée a permis l'écriture d’un cahier des charges pour la mise en place d’une chaîne
de calcul des ouvrages mixtes courants de type bipoutre ou caisson. Elle décrit les principes
utilisés pour réaliser un modèle numérique permettant le calcul des efforts par un logiciel
annexe et des méthodes de justifications de la résistance des sections conformes avec les
normes Eurocodes.
Pour le moment, les différentes étapes de la chaîne de calcul sont développées sur des feuilles
Excel, sans être reliées automatiquement. Il est à noter que le déversement des poutres
métalliques n'a pas été traité.
L’objectif final de la chaîne de calcul est de pouvoir traiter l’ensemble des ouvrages mixtes,
en ne se limitant pas aux cas stricts des bipoutres ou caissons de largeur constante. Les
méthodes et résultats présentés dans le document permettent actuellement d’envisager le
calcul d’ouvrages complexes, sollicités en flexion, effort normal et cisaillement, comme les
ponts à haubans mixtes ou orthotropes. Pour cela, il pourrait suffire d'isoler les sections
problématiques et de les traiter à part manuellement ou par le biais d'un programme
spécifique.
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Bibliographie
[1] Sétra – Guide méthodologique Eurocodes 3 et 4, Application aux ponts-routes mixtes
acier-béton – Juillet 2007
[2] COMBRI – Guide de conception : Partie I, Application des règles Eurocodes – 2008
[3] Document de Formation Continue de l’ENPC – Eurocodes 3 et 4 : calcul des
structures métalliques et mixtes – Ponts Formation Edition – Octobre 2006
[4] Johansson B., Maquoi R., Sedlacek G., Müller C., Beg D. – Commentary and worked
examples to EN 1993-1-5 « Plated Structural Elements » – Octobre 2007
[5] Lebet J-P. et Hirt M. A. – Traité de Génie Civil de l’EPFL Volume 12, Ponts en
acier : Conception et dimensionnement des ponts métalliques et mixtes acier-béton
[6] Normes Eurocodes EN 1990 à 1998
[7] Gravier F., Rapport de PFE – Analyse préalable à l’élaboration d’un cahier des
charges d’une chaîne de calcul
[8] Mac Farlane J. – Quelques réflexions sur le calcul des ponts à haubans à tablier en
ossature mixte – Bulletin 21, Ponts métalliques – 2002
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ANNEXES
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Annexe 1 Choix de la modélisation de la dalle
1. Modélisations envisagées
Dans le cadre des calculs de vérification des ponts mixtes, il est nécessaire de choisir une
modélisation simplifiée de la dalle en béton armé. Il faut cependant que les caractéristiques de
cette modélisation ne différent pas trop de celles de la section réelle, en particulier après la
prise en compte des largeurs participantes de dalle.
Deux possibilités sont envisagées :
- modélisation 1 : modélisation de la dalle sous forme d’un unique rectangle de
surface identique auquel est imposé le même Vinf que celui de la géométrie réelle.
- modélisation 2 : modélisation de la dalle sous la forme de deux rectangles
superposés disposant des mêmes caractéristiques que la géométrie réelle (S, I, Vinf).
2. Essais sur trois ponts différents
Afin de pouvoir comparer les résultats des différentes modélisations, elles ont été testées sur
trois géométries de dalle différentes reposant sur des poutres en aciers différentes. Seuls le cas
du bipoutre a été testé.
Géométrie 1 :
Géométrie 2 :
Géométrie 3 :
Pour chaque géométrie, les
caractéristiques de la dalle sont
calculées dans trois cas :
Section réelle
Largeur participante de 80%
Largeur participante de 60%
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3. Comparaison des résultats
Géométrie 1 :
Calcul des caractéristiques de la section mixte
n = 6 n = 18
Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim
Géométrie réelle 0,778 m² 1,087 m4 100,00% 2,3613 m 0,466 m² 0,824 m4 100,00% 1,8888 m
Modélisation 1 0,778 m² 1,086 m4 99,91% 2,3613 m 0,466 m² 0,823 m4 99,96% 1,8888 m
Modélisation 2 0,778 m² 1,087 m4 100,00% 2,3613 m 0,466 m² 0,824 m4 100,00% 1,8888 m
n = 6 n = 18
Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim
Géométrie réelle 0,689 m² 1,034 m4 100,00% 2,2691 m 0,436 m² 0,779 m4 100,00% 1,8084 m
Modélisation 1 0,684 m² 1,032 m4 99,96% 2,2647 m 0,435 m² 0,776 m4 99,96% 1,8042 m
Modélisation 2 0,694 m² 1,036 m4 99,99% 2,2734 m 0,438 m² 0,780 m4 100,02% 1,8123 m
n = 6 n = 18
Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim
Géométrie réelle 0,610 m² 0,972 m4 100,00% 2,1613 m 0,410 m² 0,732 m4 100,00% 1,7252 m
Modélisation 1 0,591 m² 0,961 m4 99,95% 2,1376 m 0,404 m² 0,723 m4 99,84% 1,7067 m
Modélisation 2 0,611 m² 0,972 m4 99,97% 2,1616 m 0,410 m² 0,732 m4 99,98% 1,7256 m
Géométrie 2 :
Calcul des caractéristiques de la section mixte
n = 6 n = 18
Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim
Géométrie réelle 0,723 m² 2,180 m4 100,00% 3,5637 m 0,411 m² 1,626 m4 100,00% 2,8043 m
Modélisation 1 0,723 m² 2,177 m4 99,87% 3,5637 m 0,411 m² 1,625 m4 99,94% 2,8043 m
Modélisation 2 0,723 m² 2,180 m4 100,00% 3,5637 m 0,411 m² 1,626 m4 100,00% 2,8043 m
n = 6 n = 18
Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim
Géométrie réelle 0,630 m² 2,047 m4 100,00% 3,3988 m 0,380 m² 1,508 m4 100,00% 2,6509 m
Modélisation 1 0,630 m² 2,069 m4 100,58% 3,4149 m 0,380 m² 1,520 m4 100,48% 2,6598 m
Modélisation 2 0,654 m² 2,095 m4 100,74% 3,4523 m 0,388 m² 1,546 m4 100,76% 2,6968 m
n = 6 n = 18
Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim
Géométrie réelle 0,536 m² 1,883 m4 100,00% 3,1858 m 0,349 m² 1,376 m4 100,00% 2,4750 m
Modélisation 1 0,536 m² 1,923 m4 101,22% 3,2141 m 0,349 m² 1,397 m4 100,90% 2,4895 m
Modélisation 2 0,585 m² 1,989 m4 101,55% 3,3147 m 0,365 m² 1,455 m4 101,61% 2,5757 m
Section réelle
Largeur
participante : 80%
Largeur
participante : 60%
Section réelle
Largeur
participante : 80%
Largeur
participante : 60%
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Géométrie 3 :
Calcul des caractéristiques de la section mixte
n = 6 n = 18
Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim
Géométrie réelle 0,502 m² 0,612 m4 100,00% 2,3239 m 0,289 m² 0,451 m4 100,00% 1,8425 m
Modélisation 1 0,502 m² 0,611 m4 99,97% 2,3239 m 0,289 m² 0,451 m4 99,99% 1,8425 m
Modélisation 2 0,502 m² 0,612 m4 100,00% 2,3239 m 0,289 m² 0,451 m4 100,00% 1,8425 m
n = 6 n = 18
Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim
Géométrie réelle 0,437 m² 0,577 m4 100,00% 2,2235 m 0,268 m² 0,420 m4 100,00% 1,7485 m
Modélisation 1 0,438 m² 0,580 m4 100,17% 2,2286 m 0,268 m² 0,421 m4 100,16% 1,7523 m
Modélisation 2 0,448 m² 0,584 m4 100,24% 2,2425 m 0,271 m² 0,425 m4 100,36% 1,7657 m
n = 6 n = 18
Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim
Géométrie réelle 0,373 m² 0,534 m4 100,00% 2,0948 m 0,246 m² 0,385 m4 100,00% 1,6427 m
Modélisation 1 0,375 m² 0,537 m4 100,24% 2,1007 m 0,247 m² 0,386 m4 100,21% 1,6466 m
Modélisation 2 0,382 m² 0,541 m4 100,35% 2,1155 m 0,249 m² 0,390 m4 100,42% 1,6586 m
Dans les trois cas, le Vinf des sections de dalle en béton n’a pas été recalculé. La valeur de la
section réelle initiale a été conservée.
On remarque que les résultats obtenus pour les deux modélisations sont très proches des
valeurs réelles.
Dans le cas où on garde la longueur initiale, c’est la modélisation 2 qui correspond le mieux à
la section réelle car elle a été choisie de manière à ce que ses caractéristiques soient identiques
à celles de la section réelle.
Cependant, sauf pour la géométrie 1, c’est plus la modélisation 1 qui reste la plus proche des
valeurs réelles. Cela s’explique par le fait que la géométrie 1 présente un renformis plus
prononcé qui correspond mieux à la géométrie de la modélisation 2 (qui concentre le volume
au centre de la dalle) au contraire des deux autres géométries (au volume mieux réparti).
Il pourrait être intéressant de laisser le choix de la modélisation à l’utilisateur du
préprocesseur selon la géométrie de son projet.
Section réelle
Largeur
participante : 80%
Largeur
participante : 60%
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Annexe 2 Modélisation 3D d’un pont bipoutre mixte courbe
1. Géométrie de l’ouvrage
Le pont modélisé est tiré d’un exemple traité dans le cours : « conception des structures
métalliques – Dimensionnement des ponts » de l’école polytechnique fédérale de Lausanne.
Il s’agit d’un pont courbe de rayon constant avec R = 127 m. Il est composé de trois travées
continues de 25 m de longueur en travées de rive et de 38 m en travée centrale.
Les sections considérées pour le calcul sont décrites dans l’Annexe D - 6.1 du cours de l’école
polytechnique de Lausanne.
Les sections résistantes sont déterminées avec un coefficient d’équivalence n0 = 5.5. Leur
calcul est développé dans l’Annexe D du cours de l’école polytechnique de Lausanne.
2. Charges
D’après l’annexe A – 6.1, toutes les charges sont considérées uniformément répartie sur
l’ensemble de l’ouvrage :
Poids propre acier + béton : h = 2 x 3.9 = 7.8 t/ml
Surcharges permanentes : g = 2 x 1.25 = 2.5 t/ml
Surcharges d’exploitation : p = 0.7 x 11.5 = 8.05 t/ml
Soit une charge répartie totales de 18.35 t/ml.
3. Modélisation avec le logiciel ST1
Les deux poutres du bipoutre ont été modélisées sur ST1 par deux séries de barres avec leur
caractéristiques réelles.
(SX 0.3035 SZ 0.001 IY 0.08883 sy 0.001 ix 1e-5 iz 1e-5)
Une troisième série de barre a été créée entre les deux poutres pour modéliser le tablier et sur
laquelle la charge sera appliquée. Il s’agit de barres très souples et de section nulle.
(SX 1e-5 IY 1e-5 IZ 1e+5 IX 1e-5).
Ces trois séries de barres longitudinales sont reliées par des barres transversales :
Soit des barres rigides
(SX 1e+5 IY 1e+5 IZ 1e+5 IX 1e+5)
Soit des barres ayant les caractéristiques de la section transversale de béton
(SX 0.96 IY 0.004608 IZ 1e+5 IX 1e+5)
De plus, les entretoises peuvent aussi être modélisées par des barres transversales entre les
séries de barres représentants les poutres réelles. Dans ce cas, les barres auront les
caractéristiques d’un HEA 600.
(SX 0.02265 IY 1.412e-3 IZ 1.127e-4 IX 3.978e-6)
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Figure annexe 1 : Modélisation d'un bipoutre courbe dans ST1
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4. Comparaison des moments de flexion
4.1. Moment de flexion donné dans l’application numérique de la page D – 9.30
4.2. Moment de flexion calculé par ST1 et comparaison avec les résultats précédents
Modélisation avec entretoises et barres transversales (section de béton)
Modélisation avec entretoises et barres transversales rigides
Modélisation sans entretoises et avec barres transversales (section de béton)
Modélisation sans entretoises et avec barres transversales rigides
La différence observée peut être due à la méthode simplifiée utilisée dans l’exemple du cours
de l’école polytechnique de Lausanne. On peut aussi remarquer la faible influence de la
modélisation des entretoises.
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Annexe 3 Calcul de l’inertie de torsion
Dans le cas d’un pont caisson, lorsque la section d’acier ou la section mixte est fermée, il est
nécessaire de prendre en compte l’inertie de torsion de chaque barre pour l’inclure dans le
modèle numérique.
Le calcul de cette inertie est réalisé par une méthode simplifiée qui a été comparée à un calcul
par éléments finis.
Principe de la méthode simplifiée
L’inertie de torsion Ix peut être calculée à partir de cette formule :
el
AI x
24
Avec :
A : l’aire de la section fermée (ayant pour limite le milieu de chaque élément du
contour)
l : la longueur de chacun des éléments du contour
e : l’épaisseur de chacun des éléments du contour
Pour prendre en compte la dalle, il faut ramener l’étude au calcul de l’inertie d’une section
homogène. Pour cela, il est nécessaire de réduire l’épaisseur de la dalle à une épaisseur fictive
d’acier :
G
dalle
n
ee *
Avec : )1(0 tLGG nn qui dépend du phasage
et 2.1
3.1
1
1000
nn
G
Gn
beton
acier
acier
betonG
Comparaison avec un calcul par éléments finis
Deux exemples ont été traités pour valider la méthode simplifiée. Afin d’obtenir l’épaisseur e
du béton, la dalle a été modélisée par un unique rectangle de même section et disposée de
manière à avoir la même position du centre de gravité.
Exemple 1 : Pont caisson à section d’acier non fermée (Guide COMBRI)
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Géométrie de la section mixte
Le calcul de l’inertie de torsion à l’aide du logiciel RDM6 donne :
4133.6 mI x
Géométrie de la section homogénéisée (phase « chargement court terme »)
69.52.1
3.10 nnG
mme 5769.5
325*
Modèle à section fermée équivalent
Avec :
choisiGZH
L
hL
,
inf
sup
2/254000
6500
tan26500
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Avec prise en compte des semelles supérieures
- positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité de la dalle
%3933.55.162 6__%4 RDMdifférence
xG mImmZ
- positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité dalle+semelles
%4882.55.144 6__%4 RDMdifférence
xG mImmZ
Sans prise en compte des semelles supérieures (section d’acier non fermée)
- positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité de la dalle
%2015.65.162 6__%4 RDMdifférence
xG mImmZ
La valeur la plus proche de l’inertie calculée par éléments finis est celle obtenue en négligeant
les semelles supérieures et en positionnant le contour supérieur au niveau du centre de gravité
de la dalle.
Exemple 2 : Pont caisson à section d’acier fermée
Géométrie de la section mixte
Le calcul de l’inertie de torsion à l’aide du logiciel RDM6 donne : 4325.0 mI x
La dalle est modélisée par un rectangle de 8600mm de longueur sur 277mm de hauteur dont
le centre de gravité est positionné à 139mm au dessus de la face supérieure de la semelle
supérieure du caisson en acier.
Géométrie de la section homogénéisée (phase « chargement court terme »)
69.52.1
3.10 nnG
mme 4969.5
277*
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Modèle à section fermée équivalent
Avec : choisiGZH
mmL
,2/451750
2706
Dans ce cas, la semelle supérieure est forcément prise en compte, l’épaisseur d’acier
homogénéisée du contour supérieure sera donc : *
sup eee semelleSup .
- positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité de la dalle
%4310.0139 6__%4 RDMdifférence
xG mImmZ
- positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité dalle+semelle
%6304.062.108 6__%4 RDMdifférence
xG mImmZ
La valeur de l’inertie la plus proche du calcul par éléments finis est encore pour le
positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité de la dalle seule.
Conclusion
Finalement, la prise en compte de la torsion dans les sections fermées (en acier seul ou mixte)
se fera de la manière suivante :
modélisation de la dalle par un unique rectangle,
réduction de l’épaisseur de dalle à une épaisseur fictive d’acier,
positionnement du contour supérieur de la section fermée au niveau du centre de
gravité de la dalle et, selon la géométrie de la section d’acier :
o pour une section d’acier fermée : avec une épaisseur de*
sup eee semelleSup ,
o pour une section d’acier non fermée : avec une épaisseur de *e car les semelles
supérieures sont négligées.
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Annexe 4 Calcul des coordonnées des nœuds
Cas des ponts droits
Le modèle se compose d’une unique poutre droite. Chaque groupe de nœuds, selon leur
provenance, est généré. Puis l’ensemble des nœuds ainsi obtenu est trié par abscisse croissant
et les éventuels doublons sont supprimés. Les nœuds des appuis sont les mêmes que ceux de
la poutre. Ils ne sont donc pas à créer.
Cas des ponts courbes avec un seul rayon de courbure
L’utilisateur doit entrer les abscisses curvilignes pour chaque tronçons (travées, répart. mat.).
L’ensemble des nœuds requis est généré comme précédemment et leur abscisse curviligne
leur est associée. Le programme doit alors calculer les coordonnées cartésiennes de chacun
des nœuds.
Les coordonnées de la « poutre » du caisson et des barres de tablier du bipoutre se calculent
ainsi :
sin
)cos1(
Ry
Rx
Les coordonnées des nœuds des poutres principales du bipoutre se calculent ainsi :
sin)(
)cos1()(
eRy
eRx
Pour la génération des nœuds d’appuis, il est nécessaire de connaître l’excentrement e d’un
appui par rapport au centre du tablier, soit le demi-entraxe des poutres principales pour le
bipoutres ou la demi-largeur de la tôle de fond de caisson. L’utilisateur doit aussi entrer un
angle de rotation des appuis par rapport à la normale à l’axe du pont.
Les coordonnées des nœuds des appuis se calculent ainsi :
sinsincos
)cos1(sincos
Rxyy
Ryxx
xy
eReRRx
Avec
tan
)tan1()tan1(2tan1
1
:
2222
2
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Cas des ponts courbes avec plusieurs rayons de courbures
L’utilisateur doit entrer dans le programme la liste des rayons de courbures et les longueurs
curvilignes de chaque tronçon associé.
Le calcul de coordonnées sur le premier tronçon se déroule comme précédemment. Le repère
utiliser à cette occasion deviendra le repère de référence.
Pour le deuxième tronçon, correspondant au rayon de courbure suivante, un nouveau repère
est adopté de manière à pouvoir utiliser les formules ci-dessus. On prend l’hypothèse qu’au
niveau du nœud de jonction, la tangente droite et la tangente gauche sont identiques. Le
nouveau repère local aura donc l’axe des abscisses dirigé vers le centre du cercle de courbure
précédent. Une fois les coordonnées calculées dans ce repère, on se ramène au repère de
référence par une rotation d’angle ROs /)( 2 et une translation de vecteur 12OO avec iO
l’origine du repère i (repère 1 = repère de référence) et s(P) l’abscisse curviligne du point P.
De même pour le n-ième tronçon, les coordonnées sont calculées dans le repère « n » puis
rapportées au repère « n-1 » par une rotation d’angle ROs n /)( et une translation de
vecteur 1nnOO et ainsi de suite jusqu’à revenir au repère de référence.
La détermination des coordonnées des nœuds d’appuis est basée sur le même principe avec
les formules vues précédemment. Cependant, un problème se pose dans le cas où l’angle de
rotation de l’appui entraine le positionnement de l’appui sur un tronçon de courbure
différente. Le calcul se fait alors en deux temps. Pour chaque zone d’appuis, les coordonnées
du nœud d’appui sont calculées avec l’hypothèse que le rayon de courbure au niveau de
l’appui est le même qu’au niveau du nœud à l’axe du pont. Ensuite, l’abscisse curviligne de
l’appui ramené au niveau de l’axe du pont peut être déterminé et comparé aux limites du
tronçon de rayon R qui a été utilisé. S’il apparait que l’abscisse n’est pas dans l’intervalle, on
détermine alors le bon rayon R et on recommence le calcul.
Exemple numérique : Cf. feuille Excel : « ST1 Génération Appuis.xls »
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Annexe 5 Modélisation 3D d’un pont bipoutre mixte droit
(Exemple du pont traité par le guide COMBRI)
1. Données d’entrée (géométrie, matériaux, phasage, actions)
Le pont modélisé est tiré du guide de conception COMBRI. Il s’agit d’un bipoutre mixte
hyperstatique de trois travées. La description du tablier est effectuée dans le chapitre 2.1 de ce
guide (page 5 à 13).
Les données relatives aux matériaux (aciers de charpente, acier d’armatures, béton, ciment)
sont données dans le chapitre 2.3 (page 25 à 31)
2. Modélisation avec le logiciel ST1
Le pont est modélisé en prenant en compte les hypothèses mentionnées dans ce cahier des
charges. Il est donc modélisé en deux dimensions. Les chargements sont déterminés en
prenant en compte une répartition transversale des charges.
Une autre modélisation sera aussi effectuée en trois dimensions avec les mêmes hypothèses
que pour la modélisation du pont courbe effectuée précédemment pour valider l’hypothèse de
répartition transversale des charges prises dans le modèle précédent et pour estimer
l’influence des inerties des barres transversales et de la prise en compte des entretoises dans le
modèle 3D.
3. Résultats (ST1)
Modélisation 2D : Moment de flexion sous combinaison ELU (en t.m) :
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Modélisation 2D : Efforts tranchants sous combinaisons ELU (en t) :
Modélisation 3D : Moment de flexion sous combinaisons ELU (en t.m) :
(Avec entretoises et barres transversales ayant les caractéristiques de la section béton)
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Série11
Série1
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Modélisation 3D : Efforts tranchants sous combinaisons ELU (en t) :
(Avec entretoises et barres transversales ayant les caractéristiques de la section béton)
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Série11
Série1
4. Comparaison entre la modélisation 2D et 3D
Seules les sollicitations maximales et minimales vont être utilisées pour la comparaison.
C'est-à-dire le moment de flexion minimal sur appui intermédiaire et maximal en travée de
rive ainsi que le tranchant minimal et maximal sur appui intermédiaire.
Modèle 2D - Sollicitations sous combinaison ELU :
sur appui intermédiaire 1 : Med = -57.5 MN.m ; Ved = -5.8 MN / +5.55 MN
en travée de rive : Med = 38.4 MN.m
Modèle 3D - Sollicitations sous combinaison ELU :
appui intermédiaire : Med = -57.6 MN.m ; Ved = -5.6 MN / +5.4 MN
en travée de rive : Med = 38.9 MN.m
Les pourcentages de différence valent donc :
sur appui intermédiaire : pour Med : 0.2%, pour Ved : 3%
en travée de rive pour Med : 1.3%
En conclusion, on remarque que les valeurs sont quasiment identiques. La répartition
transversale utilisée dans la modélisation en deux dimensions est donc valide.
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5. Influence du choix des barres transversales dans la modélisation 3D
Comme mentionné précédemment lors de la modélisation d’un pont courbe, les barres
transversales reliant les barres des poutres principales et les barres de voie doivent avoir les
caractéristiques de la section transversale de béton :
(SX …… IY …… IZ 100000 IX 100000)
Par simplification, elles pourraient être remplacées par des barres rigides :
(SX 100000 IY 100000 IZ 100000 IX 100000)
De plus, Il serait intéressant de mesurer l’influence de la modélisation des entretoises.
Comme dans le paragraphe précédent, seules les sollicitations maximales et minimales seront
comparées.
Modèle 3D avec entretoises et barres transversales avec caractéristiques béton - Sollicitations
sous combinaison ELU :
appui intermédiaire : Med = -57.55 MN.m ; Ved = -5.62 MN / +5.37 MN
en travée de rive : Med = 38.9 MN.m
Modèle 3D avec entretoises et barres transversales rigides - Sollicitations sous combinaison
ELU :
appui intermédiaire : Med = -57.54 MN.m ; Ved = -5.62 MN / +5.37 MN
en travée de rive : Med = 38.9 MN.m
Modèle 3D sans entretoises et barres transversales avec caractéristiques béton - Sollicitations
sous combinaison ELU :
appui intermédiaire : Med = -57.55 MN.m ; Ved = -5.62 MN / +5.37 MN
en travée de rive : Med = 38.9 MN.m
Modèle 3D sans entretoises et barres transversales rigides - Sollicitations sous combinaison
ELU :
appui intermédiaire : Med = -57.54 MN.m ; Ved = -5.62 MN / +5.37 MN
en travée de rive : Med = 38.9 MN.m
La modélisation de barre rigide entraine une différence de 0.02% du moment de flexion
minimal sur appui intermédiaire. Cette différence est négligeable, l’utilisation des barres
rigides est donc valable.
De plus, la prise en compte des entretoises ne joue aucun rôle dans les résultats : aucune
différence n’apparaît dans le cas où elles ne sont plus modélisées. Il est donc inutile de les
ajouter au modèle.
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Annexe 6 Calcul des contraintes normales
1. Calcul des contraintes dues à chaque étape du phasage
Les contraintes normales dans une section mixte sont calculées indépendamment pour chaque
étape du phasage (correspondant à chacune des barres 1000 à 5000). Elles dépendent du
matériau, plusieurs cas sont possibles.
Cas 1 : acier seul (barre 1000 uniquement)
Les propriétés mécaniques sont notées az , aA et aI la contrainte dans l’acier à une côte z est :
a
a
Eda
a
Eda
aI
zzM
A
N ,
,
Cas 2 : section mixte fissurée (acier de charpente et armatures)
Soit n le coefficient d’équivalent de la barre mixte non fissurée étudiée. Les propriétés
mécaniques de la section mixte sont notées 2z , 2A et 2I . La contrainte à la côte z e st :
2
2
,
2
,
I
zzM
A
Nz Edmixtebarre
Edmixtebarre
n
Cas 3 : section mixte non fissurée (béton participant et effets isostatiques du
retrait)
Soit n le coefficient d’équivalent de la barre mixte non fissurée étudiée. Les propriétés
mécanique de la section mixte sont notées mz , mA et mI . La contrainte à la côte z est :
m
m
Edmixtebarre
m
Edmixtebarre
nI
zzM
A
Nz
,
,
Dans le cas où le coefficient d’équivalence est celui utilisé pour le retrait, il faut ajouter les
contraintes dues au retrait isostatique. Par retrait, on considère le retrait du béton et le retrait
thermique.
retraitm
retraitm
Ediso
retraitm
Ediso
isoI
zzM
A
Nz
,
,
,
,
,
Avec bétonretrait
retrait
a
Ediso An
EN , et mbétonEdisoEdiso zzNM ,, ;
Et bétonA l’aire brute de la dalle, bétonz la position du centre de gravité de la dalle.
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2. Calcul des contraintes totales
Le calcul des contraintes des sections mixtes est réalisé de manière itérative. Un premier
calcul est réalisé après l’analyse globale non fissurée en prenant en compte une dalle
participante. Les calculs des contraintes mixtes seront alors réalisés suivant le cas 3 puis les
contraintes de chacune des phases sont sommées :
zzzz iso
fissurénon
n
na
Comme expliqué au § 2.3.1, on réalise ensuite une analyse « fissurée ». Dans ce cas, dans les
sections considérées comme fissurée, les contraintes sont calculées comme dans le cas 2 et les
effets isostatiques du retrait ne sont pas pris en compte. La contrainte totale devient :
fissuré
n
na zzz
Dans le cas contraire, si la section est considérée comme non fissurée dans l’analyse globale,
les contraintes sont à nouveau calculées selon le cas 3 comme précédemment.
Par la suite, les contraintes seront calculées dans un premier temps à partir de l’état de
fissuration utilisé dans l’analyse globale, comme dans le cas 2 si la section est considérée
comme fissurée et comme dans le cas 3 sinon. Pour une section considérée comme non
fissurée, si des contraintes de traction apparaissent dans la dalle en béton, celle-ci est alors
partiellement fissurée. Dans ce cas, en l’absence d’un effort normal N conséquent, on
recommence le calcul en section fissurée avec un béton non participant et les effets
isostatiques du retrait non pris en compte.
Cependant, cette simplification est trop défavorable dans le cas d’un tablier en compression
sous effort normal. De plus, si le béton se fissure dans une phase puis se comprime à nouveau
dans une autre sous l’effet de N, ou inversement, la sommation simple des contraintes n’est
plus réalisable. Dans ce cas, la chaîne doit avertir l’utilisateur par le biais d’un message lui
signifiant le problème et l’encourageant à traiter ce cas lui même manuellement – où en
utilisant une feuille de calcul annexe par exemple. Une méthode de calcul est proposée en
Annexe 12.
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Annexe 7 Calcul des propriétés plastiques
La théorie rigide plastique est appliquée pour la détermination de la classe des sections, pour
la résistance à la flexion des sections de classe 1 ou 2 et pour l’interaction flexion-effort
tranchant.
1. Règles
Les règles de calcul sont les suivantes :
il existe une interaction complète entre l’acier de construction, le béton et les
armatures ;
les aires efficaces des éléments en acier de construction sont soumises à des
contraintes égales à leurs limites d’élasticité de calcul fyd aussi bien en traction qu’en
compression ;
les aires efficaces des armatures sont soumises à une contrainte égale à leur limite
d’élasticité de calcul sdf en traction ; en compression elles sont négligées sauf si la
section est en zone fissurée de l’analyse globale, auquel cas elles sont soumises à sdf
en compression ;
l’aire efficace de béton reprend une contrainte de 0.85 cdf en compression constante
sur toute la hauteur entre l’axe neutre plastique et la fibre la plus comprimée du béton,
sauf si la section est en zone fissurée de l’analyse globale ; la résistance à la traction
du béton est négligée.
2. Axe neutre plastique
Le béton est participant uniquement entre l’axe neutre plastique et la fibre de béton la plus
comprimée. Sous MEd < 0, l’axe neutre plastique est en général dans la poutre en acier et le
béton n’est alors pas résistant. De plus, pour les sections situées en zone fissurée de l’analyse
globale, la résistance du béton n’est jamais prise en compte. Les distributions plastiques types
sont illustrées sur le schéma suivant :
Figure 6-18: Distribution plastique des contraintes
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La distribution plastique doit être telle que l’effort normal plastique résistant de la section soit
nul. Le moment plastique résistant Mpl,Rd de la section est alors calculé à partir de cette
distribution de contrainte.
Il est fait le choix de ne pas prendre en compte le béton comprimé dans le cas d’une section
située dans la zone fissurée de l’analyse globale même si le moment sollicitant EdM est
positif.
Les sections efficaces S, prenant en compte les effets du traînage de cisaillement, sont
utilisées.
La position de l’axe neutre plastique est déterminée en fonction des efforts résistants
plastiques des différents éléments.
En compression :
0M
ybf
abfabf
fAN
pour la semelle inférieure ;
0M
yw
awaw
fAN
pour l’âme ;
0M
ytf
atfatf
fAN
pour la semelle supérieure ;
cdclrclr fAN 85.0 pour la partie de la dalle béton située sous la nappe inférieure
d’armatures ;
cdclurclur fAN 85.0 pour la partie de la dalle béton située entre les nappes d’armatures ;
cdcurcur fAN 85.0 pour la partie de la dalle béton située au dessus de la nappe supérieure
d’armatures.
Avec curclurclrb AAAA l’aire de la demi-dalle béton
En traction :
0M
ybf
abfabf
fAN
pour la semelle inférieure ;
0M
yw
awaw
fAN
pour l’âme ;
0M
ytf
atfatf
fAN
pour la semelle supérieure ;
sdtslrsl fAN pour la nappe inférieure d’armatures ;
sdtsursu fAN pour la nappe supérieure d’armatures.
On note de plus :
atfawabfa NNNN la résistance de la poutre en acier de construction ;
curclurclrc NNNN la résistance de la dalle en béton ;
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susls NNN la résistance des armatures.
Les relations suivantes sont utilisées pour déterminer la position de l’axe neutre plastique.
Sous 0EdM en zone non fissurée de l’analyse globale :
Sous 0EdM en zone fissurée de l’analyse globale :
En pratique, les trois dernières situations ne sont pas réalisables.
Sous 0EdM :
Dans le cas où 0EdM , on suppose raisonnablement que la position de l’axe neutre plastique
n’est pas dans la dalle.
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Une fois la zone dans laquelle se situe l’axe neutre plastique déterminée, on peut calculer sa
cote plz , mesurée depuis le dessous de la semelle inférieure, en cherchant la portion de
l’élément en dessous de l’axe neutre plastique assurant la condition d’effort normal plastique
résistant nul.
Voir diagramme : Détermination de l’axe neutre plastique.pdf
3. Moments plastiques résistants
Calcul de RdPlM , :
Le moment plastique résistance RdPlM , est calculé à partir de la distribution de contraintes
correspondant à la position de l’axe neutre plastique.
Dans le cas de sections mixtes comprenant de l’acier de nuance S420 ou S460 et lorsque
0EdM en dehors de la zone fissurée de l’analyse globale, il convient de réduire RdPlM ,
d’un coefficient réducteur β. Il dépend de la proportion de hauteur comprimée de la section et
traduit le fait qu’un acier de nuance plus élevée doit se déformer davantage pour atteindre sa
limite d’élasticité ce qui peut engendrer une fissuration de la dalle par excès de compression.
Le coefficient β se calcule de la manière suivante :
1 si 15.0tot
pl
h
x
25.0
15.0
15.01
tot
pl
h
x
si 40.015.0 tot
pl
h
x
L’analyse selon la théorie rigide plastique ne peut plus être utilisée dans le cas où 40.0tot
pl
h
x
Où :
toth est la hauteur totale de la poutre
plx est la hauteur comprimée de la poutre, soit la distance entre l’axe neutre plastique et
la fibre extrême comprimée de la dalle en béton.
Figure annexe 2 : Facteur de réduction β du moment plastique résistant Mpl,Rd
Calcul de RdfM ,
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Le moment RdfM , est le moment résistant plastique de calcul d’une section composée
uniquement des semelles efficaces S+P.
Par rapport au calcul de RdPlM , , il ne faut plus prendre en compte l’effort résistant de l’âme et
il faut de plus considérer la réduction au voilement local de la semelle inférieure. La même
méthode est ensuite appliquée, en ne considérant plus le cas où l’axe neutre plastique se situe
dans l’âme.
Calcul de VRdPlM ,,
Le moment VRdPlM ,, est le moment résistant plastique de calcul d’une section complète dans
laquelle on considère que l’âme possède une résistance de calcul réduite donnée par
l’expression :
ydwVydw ff 1,
Où
2
12
Rd
Ed
V
V
Le calcul est mené par rapport à la position de l’axe neutre plastique de la section complète
initiale plz , c'est-à-dire sans prendre en compte le décalage éventuel généré par la limite
d’élasticité réduite de l’âme, conformément à l’article 6.2.2.4(4) de l’EN 1994-2.
Remarque : Le choix de ne pas décaler la position de l’axe neutre plastique permet d’obtenir
une analogie avec le critère d’interaction flexion-tranchant utilisé pour les sections de classe 3
ou de classe 4, en effet :
Figure annexe 3 : Moment plastique résistant réduit au tranchant Mpl,Rd,V
On a :
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RdfRdplRdfVRdpl MMMM ,,,,, 1
Soit :
RdfRdplRdplVRdpl MMMM ,,,,,
D’où :
112111
2
,
,
,,
,
,
,,
Rd
Ed
Rdpl
Rdf
Rdpl
Ed
Rdpl
Rdf
Rdpl
EdVRdplEd
V
V
M
M
M
M
M
M
M
MMM
Ce qui correspond au critère de la formule (7.1) de l’EN 1993-1-5 dans le cas où RdbwRd VV , ,
c'est-à-dire lorsque la plaque d’âme est sujette au voilement par cisaillement.
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Annexe 8 Coefficients de voilement par cisaillement
1. Calcul du coefficient de voilement par cisaillement kτ (cf. EN1993-1-5, Annexe A3)
On considère une plaque de largeur b, d’épaisseur t, munie de raidisseurs transversaux
espacés d’une distance a, supposés rigides. La détermination du coefficient de voilement par
cisaillement kτ dépend du nombre de raidisseurs longitudinaux.
1er
cas : absence de raidisseur longitudinal
Le coefficient de voilement est donné par les formules suivantes :
100.434.5
2
b
asi
a
bk
134.500.4
2
b
asi
a
bk
2ème
cas : un ou deux raidisseurs longitudinaux avec a/b < 3
Le coefficient de voilement est donné par la formule suivante :
332
3
2.2
18.03.6
1.4bt
I
b
a
bt
I
k sl
sl
3ème
cas : autres situations
Le coefficient de voilement est donné par les formules suivantes :
100.434.5
2
b
asik
a
bk sl
100.434.5
2
b
asik
a
bk sl
Où : 34
3
3
21.2
9b
I
tbt
I
a
bk slsl
sl
slI est la somme des inerties des raidisseurs individuels dans la flexion hors plan de la
plaque, cf. schéma suivant :
Figure annexe 4 : Raidisseur et tôle participante
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2. Calcul du coefficient réducteur au voilement par cisaillement χ (cf . EN1993-1-5, 5.3 et
Tableau 5.1)
Le coefficient réducteur au voilement par cisaillement χ est déterminé dans le cas où les
raidisseurs transversaux sont rigides. Il dépend de l’élancement réduit de la plaque raidie :
Tableau annexe 1 : Coefficient de voilement par cisaillement χ
L’élancement réduit est donné par l’expression :
kt
b
4.37
Remarque : L’article 5.3(5) de l’EN 1993-1-5 impose que l’élancement réduit soit supérieur à
l’élancement réduit des panneaux secondaires inclus dans la plaque entre raidisseurs
longitudinaux. Dans le cas présent où les raidisseurs transversaux sont rigides, cette condition
est toujours vérifiée étant donné que bak
bb
,
est croissante pour a fixé.
La figure suivante illustre le tableau précédent, dans le cas où 20.1 .
Figure annexe 5 : Coefficient de voilement par cisaillement χ
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Annexe 9 Calcul de la contrainte critique de voilement de plaque σcr,p
D’après l’EN 1993-1-5, Annexe A.1 et A.2
La contrainte critique de voilement de plaque pcr , dépend de la répartition de contraintes
dans la plaque. Dans le cas de la tôle de fond de caisson raidie, la contrainte de compression
est uniforme, et ainsi le rapport de contrainte ψ vaut 1, de plus l’espacement des raidisseurs a
été pris constant. Par contre, dans le cas des âmes, ψ est différent de 1 et l’espacement des
raidisseurs n’est pas forcément constant, ce cas sera donc traité à part.
La méthode de calcul dépend du nombre de raidisseurs longitudinaux. On distingue trois cas :
1er
cas : un seul raidisseur longitudinal (Annexe A.2)
Études de la tôle de fond de caisson (ψ=1)
Figure annexe 6 : de fond avec raidisseur unique
La contrainte critique correspond à la contrainte de flambement d’une barre isolée fictive sur
appui élastique, dont la section transversale est présentée sur le schéma suivant.
Figure annexe 7 : Flambement du raidisseur unique
Dans le cas d’un rapport de contrainte ψ = 1, la barre est composée du raidisseur et de la
demi-largeur des panneaux élémentaires adjacents de la tôle de fond. L’hypothèse
d’espacement constant entre raidisseurs conduit au cas où b1 = b2 = bp/2.
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La contrainte critique pcr , est donnée par les formules suivantes :
c
sl
sl
a
pcr aasibb
btI
A
E
21
3
1,
1,
,
05.1
c
sl
a
sl
sla
pcr aasibbA
abtE
aA
IE
2
2
2
11,
22
23
2
1,
1,
2
,14
Où
43
2
2
2
11,33.4
bt
bbIa
sl
c
;
1,slA est l’aire brute de la barre ;
1,slI est l’inertie de la section brute de la barre dans la flexion hors plan de la plaque.
Études des âmes (ψ≠1)
Dans le cas des âmes, la compression n’est pas uniforme. Les raidisseurs situés dans une zone
tendue sont négligés et on utilise à nouveau les formules précédentes. Cependant, le calcul de
1,slA et de 1,slI est modifié.
Lorsque le panneau secondaire est entièrement comprimé, il convient de prendre en compte
une partie (3 – ψ)/(5 – ψ) de sa largeur b1 du côté du bord du panneau, et une partie 2/(5–ψ)
du côté du bord soumis à la contrainte maximale. Lorsque les contraintes changent de signe
dans le panneau secondaire, il convient de prendre en compte une partie égale à 0,4 fois la
largeur bc de la partie comprimée de ce panneau secondaire.
Figure annexe 8 : Notations relatives à une âme avec un seul raidisseur dans la zone comprimée
2ème
cas : deux raidisseurs longitudinaux (Annexe A.3)
Études de la tôle de fond de caisson (ψ=1)
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Figure annexe 9 : Tôle de fond avec deux raidisseurs
Dans le cas de deux raidisseurs, il faut considérer séparément le flambement du raidisseur I,
du raidisseur II et le flambement conjoint des deux raidisseurs. Dans chaque situation, on
considère une unique barre et on applique les formules du cas à un seul raidisseur
longitudinal. La contrainte critique de voilement pcr , est la plus faible des contraintes de
flambement de ces trois situations :
Le raidisseur II est supposé rigide et on étudie le flambement du raidisseur I.
Figure annexe 10 : Flambement du raidisseur I dans le cas de deux raidisseurs
La méthode pour un seul raidisseur est appliquée avec, dans le cas général :
1,1,1,1,212211 ;;;; slslslsl IIAAbbbbbbb
Le raidisseur I est supposé rigide et on étudie le flambement du raidisseur II. Avec
l’hypothèse de symétrie des raidisseurs, le cas 2 est identique au cas 1.
On étudie le flambement conjoint des deux raidisseurs I et II en considérant un raidisseur
équivalent tel que :
- son aire et son moment d’inertie sont la somme des aires et des moments d’inertie des
deux raidisseurs individuels ;
- son emplacement correspondant à celui de la résultante des forces appliquées sur les
raidisseurs individuels.
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Figure annexe 11 : Flambement du raidisseur fictif I+II dans le cas de deux raidisseurs
La méthode pour un seul raidisseur est appliquée avec, dans le cas général :
)2
(1 12
,,
,
1211 symétriquecasledansb
bsoitbAA
Abbbb
p
IIslIsl
IIsl
)2
( 132
,,
,
322 symétriquecasledansb
bsoitbbAA
Abbb
p
IIslIsl
IIsl
bb
IIslIslIIIslsl AAAA ,,,1,
IIslIslIIIslsl IIII ,,,1,
La contrainte critique de voilement vaut alors IIIpcrIIpcrIpcrpcr ,,,,,,, ;;min .
Études des âmes (ψ≠1)
De même que pour le 1er
cas, on réutilise les mêmes formules mais on calcule 1,slA et de
1,slI avec des valeurs b modifiées.
3ème
cas : trois raidisseurs longitudinaux ou plus (Annexe A.1)
La contrainte critique de voilement est déterminée en considérant une plaque orthotrope
équivalente en considérant les raidisseurs longitudinaux comme « tartinés » sur la largeur de
la plaque.
La contrainte critique est alors donnée par la formule :
Eppcr k ,,
Où :
22
22
112 b
tEa
E
la contrainte de référence d’Euler ;
pk , le coefficient de voilement global de la plaque orthotrope équivalente, évaluée de
la manière suivante, uniquement dans le cas où les raidisseurs sont également espacés :
42
22
,11
112
sik p
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4,
11
14
sik p
Avec :
1 dans le cas des tôles de fond de caisson, à calculer dans le cas des âmes
p
sl
I
I
p
sl
A
A
5.0b
a
slI est l’inertie totale de l’ensemble de la plaque raidie (à ne pas confondre avec
l’inertie des raidisseurs)
2
3
112
tbI p est l’inertie de flexion de la plaque
slA est la somme des aires brutes des raidisseurs longitudinaux individuels
tbAp est l’aire brute de la plaque
Les propriétés géométriques sont illustrées sur le schéma suivant :
Figure annexe 12 : Paramètres géométriques pour raidisseurs tartinés
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année – Spécialité Génie-Civil 134/147
Annexe 10 Méthode de calcul simplifié de l’amplitude de contrainte à l’ELU de fatigue
L’amplitude de contrainte dans la charpente ou dans les armatures passives, pour une section
donnée, dépend de la participation du béton. Il est fait l’hypothèse que le béton partiellement
tendu ne résiste pas.
Il est raisonnable de dire que la contrainte de traction dans le béton est maximale à court
terme lorsque le béton n’a pas encore flué sous les charges permanentes. A la mise en service,
la part du moment fléchissant de calcul total appliquée aux sections mixtes non fissurées
fEdcM ,, se décompose en moments repris par des sections dont les modules d’équivalence
sont proches du module court terme 0n . On fait alors l’hypothèse simplificatrice que le
moment fEdcM ,, est appliqué entièrement à la section court terme, de propriétés mécaniques
0mz et 0mI . Les contraintes auto équilibrées des effets primaires sont aussi évaluées avec ces
propriétés court terme. Les propriétés mécaniques de la section mixte fissurée sont notées 2z
et 2I .
Les contraintes dans la charpente sont données pour les 3 situations de calculs.
Béton participant sous fEdcM max,,, et fEdcM min,,,
primaireretrait
m
m
fEdc
a
a
EdafI
zzM
I
zzMz
0
0
max,,,,max,
primaireretrait
m
m
fEdc
a
a
EdafI
zzM
I
zzMz
0
0
min,,,,min,
Soit une amplitude de contrainte à la cote z : 0
0
m
m
FLMfI
zzMz
Béton participant sous fEdcM min,,, uniquement
2
2max,,,,max,
I
zzM
I
zzMz fEdc
a
a
Edaf
0
0
max,,,,max,
m
m
fEdc
a
a
EdafI
zzM
I
zzMz
Soit une amplitude de contrainte : 0
0
max,,,
2
2max,,,
m
m
fEdcfEdcfI
zzM
I
zzMz
Béton non résistant sous fEdcM min,,, et fEdcM max,,,
2
2max,,,,max,
I
zzM
I
zzMz fEdc
a
a
Edaf
2
2max,,,,max,
I
zzM
I
zzMz fEdc
a
a
Edaf
Soit une amplitude de contrainte : 2
2
I
zzMz FLMf
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Annexe 11 Calcul du coefficient d’équivalence en fatigue
Le coefficient dépend du matériau et du type de pont.
1. Charpente en acier
Le coefficient de dommage équivalent se calcule par :
max4321
Il faut distinguer les types de ponts.
1.1. Ponts routiers
Les formules suivantes ne sont valables que pour des ponts dont les portées sont inférieures à
80m.
Calcul de 1 et max
Le coefficient 1 traduit l’effet du trafic. Les coefficients 1 et max dépendent de la position
de la section sur l’ouvrage, voir schéma ci-dessous :
Figure 6-19 : Zones d'influences à la fatigue
Travées de rive et centrale, à plus de 15% de la travée d’un appui intermédiaire
Pour une travée de portée L, on a une longueur d’influence LL int et :
70
107.055.2 inf
1
L
mLsi
mLsiL
250.2
2515
105.05.2
inf
infinf
max
Appuis intermédiaires, de -15% à +15% de travées adjacentes
Pour des travées adjacentes de portées 1L et 2L , on a une longueur d’influence
21int 5.0 LLL et :
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mLsiL
mLsiL
3050
305.070.1
3020
103.00.2
infinf
infinf
1
mLsi
L
mLsi
3050
3090.080.1
3080.1
infinf
inf
max
Calcul de 2
Le coefficient 2 rend compte de la composition du trafic sur la voie lente : 2.0
00
1
2
N
N
Q
Q obsm
Où :
kNQ 4800
6
0 105.0 N
2.05
1
i
ii
m
est le poids moyen des poids-lourds circulant sur la voie lente,
avec iQ le poids d’un poids-lourd circulant sur la voie lente i.
Calcul de 3
Le coefficient 3 rend compte de la durée de vie de calcul du pont Ldt en années :
2.0
3100
Ldt
Calcul de 4
Le coefficient 4 traduit les efforts du trafic lourd sur les autres voies lentes de l’ouvrage : 2.0
5
111
4
m
mii
n
i
i
Q
Q
N
Nvl
Où :
miQ est le poids moyen des poids-lourds sur la voie i
iN est le nombre de poids-lourds par an sur la voie i
i est le coefficient d’influence transversale de la voie lente i
Le programme Excel effectue le calcul en prenant comme hypothèse que le poids moyen ainsi
que le nombre de poids-lourds par an sont les mêmes sur toutes les voies lentes de l’ouvrage.
Ainsi :
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2.05
1
4
vln
i
i
1.2. Ponts ferroviaires
Les formules suivantes ne sont valables que pour des ponts dont les portées sont inférieures à
100m.
Calcul de 1
Le coefficient 1 prend en compte l’effet du trafic. Comme dans le cas d’un pont routier, sa
valeur dépend de la longueur d’influence infL fonction de la position de la section dans
l’ouvrage.
Les tableaux 9.3 et 9.4 de l’EN 1993-2 donnent le coefficient 1 pour différents types de
trafic.
Calcul de 2
Le coefficient 2 rend compte du volume de trafic. Il est obtenu par interpolation des valeurs
du tableau suivant à partir du trafic annuel par voie :
Figure 6-20 : Coefficient λ2 pour la charpente en acier des ponts ferroviaires
Calcul de 3
Le coefficient 3 rend compte de la durée de vie de calcul du pont Ldt en années :
2.0
3100
Ldt
Calcul de 4
Le coefficient 4 est pris en compte pour les ouvrages supportant deux voies ou plus. Il
représente l’effet du passage de train sur les autres voies de l’ouvrage. Il dépend de la
proportion de trafic n se croisant sur le pont.
Le coefficient 4 est donné par la formule suivante :
5 55
4 )11 aann
Où :
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21
1
a est le rapport d’étendue de contrainte au niveau de la section à vérifier de la
situation à une voie chargée sur la situation à deux voies chargées ;
n est la proportion du trafic se croisant sur l’ouvrage, la valeur de référence est 12%
d’après l’article 9.5.3(8) de l’EN 1993-2.
Calcul de max
La valeur recommandée est : 4.1max
2. Armatures passives
Le coefficient de dommage équivalent s se calcule par :
4,3,2,1, ssssfats
Il faut distinguer les types de ponts.
2.1. Ponts routiers
Le coefficient de majoration dynamique fat est donné dans la partie trafic, voir § 2.2.3.5.
Calcul de 1,s
Le coefficient 1,s prend en compte les effets du volume de trafic en fonction de la longueur
d’influence infL de l’élément. Sa valeur est lue dans les figures NN,1 et NN,2 de l’EN 1992-2.
Calcul de 2,s
Le coefficient 2 caractérise l’influence du volume de trafic annuel et du type de trafic :
21
2,0.2
k
obss
NQ
Avec Q donné dans la partie trafic, voir § 2.2.3.5, et 92 k .
Calcul de 3,s
Le coefficient 3,s rend compte de la durée de vie de calcul du pont Ldt en années :
21
3,100
k
Lds
t
Calcul de 4,s
Le coefficient 4,s traduit les efforts du trafic lourd sur les autres voies lentes de l’ouvrage :
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21
1,
,
4,
k
obs
iobs
sN
N
Où : iobsN , est le nombre de poids-lourds par an sur la voie i
Le programme Excel effectue le calcul en prenant comme hypothèse que le nombre de poids-
lourds par an est le même sur toutes les voies lentes de l’ouvrage. Ainsi :
21
4,
k
vls n
2.2. Ponts ferroviaires
Le coefficient de majoration dynamique fat vaut 1 pour les ponts ferroviaires.
Calcul de 1,s
Le coefficient 1,s traduit les effets du volume de trafic en fonction de la longueur d’influence
infL de l’élément. Sa valeur est indiquée dans le tableau NN,2 de l’EN 1992-2.
Calcul de 2,s
Le coefficient 2,s caractérise l’influence du volume de trafic annuel et du type de trafic :
21
62,1025
k
s
Vol
Où Vol est le volume de trafic annuel, en tonnes/an/voie.
Calcul de 3,s
Le coefficient 3,s rend compte de la durée de vie de calcul du pont Ldt en années :
21
1003,
k
Lds
t
Calcul de 4,s
Le coefficient 4,s représente les effets du trafic sur les autres voies de l’ouvrage. La charge
du convoi de fatigue doit être appliquée sur deux voies au maximum dans la position la plus
défavorable :
Le coefficient 4 est donné par la formule suivante :
2 22
214, 1k kk
s ssnn
Où :
21
11
s et 1
21
22 1 ss
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1 et 2 sont respectivement l’étendue de contrainte due au passage du convoi de
fatigue sur la voie 1 et sur la voie 2 ;
21 est l’étendue de contrainte due au passage du convoie sur les deux voies ;
n est la proportion du trafic se croisant sur l’ouvrage, la valeur de référence est 12%
d’après l’article NN,3(106) de l’EN 1992-2.
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Annexe 12 Prise en compte des effets d’un effort normal N
En général, il n’existe pas d’effort N dans les ponts mixtes, il n’est donc pas nécessaire de le
prendre en compte dans les calculs et les justifications. Cependant, dans le cas des ponts à
haubans par exemple, il existe un effort normal non négligeable à prendre en compte.
Cet effort normal N va modifier la détermination de l’axe neutre plastique, le calcul des
contraintes totales. Il faudra aussi prendre en compte l’interaction M-N et M-N-V.
1. Détermination de l’axe neutre plastique (avant l’étape de classification des sections)
La détermination de l’axe neutre plastique se déroule selon le même principe que celui
développé en Annexe 7. Cependant, les inégalités à vérifier sont différentes. Au lieu de
chercher à avoir un équilibre tel que N=0 il faut utiliser :
EdNNNN
En reprenant les notations définies en Annexe 7, on aura :
En zone fissurée de l'analyse globale Critères Position de l’axe neutre plastique
Si Edsatfawabf NNNNN Semelle inférieure
Sinon Edsatfawabf NNNNN Âme
Sinon Edsa NNN Semelle supérieure
En zone non fissurée de l'analyse globale Critères Position
Si catfawEdabf NNNNN Semelle inférieure
Sinon catfEdawabf NNNNN Âme
Sinon cEda NNN Semelle supérieure
Sinon curclurEda NNNN Dalle, sous la nappe inférieure
Sinon curEdsla NNNN Dalle, entre les nappes
Sinon curEdsa NNNN Dalle, au-dessus de la nappe supérieure
2. Calcul des contraintes totales
Le calcul des contraintes totales ne peut pas être réalisé avec les simplifications vu
précédemment en Annexe 6. En effet, négliger toute la dalle si une fibre de béton est en
traction serait trop défavorable. De plus, la sommation des contraintes peut être impossible en
cas de changement d’état de fissuration du béton entre deux phases successives.
Une méthode de calcul est développée en Annexe 13.
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3. Justification plastique avec N (Classe 1 et 2)
En classe 1 ou 2, les justifications sont réalisées en plasticité. À partie de la position de l’axe
neutre plastique, on peut calculer RdplN , et RdplM , de la manière suivante :
pl
pl
z h
zydydRdpl dzzfdzzfN
0,
pl
pl
z h
zydydRdpl dzzzzfdzzzzfM
000,
Il suffit ensuite de vérifier RdplEd MM , et RdplEd NN ,
Figure annexe 13 : Exemple de distribution plastique des contraintes dans l’acier
Dans le cas d’une interaction avec le tranchant, il faut réduire la limite élastique de l’âme ou
de la tôle de fond de caisson de la même manière qu’en flexion simple comme développé au
§6.5.3.2. Le moment plastique résistant est alors calculé avec cette nouvelle valeur de fy dans
les zones concernées :
VywdRdplVRdplEd fMMM ,,,,
4. Justification élastique avec N (Classe 3 et 4)
En classe 3 ou 4, les justifications sont réalisées en élasticité. Pour cela, on vérifie simplement
que les contraintes normales totales, calculées selon le §2, soient toujours inférieures à la
limite élastique.
Dans le cas d’une interaction avec le tranchant, il est fait le choix de réduire l’épaisseur de
l’âme ou de la tôle de fond de caisson de la même manière qu’en flexion simple comme
développé au §6.5.3.2 :
wVww ttt 1,
Remarque :
Le choix de réduire l’épaisseur plutôt que changer la limite d’élasticité vient du format
de la procédure élastique qui consiste à déformer la section jusqu’à atteindre la limite
d’élasticité en un point.
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La détermination de la classe, et le calcul éventuel de la largeur efficace P de l’âme,
sont menés avec l’épaisseur brute wt . Cependant, la section efficace P de l’âme est
calculée à partie de Vwt , .
Le critère retenu est plus sécuritaire que les critères réglementaires pour les sections
métalliques ou pour les sections mixtes. L’intérêt de ce critère est purement analytique car il
permet de programmer facilement la vérification.
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Annexe 13 Calcul des contraintes totales - Méthode en cas de modification du comportement de la dalle béton
1. Généralités
Une des particularités des ponts mixtes est l’application des différents chargements sur des
sections mixtes de caractéristiques différentes, dépendantes du coefficient d’équivalence. Par
exemple, les charges d’exploitations s’appliquent sur une section définie par un coefficient
d’équivalence à court terme alors que la section est déjà sollicitée par les charges permanentes
qui ont été appliquées sur une section définie par les différents coefficients d’équivalence à
long terme.
Soit le béton était déjà comprimé sous les charges permanentes, il peut alors devenir
plus comprimé encore ou moins jusqu’à devenir tendu et donc fissuré.
Soit le béton était déjà tendu et fissuré sous les charges permanentes, il peut alors
devenir plus tendu encore ou moins jusqu’à être recomprimé.
Si le béton était comprimé sous charges permanentes et se comprime plus encore sous charges
d’exploitation ou s’il était tendu et fissuré et se tend encore plus sous charges d’exploitation,
le calcul direct des contraintes et le principe de superposition sont applicables comme dans le
cas de la flexion simple.
Dans le cas contraire, le calcul direct des contraintes et le principe de superposition ne sont
plus applicables car le comportement de la section change pendant l’application des
différentes charges. On observe :
soit une décompression jusqu’à fissuration dans une partie de la dalle béton ;
soit une fermeture des fissures jusqu’à la recompression théorique d’une partie de la
dalle béton.
Chaque analyse de section doit considérer les différentes situations dues aux chargements
« long terme » et « court terme », et prendre en compte le comportement physique du béton.
À partir des sollicitations calculées dans l’analyse globale en section non fissurée pour chaque
coefficient d’équivalence, il est nécessaire d’avoir une méthode pour obtenir les déformations
finales, calculées avec un état de fissuration du béton pertinent dans le but de sommer les
effets des différents chargements.
2. Méthode avec un coefficient d’équivalence long terme et un court terme
Étude de la section sous coefficient long terme
À partir des sollicitations calculées dans l’analyse globale en section non fissurée ou fissurée,
on calcule les contraintes et les déformations dans la section sous charges permanentes avec
le coefficient long terme en négligeant le béton tendu. On obtient alors l’axe neutre élastique
et on recalcule les caractéristiques mécaniques de la section, en particulier le centre de gravité
mixte comme défini au § 2.4.3.
Calcul des sollicitations équivalentes avec un coefficient d’équivalence court terme
On peut alors calculer un torseur de sollicitations équivalent donnant les mêmes déformations
(et donc le même axe neutre et la même section de béton fissuré) mais s’appliquant sur une
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section définie par le coefficient court terme. Ce torseur équivalent sera exprimé, par
exemple, au centre de gravité mixte de la section court terme.
D
ddAEN
SiSi
Sia
),(inf),(sup
),(
''
DIEM Sia
supinf
),('
Avec SiA ),( et SiI ),( : l’aire et l’inertie de la section mixte « court terme » dans l’état de
fissuration considéré. D la hauteur totale de la section, d et d’ la distance du centre de gravité
mixte à la fibre supérieure de la dalle et à la face inférieure de la semelle inférieure de la dalle.
Détermination d’un torseur équivalent avec l’état de fissuration de l’analyse globale
Ensuite, on peut obtenir par simple transposition le torseur équivalent agissant sur une section
court terme et dans l’état de fissuration utilisée dans l’analyse globale (fissuré ou non fissuré).
Il est exprimé, par exemple, au centre de gravité de la section mixte court terme fissurée ou
non fissurée selon l’hypothèse de l’analyse globale.
''' NN
SjSi yyNMM ),(),(''''
Avec Siy ),( la position du centre de gravité de la section mixte court terme dans l’état de
fissuration précédent et Sjy ),( la position du centre de gravité de la section mixte court terme
dans l’état de fissuration de l’analyse globale (par rapport à la face inférieure de la semelle
inférieure).
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Calcul des contraintes dues aux chargements « court terme » et « long terme »
Ce dernier torseur de sollicitations équivalent représente le comportement de la section sous
les charges permanentes, avec la même déformation et donc le bon axe neutre. Comme ce
torseur est donné dans une section « court terme » et dans l’état de fissuration utilisé dans
l’analyse globale, il est sommable avec les sollicitations dues aux charges d’exploitations,
elles-mêmes données au même point de référence et dans la même section.
''exp NNN loitationfinal
''exp MMM loitationfinal
Cette méthode permet d’obtenir les déformations correctes dans la section mixte avec les
contraintes réelles dans l’acier et approchées dans le béton.
3. Généralisation de la méthode pour l’utilisation dans le cadre des Eurocodes avec 4
coefficients d’équivalence
L’Eurocodes 4 impose l’utilisation de quatre coefficients d’équivalence différents selon le
type de chargement appliqué. Dans ce cas, on réutilise la méthode précédente pour deux cas
de charge successifs suivant le phasage de construction et on itère jusqu’à obtenir l’état de
contraintes final.
Soit betonnagen , retraitn , eerstructurnsup , 0n les coefficients de fluage correspondant aux sections des
barres 2000, 3000, 4000, 5000 (respectivement).
détermination de l’état de fissuration de la section de la barre 2000 et calcul des
contraintes avec betonnagen d’où on tire les déformations grâce à la loi de Hooke ;
puis détermination de l’état de fissuration de la section de la barre 3000 et calcul des
contraintes avec retraitn d’où on tire les déformations grâce à la loi de Hooke ;
Si les deux états de fissuration de la dalle sont identiques (soit non fissurée, soit
complètement fissurée), on somme les contraintes et on passe à la prise en compte des
sollicitations de la barre 4000 (voir ci-dessous), sinon on continue ;
calcul d’un torseur de sollicitations équivalent donnant les mêmes déformations de la
section mais sous retraitn ;
calcul d’un torseur de sollicitation équivalent donnant les mêmes déformations de la
section mais dans une section non fissurée ;
sommation de ce torseur de sollicitations avec celui obtenu dans la section non
fissurée de la barre 3000.
détermination de l’état de fissuration sous le nouveau torseur de sollicitations et calcul
des contraintes avec retraitn d’où on tire les déformations grâce à la loi de Hooke ;
Puis, à partir des résultats précédents, on recommence pour prendre en compte les charges
s’appliquant sur la section mixte des barres 4000 :
calcul d’un torseur de sollicitations équivalent donnant les mêmes déformations de la
section mais sous eerstructurnsup ;
on reprend la méthode précédente
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De même, on continue pour prendre en compte les charges s’appliquant sur la section mixte
de barres 5000.
Finalement, on pourra alors déterminer l’état de fissuration sous le torseur de sollicitations
regroupant tout les cas de charges s’appliquant sur les barres mixtes et calculer les contraintes
qui en découlent avec un coefficient d’équivalence à long terme.