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A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
•F
orm
ulazio
ne d
elle specifich
e:
•sistem
a in retro
azion
e un
itaria (1 grad
o d
i liberta`)
G(s)
G(s)
ry
-
+e
D(s)
D(s)
u
•caratterizzazio
ne d
ella f.d.t. a caten
a chiu
sa
•si fa in
gen
ere riferimen
to alla risp
osta d
i un
sistema
“semp
lice”
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nd
o
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a seg
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nici (ad
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o, ram
pa, ...)
•co
mp
ortam
ento
nel d
om
inio
del tem
po
•co
mp
ortam
ento
nel d
om
inio
delle freq
uen
ze
2
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
•T
ipich
e specifich
e di p
rog
etto so
no
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ite in term
ini d
i:
•stab
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a a catena ch
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e del
con
trollo
re stesso, o
di altre f.d
.t. di in
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•erro
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e n
ella rispo
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•p
ron
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a
•cap
acita` smo
rzante
•in
sensib
ilita` alle variazion
i param
etriche e/o
distu
rbi
agen
ti sul sistem
a
•T
radu
zion
e in
term
ini
di
valori
qu
antitativi
di
alcun
ip
arametri
3
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
•S
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(del
sistema
in
retroazio
ne)
⇒
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ini
di
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M, G
M
•R
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•p
ron
tezza ⇒ tem
po
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•cap
acita` sm
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te ⇒ so
vraelon
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•R
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e perm
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•erro
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sta ad in
gressi can
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•tip
o
•C
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e n
el
do
min
io
del
temp
o
⇒caratterizzazio
ne n
el do
min
io d
ella freq
uen
za
4
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
•P
ron
tezza:
•sistem
a “p
ron
to”
⇒
tr “p
iccolo
” ⇒
elevata
ban
da
pass
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del s
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chiu
sa
•C
apacita` s
mo
rzante:
•sistem
a “sm
orzato
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gran
de)
⇒
Mp
“pic
colo
” ⇒
massim
o d
i rison
anza M
r “pic
colo
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ella risp
osta
infreq
uen
za
•P
M elev
ato
5
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
Fo
rmu
lazion
e delle sp
ecifiche
•E
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ime: leg
ato al valo
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nzio
ne d
i rispo
staarm
on
ica per ω
≈0
•T
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: n
um
ero
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li n
ell’orig
ine
della
f.d.t.
in
catena
diretta
•S
ensib
ilita` alle variazio
ni p
arametrich
e ⇒
“sago
matu
ra”d
ella rispo
sta in
frequ
enza
•P
rog
etto d
el con
trollo
re: determ
inare il tip
o d
i azion
e da
effettuare tram
ite D(s) su
l pro
cesso d
a con
trollare G
(s) per
garan
tire che a caten
a chiu
sa T(s) so
dd
isfi le s
pecifich
e
•A
zion
i elem
entari d
i co
ntro
llo
6
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Sin
tesi di B
od
eS
intesi d
i Bo
de
•S
intesi d
i Bo
de: e` b
asata sulla fo
rmu
lazion
e di alcu
ne
specifich
e d
el sistem
a a
catena
chiu
sa in
term
ini
di
caratteristich
e del term
ine in
catena d
iretta L(s)=
D(s)G
(s)
•E
` d
etta an
che
sintesi
per
tentativi
(richied
e in
g
enere
diverse iterazio
ni)
•S
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ifiche:
•erro
re a regim
e |er,k |<
ε in risp
osta all’in
gres
so can
on
icoco
n tras
form
ata 1/sk+
1 (e nu
llo in
per in
dici <
k)
•m
argin
e di fase (p
er L(s)) P
M>
PM
*
•p
uls
azion
e di attraversa
men
to (p
er L(s)) ω
c =ω
*
7
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Sin
tesi di B
od
eS
intesi d
i Bo
de
•C
olleg
amen
to co
n il co
mp
ortam
ento
a caten
a chiu
sa:
•erro
re a regim
e e precisio
ne n
el sistema retro
azion
atod
ipen
do
no
d
al tip
o
e d
al g
uad
agn
o
del
termin
e in
catena
diretta:
tipo
Grad
ino
Ram
pa
Ram
pa
parab
olica
01
1+L0 (0)
∞∞
L(s)=L0 (s)
L0 (0) guadagno di posizione
10
1L0 (0)
∞L(s)=
L0 (s)/s
L0 (0) guadagno di velocita`
20
01
L0 (0)
L(s)=L0 (s)/s 2
L0 (0) guad. di accelerazione
8
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Sin
tesi di B
od
eS
intesi d
i Bo
de
•M
p nel sistem
a retroazio
nato
e PM
di G
(s) son
o leg
ati
tra loro
nel se
gu
ente m
od
o: P
M c
resce ⇔
Mp cala
•In
fatti: Mp elevata ⇒
il sistema retro
azion
ato h
a po
livicin
i all’asse imm
agin
ario ⇒
e` “vicino
” all’instab
ilita`⇒
ha P
M p
icco
lo.
•N
ella sin
tesi d
i B
od
e si
cerca d
i o
ttenere
un
aso
vraelon
gazio
ne so
dd
isfacente ag
end
o su
PM
•L
egam
e tra ωc (L
(s)) e B (T
(s)): per sistem
i rego
lari si
ha c
he ω
c cresce ⇔ B
cresce. As
sun
zion
e: 0≤PM
≤π/2
9
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Sin
tesi di B
od
eS
intesi d
i Bo
de
•A
ssun
zion
e: |T(jω
)| mo
no
ton
o d
ecrescente n
ell’into
rno
di
2πB
10-1
100
101
0 5 10 15 20 25 30 35 40
|T(j0)|
|T(j0)|/√2
2πB=
ωB
W
|T(jω
c )||T(j2πB
)|
ωc
10
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Sin
tesi di B
od
eS
intesi d
i Bo
de
•P
er sistem
i rego
lari:
ωc ≤2πB
ωc ≈5B
•L
a sp
ecifica su ω
c corris
po
nd
e ad u
na s
pecific
a su
B
•Erro
re a regim
e•S
ovraelo
ng
azion
e•B
and
a passan
te
Sp
ecifiche su
T(s)
•Tip
o+
gu
adag
no
•marg
ine d
i fase•p
ulsazio
ne d
i attraversamen
to
Sp
ecifiche su
L(s)=
D(s)G
(s)
Calco
lo d
i D(s)
11
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Sin
tesi di B
od
eS
intesi d
i Bo
de
•S
tep
1: so
dd
isfacimen
to
della
specifica
sul
tipo
e
lap
recision
e
•L
a sp
ecifica e`
form
ulata
com
e |e
r,k |<ε
in
rispo
staall’in
gresso
cano
nico
con
trasform
ata 1/sk+
1 (e nu
llo in
per
ind
ici <k+
1) ⇒
•tip
o d
i L(s)=
D(s)G
(s): h=
k
•se tip
o d
i G(s)=
hp <
k+1⇒
tipo
di D
(s)=h
D =(k-h
G )
•K
= g
uad
ag
no
di L
(s) dev
e essere tale
che
er,k
=1K
≤ε
⇒K≥1er,k
12
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Sin
tesi di B
od
eS
intesi d
i Bo
de
•O
sservazio
ne: s
e k=0, p
er K
elevato
er,0
=1
1+K
≈1K
•P
oic
he` K
=K
D.K
G il v
alore lim
ite per K
D e` dato
da
KD
=1
KGer,k
•L
a stru
ttura d
el rego
lato
re D(s) e
` pertan
to
D(s)=
KD
s hD D
*(s)
do
ve D*(s) e` u
na f.d
.t. con
gu
adag
no
un
itario e p
riva d
ip
oli n
ell’orig
ine
13
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Sin
tesi di B
od
eS
intesi d
i Bo
de
•S
tep 2: so
dd
isfacimen
to d
ella specifica m
argin
e di fase e
pu
lsazio
ne d
i attraversam
ento
•S
i agis
ce su D
*(s), tramite la
qu
ale si d
eve garan
tire che
L(jωc )
=1Arg
L(jωc )
[] +
π=PM
L(s)=D(s)G
(s)=D*(s) K
D
s hD G(s)=
D*(s)G
*(s)
G*(s)
= defKD
s hD G(s)
•G
*(s) ha g
ia` tip
o e g
uad
ag
no
corretti
14
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Azio
ni d
i con
trollo
Azio
ni d
i con
trollo
•C
on
riferimen
to a G
*(s), defin
iamo
:
• ω
c 0: pu
lsazio
ne d
i attrav
ersamen
to effettiva
• ω
c : pu
lsazio
ne d
i attrav
ersamen
to rich
iesta
• P
M: m
argin
e di fas
e rich
iesto
• P
M0=π+
Arg
[G*(j ω
c )] (marg
ine d
i fase disp
on
ibile in
ωc )
•O
sservazio
ne: P
M0 N
ON
coin
cide co
n il m
argin
e di fase d
iG
*(s) che vale π+A
rg[G
*(j ωc 0)]
•O
sservazio
ne: la sp
ecifica su P
M e` u
na d
isug
uag
lianza
(com
e qu
ella su
er,k ), q
uella su
ωc e` u
na u
gu
ag
lian
za
•N
ei p
rob
lemi:
tutte
le sp
ecifich
e co
nsid
erate co
me
ug
uag
lianze
15
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Azio
ni d
i con
trollo
Azio
ni d
i con
trollo
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)B
ode Diagram
s
-80
-60
-40
-20 0
100
101
-250
-200
-150
-100
-50
PM
=π+
Arg[G
*(jωc 0)]
PM
0 =π+
Arg[G
*(j ωc )] ≠ P
M
ωc 0ω
c
16
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Azio
ni d
i con
trollo
Azio
ni d
i con
trollo
•P
oss
ibili situ
azion
i:
• ω
c > ω
c 0, ωc <
ωc 0
• P
M >
PM
0 , PM
< P
M0
•S
i agisce tram
ite D*(s) p
er imp
orre ch
e ωc =
ωc 0, P
M =
PM
0
(o P
M >
PM
0 )
•In
termin
i analitici:
L(jωc )
=D*(jω
c )G*(jω
c )=1
ArgL(jω
c )[
] =Arg
D*(jω
c )[
] +Arg
G*(jω
c )[
] =m
ϕ−
π
•S
celta della rete co
rretrice in b
ase all’azion
e elem
entare d
ico
ntro
llo d
esid
erata
17
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
1: ωc >
ωc 0
Caso
1: ωc >
ωc 0
-80
-60
-40
-20 0
ω
c 0ω
c
•C
aso 1
: ωc >
ωc 0
∆K
•A
zion
e amp
lificatrice alla pu
lsazio
ne ω
c
•S
ul
diag
ramm
a d
i B
od
e d
ei m
od
uli
: traslazio
ne
versol’alto
18
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
1: ωc >
ωc 0
Caso
1: ωc >
ωc 0
•D
etermin
azion
e del fatto
re di a
mp
lificazio
ne ∆
K:
L(jωc )
=D*(jω
c )G*(jω
c )=1
⇒M
=D*(jω
c )=
1G*(jω
c )
G*(jω
c )<1
⇒D*(jω
c )=
1G*(jω
c )>1
∆KdB
=M
dB=
1G*(jω
c )
dB
=−G
*(jωc )
dB>0
19
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
2: ωc <
ωc 0
Caso
2: ωc <
ωc 0
-80
-60
-40
-20 0
ω
cω
c 0
•C
aso 2
: ωc <
ωc 0
∆K
•A
zion
e attenu
atrice alla p
ulsa
zion
e ωc
•S
ul d
iagram
ma d
i Bo
de d
ei mo
du
li : traslazion
e verso il
bass
o
20
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
2: ωc <
ωc 0
Caso
2: ωc <
ωc 0
•D
etermin
azion
e del fatto
re di a
ttenu
azio
ne ∆
K:
L(jωc )
=D*(jω
c )G*(jω
c )=1
⇒M
=D*(jω
c )=
1G*(jω
c )
G*(jω
c )>1
⇒D*(jω
c )=
1G*(jω
c )<1
∆KdB
=M
dB=
1G*(jω
c )
dB
=−G
*(jωc )
dB<0
21
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
3: PM
> P
M0
Caso
3: PM
> P
M0
•C
aso 3
: PM
> P
M0 (m
argin
e di fase
insu
fficien
te)
•A
zion
e anticip
atrice alla p
ulsa
zion
e ωc
•S
ul d
iag
ramm
a di B
od
e delle fas
i : traslazio
ne v
erso l’alto
TextEnd
100
101
-250
-200
-150
-100 -50
ωc
PM
0P
Mϕ
22
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
3: PM
> P
M0
Caso
3: PM
> P
M0
•D
etermin
azion
e del fatto
re di a
nticip
o ϕ
:
ArgL(jω
c )[
] +π
=PM
=Arg
D*(jω
c )[
] +Arg
G*(jω
c )[
] +π
PM
0
PM=Arg
D*(jω
c )[
] +PM
0⇒
ArgD*(jω
c )[
] =ϕ
=PM
−PM
0>0
ϕ=PM
−PM
0=PM
−Arg
G*(jω
c )[
] +π
()
23
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
TextEnd
100
101
-250
-200
-150
-100 -50
Caso
4: PM
< P
M0
Caso
4: PM
< P
M0
•C
aso 4
: PM
< P
M0 (m
argin
e di fase
sufficien
te)
ωc
PM
PM
0ϕ
•In
ωc la G
*(s) presen
ta gia` u
n m
argin
e di fase su
perio
re aq
uello
rich
iesto ⇒
situ
azion
e “m
iglio
re” d
i q
uan
torich
iesto n
ella specifica ⇒
no
n si o
peran
o co
rrezion
i di
fase
• ϕ
<0
24
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Scelta d
ella rete correttrice
Scelta d
ella rete correttrice
•L
e caratteristic
he d
ella rete co
rrettrice son
o d
etermin
ate inb
ase ai valo
ri di:
M=C*(jω
c )=
1G*(jω
c )ϕ
=Arg
D*(jω
c )[
] =PM
−PM
0=PM
−Arg
G*(jω
c )[
] +π
()
•Q
uattro
po
ssibili situ
azio
ni:>
<M
M>1M<1
ϕϕ>0
ϕ<0
25
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Scelta d
ella rete correttrice
Scelta d
ella rete correttrice
•Erro
re a regim
e•S
ovraelo
ng
azion
e•B
and
a passan
te
Sp
ecifiche su
T(s)
•Tip
o+
gu
adag
no
•marg
ine d
i fase•p
ulsazio
ne d
i attraversamen
to
Sp
ecifiche su
L(s)=
D(s)G
(s)
•Tip
o+
gu
adag
no
•An
ticipo
/ritardo
di fase in
ωc
•Am
plificazio
ne/atten
uazio
ne in
ωc
Calco
lo d
i D(s)
26
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Scelta d
ella rete correttrice
Scelta d
ella rete correttrice
•Im
po
rtante: sia M
ch
e ϕ s
on
o d
etermin
ati in b
ase a G*(s)
G*(s)=
KD
s hD G(s)
M=
1G*(jω
c )=
ωc
() h
D
KDG(jω
c )
ϕ=PM
−Arg
G*(jω
c )[
] +π
() =
PM−Arg
G(jω
c )[
] −hD
π2+
π
27
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Il pro
getto
delle reti co
rretriciIl p
rog
etto d
elle reti corretrici
•S
truttu
ra del co
ntro
llore:
D(s)=
KD
s hD D
*(s)
•S
pec
ifica su
tipo
ed
errore a reg
ime ⇒
KD , h
D
•D
*(0)=1, D
*(s) priv
a di p
oli n
ell’orig
ine
•S
pec
ifiche su
ωc e
PM
⇒ M
, ϕ ⇔
D*(jω
c )
•Q
uesta
info
rmazio
ne
e` su
fficiente
per
determ
inare
un
ivocam
ente p
er via analitica G
*(s) se essa ha stru
ttura
semp
lice
•A
nalizziam
o i q
uattro
casi d
ella tabella (M
, ϕ)
28
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ<
0C
aso M
>1, ϕ
<0
•C
aso M
>1, ϕ
<0 :
•P
M <
PM
0 (marg
ine d
i fase su
fficien
te)
• ω
c > ω
c 0 (richiesta a
mp
lificazion
e alla
pu
lsazion
e ωc )
•C
om
pen
satore (am
plific
atore) statico
:
D*(s)=
M=10
∆K20>1
•O
sservazio
ne: D
*(0)≠1
•si m
iglio
ra la precisio
ne a reg
ime
29
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ<
0C
aso M
>1, ϕ
<0
ωc 0
ωc
-π
|L|
Arg
[L]
∆K
PM
0P
M
30
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
•C
aso M
>1, ϕ
>0 :
•P
M >
PM
0 (marg
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i fase in
sufficie
nte)
• ω
c > ω
c 0 (richie
sta am
plific
azion
e alla pu
lsazio
ne ω
c )
•A
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e am
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men
tare ωc
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atrice per “g
ua
dag
nare” P
M
•R
ete antic
ipatric
e (amp
lificatric
e) (lead
)
D*(s)=
1+Ts
1+
αTs ,T
>0,
0<
α<1
•O
sservazion
e: D*(s) e` co
mp
letamen
te specific
ata
da d
ue
param
etri
31
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
xo1/T
1/(αT
)
ω>>
1αT:
D*(jω
)dB
≅20log
1α
φmax
<π2
Frequency [rad/s]
Frequency [rad/s]
Magnitude [dB]
0 20 40 60 80
Phase [deg]
1/T1/(α
T)
0
φm
ax
ωm
ax
32
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
11/α
1+1α2
=1
+α
2α
Cen
tro d
ella cfr.:
log 1T+log
1αT2
=12 log
1T2α
=log
1T
α
⇒ωmax
=1
Tα
ωm
ax
φm
ax
φmax
=arctan 1
−α
2α
33
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
•P
rob
lem
a di s
intesi : d
ati•
ωc ,
M >
1, ϕ
> 0
determ
inare
i param
etri α e T
di u
na rete an
ticipatrice D
*(s)tali ch
e•
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c )| = M
•A
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*(jωc )]=
ϕ
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dizio
ne
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mo
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un
a d
alla co
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e d
i fase)
nei
du
ep
arametri α
e T
•C
on
dizio
ni p
er l’esis
tenza d
i un
a solu
zion
e
34
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
•S
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zion
e : il pu
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Me
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ere al diag
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qu
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* qu
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o ω
=ω
c
Me
jϕ
11/α
0 ϕ
Msin
ϕ
Mco
sϕ
Mco
sϕ-1: M
sinϕ
= M
sinϕ
:1/α- M
cosϕ
35
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
•S
i ottien
e un
’equ
azion
e da riso
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M2sin
2ϕ=Mcosϕ
−1(
)1α
−Mcosϕ
α=
Mcosϕ
−1M
M−cosϕ
()
•S
i imp
on
e po
i che
|D*(jω
c )| 2=M
2
1+T2ω
c 2
1+
α2T
2ωc 2
=M
2
T=1ωc
1−M
2
α2M
2−1
=M
−cosϕ
ωc sinϕ
36
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
•C
on
dizio
ne p
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za di u
na rete an
ticipatrice ch
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ble
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e M>
1, α > 0 im
plica ch
e
α=
Mcosϕ
−1M
M−cosϕ
()
>0
⇒Mcosϕ
−1>0
⇒cosϕ
>1M
•L
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dizio
ne e` strin
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on
e` sod
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on
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D*(s)
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lem
a•
Po
ich
e’ M>
1, ϕ<
π/2
T=M
−cosϕ
ωc sinϕ
>0
37
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
•S
i p
uo
` an
che
determ
inare
α
com
e l’u
nica
solu
zion
ep
ositiv
a dell’eq
uazio
ne
•E
ffetti po
sitivi dell’azio
ne an
ticipatrice
:
•m
iglio
ramen
to d
el marg
ine d
i stabilita`
•au
men
to
di
ωc
⇒
aum
ento
d
i B
a
catena
chiu
sa⇒d
imin
uzio
ne d
i tr ⇒ sis
tema p
iu` p
ron
to
•E
ffetti neg
ativi:
•p
egg
iora
la p
ossib
ilita` d
i “filtrare”
rum
ore
sovrap
po
sto al se
gn
ale u
tile
cq2c
+c
−1(
) α2
+2q
2cα+q2
+1−c
() =0
q=tan ϕ
c=M
2>1
c>q2
+1
38
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
•S
pec
ifiche:
•tip
o h
=1, |e
r,1 |<ε=
0.1=
1/10
• ω
c =8 rad
/s
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M=
45o
•S
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ifica su
tipo
ed
errore a reg
ime
•G
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i tipo
1 ⇒ h
D =0
•K
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uad
agn
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0.5
•E
sem
pio
:P(s)=
25s(s+
5)(s+10)
KD
=1Kv ε
=1
0.5⋅0.1
=20
39
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
•S
tep 2
: spec
ifiche su
ωc e
PM
G*(s)=
KD
s hD G(s)=
20G(s)=
500s(s+
5)(s+10)
•D
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azion
e di M
e ϕ
:
M=
1G*(j8)
≅2
>1
ϕ=PM
−π
+Arg
G*(j8)
[]
[] ≅45
o−[180o−186
o]=51
o>0
G*(jω
c )=G*(j8)=
0.51e−j186.56
o
•R
ete antic
ipatric
e
PM
0=-6
o
40
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
•C
on
dizio
ne d
i esistenza:
cosϕ=0.63
>1M
=0.51
α=
Mcosϕ
−1M
M−cosϕ
()
=0.078
T=M
−cosϕ
ωa sinϕ
=0.21
D*(s)=
1+Ts
1+
αTs =1
+0.21s
1+0.016s
D(s)=
201
+0.21s
1+0.016s
•D
etermin
azion
e della
rete:
41
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
-80-60-40-20 0 20 40
100
101
-250
-200
-150
-100
42
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
TextEnd
Diagram
mi di Bode della rete anticipatrice
0 5 10 15 20
100
101
102
103
10 20 30 40 50 60
si “lavora” in
pro
ssimita` d
i ωm
ax
43
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Margini del guadagno di anello
-100
-50 0
Gm
=16.845 dB (at 24.974 rad/sec), Pm=45 deg. (at 8 rad/sec)
100
101
102
-250
-200
-150
-100
44
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M>
1, ϕ>
0C
aso M
>1, ϕ
>0
100
101
102
-50
-40
-30
-20
-10 0 10
Frequency [rad/s]
Magnitude [dB]
100
101
102
-250
-200
-150
-100
-50 0
Frequency [rad/s]
Phase [deg]
13
2πB≈13
⇒ B
≈2 ⇒ ω
c =8 ≈5B
≈ 10
45
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
•C
aso M
<1, ϕ
<0 :
•P
M <
PM
0 (marg
ine d
i fase so
vrab
bo
nd
ante)
• ω
c < ω
c 0 (rich
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uazio
ne a
lla p
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ne ω
c )
•A
zion
e atten
uatrice p
er dim
inu
ire ωc
•C
i si pu
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i “perd
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po
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M
•R
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atrice (ritard
atrice) (lag
)
D*(s)=
1+
αTs1
+Ts ,
T>0,
0<
α<1
•O
sservazion
e: D*(s) e` co
mp
letamen
te specific
ata
da d
ue
param
etri
46
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
ox1/T
1/(αT
)
ω>>
1αT:
D*(jω
)dB
≅20logα
φmin
>−
π2
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
Magnitude [dB]-80
-60
-40
-20 0
Frequency [rad/s]
Phase [deg]
1/T1/(α
T)
0
φm
in
ωm
in
47
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
1+
α2C
entro
della cfr.:
log 1T+log
1αT2
=12 log
1T2α
=log
1T
α
⇒ωmin
=1
Tα
φmin
=arctan
α−1
2α
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
1α
ωm
in
φm
in
48
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
•P
rob
lem
a di s
intesi: d
ati•
ωc ,
M <
1, ϕ
< 0
determ
inare
i param
etri α e T
di u
na rete atten
uatrice D
*(s)tali ch
e•
|D*(jω
c )| = M
•A
rg[D
*(jωc )]=
ϕ
•D
*(s) e` com
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ente sp
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ni
•C
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ticipatrice
:•
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uazio
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etri α e T
•stesso
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olu
zion
e
•co
nd
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sisten
za di u
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luzio
ne
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
49
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
•S
i ottien
e:
α=Mcos ϕ
−M
()
1−Mcosϕ
T=1ωc
1−M
2
M2
−α2
=Mcosϕ
−1ωc Msinϕ
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
cosϕ>M
con
dizio
ne p
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•L
a con
dizio
ne N
ON
e` string
ente: s
e no
n e` so
dd
isfatta, s
ip
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` scegliere ϕ
piu
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mo
du
lo ch
e po
rta ad u
nP
M m
agg
iore
•P
oic
he’ M
<1, ϕ
<0 (sin
ϕ<
0), T>
0
50
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
•S
i p
uo
` an
che
determ
inare
α
com
e l’u
nica
solu
zion
ep
ositiv
a dell’eq
uazio
ne
•E
ffetti po
sitivi dell’azio
ne an
ticipatrice
:•
dim
inu
zion
e di B
a catena ch
iusa ⇒
aum
enta l’effetto
“filtrante”
•E
ffetti neg
ativi:•
into
du
ce u
n ritard
o ⇒
dim
inu
isce P
M d
ispo
nib
ile
cq2c
+c
−1(
) +2q
2cα+q2
+1−c
() α
2=0
q=tan ϕ
c=M
2<1
c<
1q2
+1
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
51
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
•S
pec
ifiche:
•tip
o h
=1, |e
r,1 |<ε=
0.1=
1/10
• ω
c =2 rad
/s
•P
M=
40o
•S
tep 1
: spec
ifica su
tipo
ed
errore a reg
ime co
me p
rima
•G
(s) e` gia` d
i tipo
1 ⇒ h
D =0
•K
v =(g
uad
agn
o d
i velocita`)=
0.5
•E
sem
pio
:G(s)=
25s(s+
5)(s+10)
Kc
=1Kv ε
=1
0.5⋅0.1
=20
52
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
•S
tep 2
: spec
ifiche su
ωc e
PM
G*(s)=
KD
s hD G(s)=
20G(s)=
500s(s+
5)(s+10)
•D
etermin
azion
e di M
e ϕ
:
M=
1G*(j2)
≅0.22
<1
ϕ=PM
−π
+Arg
G*(j2)
[]
[] ≅40
o−[180o−123
o]=−17
o<0
G*(jω
a )=G*(j2)=
4.55e−j123.11
o
•R
ete attenu
atrice
mϕ
0=57
o
53
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
•C
on
dizio
ne d
i esistenza:
cosϕ=0.95
>M
=0.22
G*(s)=
1+
αTs1
+Ts
=1
+1.27s1
+6.14s
D(s)=
20 1+1.27s1
+6.14s
•D
etermin
azion
e della
rete:
α=Mcos ϕ
−M
()
1−Mcosϕ
=0.21
T=Mcosϕ
−1ωa Msinϕ
=6.14
54
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
-80-60-40-20 0 20 40
100
101
-250
-200
-150
-100
55
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Diagramm
i di Bode della rete attenuatrice
-10 -5 0
10-2
10-1
100
101
-40
-30
-20
-10
si “lavora” in
pro
ssimita`
della m
ax. attenu
azion
e
56
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Margini del guadagno di anello
-50 0 50
Gm
=15.461 dB (at 6.3743 rad/sec), Pm
=40 deg. (at 2 rad
/sec)
10-2
10-1
100
101
-250
-200
-150
-100
57
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ<
0C
aso M
<1, ϕ
<0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Bode Diagrams
-20
-15
-10 -5 0
10-1
100
101
-200
-150
-100
-50 0
3.65
2πB≈3.65 ⇒
B ≈0.59 ⇒
ωc =
2 ≈5B ≈ 2
.9
58
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•C
aso M
<1, ϕ
>0 :
•P
M >
PM
0 (marg
ine d
i fase in
sufficie
nte)
• ω
c < ω
c 0 (richie
sta atten
uazio
ne alla p
ulsa
zion
e ωc )
•A
zion
e attenu
atrice per d
imin
uire ω
c ed an
ticipatrice p
er“g
uad
agn
are” in P
M
•R
ete piu
` co
mp
lessa (d
ue p
oli e
du
e zeri)
•R
ete a sella (atten
ua
trice-an
ticipatrice
) (lead-la
g)
D*(s)=
1+
αT1 s1
+T1 s
1+T2 s
1+
αT2 s
T1 >T2
>0,
0<
α<1
•O
sservazio
ne: D
*(s) e` com
pletam
ente sp
ecific
ata da tre (e
no
n d
ue) p
arametri
59
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
0
Gain dB-90
-60
-30 0 30 60 90
Frequency (rad/sec)
Phase deg
1/T1
1/(αT1 )
1/(αT2 )
1/T2
1/(T1 )
ox
1/αT2
1/(T2 )
1/αT1
xo
−π2
<φmin
<φ
<φmax
<π2
φ=0:
ωm
=1αT1 T
2
med
ia ωp
oli =
med
ia ωzeri
60
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
ωm
in
φm
in
ωm
ax
φm
ax
m
1
0
ωm
m=D*(jω
m )=1
+αk
α+k
k=T1T2
>1;0
<m
<1
Cen
tro d
ella cfr.: (1+m
)/2
61
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•P
rob
lem
a di s
intesi : d
ati•
ωc ,
M <
1, ϕ
> 0
determ
inare
i param
etri α e T
1 , T2 d
i un
a rete a sella D*(s)
tali che
• |D
*(jωc )| =
M
•A
rg[D
*(jωc )]=
ϕ
•C
om
e n
ei casi
preced
enti,
si p
osso
no
im
po
stare d
ue
equ
azion
i (u
na
dalla
con
dizio
ne
sul
mo
du
lo,
un
a d
allaco
nd
izion
e di fase) ch
e no
n co
nsen
ton
o d
i determ
inare
un
ivocam
ente α
e T1 , T
2
•S
i determ
ina u
na
famig
lia di s
olu
zion
i
•C
on
dizio
ni p
er l’esis
tenza d
i so
luzio
ni
62
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•P
rimo
app
roccio
: si determ
ina u
na fam
iglia d
i solu
zion
i infu
nzio
ne d
el param
etro k =
T1 /T
2
•P
assi d
ella pro
cedu
ra:
•im
po
nen
do
il passag
gio
del d
iagram
ma d
i Ny
qu
ist per
il pu
nto
Me
jϕ si determ
ina m
•si fissa
k
•n
oti m
e k, s
i calc
ola
•im
po
nen
do
la
con
dizio
ne
di
mo
du
lo
|C*(jω
a )|=M
si
determ
ina T
2
•si calco
la T
1 =k T
2
•P
er og
ni scelta d
i k si ottie
ne u
na rete
α=km
−1k
−m
63
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•L
e form
ule ch
e si o
tteng
on
o so
no
le segu
enti (ap
plican
do
nell’o
rdin
e i pa
ssi della p
roced
ura):
α=km
−1
k−m
m=M(cosϕ
−M)
1−Mcosϕ
M<cosϕ
x=C
+C2
−4α
2k2
2α2k2
C=M
2α2
+k2
() −1
−α2k2
1−M
2
T2
=x
ωa
T1 =kT2
k>1m
k arbitrario
pu
rche’
con
dizio
ne strin
gen
te d
i esistenza
64
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•S
pec
ifiche:
•tip
o h
=1, |e
r,1 |<ε=
0.01=
1/100
• ω
c =5 rad
/s
•P
M=
60o
•S
tep 1
: spec
ifica su
tipo
ed
errore a reg
ime
•G
(s) e` gia` d
i tipo
1 ⇒ h
D =0
•K
v =(g
uad
agn
o d
i velocita`)=
0.5
•E
sem
pio
:G(s)=
25s(s+
5)(s+10)
Kc
=1Kv ε
=1
0.5⋅0.01
=200
65
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•S
tep 2
: spec
ifiche su
ωc e
PM
G*(s)=
KD
shDG(s)=
200G(s)=
5000s(s+
5)(s+10)
•D
etermin
azion
e di M
e ϕ
:
M=
1G*(j1)
≅0.08
<1
ϕ=PM
−π
+Arg
G*(j5)
[]
[] ≅60
o−[180o−161
o]=41
o>0
G*(jω
c )=G*(j5)=12.65e
−j161.56
o
•R
ete a sella
PM
0=19
o
66
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•C
on
dizio
ne d
i esistenza:
cosϕ=0.7125
>M
=0.08
•D
etermin
azion
e della
rete:
m=M(cosϕ
−M)
1−Mcosϕ
=0.053
k=20
>1m
=18.94
D*(s)=
1+
αT1 s1
+T1 s
1+T2 s
1+
αT2 s
=1
+0.003
⋅79.82s1
+79.82s
1+3.99s
1+0.003
⋅3.99s
67
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Bode Diagrams
-50 0 50
10-1
100
101
102
-250
-200
-150
-100
68
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Bode Diagrams
-25
-20
-15
-10 -5 0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-60-40-20 0 20 40 60
69
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
TextEnd
Bode Diagram
s
-100
-50 0 50
100
Gm
=24.003 dB (at 29.269 rad/sec), Pm=60 deg. (at 5 rad/sec)
10-2
100
102
-250
-200
-150
-100
70
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)Bode Diagram
s
-100
-80
-60
-40
-20 0
10-1
100
101
102
103
-250
-200
-150
-100
-50 0
2πB≈8.5 ⇒
B ≈1.3
5 ⇒ ω
c =5 ≈5B
≈ 6.78
71
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Bode Diagrams
-25
-20
-15
-10 -5 0
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-60-40
-20 0 20 40 60
72
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Bode D
iagrams
-50 0
50
100
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-220
-200
-180
-160
-140
-120
-100
73
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Bode Diagrams
-100
-80
-60
-40
-20 0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-250
-200
-150
-100
-50 0
74
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•S
econ
do
app
roccio
: si scom
po
ne il p
rob
lema d
i sintesi in
du
e so
ttop
rob
lemi.
•sin
tesi della p
arte attenu
atrice-ritardatrice D
*r (s) e sin
tesid
ella parte an
ticip
atric
e D*
a (s)
•D
*(s)= D
*r (s) D
*a (s)
•S
i decid
e a prio
ri il con
tribu
to d
i fase neg
ativa (ritardo
) φr
intro
do
tto in
ωc d
a D*
r (s)
•L
a pu
lsazion
e ωc si d
eve co
llocare d
ove φ
r e` picco
lo (in
gen
ere -6
o< φ
r <
-3o)
e l’atten
uazio
ne
e` circa
qu
ellaasin
totic
a (20lo
gα)
•A
ssieme alle sp
ecifiche, cio
` con
sente d
i determ
inare co
nla tecn
ica g
ia` vista prim
a D*
c (s) e po
i D*
r (s)•
Per o
gn
i scelta di φ
r si o
ttiene u
na
rete
75
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•P
arte atten
uatrice-ritard
atrice D
*r (s):
Dr *(jω
c )dB
=1
+jω
c αT11
+jω
c T1dB
≅20logα
ArgDr *(jω
c )[
] =φr
•P
arte an
ticipatrice
C*
a (s):
MdB
=D*(jω
c )dB
=Dr *(jω
c )dB
+Da *(jω
c )dB
Da *(jω
c )dB
=20log
M−20logα
⇒Da *(jω
c )=Mα
Arg
Da *(jω
c )[
] =ϕ
−φr
•S
i risolve p
er α e T
2 con
la tecnic
a vista p
er le reti antic
ip.
76
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
•C
on
dizio
ne p
er l’esis
tenza d
ella so
luzio
ne D
*a (s):
M2
<1
1+q2
q=tan(ϕ
−φr )
•P
arte an
ticipatrice
D*
r (s): riman
e da d
etermin
are T1
ArgCr *(jω
c )[
] =φr
=Arg
1+jω
c αT11
+jω
c T1
=arctan
ωc T1 (α
−1)1
+α
ωc 2T1 2
tanφr
=ωc T1 (α
−1)1
+α
ωc 2T1 2
T1 2α
ωc 2tan
φr
() +(1
−α)ω
c T1 +tan
φr
=0
Co
nd
izion
e:d
eve esistereT
1 > T
2 >0
77
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Caso
M<
1, ϕ>
0C
aso M
<1, ϕ
>0
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Diagramm
i di Bode delle reti a sella
-25
-20
-15
-10 -5 0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-60-40-20 0 20 40 60
78
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Co
nclu
sion
iC
on
clusio
ni
•O
sservazio
ni g
enerali:
•u
na vo
lta determ
inato
D(s), e` n
ece
ssario verificare ch
eil sis
tema in
caten
a ch
ius
a sia stab
ile
•talvo
lta n
on
si
riesce a
sod
disfare
le sp
ecifiche
utilizzan
do
un
a sola rete co
rrettrice ⇒ ca
scata d
i piu
`reti
•p
osso
no
essere
necessari,
a p
osterio
ri, p
iccoli
agg
iustam
enti
dei
param
etri p
er so
dd
isfare le
spec
ifiche d
i pro
getto