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PROPORCIONALIDAD Y
SEMEJANZA
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
5
3
AB
CD
SEGMENTO DE PUNTOS A y B = [A,B] A B
LONGITUD DEL SEGMENTO [A,B]También se utiliza la siguiente notación: d(A,B) = AB ó d(A,B) = aPROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
[A;B] y [C,D] son PROPORCIONALES a [E,F] Y [G,H], si se
cumple
d(A,B)
5
3
EF
GH
Ejemplo:
Actividad 1
• La razón entre dos segmentos es 3/5. Si
el segmento mayor mide 10 cm., ¿Cuánto
mide el segmento menor?
TEOREMA DE TALES
Si r y r’ son dos rectas secantes en el
punto O
0
Si trazamos dos nuevas rectas paralelas que cortan a r y r’
en los puntos A, B y A’, B’ respèctivamente
BA
B’
A’
[0,B]
Entonces, los segmentos [O,A] y [O,B] son
PROPORCIONALES a los segmentos [O,A’] y [O,B’]
[0,A]
[0,A’] [0,B’
]
Actividad 2
• Halla la longitud x, e y de los segmentos
desconocidos de la figura siguiente:
1 cm2 cm
4 cm
y cm3 cm
x cm
APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES
Dada una triángulo ABC
A B
C
Si trazamos una recta paralela a un lado (por ejemplo al
lado BC)
M
N
Es decir: AB/AM = AC/AN = BC/MN.
Entonces el nuevo triángulo AMN, tiene los lados
proporcionales al triángulo ABC.
Actividad 3
• Calcula las longitudes x, e y desconocidas
de la figura siguiente:
1 cm
3,5 cm
y cm 3 cm
x cm
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS
Trazamos un segmento de longitud a + b + c, con origen en O.
Para dividir un segmento [O,A] en partes proporcionales
a, b y c:
0 A
b
a
c
Trazamos paralelas (utilizando T. Tales), y obtenemos dicha división
a` b` c`
Actividad 4
• Dibuja en tu cuaderno un
segmento de 11 cm. y divídelo en
dos partes tales que una sea ¾ de
la otra.
Cuarto, tercero y medio proporcional
Dado 3 segmentos de longitudes a, b y c, decimos que el
segmento de longitud desconocida x es el CUARTO
PROPORCIONAL de a, b y c, si se cumple:
a c
b x
b
a
x
cSi b = c, decimos que el segmento de longitud desconocida
x es el TERCERO PROPORCIONAL de a, b si se cumple:
a b
b x
El segmento de longitud b es el MEDIO
PROPORCIONAL
b
a
x
b
FIGURAS PLANAS SEMEJANTES
Dos figuras planas son SEMEJANTES si
están relacionadas de manera que una
es una reducción o ampliación de la
otra.POLÍGONOS SEMEJANTESDos POLÍGONOS de n lados son SEMEJANTES si tiene los
mismos ángulos y los lados son proporcionales.
Longitud de lado a del primer polígono
Longitud de lado homologo a' del segundo polígono
Razón de semejanza =
Construcción de polígonos semejantes
Dado un polígono
O
Se traza un punto O cualquiera y se trazan semirrectas
que parten de O, y pasan por los vértices
Se toma la razón r, y se trazan paralelas a los
lados
Actividad 5• Dibuja en tu cuaderno un triángulo que
tenga un lado de 2,5 cm. y otro de 3,5 cm.
Y un ángulo de 80º comprendido entre
ellos. ¿Sabrías trazar ahora otro triángulo
semejante dos de cuyos lados midiesen
7,5 cm. y 10,5 cm. respectivamente?
¿Cuál es la razón de semejanzas entre
ambas figuras?
1º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:
A
B
C
A’
B’
C’’
B = B’
C = C’
2º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:
A
B
C
A’
B’
C’’
A = A’
bc
b’
c’
b/b’ = c/c’
3º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:
A
B
C
A’
B’
C’’
bc
b’
c’
a/a’ = b/b’ = c/c’
a’a
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos ABC, A’B’C’ rectángulos en A y A’ son semejantes si:
A B
C
A’ B’
C’’
1.- Tiene un mismo ángulo agudo B = B’ ó C = C’2.- Dos pares de lados homólogos son proporcionales
TEOREMA DEL CATETO Y DE LA ALTURA
Dado un triángulo rectángulo ABC :A
BCa
bc
Por semejanzas de triángulos ABC y CPA, y también ABC y PBA,
Trazamos la perpendicular al segmento [B,C] que pasa por A.Denominamos P al punto de intersección, m = CP, n = PB y h = AP
m n
P
h
2b mb a m
a b 2c n
c a na c
2n hh m n
h m
De donde se deducen los siguientes teoremas:Teorema del CATETO.- Cada cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre esta:
Teorema de la ALTURA.- La altura de un triángulo rectángulo es la media proporcional de los dos segmentos que dividen la hipotenusa: 2h m n
2c a n 2b a m
Actividad 6• Los catetos de un triángulo rectángulo
miden 6 cm. Y 8 cm., respectivamente:
a)¿Cuánto miden sus proyecciones sobre la
hipotenusa?
b) ¿Cuánto vale la altura del triángulo sobre
la hipotenusa?
RELACIÓN ENTRE FIGURAS SEMEJANTES
Si P y P‘ son polígonos SEMEJANTES de lados a1, a2,
….,an y de lados homologos a’1, a’2,…, a’n.
Si F y F‘ son figuras planas
semejantes:r 2 = ÁREA de F / ÁREA de F‘.
Si C C‘ son cuerpos
semejantes :r 3 = VOLUMEN de C / VOLUMEN de
c‘.
La razón de semejanza
es: PERIMETRO de Pr = a1/a’1 = a2 /a’2 = …. = an / a’n = PERIMETRO de P‘.
Ejemplo:
P
a b
d
c
e
P’b’
a’
c’
e’
d’ a’+b’+c’+d’+e’r =
a+b+c+d+
e
(1/2).(a+b+c+d+e)= a+b+c+d+e
= 1/2
Actividad 7
• La razón entre los radios de dos
esferas es 5/7. Halla el volumen
de la esfera grande, sabiendo que
el de la pequeña es 250 cm. 3 .
ESCALAS DE MAPAS Y PLANOSSe llama ESCALA a la razón de semejanza que existe
entre la representación gráfica de un objeto
cualquiera y la dimensión real del mismo.
Usamos ESCALAS de AMPLIACIÓN para
representar objetos pequeños.
Usamos ESCALAS de REDUCCIÓN para
representar objetos grandes.
Actividad 8
• Dos ciudades distan entre sí 25
km. ¿A qué distancia se hallarán
en un plano de escala 1:25.000?
¿Y en otro en el que se indica que
5 cm. Equivalen a 100 km.?
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de GAUSS del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
En la siguiente diapósitiva