PROPOSTA DE TRABALLO FIN DE GRAO - usc.es · PDF file3 Avda. Lope Gómez de Marzoa, s/n. Campus Universitario Sur 15782 Santiago de Compostela Teléfono: 881813130 e-mail: [email protected]

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Avda. Lope Gómez de Marzoa, s/n. Campus Universitario Sur

15782 Santiago de Compostela Teléfono: 881813130

e-mail: [email protected]

PROPOSTAS DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2016-2017

Código AL01_17

Área de coñecemento Álxebra

Título Introducción a las curvas algebraicas planas.

Titor/a Ana Jeremías López

Breve descrición do contido

Se trata de estudiar las curvas algebraicas planas afines y proyectivas, es decir, las curvas planas definidas por ecuaciones polinómicas. Se estudiarán localmente las curvas analizando cuántas veces una curva dada pasa por un mismo punto, y en que forma lo hace, estudiando las rectas tangentes y los puntos singulares. Estudiaremos resultados globales como el número de puntos de inflexión de una curva o de rectas tangentes a la curva desde un punto (generalizando a una curva arbitraria las nociones de recta polar de una cónica o la curva dual de una cónica).

Recomendacións (non vinculantes)

Se recomienda haber cursado las asignaturas Ecuaciones Algebraicas, Estructuras Algebraicas, y estar cursando paralelamente la asignatura Álgebra, Números y Geometría.

Código AL02_17

Área de coñecemento Alxebra

Título Infinitésimos y Lógica : Análisis no estandar

Titor/a Javier Barja Pérez


El "análisis no standard" que fue desarrollado por A. Robinson en la mitad del pasado siglo, permite entroncar con la tradición del uso de infinitésimos por Euler y Leibnitz. Los infinitésimos fueron considerados inadmisibles por Gauss, y excluidos por Cauchy y Weierstrass quienes fundamentaron el cálculo diferencial sobre el concepto de infinito potencial (base de la usual definición de límite). Las bases de dicha construccion son la teoría de modelos y el uso de ultrapotencias del modelo estandar de R, usando un ultrafiltro no principal de N. Dentro de esa teoría pueden probarse algunos de los clásicos teoremas del análisis de una forma sencilla, pero rigurosa. Se trataría de ver algunos de esos resultados formulados con este nuevo lenguaje.


Este es un tema clásico de Lógica Matemática y las referencias remiten a libros de teoría de Modelos Robinson, A. Non standard analysis (1966),1974 2ª ed. Nord Holland Barnes D.W ; Mack, J. M. An Algebraic Inroduction to Mathematical Logic. Springer. 1975 N.Y. Chang, C. C. ; Keisler, H. J. Model Theory. North-Holland Amsterdam, Bell, J.L.; Machover M.. A-course-in-mathematical-logic (1977), North Holland N.Y CHAP 11. Enderton, H. A Mathematical Introduction to Logic, 2thEd 2001/1972 Harcourt/ Acad. Press. Chap Two. Stroyan,_ K..D._; _Luxemburg. W._A._J._Introduction to the theory of infinitesimals. Acad Press 1976 NY Keisler, H. J Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Creative Commons

Código AL03_17


Título A Xeométria Plana dos Elementos de Euclides

Titor/a Celso Rodríguez Fernández


Estudarase o método que seguen os Elementos de Euclides nos catro primeiros Libros, facendo unha versión de máis fácil lectura das demostracións. A extensión pode reducirse ós libros I e II ou III e IV, dependendo da profundidade do traballo realizado polo alumno.

Código AL04_17


Título Modelos alxébricos para o control da seguridade nun enclavamento ferroviario

Titor/a Felipe Gago Couso


As redes de ferrocarril están concebidas para que distintos trens poidan ser ubicados en distintas secións. Para evitar colisións cando circulan, empréganse semáforos e desvíos na rede ferroviaria. Os enclavamentos teñen a misión de informar cando a rede non é segura porque dous trens poderían chocar se se movesen de certa maneira por unha parte da mesma. Trátase de estudar un sistema lóxico para modelizar a seguridade nun tal sistema e a súa conversión en ecuacións alxébricas para empregar bases de Gröbner na resolución do problema.

Recomendacións(non vinculantes)

Cursar a materia Álxebra, Números e Xeometría.

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Código AL05_17


Título Introducción a los anillos conmutativos

Titor/a Leoncio Franco Fernández


Ideales primos. Radicales. El espectro primo. Interpretación geométrica Hom y producto tensorial de modulos. Modulos planos Anillos y modulos noetherianos Soporte y primos asociados


[1] Atiyah-Macdonald. Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley [2] Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press [3] Bourbaki, Commutative algebra, Hermann

Código AL06_17


Título Introducción a la teoría de haces



Categorías y funtores. Ejemplos Prehaces, haces y espacio ètalé. Ejemplos La categoría de haces Espacios anillados. Ejemplos.


[1] Godement, Théorie des faisceaux, Hermann [2] Tennison, Sheaf theory, Cambridge Univ. Press [3] Hartshorne, Algebraic geometry, Springer [4] Bredom, Sheaf theory, Springer [5] Kashiwara-Schapira, Categories and Sheaves, Springer [6] Schapira, Sheaves on manifolds, Springer [7] Strooker, Introduction to categories, homological algebra and sheaf theory, Cambridge [8] Gunning-Rosi, Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall

Código AL07_17


Título Los teoremas de las unidades de Dirichlet y de finitud del número de clase de los cuerpos globales demostracion idélica



Se comienza con una introducción a los cuerpos de números y sus divisores primos. Luego se exponen la llamada “geometría de números” y la teoría de Minkowski, que llevan a teoremas clásicos de teoría de números algebraicos como los citados en el título de este trabajo. 1. Cuerpos de números algebraicos y de funciones algebraicas [4, 5, 56 2. Adeles. Geometría de números. Teoría de Minkowski [3,4,5] 3. Ideles. Finitud del número de clase [1,2,4,5,6] 4. Teorema de las unidades de Dirichlet [1,5, 6]


[1] Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976 [2] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967 [3] Childress, Class field theory, Springer 2009 [4] Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley 1970 [5] Neukirch, Algebraic number theory, Springer 1999 [6] Weiss, Algebraic number theory, MacGraw-Hill 1963 Se recomienda tener superadas todas las materias del tercer curso de Grao en Matematicas, así como haber cursado o estar matriculado en Códigos e criptografía y en Alxebra, números e xeometría.

Código AL08_17

Área de coñecemento ÁLXEBRA

Título Aneis primitivos e o teorema de densidade de Jacobson.

Titor/a José Manuel Fernández Vilaboa


Trátase de introducir a teoría de aneis primitivos e de estudar a estrutura de estes aneis que serán caracterizados mediante o teorema de densidade de Jacobson. Ademais este teorema utilizarase para dar unha proba do teorema de estrutura para aneis artinianos simples.

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Código AL09_17


Título Módulos inxectivos sobre aneis noetherianos

Titor/a José Luis Gómez Pardo


Partirase do concepto de módulo inxectivo sobre un anel asociativo (non necesariamente conmutativo) con identidade, dando as caracterizacións e propiedades básicas destes módulos, incluíndo o criterio de Baer e o estudo da relación coa divisibilidade. A continuación estudaranse os aneis noetherianos, que serán caracterizados por teoremas de estrutura en termos do comportamento dos módulos inxectivos.


É recomendable ter cursada a materia “Estruturas Alxébricas” e cursar “Álxebra, números e xeometría”.

Código AL10_17


Título Liberación de los módulos proyectivos.

Titor/a Leovigildo Alonso Tarrío


Un módulo libre es el análogo de un espacio vectorial cuando los escalares forman un anillo (es decir, no hay división). En general, un módulo libre puede tener sumandos directos que no son libres. Estos módulos son muy importantes y reciben el nombre de módulos proyectivos. Sobre los enteros, o sobre el anillo de polinomios en una variable sobre un cuerpo, todo módulo proyectivo es libre. Esta propiedad para anillos de polinomios con un número arbitrario de variables fue conjeturada por Serre en la década de los 50 del siglo pasado. El objetivo de este trabajo es exponer una demostración elemental del teorema de Quillen-Suslin que demuestra que la conjetura de Serre es cierta.


Haber superado y comprendido los contenidos de la asignatura Estructuras algebraicas, en especial las propiedades básicas de los módulos sobre un anillo conmutativo unitario.

Código AL11_17

Área de coñecemento Álgebra

Título Formas cuadráticas

Titor/a Javier Majadas Soto


Formas cuadráticas sobre cuerpos, estudiando especialmente el caso de cuerpos finitos, p-adicos y racionales, y sus anillos de Witt. Será necesario estudiar: W. Scharlau, Quadratic and Hermitian Forms, capítulos 1 y 2. J.-P. Serre, Cours d’arithmétique / A course in arithmetic, capítulos I a IV. Más detalles sobre esta propuesta de TFG pueden verse en: http://webspersoais.usc.es/persoais/j.majadas/


Una buena formación en Álgebra es muy recomendable. En particular se recomienda soltura con los contenidos de las asignaturas ”Estructuras Algebraicas”, “Ecuaciones Algebraicas” y “Álgebra, Números y Geometría” (pudiendo cursar esta última simultáneamente). Para una descripción más detallada del trabajo y de las recomendaciones se recomienda hablar con el profesor previamente. El tema es de gran importancia para quienes deseen iniciar su formación en Geometría Algebraica o en Teoría de Números, por ello se recomienda que quien pretenda realizar el trabajo tenga su interés centrado en alguno de esos temas.

Código AL12_17

Área de coñecemento Álgebra

Título Teorema de Witt

Titor/a María Jesús Vale Gonsalves


El teorema de Witt afirma que una isometría entre dos subespacios de un espacio vectorial métrico ortogonal V no singular se puede extender a una isometría de V. El teorema de descomposición de Witt afirma que todo espacio ortogonal es suma ortogonal de un subespacio isotrópico, un subespacio hiperbólico y un subespacio anisotrópico y que estos subespacios son únicos salvo isometrías; este último teorema extiende la ley de inercia de Sylvester a cuerpos arbitrarios y reduce la clasificación de espacios ortogonales a la clasificación de espacios anisotrópicos. En este trabajo se plantea probar el teorema de Witt y el teorema de descomposición de Witt. y además demostrar el refinamiento del teorema de Witt que da condiciones necesarias y suficientes para que una isometría entre dos subespacios de un espacio ortogonal no singular se pueda extender a una rotación y también a una reflexión.


Se recomienda haber superado las asignaturas Álgebra Lineal y Multilineal, Geometría Lineal y Estructuras Algebraicas.

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Código AL13_17


Título Grafos de Cayley. Teoría de grupos visual

Titor/a Manuel Ladra González


Moitos grupos finitos importantes xorden como grupos de simetría de obxectos xeométricos. De feito, os grupos xorden en varios contextos diferentes, maioritariamente como simetrías de calquera obxecto matemático X. Nestas situacións, a miúdo pódense entender devandito grupo directamente desde a nosa comprensión do obxecto X. O teorema de Cayley mostra que a noción abstracta de grupo e a noción de grupo de simetrías son a mesma. En concreto, o teorema de Cayley di que todo grupo pode ser visto como un subgrupo do grupo simétrico. Unha das ideas crave no estudo dos grupos é que poden ser vistos como grupos de simetría de grafos. Este feito é coñecido como o teorema mellorado de Cayley: Todo grupo finitamente xerado pode ser representado como un grupo de simetrías dun grafo conexo, dirixido, e localmente finito. A motivación deste traballo é facer unha introdución á Teoría Xeométrica de Grupos.

Código AL14_17


Título Forma canónica de Weyr

Titor/a Manuel Ladra González


Na década de 1880, o matemático checo Eduard Weyr publicou os seus resultados importantes en teoría de matrices. Aínda que Eduard Weyr foi un dos poucos matemáticos europeos familiarizados coa teoría de matrices, os seus resultados non tiveron recoñecemento ata preto dun século. Eduard weyr descubriu a característica de Weyr, que é unha sucesión dual da coñecida característica de Segre, e tamén a súa chamada forma canónica matricial. Esta forma canónica dunha matriz chámase hoxe en día a forma canónica de Weyr. É permutacionalmente similar á forma canónica de Jordan da mesma matriz e supera á forma canónica de Jordan nalgunhas situacións matemáticas, especialmente útil en problemas que implican conmutatividad de matrices. A motivación deste traballo é coñecer a forma canónica de Weyr.

Código AL15_17


Título Polinomios sobre corpos finitos

Titor/a Nieves Rodríguez González


Despois de analizar as propiedades básicas dos corpos finitos, o traballo centrarase no estudo dos polinomios sobre ditos corpos, a súa factorización e algunha das súas aplicacións.


E moi recomendable ter cursadas as materias “Estructuras alxébricas” e “Ecuacións alxébricas”.

Código AL16_17

Área de coñecemento ALXEBRA

Título Superficies algebraicas racionales: la superficie de Veronese y sus proyecciones.

Titor/a Manuel PEDREIRA PÉREZ


Los ejemplos más habituales de curvas y superficies manejados por un estudiante en el estudio de la geometría (diferencial mayoritariamente) e incluso en ciertas partes del Análisis Matemático dentro del Grado de Matemáticas, son curvas y superficies parametrizadas. Estos ejemplos corresponden a lo que se llaman curvas y superficies racionales. En la literatura matemática de finales del siglo XIX y principios del XX, la mayoría de los trabajos clásicos sobre esta disciplina se centraron en describir ejemplos de tales curvas y superficies y, por razones obvias de calcular explícitamente sus ecuaciones, se estudió el caso algebraico. En este trabajo se estudian tales ejemplos poniendo mayor énfasis en el caso 2-dimensional de superficies algebraicas racionales. A principio del siglo XX, E. Bertini estableció un punto de vista que ha llegado hasta nuestros dias. Una superficie racional se corresponde con una imagen homeomorfa de un abierto en el plano proyectivo, trabajando con la topología en donde los cerrados vienen definidos por ecuaciones polinómicas homogéneas. La manera explícita de construir estas superficies dió lugar al concepto de “sistema lineal de curvas” y mediante él se generalizaron las llamadas superficies de Veronese que son las realizaciones proyectivas del sistema lineal y completo de las cónicas del plano proyectivo en un espacio proyectivo de dimensión superior y sus sucesivas proyecciones. Este trabajo de fín de grado introduce al estudiante en el mundo de la Geometría Proyectiva haciéndole manejar no sólo conceptos de Algebra Lineal que se aplican para comprender esa disciplina, sino también para ilustrar conceptos de geometría diferencial como inmersión, diferencial de una aplicación entre superficies, que surgen al estudiar las realizaciones proyectivas del plano proyectivo como superficies racional en un espacio proyectivo de dimensión superior. Después de estudiar algunas consideraciones generales, el trabajo se centra en el estudio de la superficie de Veronese V_2 en el espacio proyectivo P^5, y sus

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proyecciones a P^4 y P^3. El estudio de la variedad secante de V_2, permite un criterio geométrico interesante


para decidir cuando una proyección es una inmersión; es decir, un homeomorfismo en su imagen y siendo sus diferenciales en todo punto isomorfismos. Se ilustra el concepto de sistema lineal de curvas planas de grado dado y la manera en que éste da información sobre la inmersión, e incluso la forma en que aparecen elementos singulares en la superficie proyectada.

Código AL17_17


Título Módulos de cocientes

Titor/a M. Purificación López López


Se trata del estudio de la localización de módulos sobre anillos arbitrarios y de obtener como caso particular la localización de módulos sobre anillos conmutativos. Para alcanzar este objetivo se comenzará con el estudio de la localización en el caso conmutativo analizando sus principales propiedades. A continuación se estudiarán los módulos inyectivos que son la herramienta que permitirá abordar el caso general.

Código AL18_17


Título Módulos planos. Teorema de Lazard

Titor/a Antonio García Rodicio


Estudio de los módulos planos, comenzando por el producto tensorial, requisito indispensable para la definición de tales módulos, y llegando hasta el teorema de Lazard, que afirma que los módulos planos son exactamente los límites directos de módulos libres de tipo finito.


Tener un buen dominio del contenido de la asignatura Estructuras Algebraicas.

Código AL19_17


Título O problema da extensión en módulos

Titor/a Rosa Mª Fernández Rodríguez


Introdución ás nocións e propiedades básicas de módulos e á linguaxe de categorías, estudando os conceptos e construcións necesarios para aborda-lo problema da extensión en módulos.


Ter superada-las materias Estruturas Alxebraicas e Ecuacións Alxebraicas.

Código AN01_17

Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA

Título Unha introdución ás Transformacións de Möbius

Director/a Rosa Mª Trinchet Soria


Dende moitos puntos de vista, é interesante considerar ás funcións complexas dunha variable complexa como transformacións do plano complexo en si mesmo (e mesmo a algunhas das súas extensións ó plano ampliado coma transformacións deste en si mesmo). Entre elas, as transformacións de Möbius (tamén chamadas transformacións homográficas ou transformacións lineais fraccionarias, etc. e que, no sucesivo, abreviaremos por TMs) constitúen unha importante familia de funcións, con conexións en distintos campos, se cadra, debido en parte ás súas relacións coas xeometrías non euclideanas. O obxectivo do traballo é doble. Por una parte, iniciar o estudo desta familia de transformacións, das que se considerarán as súas propiedades máis básicas. Este estudo incluirá, tamén, aqueles conceptos e feitos máis significativos que poidan convir como prerrequisitos ó tema en cuestión (por exemplo: significado xeométrico da derivada complexa; conservación de ángulos, etc.). Por outra parte, desenvolveranse códigos informáticos que axuden a ilustrar, a través da visualización, estática ou animada, algúns dos aspectos teóricos tratados no traballo. Para a elaboración destes códigos utilizarase o programa informático Maple.

Código AN02_17

Área de coñecemento Análise Matemática

Título Cálculo en espacios de Banach

Titor/a Juan José Nieto Roig


Concepto de espacio normado. Espacios de Banach. Algúns espacios de Banach notables. Cálculo en espacios de Banach.


Ter cursado a materia de “Análise Funcional en Espacios de Hilbert” do grao en Matemáticas.

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Código AN03_17


Título As Funcións de Bessel e a Función Gamma



Estudar a orixe das funcións de Bessel e da función Gamma. Concepto de función de Bessel e da función gamma. Propiedades elementais. Ecuación diferencial de Bessel. Por último se verán algunhas aplicacións de ditas funcións á algúns problemas físicos.

Código AN04_17


Título Produtos infinitos



Produto de series. Definición de produto infinito. Criterio de Cauchy. Produto de Euler para la función zeta de Riemann. Teorema de factorización de Weierstrass.

Código AN05_17


Título Series de Fourier dobles e a súa aplicación na resolución de ecuacións en derivadas parciais en dimensións espaciais dous e tres

Titor/a Rodrigo López Pouso


Series de Fourier dobles. Resolución do problema de Dirichlet para a ecuación de Laplace nun cubo. Resolución do problema da membrana rectangular vibrante. Resolución do problema do fluxo de calor nunha placa rectangular. Resolución das ecuacións de ondas e da calor en volumes rectangulares.


Este traballo pretende ampliar os coñecementos que se poden adquirir na materia “Series de Fourier e introdución ás EDP”, onde as ecuacións de ondas e da calor soamente se resolven no caso unidimensional (problemas da corda vibrante e da evolución de temperaturas nun aramio). Recoméndase, polo tanto, coñecer ben a aplicación do método de Fourier nestes casos sinxelos.

Código AN06_17


Título Teoremas tauberianos: a relación entre distintas formas de sumar series

Titor/a Rodrigo López Pouso


Sumas de series numéricas nos sentidos de Cesàro e de Abel. Teoremas tauberianos. Aplicación na análise de Fourier: o Teorema de Fejér.

Código AN07_17


Título A evolución do concepto de función: un breve percorrido

Directora Rosa Mª Trinchet Soria


O concepto de función é, sen dúbida, un dos máis importantes das matemáticas, así como, tamén, un dos máis difíciles de aprehender. O obxecto deste traballo, cunha forte compoñente histórica, é trazar a evolución deste concepto, deténdose especialmente naqueles momentos históricos de especial relevancia nesta evolución.


Código AN08_17


Título Introdución ao cálculo de variacións.

Titor/a Alberto Cabada Fernández


Neste traballo faráse unha introdución á teoría do cálculo de variacións. Partindo de exemplos clásicos, chegaremos ó problema da minimización de funcionais e, como consecuencia, ás ecuacións de Euler-Lagrange. Presentaránse exemplos físicos e xeométricos nos que se aplique esta teoría.


É recomendable ter un bo dominio das materias de Ecuacións Diferenciais de segundo e terceiro curso.

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Código AN09_17


Título Introdución ás Ecuacións Integrais.

Titor/a Alberto Cabada Fernández


Neste traballo faráse unha introdución á teoría das ecuacións integrais tanto de tipo Fredholm como de Volterra. Veremos a súa relación coas ecuacións diferenciais con condicións de contorno e veremos algúns resultados que garanten a existencia de solución, así como métodos que permiten achar a expresión da mesma para casos particulares do núcleo integral.


É recomendable ter un bo dominio das materias de Ecuacións Diferenciais de segundo e terceiro curso e cursar a materia Espazos de Hilbert de cuarto curso.

Código AN10_17


Título Reordenación de series

Titor/a Rosana Rodríguez López


Dirichlet probou en 1837 que, se unha serie é absolutamente converxente, a súa suma permanece invariable ao reordenar os seus termos. Tamén atopou exemplos de series cuxa suma variaba ao reordenalas. Foi Riemann, en 1853, o que demostrou que, se partimos dunha serie converxente pero non absolutamente converxente, reordenando os seus termos podemos obter sumas diferentes á suma da serie de partida e, ademais, existen reordenacións de dita serie cuxa suma produce calquera número real, proporcionándose a estrutura do conxunto de sumas. O obxectivo deste traballo é revisar algunhas cuestións relativas á converxencia de series e á súa reordenación en espazos de diferentes tipos.


Ter superadas as materias Introdución á Análise Matemática Series Funcionais e Integración de Riemann en varias Variables Reais Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico

Código AN11_17 Área de coñecemento Análise Matemática Título Construción de funcións continuas non derivables en ningún punto Titor/a Rosana Rodríguez López


O traballo consiste na construción e estudo dalgunhas funcións continuas que non son derivables en ningún punto, denominadas en ocasións funcións patolóxicas ou “monstruos” da Análise Real. En particular, analizaranse algunhas funcións definidas mediante unha serie funcional, como a función de Weierstrass, para a que tamén se comentarán as aportacións de diversos autores en relación ao estudo do seu comportamento, a función de Van der Waerden ou a función de Takagi (ou de Blancmange). Por outra banda, poderanse estudar algunhas construcións xeométricas como a que conduce, por exemplo, á función de Takagi ou outros métodos que permitan obter funcións cunha cantidade infinita de singularidades de diversos tipos.


Ter superadas as materias Continuidade e Derivabilidade de Funcións dunha Variable Real Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais Series Funcionales e Integración de Riemann en Varias Variables Reales Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico

Código AN12_17


Título Do teorema de Bolzano ao teorema de Schauder: unha incursión na Teoría do Grao Topolóxico

Titor/a Rubén Figueroa Sestelo


Desde o bacharelato é ben coñecido por todos o teorema de Bolzano, que permite garantir a existencia de raíces dunha ecuación nun determinado intervalo. Moitos problemas matemáticos poden reducirse en último termo á busqueda de raíces de ecuacións, pero o teorema de Bolzano non ten sentido cando traballamos en espazos de varias dimensións ou, incluso, de dimensión infinita. O propósito deste traballo será buscar ferramentas que xeneralicen este teorema aos contextos finito dimensional e infinito dimensional, o que nos

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levará a falar sobre os graos topolóxicos de Brower e de Leray – Schauder.


Serán necesarios os contidos relativos á materia “Diferenciación de funcións de varias variables reais”. Tamén é recomendable, mais non necesario, ter algunhas nocións de Análise Funcional.

Código AN13_17


Título Funcións de variación acotada e funcións absolutamente continuas

Titor/a Rubén Figueroa Sestelo


O obxectivo deste traballo será realizar unha introdución ás funcións de variación acotada e absolutamente continuas, coñecer as súas principais propiedades e chegar á demostración do Teorema Fundamental do Cálculo para a integral de Lebesgue.


Ter superadas as materias “Series funcionais e integración de Riemann en varias variables reais” e “Cálculo vectorial e integración de Lebesgue”.

Código AN14_17


Título Ecuacións Ginzburg-Landau

Titor/a María Victoria Otero Espinar e Manuel Vázquez Ramallo


As ecuacións diferenciais de Ginzburg-Landau ou GL (dadas por , sendo unha

funcion complexa, e varias xeralizacións) foron propostas en 1950 por investigadores galardonados con premios Nobel en 1962 y 2003. A pesar da súa aparente simplicidade, destacan polo seu particularmente amplo rango de aplicacións prácticas, consecuente coa xeneralidade da súa xustificación: corresponden a unha expansión en serie de Taylor da enerxía dun sistema experimentando un cambio xenérico desde un estado non ordenado (dado por un valor nulo do "parámetro de orde" , que se dá para ) a outro ordenado ( non nulo, para

). As ecuacións GL utilízanse, por exemplo, en temáticas tan diversas como física de materiais

(superconductores, líquidos complexos, etc.), astrofísica, economía, dinámica poboacional, e todo tipo de sistemas con transicións orde-desorde. Os contidos concretos deste TFG serán os seguintes: i) Unha introdución básica á formulación das ecuacións GL, e unha enumeración das súas principais aplicacións. (Unha discusión exhaustiva das devanditas aplicacións quedaría máis aló do alcance dun TFG). ii) A obtención e discusión dalgunhas das súas solucións analíticas máis simples, para casos de dominios de integración e condicións de contorno que permitan atopar ditas solucións. iii) O cómputo de solucións numéricas das ecuacións GL para algúns casos en que os dominios de integración e condicións de contorno non fan práctica a vía analítica de solución. Ista temática é hoxe en día de gran interese aplicado (sendo por exemplo un dos obxectivos principais da rede de I+D NanoSC, con financiamento específico da Unión Europea). O alumno disporá de acceso ao supercomputador LBTS-epsilon (duns 12000 núcleos e 31 Tflops, descrito en lbts.usc.es/epsilon) así como código en linguaxes python e/ou openFOAM adaptables á ecuación GL.

Código AN15_17


Título Os Sistemas Dinámicos, que son e para que serven?

Titor/a M. Victoria Otero Espinar

O obxectivo principal deste traballo é intentar dar resposta ás cuestións de que son os sistemas dinámicos e cal é a súa aplicación a diferentes problemas en distintos campos científicos. Unha análise exhaustiva da teoría de sistemas dinámicos excede os propósitos do Grao en Matemáticas da USC, o seu estudo tratarase en certos títulos de máster, polo tanto non é tampouco o propósito deste traballo. O obxectivo deste traballo é introducir a terminoloxía e os conceptos básicos da teoría de sistemas dinámicos e certos tópicos elementais relativos ao seu comportamento, así como a súa aplicación ao mundo que nos rodea, a través da elaboración de recursos didácticos para a súa comprensión e divulgación.

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Código EST01_17

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa

Título Movimento Browniano

Titor/a Alberto Rodríguez Casal


O movimento browniano é o movemento que se observa nalgunhas partículas microscópicas que se atopan dentro dun fluído, como pode ser unha gota de auga. Recibe o seu nome en honor ao biólogo e botánico escosés, Robert Brown, quen observou, no ano 1827, que as partículas de polen se desplazaban en movementos aleatorios sen razón aparente. Este movemento estudase dentro da teoría de procesos estocásticos. O obxetivo deste traballo é revisar as propiedades do movemento browniano, así como presentar algunha das súas aplicacións. Bibliografía Patrick Billingsley (1995), Probability and Measure, Wiley. Propiedade Intelectual A propiedade intelectual é do alumno

Código EST02_17


Título Ïndices de poder

Titor/a Alberto Rodríguez Casal


Os índices de poder tratan de medir o poder ou influencia que un axente ou xogador ten nun determinado xogo de votación. A influencia dun axente en moitas ocasións non é obvia, sendo necesaria a creación dos chamados índices de poder para cuantificala. O obxectivo deste traballos é revisar a literatura existente no tema, analizando as propiedades dos principias índices de poder, para posteriormente aplicalos ao estudo de distintos exemplos, como podería ser o reparto de poder no parlamento. Bibliografía Guillermo Owen (1995), Game Theory, Academic Press. Propiedade Intelectual A propiedade intelectual é do alumno

Código EST03_17


Título Métodos estatísticos en clasificación de imaxes

Titor/a Beatriz Pateiro López


A análise de imaxes é un área de crecente interese na que, o obxectivo principal é extraer información relevante a partir de imaxes. Algúns dos problemas relacionados coa análise de imaxes son os problemas de segmentación de imaxes e clasificación. O obxectivo deste TFG é que o alumno faga unha revisión dos principais métodos estatísticos empregados na clasificación de imaxes e da súa implementación práctica.


Recomendado para alumnos que busquen un traballo teórico-práctico e teñan experiencia na programación con R

Código EST04_17


Título Teoría de juegos: del Hex al teorema de punto fijo de Brouwer

Titor/a Julio González Díaz y Ángel Manuel González Rueda

Breve descrición

En este trabajo se hará una breve introducción a la teoría de juegos no cooperativos. En dicho estudio se hará una revisión de los distintos tipos de equilibrios que se pueden definir en estos juegos, prestando especial atención al equilibrio de Nash. También se estudiará el teorema de punto fijo de Brouwer, herramienta fundamental para poder probar el teorema de existencia de equilibrio de Nash. Además, se introducirá el juego de tablero conocido como Hex, y se relacionarán los resultados teóricos asociados al mismo con el teorema de Nash. La estructura del trabajo se centraría en los siguientes aspectos: Familiarización con los conceptos básicos de la teoría de juegos no cooperativos. Definición de los distintos tipos de equilibrios y resultados asociados a los mismos. Teorema de punto fijo de Brouwer y teorema de existencia de equilibrio de Nash. Introducción del juego de tablero conocido como Hex. Relación de los resultados asociados al Hex con el teorema de punto fijo de Brouwer.


Especialmente indicado para alumnos con interés en la Teoría de Juegos.

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Código EST05_17

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

Título Introducción a la construcción de Intervalos de Confianza Bootstrap

Titor/a José Manuel Prada Sánchez


Se trata de presentar una introducción a la construcción en general de intervalos de confianza mediante la técnica de remuestreo Bootstrap. Se considerará el caso particular de una media poblacional como objetivo de inferencia y se ilustrará, con breves consideraciones teóricas (cuando resulte sencillo) y estudios de simulación con R (siempre), el comportamiento de los intervalos construídos con esta metodología en comparación con los correspondientes obtenidos con la metodología inferencial clásica.


Estar familiarizado con el entorno estadístico R.

Código EST06_17


Título Problemas de decisión multiobjetivo con varios agentes

Titora Balbina Virginia Casas Méndez


La Investigación Operativa tiene su razón de ser en la búsqueda de soluciones a problemas reales complejos. G. Dantzig introdujo de un modo general el concepto de función objetivo con la idea de escoger entre soluciones con determinadas propiedades. Muchas situaciones reales no pueden ser modeladas empleando un solo criterio, por lo que se hace necesario el desarrollo de modelos con varias funciones objetivo. En otros problemas, del ámbito económico o social, intervienen varios agentes que analizan el problema con diferentes perspectivas y el desarrollo matemático necesario para estudiar estas situaciones se denomina Teoría de Juegos. Este TFG surge de la yuxtaposición de los paradigmas multiobjetivo y multiagente. Consistirá en realizar una introducción a los denominados juegos multiobjetivo (cf. Fernández García y Puerto Albandoz, 2006) tanto no cooperativos como cooperativos, ilustrados mediante problemas tomados de la vida real como una campaña publicitaria, un duopolio, o un problema de producción lineal múltiple. Se presentarán algunos de los conceptos y resultados relevantes en este campo y se complementará con el uso de alguna herramienta informática que facilite el cálculo de las soluciones de estos problemas. Referencias: Teoría de Juegos Multiobjetivo. Francisco R. Fernández García y Justo Puerto Albandoz. Universidad de Sevilla, 2006.

Código EST07_17


Título Un modelo de Teoría de Colas:las redes abiertas de Jackson

Titora Balbina Virginia Casas Méndez


Los problemas de colas (cf. [1]) aparecen en muchas situaciones de la vida real. Pueden generarse, por ejemplo, a partir de las llamadas efectuadas a una centralita telefónica, por los trabajos informáticos enviados a ejecutar a una estación de trabajo, por las muestras recibidas en un laboratorio clínico para ser analizadas, por los vehículos que circulan por las diferentes glorietas de una ciudad, o por los clientes que utilizan los probadores de una tienda de ropa y posteriormente se dirigen a una caja para realizar un pago. En el presente TFG se revisarán algunas nociones básicas de Procesos Estocásticos, ciertos modelos básicos de colas derivados de los denominados procesos de nacimiento y muerte, para finalmente llegar a comprender el modelo de redes de colas abiertas de Jackson, los principales resultados en este contexto y ver algún ejemplo tomado de la vida real que sirva de ilustración. El trabajo se complementará con el manejo de la librería queueing de R (cf. [2]) que sirve de apoyo al tratamiento de estos problemas. Referencias: [1] Gross, D.; Harris, C.M. (2008): “Fundamentals of Queueing Theory”, Wiley. [2] Package ‘queueing’: https://cran.r-project.org/web/packages/queueing/queueing.pdf

Código EST08_17


Título Introducción a la programación no lineal

Titor/a Julio González Díaz


Este trabajo consistirá en el estudio de los principales aspectos teóricos de la programación no lineal, así como de algún ejemplo ilustrativo de las técnicas más habituales para la resolución de los mismos. El trabajo se estructuraría en torno a los siguientes puntos: Familiarización con los elementos básicos de la programación no lineal. Derivación de las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker. Dualidad en programación no lineal. Presentación de algún caso práctico, que puede consistir en alguno de los siguientes puntos:

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Discusión de uno o varios algoritmos clásicos para la resolución de problemas de programación no lineal. Implementación de uno o varios algoritmos clásicos. Ilustración del uso de técnicas de programación no lineal para la resolución de problemas reales.


Especialmente indicado para alumnos que estén buscando un trabajo con carga teórica pero que no pierda de vista las potenciales aplicaciones.

Código EST09_17


Título Flexibilizando a regresión lineal: regresión local lineal

Titor/a Rosa M. Crujeiras Casais


As ferramentas para o axuste de modelos de regresión que se inclúen no programa formativo do Grao en Matemáticas redúcense a modelos paramétricos lineais. Na práctica, estes modelos poden non ser suficientemente flexibles para explicar a relación entre variables dun xeito efectivo. Esta eiva pode corrixirse a través do axuste local de modelos paramétricos simples. En concreto, neste TFG estudaranse o modelo de regresión local lineal: analizarase a súa formulación e propiedades, así como o seu funcionamento en conxuntos de datos simulados. Tamén se ilustrará con datos reais. Contidos: 1. O estimador local lineal: definición e propiedades. 2. Selección do parámetro de suavizado. 3. Estudo de simulación e ilustración con datos reais. Bibliografía: Bowman, A.W. e Azzalini, A. (1997) Applied smoothing techniques for data analysis : the kernel approach with S-plus illustrations. Oxford : Clarendon Press. (Sinatura: 62950A, 62950B, Bib. Matemáticas). Eubank, R.L. (1999) Nonparametric regression and spline smoothing. Marcel Dekker, New York. (Sinatura: 621018, Bib. Matemáticas) Härdle, W. (1991) Applied nonparametric regression. Cambridge University Press. (Sinatura: 62741, Bib. Matemáticas). Faraway, J.J. (2006) Extending the linear model with R : generalized linear, mixed effects and nonparametric regression models. Chapman & Hall, Boca Ratón. (Sinatura: 621229, Bib. Matemáticas)

Código EST10_17


Título Técnicas de agrupamento de datos

Titor/a Rosa M. Crujeiras Casais


O obxectivo deste TFG é que a/o alumna/o revise as ferramentas para o agrupamento de datos (técnicas de “clustering”). Estes métodos permiten a identificación de individuos que son similares aos do seu grupo e diferentes dos demais, sen coñecer a priori o número de grupos nin as súas características. Dentro das técnicas de agrupamento, poden distinguirse dous tipos de métodos: xerárquicos e non xerárquicos. As dúas estratexias serán revisadas neste TFG, onde a/o alumna/o utilizará a linguaxe R para a súa ilustración con datos reais do ámbito da ecoloxía. Contidos: 1. Introdución ás técnicas de agrupamento. Motivación, exemplos e diferenzas coa análise discriminante. 2. Agrupamento xerárquico. Distancias entre individuos. Métodos aglomerativos e disociativos. 3. Agrupamento non xerárquico. Método de k-medias. Método de mesturas. 4. Ilustración con datos reais Bibliografía: Abdelmonem, A. (2012) Practical multivariate analysis. Taylor and Francis, Boca Ratón. (Sinatura: 60866, Bib. Matemáticas) Everitt, B.S. (2011) An Introduction to applied multivariate analysis with R. Springer, New York. (621280, Bib. Matemáticas) Greeancre, M.J. (2013) Multivariate analysis of ecological data. Fundación BBVA. (Sinatura: R 80130, Bib. Xeral) Härdle, W. (2015) Applied multivariate statistical analysis. Springer, Heidelberg. (Sinatura: 621321, 1209-203, Bib. Matemáticas) Kock, I. (2014) Analysis of multivariate and high-dimensional data. Cambridge University Press, New York. (Sinatura: 621302, Bib. Matemáticas)

Código EST11_17


Título Modelización estatística espacial: Datos reticulares

Director/es Manuel Febrero Bande

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O obxectivo deste traballo é desenvolver a creación de mapas de predicción espacial a partires de datos en retícula. O traballo consistirá nunha introducción amigable aos procedementos de estatística espacial para este tipo de datos e a súa aplicación a datos do entorno galego.


Recomendacións Soltura co paquete estatístico R

Código EST12_17


Título Modelización estatística con Random Forests

Director/es Manuel Febrero Bande


O obxectivo deste traballo é presentar e aplicar a novedosa metodoloxía Random Forests para problemas de regresión e clasificación. Os Random Forests están constituidos por árbores aleatorias de decisión que conxuntamente son capaces de detectar as variables máis importantes e predecir especialmente en situacións de datos de alta dimensión. O traballo consistirá nunha presentación matemática destas técnicas e as consideracións prácticas para a boa aplicación a conxuntos de datos de referencia.


Recomendacións Soltura co paquete estatístico R.

Código EST13_17


Título Estimación del error típico en contrastes de hipótesis

Titor/a César Sánchez Sellero


En el problema de contraste de una proporción, lo más habitual es estimar el error típico, que aparece en el denominador, utilizando la proporción conjeturada. En este trabajo, analizaremos qué es mejor: estimar el error típico utilizando la proporción conjeturada o utilizando la proporción muestral. Debemos observar que para el contraste de la media de una población normal, el error típico se estima sin tener en cuenta la media conjeturada. Análogamente, para la comparación de dos proporciones, la estimación del error típico puede realizarse asumiendo que las dos proporciones son iguales o sin asumir esta condición. Esta cuestión se puede extender al problema de estimación de la información de Fisher en un test de razón de verosimilitudes (¿bajo la nula o bajo la alternativa?), o en general a la estimación de la varianza del estadístico de contraste, por ejemplo en tests no paramétricos de bondad de ajuste. Nos centraremos en las situaciones más sencillas e intentaremos dar una respuesta a través de la revisión bibliográfica y de estudios de simulación.

Código EST14_17


Título El algoritmo EM

Titor/a César Sánchez Sellero


El algoritmo EM es un procedimiento general para el cálculo de los estimadores de máxima verosimilitud a partir de información incompleta. La información incompleta surge en contextos muy diversos de la Estadística. Aparece en Análisis de Supervivencia, pues en muchas ocasiones no es posible hacer un seguimiento de principio a fin de la vida de cada individuo, sino que se toman observaciones puntuales o seguimientos parciales. En clasificación también se pueden emplear los conceptos de observación incompleta, pues se pretende crear grupos, cuando todavía no se conoce a qué grupo pertenece cada individuo. En estas circunstancias y muchas otras con observaciones incompletas, el algoritmo EM permite calcular los estimadores de máxima verosimilitud a partir de los métodos ordinarios con observación completa. La referencia fundamental de la que partirá este trabajo es la siguiente: Dempster, A.P., Laird, N.M. y Rubin, D.B. (1977). Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algorithm. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), Vol. 39, pp. 1-38.

Código EST15_17


Título Técnicas de clasificación

Titor/a Wenceslao González Manteiga


Se trata de revisar las reglas discriminantes tipo Bayes y aplicadas al caso de poblaciones normales, para luego extenderlas al caso en el que las distribuciones de las poblaciones sean totalmente desconocidas. Guión aproximado del estudio: 1) Optimalidad en el Análisis Discriminante 2)Reglas discriminantes lineales y cuadráticas 3)Reglas no paramétricas basadas en la estimación de la densidad. 4)Reglas no paramétricas basadas en la estimación de la regresión

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4)Arboles de regresión, "Random Forests" y "Neural Nets" 5)Ilustración en bases de datos reales


Haber cursado la asignatura optativa de Modelos de regresión y Análisis Multivariante de cuarto curso

Código EST16_17


Título Curvas ROC

Titor/a Wenceslao González Manteiga


Se trata de revisar los fundamentos de las curvas ROC. Guión aproximado del estudio: 1) Regla de clasificación . Probabilidades de clasificación incorrecta. Sensibilidad y Especificidad. 2)La curva ROC en técnicas de diagnóstico. 3) Inferencia Estadística en la curva ROC.. 4)La curva ROC con covariables. 4)Simulación y aplicaciones biomédicas"


Haber cursado la asignatura optativa de Modelos de regresión y Análisis Multivariante de cuarto curso

Código AST01_17

Área de coñecemento ASTRONOMÍA E ASTROFÍSICA

Título O PROBLEMA DE TRES CORPOS

Titor/a JOSE ANGEL DOCOBO DURÁNTEZ


Ao contrario do que sucede para dous corpos, o estudo do movemento de tres masas puntuais que se atraen entre si mediante a forza de gravitación universal carece dunha solución xeral para calquera que sexan as condicións iniciais. No presente TFG, trátase de formular este problema e ao mesmo tempo establecer aqueles casos particulares nos que resulta integrable. Así mesmo, estudarase o escenario no que un dos tres corpos estea o suficientemente afastado dos outros dous coma para poder considerar a dinámica do sistema un problema de dous corpos con perturbación.


TER CURSADO A MATERIA DE FUNDAMENTOS DE ASTRONOMÍA

Código AST02_17

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica

Título As distancias na Astronomía

Titor/a Josefina F. Ling


As unidades de distancia utilizadas en Astronomía dependen do nivel de proximidade do obxecto astronómico. Dependendo da escala na que se traballe, definiranse e xustificaranse, de maneira progresiva, o uso do quilometro, a unidade astronómica, o parsec, ou o ano-luz, e os seus múltiplos. Analizaranse distintos métodos para a determinación de distancias: Xeométricos. A paralaxe e súas implicacións nas coordenadas. Espectroscópicos. A paralaxe espectroscópica, a distancia cosmolóxica. Fotométricos. Indicadores como as Cefeidas. Outras tecnoloxías. Algunhas das técnicas descritas serán ilustradas con exemplos concretos.


Ter cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código AST03_17

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica

Título Movementos estelares

Titor/a Josefina F. Ling


En primeiro lugar estudarase o desprazamento aparente das estrelas na esfera celeste. Obterase a formulación para aplicar a correspondente corrección nas coordenadas astronómicas. Veranse algúns catálogos de movementos propios e algunhas aplicacións.

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Nunha segunda parte analizarase o movemento tridimensional, introducindo as velocidades radiais. Examinarase a relación co movemento de rotación da Galaxia.


Ter cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código MA01_17

Área de coñecemento Matemática Aplicada

Título Unha introdución á interpolación por funcións spline

Titor/a Carmen Rodríguez Iglesias


No terceiro tema da materia “Cálculo numérico nunha variable” faise unha introdución á interpolación e, en particular, ao problema de interpolación polinómina de Lagrange. Debido ás oscilacións que manifestan os polinomios ao ir aumentando o seu grao (comportamento nada desexable na aproximación de funcións razoablemente regulares), en vez de interpolar unha función f nun intervalo [a b] onde están os nodos xi, i=0,...,n mediante un polinomio de alto grao (n grande), é mellor dividir dito intervalo en subintervalos e interpolar f en cada un deses subintervalos por polinomios de baixo grao. Así, a función resultante é continua e interpola tódolos datos. Isto é o que se chama interpolación polinómica a trozos. O caso máis sinxelo de interpolación polinónica a trozos é a interpolación linear a trozos: búscase unha función q continua en [a, b] de forma que q(xi)=f(xi) , i=0,...,n e tal que restrinxida a cada subintervalo [xi,xi+1] sexa un polinomio de grao menor ou igual que 1. Graficamente, a función q é o resultado de unir mediante segmentos os puntos (xi,f(xi)), i=0,..,n. Na interpolación polinómica a trozos os polinomios únense con continuidade, de modo que a función q resultante é continua, aínda que pode non ter derivadas continuas nalgúns puntos. Isto corríxese coa interpolación con funcións spline, que é en certo modo un procedemento intermedio entre os dous casos anteriores (interpolación con n grande e interpolación a trozos) e que pode ademais mellorar a aproximación, xa que permite obter unha función interpolante globalmente regular. O obxectivo deste traballo é, previa enmarcación do tema, realizar unha introdución ao estudo da interpolación con splines e deterse nos splines cúbicos.

Código MA02_17


Título Estudo comparativo dos métodos clásicos para a resolución de ecuacións numéricas non lineares

Titor/a Carmen Rodríguez Iglesias


No segundo tema da materia “Cálculo numérico nunha variable” preséntanse os métodos clásicos de dicotomía, iteración funcional simple e o método de Newton-Raphson para aproximar as raíces dunha ecuación numérica non linear. Neste traballo trátase de: Recoller, ademais, os métodos clásicos de Secante, Regula-Falsi e Müller. Comprender e interpretar gráficamente os métodos e analizar as vantaxes, inconvenientes e diferencias entre os métodos de intervalo e os métodos de iteración funcional en canto a aplicabilidade e converxencia. Comprender o concepto de velocidade de converxencia e a súa importancia na eficiencia dun método.

Código MA03_17

Área de coñecemento MATEMATICA APLICADA

Título CÁLCULO DE ESTRUCTURAS DE BARRAS

Titor/a Alfredo Bermúdez de Castro


Ecuacións dunha barra a flexión e a tracción-compresión. Análise matricial dun sistema de barras. Métodos numéricos e implementación en ordenador.

Código MA04_17


Título Métodos de Newton y Muller para la aproximación de raíces complejas de ecuaciones

Titor/a José A. Alvarez Dios


Se estudiará desde el punto de vista teórico los métodos mencionados para el cálculo numérico de raíces complejas de ecuaciones polinómicas o no, con coeficientes reales o no, y también desde el punto de vista práctico elaborando códigos para el cálculo efectivo de las raíces que permitan valorar la eficacia de dichos métodos.


Dominio de los métodos clásicos de cálculo de raíces reales, teoría de variable compleja, un paquete de cálculo simbólico, y un lenguaje de programación

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Código MA05_17


Título Simulación numérica en augas someras con turbulencia

Titor/a M. Elena Vázquez Cendón


O obxectivo deste traballo é estudar modelos bidimensionais do fluxo da auga con turbulencia. Estos modelos son ecuacións en derivadas parciais hiperbólicas, que para simplificar o problema consideraremos lineares. Proponse empregar mallas estructuradas bidimensionais, o que resulta equivalente a resolver modelos unidimensionais por líneas. Analizaranse diferentes discretización dos termos turbulentos e de reacción cando se combinan con métodos descentrados para os fluxos convectivos. Farase a validación dos resultados numéricos, que serán obtidos modificando códigos en FORTRAN ou Matlab, facilitados pola titora para o caso unidimensional. Os métodos numéricos analizaranse en termos dos conceptos de estabilidade, consistencia e converxencia. Referencias: E. F. Toro. Riemann solvers and Numerical Methods for fluids dynamics: a practical introduction. Springer-Verlag; Berlin, 3rd ed. 2009. M. E. Vázquez-Cendón. Introducción al Método de Volúmenes Finitos. Colección de Manuais Universitarios. Servizo de Publicacións da Universidad de Santiago de Compostela. 2008. M. E. Vázquez-Cendón. Solving Hyperbolic Equations with Finite Volume Methods. Springer. 2015.

Código MA06_17


Título Una introducción a la interpolación monótona

Titor/a Rafael Muñoz Sola


El problema de la interpolación monótona se puede formular como sigue: dado un conjunto de n nodos de interpolación x_1<x_2 < ...< x_n y un conjunto de valores y_i, i=1,...n, que satisface la propiedad de monotonía y_i menor o igual que y_{i+1} para todo i=1,..., n-1, se trata de encontrar una función p de un tipo dado tal que la función p satisfaga las condiciones de interpolación p(x_i) =y_i, i=1, ..., n, y además sea monótona creciente. Esto no puede lograrse usando la interpolación polinómica de Lagrange. Generalmente interesa también que la función interpolante sea globalmente regular. Si bien la interpolación lineal a trozos permite construir una función interpolante monótona, ésta no es derivable en los nodos. El objetivo del trabajo es, tras enmarcar el tema, realizar una introducción a los métodos de interpolación monótona que pemiten construir una función interpolante globalmente regular. Estos métodos están basados en splines cuadráticos o cúbicos o en la interpolación cúbica a trozos. Además, el/la alumno/a podrá tener que elaborar algún código en Matlab al respecto y aplicarlo a diversos ejemplos.

Código MA07_17

Área de coñecemento Matemática aplicada

Título Métodos lineales multipaso

Titor/a Rafael Muñoz Sola


El segundo tema de la asignatura “Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais“ contiene un epígrafe sobre los métodos numéricos de resolución de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias, el cual incluye una breve introducción a los métodos lineales multipaso. El trabajo consistiría esencialmente en ampliar el estudio de estos métodos. Tendría una parte téorica y una parte práctica. La primera incluiría al menos: un repaso de los conceptos centrales en el estudio de los métodos númericos para EDO: convergencia, consistencia, orden y estabilidad. consideraciones y resultados relativos a los métodos lineales multipaso generales. la construcción de las cuatro familias clásicas mediante integración numérica y el estudio de sus propiedades. La parte práctica consistiría en la implementación en Matlab de algunos de los métodos anteriores y su aplicación a diversos ejemplos.

Código MA08_17


Título Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

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Titor/a Jerónimo Rodríguez García


El criterio de estabilidad Routh-Hurwitz es una técnica que permite determinar cuántas raíces de un polinomio tienen parte real positiva sin tener que calcular dichas raíces y efectuando operaciones sencillas sobre los coeficientes del polinomio. Se trata de un test de gran utilidad en el estudio de la estabilidad de los puntos de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo. A lo largo del TFG el alumno tendrá que: familiarizarse con el concepto de estabilidad para sistemas de EDO lineales, familiarizarse con el concepto de estabilidad de un punto de equilibrio de un sistema de EDO no lineales. Para ello se emplearán técnicas basadas en la linealización del sistema no-lineal, comprender el criterio de estabilidad lineal de Routh-Hurwitz y saber aplicarlo sobre sistemas de EDO de dimensiones moderadas (entre 1 y 5), implementar dicho criterio en el ordenador empleando algún software de cálculo simbólico, aplicar el criterio para estudiar la estabilidad de los puntos críticos de sistemas de EDO paramétricos con especial relevancia tales como el sistema de Lorenz o el sistema de Rossler. Hairer, E.; Nørsett, S. P.; Wanner, G. (1987) Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, Berlin. Routh, E. J. (1877) A Treatise on the Stability of a Given Motion, Particularly Steady Motion, MacMillan, London.


Se recomienda que el alumno haya cursado la materia de “Variable Compleja” y que esté cursando la materia de “Ecuaciones Diferenciales”.

Código MA09_17


Título Obtención dun modelo límite mecánico en materiais porosos

Director/a Peregrina Quintela Estévez


Trátase de realizar a modelización matemática do comportamento mecánico dunha estrutura de material poroso sometida a fortes gradientes térmicos, a partir da bibliografía existente. Farase ademais a simulación numérica dalgún exemplo benchmark utilizando software comercial ou libre.

Recomendacións Estar matriculado nas materias de Modelización Matemática e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais.

Código MA10_17


Título Métodos de paso adaptativo para la resolución de EDOs

Director/a José Luis Ferrín González


El objetivo de este trabajo es la implementación de diferentes métodos, utilizando un paso de tiempo adaptativo, para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Estos incluirán métodos de Euler explícitos e implícitos y diferentes métodos Runge-Kutta, tanto que conservan como que no la positividad de la solución.

Recomendacións Buen nivel de programación en Matlab

Código MA11_17


Título Estudio de técnicas asintóticas para aproximar la solución de P.V.I.s asociados a diversas E.D.O.s de segundo orden.

Titor/a Hipólito Irago Baúlde


Se tomará como punto de partida el problema de valor inicial (P.V.I) asociado a la ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) lineal de segundo orden u’’(x)=p(x)u(x). La E.D.O. se embeberá en una familia paramétrica de E.D.O.s. a la cual se le aplicarán técnicas de desarrollo asintótico; todo ello conllevará la resolución de una familia de P.V.I.s de menor dificultad y una estimación del error de aproximación.

Código MA12_17


Título Resolución aproximada de un sistema lineal mediante métodos iterativos clásicos

Titor/a Pilar Mato Eiroa

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Cuando se necesita resolver un sistema lineal con matriz de orden elevado y con muchos ceros (dispersa), los métodos iterativos son la única opción ya que los métodos directos son demasiado costosos. En este trabajo se pretende una revisión de los métodos iterativos clásicos, es decir aquellos métodos iterativos de punto fijo basados en una descomposición de la matriz del sistema; para cada uno de ellos se desarrollarán los siguientes puntos: Descripción. Convergencia. Implementación en FORTRAN 90 o MATLAB. Aplicaciones. Bibliografía básica: P. G. Ciarlet. Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation. Masson, 1988. G. E. Forsythe. Solving linear algebraic equations can be interesting. Bull Amer. Math. Soc. 59: 299-329, 1953. R. S. Varga. Matrix Iterative Analysis. Prentice Hall, 1962. s6

Código MA13_17

Área de coñecemento Matemática Aplicada.

Título Teoremas de Young, Rademacher y Alexandrov.

Titor/a Óscar López Pouso.


Introducción. Definiciones. 2. Continuidad por separado en cada variable no implica continuidad. 3. Teorema de W. H. Young (1910). 4. Lipschitzianidad implica diferenciabilidad en casi todo punto. Teorema de H. Rademacher (1919). 5. Convexidad implica diferenciabilidad de segundo orden en casi todo punto. Teorema de H. Busemann y W. Feller (1936). Teorema de A. D. Alexandrov (1939). BIBLIOGRAFÍA: [1] K. Ch. Ciesielski and D. Miller. A Continuous Tale on Continuous and Separately Continuous Functions. In press. Available on June 20th, 2016, at http://www.math.wvu.edu/~kcies/prepF/120.TaleOfContinuity/TaleOfContinuity.pdf. [2] L. C. Evans and R. F. Gariepy. Measure theory and Fine Properties of Functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1992. [3] R. Howard. Alexandrov's theorem on the second derivatives of convex functions via Rademacher's theorem on the first derivatives of Lipschitz functions. Lecture Notes, 1998. Available on June 20th, 2016, at http://people.math.sc.edu/howard/Notes/alex.pdf. [4] Z. Pietrowski. The Genesis of Separate versus Joint Continuity. Tatra Mountains Math. Publ. 8 (1996), 113-126.

Recomendacións (non vinculantes

Haberá que ler bibliografía escrita en inglés.

Código MA14_17

Área de coñecemento Matemática Aplicada.

Título Cálculo numérico de coeficientes de Fourier.

Titor/a Óscar López Pouso.

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Breve descrición do contido 1. Series de Fourier. Velocidad de convergencia. 2. Cuadratura altamente oscilante. 3. Método de Lyness. 4. Transformada discreta de Fourier (DFT) vía transformada rápida de Fourier (FFT). La expresión de una función como una serie de Fourier, o bien la aproximación de una función por un truncamiento de dicha serie, son temas recurrentes en la matemática. Este TFG se propone con la intención de que arraigue en el estudiante la gran importancia de las series de Fourier a través de un trabajo dedicado únicamente a ellas. Se hace especial énfasis en el cálculo numérico de los coeficientes de la serie, que deja de ser trivial para altas frecuencias debido al aumento de oscilaciones del integrando.


Será preciso leer bibliografía escrita en inglés. Habrá que hacer tareas de programación.

Código MA15_17


Título

Análisis numérico e implementación del método de Numerov.

Titor/a María Luisa Seoane Martínez


El objetivo de este trabajo es el estudio de las propiedades de estabilidad y convergencia del esquema de discretización con diferencias finitas de Numerov, que aplicado a la resolución del problema de contorno para la ecuación diferencial monodimensional de segundo orden proporciona aproximaciones de orden cuatro. El análisis numérico del método se completará con su programación y la comparación de los resultados obtenidos con los presentados en las referencias bibliográficas.


Haber superado las materias Análise Numérica Matricial y Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais y estar matriculado en Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

Código XT01_17

Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía

Título Un modelo de invasión dunha rede complexa: Internet2

Titor/a Fernando Alcalde Cuesta, Álvaro Lozano Rojo (CUD Zaragoza)


Descrición do proceso de Moran como proceso de invasión e adaptación ao caso de redes tecnolóxicas. Algoritmos de cálculo da probabilidade de fixación e da modularidade da rede telemática Internet2. Análise dos resultados, discusión e conclusión. Bibliografía: F. Alcalde Cuesta, P. González Sequeiros, Á. Lozano Rojo. Exploring the topological sources of robustness against invasion of biological and technological networks. Scientific Reports, 6 : 20666, 2016. M. A. Nowak, Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life. Harvard University Press, Cambridge MA, 2006.

Código XT02_17


Título Martingalas en dinámica evolutiva

Titor/a Fernando Alcalde Cuesta, Álvaro Lozano Rojo (CUD Zaragoza)


Cálculo exacto da probabilidade de fixación no proceso de Moran sobre grafos completos, grafos estrela e bipartitos completos usando martingalas. Bibliografía: F. Alcalde Cuesta, P. González Sequeiros, Á. Lozano Rojo. Reducers of natural selection. Preprint, 2016. R. Durrett, Probability: theory and examples. Cambridge University Press, 2010. S. Karlin, H. M. Taylor, A firts course in stochastic processes, Academic Press, New York, 1975. T. Monk, P. Green, M. Paulin, Martingales and fixation probabilities of evolutionary graphs. Proceedings of the Royal Society of London A, 470 (2014), 2165.

http://www.nature.com/articles/srep20666

http://www.nature.com/articles/srep20666

http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/470/2165/20130730

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M. A. Nowak, Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life. Harvard University Press, Cambridge MA, 2006.

Código XT03_17


Título Espazos de revestimento ramificado

Director/a Jesús Antonio Álvarez López


Trátase de expoñer a teoría de espazos de revestimento ramificado, xurdidos como xeralizacións das superficies de Riemann definidas por funcións analíticas con múltiples valores. Para facer este traballo, seguiranse as seguintes referencias: R.H. Fox, Covering spaces with singularities, no libro Algebraic Geometry and Topology: A symposium in Honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, 1957, Princeton, N.J., pp. 243-257. E. Michael, Completing a spread (in the sense of R. H. Fox) without local connectedness, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 66 (Indag. Math. 25) (1963), 629–633. J.M. Montesinos-Amilibia, Branched coverings after Fox, Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) Vol. 11, 2005.

Código XT04_17

Área de coñecemento Xeometría e topoloxía

Título Uniformidades diagonais

Titor/a Xosé Manuel Carballés Vázquez


Introdución ós espazos uniformes mediante a utilización de uniformidades diagonais e estudo dalgunhas das súas propiedades.


Ter superadas “Topoloxía xeral" e “Topoloxía de superficies", e cursar "Topoloxía alxébrica”.

Código XT05_17

Área de coñecemento Xeometría e topoloxía

Título Clasificación de produtos de grafos

Titor/a Xosé Manuel Carballés Vázquez


Introdución ós produtos de grafos,estudo dalgunhas das súas propiedades, exemplos e aplicacións e clasificación dos produtos asociativos.


Ter superadas “Topoloxía xeral" e “Topoloxía de superficies", e cursar "Topoloxía alxébrica”.

Código XT06_17


Título Superficies minimais

Director/a José Carlos Díaz Ramos, Víctor Sanmartín López


Este traballo consiste en estudar as propiedades matemáticas e físicas das superficies minimais no espazo euclidiano de dimensión tres.

Recomendacións Estar familiarizado cos conceptos fundamentais da teoría de superficies.

Código XT07_17

Área de coñecemento XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA

Título ESPAZOS TOPOLÓXICOS FINITOS

Titor/a ENRIQUE MACÍAS VIRGÓS


Os espazos topolóxicos finitos están estreitamente relacionados cos conxuntos parcialmente ordeados (posets), que son unha ferramenta importante en topoloxía alxébrica e xeométrica. Por outra parte son moi útiles no estudo de invariantes homotópicos de espazos topolóxicos, xa que todo complexo simplicial finito ten o tipo de homotopía débil dun espazo finito asociado, o que permite utilizar métodos combinatorios.


É recomendable cursar ou ter cursado as materias de Topoloxía xeral, Topoloxía de superficies e Topoloxía alxébrica

Código XT08_17

Área de coñecemento XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA

Título Xeometría do fibrado tanxente dunha variedade: sistemas de ecuacións diferenciais ordinarias de segunda orde

Director/a Modesto R. Salgado Seco


Descripción do fibrado tanxente TM como variedade diferenciable. Construción dos campos de vectores canónicos e da estrutura tanxente canónica.

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O propósito fundamental é estudar un tipo especial de campos de vectores na variedade TM, coñecidos como SODEs, e que son a representación xeométrica dos sistemas de ecuacións diferenciais ordinarias de segunda orde.

Recomendacións Ter cursado a materia: Variedades diferenciables

Código XT09_17


Título Variedades cocientes

Titor/a José Antonio Oubiña Galiñanes


El propósito de este trabajo es introducir las variedades cocientes de variedades diferenciables, construir algunos ejemplos y estudiar el caso particular de las variedades cocientes obtenidas por la acción de grupos discontinuos de transformaciones. También se estudiará la proyectabilidad de campos de vectores sobre estas variedades cocientes.


Cursar la materia optativa “Variedades Diferenciables”

Código XT10_17


Título El álgebra exterior de formas diferenciales

Titor/a José Antonio Oubiña Galiñanes


Se trata de introducir los fibrados exteriores de una variedad diferenciable y estudiar el álgebra exterior de las formas diferenciales de la variedad. En particular se estudiarán las derivaciones y antiderivaciones de formas diferenciales, especialmente los operadores producto interior y la derivada de Lie respecto de campos de vectores, y la diferencial exterior, así como las relaciones entre ellos.


Cursar la materia optativa “Variedades Diferenciables”

Código XT11_17

Área de coñecemento XEOMETRIA E TOPOLOXIA

Título Un estudo das superficies con curvatura de Gauss constante

Titor/a Luis Angel Cordero Rego


O traballo consistirá nuha aproximación ao estudo das superficies con curvatura de Gauss constante, e mais en particular das superficies de revolución con curvatura de Gauss constante. Para elo o alumno guiarase polo contido do capítulo 19 do libro de L.A.Cordero, M. Fernández e A. Gray. “Geometría Diferencial de Curvas y Superficies con Mathematica”, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. Polo tanto, a memoria do traballo deberá incluir alomenos unha breve descripción das integrales elípticas de segunda especie e das suas propiedades mais relevantes, asi como representacións gráficas dalguns exemplos de ditas superficies.


O alumno deberá estar familiarizado cos (e recordar os) elementos xerais da teoría básica de curvas e superficies, e da teoría global de superficies. O coñecemento e o manexo do programa informático Mathematica será un elemento esencial para o desenrolo do traballo.

Código XT12_17


Título A xeometria diferencial do espazo fibrado das referencias lineais dunha variedade diferenciable



Na Memoria describirase a estructura de variedade diferenciable do espacio fibrado principal FM das referencias lineais dunha variedade diferenciable M, e farase unha introdución somera ao estudo das propiedades xeométricas de FM e da construcción de estructuras xeométricas en FM a partir das estructuras que existan na variedade base M. Bibliografía: L.A. Cordero, C.T.J Dodson, M. de León, Differential Geometry of Frame Bundles, Mathematics and Its Appl., Kluwer Acad. Publ.Dordrech, Holanda, 1989. S.Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol. I, Interscience Publ., New York 1963.


Recomendase que o alumno teña cursada a materia “Variedades diferenciables” do cuarto curso do Grao en Matemáticas.

Código XT13_17


Título Dende a regra e o cartabón ao fibrado das referencias lineais


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Na Memoria describirase, co debido rigor matemático, o proceso conceptual que conduce dende a noción de paralelismo euclideo no plano ata a definición formal de conexión lineal nunha variedade diferenciable no espacio fibrado das súas referencias lineais; as nocións de curvatura e holonomía da conexión lineal deberan ser tamén abordadas na memoria. Bibliografía: I.M. Singer, John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 67, Springer-Verlag, New York, 1976. S.Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol. I, Interscience Publ., New York 1963.


Recomendase que o alumno teña cursada a materia “Variedades diferenciables” do cuarto curso do Grao en Matemáticas.

Código XT14_17


Título Superficies con curvatura media constante

Director/a Eduardo García Río


O obxectivo do traballo é introducirse no estudio das superficies minimais e de curvatura media constante. Motivarase o seu estudio a partir do funcional área, centrándose o mesmo na construcción de exemplos de ditas superficies. Farase un estudio detallado das superficies de revolución (a partires do traballo de Delaunay) e das superficies helicoidales segundo o traballo de O. Perdomo “Superficies con curvatura media constante”, Bol. Mat. 18(2) (2011), 157-182.

Recomendacións É recomendable ter un coñecemento axeitado de cuestións básicas de superficies: superficies de revolución e regladas, primeira forma fundamental, área dunha rexión de superficie, segunda forma fundamental, curvaturas de Gauss e media.

Código XT15_17


Título Xeodésicas en variedades de Riemann

Director/a Eduardo García Río


O obxectivo do traballo é introducirse no estudio das variedades de Riemann como xeneralización das superficies regulares no espazo Euclidiano. Tras introducir a conexión de Levi Civita, o estudio centrarase nas súas xeodésicas. Analizarase tanto o problema de existencia (local e global) como as súas propiedades minimizantes.

Recomendacións É recomendable ter un coñecemento axeitado de cuestións básicas da teoría local e global de superficies, así como as nocións básicas do cálculo en variedades: espazo tanxente, campos de vectores, campos tensoriais, etc.

Código XT16_17


Título Homoloxía de Variedades

Titor/a Xosé M. Masa Vázquez


O obxecto de estudo serán as variedades topolóxicas pechadas. Trátase de estudar as súas propiedades homolóxicas, incluíndo homoloxía local e a súa relación coa orientabilidade. Traballaranse os conceptos de clase fundamental e grao dunha aplicación. Nunha segunda etapa introducirase a cohomoloxía e se demostraran os teoremas de dualidade de Poincaré e de Alexander. Finalmente, utilizaranse as ferramentas anteriores para dilucidar propiedades xeométricas en casos sinxelos; por exemplo, sobre a existencia de campos de vectores (continuos) tanxentes ás esferas, sen ceros. Ou a posibilidade de mergullar unha superficie pechada no espazo euclidiano de tres dimensións. O desenvolvemento do traballo pode ser máis formal, abordando os principais resultados necesarios con certa xeneralidade, ou máis dirixido a resolver os casos de interese antes citados, buscando camiños máis curtos. Ou itinerarios intermedios, sempre en función do perfil de quen vaia a realizar o traballo.


Cursar ou ter cursada a materia de Topoloxía Alxébrica

Código XT17_17


Título El plano de Poincaré como modelo de la primera geometría métrica no euclidiana

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Titor/a Juan Francisco Torres Lopera


Lobachevski y Bolyai publicaron en 1829 y 1832 una descripción sintética de un plano métrico abstracto que se diferenciaba del euclidiano en que por un punto exterior a una recta pasan dos o más paralelas. Entre los diferentes modelos globales que realizan dicho plano no euclidiano destacan los de Beltrami, Klein y Poincaré. En este trabajo se estudiará el modelo de Poincaré, visto como una variedad Riemanniana bidimensional completa M, en la que sus geodésicas juegan el rol de rectas y donde el grupo especial lineal SL(2, R) (que actúa sobre dicho plano M como grupo de transformaciones de Moebius) desempeñan el rol de grupo de isometrías.

Código XT18_17


Título Grupos Discretos de Isometrías Euclidianas



Las simetrías de los polígonos, de los poliedros, de las redes de Bravais, de las redes cristalinas y de la estructura tanto de los grupos de Lie compactos como de las álgebras de Lie semisimples, conduce al estudio y clasificación varias clases de subgrupos discretos del grupo de las isometrías del espacio euclidiano, entre los que destacan los grupos de Coxeter. El objetivo del trabajo es mixto: concretar qué grupos de isometría poseen algunos de los entes mencionados y destacar algunas propiedades generales de los otros.

Código XT19_17


Título Teorema de Frobenius de integrabilidad completa



El teorema cásico de Frobenius caracteriza la existencia de soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas totales. Admite varias formulaciones geométricas, una de las cuales dice: Sea M una variedad diferenciable de dimensión m y sea 0<n<m. Supongamos que cada punto p de M posee un entorno coordenado W_p en el que están definidos k campos de vectores diferenciables X_1,...,X_n que generan en cada punto q del entorno W_p un subespacio n-dimensional E_q del espacio tangente T_q M. Si existen funciones diferenciables a valores reales en W_p que permiten expresar en cada punto q de W_p todos los corchetes de Lie [X_i, X_j] como combinación lineal de X_1(q),...,X_n(q) , entonces para cada p de M existe una subvariedad N de M tal que p está en N; para cualquier punto q de N se cumple T_qN=E_q. La afrmación recíproca es obvia. Para n=1, este resultado es simplemente el teorema de existencia de solución para una EDO autónoma. con una condición inicial dada. El teorema de Frobenius es una herramienta indispensable, tanto en Geometría Diferencial (donde da lugar al conepto de foliación y permite establecer facilmente la existencia de subgrupos de Lie asociados a cada subálgebra del álgebra de Lie del grupo) como en la formulación Lagrangiana de la Mecánica Clásica, donde permite distinguir qué es sistema holónomo y qué un sistema no holónomo.

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PROPOSTA DE TRABALLO FIN DE GRAO - usc.es · PDF file3 Avda. Lope Gómez de Marzoa, s/n. Campus Universitario Sur 15782 Santiago de Compostela Teléfono: 881813130 e-mail: [email protected]