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Novo Espao Matemtica A 10. ano Proposta de Teste Intermdio [janeiro 2015]
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Proposta de Resoluo
GRUPO I
1. AB BC = 4 3 2+ . Como 2BC = , tem-se:
2 4 3 2AB = + 4 3 22
AB += 4 2 6
2AB += 2 2 3AB = +
Sabe-se que 22 2 3AB = + , isto 8 3AB = + .
Resposta: (B)
2. As retas r e s so estritamente paralelas, logo no se intersetam. A reta t uma reta paralela ao eixo Oy, intersetando r no 2. quadrante. Resposta: (C)
3. Sabe-se que ' 1,728V
V= . Ento 3
' 12 61,728 1,210 5
r
r= = = = .
Resposta: (A)
4. ( ) ( )2 2 21 2 ,x y r r + + + = . O centro das circunferncias ( )1, 2C .
Para intersetar todos os quadrantes, o raio deve ser maior que a distncia de C origem.
Pelo Teorema de Pitgoras 2 21 2r = + , isto , 5r = . Conclui-se que 5r > . Resposta: (D)
5. O centro da superfcie esfrica (0, 1, 2) e tem que pertencer ao plano mediador de [AB]. Verifica-se que este ponto apenas verifica a equao da opo A. Resposta: (A)
6. A opo A no se verifica pois os declives das retas tm sinais contrrios.
A opo B pode no se verificar. A opo C no se verifica A opo D necessariamente verdadeira.
Resposta: (D)
Novo Espao Matemtica A 10. ano Proposta de Teste Intermdio [janeiro 2015]
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GRUPO II
1.
1.1. ( ),B x y em que 2 3y x= ( ), 2 3B x x ( ) ( ), 2 3 3, 1= = AB B A x x = ( )3, 2 4 x x Como AB
colinear com ( )1, 2 , existe um valor k para o qual ( ) ( )3,2 4 1,2x x k = .
32 4 2x k
x k =
=
3
6 2 4 2x k
k k=
=
312
x k
k
=
=
. Ento 5
, 22
B
.
1.2. r: 2 3y x= s: 2y x b= +
1 2 2 b= + 5b = s: 2 5y x= +
Representao geomtrica
0 0 2 3 2 5x y y x y x +
2.1. 2 24 5x x y+ + = 2 24 4 4 5x x y+ + + = ( )2 22 9x y+ + = Centro ( )2, 0 ; raio: 3 2.2. Pontos do tipo ( )1 , , k k k ( ) ( )2 21 4 1 5k k k + + = 2 21 2 4 4 5k k k k + + + =
22 6 0k k = ( )2 3 0k k = ( )2 3 0k k = 0 3k k= = Se 0k = tem-se ( ) ( )1 0, 0 1, 0 = . Se 3k = tem-se ( ) ( )1 3, 3 2, 3 = .
Novo Espao Matemtica A 10. ano Proposta de Teste Intermdio [janeiro 2015]
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3.1. ( )2,3,5AV V A= = ( )2,0,0CB B C= =
( ) ( ) ( )2 2, 3, 5 2 2, 0, 0 6, 3, 5= = = u AV CB
3.2. 3y =
3.3. ( )2,3,5V A projeo de V sobre xOz o ponto ( )' 0,3,0V ; Raio da esfera: ' 3VV = Centro da esfera: V
( ) ( ) ( )2 2 22 3 5 9x y z + +
3.4.1. Seja ( ), ,P x y z . PA PV=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 0 0 2 3 5x y z x y z + + = + + 2 2 2 2 2 28 16 4 4 6 9 10 25x x y z x x y y z z + + + = + + + + +
4 6 10 22 0x y z + + = 2 3 5 11 0x y z + =
O plano definido por 2 3 5 11 0x y z + = .
3.4.2. Um ponto da aresta [BV] do tipo ( )2,3, z ; 0 5z . Substituindo na equao do plano tem-se:
2 2 3 3 5 11 0z + = 5 6z = 65
z =
Verifica-se que [ ]6 0,55 .
O ponto de interseo de com [BV] 62, 3,5
Novo Espao Matemtica A 10. ano Proposta de Teste Intermdio [janeiro 2015]
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3.5. b13
= V A h
rea do polgono (trapzio) [OABC]:
b4 2 3 9
2 2+ +
= = =OA BCA OC
Altura da pirmide: 5h BV= =
b1 1 9 5 153 3
= = =V A h
O volume 15.
4. Toda a reta tangente a uma circunferncia num ponto perpendicular ao raio nesse
ponto. Assim, o tringulo [AOB] retngulo em B.
Pelo Teorema de Pitgoras tem-se:
2 2 2
AB OB OA+ = 2
25 169AB + = 2
144AB = . Ento, 12AB = .
Equao da circunferncia de centro ( )13, 0A e raio 12AB = : ( )2 213 144x y+ + = Interseo das duas circunferncias:
( )2 2
2 2
25
13 144
x y
x y
+ =
+ + =
2 2
2 2
2526 169 144
x y
x x y
+ =
+ + + =
2 2 2525 26 169 144x y
x
+ =
+ + =
2 2 255026
x y
x
+ =
=
22 2525
132513
y
x
=
=
2 36001692513
y
x
=
=
60 6013 13
25 2513 13
y y
x x
= =
= =
25 60
,
13 13B