1

- PROPOZICIJSKA LOGIKA - ZADACI ZA VJEŽBU -

1. Formalizirajte i provjerite je li konkluzija argumenta semantička posljedica premisa.

Također, provjerite je li konkluzija izvediva iz premisa. Ukoliko je izvediva, da li je

nužno da je argument i sintaktički valjan? Mislite li da postoji neka veza između semantičke i

sintaktičke valjanosti? Mislite li da u propozicijskoj logici nužno vrijedi da sve ono što je

semantički valjano mora biti i sintaktički? Pokušajte obrazložiti svoj odgovor.

a) Ako su um i mozak identični, onda je mozak fizički entitet ako i samo ako je um fizički

entitet. Ako je um fizički entitet, onda su misli materijalni entiteti. Misli nisu materijalne, ali

mozak je fizički entitet. Prema tome, um i mozak nisu identični.

b) Naći ću posao kada diplomiram samo ako sam dobro spremljen, a biti ću dobro spremljen

samo ako mogu čitati i pisati iznimno dobro i ako imam dobro tehničko obrazovanje. Čitat ću i

pisati iznimno dobro ako i samo ako upišem mnogo humanističkih kolegija, ali ako uzmem mnogo

humanističkih kolegija, ne ću uzeti mnogo tehničkih kolegija, a ako ne uzmem mnogo tehničkih

kolegija, ne ću imati dobro tehničko obrazovanje. Stoga, ne ću naći posao kada diplomiram.

c) Ako je mački loše, ili se je tukla ili je pojela previše miševa. Tukla se je samo ako je bila

napadnuta, a bila je napadnuta samo ako je ili veliki sijamski mačak ili mali pas zečar bio vani.

Veliki sijamski mačak je bio vani samo ako je bilo sunčano, a mali zečar je bio vani samo ako je

bilo toplo. Nije bilo ni toplo ni sunčano, ali mački je loše. Prema tome, pojela je previše miševa.

d) Ako popijem previše kave, onda ne mogu dobro spavati i ne učim kako treba. Ako ne

popijem dovoljno kave, ne mogu ostati budan i ne učim uopće. Ili popijem previše kave ili

nedovoljno. Dakle, ili ne učim uopće, ili ne učim kako treba.

e) Ako su monetaristi u pravu, tada je inflacija u porastu ako i samo ako novčana ponuda raste

prebrzo. Ako su Keynezijanci u pravu, tada je inflacija u porastu ako i samo ako se nezaposlenost

smanjuje. Ako su Libertarijanci u pravu, inflacija je u porastu ako i samo ako federalna vlada troši

više no što zarađuje. Novčana ponuda raste prebrzo samo ako su porezi preniski, a federalna vlada

troši više no što zarađuje samo ako su porezi preniski. Nema smanjenja nezaposlenosti i porezi

nisu preniski, ali inflacija je u porastu. Zato, niti su Monetaristi, ni Keynezijanci niti Libertarijanci

u pravu.

2

2. Provjerite semantičku i sintaktičku valjanost argumenta:

PS, S→ (BD), (BT) T, D P

3. Formalizirajte:

a) Ako rečenicu „Betty će napraviti večeru“ formaliziramo kao B,

formalizirajte rečenicu „Bilo bi krivo misliti da neće biti slučaj da Betty neće

napraviti večeru.“

b) Ako formaliziramo rečenicu „Abe će napraviti večeru“ kao A, a rečenicu „Betty će

napraviti večeru“ kao B, kako bi izgledala formalizacija rečenice „Unatoč činjenici da

Abe neće napraviti večeru, Betty hoće.“ ?

c) Formalizirajmo redosljedom rečenice „Abe će napraviti večeru“, „Betty će napraviti

večeru“, „Chris će napraviti ručak“ i „Dan će napraviti ručak“ propozicionalnim

varijablama A, B, C i D. Formalizirajte rečenice „Jedan ili dugi, Chris ili Dan, će

napraviti ručak, a ili će Abe ili Betty napraviti večeru.“ te „Ili će Abe napraviti večeru

dok će Chris napraviti ručak, ili će Betty napraviti večeru, dok će Dan napraviti

ručak.“.

d) Uzevši gore navedene propozicionalne varijable, formalizirajte: „ Dan neće napraviti

ručak ako Abe ne napravi večeru.“, „Dan će napraviti ručak ako ili Abe ili Betty

naprave večeru“, „Abe će napraviti večeru pretpostavivši da će ili Chris ili Dan

napraviti ručak.“, „Sve dok Abe radi večeru, Betty je neće napraviti“ i „I Chris i Dan

će napraviti ručak uzevši da će Abe i Betty oboje napraviti večeru“.

KLJUČ ZA FORMALIZACIJU rjeđe korištenih simbola i drugog simboličkog sustava:

, - vitičaste zagrade, označavaju skupove (premisa npr.) Ø - prazan skup- simbol koji odvaja konkluziju od skupa premisa

~ - negacija ( )• - konjunkcija ( ) - disjunkcija ( ) - kondicional (→)≡ - ekvivalencija (bikondicional) (↔)

3

4.) Provjerite semantičku i sintaktičku valjanost sljedećih argumenata.

1. P → S, S → (BD), (B → T) T, D P

2. P → Q, R, R → (Q ˅S) S → P

3. (P ˅ A) → ((B ˅ S) → (Q ˄ T)), (Q ˅M) → R P → (B → R)

4. A ˅B, B ˅ C A → C

5. (R ˅ T) → S, R → (S S) S

6. A B C, D → (A B) D

7. (A ˅ B) (A ˅ C), B ˅ A (A → B ) (B → A)

8. (P ˅ R) (P ˅ S), R, (P ˅S) → (T ˅ U) T → U

9. A B, C → (A B) C

10. Ø A → (A → B)

11. Ø (A ˅ (B C)) ↔ ((A → B) (A → C))

12. (A B) ˅ C, C B

13. L → M, N ˅M L → N

14. C D, B ˅ C, B → A C → A

15. A ˅ B, (A ˅ A) → C, B → C, A → (D ˅ E) D → E

16. A B, A ˅ (B ˅ C), C → D D

17. F G, (F ˅ H) → G) G ˅ H

18. B B A

19. A ˅B, E → F, C → B, E (D A) G ˅ (F C)

20. A → G, D ˅ E, (C ˅ D) → B,E F, A → B G

4

5.) Prevedite rečenice Hrvatskog jezika na jezik iskazne logike uz sljedećetumačenje:

Naučio si logiku - LDobio si pozitivnu ocjenu - P

Samo ako si naučio logiku, dobio si pozitivnu ocjenu.Dobio si pozitivnu ocjenu ako si naučio logiku.Naučio si logiku, iako nisi dobio pozitivnu ocjenu.Nije istina da si naučio logiku, a da nisi dobio pozitivnu ocjenu.

6.) Provjerite svojstvo iskaza gradnjom tablice.

(A ∨ ¬B) ∨ ¬(¬A ∧ B)

7.) Provjerite valjanost iskaza metodom RAA:

(¬A → B) ∨ ((A ↔ ¬B) ∧ C)

8.) Niže navedeni zaključak iskažite kao jedan iskaz u jeziku propozicijske (iskazne)logike rabeći slova M, I , V (prema dolje zadanomu ključu prevođenja), zagrade tesimbole za logičke veznike:

M za ‘Marica je uzela najmanje dvije jabuke.’I za ‘Ivica je uzeo najmanje dvije kruške.’V za ‘Ima još voća u kuhinji.’

Ako je Marica uzela najmanje dvije jabuke, a Ivica najmanje dvije kruške, onda nijeslučaj da ima još voća u kuhinji. No, još ima voća u kuhinji. Stoga, ako je Marica uzelanajmanje dvije jabuke, onda Ivica nije uzeo najmanje dvije kruške.

Je li zaključak valjan?

9.) Prevedite rečenice Hrvatskog jezika na jezik iskazne logike uz sljedećetumačenje:

Naučio si logiku - LDobio si pozitivnu ocjenu - P

Ako i samo ako si naučio logiku, dobio si pozitivnu ocjenu.Ako si naučio logiku, dobio si pozitivnu ocjenu.Nisi dobio pozitivnu ocjenu, a naučio si logiku.Nije istina da nisi naučio logiku, a da si dobio pozitivnu ocjenu.

5

10.) Provjerite svojstvo iskaza gradnjom tablice.

¬(A ∨ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)

11.) Provjerite valjanost iskaza metodom RAA:

¬ (A ↔ C) ∨ (C → (¬B ∧ A))

12.) Niže navedeni zaključak iskažite kao jedan iskaz u jeziku propozicijske (iskazne)logike rabeći slova M, I , V (prema dolje zadanomu ključu prevođenja), zagrade tesimbole za logičke veznike:

M za ‘Marica je uzela najmanje dvije jabuke.’I za ‘Ivica je uzeo najmanje dvije kruške.’V za ‘Ima još voća u kuhinji.’

Samo ako je Marica uzela najmanje dvije jabuke, a Ivica najmanje dvije kruške, onda nijeslučaj da ima još voća u kuhinji. No, još ima voća u kuhinji. Stoga, je Marica uzelanajmanje dvije jabuke, ako Ivica nije uzeo najmanje dvije kruške.

Je li zaključak valjan?

6

RJEŠENJA:

1.

3.

a) ne ne ne-B

b) B i ne-A

c) (C ili D) i (A ili B) (A i C) ili (B i D)

d) ako ne-A onda ne-D ako (A ili B) onda D ako (C ili D) onda A ako A onda ne-B ako (A i B) onda (C i D) Sastavio: Tomislav Čop