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PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
Professora: Rosa Canelas
Leitura do gráfico
Ao longo do dia, devido às marés, a altura da água do mar varia em relação ao nível médio, considerado nível zero. O gráfico seguinte representa a altura h da água, em função do tempo, ao longo de um dia, numa baía. 1. Indique a altura da água às 4 horas.
4
2,5
A altura da água às 4 horas é 2,5 m
Zeros da função
A que horas a altura da água na baía foi igual ao nível médio da água do mar (zero)?
7
11
19
23
A altura da água na baía foi igual ao nível médio da água do mar às 7, às 11, às 19 e às 23 horas.
Sinal de uma função
Em que intervalos de tempo a altura da água na baía esteve acima do nível médio da água do mar, isto é, em que intervalos de tempo foi a altura da água na baía positiva?
A altura da água na baía foi positiva entre as zero e as 7 horas, entre as 11 e as 19 horas e das 23 às 24 horas, na forma de intervalo de valores de t: [0,7[ U ]11,19[ U ]23,24]
Sinal de uma função
Em que intervalos de tempo a altura da água na baía esteve abaixo do nível médio da água do mar, isto é, em que intervalos de tempo foi a altura da água na baía negativa?
A altura da água na baía foi negativa entre as 7 e as 11 horas e das 19 horas às 23 horas, na forma de intervalo de valores de t:]7,11[ U ]19,23[.
Sinal de uma função
Complete o quadro seguinte, de modo a identificar os intervalos de tempo em que a altura é positiva e aqueles em que é negativa.
t (em horas) 0 7 24
h (em metros) 1 0 - 0 + 0 0,7
11
11
19 23
23
19 7
+ + - 0
Função injetiva
A que horas atingiu a água na baía a altura de 1 metro?
O que pode concluir quanto à injetividade da função dada?
y=1
A água na baía atingiu a altura de 1 metro às zero horas, às 6 horas, às 12 horas e às 18 horas. A função não é injetiva porque há objetos diferentes com a mesma imagem
Uma função diz-se injetiva se, em todo o seu domínio, a
diferentes objetos correspondem diferentes imagens.
Função contínua
O traçado do gráfico da função, em todo o intervalo do seu domínio, é feito de forma contínua, “sem levantar o lápis, sem interrupções” diz-se que a função é contínua.
Caso contrário diz-se descontínua.
Tarefa3 -2ª parte
Um avião faz uma viagem de duas horas. Levanta voo, sobe, anda durante algum tempo a uma altitude constante, desce e aterra. No painel de instrumentos existe um termómetro que indica a temperatura no exterior do avião. A evolução da temperatura no exterior durante a viagem é dada pelo gráfico.
Tarefa3 -2ª parte
Qual a temperatura no aeródromo no início da viagem?
A temperatura no início era 20º C.
Quanto tempo demorou a subida?
Cerca de 45 minutos
Quanto tempo andou, o avião, à altura máxima?
Cerca de 30 minutos
Tarefa3 -2ª parte
Quando se iniciou a descida?
Aos 75 minutos de voo.
Acha que aterrou no mesmo aeródromo?
Não, a temperatura aumentou 10º em 2 horas.
Em que momento se registou a maior temperatura no exterior do avião? Qual o seu valor?
À chegada e foi 30º C
Tarefa3 -2ª parte
E a menor temperatura? Quando se registou?
A menor temperatura foi -10ºC e registou-se entre os 45 e os 75 minutos de voo.
Em que momentos a temperatura foi nula?
A temperatura foi nula ao 30 e aos 90 minutos de voo.
Tarefa3 -2ª parte
Considere a temperatura definida em função do tempo de viagem.
Quais são as variáveis relacionadas pelo gráfico no contexto do problema?
As variáveis relacionadas são o tempo de voo e a temperatura no exterior do avião
Qual é a variável independente? E a variável dependente?
A variável independente é o tempo de voo e a dependente é a temperatura no exterior do avião
Tarefa3 -2ª parte
Qual é o domínio da função?
D=[0,120]
Qual é o contradomínio da função?
D’=[-10,30]
Construa uma tabela que traduza a variação de sinal desta função.
t(minutos 0 30 90 120
T(ºC) 20 + 0 - 0 + 30
exercício 17 da página 22.
Determine os zeros e estude o sinal das funções com o auxílio da calculadora:
𝑦 = −2𝑥 + 3
𝑦 = −2𝑥2 + 𝑥
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3
𝑦 = −3𝑥2 + 5𝑥 − 2
Intervalos em que a função é crescente
Entre as 12h e as 14h, a altura aumentou passando de 1 para 2,5 metros. Diz-se que, no intervalo [12,14], a função é “crescente”.
Indique outro intervalo em que a função seja “crescente”.
12 14
Por exemplo, entre as 23 e as 24 horas quando a altura passa de 0 a 0,7 diz-se que, no intervalo [23,24] a função é crescente
2,5
0,7
Intervalos em que a função é decrescente
Indique um intervalo de tempo em que a função seja “decrescente”.
Por exemplo, entre as 16 horas e 18 horas quando a altura da água passa de 2,5 metros a 1 metro diz-se que a função é decrescente no intervalo [16,18].
18 16
2,5
Monotonia de uma função
Uma função f é constante num intervalo do seu domínio quando, qualquer que seja o elemento a desse intervalo se tem f(a) = c em que c é um número real.
Extremos – máximos e mínimos
3
21 0,7
2,8 2,6
-0,9
-1,1
9
Extremos – máximos e mínimos
A que horas se verificou a baixa-mar? 21 horas
E qual foi a altura mínima da água nesse dia? -1,1 metros ou 1,1 metros de profundidade.
A que horas se verificou a preia-mar? 3 horas
Qual foi a altura máxima da água? 2,8 metros
3
21 0,7
2,8 2,6
-0,9
-1,1
9
Extremos – máximos e mínimos
Complete o quadro seguinte, de modo a traduzir a variação da altura da água entre as 0 e as 24 horas.
3
21 0,7
2,8 2,6
-0,9
-1,1
9
t (em horas
0 3 24
h (em metros)
1 0,7
21 9 15
2,8
M
2,6
M
-1,1
m
-0,9
m
Intervalos de monotonia
Intervalos de monotonia são os maiores intervalos em que é possível dividir o domínio de modo que, em cada um deles, a função seja crescente ou decrescente (sentido estrito ou sentido lato). A função é crescente em [0,3], em [9,15] e em [21,24].
A função é decrescente em [3,9] e em [15,21]
Tarefa 4 – 2ª parte
Este gráfico define uma função?
Sim, porque a cada valor da distância percorrida corresponde um e um só valor da altitude do local atingido.
Qual é a variável independente e a variável dependente desta função?
A variável independente é a distância percorrida e a variável dependente é a altitude.
O gráfico mostra o perfil de uma etapa da Volta a Portugal em bicicleta.
Tarefa 4 – 2ª parte
Quantos quilómetros tem a etapa? Qual é o domínio da função?
A etapa tem 180 km. O domínio é D=[0,180]
Entre que valores varia a altitude ao longo da etapa? Qual é o contradomínio da função?
A altitude varia entre 200m e 1800m. O contradomínio é D’=[200,1800]
O gráfico mostra o perfil de uma etapa da Volta a Portugal em bicicleta.
Tarefa 4 – 2ª parte
Indique os intervalos da distância em que a altitude
aumenta; [0,30]; [50,70]; [110,120]
diminui;[30,50];[70,90]; [120,140] e [160,180]
se mantém constante.[90,110] e [140,160]
O gráfico mostra o perfil de uma etapa da Volta a Portugal em bicicleta.
Tarefa 4 – 2ª parte
Quais são os valores dos extremos da função?
Máximos 1800, 1500 e 500
Mínimos 200, 400 e 700
O gráfico mostra o perfil de uma etapa da Volta a Portugal em bicicleta.
Tarefa 4 – 2ª parte
Faça uma tabela de monotonia da função no domínio considerado.
O gráfico mostra o perfil de uma etapa da Volta a Portugal em bicicleta.
d 0 30 50 70 90 110 120 140 160 180
a 700 1500 700 1800 400 400 500 300 300 200
Tarefa 4 – 2ª parte
Indique os intervalos de monotonia da função no domínio considerado.
Crescente em [0,30],[50,70] e em [110,120]
Decrescente em [30,50], [70,90], [120,140] e em [160,180]
Constante em [90,110] e em [140,160]
O gráfico mostra o perfil de uma etapa da Volta a Portugal em bicicleta.
Exercício 23 da página 27
Num referencial cartesiano, considere as funções f, g, e h tais que:
𝑓 𝑥 =7−3𝑥
2
𝑔 𝑥 = −𝑥2 + 4𝑥 − 3
ℎ 𝑥 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25,5
Determine analiticamente os pontos de interseção com os eixos coordenados.
Exercício 23 da página 27
Num referencial cartesiano, considere as funções f, g, e h tais que:
𝑓 𝑥 =7−3𝑥
2
𝑔 𝑥 = −𝑥2 + 4𝑥 − 3
ℎ 𝑥 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25,5
Confirme os resultados por visualização dos gráficos na calculadora.
Determine, caso existam os extremos.
Exercício 24 da página 27
Considere a função real de variável
real f definida por:𝑓 𝑥 = 𝑥4 −𝑥2
4.
Recorrendo à calculadora sempre que necessário determine:
Os zeros e o sinal de f.
Extremos relativos, valor aproximado às centésimas se não for possivel obter valor exato.
Intervalo onde a função seja negativa e crescente.
