PROPUESTA A 1.olmo.pntic.mec.es/dmas0008/selectividad/paeg-matematicasapccss… · Si dividimos el número “xyz” entre la suma de sus cifras se obtiene 37 de cociente y de resto

PROPUESTA A

1. Dada la ecuación matricial BAXX 6

a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)

b) Si

15

02A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de

orden 2. (0.75 puntos)

2. Si dividimos el número “xyz” entre la suma de sus cifras se obtiene 37 de cociente y de resto 0. La

suma de las cifras de las decenas y de las centenas es el doble de la cifra de las unidades. En

cambio, si a esa suma le restamos la cifra de las unidades se obtiene 1. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos)

b) ¿Cuáles son las cifras del número “xyz”? (0.5 puntos)

3. Se considera la función

122

142)(

2

2

xsixx

xsixxxf . Se pide:

a) Estudia la continuidad en x = – 1. (0.5 puntos)

b) Extremos relativos de f en el intervalo ( – 2, 2). (1 punto)

4. En una sesión de Bolsa el precio, en euros, que alcanza una acción viene dado por la función

f(x) = 2t3 – 18t

2 + 48t + 1, en donde t representa el tiempo, en horas contado a partir del inicio de la

sesión y 0 ≤ t ≤ 3. Se pide:

a) Precio de la acción a las 3 horas de iniciada la sesión. (0.25 puntos)

b) ¿A qué hora la acción alcanza su valor máximo?, ¿cuál es ese valor? (1.25 puntos)

5. Una empresa tiene la misma cantidad de acciones del tipo A que del tipo B. Se sabe que el tipo A

tiene una probabilidad de doblar su precio de 0.3 y 0.2 para el tipo B.

a) Probabilidad de que una acción elegida al azar doble su precio. (0.75 puntos)

b) Si sabemos que una acción ha doblado su precio, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?

(0.75 puntos)

6. Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes

datos: 19987, 20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069. Se supone que la

renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de desviación típica 100

euros.

a) Encontrar el intervalo de confianza al 97 % para la renta familiar media. (1 punto)

b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)

c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, ¿Qué opciones tendríamos? Razona tu

respuesta. (0.5 puntos)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 09812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2

PROPUESTA B

1. Una empresa tiene 1800 botellas de vino de La Mancha y 1600 botellas de vino de Valdepeñas.

Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichas botellas: lotes de tipo A formados por tres

botellas de La Mancha y una de Valdepeñas, que venderá a 70 €; lotes de tipo B formados por una

botella de La Mancha y dos de Valdepeñas que venderá a 50 euros.

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?

(0.5 puntos)

2. La asociación de Padres y Madres de un IES compra 170 pen drives a tres proveedores diferentes a

6.10, 6.20 y 6.30 euros cada pen drive. La factura total asciende a 1051 euros. Sabiendo que al

segundo proveedor le compran el doble del número de unidades que al primero, se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos)

b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor. (0.5 puntos)


0|4|

022

24

)(2 xsixx

xsix

xsi

xf . Se pide:

a) Límites laterales de la función f en el punto x = 0. ¿Es continua la función f en x = 0?(0.5 puntos)

b) Representación gráfica de la función f. (1 punto)

4. El beneficio B, en miles de euros, de una sociedad de inversores, viene dado por la función

B(x) = – 2x2 + 56x + 3 en donde x representa los miles de euros invertidos. Estudiadas las

condiciones del mercado, se decide que 1 ≤ x ≤ 15. Se pide:

a) Beneficio máximo. (0.75 puntos)

b) Intervalos donde el beneficio crece y donde decrece. (0.75 puntos)

5. En un pabellón polideportivo hay 1000 personas de Albacete, 500 de Ciudad Real, 1000 de Toledo y

500 de Cuenca.

a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de que no le toque a ningún

toledano? (puede tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (0.75 puntos)

b) Se eligen al azar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una y sin que puedan

repetir, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean ciudadrealeños? (0.75 puntos)

6. La duración de las llamadas de teléfono en una oficina comercial, sigue una distribución normal con

desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra aleatoria de 100 llamadas y la media de

duración obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide:

a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las llamadas. (1 punto)


c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, ¿qué opciones tendríamos? Razona tu


z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

2.0 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 09699 0.9706

2.1 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

3

SOLUCIONES – PROPUESTA A

1. Dada la ecuación matricial BAXX 6


b) Si

15



Solución.


Si Sacamos factor común a la matriz X por la izquierda, llegamos a que,

BAIX )6(

Siendo I la matriz identidad del mismo orden que X.

En tal caso, exclusivamente cuando la matriz (6·I – A) tenga inversa (es decir, cuando sea

cuadrada y tenga determinante no nulo), podremos despejar la matriz X del modo:

1)6( AIBX

Además, para que (6·I – A) sea cuadrada sólo cabe la posibilidad de que lo sean A e I y además

tengan el mismo orden.

Por lo tanto, 1)6( AIBX , si (6∙I – A) posee matriz inversa, A e I a son del mismo orden y

su número de columnas es igual que el de filas de B.

b) Si

15



La ecuación tendrá solución, siempre y cuando la matriz A tenga matriz inversa, esto es, cuando

su determinante sea 2. Calculamos el determinante de A,

0215

02A

Por lo tanto, la ecuación tendrá solución. Para calcularla, resolvemos matricialmente según,

11 AIAXIXA

4

Calculamos la matriz inversa de A, Para ello, procedemos a calcularla mediante la fórmula,

A

AAdjA

t

1

Siendo At la matriz transpuesta de A y adj[A

t] la matriz adjunta de la transpuesta. Realizamos las

operaciones correspondientes:

25

01

2

1

25

01])[

10

521AAadjA tt

En ese caso, la solución X será:

12/5

02/11AX

2. Si dividimos el número “xyz” entre la suma de sus cifras se obtiene 37 de cociente y de resto 0.

La suma de las cifras de las decenas y de las centenas es el doble de la cifra de las unidades.

En cambio, si a esa suma le restamos la cifra de las unidades se obtiene 1. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.

(1.5 puntos)


Solución.


(1.5 puntos)

Llamamos “x” al número de centenas; “y” al número de decenas; y “z” al número de unidades.

En estas condiciones los siguientes enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones:

Dividimos el número “xyz” entre la suma de sus

cifras se obtiene 37 de cociente y de resto 0. 0)(3710100 zyxzyx

La suma de las cifras de las decenas y de las

centenas es el doble de la cifra de las unidades. zyx 2

En cambio, si a esa suma le restamos la cifra de las

unidades se obtiene 1 1 zyx

Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por:

1

02

37373710100

1

2

)(3710100

zyx

zyx

zyxzyx

zyx

zyx

zyxzyx

Donde, dividiendo la primera ecuación por 9 y ordenando el sistema pedido será:

1

02

0437

1

02

0362763

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

5


Resolvemos el sistema por el método de Gauss colocando la tercera ecuación como la primera.

0437

02

1

1

02

0437

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

La matriz de Gauss queda determinada por:

0437

0211

1111

zyx

Multiplicamos la primera fila por – 1 y la sumamos a la segunda. De igual modo,

multiplicamos por – 7 a la primera fila y la sumamos con la tercera:

73100

1100

1111

0437

0211

1111

133

122

7´

2´

FFF

FFF

zyxzyx

Como la segunda fila puede, en términos de ecuación, ser despejada, pasamos al sistema

equivalente y resolvemos:

7310

1

2

71310

1

11

7310

1

1

7310

1

1

z

yx

y

z

yx

zy

z

zyx

zy

z

zyx

1

1

1

1

1

21

1

1

2

1010

1

2

y

z

x

y

z

x

y

z

yx

y

z

yx

Por lo tanto, el número es 111.

6


122

142)(

2

2

xsixx

xsixxxf . Se pide:


b) Extremos relativos de f en el intervalo ( – 2, 2). (1 punto)

Solución.


Para que una función sea continua en un valor de abcisa x = a se debe cumplir que los límites

laterales en el punto x = a coincidan con a imagen de la abcisa x = a. Dicho de otro modo,

)()(lim)(lim afxfxfaxax

En nuestro caso, debemos estudiar la continuidad en x = – 1. Por lo tanto, estudiaremos los límites

laterales y el valor de la función en el punto x = 0.

54214)1(2)1(42lim)(lim 22

11

xxxf

xx

52212)1(2)1(22lim)(lim 22

11

xxxf

xx

21)10()0( 2 f

Al coincidir todos los valores, concluimos que la función f es continua en x = – 1.

b) Extremos relativos en el intervalo (– 2, 2). (0.5 puntos)

Para el estudio de los extremos relativos, descartamos realizar derivadas por cuanto la función

es a trozos y hay un valor absoluto de por medio. Procedemos a localizarlos mediante la

representación gráfica.

En tal caso, la primera expresión algebraica (x ≤ – 1) es una parábola. El vértice lo tiene en el

valor que anula la derivada. Por tanto, derivando la expresión,

[ x2 + 2x – 4 ]´ = 2(x+1)

e igualando a cero, obtenemos,

2(x + 1) = 0 x = – 1

Además, sabemos que la parábola es con ramas hacia arriba sin más que observar el coeficiente

del monomio de grado dos. Calculamos algunos valores a izquierda y derecha de la abcisa del

vértice, teniendo en cuenta que nuestro dominio para tal expresión es x ≤ – 1.

x y = x2 + 2x – 4

– 1 – 5

– 1´5 – 4´75

– 2 – 1

7

En esta tabla hay que tener en cuenta que x = – 2 no pertenece al intervalo (– 2, 2) aunque si

pertenece al dominio de la expresión que representamos.

Por otra parte, la segunda expresión algebraica (x > – 1) también es una parábola. El vértice lo

tiene en el valor que anula la derivada. Por tanto, derivando la expresión,

[ – x2 + 2x – 2 ]´ = 2·(– x + 1)

e igualando a cero, obtenemos,

2(– x + 1) = 0 x = 1

Además, sabemos que la parábola es con ramas hacia abajo sin más que observar el coeficiente del

monomio de grado dos.

Calculamos algunos valores a izquierda y derecha de la abcisa del vértice, teniendo en cuenta que

nuestro dominio para tal expresión es x > – 1.

x y = – x2 + 2x – 2

– 1 – 5

0 – 2

1 – 1

2 – 2

En esta tabla hay que tener en cuenta que x = 2 no pertenece al intervalo (– 2, 2) aunque si

pertenece al dominio de la expresión que representamos.

Por lo tanto, la representación gráfica pedida será:

Concluimos que existe un máximo relativo de la función f en el intervalo (– 2, 2) en el punto

(1, – 1) y existen un mínimo relativo de la función f en el intervalo (– 2, 2) en el punto (– 1,– 5).

8

4. En una sesión de Bolsa el precio, en euros, que alcanza una acción viene dado por la función

f(x) = 2t3 – 18t

2 + 48t + 1, en donde t representa el tiempo, en horas contado a partir del inicio

de la sesión y 0 ≤ t ≤ 3. Se pide:



Solución.


Simplemente sustituimos t = 3 en la función:

f(3) = 2·33 – 18·3

2 + 48·3 + 1 = 2·27 – 18 ·9 + 144 + 1 = 54 – 162 + 144 + 1 = 37

Por lo tanto, la acción vale 37 €.


Para encontrar el máximo de la función en el intervalo [0, 3], calculamos los máximos y

mínimos relativos y estudiamos la monotonía de la función en este intervalo.

La derivada de la función f(x) = 2t3 – 18t

2 + 48t + 1 es:

f´(x) = 6t2 – 36t + 48

Igualamos a cero y resolvemos para conocer los posibles valores de abcisa donde están los

máximos y los mínimos relativos:

12

1152129636

62

4864)36()36(048366

2

2 ttt

213

413

1312

1236

12

14436

t

ó

t

Estudiamos el signo de la primera derivada para concluir donde la función es creciente y donde

es decreciente:

Intervalo Valor f´(x) = 6t2 – 36t + 48 Signo f´(x) f(x) es

(– ∞, 2) 0 48 + Creciente

(2, 4) 3 – 6 – Decreciente

(4, + ∞) 5 48 + Creciente

De la información anterior concluimos que la función es tiene un máximo relativo en

t = 2. El valor de la acción en ese momento es:

f(2) = 2·23 – 18·2

2 + 48·2 + 1 = 2·8 – 18 · 4 + 96 + 1 = 16 – 72 + 96 + 1 = 41

Luego entonces, el momento donde la acción alcanza el máximo valor es a las 2 horas y

vale 41 €.

9

5. Una empresa tiene la misma cantidad de acciones del tipo A que del tipo B. Se sabe que el

tipo A tiene una probabilidad de doblar su precio de 0.3 y 0.2 para el tipo B.


b) Si sabemos que una acción ha doblado su precio, ¿cuál es la probabilidad de que sea del

tipo B? (0.75 puntos)

Solución.


El problema se puede expresar mediante el siguiente diagrama de árbol:

En ese caso, la probabilidad de que una acción elegida al azar doble su precio es:

P(Acción dobla su precio) = P(Acción tipo A) · P(Dobla su precio / Acción Tipo A) +

+ P(Acción tipo B) · P(Dobla su precio / Acción Tipo B) = 0.5·0.3 + 0.5·0.2 =

= 0.15 + 0.1 = 0.25

Por lo tanto, la probabilidad de que una acción elegida al azar se duplique es de 0.25.

b) Si sabemos que una acción ha doblado su precio, ¿cuál es la probabilidad de que sea del

tipo B? (0.75 puntos)

En ese caso, la probabilidad de que la silla sea del tipo B se puede calcular mediante el teorema

de Bayes según:

)/( preciosuDoblaBTipoP

)()/()()/(

)()/(

BTipoPBTipopreciosuDoblaPATipoPATipopreciosuDoblaP

BTipoPBTipopreciosuDoblaP

4.05.02.05.03.0

5.02.0

Por lo tanto, la probabilidad pedida es de 0´4.

10

6. Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los

siguientes datos: 19987, 20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069. Se

supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de

desviación típica 100 euros.





Solución.


Sea la variable aleatoria X que mide la duración renta familiar. Según los datos del problema

esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 100 €.

Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 componentes y podemos calcular su

media muestral:

2004510

200450

n

xnX

ii s.

En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´97 respecto a la

media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

nzX

nzX

2/2/ ,

Puesto que 1 – α = 0´97, entonces α = 0´03 y α/2 = 0´015 por lo que zα/2 = 2´17.

Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

)62´20518,38´20381(10

100172́20450,

10

100172́20450

Concluimos que el intervalo de confianza al 97 % para la renta familiar media

es (20381´38, 20518´62).


La interpretación es sencilla. Hay una probabilidad del 97 % de que tomada una familia y su

renta familiar al azar, esta esté entre 20381´38 € y 20518´62 €.



Aumentar el tamaño muestral ya que al ser un valor que aparece en el denominador, el

intervalo disminuiría. También se puede hacer disminuyendo la confianza del intervalo ya que

el valor zα/2 sería menor y al multiplicar, el resultado sería de menor valor que el actual.

11

SOLUCIONES – PROPUESTA B

1. Una empresa tiene 1800 botellas de vino de La Mancha y 1600 botellas de vino de Valdepeñas.

Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichas botellas: lotes de tipo A formados por

tres botellas de La Mancha y una de Valdepeñas, que venderá a 70 €; lotes de tipo B formados

por una botella de La Mancha y dos de Valdepeñas que venderá a 50 euros.


b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?

(0.5 puntos)

Solución.


Si llamamos “x” al número de lotes del tipo A e “y” al número de lotes el tipo B, tendremos

que los datos anteriores nos llevan a una expresión algebraica de la región factible del tipo:

16002

18003

0,0

yx

yx

yx

Las dos primeras expresiones nos determinan que la región factible se halla en el primer

cuadrante.

En cuanto a la tercera expresión, 3x + y ≤ 1800, representamos el semiplano de posibles

soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta y = 1800 – 3x

x y = 1800 – 3x

0 1800

600 0

Sustituimos en a inecuación en punto (0,0) para conocer cuál de los dos semiplanos en los que

divide la recta al plano es en el que estará la región factible.

3·0 + 0 = 0 ≤ 1800

Como (0,0) verifica la desigualdad, el semiplano a elegir es al que pertenece el punto (0,0)

En cuanto a la cuarta expresión, x + 2y ≤ 1600, igualmente representamos el semiplano de

posibles soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta

2

1600 xy

x 2

1600 xy

0 800

1600 0

Sustituimos en a inecuación en punto (0,0) para conocer cuál de los dos semiplanos en los que

divide la recta al plano es en el que estará la región factible.

0 + 2·0 = 0 ≤ 1600

12

Como (0,0) verifica la desigualdad, el semiplano a elegir es al que pertenece el punto (0,0)

Representamos la recta y el rectángulo en un mismo plano cartesiano determinando la

pertenencia a los semiplanos que generan mediante la verificación o no del punto (0,0), (que la

verifican todos).

La región coloreada en amarillo es la región factible.

Calculamos los vértices de la región factible:

Punto A de intersección de las rectas x + 2y = 1600 e x = 0, da como solución A(0, 800).

Punto B de intersección de las rectas x + 2y = 1600 con 3x + y = 1800, da como solución

B(400, 600).

Punto C de intersección de las rectas 3x + y = 1800 con y = 0, da como solución C(600, 0).

Punto D de intersección de las rectas x = 0 con y = 0, da como solución O(0, 0).

b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio

sea lo mayor posible. (0.5 puntos)

Sea la función que determina el beneficio y vendrá dada por la expresión algebraica:

F(x,y) = 70x+ 50y

Aplicando los puntos de la región factible a la función encontraremos de entre ellos a aquel que

tenga mayor beneficio. Ese punto es el punto de mayor beneficio de toda la superficie limitada.

F(A) = F(0, 800) = 70 ∙ 0 + 50 ∙ 800 = 0 + 40.000 = 40.000

F(B) = F(400, 600) = 70 ∙ 400 + 50 ∙ 600 = 28.000 + 30.000 = 58.000

F(C) = F(600, 0) = 70 ∙ 600 + 50 ∙ 0 = 42.000 + 0 = 42.000

F(O) = F(0, 0) = 70 ∙ 0 + 50 ∙ 0 = 0 + 0 = 0

En conclusión, hemos obtenido que las cantidades de cada tipo de lote para obtener un mayor

beneficio son x = 400 de tipo A e y = 600 del tipo B.

13

2. La asociación de Padres y Madres de un IES compra 170 pen drives a tres proveedores

diferentes a 6.10, 6.20 y 6.30 euros cada pen drive. La factura total asciende a 1051 euros.

Sabiendo que al segundo proveedor le compran el doble del número de unidades que al

primero, se pide:


(1.5 puntos)

b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor. (0.5 puntos)

Solución.

Solución. Hacemos las siguientes asignaciones de incógnitas:

Número de pen drives del primer

proveedor x

Numero de pen drives del segundo

proveedor y

Número de pen drives del tercer

proveedor z


(1.25 puntos)

Las condiciones del problema inducen las siguientes ecuaciones lineales:

La Asociación de Padres y de Madres de un IES compra 170

pen-drives a tres proveedores diferentes x + y + z = 170

a tres proveedores diferentes a 6.10, 6.20 y 6.30 euros cada

pen drive. La factura total asciende a 1.051 euros. 6´1x + 6´2y + 6´3z = 1051

Sabiendo que al segundo proveedor le compran el doble del

número de unidades que al primero y = 2x

Simplificamos al máximo las ecuaciones. En la primera y la segunda multiplicamos primero por

10:

b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor. (1´25 puntos)

Para resolverlo, podemos optar por resolverlo por Gauss o por el método de Cramer.

Por el método de Gauss, sea la matriz de Gauss,

14

Aplicamos el método de Gauss empezando por cambiar la columna uno por la columna tres

para hacerlo más sencillo:

Hacemos ceros en los lugares correspondientes hasta hacerlo triangular en su mitad izquierda.

Puesto que la fila dos tiene dos ceros en su mitad izquierda, es posible reordenar la matriz de

Gauss de tal modo que sea triangular:

Despejamos en el sistema y resolvemos:

Por lo tanto, se han comprado 50 pen-drives al primer proveedor, 100 al segundo y 20 al

tercero.

Por el método de Cramer: Dado el sistema , aplicamos ahora

el método de determinantes:

15

Por lo tanto, se han comprado 50 pen-drives al primer proveedor, 100 al segundo y 20 al

tercero.


0|4|

022

24

)(2 xsixx

xsix

xsi

xf . Se pide:

a) Límites laterales de la función f en el punto x = 0. ¿Es continua la función f en x = 0?

(0.5 puntos)


Solución.

a) Límites laterales de la función f en el punto x = 0. ¿Es continua la función f en x = 0?

(0.5 puntos)

El límite lateral por la izquierda en x = 0 será:

0)0(2)2(lim)(lim00

xxfxx

El límite lateral por la derecha en x = 0 será:

0|040||4|lim)(lim 22

00

xxxf

xx

Además, como la función f(x) en x = 0 vale:

f(0) = – 2·0 = 0

Observamos que los límites laterales en x = 0 coinciden con el valor de la función en el punto.

Por tanto, concluimos que la función f es continua en x = 0.


Para dibujar la gráfica vamos estudiando las tres funciones por separado en sus respectivos

dominios.

Representación de y = 2 con x ≤ – 2

Se trata de un segmento horizontal sobre el eje OX con altura 2 hasta x = – 2 (incluido).

16

Representación de y = – 2x con – 2 < x ≤ 0.

Se trata de un segmento de una función lineal creciente. Tomamos algunos valores para

representar:

x y = – 2x

– 2 – 2·(– 2) = 4

– 1 – 2·(– 1) = 2

0 – 2·0 = 0

El punto (– 2, 4) no se incluye como punto de la función puesto que para la abcisa x = – 2 la

función no está definida mediante y = – 2x. Lo representamos como punto “hueco”.

Representación de y = | – x2 + 4x | para 0 ≤ x.

Se trata del valor absoluto de una parábola con ramas hacia abajo por ser un polinomio de

grado dos con coeficiente principal negativo. Lo primero que haremos será representar la

parábola y luego transformaremos sus puntos con ordenada negativa en puntos simétricos

respecto del eje OX.

El máximo de la parábola se alcanza para el valor de abcisa que anula su derivada y´ = 0, es

decir,

– 2x + 4 = 0 4 = 2x 2 = x

que es un valor de abcisa dentro del dominio 0 ≤ x. El punto de Máximo es

(2, y(0)) = (2, 0).

Con cinco puntos sobre el dominio construimos la parte de las dos ramas que nos interesa:

x y = – x2 + 4x

0 – 02 + 4·0 = 0

1 – 12 + 4·1 = – 1 + 4 = 3

2 – 22 + 4·2 = – 4 + 8 = 4

3 – 32 + 4·3 = – 9 + 12 = 3

4 – 42 + 4·4 = – 16 + 16 = 0

5 – 52 + 4·5 = – 25 + 20 = – 5

6 – 62 + 4·6 = – 36 + 24 = – 12

Para representar el valor absoluto convertimos en positivas las ordenadas de los puntos con

ordenada negativa. De este modo lo que hacemos es una simetría respecto al eje OX en

aquellos tramos de la parábola con ordenada negativa.

x y = | – x2 + 4x |

0 0

1 3

2 4

3 3

4 0

5 5

6 12

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Por lo tanto, la gráfica de la función a trozos determinada en el enunciado es:

4. El beneficio B, en miles de euros, de una sociedad de inversores, viene dado por la función

B(x) = – 2x2 + 56x + 3 en donde x representa los miles de euros invertidos. Estudiadas las

condiciones del mercado, se decide que 1 ≤ x ≤ 15. Se pide:



Solución.


Calculamos los máximos relativos de la función B(x) por medio de la derivada:

B´(x) = – 4x + 56

Si anulamos la derivada tendremos que el valor de extremo relativo es t = 14 horas.

En estas condiciones, y sabiendo que la función B(x) en realidad es una parábola con ramas

hacia abajo puesto que su coeficiente principal es negativo, tendremos que t = 14 horas es un

máximo absoluto de la función B(x) y por lo tanto, concluimos que el beneficio máximo será

de:

B(14) = – 2·142 + 56·14 + 3 = – 2·196 + 784 + 3 = 395 €

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Al tratarse de una parábola con las ramas hacia abajo, se concluye fácilmente que en el intervalo

(0, 14) el beneficio crece mientras que en (14, 15) decrece.

5. En un pabellón polideportivo hay 1000 personas de Albacete, 500 de Ciudad Real, 1000 de

Toledo y 500 de Cuenca.

a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de que no le toque a

ningún toledano? (puede tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (0.75 puntos)

b) Se eligen al azar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una y sin que

puedan repetir, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean ciudadrealeños? (0.75 puntos)

Solución.

a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de que no le toque a

ningún toledano? (puede tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (0.75 puntos)

Se la variable aleatoria contador X que vale cuenta el número de toledanos al escoger a dos

cualesquiera de entre los 3000 presentes. Por la descripción del problema estamos tratando una

distribución binomial en donde n = 2 y la probabilidad de acierto (de escoger un toledano en uno

de los dos sorteos) es:

40́3

1

3000

1000

50010005001000

1000

Llamamos suceso A = “no le toca a ningún toledano el premio en un sorteo”. Calculamos su

probabilidad mediante la fórmula de la binomial:

40́9

4

3

2

3

1

0

2)0()(

20

XPAP

Por lo que concluimos que hay una probabilidad de 44´4 % aproximadamente de que no le toque

a toledano alguno el premio.

b) Se eligen al azar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una y sin que

puedan repetir, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean ciudadrealeños? (0.75 puntos)

La Probabilidad pedida vendrá dada por la fórmula de la probabilidad compuesta:

00460́2998

498

2999

499

3000

500p

Por lo que concluimos que hay una probabilidad de 0´5 % aproximadamente de que sean

ciudadrealeños.

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6. La duración de las llamadas de teléfono en una oficina comercial, sigue una distribución

normal con desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra aleatoria de 100 llamadas y la

media de duración obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide:

a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las llamadas.

(1 punto)




Solución.

a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las llamadas.

(1 punto)

Sea la variable aleatoria X que mide la duración de una llamada de teléfono. Según los datos

del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a

σ = 10 segundos.

Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 100 y su media muestral X = 50 segundos. En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la

media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

nzX

nzX

2/2/ ,

Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96.

Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

)96´51,04´48(100

10961́50,

100

10961́50

Concluimos que el intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las llamadas de

teléfono es de (48´04, 51´96).


La interpretación es sencilla. Hay una probabilidad del 95 % de que tomada una llamada al azar

tenga una duración media entre 48´04 segundos y 51´96 segundos.



Podríamos disminuir la confianza del intervalo por lo que el factor zα/2 disminuiría y al

multiplicar en la fórmula del intervalo, disminuiría la semi-amplitud y, por tanto, el intervalo de

confianza.

También podríamos aumentar el tamaño muestral con lo que, al estar en el denominador,

disminuiría la semi-amplitud del intervalo y, por tanto, disminuiría la amplitud del intervalo de

confianza.

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PROPUESTA A 1.olmo.pntic.mec.es/dmas0008/selectividad/paeg-matematicasapccss… · Si dividimos el número “xyz” entre la suma de sus cifras se obtiene 37 de cociente y de resto