Embed Size (px)
Citation preview
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016
p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
MODUL ATAS RING MATRIKS ( )
Arindia Dwi Kurnia
Universitas Jenderal Soedirman
Ari Wardayani
Universitas Jenderal Soedirman
Suroto
Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. This paper discusses about the mathematical system that is formed by
and ring of matrices ( ) In this case, is a commutative ring with unit element.
The result showed that, is module over ring of matrices ( ) By investigating the
existence of torsion element, it is obtained that module over ring of matrices ( ) is a torsion module. By investigating the existence of basis, it is obtained that module
over ring of matrices ( )is not free module.
Keywords: ring of matrices, module, torsion module, free module.
ABSTRAK. Artikel ini membahas tentang sistem matematika yang dibentuk dari dan
ring matriks ( ). Dalam hal ini, adalah ring komutatif dengan elemen satuan.
Hasil kajian menunjukkan bahwa merupakan modul atas ring matriks ( ) Dengan menyelidiki eksistensi elemen torsi, diperoleh bahwa modul atas ring matriks
( ) merupakan modul torsi. Dengan menyelidiki eksistensi basis, diperoleh bahwa
modul atas ring matriks ( ) bukan merupakan modul bebas.
Kata kunci: ring matriks, modul, modul torsi, modul bebas.
1. PENDAHULUAN
Sistem matematika yang dibentuk dari suatu grup Abel dan ring dengan
elemen satuan yang dilengkapi dengan operasi perkalian skalar dan memenuhi
sifat-sifat tertentu disebut modul. Suatu modul dikatakan modul torsi jika setiap
elemennya merupakan elemen torsi. Apabila suatu modul memiliki basis, maka
modul tersebut dikatakan modul bebas. Menurut Kinanti, dkk (2013), himpunan
matriks atas ring komutatif dengan elemen satuan membentuk struktur aljabar
modul atas ring komutatif dengan elemen satuan. Sementara itu, himpunan
( ) adalah himpunan matriks berukuran atas dengan adalah ring
Modul atas Ring Matriks ( ) 2
Purwokerto, 3 Desember 2016
komutatif dengan elemen satuan. Menurut Abdurrazzaq (2015), himpunan
( ) yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks
merupakan ring dengan elemen satuan.
Himpunan matriks yang berukuran atas himpunan bilangan riil
merupakan ruang Euclid berdimensi- dan dinotasikan dengan . Pada
penelitian ini, diperumum menjadi dengan adalah sembarang ring
komutatif dengan elemen satuan. Artikel ini membahas sistem matematika yang
dibentuk dari dan ring matriks ( ) beserta sifat-sifatnya. Sistem
matematika yang dibahas pada artikel ini terkait modul atas suatu ring. Adapun
manfaat dari penelitian ini yaitu sebagai landasan teori untuk penelitian-penelitian
yang terkait.
2. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan adalah studi pustaka dengan cara mengkaji buku-
buku teks, jurnal dan beberapa artikel ilmiah yang berkaitan dengan materi
penelitian. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut:
1. Mendefinisikan dengan memperumum entri-entri pada merupakan
elemen pada
2. Membuktikan grup Abel.
3. Membuktikan modul atas ring matriks ( )
4. Membuktikan modul atas ring matriks ( ) adalah modul torsi.
5. Membuktikan modul atas ring matriks ( ) bukan modul bebas.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada hasil dan pembahasan ini diuraikan mengenai struktur modul yang
terbentuk dari dan ring matriks ( ). Selanjutnya, pada artikel ini dibahas
mengenai modul torsi dan modul bebas dari modul yang terbentuk.
3 A. D. Kurnia d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
3.1 Ruang- atas Ring Komutatif dengan Elemen Satuan
Misalkan merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Elemen nol pada
adalah dan elemen satuannya adalah . Pembahasan diawali dengan
mendefinisikan ruang- dengan -tupel merupakan elemen pada ring .
Definisi 3.1 Misalkan adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Himpunan
matriks berukuran disebut ruang- atas jika elemen-elemen pada matriks
tersebut merupakan elemen pada dan dinotasikan
Menurut Cullen (1998), himpunan matriks dengan elemennya bilangan riil
merupakan ruang Euclid dan dinotasikan Pada artikel ini, elemen pada
matriks tersebut diperumum menjadi elemen pada Bentuk umum dari
adalah
{(
) | }
Operasi penjumlahan standar pada didefinisikan sebagai berikut
(
) (
) (
)
untuk setiap (
) (
) Operasi tersebut terdefinisi dengan baik
pada Diambil sembarang dengan dan dimana
(
) (
) (
) (
) Karena dan , maka
diperoleh dan Dengan
demikian, berlaku
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
Modul atas Ring Matriks ( ) 4
Purwokerto, 3 Desember 2016
Hal ini berarti operasi penjumlahan tersebut terdefinisi dengan baik pada
Berikut diberikan lemma untuk yang disertai dengan operasi
penjumlahannya.
Lemma 3.2 Himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan sebuah operasi
penjumlahan standar pada merupakan grup Abel.
Bukti. Berikut ditunjukkan bahwa himpunan tak kosong yang dilengkapi
dengan operasi penjumlahan standar merupakan grup Abel.
a) Operasi bersifat tertutup pada karena hasil dari operasi pada
adalah (
) (
) (
) untuk setiap (
) dan
(
) Karena , maka untuk
Sedemikian sehingga diperoleh
b) Sifat asosiatif operasi terpenuhi pada , karena untuk setiap
dengan (
) (
) dan (
) berlaku
( ) [(
) (
)] (
) (
) (
) (
)
(
) [(
) (
)] ( )
c) Elemen (
) pada adalah elemen identitas terhadap operasi ,
dengan merupakan elemen nol pada , sedemikian sehingga untuk setiap
(
) berlaku
5 A. D. Kurnia d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
(
) (
) (
) (
) (
)
d) Setiap (
) elemen (
) adalah invers dari ,
dengan masing-masing merupakan invers dari
terhadap operasi penjumlahan pada , sedemikian sehingga
berlaku
( ) (
) (
) (
( ) ( )
( )
) (
) (
)
Dengan demikian merupakan invers dari terhadap operasi pada
e) Sifat komutatif operasi terpenuhi pada karena untuk setiap (
)
dan (
) berlaku
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
Semua aksioma pada grup dan sifat komutatif terpenuhi, maka terbukti bahwa
( ) merupakan grup Abel.
3.2 Modul atas Ring Matriks ( )
Telah dibuktikan bahwa himpunan tak kosong yang dilengkapi sebuah
operasi biner penjumlahan standar merupakan grup Abel. Menurut Abdurrazzaq
(2015), himpunan matriks berukuran atas yang dilengkapi dengan operasi
penjumlahan dan perkalian pada matriks merupakan ring dengan elemen satuan
dan dinotasikan ( ). Berikut adalah lemma yang membahas sistem
matematika yang dibentuk dari dan ring matriks ( ).
Modul atas Ring Matriks ( ) 6
Purwokerto, 3 Desember 2016
Lemma 3.3 Grup Abel merupakan modul atas ring matriks ( ) dan
cukup ditulis ( )-modul.
Bukti. Telah diketahui bahwa ( ) merupakan grup Abel dan ( ( ) )
merupakan ring dengan elemen satuan. Berikut ini ditunjukkan bahwa
( ) modul. Operasi perkalian skalarnya didefinisikan sebagai berikut
(
)(
)
Untuk setiap (
) ( ) dan (
)
Berikut akan ditunjukkan terpenuhinya aksioma-aksioma pada modul. Diambil
sembarang (
) (
) ( )
dan untuk setiap (
) (
) berlaku
a) ( ) (
)[(
) (
)]
(
)(
)
(
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
)
(
)
7 A. D. Kurnia d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
(
)
(
) (
)
(
)(
) (
)(
)
b) ( ) [(
) (
)](
)
(
)(
)
(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
) (
)(
)
Modul atas Ring Matriks ( ) 8
Purwokerto, 3 Desember 2016
c) ( ) [(
) (
)](
)
(
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
)
(
)
(
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
)
(
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
)
(
)
(
∑
∑
∑
)
9 A. D. Kurnia d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
(
)
(
(
)(
)
)
( )
d) (
)(
) (
) dengan (
)
adalah elemen satuan pada ring ( )
Semua aksioma pada modul terpenuhi, dengan demikian terbukti bahwa
( ) modul.
3.3 Sifat Modul atas Ring Matriks ( )
Berikut dibahas sifat-sifat yang terkait dari ( ) modul yakni
modul torsi dan modul bebas. Untuk mengkaji modul torsi, terlebih dahulu
diselidiki eksistensi elemen torsi pada ( ) modul.
Teorema 3.4 Suatu ( ) modul adalah modul torsi.
Bukti. Terdapat dua kasus untuk menunjukkan bahwa ( ) modul
adalah modul torsi.
Kasus 1. Untuk (
) selalu dapat ditemukan sembarang elemen tak nol
(
) ( ) sehingga berlaku
(
)(
) (
)
Jadi, (
) merupakan elemen torsi pada ( ) modul.
Modul atas Ring Matriks ( ) 10
Purwokerto, 3 Desember 2016
Kasus 2. Untuk setiap (
) dengan selalu dapat ditemukan
elemen tak nol ( ) yakni (
) dengan adalah
invers dari terhadap operasi penjumlahan pada dan merupakan ring
komutatif dengan elemen satuan, maka berlaku
(
)(
) (
( )
)
(
( )
) (
( )
) (
)
Jadi, untuk setiap (
) dengan merupakan elemen torsi pada
( ) modul. Berdasarkan kedua kasus tersebut diperoleh bahwa untuk
setiap merupakan elemen torsi. Terbukti bahwa ( ) modul
adalah modul torsi.
Selanjutnya, dengan menyelidiki ada atau tidaknya basis modul yang
termuat pada ( ) modul diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.5 Suatu ( ) modul bukan merupakan modul bebas.
Bukti. Diketahui ( ) modul. Misalkan adalah sembarang
subhimpunan tak kosong dari dengan,
{(
)| }
11 A. D. Kurnia d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
Karena ( ) modul merupakan modul torsi dan maka untuk
setiap merupakan elemen torsi pada ( ) modul.
Dengan demikian, persamaan
(1)
dapat dipenuhi oleh ( ) untuk dimana
(
) ( ) Dengan kata lain, pada persamaan (1) tidak
hanya dipenuhi oleh untuk Jadi, bukan kombinasi
linier secara tunggal dari . Berdasarkan definisi bebas linier pada
modul, maka tidak bebas linier. Selanjutnya, karena tidak bebas linier, maka
bukan basis. Secara umum, untuk setiap dengan
( ) modul merupakan modul torsi, maka bukan basis. Hal ini
berarti ( ) modul tidak memiliki basis. Dengan demikian menurut
definisi modul bebas, terbukti bahwa ( ) modul bukan merupakan
modul bebas.
4. KESIMPULAN
Jika adalah ring komutatif dengan elemen satuan, maka himpunan
yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan standar membentuk sistem
matematika grup Abel. Dari dan ring matriks ( ) yang dilengkapi dengan
operasi perkalian skalar membentuk ( ) modul. Dari
( ) modul diperoleh bahwa ( ) modul adalah modul torsi,
akan tetapi ( ) modul bukan merupakan modul bebas.
DAFTAR PUSTAKA
Abdurrazzaq, A., Ring Matriks Atas Ring Komutatif. Skripsi. Purwokerto:
Universitas Jenderal Soedirman, 2015.
Cullen, C. G., Aljabar Linier dengan Aplikasi : Diterjemahkan oleh Ir. Bambang
Sumantri, Gramedia, Jakarta, 1988.
Modul atas Ring Matriks ( ) 12
Purwokerto, 3 Desember 2016
Kinanti, F., Kusumastuti, N., dan Noviani, E., Diagonalisasi Matriks Atas
Ring Komutatif dengan Elemen Satuan, Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan
Terapannya (Bimaster). 2(3) (2013), 183 190.
